Einleitung Schweißzellenproblem Editionsproblem Zusammenfassung

Optimierungsprobleme in der Industrie Dipl.-Inf. Matthias Rupp

2006-01-20, TU Darmstadt

Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

Einleitung Schweißzellenproblem Editionsproblem Zusammenfassung

Gliederung

Einleitung

Anwendungen, Modelle, Verfahren

Schweißzellenproblem

Einf¨ uhrung, Komplexit¨at, Algorithmen

Editionsproblem

Vorstellung

Zusammenfassung

Fazit, Literatur Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

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Beteiligte Institutionen Diplomarbeit Zeitoptimale Bearbeitungs” reihenfolgen f¨ ur mehrere Schweißroboter: Modelle und Algorithmen“ → www.mrupp.info

Projekt OptiSpot → www.frankfurt-consulting.de

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Optimierung Modelle & Verfahren

Einleitung

Matthias Rupp

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Optimierung Modelle & Verfahren

Optimierung in der Industrie

Branchen:

Bereiche:

I

Chemische Industrie

I

Produktion, Fertigung

I

Automobilindustrie

I

Prozesse, Arbeitsvorg¨ange

I

Halbleiterindustrie

I

Qualit¨atssicherung

I

Energiewirtschaft

I

Transport, Logistik

I

Einzelhandel

I

...

I

Milit¨ar

I

...

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Optimierung Modelle & Verfahren

Optimierungsprobleme

Minimiere

f :D→W

I

Einschr¨ankung von D durch Nebenbedingungen.

I

Stochastische Multi-Stage Modelle

I

L¨ osungsans¨atze erfordern mehr Struktur → Vielfalt an Formulierungen

Matthias Rupp

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Optimierung Modelle & Verfahren

Modelle & Verfahren (Klassifikation) Modelle: I

deterministisch vs. stochastisch

I

diskret vs. kontinuierlich

I

algebraisch vs. beliebig

Verfahren: I

deterministisch vs. stochastisch

I

exakt vs. heuristisch

I

analytisch vs. algorithmisch

Eigenschaften algebraischer Funktionen (stetig, ableitbar, . . .). Matthias Rupp

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Optimierung Modelle & Verfahren

Modelle & Verfahren (Auswahl) I

Deterministische mathematische Programmierung I I

I

Stochastische Programmierung I I

I

Multi-Stage Modelle Probabilistische Nebenbedingungen

Stochastische Suchverfahren I I I

I

(Nicht) lineare Programmierung (Gemischte) ganzzahlige Programmierung

Simuliertes Abk¨ uhlen Evolution¨are Algorithmen Iterierte lokale Suche

Andere I I I

Statistische Methoden, Bayes Ans¨atze Fortsetzungs- und Gl¨attungsmethoden Intervall-Methoden Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Das Schweißzellenproblem

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Hintergrund I

Automobilindustrie

I

Automatisierte Fertigung von Fahrzeugen

I

Karosserierohbau: Punktschweißen

I

Fertigungsstraße / Roboterg¨arten

I

Stationen (Gruppen von Industrierobotern)

I

Durchlaufendes Werkst¨ uck

I

Gesucht: Programmierung der Roboter mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Beschreibung Eingabe: I

Station (Geometrie, Schleusen)

I

Roboter (Anzahl, Geometrie, Kenndaten, Position, Ausrichtung)

I

Werkzeuge (Geometrie, Roboter)

I

Werkst¨ uck (Geometrie)

I

Schweißpunkte (Position, Typ, Zeit, Orientierung)

I

Nebenbedingungen(Gleichzeitigkeit,Reihenfolge,Ausschluss,...)

Ausgabe: I

Vollst¨andiges kollisionsfreies Programm (Bewegungen, Verriegelungen) f¨ ur alle Roboter mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Vereinfachung I Eingabe: I

Station (Geometrie, Schleusen)

I

Roboter (Anzahl, Geometrie, Kenndaten, Position, Ausrichtung)

I

Werkzeuge (Geometrie, Roboter)

I

Werkst¨ uck (Geometrie)

I

Schweißpunkte (Position, Typ, Zeit, Orientierung)

I

Nebenbedingungen(Gleichzeitigkeit,Reihenfolge,Ausschluss,...)

Ausgabe: I

Vollst¨andiges kollisionsfreies Programm (Bewegungen, Verriegelungen) f¨ ur alle Roboter mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Schwierigkeiten Gegeben m Roboter, n Schweißpunkte sowie Nebenbedingungen, finde ein vollst¨andiges kollisionsfreies Programm mit minimaler Gesamtbearbeitungszeit. Schwierigkeiten: I

Gegenseitige Beeinflussung der Roboter

I

Unterschiedliche Wege und Wegzeiten

I

Wegplanung und Ansteuerung

I

Modellierung der Roboter

→ Weitere Vereinfachung n¨otig

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Einordnung Involvierte Gebiete: I

Optimierung

I

Wegplanung

I

Kollisionserkennung

I

Roboteransteuerung

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Einordnung Involvierte Gebiete: I

Optimierung

I

Wegplanung

I

Kollisionserkennung

I

Roboteransteuerung

→ Reduktion auf Optimierungsaspekt Andere Arten der Vereinfachung sind m¨oglich und sinnvoll!

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Vereinfachung II Definition (WCP-A) Gegeben sei ein ungerichteter, vollst¨andiger Graph G = (V , E ) mit Kantengewichten c : E → R≥0 und m ausgezeichnete Knoten s1 , . . . , sm ∈ V . Finde eine Partitionierung von V in m Mengen L1 , . . . , Lm ⊆ V sowie eine Anordnung σi : {1, . . . , |Li |} → Li ,

σi bijektiv,

jeder dieser Mengen, so dass σi (1) = si und   i |−1 |LX  max c ({σi (j), σi (j + 1)})  1≤i≤m  j=1

minimal ist. Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Komplexit¨at

I

TSP ist Spezialfall des WCP-A ⇒ TSP ≤pm WCP-A

I

WCP-A ∈ NP ⇒ WCP-A NP-vollst¨andig ⇒ WCP-A ≤pm TSP

I

Problem: ≤pm liefert per se keine l¨osungserhaltende Reduktion

I

Wesentlicher Unterschied zwischen WCP-A und TSP ist das Optimierungskriterium

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Algorithmen

I

Naive Methode erfordert L¨osen von mn TSPs.

I

Optimale L¨osung z.B. durch ganzzahlige Programmierung Beispiel: Concorde-Bibliothek f¨ ur TSP [Cook et al]

I

Gute L¨osung durch stochastische Suchverfahren. Beispiel: Lin-Kernighan-Helsgaun Heuristik f¨ ur TSP [Helsgaun, 2000]

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Stochastische Suchverfahren

13 implementierte Verfahren: I

Evolution¨are Algorithmen (2 Varianten)

I

Populationsbasierte Algorithmen (3 Varianten)

I

Simuliertes Abk¨ uhlen (5 Varianten)

I

Iterierte lokale Suche (2 Varianten)

I

Memetische Algorithmen (1 Variante)

Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Datens¨atze 18 zuf¨allige Problemdatens¨atze: m n

2 10

2 50

3 50

4 50

2 100

3 100

4 100

6 100

8 100

m n

3 200

4 200

6 200

8 200

12 200

6 500

8 500

12 500

12 1000

11 Produktionsdatens¨atze: m n

4 107

4 194

2 32

2 43

2 67

Matthias Rupp

2 9

2 9

4 16

4 19

2 50

2 23

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Vergleich L¨ osungsg¨ ute: Platzierung Produktionsdaten 1 ILS 2 2 ILS 1 3 MEM 4 SAN ···

zuf¨allige Daten ILS 2 MEM ILS 1 SAN

Alle Daten ILS 2 MEM ILS 1 SAN

ILS = Iterierte Lokale Suche, MEM = Memetischer Algorithmus, SAN = Simuliertes Abk¨ uhlen Anzahl Funktionsauswertungen: I

ILS 1 ben¨otigt 2x bzw. 4x mehr Auswertungen als SAN.

I

ILS 2 ben¨otigt 200x bzw. 700x mehr Auswertungen als ILS 1. Matthias Rupp

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Beschreibung Vereinfachung Komplexit¨ at L¨ osungen

Fazit

I

Neues Problem im Bereich der automatisierten Fertigung

I

Reduktion auf Optimierungsaspekt liefert WCP-A

I

Vergleich stochastischer Suchverfahren auf Testdatens¨atzen Fortf¨ uhrung:

I

I

I I

Ber¨ ucksichtigung von Kollisionen (Approximation der Geometrien, Kollisionsintegral) Verriegelungsprogramme Zangenwechsel, Bewegung des Werkst¨ ucks

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Vorstellung

Das Editionsproblem

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Vorstellung

Hintergrund & Beschreibung Hintergrund: I

Automobilindustrie

I

Fertigungs- und Absatzplanung von Automobilen ¨ Ubertragbar auf andere konfigurierbare Produkte

I

Beschreibung: I

Produkt in diskreten Merkmalskombinationen orderbar

I

Liste mit vergangenen Abs¨atzen liegt vor

I

Gesucht ist eine partielle Merkmalskombination, die in der Vergangenheit oft geordert wurde

Matthias Rupp

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Vorstellung

Formale Definition Definition (Editionsproblem) Gegeben eine bin¨are Matrix M ∈ {0, 1}n×m , finde Spalten p1 , . . . , pk ∈ {1, . . . , m} und Werte w1 , . . . , wk ∈ {0, 1} so dass  j Mj,p = w1 ∧ . . . ∧ Mj,p = wk k 1 k nm maximal wird. Anmerkungen: I

Der Faktor k/nm normiert auf [0, 1]

I

Vom Muster erfasster Anteil der Matrix

Matthias Rupp

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Vorstellung

Beispiel 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0

Matthias Rupp

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

n = 11, m = 10 p1 = 1, p2 = 4, p3 = 10 w1 = 0, w2 = 1, w3 = 1 |{3, 4, 5, 6, 7, 10}| · 3/110 = 6 · 3/110 = 18/110 ≈ 16.4%

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Vorstellung

Ans¨atze

I

Vorverarbeitung (mehrfach auftretende Zeilen)

I

Branch & Bound

I

Ganzzahlige Programmierung

I

Stochastische Suchverfahren

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Fazit Literatur

Zusammenfassung

Matthias Rupp

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Fazit Literatur

Fazit

I

Bedeutung von Optimierung in der Industrie

I

Vielfalt an Problemtypen & L¨osungsans¨atzen

I

Stellvertretend zwei Optimierungsprobleme aus der Industrie

I

Unterschiede in Modellierbarkeit, Komplexit¨at

Matthias Rupp

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Fazit Literatur

Matthias Rupp: Zeitoptimale Bearbeitungsreihenfolgen f¨ ur mehrere Schweißroboter: Modelle und Algorithmen, Diplomarbeit, Johann-Wolfgang-Goethe Universtit¨at, 2004. www.mrupp.info Frankfurt Consulting Engineers, www.frankfurt-consulting.de, 2006. David Applegate, Robert Bixby, Vaˇsek Chv´atal, William Cook: Traveling Salesman Problem, www.tsp.gatech.edu, 2006. Keld Helsgaun: An Effective Implementation of the Lin-Kernighan Traveling Salesman Heuristic, European Journal of Operational Research, Band 126 (1), Elsevier, 2000-10-01.

Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

Suchraumgr¨oße I Satz Der Suchraum des WCP-A hat die Gr¨oße

n+m−1 n




n!.

Beweisidee [Rupp, 2004]. Aufstellen einer Rekursionsgleichung in m: an,m :=

n   X n i=0

i

i! an−i,m−1 f¨ ur m > 1,

an,1 := n!.

L¨ osen der bivariaten exponentiellen Erzeugendenfunktion A(y , z) :=

XX

an,m

n≥0 m≥1

y y mz n = ... = . n! 1−z −y

Entwicklung um y = z = 0 liefert die Koeffizienten. Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

Suchraumgr¨oße II I

TSP hat Suchraumgr¨oße 12 (n − 1)!.

I

Problem: WCP-A hat zwei Parameter, n und m.

I

F¨ ur |V | = n + m als Eingabegr¨oße w¨achst das TSP schneller: 1 Suchraumgr¨oße WCP-A = . Suchraumgr¨oße TSP (m − 1)!

I

F¨ ur n als Eingabegr¨oße w¨achst das WCP-A schneller:   Suchraumgr¨oße WCP-A n+m−1 = · n. Suchraumgr¨oße TSP n

I

In der Praxis ist m konstant.

Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

Ausblick: Geometrieapproximation I

Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

Ausblick: Geometrieapproximation II

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Optimierungsprobleme in der Industrie

Ausblick: Geometrieapproximation III

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Ausblick: Geometrieapproximation IV

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Optimierungsprobleme in der Industrie

Ausblick: Geometrieapproximation V

Matthias Rupp

Optimierungsprobleme in der Industrie

Ausblick: Geometrieapproximation VI

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