PROGRAMA DE ESTUDIOS

PROTOCOLO Fecha de elaboración Fecha de aprobación Fecha de aplicación

Mes /año 06/2004 Mes /año

Clave Nivel

Lic. ( X ). Mtría. ( ) Doc.(

Mes /año

Ciclo

Int. (

) Bas. ( X ) Sup. (

) )

Nombre del curso: Álgebra Lineal

Semestre: 2do.

Colegio: Ciencia y Tecnología

Plan de estudios del que forma parte: Ciclo Básico del Colegio de Ciencia y Tecnología

Propósito(s) general(es): Por su carácter de introductorio, este curso tiene como objetivo que el estudiante conozca los conceptos y algoritmos básicos del Álgebra Lineal que ayudan a resolver sistemas de ecuaciones lineales como la primera aproximación a la solución de sistemas que modelan problemas de la ingeniería. De forma complementaria, el estudiante manejará las herramientas y conceptos del Álgebra Lineal que son necesarios para cursar las materias de Ecuaciones Diferenciales, Cálculo Vectorial y Métodos Numéricos, en particular, conocerá las operaciones con matrices y determinantes, calculará valores y vectores propios, y conocerá el concepto de espacio vectorial y los elementos y propiedades que los caracterizan.

Carácter: Indispensable ( Opatativa (

Previas: Álgebra y Geometría Analítica. Cálculo Diferencial. X

) )

Asignaturas

Modalidad Seminario ( ) Taller ( ) Curso ( ) Curso-Taller (X) Laboratorio ( ) Clínica ( )

Posteriores: Cálculo Vectorial, Ecuaciones Diferenciales , Métodos numéricos, Probabilidad y Estadística.

Horas de estudio Teóricas Con docente Prácticas

48 horas 24 horas

1

Autónomas

Teóricas

24 horas

Prácticas

48 horas

Requerimientos para cursar la asignatura Conocimientos:

De Álgebra y Geometría Analítica: representación de conjuntos en el plano, lenguaje simbólico de conjuntos, raíces de polinomios, factorización, cónicas, planteamiento y resolución de sistemas lineales (2x2). De Cálculo Diferencial: funciones de una variable real y sus gráficas, funciones continuas, funciones diferenciables. Conceptos relacionados: dominio, rango, inyectividad, biyectividad, composición de funciones y funciones inversas.

Habilidades: Interpretar definiciones, teoremas, y resultados. Traducir del lenguaje común al lenguaje matemático. Manejo básico de software (Maple, Mathematica) (deseable)

Perfil deseable del profesor:

Formación matemática en licenciatura o postgrado, y experiencia docente en los temas del curso. Es deseable que el profesor tenga capacidad de interactuar con los estudiantes, con el fin de que los motive a conjeturar sobre hipótesis y resultados, y a fundamentar sus razonamientos. También conviene que el profesor muestre interés por acercar a los estudiantes a algunas aplicaciones sencillas de la materia, en disntintos rubros (economía, biología, ciencias sociales, ingeniería, física, etc.)

Academia responsable del programa: Matemáticas

Elaborado por: Rita Xochitl Vázquez Padilla.

2

PROGRAMA DE ALGEBRA LINEAL Mayo de 2005 INTRODUCCION El nacimiento del Álgebra Lineal moderna se remonta a mediados del siglo XX, cuando el surgimiento de las computadoras digitales permite abordar el análisis de cantidades enormes de datos mediante el uso de matrices. Es en esta época cuando se descubre la utilidad de la teoría algebraica para modelar situaciones de disciplinas tan alejadas en ese entonces de las Ciencias Exactas como lo eran la Economía ó las Ciencias Naturales. Actualmente en la Ingeniería, muchos modelos matemáticos tienen como primera fase un sistema lineal debido a la relativa facilidad con la que puede estudiarse el conjunto de soluciones de un sistema de este tipo. Por ello, el álgebra lineal resulta una herramienta fundamental en el desarrollo de las disciplinas científicas y tecnológicas y constituye con razón fundada uno de los pilares en los que se sustenta la parte matemática de los planes de estudio de las ingenierías. Aún cuando el uso eficiente de esta herramienta en el quehacer profesional del ingeniero es resultado de varios años de investigación en el área, es necesario iniciar el estudio del Álgebra Lineal trabajando sobre modelos sencillos y que resulten útiles para mostrar los conceptos fundamentales de la materia. Por ello, en este curso introductorio, los estudiantes conocerán los conceptos básicos del Álgebra Lineal aplicados frecuentemente a modelos simples. Se pretende hacer énfasis en la interpretación de resultados, de modo que el estudiante se entrene en la confrontación de las soluciones teóricas y aquellas que son factibles al contexto del modelo.

El curso se plantea como una mezcla flexible de teoría y práctica que permitirá al estudiante de segundo semestre del Ciclo Básico conocer las herramientas iniciales del Álgebra Lineal, indispensables en las materias posteriores de matemáticas, física e ingeniería de su carrera, además de iniciarlo en los aspectos formales de las matemáticas. Para ello, la teoría que se desarrollará pretende que el estudiante domine los aspectos operativos de las matrices, y que haciendo uso de estas, resuelva y analice las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. En el tema de Espacios vectoriales, el estudiante conocerá y expresará mediante herramienta algebraica las condiciones y los elementos que definen a un espacio vectorial. Será capaz de calcular bases y dimensiones de subespacios del espacio euclidiano ndimensional. Identificará los elementos de la matriz asociada a una transformación lineal y conocerá las transformaciones lineales del plano y el espacio. Asimismo, conocerá el problema de diagonalización y utilizará los conceptos de valor propio, vector propio y espacio propio para determinar si una matriz dada es o no diagonalizable analizando algunas aplicaciones.

3

Finalmente se plantea que el estudiante continúe practicando la expresión en lenguaje algebraico, la interpretación lógica de resultados, la modelación matemática de situaciones aplicadas y la argumentación de ideas, como parte de la formación matemática que requerirá a lo largo de su carrera. PROPOSITOS GENERALES Por su carácter de introductorio, este curso tiene como objetivo que el estudiante conozca los conceptos y algoritmos básicos del Álgebra Lineal que ayudan a resolver sistemas de ecuaciones lineales como la primera aproximación a la solución de sistemas que modelan problemas de la ingeniería. De forma complementaria, el estudiante manejará las herramientas y conceptos del Álgebra Lineal que son necesarios para cursar las materias de Ecuaciones Diferenciales, Cálculo Vectorial y Métodos Numéricos, en particular, conocerá las operaciones con matrices y determinantes, calculará valores y vectores propios, y conocerá el concepto de espacio vectorial y los elementos y propiedades que los caracterizan. METODOLOGÍA El trabajo en este curso se desarrollará a través de sesiones-clase en las que participarán el profesor y el grupo de estudiantes interactuando sobre dos direcciones: la construcción de conceptos y la adquisición de técnicas de cálculo. La primera requiere la participación del profesor para guiar a los estudiantes mediante el planteamiento de preguntas, la discusión en grupo, la exposición de ejemplos, la exposición teórica y finalmente, la asignación de ejercicios para resolver dentro y fuera de clase, en forma de tareas y evaluaciones formativas. El profesor deberá buscar una comunicación constante con el grupo para atender a sus necesidades y modular el ritmo de trabajo. En cuanto a la segunda, es necesario que el estudiante resuelva una gran variedad de ejercicios, y que asista constantemente a asesorías para mejorar sus técnicas de cálculo. Los estudiantes podrán apoyarse en un programa de software para verificar sus cálculos aritméticos y explorar ejemplos numéricos con ayuda del profesor en sesiones especiales de laboratorio. Conviene que los ejercicios asignados se aborden cuando sea posible, desde varias perspectivas (geométrica, algebraica, numérica) y dado que en el curso se aborda un número considerable de conceptos, se sugiere motivar la elaboración de mapas en los que se muestre la relación entre teoremas, definiciones y resultados. RECURSOS DIDACTICOS  

 

Libros de texto (ver bibliografía) Series de ejercicios diseñados por el profesor u obtenidos a partir de la bibliografía y agrupados según el objetivo a evaluar: ejercicios para resolver en clase, tareas, evaluaciones formativas, ejercicios para reforzar temas en asesoría, entre otros. Paquetes de cómputo (Maple, Matlab, Matemática) y actividades preparadas por el profesor para ser implementadas en el laboratorio. Recursos necesarios para exposición: pizarrón, computadora y proyectores. 4

EVALUACION DE APRENDIZAJES 1. Evaluación diagnóstica inicial Para indicar al estudiante si cuenta o no con los requerimientos del curso, se aplicará un cuestionario escrito para resolverse en la primera sesión. Los criterios e indicadores a evaluar son: 1. Plano euclidiano: representar un conjunto definido mediante lenguaje algebraico y notación de conjuntos, y viceversa. 2. Funciones: calcular el dominio, rango, la composición, y determinar la existencia de la inversa de una función de cualquiera de los tipos que se analizan en Cálculo Diferencial o Álgebra y Geometría Analítica, así como representarla gráficamente. 3. Polinomios: factorizar completamente un polinomio sobre el campo de los números reales. 4. Simbología y lenguaje matemático: plantear ecuaciones a partir de situaciones de aplicación. 5. Solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. 6. Solución de sistemas lineales de 2x2 Si el profesor lo considera conveniente, se entrevistará al estudiante para complementar el diagnóstico. 2. Evaluaciones Formativas Una por cada unidad, preferentemente. Las evaluaciones formativas servirán para indicar al estudiante si ha cubierto o no los objetivos específicos de cada unidad. Esta distribución responde al hecho de que las unidades del curso se han conformado de acuerdo a los temas que comparten técnicas o conceptos. Es recomendable dar a la última evaluación un carácter integrador, incluyendo reactivos que requieran el dominio de dos o más de las unidades anteriores (en particular, los ejercicios propios de la última unidad). Será útil evaluar mediante un cuestionario escrito con ejercicios cuyo nivel de dificultad sea comparable o superior al de la evaluación de certificación. Es importante que el profesor haga una adecuada retroalimentación de los resultados con los estudiantes. 3. Evaluación para la certificación Se sugiere una evaluación escrita e individual, con reactivos basados en los objetivos específicos por unidad que se enlistan a continuación. La unidad 1 sirve como herramienta para las posteriores, de modo que no se tomará en cuenta para la certificación. El instrumento deberá centrarse en evaluar un mínimo de contenidos principalmente conceptuales y técnicos, sin descuidar el aspecto de razonamiento matemático, que 5

preferentemente se incluirá en forma de interpretación de resultados en un problema de aplicación. Se sugiere que en esta evaluación se considere la siguiente distribución: a) Un reactivo en el que se pida modelar una situación mediante un sistema lineal. b) Dos reactivos sobre el tema de sistemas de ecuaciones lineales y matrices, y a lo más uno de estos reactivos será de nivel operativo o de cálculo. c) A lo más 2 reactivos para evaluar el tema de espacios vectoriales. En tanto sea posible, los reactivos no pedirán que el estudiante demuestre resultados y en todo caso, las demostraciones serán sencillas. d) A lo más 2 reactivos para evaluar el tema de transformaciones lineales. e) Dos reactivos para el tema de valores y vectores propios, uno de ellos sobre diagonalización.

El diseño del Dictamen Cualitativo deberá contener información suficiente y accesible para el estudiante respecto a su desempeño (ver formato anexo). Indicadores a evaluar en la certificación El estudiante: 1.1

Representará mediante una matriz un conjunto de datos y obtendrá información de los mismos a partir de la forma matricial.

1.2

Manejará las operaciones entre matrices, (sin el uso de la computadora) así como el cálculo de determinantes y de matrices inversas, con y sin uso de la computadora.

1.3

Establecerá un sistema de ecuaciones lineales que permitan resolver una situación en contexto aplicado. Interpretará el conjunto solución y lo adecuará a las condiciones del problema en contexto.

1.4

Resolverá un sistema de ecuaciones usando la forma matricial, la reducción gaussiana y/o usando la matriz inversa cuando sea posible, y obtendrá en el caso de los sistemas homogéneos, una base del espacio de soluciones.

1.5

Conocerá las relaciones más importantes que pueden establecerse entre los conceptos: combinación lineal, conjunto generador, independencia lineal, bases y dimensión, a través de ejemplos concretos en espacios vectoriales euclidianos (de dimensión finita). Expresará esas relaciones mediante lenguaje algebraico.

1.6

Conocerá el procedimiento para cambiar de una base a otra y expresará las coordenadas de un vector en una base dada.

6

1.7

Podrá determinar, dada una matriz, la transformación lineal (entre espacios euclidianos) que representa y viceversa.

1.8

Obtendrá información sobre esta transformación (rango, dominio, codominio, núcleo y rango, efecto geométrico en los casos en que convenga, inyectividad, biyectividad, inversa de la transformación, efecto en la base), utilizando la representación matricial y los elementos análogos en matrices.

1.9

Identificará las aplicaciones que se modelan como efecto de transformaciones lineales y utilizará la herramienta descrita para dar información sobre dichas aplicaciones.

1.10

Conocerá las condiciones para que una matriz sea ortogonalmente diagonalizable, y resolverá una aplicación de la diagonalización (cálculo de potencias o aplicación a cónicas y transformaciones de ejes de coordenadas) usando la herramienta de valores y vectores propios. Para ello,

1.11

Podrá calcular valores propios, vectores propios, y bases (y dimensiones) de los espacios propios asociados a una matriz.

7

Nombre de la asignatura: Álgebra Lineal Ciclo: 2do. Semestre

Clave de la asignatura: MAT03

Propósito general de la asignatura:

Por su carácter de introductorio, este curso tiene como objetivo que el estudiante conozca los conceptos y algoritmos básicos del Álgebra Lineal que ayudan a resolver sistemas de ecuaciones lineales como la primera aproximación a la solución de sistemas que modelan problemas de la ingeniería. De forma complementaria, el estudiante manejará las herramientas y conceptos del Álgebra Lineal que son necesarios para cursar las materias de Ecuaciones Diferenciales, Cálculo Vectorial y Métodos Numéricos, en particular, conocerá las operaciones con matrices y determinantes, calculará valores y vectores propios, y conocerá el concepto de espacio vectorial y los elementos y propiedades que los caracterizan.

Propósitos particulares de cada unidad:

UNIDAD 1

Que el estudiante adquiera mediante el manejo de los vectores y sus propiedades, una herramienta útil para visualizar ejemplos y adquirir conceptos a lo largo del curso. Para ello conocerá las operaciones usuales de vectores en el plano y el espacio tridimensional, así como la representación gráfica y vectorial de distintos subconjuntos; realizará operaciones básicas con vectores, calculará la norma y dirección de un vector, conocerá el concepto de ortogonalidad entre vectores y podrá verificar si un conjunto es o no ortogonal, como requisito para abordar el problema de diagonalización de la última unidad. UNIDAD 2.

Para que el estudiante logre modelar un problema aplicado mediante un sistema de ecuaciones, lo resuelva e interprete su solución, estudiará las matrices (diagonales, ortogonales, simétricas), las operaciones matriciales y el cálculo de determinantes, así como el algoritmo de Gauss-Jordan. Con el fin de conocer otros métodos de solución como la Regla de Cramer, el estudiante calculará determinantes, y conocerá sus propiedades. Finalmente implementará en la computadora las técnicas anteriores, y describirá el conjunto solución de un sistema lineal valorando sus soluciones. UNIDAD 3.

Para apropiarse del concepto de espacio vectorial y hacerlo una herramienta útil en su carrera, el estudiante conocerá su definición, sus propiedades y analizará ejemplos de espacios vectoriales de dimensión finita. Expresará algebraicamente las condiciones de los elementos relacionados a estos espacios, tales como bases y dimensión, para calcularlas en ejemplos específicos. Abordará el problema de cambio de base y podrá calcular bases ortonormales de un espacio, ambos temas indispensables para el desarrollo de las unidades 4 y 5. UNIDAD 4.

El estudiante extenderá su conocimiento de funciones a transformaciones lineales entre espacios de dimensión finita. Para ello, expresará la propiedad de linealidad en ejemplos específicos de transformaciones lineales y asociará a cualquier transformación lineal la matriz que la representa y viceversa; asimismo, podrá

8

determinar cuándo una transformación es inyectiva o sobreyectiva y conocerá el concepto de isomorfismo entre espacios vectoriales. UNIDAD 5.

Para resolver el problema de diagonalización y estudiar ejemplos sencillos de modelos dinámicos, el estudiante calculará valores y vectores propios, bases y dimensión de espacios propios y determinará si una matriz es diagonalizable (o diagonalizable ortogonalmente), expresándola en forma factorizada. Asismismo, examinará algunas aplicaciones de las formas cuadráticas tales como la rotación de ejes coordenados. Temas y subtemas Unidad 1. Vectores en el plano y el espacio Representación de vectores en 3 y 2 Representación de subconjuntos del espacio Operaciones con vectores Suma, resta, producto por escalar, producto cruz. Norma y dirección de un vector Producto interno usual en 3 y 2 , ortogonalidad Ecuaciones paramétricas de planos y rectas en el espacio. Unidad 2. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 2.1 2.2 2.3 2.4

Definición de matriz de mxn. Operaciones con matrices: suma, producto por escalar, producto. Determinantes: desarrollo por cofactores. Matrices invertibles. Inversa de una matriz cuadrada. Planteamiento y resolución de sistemas lineales de mxn 2.4.1 Definiciones y método de Gauss-Jordan 2.4.2 Implementación en la computadora 2.4.3 Problemas de aplicación.

Unidad 3. Espacios vectoriales 3.1

3.2

Definición y ejemplos de espacio vectorial (sobre el campo de los reales) 3.1.1 Subespacios 3.1.2 Independencia lineal 3.1.3 Bases y dimensión. Bases ortonormales. Sistemas de coordenadas. Matriz de cambio de base. Espacio nulo e Imagen de una matriz

Unidad 4. Transformaciones lineales Definición y ejemplos Transformación lineal representada por una matriz dada. Matriz asociada a una transformación lineal Transformaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas Composición de transformaciones. Inversa de una transformación lineal Núcleo y rango Aplicaciones Unidad 5. Valores y vectores propios 5.1

5.2

5.3

Valores propios. 5.1.1 Definición y ejemplos. 5.1.2 Ecuación característica. Cálculo de valores propios. Cálculos en la computadora. Vectores propios. 5.2.1 Definición y ejemplos. 5.2.2 Espacios propios asociados a un valor propio Diagonalización 5.3.1 Matrices semejantes. 5.3.2 Matrices diagonalizables. Diagonalización de una matriz. 5.3.3 Diagonalización ortogonal. 5.3.4 Aplicación a la clasificación de cónicas.

9

Metodología de la enseñanza: Clase teórica con participación activa de los estudiantes. Asesorías, práctica y sesiones en el laboratorio de cómputo.

Modalidades de evaluación de la asignatura: Inicial, diagnóstica y para la certificación.

Bibliografía: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Grossman, Álgebra Lineal. Mc.Graw Hill, 1996, 5a. Anton, Álgebra Lineal. Anton. Barbolla, Sanz. Álgebra Lineal y Teoría de matrices. Pearson, Madrid, 1998. Leon. Linear Algebra. David Lay. Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Kreyszig. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Poole. Álgebra Lineal. Friedberg. Linear Algebra. Prentice-Hall Strang. Álgebra Lineal y sus aplicaciones.

1. BIBLIOGRAFIA BASICOS 1

Tipo: Básico para estudiantes

Existencia: En biblioteca

ISBN: 970-10-0890-1

Álgebra Lineal Grossman Mc Graw Hill Mexico, 1990

Observaciones: Exposición clara, accesible para los estudiantes que han certificado las materias del primer semestre. Orden tradicional, numerosos ejercicios básicos y de práctica, con soluciones, así como ejemplos. Contiene actividades para desarrollar con calculadora o matlab, (recomendables sobre todo si en el curso se hará uso de la computadora). Contiene cuadros de resumen, útiles para los estudiantes como referencia, y pequeños tests de autoevaluación. 2

Tipo: Básico para estudiantes.

Existencia: En biblioteca

ISBN:

Álgebra Lineal Anton

Observaciones: Exposición clara, accesible para los estudiantes que han certificado las materias del primer semestre. Orden tradicional. Contiene cuadros de resumen, útiles para los estudiantes como referencia, y muchos ejemplos resueltos y ejercicios con solución.

COMPLEMENTARIOS

10

3

Tipo: Consulta para estudiantes

Existencia: En biblioteca

ISBN:

Linear Algebra Leon

Observaciones: Texto en inglés. Aborda rápidamente el tema de matrices y expone en fichas, numerosas aplicaciones sencillas a economía, física, cómputo, biología, redes, etc. También contiene ejercicios para usar el software Matlab. Los resultados principales del Álgebra Lineal básica se exponen en forma sintética y funcionan como referencia para quien los haya visto en clase. Las secciones de ejercicios son de niveles sencillo a medio. El orden es el tradicional. Tiene ejemplos resueltos muy ilustrativos (en particular en la sección de Diagonalización).

4

Tipo: Consulta para estudiantes.

Existencia: En biblioteca

ISBN: 0-201-70970-8

Algebra Lineal y sus aplicaciones Lay, David.

Observaciones: Cambia el orden tradicional e inicia en los primeros capítulos con un panorama general de varios temas “mezclados”: sistemas de ecuaciones (desde un contexto aplicado), espacios vectoriales y matrices. En los capítulos siguientes profundiza más en cada uno de estos temas. Esta bien dirigido a estudiantes de ingeniería y es una buena sugerencia para un estudiante que quiere trabajar de forma autónoma, pues la exposición es clara y sencilla, pero necesitará seguir el orden del libro casi rigurosamente de principio a fin, (de otro modo, la consulta se vuelve un poco confusa). Según el autor, está diseñado con el objetivo de que el estudiante aprenda por sí mismo el Algebra Lineal. Tiene un disco compacto para trabajar actividades y proyecto, y una página de internet en donde pueden acceder a aplicaciones de varios tipos. 5

Tipo: Básico para estudiantes. Referencia para el profesor.

Existencia: En biblioteca

ISBN:

Álgebra Lineal Poole Observaciones: Un texto en orden tradicional, pero con novedosos ejemplos y aplicaciones, esquemas y dibujos. De lectura accesible para los estudiantes. Vale la pena ver los ejercicios que se refieren a aplicaciones de física y computación.

OTRAS REFERENCIAS 6

Tipo: Referencia para el profesor

Existencia: No está en biblioteca

ISBN: 84-8322-008-3

Álgebra Lineal y Teoría de Matrices Rosa Barbolla, Paloma Sanz ED. Pearson Madrid, 1998 Observaciones: Texto concebido originalmente para uso de economistas. Contiene definiciones, demostraciones y teoremas expuestos de forma tradicional y sintética. Útil como referencia para el profesor, pero de difícil acceso para estudiantes de los primeros niveles en la UCM en lo general si se pretende usar como texto. El orden es distinto al tradicional: inicia con espacios vectoriales, con el fin de aplicar lo más pronto posible el Álgebra lineal simbólica a otras ciencias, alcanzando pronto un importante grado de abstracción, para ampliar el

11

espectro de los objetos que pueden manejarse en áreas como econometría, sistemas dinámicos, etc. En particular, hace un tratamiento más extenso que lo normal sobre la teoría de matrices (derivación matricial, producto de Kroenecker, etc.) Incluye resúmenes que pueden ser útiles como referencia para los estudiantes.Los primeros capítulos contienen la información necesaria sobre espacios vectoriales y pueden servir como guía una vez que los estudiantes los han abordado en clase. Ejercicios típicos de niveles básico a medio, incluyendo demostraciones. No abundan las “aplicaciones” (problemas en contexto). Los ejercicios se centran sobre todo en aplicaciones dentro del Álgebra Lineal. 7 Tipo: Consulta para estudiantes. Existencia: No está en biblioteca ISBN: Matemáticas avanzadas para ingenieros Kreyszig Observaciones: Un texto que contiene resúmenes de algunos de los resultados más importantes de las materias de matemáticas para ingeniería (ecuaciones diferenciales, cálculo vectorial, álgebra lineal, etc.) Tiene ejemplos resueltos y una lista mínima de ejercicios. En la parte de Álgebra Lineal funciona bien para consulta (explica el método de eliminación gaussiana en forma clara y breve). 8

Tipo: Referencia para el profesor

Existencia: No está en biblioteca

ISBN: 0-13-008451-4

Linear álgebra Friedberg Observaciones: Texto muy recomendable, utilizado en las carreras de ciencias tradicionalmente. 9

Tipo: Referencia para el profesor Consulta para estudiantes

Existencia: No está en biblioteca

ISBN: 0-201-03436-0

Álgebra Lineal y sus aplicaciones Strang

Observaciones: Buena referencia para el profesor y el estudiante. Explica de forma clara y comprensible las ideas fundamentales del Álgebra Lineal básica que sustentan los teoremas y resultados. El orden de los temas es el tradicional. Hace énfasis en el tema de Proyecciones ortogonales y mínimos cuadrados. Ejercicios de niveles básico a difícil, ilustrativos (muchos de ellos involucran conceptos de cálculo), centrados en aplicaciones al Álgebra Lineal y a otras ramas (Ecuaciones diferenciales). Es un libro que un estudiante dedicado podría aprovechar mucho para el estudio autónomo, aunque en general, el nivel que se requiere para abordarlo es de al menos un año y medio de cursos de matemáticas superiores.

PLANEACION ESPECÍFICA Y PROPÓSITOS POR SUBTEMA Unidad 1. Vectores

No. De sesiones: 4

Horas programadas: 6

1.1 Que el estudiante conozca y maneje la representación geométrica y vectorial de conjuntos de vectores en R3 y R2, para que pueda visualizar conceptos como bases y subespacios vectoriales en ejemplos específicos, para ello deberá además: 1.2 Realizar las operaciones básicas con vectores (suma, resta, producto por escalar), calcular la norma y la dirección de un vector.

1.3 Que conozca, comprenda y aplique el concepto de ortogonalidad entre vectores y que utilice el producto punto para verificar la ortogonalidad, como requisito para abordar el problema de diagonalización ortogonal de la última unidad.

12

Unidad 2. Sistemas de No. De sesiones: 10 ecuaciones lineales y matrices.

Horas programadas: 15

2.1 Que el estudiante conozca la definición de matriz de mxn y algunos tipos particulares de matrices cuadradas (diagonales, ortogonales, simétricas); manejará a nivel de definición y a nivel operativo las operaciones básicas con matrices (suma, producto, producto por escalar) que servirán como lenguaje común durante todo el curso. 2.2 Para resolver sistemas de ecuaciones en forma matricial, el estudiante aplicará el algoritmo para obtener la forma escalonada y escalonada reducida de una matriz (Eliminación de Gauss-Jordan), conocerá un criterio de invertibilidad a partir de la eliminación gaussiana y el algoritmo para obtener la inversa de una matriz cuadrada. 2.3 Con el fin de conocer otros métodos de solución como la Regla de Cramer, el estudiante calculará determinantes, conocerá las propiedades que le permiten hacer cálculos más eficientes, y lo usará para calcular la matriz inversa. 2.4 Implementará en la computadora las técnicas anteriores para resolver ejercicios que involucren sistemas grandes con coeficientes de varios decimales, explorando algunas aplicaciones (modelos de insumo, de Leontief, matrices de incidencia, codificación, entre otros).

Unidad 3. Espacios vectoriales 3.1

3.2 3.3

3.4 3.5

No. De sesiones: 8

Horas programadas: 12

Para comprender el concepto de espacio vectorial, el estudiante: expresará algebraicamente las condiciones que debe cumplir un conjunto para ser espacio vectorial analizando ejemplos de espacios de dimensión finita y, Expresará algebraicamente la condición de independencia lineal para identificar una base de un espacio vectorial y su dimensión . Para resolver el problema de cambio de base (esencial en las aplicaciones) el estudiante podrá extender un conjunto linealmente independiente a una base, sabrá cómo pasar de una base a otra e identificará las coordenadas de un vector en una base dada. El estudiante podrá encontrar una base ortonormal que servirá para resolver el problema de diagonalización ortogonal (unidad 5). El estudiante podrá calcular los espacios fundamentales de una matriz, (espacio nulo, columna y renglón) encontrando bases y dimensión (nulidad y rango) que serán ampliados en la siguiente unidad.

Unidad 4. Transformaciones lineales

No. De sesiones: 4

Horas programadas: 6

4.1 En el desarrollo de la unidad será necesario que el estudiante distinga una transformación lineal de una no lineal, a partir de la condición algebraica que la 13

define y en ejemplos sencillos, de su acción geométrica. Para ello estudiará ejemplos concretos de unas y otras transformaciones y podrá demostrar cuándo una transformación cumple la condición de linealidad. 4.2 Para establecer la analogía entre matrices y transformaciones lineales, obtendrá la matriz que representa a una transformación y viceversa. 4.3 Como parte del estudio de la unidad, determinará la inyectividad o biyectividad de una transformación; encontrará su núcleo y su rango, el dominio y el codominio, y conocerá las transformaciones rígidas del plano y el espacio. 4.4 Analizará en grupo algunos ejemplos aplicados que se modelan a través de transformaciones lineales (cambio demográfico, y otros)

Unidad 5. Valores y Vectores propios No. De sesiones: 6

Horas programadas: 9

5.1 Para establecer el lenguaje de la unidad, el estudiante conocerá la definición de valor propio, vector propio, espacio propio y los calculará en ejemplos concretos. 5.2 A manera de ilustrar estos conceptos, interpretará geométricamente la noción de vector propio de una matriz 2x2 . 5.3 Para abordar algunas aplicaciones en las que se hace patente la utilidad de la diagonalización, el estudiante conocerá y expresará las condiciones para que una matriz sea diagonalizable, 5.4 Determinará si una matriz es diagonalizable y, en caso de serlo, podrá encontrar la matriz de diagonalización y la matriz diagonal semejante. Finalmente, 5.5 Utilizará la diagonalización para calcular potencias de matrices ilustrándolas con alguna aplicación sencilla (Cadenas de Markov). 5.6 Conocerá las condiciones para que una matriz sea ortogonalmente diagonalizable y podrá analizar ejemplos concretos de cambio de coordenadas para obtener la forma canónica de una cónica.

Ejes transversales       

Exposición oral y escrita de ideas Lectura y escritura simbólica para representar conceptos generales y secuencias de razonamiento Generalización de conceptos Uso de varios registros para complementar un concepto (registro geométrico, algebraico, verbal, etc.) Desarrollo del pensamiento crítico para valorar las estrategias óptimas que permiten resolver un problema; “Matematización” de la realidad cotidiana (reconocer situaciones que pueden resolverse o modelarse con el uso de una herramienta matemática particular), Interpretación de resultados

14