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54

3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für die Risikoeinstellung å Risikoverhalten bisher grob kategorisert nach Risikoneutralität, -sympathie und –aversion ⇒ bei Risikoaversion: E(X) < SÄ ⇒ Risikoprämie

π = E(X) - SÄ

å Versuch von K.J. ARROW und J.W. PRATT [1964] eine Maßgröße für differenziertere Aussagen zu entwickeln ⇒

Arrow-Pratt-Maß r(x) für die Riskioaversion an der Stelle x ∈ R: u ′′(x ) r (x ) = − u′( x )

lokale

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Verlauf des E(X) BERNOULLIund SÄ Nutzens u(x) E(X)... linear = SÄ E(X)... streng konkav > SÄ E(X)... streng konvex < SÄ

55

EinstelARROWRisikolung zum PRATTprämie Risiko Maß r(x) Risikoπ = 0 r(x) = 0 neutral Risikoπ > 0 r(x) > 0 avers Risikoπ < 0 r(x) < 0 freudig

Welche Risikoeinstellung hat ein Entscheider mit der Nutzenfunktion u( x ) = 2x + 10 ? Bestimmen Sie das ARROW-PRATT-Maß für diese Nutzenfunktion.

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56

3.2.9 Bernoulli-Prinzip und Fuzzy-Ergebnisse s1

s2

s3

p1 = 0,5

p2 = 0,3

p3 = 0,2

a1 (170; 180; 200;

(70; 83; 90; (-110; -97; -90; 220; 225; 230) 100; 110; 120) -77; -60, -50)

a2 (140; 155; 165; (85; 93; 100;

(-85; -80; -70; -58; -50; -40)

a3 (120; 135; 145; (115; 130; 135;

150; 160; 170) 140; 145; 150)

(-30; -20; -10; 0; 5; 10)

(85; 90; 100; (85; 93; 100; 110; 115; 125) 105; 108; 115)

(-15; -10; -5; 5; 10; 15)

175; 180; 190) 110; 115; 125)

a4 a5

(45; 48; 50; 53; 58; 60)

(40; 45; 50; 50; 53; 55)

(35; 40; 45; 50; 55; 60)

å Bernoulli – risikoneutraler Entscheider

~ ~ Erwartete Gewinne E[Xi ] a1 (84 ; 95,5 ; 109 ; 124,6 ; 133,5 ; 141) a2 (78,5 ; 89,4 ; 98,5 ; 108,9 ; 114,5 ; 124,5) a3 (88,5 ; 102,5 ; 111 ; 117 ; 124,5 ; 132) a4 (65 ; 70,9 ; 79 ; 87,5 ; 91,9 ; 100) a5 (41,5 ; 45,5 ; 49 ; 51,5 , 55,9 ; 58,5)

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1

5

4

2

3 1

λ=0,5

ε=0,05

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

å a1, a2, a3, a4 f ρ a5 (mit ρ = ε) å a 2 f ε a 4, a 3 f ε a 4, a1 f ε a 4, a 3 f ε a 2, a1 f ε a 2 d.h. Entscheidung zwischen a1 und a3 ??!! å Niveau-Ebenen-Verfahren:

ˆE1 = 84 + 95,5 + 109 + 124,6 + 133,5 + 141 = 114,6 6 88,5 + 102,5 + 111 + 117 + 124,5 + 132 Eˆ 3 = = 112,58 6

57

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58

å Bernoulli – risikoscheuer Entscheider ( x + 110) 2 u(x) = − + 2( x + 110) 340

~ ~ ~ d.h. Umrechnung von Xij = G (a i , s j ) in Uij :

s1 p1 = 0,5 a1 a2 a3 a4 a5

s2 p2 = 0,3

s3 p3 = 0,2

(329; 333; 337; (265; 276; 282; (0; 26; 39; 340; 340; 340) 290; 298; 304) 63; 93; 109) (316; 323; 328; (278; 285; 290; (48; 57; 75; 331; 333; 335) 298; 301; 308) 96; 109; 126) (304; 313; 319; (301; 311; 313; (141; 156; 171; 321; 326; 329) 316; 319; 321) 184; 191; 198) (278; 282; 290; (278; 285; 290; (163; 171; 178; 298; 301; 308) 294; 296; 301) 191; 198; 204) (239; 243; 245; (234; 239; 245; (228; 234; 239; 248; 253; 255) 245; 248; 250) 245; 250; 255)

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59

Fuzzy-Nutzenerwartungswerte ~ ~ ~ ~ Eij = E[U ij] = ∑ U ij ⋅ p j j

a1

(244; 254; 261; 270; 278; 283)

a2

(251; 259; 266; 274; 279; 285)

a3

(271; 281; 288; 292; 297; 301)

a4

(255; 261; 268; 275; 279; 285)

a5

(235; 240; 244; 246; 251; 253) 5

1

1 2

4

3

=0,5

=0,05

240

250

260

270

280

290

å a3 f ε a2, a3, a4, a5 å a3 f ρ a2, a3, a4, a5 (mit ρ = λ) å Zur Anwendung des Bernoulli-Prinzips reichen Ergebnisse in Form von Fuzzy-Intervallen aus!!!

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60

3.3 Entscheidungen bei Fuzzy-Wahrscheinlichkeitsverteilung sj s1 s2 s3

Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten ~ P(s j) = (pej; p?j; p1j; p1j; p j?; pej )e, ? ~ P(s1) = (0,45; 0,48 ; 0,49 ; 0,51 ; 0,53 ; 0,55)ε,λ ~ P(s 2 ) = (0,26 ; 0,28 ; 0,29 ; 0,3 ; 0,31 ; 0,33) ε,λ ~ P(s3 ) = (0,17 ; 0,18 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,21 ; 0,23)ε,λ

erweiterte Multiplikation: (a ε , a λ , a1, a1, a λ , a ε )ε,λ ⊗ ( bε ,b λ ,b1 , b1 , b λ , b ε )ε,λ = (a ε ⋅ bε , a λ ⋅ bλ , a1 ⋅ b1, a1 ⋅ b1, a λ ⋅ b λ , a ε ⋅ b ε ) ε,λ

~A å E i = (E εi ; E iλ ; E1i; E1i; E iλ ; Eiε ) ε,λ ~ ~ ~ = Ui1 ⋅ P (s1) ⊕ ... ⊕ Uin ⋅ P (s n ), wobei n 1 E i = ∑ u ij ⋅ p , j j=1 n 1 E i = ∑ u ij ⋅ p j , j=1

n λ λ λ E i = ∑ u ij ⋅ p , j j=1 n λ λ λ E i = ∑ uij ⋅ p j , j=1

n ε ε ε E i = ∑ uij ⋅ p j j=1 n ε ε ε E i = ∑ uij ⋅ p j . j=1

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Mit Tabelle 3.7 von Seite 64 (Beispiel 3.1) Fuzzy-Gewinnerwartungswerte ~ EiA = ( Eei ; Ei? ; E1i; Ei1; Ei? ; Eie )e,? a1

(106,9 ; 114,4 ; 115,9 ; 121,1 ; 125,5 ; 130,1)

a2 (93,6 ; 100,2 ; 101,75 ; 106,2 ; 110,05 ; 114,35) a3 (102,2 ; 109,4 ; 112,1 ; 116,5 ; 120,8 ; 126,4) a4

(73,77 ; 78,96 ; 81,03 ; 84,15 ; 87,27 ; 91,41)

a5

(44 ; 47 ; 49 ; 50,5 ; 52,5 ; 55,5)

1

5

4

2

3 1

λ=0,5

ε=0,05

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

å a1 f ε a2, a3, a4, a5 å a1 f ρ a4, a5 (mit ρ = ε) å a1 f ρ a2 (mit ρ = λ)

61

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62

bisher: Verwendung der Angaben des Entscheiders als FuzzyWahrscheinlichkeiten Problem?? keine Garantie, daß sich die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den einzelnen Niveaus zu 1 addiert Resultat: ~ einfach zu berechnende Fuzzy-Erwartungswerte E iA ; aber nur Näherungslösung, da Spannweiten im Vergleich zu Erwartungswertkonzept zu groß

daher Berücksichtigung der Bedingung n

α ∑ p j =1

j =1

Durch die Berücksichtigung dieser Restriktion wird die Fuzziness der Erwartungswerte i.a. geringer. D.h.: Präferenzaussagen nach der ρ-Präferenz mit dem Niveau ρ = ε werden verschärft.

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63

Idee: å α-Schnitte eines Fuzzy-Intervalls auf ε-, λ- und 1Niveau beschreiben Intervall möglicher Ergebniswerte å Auswahl der Werte so, daß sich Summe von 1 auf allen Niveaus ergibt !!! åRechenalgorithmus zur Berechnung der FuzzyErwartungswerte • Zur Berechnung der Nutzenerwartungswerte

1 muss die Wahrscheinlichkeitsmasse E iε; E λ ; E i i vergrößert werden und daher sind nach dem Vorsichtsprinzip den kleinsten Ergebniswerten die höchsten Eintrittswahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

• Bei Gewinnerwartungswerten E1i; Eiλ ; Eiε liegt die Wahrscheinlichkeitsmasse ursprünglich über 1, so daß jetzt den hohen Nutzenwerten auch die höchsten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.

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Exakte Berechnung der Nutzenerwartungswerte ~ EiP = (E iε; E iλ; E1i; E1i; E iλ; E iε)ε,λ

über: n ε n ε ε ε Ei = Min{ ∑ u ij⋅ p j p j ∈ [ p j , p j ] und ∑ p j = 1} J =1 j=1 n λ n λ λ λ Ei = Min{ ∑ u ij ⋅ p j p j ∈ [ p j , p j ] und ∑ p j = 1} J =1 j=1 n 1 n 1 1 1 Ei = Min{ ∑ u ij⋅ p j p j ∈ [p j , p j] und ∑ p j = 1} J =1 j=1 n 1 n 1 1 1 Ei = Max{ ∑ u ij⋅ p j p j ∈ [p j , p j] und ∑ p j = 1} J =1 j=1 n λ n λ λ λ Ei = Max{ ∑ u ij ⋅ p j p j ∈ [ p j , p j ] und ∑ p j = 1} J =1 j=1 n ε n ε ε ε Ei = Max{ ∑ u ij⋅ p j p j ∈ [ p j , p j ] und ∑ p j = 1}. J =1 j=1

64

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3

65

Berechnung der p aj (i) zur Kalkulation der Erwartungswerte Eei ; E?i ; E1i • Zunächst setzt man alle Eintrittswahrscheinlichkeiten auf den kleinsten Wert, d. h. p αj (i) = pαj . • Dann erhöht man die Wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand mit dem niedrigsten Nutzenwert so weit wie möglich. Sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) s n dieser Zustand, so gilt n −1 α α α α p n (i) = Max{p ∈ [ p n , pn ] | ∑ p j + p ≤ 1} j=1

• Gilt in der vorstehenden Bedingung das Ungleichheitszeichen im strengen Sinne, dann ist im nächsten Schritt die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit dem zweitniedrigsten Nutzen zu berechnen. Dies sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) s n −1.

n −2 α α α α p n −1(i) = Max{p ∈ [ p n −1, pn −1 ] | ∑ p j + p + pα n ≤ 1} j=1

• Dieses Verfahren ist bei analoger Vorgehensweise solange fortzusetzen, bis die Ungleichung als Gleichung erfüllt ist.

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Berechnung der p aj (i) zur Kalkulation der Erwartungswerte Ei1; Ei? ; Eie : • Zunächst setzt man alle Eintrittswahrscheinlichkeiten auf den kleinsten Wert, d. h. p αj (i) = pαj .

• Dann erhöht man die Wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand mit dem höchsten Nutzenwert so weit wie möglich. Sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) s dieser Zustand, so gilt 1

n α α α α p1 (i) = Max{p ∈ [ p , p1 ] | ∑ p +p ≤ 1} 1 j j= 2

• Gilt in der vorstehenden Bedingung das Ungleichheitszeichen im strengen Sinne, dann ist im nächsten Schritt die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit dem zweithöchsten Nutzen zu berechnen. Dies sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) s 2 . n α α α α α p 2 (i) = Max{p ∈ [ p 2 , p 2 ] | p1 + p + ∑ p j ≤ 1} j=3

• Dieses Verfahren ist bei analoger Vorgehensweise solange fortzusetzen, bis die Ungleichung als Gleichung erfüllt ist.

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Beispiel ~ P(s j ) = (pe ; p ? ; p1; p1j; p j? ; p ej )e,?

sj

j

j

j

~ P(s1) = (0,45; 0,48 ; 0,49 ; 0,51 ; 0,53 ; 0,55)ε,λ ~ P(s 2 ) = (0,26 ; 0,28 ; 0,29 ; 0,3 ; 0,31 ; 0,33) ε,λ ~ P(s3 ) = (0,17 ; 0,18 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,21 ; 0,23)ε,λ

s1 s2 s3

Hier immer

x i1 ≥ x i2 ≥ x i3 für alle i = 1, 2,...,5. e

?

1

1

p 1a

p 1a

p a2

p a2

p a3

p a3

?

e

Achtung!!!! Die Zahlen p αj (i ) und p αj (i ) sind rein rechnerische Größenzur Bestimmung der Erwartungswerte!! å aufsteigende Ordnung der "Wahrscheinlichkeits"werte nicht zwingend notwendig

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68

~ Fuzzy-Gewinnerwartungswerte E iP ~ e ;E ? ;E 1 ; E 1 ;E ? ;E e ) e, ? EP = ( E i i i i i i i a1 a2 a3 a4 a5

1

(108,1 ; 115 ; 119 ; 120,1 ; 125,9 ; 129,9) (96,3 ; 101,6 ; 104,5 ; 105,2 ; 109,8 ; 112,7) (110 ; 113,3 ; 115 ; 115,1 ; 118,3 ; 120) (79,9 ; 82 ; 83,1 ; 83,1 ; 85,2 ; 86,3) (50 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50)

5

2

4

3 1

λ=0,5

ε=0,05

50

60

70

80

90

100

110 120 130

~P å Fuzzy-Gewinnerwartungswerte E i sind weniger ~ fuzzy als die Näherungswerte E iA

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69

Fuzzy-Erwartungswerte aus Fuzzy-Nutzen und Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten Tabelle 3.5 aus Beispiel < 3.21 > von S. 91 s1

s2

s3

(-110; -97; -90; a1 (170; 180; 200; (70; 83; 90; 220; 225; 230) 100; 110; 120) -77; -60, -50) a2 (140; 155; 165; (85; 93; 100; 175; 180; 190) 110; 115; 125)

(-85; -80; -70; -58; -50; -40)

a3 (120; 135; 145; (115; 130; 135; 150; 160; 170) 140; 145; 150)

(-30; -20; -10; 0; 5; 10)

(85; 90; 100; (85; 93; 100; 110; 115; 125) 105; 108; 115)

(-15; -10; -5; 5; 10; 15)

a4 a5

und

(45; 48; 50; 53; 58; 60)

(40; 45; 50; 50; 53; 55)

(35; 40; 45; 50; 55; 60)

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Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten aus Tabelle 3.23 auf Seite 95 sj s1 s2 s3

Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten ~ P(s j ) = (pe ; p ? ; p1; p1j; p j? ; p ej )e,? j j j ~ P(s1) = (0,45; 0,48 ; 0,49 ; 0,51 ; 0,53 ; 0,55)ε,λ ~ P(s 2 ) = (0,26 ; 0,28 ; 0,29 ; 0,3 ; 0,31 ; 0,33) ε,λ ~ P(s3 ) = (0,17 ; 0,18 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,21 ; 0,23)ε,λ ?

?

e

p 1? (4) 0,51 p 1a (5) 0,53 0,55 p (4) 0,28 p a (5) 0,28 0,26 2 ? 2

p ?3 (4) 0,21 p a3 (5) 0,19 0,19 Matrix der Berechnungsgrößen p ?j (4), p ?j (5) und p ej (5)

70

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~ e ;E ? ;E 1 ; E 1 ;E ? ;E e ) e, ? EP = ( E i i i i i i i a1 (73,6 ; 91,8 ; 109 ; 125,8 ; 140,4 ; 151,6) a2 (70,7 ; 86,4 ; 98,5 ; 109,6 ; 119,8 ; 132,7) a3 (83,9 ; 100,9 ; 111 ; 117,1 ; 127,8 ; 137,2) a4 (62 ; 69,8 ; 79 ; 87,6 ; 94,1 ; 103,5) a5 (41,1 ; 45,4 ; 49 ; 51,5 ; 56 ; 58,7)

~P Matrix der Fuzzy-Gewinnerwartungswerte E i bei Vorgabe von Fuzzy-Gewinnen des e-?-Typs

1

5

4

2

3 1

λ=0,5

ε=0,05

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

å Möglichkeit der Vorselektion å Konzentration auf wesentliche Alternativen

71

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3

72

3.4 Entscheidung bei unzuverlässigen Wahrscheinlichkeiten HODGES-LEHMANN-Regel I Φ(a k ) = max [λ ⋅ ∑ uij p j + (1 − λ) ⋅ min uij] i

j

j

å Kombination zwischen dem Nutzenerwartungswert und dem Maximin-Kriterium: • λ ist von dem Entscheidungsträger individuell festzulegen • λ = Vertrauensparameter (Je größer λ, desto größer das Vertrauen in die Wahrscheinlichkeitsverteilung) • Für λ = 1 HODGES-LEHMANN-Regel I = BERNOULLI-Aktion • Für λ = 0 HODGES-LEHMANN-Regel I = Maximin-Regel

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3

< 3.27 >

73

λ = 0,5

p(s1) = 0,5, p(s2) = 0,3, p(s3) = 0,2; λ = 0,5

a1 a2 a3 a4 a5

s1

s2

s3

E(ai )

210 170 150 105 50

100 105 140 102 50

-80 -60 -10 0 50

119 104,5 115 83,1 50

1 ⋅ ∑ u p + 1 ⋅ min u ij j 2 ij 2 j j 19,5 22,25

52,5 41,55 50

HODGES-LEHMANN-Regel I mit Fuzzy-Nutzenwerten ~ ~ ~ Φ ( a k ) = R − M~ a x [λ ⋅ ∑ U ij ⋅ p j + (1 − λ ) ⋅ R − M i n U ij ] i

j

i

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< 3.28 >

λ = 0,5

p(s1) = 0,5, p(s2) = 0,3, p(s3) = 0,2; λ = 0,5 Maximin a1 a2 a3 a4 a5

(-110; -97; -90; -77; -60, -50) (-85; -80; -70; -58; -50; -40) (-30; -20; -10; 0; 5; 10) (-15; -10; -5; 5; 10; 15) (35; 40; 45; 50; 55; 60)

HODGESLEHMANN I (84; 95,5; 109; (-13; -0,8; 9,5; 124,6; 133,5; 141) 23,8; 36,8; 45,5) (78,5; 89,4; 98,5; (-3,3; 4,7; 14,3; 108,9; 114,5; 124,5) 25,5; 32,3; 42,3) (88,5; 102,5; 111; (29,3; 41,3; 50,5; 117; 124,5; 132) 58,5; 64,8; 71) (65; 70,9; 79; (25; 30,5; 37; 87,5; 91,9; 100) 46,3; 51,0; 57,5) (41,5; 45,5; 49; (38,3; 42,8; 47; 51,5; 55,9; 58,5) 50,8; 55,5; 59,3) BERNOULLI

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Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3

75

HODGES-LEHMANN-Regel II 1. Schritt: • Bestimmung eines individuellen Mindestnutzenniveaus u0 , • Obergrenze u0 = Maximum der schlechtesten Werte aller Alternativen - max min u ij j

i

• Bei u 0 minimal, d. h. u 0 = min min u ij , ist jede i

j

BERNOULLI-Aktion optimal. 2. Schritt: • Anwendung des Erwartungswertkriteriums ∑ u kjp j ≥ ∑ uijp j j

j

für alle i, die

min uij ≥ u0 j

erfüllen.

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< 3.29 > Setze in Beispiel < 3.1 > u0 = -10, HODGES-LEHMANN-Regel II mit Fuzzy-Nutzenwerten ~ ~ ~ Φ(a k ) = R − M~ a x{ ∑ Uij ⋅ p j | R − M i n Uij ≥ u0} i

j

j

< 3.30 > • Fuzzy-Matrix • scharfe Grenze u0 = -10 • unscharfe Schranke der Form ~ U 0 = ( u e0, u ?0 ,u10,u10 , u 0? , u 0e ) e,? mit

u10 = u10 = u 0? = u 0e ~ • bei U 0 = ( −35,−20,−10,−10,−10,−10) ε,λ , Fuzzy-Matrix und Fuzzy-Erwartungswerte

76