Theoretische Physik II: Quantenmechanik Hans-Werner Hammer Marcel Schmidt (
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Wintersemester 2016/17 Probeklausur
12./13. Januar 2017
Name:
Matrikelnummer:
Studiengang:
Physik (B.Sc.) Mathematik (B.Sc.) Sonstiges:
Erlaubte Hilfsmittel:
Handgeschriebene Formelsammlung (1 DIN-A4-Blatt, Vorder-/Rückseite)
Zeit:
120 Minuten
Bemerkungen:
Bearbeiten Sie die Aufgaben auf separaten Blättern. Versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
Aufgabe
Punkte
Gesamt
Korrektor
Aufgabe
Punkte
Gesamt
1a)
2
2a)
6
b)
2
b)
5
c)
3
c)
10
d)
2
d)
5
e)
2
e)
4
f)
2
SUMME:
30
g)
3
3a)
2
h)
2
b)
10
i)
3
c)
10
j)
2
k)
2
SUMME:
22
SUMME:
25
4a)
10
b)
5
c)
8
SUMME:
23
Gesamtpunktzahl:
Korrektor
von 100
Note:
Bestanden Nicht bestanden 1
Aufgabe 1 Quicky-Fragen und Kurzaufgaben (25 Punkte) ~
~
a) Berechnen Sie ∆~x e i k·~x /ħh und εmnl km ∂ ∂x e i k·~x /ħh. (2 Punkte) n
b) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung −ψ00 (x) = E ψ(x) für E < 0 und für E > 0 an. (2 Punkte) c) Wie lautet die eindimensionale, zeitabhängige Schrödinger-Gleichung eines Punktteilchens der Masse m im Potential V (x) ? Leiten Sie aus dieser die stationäre Schrödinger-Gleichung her. (3 Punkte) d) Vereinfachen Sie die Kommutatoren ˆ p, 3ˆ x + ˆp/2 und xˆ , xˆ ˆp2 soweit wie möglich. (2 Punkte) ¬ ¶ e) Zeigen Sie x 0 x = δ(x − x 0 ) , indem Sie die Vollständigkeitsrelation der Ortsbasis benutzen. (2 Punkte) h h 11 12 ˆ= mit hi j ∈ R . Berechnen Sie alle Energieeigenf) Gegeben sei der Hamiltonoperator H h21 h22 werte des Systems. Berechnen Sie dann alle normierten Eigenzustände für den Fall h12 = h21 = 0 . (2 Punkte) p g) Wie muss α ∈ R gewählt werden, damit der Zustand χ = |↓〉 + α |↑〉 / 3 normiert ist? ~ˆ2 im normierten Zustand χ . Berechnen Sie die Erwartungswerte der Operatoren Sˆ3 und S (3 Punkte) h) Zeigen Sie, dass aˆ† |n〉 Eigenzustand des Besetzungszahloperators zum Eigenwert (n + 1) ist, wenn |n〉 Eigenzustand zum Eigenwert n ist. (2 Punkte) i) Gegeben sei ein anisotroper harmonischer Oszillator in drei Dimensionen mit Oszillatorfrequenzen ω1 = ω2 = ω3 /2 ≡ ω . Geben Sie die niedrigsten 3 Eigenenergien in Einheiten von ħ hω sowie deren Entartungsgrade an. (3 Punkte) R 2π Rπ j) Berechnen Sie 0 dϕ 0 dθ sin θ Ylm (θ , ϕ) für alle möglichen l, m . (2 Punkte)
ˆ r = 1 ~ˆL 2 (θ , ϕ) . Eine Energiemessung ergebe E = 0 . Geben k) Gegeben sei der Hamiltonoperator H 2Θ Sie die Wellenfunktion ψ t (θ , ϕ) direkt nach der Messung ( t = 0) und bei t = T > 0 an. (2 Punkte)
2
Aufgabe 2 Wellenmechanik: δ-Potential (30 Punkte) Gegeben sei der Hamiltonoperator
ˆ =− H
ħ h2
∂2
2M ∂ x 2
− α δ(x)
mit α > 0 . a) Wie lauten die Randbedingungen für ψ(x) und ψ0 (x) bei x = 0 ? (6 Punkte) HINWEIS: Integrieren Sie die stationäre Schrödinger-Gleichung über einen Bereich [−", "] mit " > 0 und betrachten Sie dann den Grenzfall " → 0 . b) Geben Sie die allgemeinen Lösungen ψA,B (x) der stationären Schrödinger-Gleichung für die Bereiche x < 0 (A) und x > 0 (B) an, wenn E < 0 . Argumentieren Sie, welche Lösungsanteile physikalisch inakzeptabel sind. (5 Punkte) c) Berechnen Sie alle (normierten) Bindungszustände ψ(x) und ihre Energien E . (10 Punkte) d) Betrachten Sie nun den Fall E > 0 . Wie lautet die allgemeine Lösung der stationären SchrödingerGleichung? Vereinfachen Sie Ihr Resultat für den Fall einer von links einlaufenden ebenen Welle mit Amplitude A = 1 . (5 Punkte) e) Bestimmen Sie Transmissionskoeffizient T und Reflexionskoeffizient R im Limes E → 0 . (4 Punkte)
3
Aufgabe 3 Harmonischer Oszillator: Virialsatz (22 Punkte) ˆ |n〉 = En |n〉 , dass a) Zeige für beliebigen Operator A und H ¬ ¶ ˆ Aˆ n = 0 . n H, (2 Punkte) b) Beweisen Sie den Virialsatz für den eindimensionalen harmonischen Oszillator.(10 Punkte) ˆ xˆ ˆp . HINWEIS: Betrachten Sie den Erwartungswert des Kommutators H, c) Überprüfen Sie den Viriralsatz explizit in der Besetzungszahldarstellung durch Verwendung der Auf- und Absteigeoperatoren. (10 Punkte)
4
Aufgabe 4 Bahndrehimpuls und Messung (23 Punkte) a) Zerlegen Sie die Wellenfunktion
ψ(~x ) = N mit r ≡ |~x | = (10 Punkte)
p
a 3x 2 − r 2 exp − r 2
x 2 + y 2 + z 2 und a > 0 nach den Eigenfunktionen der Operatoren ~ˆL 2 und ˆL3 .
HINWEIS: Es gilt cos2 ϕ = (1 + cos (2ϕ))/2 . b) Es werde eine simultane Messung an ~ˆL 2 und ˆL3 durchgeführt. Geben Sie die möglichen Messergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten an. (5 Punkte) c) Berechnen Sie die Normierungskonstante N . (8 Punkte) R∞ HINWEIS: Es gilt 0 d r r k e−ar = k!/a k+1 für k ∈ N0 und a > 0 .
5
