Operar cantidades expresadas con Fracciones o Decimales 5to. Grado Universidad de La Punta

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CONSIDERACIONES GENERALES Desde la perspectiva que asocia el aprendizaje con la construcción del sentido de los conocimientos, para las operaciones con los números racionales, interesa ocuparse de: - los problemas que se resuelven o que se relacionan con ellas, - las situaciones en las que no pueden ser utilizadas, - la evolución de las distintas concepciones de la operación que permita utilizarla en los distintos campos numéricos, - sus relaciones con otros conceptos (multiplicación y división con proporcionalidad, por ejemplo), - sus relaciones con otras operaciones, - los recursos de cálculo que pueden ser utilizados, en donde el algoritmo es uno entre otros posibles, - por qué funcionan tales recursos de cálculo, - cuáles son los mecanismos de control que se poseen y que permiten validar el procedimiento realizado o la adecuación de la respuesta, etc. La propuesta es más compleja y diferente de agregar un contexto a una “suma de fracciones” o incorporar un listado de problemas al final del desarrollo de un tema que “muestre” dónde se usa un algoritmo, estrategias de enseñanza que se apoyan en la idea ya superada de que mirando y practicando se aprende. Se presentan situaciones que requieran un uso posible de los números racionales para que los alumnos puedan resolverlos con herramientas propias, por ejemplo, situaciones donde hay que expresar un reparto o una medida. También habrá que presentar nuevas situaciones que requieran utilizar las operaciones ya conocidas lo que les permitirá resignificarlas en el nuevo campo numérico. También se propone un trabajo de análisis y reflexión de situaciones problemáticas que involucran distintas operaciones y sus diferentes significados con el objeto de permitir el estudio de los límites de utilización de cada una de las operaciones. En síntesis, lo que planteamos aquí es la necesidad de proponer problemas que permitan a los alumnos ir comprendiendo el tipo de situaciones para las que son útiles las operaciones. Significados de las operaciones con números fraccionarios Los variados significados de las operaciones con números racionales son: En la suma y la resta Los significados de las fracciones pensadas como estados son idénticos a los de la suma y la resta con naturales (unir, separar, agregar, quitar, igualar). Se deben trabajar situaciones problemáticas que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos.

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Las fracciones pensadas como operadores implican la búsqueda de una cantidad intermedia (unidad o común denominador) al que se aplican. Por ej. 2/3 + 3/4 se puede pensar como 2/3 de una cantidad más 3/4 de la misma. Por ejemplo, sea la cantidad 12, con lo cual 2/3 de 12 es 8 y 3/4 de 12 es 9 y el resultado de sumarlas es 17/12. Por ejemplo, si Carla se comió 2/4 de las galletitas de un paquete y Fernando 2/5 del mismo, ¿Qué parte de galletitas quedaron en el paquete? Puede ser pensado como dos estados que se unen o bien como dos operadores que actúan sobre la cantidad de galletitas. En ambos casos se ha de buscar una unidad conveniente, por ejemplo 20 y el resultado será 18/20. En la multiplicación Algunas situaciones son posibles de resolver apoyándose en la suma y retomar un significado de la multiplicación con el que los alumnos ya están familiarizados para ir construyendo los primeros procedimientos de cálculo de dobles o mitades, triples, etc. Analizar las producciones y vincular el sentido del problema con los resultados obtenidos permitiría obtener algunas primeras reglas ligadas a la descomposición de fracciones a/b como a x 1/b o a la consideración de las denominaciones de las cifras decimales. -

7 x 3/4 = 7 x 3 x = 21 x 1/4

-

5 x 0,35 = 5 x 35 centésimos = 175 centésimos

Por lo tanto, se deben trabajar situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados:  n x a/b resulta identificable como “n veces a/b” Por ejemplo 5 x 3/4 = 5 veces 3/4  a/b x n resulta identificable con la expresión “a/b de n” lo que implica dividir n por b y multiplicar el resultado por a ó viceversa. Por ejemplo: 3/5 x 10 será pensado como 3/5 de 10 lo que resulta igual a 6.  a/b x c/d = se extiende el significado anterior “a/b de c/d”. En general el resultado es menor que los factores salvo que se trabaje con fracciones mayores que la unidad. Por ejemplo: 2/3 de 3/4 resultará 6/12. (Este tipo de situaciones se trabajarán en 6to grado). En la división Es necesario también considerar las situaciones que se refieren al cálculo de una parte de una cantidad. Esta tarea es posible vincularla con situaciones de reparto en partes iguales que ya se hayan realizado, como calcular la cuarta parte o la mitad. Lo nuevo será vincular la multiplicación y la división con las escrituras fraccionarias, ya que, por ejemplo, buscar las tres cuartas partes de 12 puede pensarse como dividir el 12 por 4 y tomar 3 partes, lo que supone pensar a 3/4 como el triple de la cuarta parte o también puede pensarse como hacer el triple de 12 y después averiguar la cuarta parte, es decir, calcular la cuarta parte del triple. Es interesante observar que si se

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calcula la cuarta parte del triple, o el triple de la cuarta parte, se obtiene el mismo resultado, aunque el significado de lo que se hace sea distinto. Para los alumnos, la idea de “parte de…” es más fácil de relacionar con una división que con la multiplicación, pero habrá que explicitar que hacer la mitad de 24 puede escribirse tanto 24 : 2 como 1/2 x 24, y agregar más adelante 0,5 x 24. Por lo tanto, se deben trabajar situaciones problemáticas que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí  n : a/b posee el significado de partir (¿Cuántas veces cabe a/b en n?). Por ejemplo: 6 : 2/3 equivale a cuántas veces cabe 2/3 en 6, lo que da 9 veces.  a/b : n = puede pensarse como repartir una fracción en n partes. Por lo que 2/3 dividido 3 resulta 2/9.  a/b : c/d corresponde también a partir (¿Cuántas veces cabe c/d en a/b?) Por ejemplo: 3/4 : 1/4 equivale a cuántas veces cabe 1/4 en 3/4 lo que es igual a 3. (Este tipo de situaciones se trabajarán en 6to grado)

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ÍNDICE DE LA PROPUESTA Actividad 1: Para pensar y luego resolver con fracciones. Resolver situaciones para operar fracciones con distintos significados.

Actividad 2: Partiendo entero. Determinar la fracción de un número en situaciones de contexto.

Actividad 3: Para pensar y luego resolver con decimales. Resolver situaciones para operar números decimales con distintos significados.

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Actividad 1: Para pensar y luego resolver con fracciones. ORGANIZACIÓN En Grupos de 2 alumnos.

ACTIVIDADES 1 · Martina Y Rulita comieron galletitas de un mismo paquete que contenía 20 galletitas. Martina dice: “del paquete comí 10 galletitas y ¿vos Rulita?” Rulita le contesta: “yo comí 8” 2·

¿Qué parte de las galletitas quedaron en el paquete?

Maria y Dayana van a comprar la misma tela a la tienda. Maria necesita un metro y medio y Dayana tres cuartos metro.

A. ¿Cuántos metros de tela necesitan entre las dos? B. Si el metro cuesta $28,50. ¿Cuánto deberá pagar cada una? 3 · Un empleado trabaja 4 horas y media por la mañana y 3 horas y media por la tarde. De lunes a viernes trabaja mañana y tarde y los sábados solo por la mañana. Su sueldo mensual se calcula teniendo en cuenta la cantidad de horas trabajadas por semana. Por hora le pagan $62,50 A. ¿Cuántas horas por semana trabaja? B. ¿Cuánto cobra por mes? 4 · Cuatro amigos quieren repartir media barra de chocolate entre ellos de tal manera que a cada uno le toque lo mismo. ¿Qué parte le tocará a cada uno? 3 m de largo y se necesita dividirla en 3 partes de igual 5 medida. Cada pedazo, ¿tendrá más o menos de un metro?

5 · Se tiene una soga de 3

6 · Carlos está haciendo una caja para guardar lápices. Necesita 5 trozos de madera: uno para el fondo y cuatro para los lados. La caja no tendrá tapa.

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Carlos piensa cortar los cinco trozos de una larga tabla de madera que mide 10cm de 1 1 ancho y 1 cm de espesor. Los lápices miden 15 cm. Carlos quiere que el largo 4 2 3 interior de la caja sea cm más grande, de modo que sea fácil sacar los lápices. 2

Todas las medidas en centímetros A. ¿Qué largo tendrá que cortar Carlos para el fondo, los extremos y los lados de la caja? B. ¿Cuál será el alto de la caja? 7 · En una empresa, 4 de cada 7 empleados tienen 10 años de antigüedad, y 3 de cada 8, más de 20 años de antigüedad. Si la empresa tiene 504 empleados. A. ¿Cuántos de ellos tienen 10 años de antigüedad? B. ¿Cuántos de ellos tienen más de 20 años de antigüedad? 8 · Las siguientes instrucciones corresponden a un polvo para preparar pintura: 1 3 “Para conseguir el color exacto, mezcle kg de polvo por cada litros de 2 4 agua”. A. ¿Qué cantidad de agua es necesario para 1 kg de polvo? 1 B. ¿Qué cantidad de agua será necesario para kg de polvo? 4 9 · En una jarra cuya capacidad es de 2 litros, había 1 litro y

1 de jugo. Si se 4

1 litro, ¿cuánto jugo hay que poner en la jarra para completar los 2 2 litros? ¿Cómo lo averiguaste?

consumió

10 · En una panadería preparan pan rallado que luego venden en bolsas de diferentes cantidades. A. ¿Cuántas bolsas de

1 1 kg se pueden llenar con 2 kg de pan rallado? 2 4

B. ¿Cuántas bolsas de

1 3 kg se pueden llenar con 3 kg de pan rallado? 2 4

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11 · 2 de

Una botella de gaseosa tiene 2

1 litros. Se sirvieron 3 vaso de ¼ litro y 4

1 de litro. ¿Cuánta gaseosa queda en la botella? 3

Nota:  Luego de resolver las situaciones planteadas anteriormente se les puede pedir a los alumnos que analicen en el grupo cuáles son las que resolvieron con suma y cuáles con multiplicación.  Después se discute si solo es posible resolverlo de esa manera o si, por ejemplo, los que resolvieron con suma se pueden resolver con multiplicación o al revés, y si los que resolvieron con multiplicación se pueden resolver con suma, indistintamente.

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Actividad 2: Partiendo enteros.

ACTIVIDADES 1 · En el último examen de matemática un cuarto de los 40 alumnos obtuvo un puntaje superior a 8. ¿Qué cantidad de alumnos obtuvieron esa nota? 2 · A Lucas le faltan

1 de las figuritas necesarias para completar el álbum. Si el 6

álbum tiene 120 figuritas: -

¿Cuántas le faltan pegar?

-

¿Cuántas tiene pegadas?

3 · Celina tiene una colección de 68 postales de animales y flores. Si los animales son un cuarto del total. ¿Cuántas postales de flores tiene? 4 · La mitad de quinto grado son niñas. Si son 16 niñas. ¿Cuántos alumnos tiene el curso? 5 · Tres cuartos de los alumnos de sexto grado son 15 varones. ¿Cuántos alumnos tiene el curso? 6 · Carolina fue de vacaciones y trajo de regalo una caja con 24 alfajores. En la caja

1 5 de los alfajores son de chocolate, son de dulce de leche y el resto es 3 12

de fruta. A. ¿Cuántos alfajores trajo de cada tipo? B. Si a su mamá sólo le gustan los alfajores de chocolate y de dulce de leche, ¿qué parte del total de alfajores puede comer? 7 · Una bolsa de 40 caramelos en la que

1 1 1 son de menta, son de ananá, son 2 4 4

de naranja y el resto son de frutilla. Se puede asegurar, sin contarlos, que en la bolsa no hay caramelos de frutilla. ¿Por qué? 8·

En un taller mecánico han arreglado en el último mes 70 autos. En dos séptimos de ellos arreglaron los frenos, en tres quintos la pintura y en el resto alguna luz rota. ¿A Cuántos autos le arreglaron una luz rota?

9·

Un avión tiene que recorrer 540 km. Hizo su primera escala a los 180 km. ¿Qué parte del recorrido le falta realizar?

10 · Carla tiene $25 y Diego tiene $10. Carla gasta

1 de su dinero y Diego gasta 5

la mitad.

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- ¿Quién gastó más dinero? - ¿Cuánto dinero gastó cada uno? 11 · Marcos y su tío van al cine. El tío le pregunta su edad y Marcos dice que tiene 2 de la edad de él. Si su tío tiene 40 años. ¿Cuál es la edad de Marcos? 5

12 · Un agricultor guardó

2 3 de los se su cosecha de trigo. Para calcular 5 4

posibles ganancias quiere saber si le quedó más de la mitad. ¿Lo ayudas? 13 · Andrés dice que para averiguar las tres cuartas partes él divide por 4 y luego calcula el triple de ese resultado; Ana dice que ella multiplica por 3 y después divide por 4. A. ¿Con quién estás de acuerdo con su procedimiento? B. ¿Cómo hacés vos para calcular

3 de una cantidad? 4

Nota:  Luego de resolver las situaciones planteadas anteriormente se les puede pedir a los alumnos que analicen en el grupo cuáles son las que resolvieron con suma y cuáles con multiplicación. Después se discute si solo es posible resolverlo de esa manera o si, por ejemplo, los que resolvieron con suma se pueden resolver con multiplicación o al revés, y si los que resolvieron con multiplicación se pueden resolver con suma, indistintamente.

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Actividad 3: Para pensar y luego resolver con decimales. ORGANIZACIÓN En Grupos de 2 alumnos.

ACTIVIDADES 1 · Tengo tres billetes de $20, cinco billetes de $10, siete monedas de $1, 15 monedas de 50 centavos y 8 monedas de 25 centavos. ¿Cuánto dinero tengo en total? 2 · La casa de Carlos esta a 2,5 km de la escuela. Si hace 4 viajes al día. ¿Cuántos Km. recorrerá al mes? 3 · Un carpintero utiliza 0,875 litros de barniz para proteger una puerta. Calcula el dinero que le costará el barniz necesario para 7 puertas, si un litro de barniz cuesta $ 20. 4 · En el depósito de una planta envasadora hay 547,46 litros de gaseosa para envasarlo en botellas de 2 litros. ¿Cuántas botellas se envasarán? 5 · Lucas en kiosco sacó 8 fotocopias que costaban $ 0,15 cada una y compró 3 barritas de cereal de $ 2,25. A. ¿Cuánto gasto? B. Si pagó con $10, ¿cuánto le dieron de vuelto? 6 · Bianca ha pagado $ 39,60 por 2 lapiceras, 1 cuaderno y 1 cartuchera. Si el cuaderno cuesta $8,50 y la cartuchera el triple del cuaderno. ¿Cuánto vale cada bolígrafo? 7 · Martina Y Rulita van a la verdulería y ven las siguientes ofertas: Banana: $ 6,75 x Kg. Cerezas: $ 8,90 x Kg. Naranja: $ 4,25 x Kg. A. ¿Cuánto pagaré en total si compro dos kilogramos de banana, un kilogramo de cerezas y tres kilogramos de naranjas? B. Si tengo $ 15. ¿Cuántos kilogramos de naranjas podré comprar? C. Si compro un kilogramo de cada uno de los productos y pago con un billete de $20, ¿Cuánto me tienen que dar de vuelto? 8 · Martina, Rulita y Flequillo llevan la cuenta de lo que han guardado en sus alcancías.

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Martina ha guardado $ 67

Rulita ha guardado $ 8,62 menos que Martina

Flequillo ha guardado $ 19,50 más que Rulita

A. ¿Cuánto ha guardado Flequillo? B. ¿Cuántos pesos han guardado entre todos? 9 · Un coche mide aproximadamente 3,85 metros de largo. ¿Cuál es la distancia mínima que ocuparían 5 coches iguales puesto uno de tras del a otro? Nota:  Luego de resolver las situaciones planteadas anteriormente se les puede pedir a los alumnos que analicen en el grupo cuáles son las que resolvieron con suma y cuáles con multiplicación. Después se discute si solo es posible resolverlo de esa manera o si, por ejemplo, los que resolvieron con suma se pueden resolver con multiplicación o al revés, y si los que resolvieron con multiplicación se pueden resolver con suma, indistintamente.

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