Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 5

22

Der Ansatz von Goodman und Markowitz GOODMAN und M ARKOWITZ [1952] sind der Ansicht, daß die 2. Bedingung von ARROW bei realen Entscheidungen nicht immer "irrelevant" sein muß. Beispiel: Ein Gastgeber muss sich entscheiden, ob er entweder Kaffee oder Tee serviert. Da er weiß, dass der Gast A Kaffee und der Gast B Tee präferiert, müsste die soziale Wohlfahrtsfunktion Kaffee und Tee den gleichen Rang zuweisen. Der Gastgeber hat aber weitere Informationen über die Rangvorstellung seiner Gäste: A: Kaffee ï Tee ï Kakao ï Milch B: Tee ï Kaffee, Kakao ï Kaffee, Milch ï Kaffee, Tomatensaft ï Kaffee, Wasser ï Kaffee Da der Gastgeber weiß, dass der Gast B viele Getränke dem Kaffee vorzieht, wird er sich dafür entscheiden, Tee zu servieren. Tee ïï Kaffee Obwohl die Alternativen Kakao, Milch, etc. irrelevant sind in dem Sinne, daß sie nicht serviert werden, sagen sie aber doch etwas über die Strenge der Präferenz aus und beeinflussen die Entscheidung des Gastgebers. ♦

23

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 5

Aufgabenstellung (nach GOODMAN und M ARKOWITZ) § Gegeben seien K Wähler 1, 2, 3, ..., K, von denen jeder L k "Ermessens-Niveaus" (level of discretion) hat. Anders ausgedrückt, die Nutzenfunktion jeder Person k, k = 1, ..., K, kann nur endliche Zahlen, die Zahlen 1, 2, ..., L k als Funktionswert annehmen. § Mit d ki sei das Ermessens-Niveau bezeichnet, das die Person k der Alternative i zuordnet; d ki = 1, ... L k . Mit wachsendem Ermessens-Niveau steigt die Präferenz. § Mit rki werde der Rang der Alternative a i bezeichnet, den der Wähler k ihr gegeben hat. Dabei müssen die Informationen d ki berücksichtigt werden. Der Einfachheit halber wird normalerweise rki = d ki gesetzt. Die Abstände zwischen den rki spielen nun eine Rolle! § Die soziale Wohlfahrtfunktion ist nach GOODMAN und MARKOWITZ K

u (i) = ∑ rki . k =1

(5.2)

24

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 5

Diese soziale Nutzenfunktion genügt den folgenden 3 Bedingungen: Bedingung 1 (Pareto-Optimalität), vgl. Anforderung 3 von ARROW Bedingung 2 (Symmetrie) Die soziale Ordnung bleibt unverändert, wenn Zeilen der Matrix R = ( rki ) vertauscht werden. Bedingung 3 Die soziale Ordnung zwischen zwei Alternativen a i und a i bleibt unverändert, wenn der Wähler k die Rangwerte rki und rkj durch rki + c und rkj + c ersetzt. Dabei ist c eine natürliche Zahl für die gilt: 1 ≤ rki + c ≤ max{L k } für alle i . k

Entfällt die Bedingung 2, so soll nach GOODMAN und MARKOWITZ die soziale Wohlfahrtsfunktion die Form K

u (i) = ∑ w k rki k =1

(5.3)

annehmen, wobei die w k ' s positive konstante Gewichte sind, die die Bedeutung der einzelnen Personen widerspiegeln.

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 5

25

< 5.10 > Eine aus 9 Personen zusammengesetzte Gruppe soll die Alternativen a 1 , a 2 und a 3 bewerten. Dabei wählen: § 3 Personen wählen die Ordnung a1 P a2 P a3 § 3 Personen wählen die Ordnung a2 P a3P a1 § 3 Personen wählen die Ordnung a3 P a1 P a2. Bei Anwendung der Mehrheitsregel würde diese Situation nicht zu einer transitiven kollektiven Präferenzordnung führen (Wahlparadoxon!!) Hier wählen wir die einzelnen Personen zusätzlich die folgenden Ermessensniveaus aus: Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑

Alternative a1 a2 a3 4 6 5 10 12 11 3 2 1 8 10 9 7 5 3 6 3 9 10 8 6 4 1 7 8 5 11 60 52 62

Tabelle 5.3: Ermessensniveaus der Personen

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 5

26

v Durch Änderung der Abstände zwischen den Rangwerten läßt sich die soziale Präferenzordnung manipulieren. Das Beispiel wird nun so abgeändert, dass die Personen 1, 2 und 4 ihre Bewertung wie folgt abändern: Person 1 2 4 Restl. P ∑

Alternative a1 a2 a3 1 6 2 2 12 4 3 10 5 38 24 37 44

52

48

Tabelle 5.4: Ermessensniveaus der Personen 1, 2, 4 ü Eine praktische Umsetzung des Vorschlags von GOODMAN und M ARKOWITZ ist nur schwer möglich, da es keinen vernünftigen Weg zur Festlegung der Ermessens-Niveaus gibt. ü Bedenklich ist auch, dass die max0imale Anzahl der Niveaus für die einzelnen Wähler unterschiedlich sein darf. Mit der Höhe des Niveaus steigt aber das Gewicht der Alternativen in der sozialen Nutzenfunktion.