Physik I und II Kurzfassung

Daniel Scholz im Winter 2004 und Sommer 2005

¨ Uberarbeitete Version vom 20. Juli 2005.

Inhaltsverzeichnis 1 Mechanik 1.1 Mathematisches . . . . . . . . . . 1.2 Fehlerberechnung . . . . . . . . . 1.3 Newtons Axiome . . . . . . . . . 1.4 Bewegungsgleichungen . . . . . . 1.5 Arbeit, Leistung, Energie, Impuls 1.6 Pendel . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Reibung . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Kepler Gesetze . . . . . . . . . . 1.9 Zweik¨orperproblem . . . . . . . . 1.10 Potential . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Ged¨ampfte Schwingung . . . . . 1.12 Erzwungene Schwingung . . . . . 1.13 Schwingungen und Schwebung . . 1.14 Bewegte Bezugssysteme . . . . . 1.15 Starre K¨orper . . . . . . . . . . . 1.16 Str¨omungen in Fl¨ ussigkeiten . . .

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4 4 4 5 5 6 8 8 9 9 10 11 11 12 13 13 16

2 W¨ armelehre 2.1 Temperatur . . . . . 2.2 Ideale Gase . . . . . 2.3 W¨armekapazit¨at . . 2.4 Erster Hauptsatz . . 2.5 Zustands¨anderungen 2.6 Carnot Prozess . . . 2.7 Entropie . . . . . . .

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20 20 20 21 22 22 25 25

3 Elektrostatik 3.1 Grundlagen . . . . . 3.2 Arbeit und Potential 3.3 Ladungsdichten . . . 3.4 Elektrischer Fluss . . 3.5 Kondensatoren . . .

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26 26 27 28 29 30

2

Inhaltsverzeichnis 3.6 3.7 3.8

3

Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Magnetostatik 4.1 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kraft auf Draht im Magnetfeld . . . . . . 4.4 Magnetisches Feld einer bewegten Ladung 4.5 Amp`eresches Durchflutungsgesetz . . . . . 4.6 Grundgleichungen der Magnetostatik . . . 5 Elektrodynamik 5.1 Faradaysches Induktionsgesetz 5.2 Satz von Stokes . . . . . . . . . 5.3 Maxwell Gleichungen . . . . . . 5.4 Gleichungen f¨ ur Potentiale . . .

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32 32 33

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34 34 34 35 36 36 37

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38 38 38 38 39

6 Wellengleichungen 40 6.1 L¨osungen der Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

Mechanik

1.1

Mathematisches

Sinus und Cosinus

Abbildung 1

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: a = c · sin(α)

1.2

b = c · cos(α)

und

Fehlerberechnung

Mittelwert:

n

x =

1X xi n i=1

Standardabweichung empirisch: v u u 0 s = t

n


2 1 X 0 x − xi n−1 i=1

Standardabweichung: v u n u1 X (x − xi )2 s = t n i=1

Fehlerbalken:

s0 √ n Eine Messung ist im Fehlerbalken, wenn gilt: s0 |s − s0 | < √ n 4

Kap.1

Mechanik

5

relativer Fehler:

s0 x Eine Messung ist gut, wenn f¨ ur den relativen Fehler < 1% gilt.

1.3

Newtons Axiome

( Tr¨ agheit )

Kr¨aftefreie K¨orper bewegen sich geradelinig gleichf¨ormig. ( Aktion )

Es gilt stets die Bewegungsgleichung F~ = m · ~a. ( Reaktion )

Jede Kraft erzeugt eine Gegenkraft.

1.4

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichung ist F~ = m · ~a. Es gilt ~v (t) =

d~r = ~r˙ dt

und

~a(t) =

d~v d2~r = = ~¨r dt dt2

Gleichm¨ aßig beschleunigte Bewegung Bei einer gleichm¨aßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung ~a konstant. Es gilt: ~v (t) = v~0 + ~at 1 ~r(t) = r~0 + v~0 t + ~at2 2

Gleichf¨ ormige Kreisbewegung Eine gleichf¨ormige Kreisbewegung ist eine Bewegung um ein Zentrum (0, 0) mit dem Radius r und konstanter Geschwindigkeit v = |~v |. Es gilt:   r · cos(ωt) ~r(t) = ⇔ F = |F~ | = mω 2 r r · sin(ωt)

Kap.1

Mechanik

6

Dabei zeigt F~ stets zum Zentrum und ω ist die Dreh- oder Kreisfrequenz. Es ist 2π v ω = = konstant T r mit der Umlaufzeit T .

Harmonisch Schwinung Es sei x0 = x die maximale Auslengung einer Schwingung mit v0 = 0. Dann gilt: ~x(t) = x · sin(ωt)

⇔

F = |F~ | = − mω 2 x = − Dx

Es ist

α konstant t und D = mω 2 ist die Federkonstante. ω =

1.5

Arbeit, Leistung, Energie, Impuls

Bewegungen sollen zeitunabh¨angig betrachtet werden.

Arbeit ~ = W = Kraft · Weg = F~ · ∆R

Z

d~r · F~ (~r)



W eg

kg · m2 s2



gemessen in 

kg · m2 = N m = J = W att s = W s s2



F~ (~r) ist ein Kraftfeld, d.h. die Kraft F~ h¨angt vom Ort ~r ab. H¨ angt die Arbeit nicht vom Weg ab, so heißt das Kraftfeld konvervativ oder homogen (Beispiel: Gravitationsfeld). F¨ ur einen Weg ~r(t) auf dem Intervall t ∈ [a, b] gilt: Z Z b d~r ~ WAB = d~r · F (~r) = dt · F~ (~r(t)) · dt W eg a

Leistung P =

Arbeit = Kraft · Geschwindigkeit = F~ · ~v Zeit

gemessen in 

kg · m2 Nm Ws = = = W att = W 3 s s s



Kap.1

Mechanik

7

Energie Kinetische und potentielle Energie: Ekin =

1 · m · v2 2

Epot = m · g · h

und

In konservativen Kraftfeldern gilt Ekin + Epot = k

konstant,

also ist Ekin + Epot zeitlich konstant, d.h. es gilt d (Ekin + Epot ) = 0. dt Elastische St¨ oße

Die Energieerhaltung gilt nur bei elastischen St¨oßen, d.h. bei Massen, die sich nach einem Stoß sofort getrennt weiterbewegen.

Impuls p~ = Masse · Geschwindigkeit Der Gesamtimpuls p~ =

n X

mi~vi

i=1

ist zeitlich konstant. Elastische St¨ oße

Die Impulserhaltung gilt bei elastischen und unelastischen St¨oßen, d.h. auch bei Massen, die sich nach einem Stoß gemeinsam und ggf. deformiert weiterbewegen. Schwerpunktsatz

Der Schwerpunkt (eines abgeschlossenen Systems) bewegt sich geradlinig und gleichf¨ormig.

Drehimpuls Ein Massepuntes P drehe sich um das Zentrum (0, 0, 0). Wirkt auf P stets eine nach Z gerichtete Kraft, so heißt diese Zentralkraft. Im Zentralkraftfeld ist der Drehimpuls   kg · m2 ~ = m~r × ~v L = Nm · s s

Kap.1

Mechanik

8

zeitlich konstant, d.h. es gilt: ~ dL = ~r × F~ = ~0 dt Fl¨ achensatz

In gleicher Zeit wird vom Strahl ZP stets die gleiche Fl¨ache u ¨berstrichen.

1.6

Pendel

F¨ ur einen Massepunkt m an einem masselosem Faden der L¨ange l gilt: s l T = 2π · g Die Schwingungsdauer T ist also unabh¨angig von m und proportional zu

√

l.

Ist das Pendel mit dem Winkel ϕ < π/2 ausgelenkt, so gilt x = l · sin(ϕ). F¨ ur die Bewegungsgleichung gilt ~¨r(t) = sin(ωt) · g 1 ~r(t) = − 2 sin(ωt) · g + v0 t + r0 , ω dabei ω =

q

g l.

F¨ ur sehr kleine Winkel ist die R¨ uckstellkraft ann¨ahernd proportional zur Auslenkung.

1.7

Reibung

Bewegt sich ein K¨orper im Fluid (Fl¨ ussigkeit oder Gas), so spricht man von Stokes Reibung. Es gilt Bremskraft ∼ v. Beispiel: F~ = m~v˙ = − mg − αv

Kap.1

1.8

Mechanik

9

Kepler Gesetze

( 1 ) Planeten bewegen sich auf Ellipsen, die Sonne liegt im Brennpunkt. ( 2 ) Es gilt der Fl¨achensatz: In gleicher Zeit wird gleiche Fl¨ache u ¨berschritten. ( 3 ) Die Quadrate der Umlaufzeiten (T1 , T2 ) von Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen (a1 , a2 ) zueinander: 

1.9

T1 T2

2

 =

a1 a2

3

Zweik¨ orperproblem

Schwerpunktvektor: ~ = m1~r1 + m2~r2 R m1 + m2 Effektive oder reduzierte Masse: µ =

m1 m2 m1 + m2

Ellipsen: x2 y 2 + 2 = 1 a2 b Hyperbeln: x2 y 2 − 2 = 1 a2 b mit den Brennpunkten F1,2 =

 p  ± a2 + b2 , 0

Gravitation

Gravitationskonstante: G = 6, 67 · 10−1

N · m2 kg 2

F¨ ur zwei K¨orper der Massen m1 und m2 sowie dem Abstand r gilt: m1 m2 F~ = G 2 r

Kap.1

1.10

Mechanik

10

Potential

Das Potential U (~r) ist die potentielle Energie in Abh¨angigkeit des Ortes. Es gilt: ~ (~r) F~ (~r) = − ∇U

Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls ist erhalten, wenn ~ dL = ~r × F~ = ~0 dt gilt.

Fl¨ achensatz Die Fl¨achengeschwindigkeit ist konstant, wenn F 1 1 1 ~ = ~v × ~r = ~ × ~r = mv L = 0 dt 2 2m 2m gilt.

Effektives Potential Stellt man den Vektor ~r in den Polarkoordinaten     x r · cos ϕ ~r = = y r · sin ϕ dar, so gilt ~ = m r2 ϕ. |L| ˙ F¨ ur die Energie gilt nun E = Ekin + Epot =


1 ˙2 1 m~r + U (~r) = m r2 ϕ˙ 2 + r˙ 2 + U (~r) 2 2

~2 L m 2 r˙ + + U (~r). 2 2mr2 Somit ist das effektive Potential =

Uef f =

~2 L + U (~r). 2mr2

Bahnkurven Ein Massepunkt bewegt sich auf einer geschloßenen Bahnkurve, wenn ∂Uef f = 0 ∂r gilt, wenn also Gravitations- und Zentrifugalkraft gleich groß sind.

Kap.1

1.11

Mechanik

11

Ged¨ ampfte Schwingung

Es muss die DGL x ¨ + 2γ x˙ + ω02 = 0 gel¨ost werden. Man erh¨alt x(t) = A · eλ1 t + B · eλ2 t

λ1,2 = − γ ±

mit

q

γ 2 − ω02

als L¨osungen. Schwache D¨ ampfung (ω02 > γ 2 )

Man erh¨alt komplexe L¨osungen f¨ ur λ1,2 und somit folgt: −γt

x(t) = ae

· cos(ω1 t + δ)

mit

ω1

q = ω02 − γ

Starke D¨ ampfung (ω02 < γ 2 )

Man erh¨alt reelle L¨osungen f¨ ur λ1,2 und somit folgt f¨ ur große Zeiten: q 1 1 x(t) = ae− τ mit = γ − γ 2 − ω02 > 0 τ τ heißt Relaxationszeit oder Abklingzeit. Kritische D¨ ampfung (ω02 = γ 2 )

Es gilt λ1 = λ2 und somit folgt: x(t) = ae−γt + ate−γt

1.12

Erzwungene Schwingung

Wird ein System mit einer Schwingfrequenz ω0 durch eine ¨außere periodische Kraft mit der Kreisfrequenz ω angetrieben, so erh¨alt man folgende DGL: x ¨ + 2γ x˙ + ω02 = F · cos(ωt) Es gilt: ( 1 ) Auch das System schwinkt nach gewisser Einschwingzeit mit der Frequenz ω der antreibenden Kraft. ( 2 ) Bei langsamer Anregung schwingen System und Anreger in gleicher Phase, bei schneller Anregung genau um π Phasenverschoben. ( 3 ) Gilt ω0 = ω, so ist die Phasenverschiebung genau π/2.

Kap.1

Mechanik

12

Abbildung 2

( 4 ) Ist ω0 ≈ ω, so ist die Amplitude der Schwingung am gr¨oßten, man spricht von Resonanz. ( 5 ) Gilt ω0 = ω und ist die Erregerfrequenz st¨arker als die Reibung im System, so wird die Amplitude gr¨oßer und gr¨oßer, bis so viel Energie im System ist, das es sich selbst zerst¨ort. Man sprich von Resonanzkatastrophe.

Abbildung 3

1.13

Schwingungen und Schwebung

¨ Die Uberlagerung zweier Schwingungen x1 (t) = x0 · sin(ω1 t)

und

x2 (t) = x0 · sin(ω2 t)

mit gleicher Auslenkung x0 (ohne Phasenverschiebung) ergibt:     ω1 − ω2 ω1 + ω2 x(t) = x1 (t) + x2 (t) = 2x0 · sin t · cos t 2 2

Kap.1

Mechanik

13

¨ Durch Uberlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Amplitude und geringem Frequenzunterschied entsteht eine Schwebung. Sind die Schwingungfrequenzen der beiden Schwingungen T1 und T2 , so gilt f¨ ur die Schwebungsfrequenz: 1 Ts = 1 1 T1 − T2

1.14

Bewegte Bezugssysteme

Bewegt sich ein kr¨aftefreier K¨orper stets geradlinig gleichf¨ormig, so bewegt es sich in einem Intertialsystem (IS), andernfalls in einem bewegten Bezugssystem (KS). Galilei Transformation

~r(t) = ~r˙ (t) + ~v0 · t Bewegte Bezugssysteme

~r(t) = ~r˙ (t) + ~a(t)

Rotierende Bezugssysteme Bewegt sich ein K¨orper in einem rotierenden Bezugssystem, so scheint dem mitrotierenden Beobachter eine senkrecht zur Richtung der Drehachse und senkrecht zur Geschwindigkeit Kraft anzugreifen, der Corioliskraft. Es gilt: F~ = m~¨r = F~ + 2m(~r˙ × ω ~ ) + m(~ ω × ~r) × ω ~ | {z } | {z } Corioliskraft

1.15

Zentrifugalkraft

Starre K¨ orper

Ein starrer K¨orper der Masse M ist ein aus N Massepunkten mi bestehnder K¨orper, bei dem die Abst¨ande aller Massepunkten untereinander zeitlich konstant sind. Der Schwerpunktsvektor ist somit ~ = R

N 1 X mi~ri . M i=1

Kap.1

Mechanik

14

Freiheitsgrad Man ben¨otigt 6 Gr¨oßen, um einen starren K¨orper eindeutig festzulegen, n¨amlich 3 f¨ ur den Schwerpunktsvektor und 3 f¨ ur die Winkel des ortsfesten bewegten Bezugssystem im K¨orper. Man spricht von 6 Freitheitsgraden.

Drehmoment bei Rotationsbewegung ¨ Der Drehmoment ist die zeitliche Anderung des Drehimpules: ~ = ~r × F~ = L ~˙ M

Tr¨ agheitsmoment bei Rotationsbewegung J =

N X

02

r mi =

Z

Z

02

r dm =

r02 % dV

  kg · m2

i=1

Beispiele f¨ ur Tr¨agheitsmomente: ( 1 ) Kreisscheibe mit Radius R, Achse ist Symmetrieachse: J =

1 M R2 2

( 2 ) Kugel mit Radius R, Achse durch Mittelpunkt: J =

2 M R2 5

( 3 ) Stab mit L¨ange L, Achse senkrecht zum Stabende: J =

1 M L2 3

( 4 ) Stab mit L¨ange L, Achse senkrecht zur Stabmitte: J =

1 M L2 12

Tr¨ agheitsmoment als Rotationsk¨ orper

Das Tr¨agheitsmoment eines homogenen K¨orpers mit einer Symmetrieachse kann als Rotationsk¨orper aufgefasst werden. Entsteht der K¨orper durch Rotation der Funktion f (x) entlang der Drehachse um die y Achse, so ergibt sich das Tr¨agheitsmoment Z Z b 02 J = % r dV = % · 2π · f (x) · x3 dx a

mit geeigneten Grenzen a und b.

Kap.1

Mechanik

15

Steinersche Satz

Sei JA0 das Tr¨agheitsmomente eines K¨orpers der Masse M bez¨ uglich der Achse A0 durch den Schwerpunkt, sei A eine zu A0 parallele Achse und sei a der Abstand von A0 und A. Dann gilt JA = JA0 + M · a2 .

Winkelgeschwindigkeit bei Rotationsbewegung Die Winkelgeschwindigkeit ω ~ hat stets die Richung der Drehachse. Es gilt: d~r dϕ = ~v = × ~r = ω ~ × ~r dt dt F¨ ur den Drehimpuls gilt somit bei Rotation um die Symmetrieachse ~ = J ·ω L ~. d~r = dϕ × ~r

⇒

Tr¨ agheitsmoment als Tensor bei Rotationsbewegung ~ und die Winkelgeschwindigkeit ω Der Drehimpuls L ~ sind nur bei Rotation um die Symmetrieachse parallel und einfach zu berechnen. Andernfalls kann man das Tr¨ agheitsmoment als Tensor darstellen, in diesem Falle also eine symmetrische 3 × 3 Matrix. F¨ ur den Tr¨agheitstensor gilt dann  2  Z y + z2 −xy −xz ↔ x2 + z 2 −yz  dV. %  −yx J = 2 −zx −zy x + y2 Bei einer symmetrischen 3 × 3 Matrix gibt es stets 3 Eigenvektoren. Die Drehachsen in Richtung der Eigenvektoren heißen Haupttr¨agheitsachsen und ver¨andern den Tr¨agheitsmoment bei Rotation um diese Achse nicht. Beispiel

Bei einem W¨ urfel der Gesamtmasse von 12 kg und der Kantenl¨ange von 1 m ergibt sich folgender Tr¨agheitstensor:   8 −3 −3 ↔ 8 −3  J =  −3 −3 −3 8 Diese Matrix hat den Vektor



 1  1  1

als Eigenvektor, bei der Drehachse durch zwei Eckpunkte des W¨ urfels ¨andert sich das Tr¨agheitsmoment also nicht.

Kap.1

Mechanik

16

Rotationsenergie bei Rotationsbewegung Erot =

1 · J · ω2 2

Vergleich Translation und Rotation Eine Translation ist eine fortschreitende Bewegung, eine Rotation ist eine Drehbewegung. Die physikalischen Gr¨oßen der Translation und der Rotation entsprechen sich gegenseitig: Translation

Rotation

Masse m

Tr¨agheitsmoment J

~r

ϕ ~

Geschwindigkeit

~v = ~r˙

ω ~

Beschleunigung

~a = ~¨r

ω ~˙

Ekin = 12 mv 2

Erot = 12 Jω 2

Kraft F~

~ Drehmoment M

Impuls p~

~ Drehimpuls L

F~ = m~a

~ = Jω M ~˙

Impulserhaltung

Drehimpulserhaltung

Ort

Energie

Bewegungsgleichung

1.16

Str¨ omungen in Fl¨ ussigkeiten

Druck Greift an einem Fl¨achenst¨ uck A eine senkrechte Kraft F an, so herrscht ein Druck p:   Kraft F N −5 = P a = 10 bar p = = Fl¨ache A m2 Eine Fl¨ ussigkeitss¨aule der H¨ohe h und der Dichte % u ¨bt auf den Boden den Druck p = %gh aus (Schweredruck). Auftrieb

Die Auftriebskraft FA , die auf einen K¨orpers in einer Fl¨ ussigkeitist wirkt, ist gerade FA = %V g. Dabei ist %V das Gewicht der verdr¨angten Fl¨ ussigkeit.

Kap.1

Mechanik

17

Oberfl¨ achenspannung Die Oberfl¨achenenergie EOb ist proportional zur Oberfl¨ache A: EOb = σ · A Der Proportionalit¨atsfaktor σ heißt spezifische Oberfl¨achenspannung. Kapillarit¨ at

Eine Fl¨ ussigkeit steigt in einem Rohr mit dem Radius r um die H¨ohe h =

2σ %rg

an. Dabei ist % die Dichte der Fl¨ ussigkeit.

Innere Reibung Zwischen einer Platte der Fl¨ache A und einer festen Wand befindet sich ein Fl¨ ussigkeitsfilm der Dicke z. Um die Platte mit der Geschwindigkeit v parallel zur Wand zu verschieben, ben¨otigt man die Kraft Av . z   Dabei ist η die Viskosit¨at N · s · m−2 der Fl¨ ussigkeit (Beispiel Wasser: −3 −2 −2 10 N sm , Glyzerin: 1, 5 N sm ). F = η

Laminare R¨ ohrstr¨ omung Auch in einem Rohr haften Fl¨ ussigkeiten am Rand und str¨omen in der Mitte am schnellsten. Eine derartige Str¨omung mit entscheidenden Reibungskr¨aften heißt laminare Str¨omung. Gesetzt von Hagen-Poiseuille

In einemn Rohr vom Radius R und der L¨ange l zwischen zwei Dr¨ ucken p1 und p2 ist die Gesamtmenge Q einer durchstr¨omenden Fl¨ ussigkeit gerade Q = V˙ =

Z

R

2πrv(r) dr = 0

πR4 (p1 − p2 ) . 8ηl

Bei gleichem Druckgef¨alle fließt durch ein Rohr mit doppelten Radius also 16 mal soviel Fl¨ ussigkeit.

Kap.1

Mechanik

18

Gesetzt von Stokes

Bewegt sich eine Kugel vom Radius r mit der Geschwindigkeit v durch eine Fl¨ ussigkeit, so wirkt die Kraft: F = − 6πηvr. Dieses Gesetzt dient auch dazu, die Viskosit¨at η zu messen.

Turbulente Str¨ omung Wenn selbst bei station¨aren Str¨omungen andere Gr¨oßen mehr Einfluß haben als die Reibungskr¨afte, so heißt eine solche Str¨omung turbulent.

Str¨ omungen idealer Fl¨ ussigkeiten In idealen Fl¨ ussigkeiten k¨onnen alle Reibungskr¨afte vernachl¨assigt werden. Bei idealen Fl¨ ussigkeiten gilt die Kontinuit¨atsgleichung A1 · v1 = A2 · v2 , das Produkt aus R¨ohrenquerschnittsfl¨ache und St¨omungsgeschwindigkeit ist also konstant. Bernoulligleichung

Ist p0 der Druck in einer ruhenden idealen Fl¨ ussigkeit (zum Beispiel der hydrostatischer Druck %gh), dann gilt bei einer Geschwindigkeit v und einem Druck p dieser Fl¨ ussigkeit 1 p + %v 2 = p0 = konstant. 2 Wirkt auf die Fl¨ ussigkeit nur der hydrostatische Druck, dann gilt also 1 2 %v + p + %gh = konstant. 2 Ausstr¨ omen aus einem Loch

Hat ein Fl¨ ussigkeitsgef¨aß ein kleines Loch um h unterhalb der Oberfl¨ache und dort den Druck p, so spritzt nach Bernoulli ein Strahl mit der Geschwindigkeit r 2p v = % aus dem Gef¨aß. Dabei ist % die Dichte der Fl¨ ussigkeit. Besteht der Druck p nur aus dem Schweredruck, so gilt also p v = 2gh. Torricelli zeigte 1640: Es ist so, als sei die ausstr¨omende Fl¨ ussigkeit aus der H¨ohe h gefallen.

Kap.1

Mechanik

19

¨ Ubersicht

Ist die Querschnittsfl¨ache eines Rohres klein, so folgt aus der Kontinuit¨at, dass die Fließgeschwindigkeit einer idealen Fl¨ ussigkeit groß ist. Nach Bernoulli ist in diesem Falle dann der Druck klein.

2

W¨ armelehre

Die drei Grundgr¨oßen der W¨armelehre sind Temperatur Druck Volumen

T [K] ,   N kg p = 2 , m2 s ·m   V m3 ,

sowie die Teilchenanzahl N n = = Volumen V

Dichte

2.1



 1 . m3

Temperatur

Die Temperatur ist ein Maß f¨ ur die mittlere kinetische Energie der Molek¨ uhle. Die genaue Definition ist 1 3 E = mh~v 2 i = kb T 2 2 J −23 mit der Boltzmannkonstante kb = 1, 381 · 10 K.

2.2

Ideale Gase

Bei idealen Gasen gilt f¨ ur Druck p, Temperatur T und Volumen V 1 p ∼ bei T konstant, V T ∼ p bei V konstant, V ∼ T

bei

p konstant.

Es ergibt sich somit die Zustandsgleichung p = nkb T oder anders p · V = N · kb · T. Dr¨ uckt man die Teilchenanzahl N in mol aus, so erh¨alt man v = NA = 6, 022 · 1023 Teilchen und somit mol p · V = v · R · T, dabei R = NA · kb = 8, 31

J . K·mol

20

N NA

mit

Kap.2

W¨armelehre

21

Innere Energie

Die innere Energie eines idealen Gases ist U =

3 N kb T 2

und es ergibt sich somit pV = 23 U . Barometrische H¨ ohenformel

Sei %0 die Anfangsdichte und V0 das Anfangsvolumen, sei p0 der Anfangsdruck und sei h die H¨ohe. Dann gilt bei idealen Gasen die barometrische H¨ohenformel % gh − 0 − mgh p = p0 · e p0 = p0 · e p0 V0 .

2.3

W¨ armekapazit¨ at

Feiheitsgrade Die Freiheitsgrade eines Molek¨ uls setzt sich aus der Summe der Freiheitsgrade der Rotation, der Translation und der Schwingung zusammen. Vernachl¨assigt man die Schwingungen von Gasmolek¨ ulen, so erh¨alt man f¨ ur einatomarige Molek¨ ule (He) den Freiheitsgrad 3, n¨amlich nur 3 Freiheitsgrade der Translation. F¨ ur geradlinige Molek¨ ule (H2 , CO2 ) erh¨alt man den Freiheitsgrad 5, n¨amlich 3 f¨ ur die Translation und 2 f¨ ur die Rotation. Nur f¨ ur nicht lineare Molek¨ ule (H2 0) erh¨alt man alle 6 Freiheitsgrade. Die Molek¨ ule in einem homogenen Festk¨orper k¨onnen nicht rotieren, aber daf¨ ur schwingen. Die Molek¨ ule eines solchen Festk¨orpers haben also 6 Freiheitsgrade, 3 f¨ ur die Translation und 3 f¨ ur die potentielle Schwingung.

W¨ armekapazit¨ at Ein Molek¨ ul mit f Freiheitsgeraden enth¨alt die mittlere Gesamtenergie E =

f kb T. 2

Um einen homogenen K¨orper der Masse M bestehend aus Molek¨ ulen der Masse m um ∆T zu erw¨armen, braucht man also die Energie ∆E =

M f · · k∆T. m 2

Dabei ist f die Anzahl der Feiheitsgraden der Molek¨ ule und Anzahl der Molek¨ ule.

M m

ist somit die

Kap.2

W¨armelehre

22

Das Verh¨altnis ∆E Mf C = = kb ∆T 2m



J K



ist die W¨armekapazit¨at des K¨orpers und bezogen auf 1 kg ist   f J ∆E = kb c = M ∆T 2m kg · K die spezifische W¨armekapazit¨at dieses K¨orpers. Regel von Dulong und Petit

F¨ ur ein mol eines Festk¨orpers ergibt sich somit die molare W¨armekapazit¨at f J Cmol = NA kb = 3NA kb = 24, 9 . 2 mol · K Dies ist ein Richtwert vor allem f¨ ur schwere Elemente. Bei leichteren K¨orpern nehmen die Molek¨ ule bei niedrigen Temperaturen keine Energie mehr auf, es kommt zur Einfrierung der Freiheitsgrade.

2.4

Erster Hauptsatz

Die innere Energie ∆U eines Systems ist die Summe aus der W¨armemenge ∆Q und der mechanischen Arbeit ∆W : ∆U = ∆Q + ∆W. ¨ Mechanische Arbeit ergibt eine Anderung des Volumens. Bei konstanter Temperatur, also bei ∆Q = 0, gilt stets ∆U = ∆W = − p · ∆V. Bei konstanten Volumen, also wenn keine mechanische Arbeit geleistet wird und ∆V = 0 gilt, folgt ∆U = ∆Q.

2.5

Zustands¨ anderungen

Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich wieder nur auf ideale Gase, also gilt N kb T 3 p = und U = N kb T. V 2

Kap.2

W¨armelehre

23

Abbildung 4

Isotherme Volumens¨ anderung Bei einer isothermen Volumens¨anderung ist die Temperatur T des Gases konstant. Nach dem ersten Hauptsatz gilt ∆W = −p∆V und ∆Q = −∆W . Es ergibt sich somit f¨ ur die mechanische Arbeit   Z V1 V1 W = − p(V, T ) dV = − N kb T · log = − Q. V0 V0 Ist W < 0, so findet eine Expansion und bei W > 0 eine Kompression statt.

Adiabatischer Volumens¨ anderung Eine adiabatische Volumens¨anderung findet in einem thermisch abgeschlossenen System statt, das heißt das Gas kann keine W¨arme aufnehmen, ¨andert aber seine Temperatur. In dem gesamten System gilt ∆Q = Q = 0 und somit ∆U = ∆W . Es ergibt sich f¨ ur die mechanische Arbeit 3 W = N kb · ∆T. 2 Es folgt  5 5 V0 3 ⇔ p · V13 = konstant. p = p0 V1

Isochore Volumens¨ anderung Bei einer isochoren Volumens¨anderung ist das Volumen V konstant. Nach dem ersten Hauptsatz gilt nun wieder ∆U = ∆Q+∆w = ∆Q−p∆W = ∆Q, also W = 0 und 3 Q = N kb · ∆T. 2

Kap.2

W¨armelehre

24

Isobare Volumens¨ anderung Bei einer isobaren Volumens¨anderung ist der Druck p konstant. Durch ∆W = −p∆V und V0 = ergibt sich

N kb T0 p ,

W = N kb (T0 − T1 )

und

V1 =

N kb T1 p

Q =

¨ Ubersicht isotherm

T konstant, V0 → V1 .   V1 = −nRT log V0   V1 Q = nRT log V0

W

adiabatisch

V 0 → V1 , T 0 → T 1 . 3 nR(T1 − T0 ) 2 Q = 0

W

=

isochor

V konstant, T0 → T1 . W

= 0 3 Q = nR(T1 − T0 ) 2

isobar

p konstant, V0 → V1 , T0 → T1 . = nR(T0 − T1 ) 5 Q = nR(T1 − T0 ) 2

W

sowie durch Q = U − W 5 N kb (T1 − T0 ). 2

Kap.2

2.6

W¨armelehre

25

Carnot Prozess

Der Carnot Prozess beschreibt eine zyklisch arbeitende W¨armekraftmachine. Es soll dabei W¨arme in mechanische Arbeit umgewandelt werden. Dies geschieht in vier Schritten:

( 1 ) isotherme Expansion ( 2 ) adiabatische Expansion ( 3 ) isotherme Kompression ( 4 ) adiabatische Kompression

Abbildung 5

F¨ ur den Carnot Prozess ergibt sich der Wirkungsgrad η =

Wges T2 − T1 T1 = = 1− QT1 T2 T2

mit

T1 < T2 .

Es gibt keine Machine, die einen besseren Wirkungsgrad hat als der des Carnot Prozesses.

2.7

Entropie

Ein Vorgang, die nur in die Hinrichtung verlaufen kann, heißt irreversibel. Kann ein Vorgang hingegen in Hin- und R¨ uckrichtung verlaufen, so heißt er reversibel. Die Entropie ist ein Maß f¨ ur die Unordnung. Es gilt dU = dQ + dW = T dS − pdV.

3

Elektrostatik

3.1

Grundlagen

Coulombsches Gesetz Experimentell gilt f¨ ur die Kraft zwischen ruhenden geladenen K¨orpern: ( 1 ) |F~ | ∼ ( 2 ) F~ ∼

1 . r2

~ r2 ~ r1 |~ r2 −~ r1 | .

( 3 ) |F~ | ∼ q1 und |F~ | ∼ q2 . ( 4 ) Ist q1 q2 > 0, so stoßen sich die K¨orper ab, und ist q1 q2 < 0, so ziehen sie sich an. Daraus ergibt sich nun das Coulombsche Gesetz q1 q2 ~r2 − ~r1 F~21 = · , 4πε0 |~r2 − ~r1 |3 dabei sind q1 und q2 die Ladungen in Coulomb [C] und ε0 = 8, 85419 · 10−12 As/V m ist die sogenannte Influenzkonstante.

Elektrisches Feld Eine Ladung ver¨andert den Raum, unabh¨angig von einer zweiten Ladung. Sei q1 = q im Ursprung und sei q2 = qtest eine Testladung. Dann ist das elektrische Feld von q gerade   F~21 q ~r N ~ E(~r) := = · 3 . qtest 4πε0 |~r| C F¨ ur eine Ladung im Ursprung gilt weiter Linienstrom =

Zahl der Linien Zahl der Linien 1 = ∼ 2. Kugeloberfl¨ache 4πR2 R

Feldlinien eines elektrischen Feldes verlaufen immer von positiven zu negativen Ladungen. 26

Kap.3

Elektrostatik

27

Superpositionsprinzip ~ r) von N Punktladungen ist die Vektorsumme der einDas Gesamtfeld E(~ zelnen Felder: N X qi ~r − ~ri ~ E(~r) = · . 4πε0 |~r − ~ri |3 i=1

Beispiel Dipol

F¨ ur einen Dipol mit einer positiven Ladung q bei (a, 0, 0) und einer negativen Ladung −q bei (−a, 0, 0) gilt gerade   q ~ r − a~ e ~ r + a~ e x x ~ r) = E(~ · − . 4πε0 |~r − a~ex |3 |~r + a~ex |3 Skizziert sieht das Feld folgendermassen aus:

Abbildung 6

3.2

Arbeit und Potential

Elektrisches Potential Befindet sich eine Ladung im Ursprung und soll eine Testladung in dem elektrischen Feld von a nach b bewegt werden, so muss Arbeit vollrichtet werden. Der Betrag der Arbeit ist unabh¨angig von der Wahl des Weges von a nach b, da die Arbeit entlang eines Kreisbogens um den Ursprung gleich 0 ist. Somit erh¨alt man f¨ ur das elektrische Potential φ(~r) gerade ~ r) = − ∇φ(~ ~ r). E(~ Befindet sich eine Ladung q im Ursprung, dann gilt φ(~r) =

q 1 · 4πε0 |~r|

und

~ r) = E(~

q ~r · 3. 4πε0 |~r|

Befindet sich eine Ladung q am Ort ~r1 , dann gilt φ(~r) =

1 q · 4πε0 |~r − ~r1 |

und

~ r) = E(~

q ~r − ~r1 · . 4πε0 |~r − ~r1 |3

Kap.3

Elektrostatik

28

Nach dem Superpositionsprinzip gilt nun f¨ ur N Punktladungen N X 1 qi · . φ(~r) = 4πε0 |~r − ~ri | i=1

Beispiel Dipol

F¨ ur einen Dipol mit einer positiven Ladung q bei (a, 0, 0) und einer negativen Ladung −q bei (−a, 0, 0) gilt gerade   q 1 1 φ(~r) = · − . 4πε0 |~r − a~ex | |~r + a~ex |

Spannung Da die Arbeit nicht vom Weg abh¨angt, gilt f¨ ur diese auch Z b Z b ~ ds = ~ ds = φ(~rb ) − φ(~ra ). Wab = − E (∇φ) a

a

Diese Potentialdifferenz ist die Spannung U zwischen ~a und ~b in Volt [V ].

3.3

Ladungsdichten

( 1 ) Lineare Ladungsdichte λ(x) in C/m: Z λ 1 φ(x) = dx. 4πε0 c |~r − ~rx | ( 2 ) Fl¨achenladungsdichte σ(x, y) in C/m2 : Z σ 1 φ(x) = dxdy. 4πε0 A |~r − ~rx | ( 3 ) Volumenladungsdichte q(x, y, z) in C/m3 : Z q 1 φ(x) = dxdydz. 4πε0 V |~r − ~rx |

δ Funktion Seien xi f¨ ur i = 1, .., M alle Nullstellen von h(x). Dann gilt f¨ ur die δ Funktion δ(h(x)) =

M X δ(x − xi ) i=1

|h0 (xi )|

Z und

∞

δ(x − xi )f (x) dz.

f (xi ) = −∞

Kap.3

Elektrostatik

29

Beispiel

Es soll nun f¨ ur alle a ∈ R Z

∞

f (x)δ(a(x − x0 )) dx −∞

berechnet werden. Sei dazu h(x) = a(x − x0 ), dann gilt h0 (x) = a und h(x) = 0 nur f¨ ur x = x0 . Somit folgt Z ∞ Z ∞ 1 1 f (x)δ(a(x − x0 )) dx = f (x)δ(x − x0 ) dx = f (x0 ). |a| −∞ |a| −∞

3.4

Elektrischer Fluss

F¨ ur den elektrischen Fluss ψ durch eine geschlossene Oberfl¨ache S gilt Z ~ · ~n da, E ψ := S

dabei ist ~n der nach außen gerichtete Normalenvektor des Fl¨achenst¨ ucks da. Beispiel Kugel

Bei einer Kugel mit dem Radius R gilt somit Z Z q~r ~ E · ~n da = ψ = · ~er da 3 Kugel Kugel 4πε0 r Z q q q da = · 4πR2 = . = 2 2 4πε0 R Kugel 4πε0 R ε0 Es gilt sogar:

Gaußsches Gesetz Z ψ = S

~ · ~n da = E

X qi ε0

~ ri ∈Vs

Der elektrische Fluss ψ, der durch die geschlossene Oberfl¨ache S hervorquillt, ist proportional zur Summe der Ladungen qi , die innerhalb dieser Fl¨ache sitzen. Bei einer homogenen Ladungsverteilung mit der Volumenladungsdichte q gilt somit Z Z 1 ~ ψ := E · ~n da = q dV. ε0 V S

Kap.3

Elektrostatik

30

Beispiel Fl¨ achenladungsdichte

Abbildung 7

F¨ ur den elektrischen Fluss durch einen Zylinder mit der Boden- bzw. Deckelf¨ache A, der eine homogene Platte der Fl¨achenladungsdichte σ senkrecht einschließt, gilt Z Z 1 ~ E · ~n da = q dV. ε0 V S ~ in Richtung von ~n steht, folgt Da das elektrische Feld E ~ r) 2A · E(~ | {z }

=

hervorquellender Fluss

1 ·σ·A ε | 0 {z }

,

eingeschlossene Ladung

das elektrische Feld ergibt sich somit zu ~ r) = E(~

3.5

σ . 2ε0

Kondensatoren

Ein Kondensatoren besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen K¨orpern. Es gilt ~ (~r) := − ∇φ(~ ~ r) = E(~ ~ r) −∇U und somit ist ∆U = φ(~r2 ) − φ(~r1 ). Die Kapazit¨at C eines Kondensators ist nun C :=

Q ∆U

in

F = Farad,

dabei ist Q die Ladung der K¨orper. F¨ ur die Energie E, die in einem Kondensator der Kapazit¨at C gespeichert ist, gilt 1 E = C(∆U )2 . 2

Kap.3

Elektrostatik

31

Plattenkondensatoren

Abbildung 8

Bei einem Plattenkondensator mit ~r ”zwischen” den Platten, gilt  σ ex f¨ ur |x| < a ε0 ~ ~ ~ ~ E(~r) = E1 (~r) + E2 (~r) = . 0 f¨ ur |x| ≥ a Es gilt weiter Z U (~r) = −

~ r) d~r = − E(~

Z

σ σ ~ex dr = − x, ε0 ε0

mit σ = Q/A folgt also ∆U =

Q 2a. ε0 · A

Die Kapazit¨at C eines Plattenkondensators ist also C =

Q ε0 · A = . ∆U 2a

Reihen- und Parallelschaltung

Abbildung 9

Bei einer Reihenschaltung von zwei Plattenkondensatoren gilt ∆U1 =

Q C1

und

sowie V = ∆U = ∆U1 + ∆U2 =

∆U2 =

Q C2

Q Q Q , + = C1 C2 C

Kap.3

Elektrostatik

32

somit ergibt sich f¨ ur die Kapazit¨at 1 1 1 = + . C C1 C2 Bei einer Parallelschaltung von zwei Plattenkondensatoren gilt V = V1 = V2 =

Q1 Q2 Q = = C1 C2 C

sowie Q = Q1 + Q2 = C1 V + C2 V = CV, somit ergibt sich f¨ ur die Kapazit¨at C = C1 + C2 .

Dielektrika Die Kapazit¨at C eines Kondensators der Kapazit¨at C0 mit einem Dielektrika gef¨ ullt ist C = εr C0 , dabei ist εr eine Materialkonstante des Dielektrikums. Bei einem Plattenkondensator gilt also C = εr ε0

A 2a

und f¨ ur die Energie ergibt sich E =

3.6

E0 . εr

Der Satz von Gauß

Es gilt Z

~ · ~n da = E

S

Z

~ ·E ~ dV, ∇

V

somit folgt nach dem Gaußschen Gesetz gerade ~ = ∇ ~ ·E ~ = − ∆U = q , div E ε0 dies beschreibt die Poisson Gleichung.

3.7

Gleichstrom

~ gilt F¨ ur eine bewegte Ladung unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes E I = Stromst¨arke :=

Q Ladungsmenge = Zeit t

in

A = Amp`er.

Kap.3

Elektrostatik

33

Ohmsches Gesetz Ist U die Spannung, I die Stromst¨arke und R der Widerstand in Ω, so gilt I =

U , R

R =

U , I

U = RI,

I ∼ U.

Es gilt %·l , A dabei ist l die L¨ange des Leiters, A die Leiterquerschnittsfl¨ache und % ist ein materialspezifischer Widerstand des Leiters. R =

Daraus ergibt sich die Stromdichte ~ ~j := 1 E. %

3.8

Spiegelladungen

Befindet sich eine Ladung q in der N¨ahe einer leitenden Fl¨ache, so m¨ ussen sich die Feldlinien kr¨ ummen, da diese senkrecht auf der Fl¨ache auftreffen m¨ ussen. Sie kr¨ ummen sich geade, als ob eine Spiegelladung −q mit gleichen Abstand zur Fl¨ache vorhanden w¨are:

Abbildung 10 Zwei leitende Platten

Stehen zwei leitende Platten mit einem Winkel von α zueinander und gilt α =

180◦ n

mit

n ∈ Z,

dann ben¨otigt man 2n − 1 Spiegelladungen, die symmetrisch im Kreis um den Schnittpunkt der Platten angeordnet sind.

4

Magnetostatik

In der Magnetostatik werden nun bewegte Ladungen diskutiert und nicht nur wie bislang ruhende Ladungen.

4.1

Ladungserhaltung

Man definiert die Stromdichte ~j durch ~j = n0 q~v = N q~v , V dabei ist n0 = N/V die Teilchendichte, q die Ladung der Teilchen und ~v der Geschwindigkeitsvektor.

Bei zeitlich konstanten Volumen V gilt die Kontinuit¨atsgleichung ∂%(~x, t) ~ ~ + ∇ · j(~x, t) = 0. ∂t In der Magnetostatik gilt also ~j(~r, t) = ~j(~r) Der Linienstrom I ist

und

I = ~j · A,

dabei ist A die Leiterquerschnittsfl¨ache.

4.2

Die Lorentzkraft

In der Elektrostatik gilt: 34

~ · ~j(~r) = 0. ∇

Kap.4

Magnetostatik

35

~ Feld. ( 1 ) Eine ruhende Ladung erzeugt ein E ~ Feld erf¨ahrt eine Ladung q die Kraft ( 2 ) Im E ~ F~ = q · E. In der Magnetostatik gilt: ~ Feld. ( 1 ) Eine bewegte Ladung erzeugt ein B ~ Feld erf¨ahrt eine bewegte Ladung q die Kraft ( 2 ) Im B ~ F~ = (q · ~v ) × B. Die Gesamtkraft (Lorentzkraft) auf eine bewegte Ladung q ist somit   ~ + ~v × B ~ . F~ = q · E

4.3

Kraft auf Draht im Magnetfeld

Sei n0 die Ladungsdichte, ~j = n0 q~v die Stromdichte, I = |~j|A der Linienstrom, A die Leiterquerschnittsfl¨ache und am Ausgangspunkt gelte die Kraft ~ F~ = q~v × B. Dann wirkt auf ein kleines Leiterst¨ uck d~l die Kraft ~ = I(~et × B)dl, ~ dF~ = I(d~l × B) dabei ist ~et der Tangentialvekter an das Leiterst¨ uck.

Magnetisches Dipolmoment Ist I der Linienstrom durch einen Leiter und ist A die Fl¨ache, um die die Ladungen in dem Leiter rotieren, so gilt f¨ ur das magnetische Dipolmoment µ ~ gerade µ ~ = I · A · ~n, dabei ist ~n der Normalenvektor der Fl¨ache A. Beispiel

Zwei Punktladungen mit der Ladung q bewegen sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis vom Radius R in der xy-Ebene und die beiden Ladungen seien genau gegen¨ uber gelegen. Dann gilt µ ~ = I · A · ~n =

ωq · πR2 · ~ez = R2 ωq · ~ez . π

Kap.4

4.4

Magnetostatik

36

Magnetisches Feld einer bewegten Ladung

Das magnetische Feld einer bewegten Ladung q mit der Geschwindigkeit ~v ist ~ r) = µ0 · q · ~v × (~r − ~r0 ) . B(~ 4π |~r − ~r0 |3 Es gilt das Superpositionsprinzip: ~ r) = B(~

N X

~ i (~r). B

i=1

Biot Savartsches Gesetz Eine stromtragende geschlossene Leiterschleife c mit dem Linienstrom I erzeugt das Magnetfeld Z µ0 I ~et × (~r − ~r0 ) ~ B(~r) = ds. 4π c |~r − ~r0 |3 Beispiele

Eine Kreisschleife in der x, y Ebene vom Radius R erzeugt auf der z Achse das Magnetfeld µ0 IR2 ~ r) = B(~ · ~ez . 2(R2 + z 2 )3/2 Eine (unendlich) langer gerader Draht entlang der z Achse erzeugt das Magnetfeld     − sin ϕ −y ~ r) = B(%, ~ ϕ) = µ0 I ·  cos ϕ  = µ0 I ·  x  . B(~ 2π% 2π|~r|2 0 0

4.5

Amp` eresches Durchflutungsgesetz

Sei c eine geschlossene Kurve und sei ~et der Tangentialvektor der Kurve. ~ gerade Dann gilt f¨ ur ein Magnetfeld B Z X ~ · ~et dl = µ0 B Ieingeschlossen . c

Beispiel

Ist c eine Kreisschleife vom Radius R um einen Leiter mit dem Linienstrom I, so erh¨alt man wieder vom Betrage her 2πRB = µ0 I

⇔

B =

µ0 I . 2πR

Kap.4

4.6

Magnetostatik

37

Grundgleichungen der Magnetostatik

In der Elektrostatik gelten die Grundgleichungen ~ ·E ~ = %/ε0 (1) ∇

~ ×E ~ = 0, (2) ∇

und

~ Feld ist also wirbelfrei. das E In der Magnetostatik gelten die Grundgleichungen ~ ·B ~ = 0 (1) ∇

und

~ ×B ~ = µ0~j, (2) ∇

~ Feld ist also quellenfrei. das B Zu einer Oberfl¨ache S mit dem Normalenvektor ~n schreibt man auch Z ~ ~ ~ · ~n da = 0. ∇·B = 0 ⇔ B S

5

Elektrodynamik

5.1

Faradaysches Induktionsgesetz

Sei A die Fl¨ache einer Stromschleife c. Dann gilt f¨ ur die induzierte Spannung Uind gerade Z Z d ~ · ~n da = ~ · ~et dl =: −L dI , Uind = − φ˙ = − B E dt A dt c dabei ist L die Induktivit¨at. Beispiel

Ist A die Fl¨ache zwischen einer Spule der L¨ange l, welche N Windungen hat, so gilt L = µ0 AN 2 /l.

5.2

Satz von Stokes

Sei S eine Oberfl¨ache und sei c die Kurve, die die Oberfl¨ache S abschließt. ~ gerade Dann gilt f¨ ur ein Vektorfeld A Z Z ~ ~ ~ dl. (∇ × A) · ~n da = ~et · A S

5.3

c

Maxwell Gleichungen

Ist A1 der Deckel eines Zylinders mit dem Normalenvektor ~n und ist c die Kurve, die die Kreisfl¨ache A1 abschließt, so gilt f¨ ur den Maxwellschen Verschiebungsstrom Z Z ~ × B) ~ · ~n da = ~ · ~et dl = µ0 I, (∇ B A1

c

dabei ist I der Linienstrom eines Leiters durch den Zylinder. Aus diesem Verschiebungsstrom und aus den Grundgleichungen der Elektround Magnetostatik erh¨alt man nun die Maxwell Gleichungen: 38

Kap.5

Elektrodynamik

39

~ ·E ~ = %/ε0 (1) ∇ ~ ×E ~ = −∂ B/∂t ~ (2) ∇ ~ ·B ~ = 0 (3) ∇ ~ ×B ~ = ε0 µ0 ∂ E/∂t ~ (4) ∇ + µ0~j Im Vakuum gilt stets % = 0 sowie ~j = 0.

5.4

Gleichungen f¨ ur Potentiale

~ und ein Skalarfeld φ gegeben, so erzeugen diese ein E ~ Sind ein Vektorfeld A ~ Feld: und ein B ~ r, t) = −∇φ(~ ~ r, t) − ∂ A(~ ~ r, t), E(~ ∂t ~ r, t) = ∇ ~ × A(~ ~ r, t). B(~ ~ 2 (~r, t) mit φ1 , φ2 , A ~ 1, A ~ 2 , so gibt ~ 1 (~r, t) = E ~ 2 (~r, t) sowie B ~ 1 (~r, t) = B Gilt E es eine Eichtransformation ψ(~r, t) mit ∂ ψ(~r, t), ∂t ~ 2 (~r, t) = A ~ 1 (~r, t) + ∇ψ(~ ~ r, t). A φ2 (~r, t) = φ1 (~r, t) −

6

Wellengleichungen

Gilt % = 0 und ~j = 0, so ergeben sich aus den Gleichungen f¨ ur Potentiale die Wellengleichungen   ∂2 ∆φ − ε0 µ0 2 φ = 0, ∂t   ∂2 ~ ~ ∆A − ε0 µ0 2 A = 0. ∂t

6.1

L¨ osungen der Wellengleichungen

Ebene Wellen Eine spezielle L¨osung der Wellengleichungen sind ebene Wellen: ~ r, t) = A ~ 0 · ei(~k~r−ωt) , A(~ dabei ist ~k der Wellenvektor mit |~k| = 2π/λ und λ der Wellenl¨ange, kˆ = ~k/|~k| ist der Ausbreitungsvektor, ~k~r ist konstant und ω = c|~k| ist die Kreisfrequenz mit der Lichtgeschwindigkeit c, eine Periode ist also T = 2π/ω.

Kugelwellen Eine weiter L¨osung der Wellengleichungen sind Kugelwellen:   ~ r, t) = A ~ 0 · ei(~k~r−ωt) / |~r|. A(~ Dabei gilt ˆ ~ ⊥ k, E

~ ⊥B ~ E

und

ˆ ~ ⊥ k, B

~ B ~ und kˆ ein orthogonales Dreibein. somit bilden E, ~ = c|B|. ~ Außerdem gilt |E| Superposition

F¨ ur beide L¨osungen der Wellengleichungen gilt das Superpostitionsprinzip.

40

Kap.6

6.2

Wellengleichungen

41

Polarisation

Lineare Polarisation Ist kˆ = ~ez , so gilt f¨ ur die lineare Polarisation gerade ~ r, t) = E0~ey cos(kz − ωt), E(~ ~ r, t) = B0~ex cos(kz − ωt). B(~

Zirkulare Polarisation Eine L¨osung der zirkularen Polarisation ist zum Beispiel ~ r, t) = E0 (~ey cos(kz − ωt) + ~ex sin(kz − ωt)) , E(~ ~ r, t) = B0 (~ex cos(kz − ωt) − ~ey sin(kz − ωt)) . B(~

6.3

Energiedichte

Die Energiedichte U des elektromagnetischen Feldes ist   1 ~2 1 2 ~ ε0 E + B . U = 2 µ0 F¨ ur den Poyntingvektor   ~ = 1 E ~ ×B ~ S µ0 gilt nun ∂U ~ ·S ~ = 0. +∇ ∂t