PROGRAMA DE ESTUDIOS PROTOCOLO Fecha de elaboración

Octubre / 2004

Fecha de aprobación

Mes / año

Clave Nivel

Lic. ( x ). Mtría. ( ) Doc.(

Ciclo

Int. (

Fecha de aplicación Febrero / 2005 Nombre del curso: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Semestre: Tercero

Colegio: Ciencia y Tecnología

Plan de estudios del que forma parte: Ingeniería

) Bas. ( x ) Sup. (

) )

Propósito(s) general(es) : El estudiante dominará los métodos básicos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y será capaz de obtener

conclusiones a partir de dichas soluciones, además con la ayuda de software adecuado identificará conceptos matemáticos mediante la visualización de aspectos cualitativos de las ecuaciones diferenciales; con ello identificará las relaciones entre las ecuaciones diferenciales ordinarias y los modelos matemáticos que representan, para aplicarlos en cursos posteriores. Seriación: si ( ) no ( x ) Modalidad

Asignaturas

Previas: Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Álgebra y Geometría Analítica, Álgebra Lineal, Mecánica I y II. Posteriores: Métodos Numéricos, Probabilidad y Estadística, Termodinámica y Fluidos, Electricidad y Magnetismo Sesiones de estudio

Seminario ( ) Taller ( ) Curso ( x ) Con docente Laboratorio ( ) Clínica ( ) Requerimientos para cursar la asignatura

Teóricas

37

Prácticas

23

Autónomas

Teóricas

37

Prácticas

23

Conocimientos previos: solución de sistemas de ecuaciones lineales, eigenvalores, eigenvectores, diagonalización, continuidad, diferenciación y métodos de integración de funciones reales, convergencia de series, integrales impropias, curvas de nivel, integral de línea, funciones diferenciables, derivadas parciales, leyes de Newton, conceptos básicos de termodinámica. Habilidades: mostrar soltura al momento de derivar e integrar funciones, resolver ecuaciones, graficar funciones y cónicas en el plano Perfil deseable del profesor: Matemático con orientación y experiencia dando cursos en sistemas dinámicos, análisis matemático o métodos numéricos Academia responsable del programa: Matemáticas Elaborado por: José Luis Lugo Goytia, Miguel Ángel Mendoza Reyes

Introducción Las ecuaciones diferenciales son una poderosa herramienta en la construcción de modelos matemáticos para el mundo físico. Su aplicación en la industria y en la ingeniería es muy amplia y cumplen muy bien su cometido. Se han convertido en uno de los instrumentos de modelación más útiles, por lo que se hace imprescindible su estudio en las escuelas de ciencias e ingeniería. Se trata de un curso de iniciación al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias en el que se sugiere que el estudiante comience analizando los tipos más simples de ecuaciones diferenciales ordinarias, que surgen a partir de problemas físicos o de ingeniería. El objetivo de este curso es presentar la teoría de ecuaciones diferenciales de manera clara y comprensible a estudiantes del tercer semestre de ciclo básico y que el curso los motive a cuestionarse y obtener el gusto por continuar el estudio de las ecuaciones diferenciales. Este es un curso particularmente propicio para fomentar en los estudiantes el gusto y las técnicas del análisis, la experimentación, la crítica y la observación, puesto que en general, los ejemplos y problemas que aparecen a lo largo del curso, son tomados de situaciones del mundo real, con los que es posible no solamente apreciar la importancia de las ecuaciones diferenciales como herramientas de modelación y de predicción, sino que también se prestan a un amplio análisis y discusión, por ejemplo, para distinguir soluciones absurdas de otras aceptables o que tienen sentido. Se debe de enriquecer la teoría con las herramientas computacionales adecuadas, pues de esta forma el estudiante tiene la posibilidad de experimentar sistemáticamente para analizar el comportamiento de los modelos e interpretar los resultados. Se hace énfasis en que este es un curso introductorio a las ecuaciones diferenciales. Al término del curso el estudiante conocerá los métodos básicos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como variables separables, homogéneas, exactas, lineales, Bernoulli, ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes, las técnicas de solución en series de potencias para el caso de ecuaciones con coeficientes variables, la aplicación de la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales con términos periódicos y discontinuos y el análisis de los retratos fase de las soluciones de sistemas bidimensionales de ecuaciones lineales. Todo esto le permitirá al estudiante comprender las relaciones entre las ecuaciones diferenciales ordinarias y los modelos que representan. Será capaz de obtener conclusiones a partir de las soluciones de las ecuaciones diferenciales planteadas y se espera que los conocimientos adquiridos en el curso le sean suficientes para continuar sus estudios en las demás materias donde se requieran conocimientos sobre ecuaciones diferenciales.

Contexto de la asignatura 1. Encuadre en el plan de estudios. Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ciencia y en la vida real son numerosas. Las soluciones de muchos problemas en las ingenierías requieren de métodos que dependen de las ecuaciones diferenciales. Es por ello que esta asignatura sirve, en primer lugar, como base e instrumento para abordar otras disciplinas propias de las ingenierías. Pero además, el estudio de las ecuaciones diferenciales (y de cualquier rama de la matemática en general) va más lejos del carácter puramente operativo, y pretende ayudar a pensar, inducir y deducir, analizar y sintetizar, generalizar y abstraer; en definitiva, contribuye a desarrollar una amplia gama de actitudes que constituyen los pilares del pensamiento científico y del avance de la ciencia y la tecnología en particular.

2. Repercusión en el perfil profesional. Por otra parte, el ejercicio profesional del ingeniero puede requerir, en gran número de ocasiones, de la resolución de problemas planteados en términos de ecuaciones diferenciales, tanto elementales como de cierta complejidad; en cualquier caso, la formación adquirida en esta asignatura le permite abordar tales problemas por sí mismos o, al menos, los faculta para una comunicación eficaz con un experto. Por otra parte, la comprensión de un a enorme cantidad de procesos en ingeniería necesitan de unos mínimos conocimientos de las ecuaciones diferenciales, por lo que el estudio de esta asignatura es imprescindible y resulta de especial relevancia en el plan de estudios de la carrera de ingeniería. Propósitos generales El estudiante dominará los métodos básicos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y será capaz de obtener conclusiones a partir de dichas soluciones, además con la ayuda de software adecuado identificará conceptos matemáticos mediante la visualización de aspectos cualitativos de las ecuaciones diferenciales; con ello identificará las relaciones entre las ecuaciones diferenciales ordinarias y los modelos matemáticos que representan, para aplicarlos en cursos posteriores.

Nombre del programa de estudios: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Modelos

No. de sesiones: 9 T + 6 P Sesiones programadas: 15

Propósitos. Que el estudiante identifique las definiciones básicas de las ecuaciones diferenciales y la geometría de las curvas integrales y de los problemas de valor inicial, lo que le permitirá explicar los resultados de los modelos analizados. Que el estudiante reconozca y resuelva analíticamente ecuaciones diferenciales de primer orden con los métodos de integración apropiados para cada caso: variables separables, homogéneas, exactas, lineales, factores integrantes, Bernoulli, Ricatti para plantear y resolver modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales de estos tipos. El estudiante utilizará métodos numéricos para trazar curvas integrales y para verificar cómo dependen las trayectorias calculadas computacionalmente de los parámetros propios de cada método numérico, utilizando el software adecuado. La parte de métodos numéricos debe de ser meramente descriptiva, pues no se pretende que el profesor aborde estos temas a profundidad.

Temas y subtemas 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 -

Definiciones Básicas. Clasificación de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones Solución y problemas de valores iniciales Interpretación geométrica: campos de direcciones, isoclinas Método de aproximación de Euler Métodos elementales de integración Ecuaciones separables Ecuaciones homogéneas Ecuaciones lineales Ecuaciones exactas, factores integrantes Sustituciones y transformaciones Ecuaciones de Bernoulli y Ricatti. Modelos matemáticos. Movimiento vertical con resistencia del aire Dinámica de poblaciones: ecuación logística Desintegración radioactiva Modelos compartimentales: mezclas de soluciones, dispersión de contaminantes, eliminación de medicamento - Trayectorias ortogonales - Masa variable - Enfriamiento y calentamiento - Curvas de persecución 1.7 Métodos numéricos: Euler, Taylor, Runge-Kutta

2. Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes No. de sesiones: 9T + 6P constantes Sesiones programadas: 15 Propósitos. Que el estudiante reconozca y resuelva analíticamente ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, utilizando diferentes métodos requeridos en el desarrollo de las siguientes unidades.

Temas y subtemas 2.1 Introducción: oscilador masa-resorte 2.2 El operador diferencial lineal L[y]=y”+py’+qy 2.3 Conjuntos fundamentales, independencia lineal, el Wronskiano y la fórmula de Abel-Liouville 2.4 Reducción de orden 2.5 Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 2.6 Clasificación de las soluciones según las raíces de la ecuación característica 2.7 Superposición y ecuaciones no homogéneas 2.8 Método de coeficientes indeterminados 2.9 Variación de parámetros 2.10 Aplicaciones - Vibraciones mecánicas I: oscilador armónico simple - Circuitos eléctricos I

3. Sistemas de ecuaciones en el plano

No. de sesiones: 8T + 3P Sesiones programadas: 11

Propósitos. El estudiante resolverá sistemas lineales y no lineales de dimensión dos para modelar diversos sistemas que aproximan situaciones del mundo real. El estudiante utilizará los métodos de vectores propios y de exponenciales de matrices, para expresar algebraicamente las condiciones de estabilidad de algunas soluciones alrededor de puntos de equilibrio y para clasificar las distintas configuraciones de los retratos fase. Analizar los retratos fase de los sistemas homogéneos para aproximar los retratos fase de los no lineales El estudiante será capaz de manejar algún programa de cómputo para calcular las soluciones de los sistemas.

Temas y subtemas 3.1 Introducción al plano fase. Retrato fase. 3.2 Método de eliminación para resolver sistemas 3.3 Método de vectores propios para sistemas lineales homogéneos 3.4 Soluciones con vectores propios con multiplicidad 3.5 Soluciones con exponenciales de matrices 3.6 Aplicaciones - Vibraciones mecánicas II: oscilador armónico amortiguado y forzado - Circuitos eléctricos II: analogía entre circuitos eléctricos y sistemas mecánicos 3.7 Sistemas lineales no homogéneos. Variación de parámetros 3.8 Puntos críticos y soluciones periódicas de sistemas lineales 3.9 Métodos numéricos: Euler y Runge-Kutta para sistemas 3.10 Sistemas no lineales. Modelos ecológicos: depredador-presa

4. Transformadas de Laplace

No. de sesiones: 7T + 5P Sesiones programadas: 12

Propósitos. Que el alumno conozca y aplique el método de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Temas y subtemas 4.1 Definición y propiedades (linealidad e inversión) de la transformada de Laplace 4.3 Transformadas inversas de Laplace 4.4 Solución de problemas de valores iniciales 4.5 Transformadas de Laplace de funciones discontinuas y periódicas 4.6 Convolución 4.7 Impulsos y delta de Dirac 4.8 Solución de sistemas mediante transformada de Laplace

5. Solución mediante series

No. de sesiones: 4T + 3P Sesiones programadas: 7

Propósitos. El alumno utilizará los métodos de series de potencias para la resolución de ecuaciones lineales con coeficientes variables y conocerá las ecuaciones de algunas funciones especiales.

Temas y subtemas 5.1 Soluciones en series cerca de puntos ordinarios 5.2 Ecuaciones de Cauchy - Euler

Metodología general Estrategias ... de aprendizaje ... de enseñanza didácticas Participación activa de los estudiantes en Clases teóricas con exposición tipo ... clase con la resolución de problemas, fomentar hábitos de lectura y de escritura para reportar resultados. Se recomienda motivar los conceptos y métodos a partir de ejemplos sencillos de ecuaciones diferenciales ordinarias, elevando paulatinamente el grado de dificultad de los mismos. Interpretación de los resultados obtenidos en las soluciones de los modelos Hacer énfasis en el uso de la computadora para realizar cálculos complicados y concentrarse en conceptos y métodos, obtener soluciones gráficas e interpretar resultados.

del profesor y participación activa de los estudiantes. Elaboración de trabajos, lecturas y proyectos de investigación. Elaboración de software para uso en clase. Para las proposiciones requeridas se recomienda motivarlas adecuadamente, esbozando su demostración y enfatizando las ideas involucradas.

Actividades académicas dirigidas (trabajo autónomo) 1. Resolución de problemas por grupos. Tutoría entre compañeros para resolver dificultades y dudas. Los alumnos escogen y resuelven problemas de los textos utilizados en la asignatura. El objetivo de esta actividad es fomentar el trabajo en equipo, la cooperación entre compañeros y la sana competencia entre ellos. 2. Resolución de cuestiones teóricas tipo examen. El objetivo de esta actividad es fomentar la autoevaluación de conocimientos y el grado de asimilación de conceptos fundamentales. 3. Búsqueda en la bibliografía de aplicaciones de temas tratados en clase. Opción de trabajos de investigación dirigidos. La finalidad es la valoración del interés científico y de la investigación. Dedicación no presencial (autónoma) S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 Sesiones totales Estudio de 3 3 2 1 3 3 2 1 4 3 1 3 3 1 3 1 37 Teoría Estudio de 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 16 problemas Estudio de 1 1 1 1 1 1 1 7 Laboratorio de Cómputo Preparación 1 1 1 1 4 de exámenes Unidades 1 2 3 4 5 Actividad

Dedicación presencial Laboratorio de Cómputo Evaluaciones formativas

Semana

Teoría

Problemas

1 2 3 4

3 3 2 1

1 1 1 1

1 1

5 6 7 8

3 3 2 1

1 1 1 1

1 1

9 10 11

4 3 1

1 1

1

12 13 14 15 16

3 3 1 3 1

1 1 2 1 1

1 (aplicar la evaluación formativa de la Unidad 1 en esta semana)

1

1 (aplicar la evaluación formativa de la Unidad 2 en esta semana)

2

1 (aplicar la evaluación formativa de la Unidad 3 en esta semana)

3

4

1 1

Unidades

1 (aplicar la evaluación formativa de las Unidades 4 y 5 en esta semana)

5

Recursos didácticos Textos especializados como los indicados en la bibliografía, notas de clase proporcionadas por el profesor, software científico (con licencia comercial como Mathematica, Matlab, Maple, Derive, etc. o con licencia gratuita GNU como Octave, Xppaut, Content, DSTool, en cuyo caso los estudiantes deben de llevar previamente los cursos que les permitan trabajar eficientemente con el sistema operativo Linux) de uso común en cualquier escuela de Ciencias o Ingeniería para el análisis de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, videos y simulaciones de problemas de mecánica.

Evaluación diagnóstica Es necesario realizar una evaluación diagnóstica al inicio del curso en la que se detecte si los aspirantes están lo suficientemente preparados. Se requiere un buen dominio de las técnicas y conocimientos de álgebra y de cálculo diferencial e integral.

Evaluación formativa Modalidad: Evaluaciones mediante exámenes escritos, tareas, lecturas, proyectos de investigación y desarrollo de prácticas en computadora donde se resolverán problemas con ayuda de software científico adecuado. En resumen, se considerarán: 1. Seguimiento del trabajo del estudiante mediante: a. Hojas de trabajo (tareas) b. Realización de trabajos dirigidos 2. Prácticas de laboratorio. 3. Realización de evaluaciones formativas que constarán de teoría y práctica. El profesor responsable de la materia, deberá de ayudar a pensar, inducir y deducir, analizar y

sintetizar, generalizar y abstraer; en definitiva, contribuye a desarrollar una amplia gama de actitudes que constituyen los pilares del pensamiento científico y del avance de la ciencia y la tecnología en particular. Al elaborar el seguimiento de cada alumno, deberá de tener en cuenta que la información que proporcione deberá ser consistente con los propósitos de cada unidad. En base a los trabajos del estudiante se utilizan las siguientes escalas descriptivas:

Escalas descriptivas para informar sobre resultados Domina: El estudiante puede reconocer los diferentes tipos de ecuaciones y tiene la capacidad de idear estrategias para resolver tanto ecuaciones diferenciales concretas, como problemas relacionados con estas. Domina parcialmente: El estudiante trabaja, pero no tiene los conocimientos o no muestra las habilidades al mismo nivel del trabajo realizado No domina: El estudiante no trabaja y no muestra conocimientos ni habilidades

Evaluación de certificación Un estudiante puede certificar si ha demostrado ser capaz de resolver problemas de modelación, por ejemplo, mediante ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales de segundo orden, sistemas no lineales sencillos, y de resolver las ecuaciones con las distintas técnicas mostradas en clase, como los métodos de transformada de Laplace, series de potencias, etc. Que tenga claridad en los conceptos básicos de la teoría: espacio fase, curvas integrales, matriz fundamental, problemas de valor inicial, etc. Que muestre un dominio aceptable en la utilización de software para resolver y visualizar soluciones de los modelos que planteen. Que tenga la capacidad de interpretar los resultados obtenidos después de plantear y resolver una ecuación diferencial. Los criterios de certificación corresponden al Comité asignado por la Coordinación de Certificación. Los criterios de evaluación aquí presentados son solamente recomendaciones a tomar en cuenta por dicho Comité.

Bibliografía Se indican con

los textos básicos para el estudiante y con

los textos básicos para el profesor.

1.

Blanchard, P. ,R. L. Devaney y G. R. Hall. Ecuaciones diferenciales. Ed. Thomson. México, 1999. (Texto introductorio, con énfasis en el análisis de las ecuaciones diferenciales desde el punto de vista de los sistemas dinámicos. Es recomendable para la parte de sistemas de ecuaciones diferenciales y su comportamiento cualitativo en el espacio fase)

2.

Borelli, R., Coleman, C. Ecuaciones diferenciales: una perspectiva de modelación. Oxford University Press México. 2002, 1a. Ed. (Texto introductorio, con énfasis en la visualización y en la modelación, con muchos ejemplos y ejercicios bastante interesantes)

3.

Boyce, William; Di Prima, Richard: Ecuaciones Diferenciales. 4a. Edición. Editorial Limusa. (Texto introductorio de nivel intermedio, incluye un tratamiento detallado de muchos de los teoremas. Una referencia obligada en cualquier curso de ecuaciones diferenciales)

4.

Braun, M.: Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Editorial Iberoamericana. 1990 (Texto introductorio; incluye aplicaciones y “casos de estudio” muy interesantes.)

5.

Frank Ayres, Jr.: Ecuaciones Diferenciales. Serie Schaum. Ed. McGraw-Hill (Este libro es de gran utilidad para los estudiantes, pues es un texto introductorio, en el que se resuelven una cantidad importante de problemas)

6.

Nagle, R., Saff, E., Snider, A: Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Addison-Wesley, 2001, 3ª. Ed. Incluye software.

7.

Rainville, Earl D.: Ecuaciones Diferenciales Elementales. Editorial Trillas.

8.

Beverly West, Steven Strogatz, Jean Marie McDill, John Cantwell. Interactive Differential Equations. Ed. Addison Wesley Longman. 2000. (Incluye software científico. Curso interactivo con applets sobre diversos problemas de ecuaciones diferenciales que se explican el libro de Nagle y Saff).

9.

Spiegel, Murray: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Serie Schaum. Ed. McGraw-Hill. (Este libro es de gran utilidad para los estudiantes, pues es un texto introductorio, en el que se resuelven una cantidad importante de problemas)

10.

Zill, D. G. y M.R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas de valor en la frontera. Edit. Thomson. México, 2001. (Este es un libro de fácil lectura, apto para estudiantes que comienzan a leer sobre ecuaciones diferenciales. Trae una gran cantidad de ejercicios y muestra ejemplos detallados de cómo resolver las ecuaciones y los problemas)

11.

S. L. Campbell y R. Haberman. Introducción a las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera. McGraw-Hill Interamericana, México 1998. (Nivel introductorio, incluye muchos ejemplos, omite demostraciones de muchos teoremas)

12.

C. H. Edwards y D.E Penney. Ecuaciones diferenciales. 2a Ed, Prentice may, México 2001. (Texto de nivel introductorio, con muchos ejemplos y aplicaciones interesantes, omite demostraciones de muchos teoremas. Incluye muchos códigos en Mathematica y Maple que permiten resolver problemas específicos de ecuaciones diferenciales)

13.

A. I. Kiseliov, G. I. Makarenko y M. L. Krasnov. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, 9a Ed., Mir (1992) (Texto de utilidad tanto para el estudiante como para el profesor, pues en él se presentan una gran cantidad de problemas de ecuaciones diferenciales resueltos detalladamente)