ERNST-MORITZ-ARNDT-UNIVERSITÄT-GREIFSWALD INSTITUT FÜR PHYSIK
Modellierung und Verifizierung des Durchstimmverhaltens von External-Cavity-Diode-Laser
DIPLOMARBEIT
zur
Erlangung des akademischen Grades des Diplomphysikers
vorgelegt von:
Olaf Soltwedel
geb. am 21.12.1979 in Stralsund
Betreuer:
Dr. rer. nat. K.-D. Salewski
Greifswald im Juli 2005
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 External Cavity Diode Laser (ECDL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1 Aufbau und Funktionsweise einer Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2 Laserprozess in einer LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3 Externe Rückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Theorie gekoppelter Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1 Transformation der externen Reflektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2 Strahlungsintensität im LD-Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Einfluss der Gitterdrehung auf das Modenspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3.1 Geometrisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3.2 Spezialfall der entspiegelten LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.3 Nachführen des LD-Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Modellrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Festlegung der Systemparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Frequenzabhängige Reflektivität der LD-Frontfacette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Berechnung des Modenspektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4 Bestimmung der Hüllkurve der Frequenzselektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5 Modenselektion des Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.6 Einfluss des Gitterdrehpunktes auf die Größe des Durchstimmbereiches . . . . . . 25 4.7 Modensprünge bei Gitterdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.8 Einfluss der Reflektivität der Frontfacette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.9 Intensität der Lasermode bei Gitterdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Versuchsanordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1 Anordnung zur Ermittelung der Littrow-Reflektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2 Anordnung zur Ermittlung des Strahlradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Realisierung eines ECDL-Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3.1 Komponenten des Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3.2 Ansteuerung der Laserkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.4 Geräte zur Charakterisierung der Frequenzdurchstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.5 Aufnahme und Verarbeitung der Messsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.1 Ermittlung der Littrow-Reflektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.2 Ermittlung des Strahlradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3 Messungen zur Frequenzdurchstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.4 Modenspektrum bei unterschiedlicher Reflektivität des Littrow-Gitters . . . . . . 44
7 Diskussion der Messergebnisse und Fehlereinflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.1 Modenselektivität des Resonators bei Gitterdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.2 Einfluss des Gitterdrehpunktes auf das Modenspektrum bei Gitterdrehung . . . . 46 7.3 Vergleich der erreichten Durchstimmbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.4 Intensität des Strahlungsfeldes während einer Durchstimmung . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A.1 Beugung am Littrow-Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 A.2 Berechnung des Reflexionsfaktors in der Frontfacette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.3 Intensität im Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.4 Abschätzung der Genauigkeit bei einer entspiegelten Diode . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.5 Optimaler Drehpunkt beim Mitführen der LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Literaturnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1. Einleitung und Aufgabenstellung Laser gewinnen als moderne Strahlungsquellen für unterschiedlichste Anwendungen zunehmend an Bedeutung. Einen nicht unwesentlichen Anteil daran haben Diodenlaser aufgrund ihrer geringen Abmessungen, der direkten Umwandlung von elektrischer Energie in Lichtenergie und einem damit verbundenen hohen Wirkungsgrad. Beispielsweise werden für den messtechnischen Einsatz in der Distanzinterferometrie modensprungfrei durchstimmbare Laser, deren Strahlung eine große Kohärenzlänge besitzt, benötigt. Diesen Anforderungen können Diodenlaser mit einem zusätzlichen äußeren optischen Resonator gerecht werden. Die zusätzliche Strahlungsrückkopplung in die Diode kann z.B. mit einem Reflexionsgitter realisiert werden. Eine Kombination aus Laserdiode (LD) und externer Rückkopplung bezeichnet man als ECDL (External Cavity Diode Laser). Die bekanntesten Anordnungen werden als Littmann- und Littrow-Laser bezeichnet. Problematisch ist bei solchen Konfigurationen die Entkopplung des internen Resonators (Diodenresonator) vom externen Resonator, der durch die Frontfacette der LD und dem Reflexionsgitter gebildet wird. Üblicherweise wird dies durch eine starke Entspiegelung der Frontfacette der LD erreicht, ein Verfahren, das relativ kostenintensiv ist. Zum anderen kann sich der Entspiegelungsgrad infolge von Alterungsprozessen verringern, wodurch eine ausreichende Entkopplung der Resonatoren nicht mehr gewährleistet werden kann. Im gekoppelten Zustand besteht eine Lösung darin, dass interner und externer Resonator, die beide als Frequenzfilter wirken, während der Frequenzdurchstimmung synchronisiert werden. Diese Vorgehensweise stößt bei ihrer praktischen Realisierung häufig an technische Grenzen und erfordert einen relativ hohen gerätetechnischen Aufwand. Um auch in diesem Fall eine große modensprungfreie Frequenzdurchstimmung erreichen zu können, ist eine genaue Kenntnis der geometrischen und optischen Parameter des Laseraufbaus notwendig. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines theoretischen Modells gekoppelter Resonatoren am Beispiel des Littrow-Lasers und seine Verifikation mittels verschiedener Experimente. Dabei sollen u.a. das Verhalten und die Grenzen der Laserdurchstimmung infolge der Manipulation einzelner Parameter ermittelt und optimiert werden.
2. External Cavity Diode Laser (ECDL) In diesem Kapitel werden Aufbau und Funktionsweise von ECDLs beschrieben. Im ersten Teil sind die Arbeitsweise einer LD und im zweiten Teil die Strahlungsrückkopplung mittels eines Reflexionsgitters dargestellt.
2.1 Aufbau und Funktionsweise einer Laserdiode Üblicherweise besteht ein Laser aus einem Resonator, der im einfachsten Fall durch zwei Reflektoren gebildet wird, einem laseraktiven Medium, welches das hin und her reflektiete Licht durch stimulierte Emission verstärkt und, falls erforderlich, einem frequenzselektiven Element. Bei Halbleiterlasern wird das laseraktive Medium aus einem hochdotierten p-n-Übergang (z.B. GaAs) gebildet, in dem die für den Laserprozess erforderliche Besetzungsinversion durch elektrisches Pumpen von Elektronen mittels eines Injektionsstroms erreicht wird (Abb. 2.1). [Petermann1991] Injektionsstrom Laserstrahlung p-dotiert n-dotiert
LD-Resonator
Abb. 2.1 Schematischer Aufbau einer Laserdiode
Die emittierte Strahlung wird aufgrund der geringen Abmessung des p-n-Übergangs
(la-
seraktiven Zone) stark gebeugt und verlässt die LD mit einem Divergenzwinkel bis zu 50° (Abb. 2.1).
Ohne äußere Spannung liegen die Valenz- und Leitungsbänder der p- und n-Region in unterschiedlichen Energiebereichen und das Ferminiveau ist konstant über den gesamten pn-Bereich. Infolge der starken Dotierung liegt es in der p-Region innerhalb des Valenzbandes und im Leitungsband innerhalb des n-Gebietes (Abb. 2.2).
Abb. 2.2 Bänderstruktur des p-n Übergangs (links ohne und rechts mit Spannung)
Eine in Durchlassrichtung angelegte Spannung von ähnlicher Größe der Energielücke ruft einen Fluss von Elektronen der n-Region und von Löchern der p-Region in den Übergang hervor. Eine Folge ist die Aufspaltung des konstanten Ferminiveaus Fc in zwei unterschiedliche Ferminiveaus Fn und Fp . Dadurch befinden sich im p-n-Übergang Löcher und Elektronen in unterschiedlichen Energieniveaus, was einer Besetzungsinversion entspricht. Bei der Rekombination von Elektronen und Löchern werden Photonen der Energie Fn − Fp ≈ hν
emittiert [Jones1990]. Der für den Laserprozess erforderliche
Pumpmechanismus wird durch einen kontinuierlichen Injektionsstrom aufrechterhalten.
2.2 Laserprozess in einer LD Aufgrund der Parallelität von Front- und Rückfacette entspricht die LD einem FabryPerot-Resonator [Kneubühl1999]. Abb. 2.3 zeigt die Ausbreitung einer ebenen Welle in diesem Resonator. r,t 1
r,t
1
2
2
E3 E2 E0
Ea=E1+E2+...
E1 L
Abb. 2.3 Ausbreitung einer Welle zwischen den beiden Reflektoren eines FP-Resonators
Die Verstärkung, die im Resonator wirksam ist, wird mittels der komplexen Ausbreitungskonstante γ beschrieben, welche durch
γ =
2π
λ
(n − i κ )
(2.1)
( λ - Lichtwellenlänge, n - Brechungsindex, - Extinktionskoeffizient) [Ebeling1989] gegeben. Der darin auftretende Extinktionskoeffizient wird beschrieben durch
κ=
(α i − g ) ⋅ λ 4π
(2.2)
( α i - intrinsische Verluste, g - Bruttoverstärkung). Es ergibt sich dann die Feldstärke der austretenden Welle E a aus der Überlagerung der transmittierten Teilwellen zu E a = E0
t1 ⋅ t 2 ⋅ exp( −2i ⋅ γ ⋅ L) 1 − r1 ⋅ r2 ⋅ exp( −2i ⋅ γ ⋅ L)
(2.3)
( r1 , r2 - Feldstärke-Reflexionsfaktoren, t1 , t 2 - Transmissionsfaktoren, γ - komplexe Aus-
breitungskonstante, L - Resonatorlänge) [Ebeling1989].
Die periodischen Polstellen dieser Gleichung liefern die Bedingung für den Laserprozess, da hier die Verstärkung am größten ist, d.h. r1 ⋅ r2 ⋅ exp( −2i ⋅ γ ⋅ L) = 1 .
(2.4)
Damit folgt für Gl. (2.4) die Schwellenbedingung: 1 = r1 ⋅ r2 exp( −2i ⋅ γ th ⋅ L) = r1 ⋅ r2 ⋅ exp[( g th − α i ) ⋅ L] ⋅ exp( −i
2π
λ
⋅ 2 ⋅ L ⋅ n) .
(2.5)
Der Index „th“ kennzeichnet dabei die Schwelle (threshold) zur Laseraktivität. Der Imaginärteil dieser Gleichung verschwindet für 2π
λm
⋅ 2 ⋅ L ⋅ n = 2π ⋅ m
m = 1, 2, ...
bzw.
λm =
2⋅n⋅L . m
(2.6)
Dies entspricht den longitudinalen Eigenmoden des Resonators. Damit folgt aus Gl. (2.5) die zum Erreichen der Laserschwelle erforderliche Bruttoverstärkung
g th = α i −
1 ln( r1 ⋅ r2 ) L
r1 ⋅ r2 < 1
.
(2.7)
Unterhalb dieser Schwelle überwiegt spontane Emission, oberhalb kommt es zum Anschwingen von Lasermoden und die stimmulierte Emission überwiegt. D.h., ein Absenken der Laserschwelle kann durch eine Erhöhung des Produktes der Reflektivitäten ( r1 ⋅ r2 ) erreicht werden.
2.3 Externe Rückkopplung Die Linienbreite δν Re s eines FP-Resonators ist durch die Beziehung
δν Re s =
c0 1 − r1 ⋅ r2 ⋅ 2π ⋅ n ⋅ L r1 ⋅ r2
(2.8)
( δν Re s - Linienbreite FP-Resonators) geben [Sal2005]. Der GaAs-Luft-Übergang ergibt einen Reflexionsfaktor für die Feldstärke von r ≈ 0,57 (Fresnel-Reflektivität). Dies wirkt sich in Verbindung mit den kleinen Abmessungen des LD-Resonators wenig selektiv auf die Frequenz der emittierten Strahlung aus, woraus eine relativ große Linienbreite resultiert (vgl. Gl. 2.8). Um die Linienbreite zu minimieren, kann die LD mit einem externen Resonator, der außerhalb der LD positioniert wird, kombiniert werden. So wird die Reso-
natorlänge vergrößert und die Linienbreite wird deutlich schmalbandiger [Petermann1991]. Die longitudinalen Eigenmoden sind durch Gl. (2.6) beschrieben. Ihr spektraler Abstand berechnet sich zu
ν m − ν m+1 =
c0 = δν FSR 2π ⋅ n ⋅ L
(2.9)
( δν FSR - freier spektraler Bereich). Dieser Abstand wird als freier spektraler Bereich (FSR) des Resonators bezeichnet. Durch die Gl. (2.9) wird deutlich, dass bei einer Vergrößerung des Resonators, seine Eigenmoden in Spektrum zusammenrutschen. Wird die Rückkopplung des externen Resonators durch ein bandpassartiges frequenzselektives Element realisiert, kann eine Vielzahl der externen Moden ausgeblendet werden. Hierzu werden häufig Reflexions- und neuerdings auch Transmissionsgitter verwendet. Dabei wird durch eine vom Einfallswinkel abhängige Beugung eine selektive Strahlungsrückkopplung gewährleistet. Auf diese Weise kann die Mittenfrequenz der Filterung durch eine Gitterdrehung gezielt verändert werden [Lipson1997]. Eine weit verbreitete Realisierung ist die Littrow-Konfiguration. Bei ihr wird die 1. Beugungsordnung direkt in die LD zurückreflektiert (Autokollimation) und die 0. Ordnung zur Auskopplung des Nutzstrahles genutzt (Abb. 2.4). 0.Ordnung/ Auskopplung 1.Ordnung/ Rückkopplung Littrow-Gitter
LD
Gitternormale
emittierte Strahlung
Einfallswinkel
Abb. 2.4 Schematische Darstellung der Littrow-Konfiguration
Um die Beugungsverluste möglichst gering zu halten, sollte ein Großteil des einfallenden Strahlenbündels in die 1. Ordnung gebeugt werden. Das Verhältnis von gebeugter und eingestrahlter Lichtintensität nennt man absolute Beugungseffizienz. Die Beugungseffi-
zienz ist eine komplizierte Funktion, welche von Wellenlänge, Polarisation des einfallenden Lichtes, der Gitterkonstanten und dem Gittermaterial abhängt. Eine Möglichkeit die Effizienz einer bestimmten Beugungsordnung zu erhöhen, kann durch „blazen“ erreicht werden. Hierzu müssen die einzelnen Gitterfurchen asymmetrisch, wie in Abb. 2.5 dargestellt, gefertigt sein. Einfallender Strahl
Einfallender Strahl
0.Ordnung
1.Ordnung
0.Ordnung
1.Ordnung =
B
Gitternormale
Gitternormale
Abb. 2.5 Schematische Darstellung eines geblazten Reflexiongitters ( γ B - Blazewinkel) Der Blazewinkel γ B wird dabei so gewählt, dass der einfallende Strahl senkrecht auf die einzelnen Gitterstufen auftrifft. Dadurch wird dem Beugungsmuster des Gitters die Intensitätsverteilung einer gewöhnlichen Reflexion überlagert, die nur ein scharf begrenztes Maximum zulässt. Mit dieser Technik sind absolute Beugungseffizienzen über 80% möglich [Demtröder1999]. Da der Blazewinkel jedoch wellenlängenabhängig ist, kann diese Gittereigenschaft nur für einen spektralen Bereich wirksam werden.
3. Theorie gekoppelter Resonatoren Die Littrow-Konfiguration bildet im Fall einer nicht entspiegelten LD ein System gekoppelter Resonatoren. Inhalt dieses Abschnittes ist die Entwicklung eines mathematischen Modells zur Beschreibung des longitudinalen Modenspektrums. Damit ist es möglich, die Einflüsse verschiedener Parameter auf eine Frequenzdurchstimmung der Laserstrahlung zu ermitteln.
3.1 Transformation der externen Reflektivität Den Ausgangspunkt für die Modellrechnung bilden zwei gekoppelte Fabry-PerotResonatoren. Diese werden einerseits durch den LD-Resonator (interner Resonator) und anderseits durch einen externen Reflektor in Verbindung mit der Frontfacette der LD gebildet (externer Resonator) (Abb. 3.1). externe Reflektivität
LD-Facetten
interner Resonator
externer Resonator
Verstärkung
LLD
LEC rFi
rB
rFa rF
rL
Abb. 3.1 Anordnung eines ECDLs mit nicht entspiegelter LD
Im Folgenden wird der externe Reflektor durch ein Reflexionsgitter in Littrow-Anordnung (Littrow-Reflektivität rL ) repräsentiert.
Da die Intensität der ausgekoppelten Laserstrahlung proportional zur Strahlungsintensität im Resonator ist, besteht die Aufgabe darin, das resonatorinterne Strahlungsfeld zu berechnen. Dazu wird zunächst die Wirkung des externen Resonators in Verbindung mit Littrow-Reflektivität auf eine elektromagnetische Welle in der Frontfacette der LD betrachtet und anschließend damit das Strahlungsfeld innerhalb des LD-Resonators berechnet. Im Strahlauftreffpunkt des Littrow-Gitters gilt für den Betrag rL (ν ) und die Phase φL des
frequenzabhängigen Reflexionsfaktors (s. Anhang A.1) 2 ♠ π 2 ⋅ R2 ♣ ν • ≡ ♦ − 1÷ ≈, rL (ν ) = G1 ⋅ exp ↔ − g 2 ♦♥ ν L (α ) ÷≠ ≈ ↔← …
φL (α ) = 2π ⋅
x0 (α ) − x0 (α 0 ) g
.
(3.1)
Aus dem GaAs-Luft-Übergang an der LD-Frontfacette resultiert ein Reflexionsfaktor rF , der für optische Frequenzen konstant ist. In der Ebene der LD-Frontfacette ergibt sich dann einen abstrahierten Reflexionsfaktor rEC , den eine ebene Welle dort erfährt (s. Anhang A.2) rEC = rF +
(1 − r )⋅ r
(1 − r
2 F
F
L
⋅ r´ L )
2
rF ⋅ r´ L − e − i (2δ −φL +π ) ⋅ mit δ = k ⋅ LEC 4 ⋅ rF ⋅ r´ L φL + π • 2♣ 1+ ⋅ sin ♦ δ − ÷ 2 ≠ ♥ (1 − rF ⋅ r´ L )2
(3.2)
( k - Wellenzahl, n LD - Brechungsindex der LD, LEC - Länge des externen Resonators). Auf diese Weise resultiert ein Fabry-Perot-Resonator, der durch die Rückfacette rB der LD und den modifizierte Reflexionsfaktor in der Ebene ihrer Frontfacette rEC gebildet wird.
Abb. 3.2 veranschaulicht den daraus entstandenen Resonator.
LDRückfacette
Modifizierte LDFrontfacette
Verstärkung
LLD rB
rEC
Abb. 3.2 reduzierter ECDL
Abgesehen von der Phasenbedingung Gl. (2.6) des LD-Resonators würde die durch Gl. (2.7) gegebene Bedingung ausreichen, um einen frequenzabhängigen Laserprozess zu beschreiben. Da diese Vorgehensweise aufgrund des komplexen frequenzabhängigen Reflektionsfaktors rEC jedoch kompliziert ist, wird die gemittelte Strahlungsintensität im LD-Resonator bestimmt.
3.2 Strahlungsintensität im LD-Resonator Die Intensitätsverteilung innerhalb der LD ist durch das Feldstärkequadrat gegeben. Um diese zu erhalten, werden zunächst die hinlaufenden und rücklaufenden Feldstärkekomponenten ( E H , E R ) in jedem Punkt der Resonatorachse (x-Richtung) aufsummiert und daraus die Gesamtfeldstärke berechnet. Für die Gesamtintensität gilt dann I ( x ) ~ EG (x ) = (E H + E R ) ⋅ (E H* + E R* ) = E H 2
2
+ E R + E R E H* + E R* E H . 2
(3.4)
Durch Mittelung längs der Resonatorachse, folgt für die mittlere Intensität im Resonator: I LD (ν ) = I 0 ⋅
1 + rEC
(1 − r
EC
⋅ rB )
2
1 4 ⋅ rEC ⋅ rB φ • ♣ 1+ sin 2 ♦ k ⋅ n LD ⋅ LLD − EC ÷ 2 2 ≠ (1 − rEC ⋅ rB ) ♥
( n LD ⋅ LLD - optische Weglänge der LD) (s. Anhang A.3).
(3.5)
Diese Gleichung beschreibt das longitudinale Modenspektrum, welches durch den LDResonator, den mittels des Littrow-Gitters gebildeten externen Resonators, sowie durch die frequenzselektive Wirkung des Littrow-Gitters in der Intensität moduliert ist. Eine Darstellung, in der z.B. eine Modenfrequenz des LD-Resonators mit der Mittenfrequenz (Frequenz bei der die Littrow-Reflektivität das Maximum annimmt) der LittrowSelektivität übereinstimmt, zeigt Abb. 3.2. In einem solchen Zustand würde der Laser optimal arbeiten und die Mode der höchsten Intensität anschwingen [Sal2005].
Intensität / B.E.
8 6 4 2
0 −1.5
−1
−0.5
0 ν − ν / Hz
0.5
1
1.5 11
x 10 Abb. 3.3 Spektrale Intensitätsverteilung (Modenspektrum) bei Abgleich 0
des LD-Resonators und der Littrow-Selektivität ( LEC (α 0 ) = 3cm, G1 = 0,5 rF = 0,57)
Unter der Annahme, dass das Verstärkungsprofil einer LD bei der hier betrachteten Frequenz der rückgekoppelten Strahlung nahezu konstant ist, lassen sich mit Hilfe dieser Verteilung Aussagen über die wahrscheinlichste Frequenz einer anschwingenden Mode machen. Damit diese Annahme gerechtfertigt ist, darf die Verstärkung der LD nur knapp über der Laserschwelle betrieben werden [Petermann1991]
3.3 Einfluss der Gitterdrehung auf das Modenspektrum
3.3.1 Geometrisches Modell Das durch Gl. (3.5) beschriebene Modenspektrum des ECDLs kann durch Manipulation verschiedener Parameter verändert werden. In Abb. 3.4 sind ein ECDL in LittrowKonfiguration und die in diesem Zusammenhang wesentlichen Größen dargestellt. rF
rB
rL Littrowgitter
LLD
LEC
nLD p0 Piezoaktuator
Laserdiode
p2
Drehpunkt p1
Gitterarm
Abb. 3.4 Littrow-Konfiguration und ihre wesentlichen geometrischen Parameter
Eine Drehung des Littrow-Gittters um den Drehpunkt führt in der Regel sowohl zu einer spektralen Verschiebung des externen Modenkamms, als auch zu einer Änderung der spektralen Intensitätsverteilung (s. Abb. 3.5). Das globale Intensitätsmaximum der Verteilung wird durch die periodische Frequenzselektivität des LD-Resonators und die Mittenfrequenz der bandpassartigen Littrow-Reflektivität geprägt. Abb. 3.5 zeigt die Veränderung der spektralen Intensitätsverteilung bei Gitterdrehung und verdeutlicht das Auftreten von Modensprüngen. Diese treten aufgrund der unterschiedlichen Verschiebung des Modenkamms und der Hüllkurve der Intensitätsverteilung auf.
Intensität / B.E.
8 6 4 2
Intensität / B.E.
−1.5
Intensität / B.E. Intensität / B.E.
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0 ν−ν0 / Hz
0.5
1
8 6 4 2
−1.5
8 6 4 2
−1.5
Intensität / B.E.
−0.5
8 6 4 2
−1.5
8 6 4 2
−1.5
Intensität / B.E.
−1
8 6 4 2
−1.5
1.5 11
x 10
Abb. 3.5 Änderung des Modenspektrums bei einer Gitterdrehung um ∆α = 5 ⋅ 10 −5 rad ,
rot gekennzeichnet ist die vom Laserprozess bevorzugte ResonatorMode ( LEC (α 0 ) = 3cm, p0 = 0, G1 = 0.5, rF = 0,57 )
Um die Strahlungsfrequenz modensprungfrei über einen Frequenzbereich durchzustimmen, muss erreicht werden, dass sich der Modenkamm des Resonators und das Maximum der Hüllkurve der Intensitätsverteilung synchron verschieben. Die spektralen Lagen der Frequenz des Maximums der Hüllkurve und des Modenkamms sind vom Einfallswinkel (Drehwinkel) α abhänging. Zusätzlich ist diese Winkelabhängigkeit bei dem Modenkamm von der Wahl des Gitterdrehpunktes abhängig, da dieser die Längenänderung des externen Resonators bei Gitterdrehung bestimmt. Im Folgenden wird untersucht, ob eine Anpassung der unterschiedlichen Verschiebungsgeschwindigkeiten über eine geeignete Wahl des Gitterdrehpunktes möglich ist. Dazu werden zunächst zwei Sonderfälle betrachtet.
3.3.2 Spezialfall der entspiegelten LD Für den Fall der entspiegelten Laserdiode (rF → 0) geht nach Gl. (3.2) der Reflektions-
faktor rEC in rEC (ν ) = − rL ⋅ e − i (2δ +π ) = rL ⋅ e −i (2δ −φL )
(3.6)
über und entspricht nur noch der Littrow-Reflektivität mit einem zusätzlichen Phasenterm, welcher aus der Länge des externen Resonator resultiert. Dadurch vereinfacht sich die Intensitätsverteilung in der LD zu: I LD (ν ) = I 0 ⋅
1 + rL
(1 − r
L
⋅ rB )
1
2
1+
4 ⋅ rL ⋅ rB
(1 − r
L
⋅ rB )
2
2δ − φL • ♣ sin ♦ k ⋅ n LD ⋅ LLD + ÷ 2 ≠ ♥
. (3.7)
2
Zunächst wird diejenige Modenfrequenz ν m gesucht, für welche die beiden folgenden Bedingungen am besten erfüllt werden: rL (ν m ) = max
π ⋅ m = k ⋅ n LD ⋅ LLD + m=
2 [n LD ⋅ LLD + LLD (α )] ⋅ν m (α ) + x0 (α ) − x0 (α 0 ) g c0
(m - ganzzahlig).
2 ⋅ δ − φL 2
(3.8)
Das bedeutet, dass sich die Modenfrequenz in der Nähe der Mittenfrequenz der LittrowReflektivität befindet:
ν m (α ) ≈ ν L (α ) =
c0
λL (α )
=
c0 2 ⋅ g ⋅ sin α
.
(3.9)
Wird nun der Einfallswinkel α variiert, soll die Mode, die im Ausgangszustand α 0 , die Bedingungen (3.8) erfüllt, diese auch für andere Drehwinkel erfüllen, d.h. 2 [nLD ⋅ LLD + LEC (α 0 )]⋅ν m (α 0 ) = 2 [nLD ⋅ LLD + LEC (α )]⋅ν m (α ) − x0 (α ) − x0 (α 0 ) . (3.10) c0 c0 g
Durch Einsetzen von Gl. (3.9) in Gl. (3.10) und unter Beachtung von x0 (α ) =
p2 + p1 sin α und LEC = p0 + p1 cos α + ( p2 + p1 sin α ) ⋅ tan α cos α
(3.11)
folgt: nLD ⋅ LLD + p0 + p1 cos α + ( p2 + p1 sin α ) ⋅ tan α p2 + p1 sin α − = const. sin α cos α nLD ⋅ LLD + p0 + p1 cos α d .h. = const. sin α
(3.12)
Diese Beziehung wird für beliebige Drehwinkel α dann erfüllt, wenn p1 = 0
und
p0 = − nLD ⋅ LLD
(3.13)
gilt. Es ist also durch eine geeignete Wahl des Gitterdrehpunktes möglich, die spektrale Verschiebung der Littrow-Reflektivität mit dem globalen Maximum der Intensitätsverteilung zu synchronisieren. Damit kann eine modensprungfreie Frequenzdurchstimmung erzielt werden, die keiner Begrenzung durch die Filterwirkung des Resonators unterliegt. Vorausgesetzt, der Gitterdrehpunkt liegt hinter der Frontfacette in einer Ebene, mit einem Abstand welcher der optischen Weglänge des LD-Resonators entspricht.
Durch herstellungsbedingte Toleranzen können p0 = − nLD ⋅ LLD und p1 = 0 nicht immer erfüllt werden. Interessant ist deshalb eine Abschätzung, wie sich der Durchstimmbereich durch diese Ungenauigkeit verringert. Ausgangspunkt hierfür ist die Frequenzdifferenz
ν m − ν L , die bei Gitterdrehung nicht den halben Modenabstand (ν m − ν m+1 ) /2 überschreiten darf, d.h.
ν m −ν L
rF , rL ≥ 0 wird rEC (ν m ) nur für rL (ν m ) = max
und
2π ⋅ q = 2δ − φL
bzw q =
x (α ) − x0 (α 0 ) 2 ⋅ LEC (α ) ⋅ ν L (α ) − 0 g c0
(3.20)
maximal. Das bedeutet, das nur jene Moden anschwingen werden, die diesen Bedingungen genügen. Unter der Annahme p1 = 0 folgt mit einer zu Kapitel 3.3.2 analogen Rechnung, dass der optimale Gitterdrehpunkt bei p0 = 0 zu finden ist (s. Anhang A.5).
Interessant ist, dass die Toleranz weder von der verwendeten Wellenlänge noch vom Modenabstand abhängig ist. Wie man in der Intensitätsverteilung (Abb. 3.3) erkennen kann, ist auch bei einer verspiegelten LD und einem konstanten LD-Resonator eine spektrale Verschiebung der externen Resonatormoden möglich. Wie weit eine modensprungfreie Frequenzdurchstimmung der Laserstrahlung durch einen geeigneten Gitterdrehpunkt auch hier möglich ist und ob der Durchstimmbereich mittels Manipulation der Drehpunktparameter vergrößert werden kann, wurde mit Hilfe von Simulation in MATLAB ermittelt. Eine numerische Behandlung ist aufgrund des Einflusses des LD-Resonators sowie des frequenzabhängigen komplexen Reflexionsfaktors rEC nötig.
4. Modellrechnungen 4.1 Festlegung der Systemparameter Die für die Berechnung der LD-Resonatorintensität (s. Gl. 3.5) notwendigen Systemparameter wurden entweder gemessen oder waren aus Datenblättern verfügbar. In das Modell gingen dabei folgende Konstanten ein: Beugungseffizienz
G1
0,5
Wellenlänge
0
635nm
Brechungsindex LD nLD
3,6
Länge der LD
LLD 300µm
LD-Rückfacette
rB
0.57
Strahlradius
R
2,5mm
Gitterkonstante
g
417nm
Drehpunkt
p1
0
Tab. 4.1 Systemparameter zur Modellrechnung Die frei verfügbare Resonatorlänge LEC (α 0 ) wurde an eine vorhandene Grundplatte angepasst und so gewählt, dass der resultierende Modenabstand groß genug für eine modensprungfreie Durchstimmung der Laserfrequenz war.
4.2 Frequenzabhängige Reflektivität der LD-Frontfacette Zunächst wurde der Reflexionsfaktor rEC (ν , α ) in einem Intervall von ±150GHz um die Littrow-Mittenfrequenz ν L (α 0 ) für den Winkel α 0 = arcsin (λ0 2 g ) berechnet. Der Verlauf des frequenzabhängigen komplexen Reflexionsfaktors rEC (ν , α 0 ) ist in Abb. 4.1 dargestellt.
1
0.4
|rEC|
0.3
0.5 0.2
−0.5
0 ν − ν0 / Hz
0.5
1
1.5 11
x 10
1
ec
−1
Im (r )
0.1
0 −1.5
0
φEC / rad
−0.1
0.5 −0.2
0
−0.3
−0.5 −1 −1.5
−1
−0.5
0 ν − ν0 / Hz
0.5
1
1.5
−0.4 0.1
0.2
0.3
11
x 10
0.4
0.5 Re (r )
0.6
0.7
0.8
0.9
ec
Abb. 4.1 Betrag und Phase des frequenzabhängigen Reflexionsfaktors rEC LEC (α 0 ) = 1cm, p0 = 0 Für den Winkel α 0 wurde die Intensitätsverteilung nach Gl. (3.5) bestimmt. Damit die Frequenz einer Mode des LD-Resonators im Ausgangszustand mit der Mittenfrequenz der Littrow-Reflektivität für α 0 übereinstimmt, wurde die optische Länge des internen Resonators so gewählt, dass n LD ⋅ LLD ≈ m ⋅ λ 0 (m ganzzahlig) gilt. Um definierte Ausgangszustände auch für beliebige Gitterdrehpunkte zu erzwingen, wurde die optische Länge des externen Resonators für den Ausganszustand so fixiert, dass die Frequenz einer externen Mode ebenfalls mit der Mittenfrequenz der Littrow-Reflektivität bei α 0 übereinstimmt. Da diese Längenänderungen für den internen- und externen Resonator jedoch nur maximal ± λ0 2 betragen, spielt sie für den Verlauf der Intensität keine Rolle.
4.3 Berechnung des Modenspektrums Ausgehend von den konkreten Systemparametern kann ein Durchstimmen der Frequenz des ECDLs mittels Variation des Winkels α simuliert werden. Die für verschiedene Winkel resultierende frequenzabhängige Intensitätsverteilung ist in Abb. 4.2 dargestellt. Damit die externen Moden und der Einfluss des Littrow-Gitters in dieser Abbildung besser zur Geltung kommen, wurde die Resonatorlänge gegenüber der experimentellen Anordnung verkleinert.
Intensität / B.E.
8 6 4 2
Intensität / B.E.
−1.5
Intensität / B.E. Intensität / B.E.
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−1
−0.5
0 ν−ν0 / Hz
0.5
1
8 6 4 2
−1.5
8 6 4 2
−1.5
Intensität / B.E.
−0.5
8 6 4 2
−1.5
8 6 4 2
−1.5
Intensität / B.E.
−1
8 6 4 2
−1.5
1.5 x 10
Abb. 4.2 Änderung des Modenspektrums bei einer Gitterdrehung um ∆α = 5·10-5, rot gekennzeichnet ist die vom Laserprozess be
vorzugte Resonator-Mode (Lasermode) LEC (α 0 ) = 1cm, p0 = 0
11
Die Änderung des Modenspektrums in Abhängigkeit vom Winkel, lässt sich gut durch eine 3-dimensionale Darstellung nachvollziehen. Diese setzt sich als Aneinanderreihung von einer Vielzahl von Schnitten ähnlich derer aus Abb. 4.2 zusammen. Durch eine farbliche Codierung der Intensität erhält man eine Intensitätsverteilung wie sie in Abb. 4.3 zu sehen ist.
Einfluss LittrowGitter
externe Moden
interne Moden
Abb. 4.3 3-dim. farbcodierte Intensitätsverteilung im LD-Resonator LEC (α 0 ) = 1cm, p0 = 0
In dieser Abbildung tritt der spektral begrenzte, winkelabhängige Einfluss der LittrowSelektivität hervor und ist entsprechend gekennzeichnet. Wie groß der Frequenzbereich ist, in dem die Littrow-Reflektivität eine Wirkung zeigt, hängt nur von der Anzahl der ausgeleuchteten Gitterfurchen auf dem Reflexionsgitter ab (vgl. Gl. 3.2). Für Frequenzen außerhalb dieses Bereiches ist die externe Rückkopplung so stark gedämpft, dass es zu keiner Ausbildung von externen Moden kommt. Dies ist ein entscheidender Unterschied zur externen Rückkopplung mit einem Spiegel, an dem keine frequenzabhängigen Reflexionen stattfinden würden. Desweiteren ist ein Teil des internen Resonatorkammes zu erkennen, der Abstand der einzelnen Moden hängt nur von der optischen Länge des LDResonators ab. Wie stark der Einfluss dieser Moden sich auf die Intensitätverteilung ausübt, wird durch die Reflektivitäten der LD-Facetten bestimmt.
4.4 Bestimmung der Hüllkurve der Frequenzselektivität Um die Frequenz eines Single-Mode-Zustandes so weit wie möglich mittels Gitterdrehung durchstimmen zu können, ist die Kenntnis der gekoppelten Frequenzselektivität von Littrow-Gitter und LD-Resonator notwendig. Diese entspricht der Hüllkurve der externen Resonatormoden in Abb.4.3. Aufgrund des komplizierten Ausdruckes für die Intensität (Gl. 3.5) wird der Verlauf der Hüllkurve hier numerisch bestimmt. Dazu wird in der Simulation die Länge des externen Resonators LEC (α 0 ) vergrößert. Die Folge ist, dass sich der Modenabstand der externen Resonatormoden verringert (s. Gl. 2.9). Damit wird bei der Berechnung erreicht, dass sich sehr viele Moden innerhalb der Littrow-Selektivität befinden und so die Hüllkurve mittels der externen Moden sehr fein abgetastet wird. Der Verlauf eines solchen Intensitätsspektrums ist im linken Teil der Abb. 4.4 gezeigt. Die externen Moden liegen dabei spektral so eng beieinander, dass die Hüllkurve klar hervortritt. Weiterhin ist zu erkennen, dass durch Winkeländerung das Intensitätsmaximum in einem kleinen Frequenzbereich stetig verschoben wird. 10
1
x 10
0.8 0.6
0.2 0
0
ν − ν / Hz
0.4
−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −2
−1.5
−1
−0.5
0 0.5 α − α / rad
1
1.5
0
2 −4
x 10
Abb. 4.4 links: Intensitätsverteilung bei einem langen Resonator LEC (α 0 ) = 1,5m, p0 = 0 rechts: Frequenz der globalen Intensitäsmaxima für verschiedene Drehwinkel (gewonnen aus horizontalen Schnitten der linken Abbildung), Glättung durch gleitenden Mittelwert (rot) Die Bestimmung der Frequenz höchster Intensität für jeden Drehwinkel wurde auf numerischem Wege berechnet. Die Auswertung ist im rechten Teil der Abb. 4.4 dargestellt. Die Oszillationen sind darauf zurückzuführen, dass die für jeden Drehwinkel ermittelten Moden höchster Intensität (Lasermoden) nicht mit der Position des jeweiligen Maximums der
Hüllkurve übereinstimmen, sondern um diese schwanken. Mit einem gleitenden Mittelwert (30 Werte) ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen dem Intensitätsmaximum der Hüllkurve und dem Drehwinkel.
4.5 Modenselektion des Resonators Anknüpfend an die Erläuterungen in Kapitel 4.3 (insbesondere Abb. 4.2) wird im Folgenden untersucht, wie sich die Frequenz der Lasermode (Mode höchster Intensität) bei Gitterdrehung verhält. Eine Darstellung der Winkelabhängigkeit der Lasermodenfrequenz und der in Abschnitt 4.4 gewonnen Zusammenhang zwischen Drehwinkel und Maximum der Hüllkurve ist in Abb. 4.5 dargestellt. 10
1.5
x 10
1
ν − ν0 / Hz
0.5
0
−0.5
−1
−1.5 −2
−1.5
−1
−0.5
0 0.5 α − α / rad 0
1
1.5
2 −4
x 10
Abb. 4.5 links: Berechnete Intensitätsverteilung unter Gitterdrehung rechts: Lasermodenfrequenz (rot) und Maximum der Hüllkurve (schwarz) jeweils in Abhängigkeit vom Gitterdrehwinkel LEC (α 0 ) = 1cm, p0 = 0
Aus der links abgebildeten Intensitätsverteilung ergeben sich für unterschiedliche Drehwinkel die Lasermoden und ihre zugehörige Frequenz. Der daraus resultierende Zusammenhang ist in der rechten Abbildung zu sehen (rot). Neben dem abschnittsweise stetigen, nahezu linearen Verlauf der Lasermodenfrequenz sind Sprünge zu erkennen, die als Sprünge der externen Resonatormoden zu interpretieren sind. Ausgehend von den in Abb. 4.5 berechneten Größen, wurden die modensprungfreien Durchstimmbereiche, die sich als stetige Frequenzverschiebungen der Lasermoden auszeichnen, ausgemessen und auf ihre Größe hin verglichen. Der größte Bereich entspricht
der theoretisch maximal möglichen modensprungfreien Frequenzdurchstimmung des Lasers. Der in Abb. 4.5 zusätzlich sichtbar gemachte Verlauf des Maximums der Hüllkurve, lässt darauf schließen, das der modensprungfreien Durchstimmbererich vergrößert werden kann, wenn die Frequenzänderung der externen Moden weniger stark vom Winkel abhängen würde.
4.6 Einfluss des Gitterdrehpunktes auf die Größe des Durchstimmbereiches Durch den in Abb. 4.5 dargestellten Zusammenhang ist ein Hinweis gegeben, wie sich die Frequenz der Lasermode in Abhängigkeit vom Drehwinkel verändern muss, um einen möglichst großen modensprungfreien Durchstimmbereich zu erzielen. Anschaulich gesprochen besteht die Aufgabe darin, das inselartige Maximum (tief rot gekennzeichnet) mit einer externen Mode mittels Gitterdrehung so zu durchlaufen, dass erstens keine Nachbarmode eine größere Intensität annimmt und zweitens der Frequenzbereich, den die Lasermode durchquert, maximal wird. Da die Frequenz der externen Moden nahezu linear vom Drehwinkel abhängt und die Proportionalität durch den Parameter p 2 gegeben ist, kann durch eine Veränderung dieses Parameters die lineare Abhängigkeit vergrößert oder verkleinert werden (vgl. Spezialfälle in Abschnitt 3.3.2/3). Darüber hinaus hängt die Länge des externen Resonators LEC ebenfalls vom Parameter p0 ab (s. Abb. 3.2): LEC (α 0 )
p0 , p 2
= p0 + p2 tan (α 0 ) .
(4.1)
Um konstante Modenabstände für unterschiedliche Drehpunktparameter zu erreichen, ist es notwendig, den Parameter p2 so zu verändern, dass LEC (α 0 )
p0 , p2
= LEC (α 0 )
d .h
d d [ p 0 + p 2 tan(α 0 )] = 0 LEC (α 0 ) = dp 0 dp 0
1 [LEC (α 0 ) − p 0 ] p2 ( p0 ) = tan (α 0 )
gilt.
p0 + ∆p0 , p2 + ∆p2
(4.2)
(4.3)
Formal kann man auch p 0 ( p 2 ) betrachten. Aus experimenteller Sicht hat sich jedoch herausgestellt, das die Bestimmung von p 0 einfacher als die von p 2 ist. Deshalb wurde an dieser Stelle p 2 durch p 0 ausgedrückt. In der Abb. 4.8 sind für zwei unterschiedliche Drehpunkte die Intensitätsverteilung in Abhängigkeit vom Drehwinkel dargestellt.
Abb. 4.6 Intensität in Abhängigkeit von der Frequenz und Gitterdrehung
LEC (α 0 ) = 1cm links p0 = -2mm, rechts p0 = 2,5mm Das in Abschnitt 4.5 beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Lasermodenfrequenz wurde für die in Abb. 4.6 dargestellten Zusammenhänge angewendet. Der winkelabhängige Verlauf der Lasermodenfrequenz ist in Abb. 4.7 zu sehen. Unter anderem ist deutlich zu erkennen, dass der modensprungfreie Durchstimmbereich abhängig von der Lage des Gitterdrehpunktes ist. 10
10
x 10
1.5
1
1
0.5
0.5 ν − ν0 / Hz
0
ν − ν / Hz
1.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5 −2
−1.5
−1
−0.5
0 0.5 α − α0 / rad
1
1.5
2
x 10
−1.5 −2
−1.5
−1
−0.5
−4
x 10
0 0.5 α − α / rad
Abb. 4.7 Lasermodenfrequenz in Abhängigkeit vom Drehwinkel
LEC (α 0 ) = 1cm, links p0 = -2mm rechts p0 = 2,5mm
0
1
1.5
2 −4
x 10
Ausgehend davon erfolgte eine Anpassung der Winkelabhängigkeit der Lasermodenfrequenz für einen maximalen modensprungfreien Frequenzdurchstimmbereich allein durch die Variation von p 0 . Für ausgewählte Drehpunkte ergab sich der in Abb. 4.8 gezeigte Zusammenhang zwischen dem theoretisch möglichen modensprungfreien Frequenzdurchstimmbereich ∆ν und dem Parameter p0 . 9
16
x 10
14 12
∆ ν / Hz
10 8 6 4 2 −10
0
10
20 p / mm
30
40
50
0
Abb. 4.8 Theoretisch möglicher maximaler modensprungfreier Durchstimmbereich des ECDLs (Parameter aus Tab. 4.1)
Abbildung 4.8 verdeutlicht u.a., dass mit einem Gitterdrehpunkt, der sich etwa 35mm vor der Frontfacette befindet, ein theoretischer modensprungfreier Durchstimmbereich von ca. 15GHz erreicht werden kann.
4.7 Modensprünge bei Gitterdrehung Interessant ist weiterhin, dass die in Abschnitt 4.6 erwähnten Modensprünge nicht genau dem FSR des externen Resonators entsprechen. Zu erklären ist dies durch die Umlaufphase innerhalb der LD, da der modifizierte Reflexionsfaktor der LD-Fronfacette sowohl eine Frequenzfilterung, als auch eine Phasenschiebung φ EC der eingestrahlten Welle hervorruft. Dabei kann diese Schiebung, in Verbindung mit der frequenzabhängigen Phase des LD-Resonators, zu einer Umlaufphase von geradzahligen Vielfachen von 2π führen, ob-
wohl φEC ≠ m ⋅ 2π ist. Dieser Effekt tritt umso stärker auf, je größer der Modenabstand der externen Resonatormoden ist, da eine große Frequenzdifferenz zwischen zwei benachbarten Moden auch einen größeren Umlaufphasensprung in der LD hervorruft. Dieser Effekt ist auch in Abb. 4.2 erkennbar. Dort bildend sich aufgrund der Phasenbedingung asymmetrische Resonatormoden im Modensektrum aus, deren Maxima nicht äquidistant sind. Dehnt man den ursprünglich betrachteten Drehwinkel- und Frequenzbereich aus, kann man Modensprünge beobachten, deren Sprungweite zwischen dem FSR des externen und dem FSR des internen Resonators liegt. Die genaue Größe dieser Modensprünge lässt sich nicht mehr analytisch berechen und ist von einer Vielzahl der Parameter abhängig. Entscheidend sind dabei die Verhältnisse Halbwertsbreite und Beugungseffizienz der LittrowReflektivität, die Verspiegelungsgrade der Front- und Rückfacette sowie die optische Länge des LD-Resonators. Berechnungen zeigen, dass die Lasermodenfrequnez beim Durchstimmen
sogar
um
den
doppelten
Modenabstand
des
LD-Resonators
( ∆ν LD ≈ 150GHz) springen kann (s. Abb. 4.9). 11
1
0
ν − ν / Hz
2
x 10
0
−1 −2 −3
−2
−1
0 α − α / rad
1
2
0
3 −4
x 10
Abb. 4.9 Lasermodenfrequenz in Abhängigkeit vom Drehwinkel
LEC (α 0 ) = 1cm, p0 = 0
Dieses Verhalten wurde nicht weiter untersucht, da es für die hier betrachteten modensprungfreien Durchstimmungen von 10-20GHz eine untergeordnete Rolle spielt.
4.8 Einfluss der Reflektivität der Frontfacette Eine Möglichkeit, den modensprungfreien Durchstimmbereich zu vergrößern, ist durch den Einsatz entspiegelter LD gegeben. Mit dem vorgestellten Modell ist es auch für diesen Fall möglich, Vorhersagen über den maximalen Durchstimmbereich zu treffen. Für einige Frontverspiegelungen wurden dazu Rechnungen wie in Abschnitt 4.6 durchgeführt, deren Ergebnisse in Abb. 4.10 zu sehen sind.
Abb. 4.10 Durchstimmbereiche abhängig von der LD-Frontverspiegelung und dem Drehpunkt (schwarz rF = 1% , blau rF = 10% , rot
rF = 25% ) Da für den allgemeinen Zusammenhang zwischen maximalen modensprungfreien Durchstimmbereich und Gitterdrehpunkt kein analytischer Ausdruck vorlag, wurden die Simulationsergebnisse „per Hand“ gefittet. Es ist zu erkennen, dass sich der Drehpunkt für den größtmöglichen modensprungfreien Durchstimmbereich bei abnehmender Frontverspiegelung in Richtung kleiner Werte für den Parameter p 0 verschiebt. Für eine komplett entspiegelte LD greift die Betrachtung in Abschnitt 3.3.2 und der Durchstimmbereich geht theoretisch gegen unendlich. Für diesen Fall, ist der Zusammenhang durch eine Hyperbel gegeben (vgl. Gl. 3.15).
Simulationen für sehr schwache Reflektivitäten der Frontfacette ( < 1% ) zeigen, dass der Durchstimmbereich bereits gegen unendlich geht, falls der Gitterdrehpunkt dem aus Abschnitt 3.3.2 entspricht. Dabei wird die Intensität der Lasermode durch den LD-Resonator schwach moduliert. Eine allgemeingültige Aussage über die dafür benötigte Entspiegelung der LD-Frontfacette, kann hier nicht gegeben werden und muss für spezielle Fälle anhand weiterer Simulationen simuliert werden. Die darin entscheidend eingehenden Parameter sind die Reflektivitäten der LD-Frontfacette und des Littrow-Gitters aber auch die Modenabstände des LD- und des externen Resonators. Ebenfalls zu sehen ist, dass bei sehr schwachen Frontverspiegelungen der Durchstimmbereich symmetrisch um den optimalen Gitterdrehpunkt abnimmt. Dies entspricht dem Ergebnis aus Abschnitt 3.3.2 und kann mittels Gl. (3.15) abgeschätzt werden.
4.9 Intensität der Lasermode bei Gitterdrehung Im Fall einer nicht vollständig entspiegelten Frontfacette wird die Intensität der Lasermode bei Gitterdrehung durch ihr „Herumschlingern“ um das Maximum der Hüllkurve intensitätsmoduliert. In Abb. 4.11 ist die Intensität der Lasermode Abhängigkeit vom Drehwinkel dargestellt.
Modensprünge
Abb. 4.11 Intensität der anschwingenden Lasermode bei Gitterdrehung für
LEC (α 0 ) = 1cm, links p0 = -2mm, rechts p0 = 2,5mm
Die Knicke in den Verläufen der Abbildung (Unstetigkeiten der 1.Ableitung) entsprechen Modensprüngen im Frequenzspektrum. Die Anzahl derartiger Knickstellen für gleiche Winkelbereiche gibt also Auskunft, ob der Drehpunkt mehr oder weniger für eine modensprunfreie Durchstimmung geeignet ist. Bei der Detektion von Modensprüngen über den Verlauf der Intensität können Modensprünge „übersehen“ werden, da durchaus Moden nacheinander Anschwingen können, die einen ähnlichen Intensitätsverlauf besitzen. Durch die Nebenbedingungen des Ausgangszustandes wurde erzwungen, dass eine Eigenmode des internen Resonators und eine Eigenmode des externen Resonators die gleiche Frequenz besitzen und diese auch der Mittenfrequenz des Littrow-Gitters für den Ausgangswinkel α 0 entspricht. Mit der frequenzabhänigigen Reflektivität des LittrowGitters, die einer Gausglocke entspricht, wird dann auch der symmetrische Verlauf der Intensität um den Winkel α 0 ersichtlich.
5. Versuchsanordnungen In diesem Kapitel werden zunächst die Versuchsaufbauten zur Bestimmung der Parameter für die Littrow-Reflektivität vorgestellt. Diese Messungen wurden nötig, da nicht alle in das Modell einfließenden Systemparameter bekannt waren. Im Anschluss wird dann ein modifizierter Littrow-Aufbau vorgestellt, der die Ergebnisse der Modellrechnungen durch eine veränderte Geometrie berücksichtigt.
5.1 Anordnung zur Ermittelung der Littrow-Reflektivität Zur Bestimmung der polarisationsabhängigen Littrow-Reflektivität der 1. Beugungsordnung (vgl. Kapitel 2.3) wurde die eingestrahlten und dazugehörigen reflektierten Intensitäten gemessen. Als Strahlquelle diente eine FP-LD (ADL-S63102TL), die bei 18mA Injektionsstrom auf einer konstanten Temperatur von 18°C betrieben wurde. Laut Datenblatt emittiert diese LD bei 633nm. Diese Diode wurde im weiteren Verlauf der Experimente beibehalten. In Abbildung 5.1 ist die dazu genutzte Versuchsanordnung dargestellt. PD1
LD
Irefl
/2
ISO
Itrans
Iges
ST LD ... ISO ... /2 ... ST ... ... LG ... PD ...
Laserdiode optischer Isolator /2-Plättchen Strahlteiler Teilerverhälniss Littrow-Gitter Photodetektor
I0
I1
LG
·I1 Irefl =·Iges Itrans =(1-)·Iges I1 =|G1|2·Itrans PD2
Abb. 5.1 Experimenteller Aufbau zur Bestimmung der polarisationsabhängigen Beugungseffizienz der 1.Beugungsordnung
Um eine externe Rückkopplung in die LD zu unterbinden, wurde ein optischer Isolator mit einer Abschwächung von 40dB eingesetzt. Dies war notwendig, da sowohl ein Teil der Reflexion vom Littrow-Gitter als auch die Restreflektivität des Strahlteilers den Laserprozess hätten beeinflussen können. Über ein Stellelement konnte die Polarisationsachse des Lichtes mittels eines λ 2 -Plättchens beliebig eingestellt werden. Anschließend er-
folgt die Aufteilung der Strahlungsintensität über einen 1:1-Strahlteiler. Es stellte sich heraus, dass das Teilerverhältnis α ebenfalls polarisationsabhängig ist und der Strahlteiler eher einem Polarisationsstrahlteiler entspricht. Deshalb wurde im Vorfeld dieser Messung das polarisationsabhängige Teilerverhältnis gemessen. Für diese Messung nahm der zweite Photodetektor (PD2 ) die Stelle des Littrow-Gitters in Abb. 5.1 ein. Abhängig von der Polarisationsachse wurde die transmittierte Intensität I trans mittels PD2 und die reflektierte Intensität I refl mit PD1 gemessen und das Teiler-
verhälnis β bestimmt: I ges = I refl + I trans
β=
I refl I ges
,
(5.1)
vorausgesetzt, alle übrigen Streuverluste können vernachlässigt werden. Mit Kenntnis des Teilerverhältnisses des Strahlteilers ist es möglich, Rückschlüsse auf die reflektierte Intensität des Littrow-Gitters zu ziehen. Hierzu wurde der transmittierte Teil der Intensität indirekt durch den reflektierten Teil beschrieben und mittels der zur eingestrahlten Intensität proportional Photospannung quantifiziert. Die in die 1.Beugungsordnung reflektierte Intensität I 1 ist direkt proportional zur eingestrahlten Intensität I trans = (1 − β ) ⋅ I ges . Das Verhältnis stellt die Beugungseffizienz G1
2
der 1.Ordnung dar. Die Intensität des durch das Littrow-Gitter reflektierten Strahles wurde nach einer weiteren Umlenkung am Strahlteiler mit dem PD1 gemessen. Für den Reflexionsfaktor der Intensität des Littrow-Gitters ergibt sich unter den Voraussetzungen, dass Absorption und Streuverluste vernachlässigt werden können: I 1 = G12 ⋅ (1 − β ) ⋅ I ges
→
G1 =
I 1 ⋅ 1 . (1 − β ) I ges
(5.2)
Durch Drehung des λ 2 -Plättchens um den Winkel konnte die Polarisationsrichtung variiert und die jeweiligen Intensitäten β ⋅ I1 und β ⋅ I ges durch die Photodetektoren gemessen wurden. Mit Hilfe einer Matlab-Routine erfolgte die Auswertung.
5.2 Anordnung zur Ermittlung des Strahlradius Entscheidend für die Halbwertsbreite der Reflektivität des Littrow-Gitters ist die Größe des Strahlradius (Gl. 3.1). Seine Abmessungen wurden mit einer CCD-Kamera (WinCam) ausgemessen (s. Abb. 5.2). Der lichtempfindliche Chip dieser Kamera wird durch 752x582 Pixel gebildet, wobei die Pixelgrösse mit 8.6 x 8.3 µm angegeben wird. Der Abstand zwischen Kamera und LD betrug bei der Messung etwa 15cm, so dass man vom Nahfeld des Strahlprofils sprechen kann [Foukhardt1994]. LD
LD COL ISO ATT CCD
COL
... ... ... ... ...
ISO
Laserdiode Kollimator optischer Isolator Abschwächer CCD-Kamera
ATT
CCD
PC -Wincam -Matlab
Abb. 5.2 Aufbau zur Ermittlung des Strahlradius mittels Wincam
Die im Aufbau integrierte Kollimatorlinse (COL) mit einer Brennweite von 4,5mm dient zur Kollimierung des Laserstrahles. Eine nicht erwünschte Rückkopplung in die LD wurde durch den bereits in Kapitel 5.1 erwähnten Isolator (ISO) unterdrückt. Damit die Kamera nicht übersteuert wurde, kam ein Filter (ATT) mit einem variabel einstellbaren Abschwächungskeoffizienten zum Einsatz. Ausgelesen wurden die Kameradaten durch einen PC, auf dem ein mitgeliefertes Programm zum Einsatz kam, das die Daten in eine Binärdatei umwandelte. Die weitere Auswertung erfolgte in MATLAB. Bei einer TEM00-Mode wird die Intensität des Strahlprofils durch eine 2d Gauss-Verteilung beschrieben [Yariv1989]. Aus den Parametern eines Gauss-Fittes entlang eines Schnittes des Profils, lässt sich schließlich der Strahlradius R ermitteln.
5.3 Realisierung eines ECDL-Aufbaus Um die aus den Modellrechnungen erlangten Ergebnisse anhand von Experimenten zu verifizieren, wurde ein Littrow-Laser konzipiert. Ausgangspunkt hierfür war ein handelsüblicher ECDL (DL100) der Firma TOPTICA. Durch den modularen Aufbau des Lasers war es möglich, einzelne Komponenten so zu modifizieren, dass sie den benötigten Ansprüchen genügten. Die Ansteuerung der einzelnen Komponenten erfolgte über kommerziell erhältliche Geräte.
5.3.1 Komponenten des Lasers Der Laser setzt sich aus dem Dioden- und Gitterhalter sowie einer Grundplatte zusammen, die dabei als Träger und Wärmesenke für die Halter dient. Für den Diodenhalter wurde in den Halter eine Kerbe eingefräst, die in Verbindung mit Wärmeleitpaste eine gute Wärmeleitung garantieren soll (Abb. 5.3).
Abb 5.3 Grundplatte auf dem Lasergehäuse
Um den Gitterdrehpunkt variieren zu können, wurde die Arretierung des Gitterhalters variabel gestaltet. Hierzu wurde ein Langloch in die Grundplatte gefräst, welches ein Verschieben des Gitterhalters und den damit verbundenen Drehpunkt ermöglicht. Dabei ist dieses Langloch so angelegt, dass es Gl. (4.3) genügt. Da die ursprüngliche Grundplatte zu klein für einen derartigen Schlitz gewesen wäre, wurde diese verlängert.
Bei der Konstruktion des Gitterhalters wurde, aufbauend auf vorhergehenden Diplomarbeiten, ein neuer Halter entwickelt (Abb. 5.4). Dieser neue Halter verfügt über eine Vorrichtung, mit deren Hilfe man das Gitter parallel zu seiner Oberfläche verschieben und fixieren kann. Damit ist es möglich, das Littrow-Gitter für unterschiedliche Gitterdrehpunkte so zu verschieben, dass es sich immer im Strahlengang befindet. Zudem wird dabei gleichzeitig ein Umlenkspiegel mitbewegt. Dieser dient zur Umlenkung der 0. Beugungsordnung und ermöglicht eine vom Drehwinkel nahezu unabhängige Strahlauskopplung. Die Auslenkung des Gitters erfolgt über einen Piezoaktuator, der das Gitter über ein Festkörpergelenk definiert bewegen kann.
Abb. 5.4 Gitterhalter mit Umlenkspiegel
Nachteilig wirkt sich die große Masse der zu bewegenden Teile auf die Wiederholrate der Laserdurchstimmung (Repititionsrate) und die Durchstimmgeschwindigkeit der Laserfrequenz aus. Da es sich hier jedoch um Verifikationsmessungen handelt, fällt diese Eigenschaft nicht weiter negativ auf. Der Diodenhalter wurde nicht modifiziert. Er dient zur Aufnahme einer LD, diese ist aufgrund thermischer Stabilisierung in der Mitte des Halters positioniert ist. An diesem Halter befindet sich eine Kollimatorlinse zur Kollimierung des divergierenten Laserstrahls. Mittels eines weiteren Festkörpergelenkes zwischen Diodenhalter und Kollimator kann der Abstand zwischen LD und Linse variiert werden.
Alle beschriebenen Komponenten sind aus Messing gefertigt. Dieses Material zeichnet sich vor allem durch einen guten Wärmeleitkoeffizenten aus, der eine Voraussetzung für eine schnelle thermische Stabilisierung ist. Durch ein Peltierelement, das zwischen der Unterseite der Grundplatte und dem Gehäuse angebracht ist, besteht die Möglichkeit, die Temperatur der Grundplatte zu verändern. Mittels eines in der Grundplatte integrierten NTC- Widerstands ist die Kontrolle und Regelung der Temperatur möglich. Der Gesamtaufbau ist in Abb.5.5 gezeigt.
Abb. 5.5 Auf dem Gehäuse montierter kompletter Laseraufbau
Wie zu erkennen sind die einzelnen Komponenten auf einen Gerätesockel montiert. An dessen Ende sich die Buchsen zur Ansteuerung befinden.
5.3.2 Ansteuerung der Laserkomponenten Die Anschlüsse zur Ansteuerung der einzelnen Komponenten sind auf einer StandardPlatine des DL100 zusammengeführt. Die Ansteuerungen der Temperaturkontrolle und des LD-Injektionsstromes erfolgt mit einem von TOPTICA zur Verfügung gestellten Gerät. In diesem Gerät sind mehrere Module integriert, von denen nur der Temperaturkontroller (DTC100) und der Stromkontroller (DCC100) genutzt wurden.
Der Temperaturkontroller regelt auf eine eingestellte Temperatur im Bereich von 0-45°C mit einer Genauigkeit von 2mK [DL01]. Der in die Grundplatte eingebaute NTCWiderstand liefert das dazu benötigte Ist-Signal und der Kontroller (PID-Regler) regelt dementsprechend den Strom des Peltierelementes. Der LD-Injektionsstrom wurde mit dem DCC100 betrieben. Diese Komponente ermöglicht eine externe Modulierung des Injektionsstroms und kann einen Strom im Bereich von 0-500mA stufenlos liefern. Gleichzeitig ist bei einem Anschluss der LD an dieses Gerät ein Überspannungsschutz gewährleistet. Der Piezoaktuator wurde über einen LVPZTA E660 (Low Voltage PiZoT Amplifer) betrieben. Dieser Verstärker liefert eine für den Piezo benötigte Spannung im Bereich von 5100V und besitzt eine separate Offset-Einstellmöglichkeit. Des Weiteren verfügt dieser Verstärker über einen Modulationseingang, welcher durch einen Funktionsgenerator (Stanford DS345) angesteuert wurde.
5.4 Geräte zur Charakterisierung der Frequenzdurchstimmung Die spektrale Analyse der Laserstrahlung erfolgte mit einem Fabry-Perot-Interferometer (FPI) der Firma Burleigh (TL-15). Bei diesem Gerät ist es möglich, den freien spektralen Bereich (FSR) mittels verschiedener Abstandshalter (Spacer) in einem Bereich von 151500GHz zu variieren. Das Auflösungsvermögen des Interferometers ist als Verhältnis von FSR und Finesse definiert [Lauterborn1993]. Der FPI-Resonator wird durch zwei ebene hochreflektierende Spiegel, deren Abstand durch die verschiedenen Spacer grob verändert werden kann, gebildet. Die Feinjustierung der Spiegel wird durch Piezoaktuatoren erreicht. Die Finesse des Gerätes wird bei optimaler Justage mit 150 angegeben. Mit einem FSR von 15GHz ergibt sich dann ein Auflösungsvermögen von 100MHz. Der gewählte FSR ist für das Experiment ausreichend, da nur Modensprünge des externen Resonators eindeutig detektiert werden sollen, welche einen Modenabstand von ca. 3GHz besitzen. Aus diesem Grund wäre der Einsatz eines Quadratur-Interferometers nach [Kin1998] mit einem FSR von 111MHz problematisch gewesen.
Die Ansteuerung des FPIs wurde durch einen Rampenengenerator realisiert, der ebenso, wie der zur Detektierung der transmittierten Laserstrahlung benötigte Photodetektor Zubehör des Messinstrumentes ist. Die interne Photodiode der LD erlaubt eine Messung der Intensität der Laserstrahlung. Dazu wird mit Hilfe des DCC100 der Photostrom der Photodiode in eine Spannung umgewandelt. Das Übertragungsglied dieses Wandlers ist so gestaltet, dass eine Linearisierung zwischen gemessener Intensität und Spannung erfolgt.
5.5 Aufnahme und Verarbeitung der Messsignale Die Aufnahme der Messsignale erfolgte mit einem Speicheroszilloskop (LeCroy 9304AM), das über eine Bandbreite von 200MHz bei einer Auflösung von 8Bit verfügt. Mittels eines GPIB-Bus gelangen die digitalisierten Daten zur Weiterverarbeitung auf einen PC (Abb. 5.4).
DTC100 DCC100
DL100
FPI
9304AM
PC
LVPZTA E660
DS345
Abb. 5.4 Schema des Versuchsaufbaus
Im Rechner erfolgte die Auswertung des FPI Spektrums und der Intensität der Laserstrahlung für unterschiedliche Spannungen des Piezzoaktuators. Dabei wurden die Mehrdeutigkeiten des FPI-Spektrums, die einen spektralen Abstand von 15GHz aufweisen, benutzt, um die Frequenzachse zu normieren. Durch Ausmessen der stetigen Verschiebungen der Intensitäsmaxima des FPI-Spektrums und der Normierung kann man Rückschlüsse auf den Durchstimmbereich ziehen. Zudem ist es bei Modensprüngen möglich, anhand des Spektrums die Richtung des Sprunges zu erkennen.
6. Messwerte Ziel dieses Kapitels ist die Darstellung der Messwerte. Zunächst werden die beiden Ergebnisse zur Bestimmung der fehlenden Systemparameter vorgestellt. Im Anschluss daran erfolgt die Präsentation der Ergebnisse der Durchstimmung des Littrow-Lasers und einer Messung zur Verifizierung des intensitätsabhängigen Brechungsindex des Halbleitermaterials.
6.1 Ermittlung der Littrow-Reflektivität Für die Bestimmung der polarisationsabhängigen Reflektivität des Littrow-Gitters wurde der in Abschnitt 5.1 vorgestellte Aufbau genutzt. Im Vorfeld war es nötig, das polarisationsabhängige Teilerverhälnis β des Strahlteilers zu bestimmen. In Abb. 6.1 (links) sind
80
70
70
68
60
|G1| / %
72
66
50
β
1/2
/%
die dazugehörigen Ergebnisse dargestellt.
64
40
62
30
60 −3
−2
−1
0 1 2 Polarisationsachse / rad
3
4
20 −3
−2
−1
0 1 2 Polarisationsachse / rad
3
4
Abb. 6.1 Polarisationsabhängiges Teilerverhältnis des Strahlteilers und der Littrow-Reflektivität (Feldstärken)
Im rechten Bild wird die Reflektivtät der Feldstärke für die 1. Beugungsordnung G1 des Litrrow-Gitters bei Autokolimation gezeigt. Der Winkel zwischen elektrischen Feldstärkevektor des einfallenden linear polarisierten Strahlungsfeldes des Lasers und den Gitterfurchen wird hier als Polarisationsachse bezeichnet.
6.2 Ermittlung des Strahlradius Die räumliche Intensitätsverteilung der aus der LD emittierten Strahlung ist mit Hilfe des in Abschnitt 5.2 beschrieben Versuchsaufbaus ausgemessen worden. In Abbildung 6.2 ist das Intensitätsprofil der emittierten Strahlung der in Kapitel 5 erwähnten LD dargestellt.
Abb. 6.2 Ortsaufgelöste Intensitätsverteilung der emittierten Strahlung im Nahfeld (15cm)
Aus einem Schnitt entlang der Breite bei der Höhe 0 (s. Abb. 6.3) wurde ein LMS-Fit für eine Gauss-Glocke berechnet. Der Verlauf ist ebenfalls in dieser Abbildung dargestellt und rot markiert. 5
Intensität / B.E.
6
x 10
4 2
0 −2
Abb. 6.3
−1.5
−1
−0.5
0 0.5 Breite / mm
1
2
Schnitt der ortsaufgelösten Intensitätsverteilung bei einer Höhe von 0mm und zugehörige angefittete Gauss-Glocke
1.5
Die Parameter dieses Fits liefern letztendlich die gesuchte Breite des Strahlprofiles. Diese ist dabei so definiert, dass die Intensität bei ihr auf den 1 e 2 Teil gegenüber des Maximums abgefallen ist [Knebühl1999].Für die ortsabhängige Intensität gilt dann: I (x ) = I 0 ⋅ e
−
x2 2 R fit 2
Gl. 6.1
( x - Ortskoordinate der Breite, I 0 - Intensität im Maximum, R - Strahlradius ). Der Radius ergibt sich damit zu R fit = 1.46mm . Aufgrund des schrägen Strahleinfalles auf das Littrow-Gitter wirkt eine Projektion des Strahlradius auf das Reflexionsgitter (s. Abb. 2.4). Eine Korrektur des berechneten Radius ergibt schließlich den gesuchten Strahlradius R =
R fit cos α
≈ 2,2mm bei α 0 ≈ 49°
6.3 Messungen zur Frequenzdurchstimmung Das Frequenzdurchstimmverhalten des in Kapitel 5.3 beschriebenen ECDLs wurde mit den in Abschnitt 5.4 vorgestellten Geräten realisiert und mit dem in Kapitel 5.5 dargestellten Versuchsaufbau gemessen. Die Grafiken in Abb. 6.4 sind durch eine Hintereinanderreihung von FPI-Spektren bei Gitterdrehung entstanden, ähnlich den simulierten Modenspektren in Kapitel 4.
Abb. 6.4
Gemessene Modenspektren bei Gitterdrehung (links p0 = 15mm, rechts p0 = 35mm)
Im Unterschied zu den Abbildungen der simulierten Modenspektren, ist hier die x-Achse durch die Piezospannung parametrisiert. Da eine Erhöhung der Piezospannung zu einer Verringerung Winkels α führt, wird die x-Achse in sich gespiegelt. Für verschieden Gitterdrehpunkte ergaben sich ähnliche Spektren aus denen die maximalen modensprungfreien Durchstimmbereiche ausgemessen worden sind. Abb. 6.5 zeigt den entsprechenden Zusammenhang zwischen Gitterdrehpunkt und maximalen Durchstimmbereich. 9
14
x 10
12
∆ ν / Hz
10 8 6 4 2
0
10
20 p / mm
30
0
Abb. 6.5 maximaler modensprungfreier Durchstimmbereich in Abhängigkeit vom Gitterdrehpunkt Wie man in den Modenspektren erkennen kann, ist die Intensität der Lasermode bei einer Durchstimmung nicht konstant. Abb. 6.6. zeigt die Resonatorleistung bei einer Frequenzdurchstimmung und das dazugehörige Modenspektrum. 10
Leistung / B.E.
8 6 4 2 0 20
Abb.6.6
15 10 5 Piezospannung / V
links: Modenspektrum bei Frequenzdurchstimmung ( p0 = 35mm ) (gleiche Farbcodierung wie in Abb. 6.4) rechts: zugehörige Intensität im Resonator
0
Gemessen wurden diese Resonatorleistungen mittels der internen Photodiode der Laserdiode. Die gezeigte Intensitätsmodulation wird dabei nur durch eine Gitterdrehung hervorgerufen.
6.4 Modenspektrum bei unterschiedlicher Reflektivität des Littrow-Gitters Zusätzlich wurde ermittelt, wie sich das Modenspektrum bei einer Drehung des λ 2
Plättchens (Drehung der Polarisationsachse) im Resonator verändert (Abb. 6.7). In Folge dieser Drehung konnte, wie in Abb. (6.1) gezeigt, die Reflektivität der externen Rückkopplung verändert werden.
Abb.6.7 Modenspektrum in Abhängigkeit von der Resonatorleistung
Bei dieser Messung wurde die gemessene Resonatorintensität ausschließlich durch eine Veränderung der externen Reflektivität hervorgerufen. Die Aufnahme der FPI-Spektren erfolgte analog zu Abschnitt 6.3.
7. Diskussion der Messergebnisse und Fehlereinflüsse Inhalt dieses Abschnittes ist u.a. die Interpretation der Messergebnisse, die bei der Frequenzdurchstimmung des ECDLs für verschiedene Gitterdrehpunkte gewonnnen wurden. Insbesondere werden diese Ergebnisse den Simulationsrechnungen aus dem 4.Kapitel gegenübergestellt.
7.1 Modenselektivität des Resonators bei Gitterdrehung In Abb.7.1 sind die Ergebnisse der Modellrechnungen für das Verhalten der Lasermodenfrequenz bei Gitterdrehung (vgl. Abschnitt 4.5) und die entsprechenden experimentellen Ergebnisse gegenübergestellt. Grundlage der experimentellen Daten sind die in Abb. 6.4 dargestellten Modenspektren, deren vom Drehwinkel abhängiges Intensititäsmaximum die Lasermodenfrequenz bestimmt. Ein Spannungshub von 10V entspricht in etwa einer Winkeländerung von 1.5·10-4 rad. 9
15
x 10
9
15
10
x 10
∆ν / Hz
∆ ν / Hz
10
5
0
5
−1
−0.5 0 0.5 α − α0 / rad
1
1.5 −4
0 20
x 10
15 10 5 Piezospannung / V
0
Abb. 7.1 Vergleich zwischen simuliertem (links) und experimentellem (rechts) Verhalten der Lasermodenfrequenz in Abhängigkeit vom Gitterdrehwinkel (Piezospannung), jeweils p0 = 15mm
Es zeigt sich, dass die Vorhersagen der Simulation mit dem gemessenen Verlauf der Modenselektion unter Gitterdrehung qualitativ übereinstimmen.
Die quantitativen Abweichungen sind vor allem auf Parameter zurückzuführen, deren für die Simulation angenommenen Werte den experimentellen Größen nicht exakt entsprechen. So wurde u.a. das Strahlprofil durch eine Gauss-Glocke approximiert. Durch den Einsatz der CCD-Kamera konnte jedoch nachgewiesen werden, dass diese Annahme nur bedingt gerechtfertigt ist. Für die Länge sowie den Brechungsindex des Halbleitermaterials der Laserdiode wurden Werte Datenblättern herangezogen, die nicht näher spezifiziert werden konnten. Weiterhin kommt bei diesem Vergleich hinzu, dass eine optimale Ausgangslage des internen und externen Resonators nur sehr schwer im Experiment zu erreichen ist. Für eine optimale Ausgangslage müssten die Frequenzen einer externen Mode mit der einer Mode des internen Resonators und darüber hinaus mit dem Maximum der Littrow-Reflektivität übereinstimmen. Die Lösung dieses Problems ist aufgrund der Kopplung aller Größen nicht trivial. Ein nahezu optimaler Ausgangszustand ist in Abb. 7.1 (rechts) dargestellt. Weitere Ursachen für die Diskrepanz zwischen Theorie und Experiment sind auf Ungenauigkeiten bei der Justierung des ECDLs zurückzuführen. Vor allem ist die Einstellung des Kollimators zu erwähnen, da ein unkollimierter Strahl zu zusätzlichen Strahlverlusten führt. D.h. die Finesse des externen Resonators verringert sich, was eine Verringerung seiner Frequenzselektivität zur Folge hat.
7.2 Einfluss des Gitterdrehpunktes auf das Modenspektrum bei Gitterdrehung Die Durchstimmung der Lasermodenfrequenz ist für zwei verschieden Gitterdrehpunkte ( p0 = 15mm und p0 = 35mm) in Abb. 7.2 (oben) dargestellt. Diese Verläufe sind wiederum aus den in Abb. 6.4 dargestellten Modenspektren berechnet worden. Wie erwartet, ist zu erkennen, dass die winkelabhängige Änderung der Lasermodenfrequenz von der Lage des Gitterdrehpunktes abhängt. D.h., um eine Lasermode um den gleichen Frequenzbereich zu verschieben, muss man das Gitter, abhängig von der Position des Gitterdrehpunktes, unterschiedlich weit drehen. Dieses Verhalten entspricht den Simulationsrechnungen (s. Abb. 7.2 unten) und bildet die Grundlage für eine Optimierung der Durchstimmweite des ECDL-Aufbaus.
Die quantitative Diskrepanz zwischen theoretischen und experimentellen Werten ist darauf zurückzuführen, dass eine genaue Positionierung des Gitterdrehpunktes im Experiment nicht realisiert werden konnte. Zum einen besitzt das Festkörpergelenk des Gitterhalters keinen definierten Drehpunkt und zum anderen war die Lage der LD-Frontfacette aufgrund der Kapselung der Laserdiode in einem Gehäuse nicht exakt ermittelbar. 9
15
9
x 10
15
10
∆ν / Hz
∆ν / Hz
10
x 10
5
5
0 20
15 10 5 Piezospannung / V
0 20
0
9
15
15 10 5 Piezospannung / V
0
9
x 10
15
10
∆ ν / Hz
∆ ν / Hz
10
x 10
5
0
5
−1
−0.5 0 0.5 α − α / rad 0
1
1.5
0
−4
x 10
−1
−0.5 0 0.5 α − α0 / rad
1
1.5 −4
x 10
Abb.7.2 Lasermodenfrequenz in Abhängigkeit von der Gitterdrehung für zwei verschiedene Gitterdrehpunkte (links p0 = 15mm, rechts p0 = 35mm, oben gemessene , unten simulierte Werte)
Des Weiteren muss man bei einer Fixierung des Gitterhalters auf der Grundplatte mit einer Verschiebung des Gitterdrehpunktes rechnen, die durch ein Anziehen der Fixierungsschraube in dem Langloch hervorgerufen wird.
7.3 Vergleich der erreichten Durchstimmbereiche Die in Abhängigkeit vom Gitterdrehpunkt berechneten und experimentell erreichten moden-sprungfreien Frequenzurchstimmbereiche, die in den Abbildungen 4.8 und 6.5 dargestellt sind, zeigen einen qualitativ gleichen Verlauf, für die experimentell möglichen Drehpunkte. Der vorliegende Littrow-Aufbau erlaubte es nicht, den Gitterdrehpunkt über 35mm hinaus vor die Frontfacette der LD zu setzen. Deshalb kann an dieser Stelle keine Aussage über den weiteren Verlauf der Durchstimmbereiche getroffen werden. Im Experiment konnte jedoch nachgewiesen werden, dass für diesen Gitterdrehpunkt ein maximaler Durchstimmbereich von ca. 10,7GHz erreicht wurde. Aus Abb. 7.2 (rechts oben) ist zu erkennen, dass keine Lasermodenfrequenzen auftreten, die zu einer möglichen weiteren Vergrößerung des modensprungfreien Frequenzdurchstimmbereiches führen könnten. Die Genauigkeit mit der die Frequenz des Strahlungsfeldes gemessen wurde, wird für das verwendete
FPI
(vgl.
Abschnitt
5.4)
bei
dem
eingesetzten
Spacer
mit
±100MHz angegeben. Damit ergibt sich für die gemessenen Durchstimmbereiche eine Genauigkeit von ±200MHz. Die quantitativen Abweichungen zwischen dem Modell und dem Experiment, die größer sind als der angegebe Größtfehler, können u. a. darauf zurückgeführt werden, dass kein optimaler Ausgangszustand vorlag. Zudem führen Ungenauigkeiten bei der Justage des Lasers zu einer Verringerung des Durchstimmbereiches. In diesem Zusammenhang ist zu erwähnen, dass durch die Modellrechnungen nur eine obere Grenze des maximal erreichbaren Durchstimmbereiches gegeben ist.
7.4 Intensität des Strahlungsfeldes während einer Durchstimmung Bei einem Vergleich der Intensitäten der Lasermoden zwischen Theorie und Experiment, wie sie in der Abb. 7.3 gezeigt sind, fällt auf, dass die Intensitätsverteilung bei Gitterdrehung beim Modell im Gegensatz zur gemessenen Leistung keinen symmetrischen Verlauf aufweist.
10 8
6
Leistung / B.E.
Intensität / B.E.
7
5
4
6 4 2
3 −2
−1
0 α − α0 / rad
1
2 −4
0 20
x 10
15 10 5 Piezospannung / V
0
Abb. 7.3 Simulierte und gemessene Strahlungsintensität bei Gitterdrehung (links simuliert, rechts gemessen, p0 = 35mm )
Die Begründung für diese Diskrepanz liegt in der Modellierung des ECDLs. Für sie wurde ein Resonator ohne die Wechselwirkung des Strahlungsfeldes mit dem Halbleitermaterial angenommen, enthält also keine nichtlinearen optischen Effekte. Im Falle einer Wechselwirkung kommt es zu einer zusätzlichen Elektronen-LochpaarBildung durch das Strahlungsfeld [Ebeling1989]. Diese zusätzlichen ElektronenLochpaare führen zu einer Erhöhung der Besetzungsinversion, welche eine Vergrößerung des Brechungsindex zur Folge hat. Dies führt wiederum zu einer Verlängerung des optischen Weges im LD-Resonator [Petermann1991]. Bei einer Durchstimmung mittels Gitterdrehung wird für einen optimalen Ausgangszustand die beste Rückkopplung erzielt. In diesem Fall ist der Diodenresonator optisch größer als für andere Gitterdrehwinkel. Abhängig von der Rückkopplung werden also die Eigenfrequenzen des Diodenresonators leicht mit verschoben. In Abschnitt 6.4 wurde die Emissionsfrequenz des Strahlungsfeldes in Abhängigkeit von der Rückkopplung gemessen. In der dazugehörigen Abb. 6.7 ist zu sehen, dass eine Erhöhung der Resonatorleistung durch stärkere Rückkopplung zu einer Verringerung der Emissionsfrequenz führt, wodurch die vorangegangene Begründung unterstützt wird. Durch diesen Mitzieh-Effekt des LD-Resonators kann die Asymmetrie der Intensität bezüglich des Ausgangszustandes demzufolge erklärt werden.
Des Weiteren sind im simulierten Intensitätsverlauf keinerlei Modensprünge, wie sie in Kapitel 4.7 erläutert wurden, zu erkennen. Eine Erklärung dafür liefert die spektrale Bandbreite der Littrow-Selektivität (ca.100GHz) in Verbindung mit dem geringen Modenabstand von 3Ghz. Für diesen Fall weisen die Intensitäten benachbarter externen Moden nur geringe Unterschiede auf, so dass die erwarteten Intensitätssprünge nur sehr gering ausfallen und somit in dieser Darstellung nicht sichtbar sind.
8. Zusammenfassung und Ausblick In der vorliegen Arbeit wurde ein Modell zur Beschreibung eines ECDLs in LittrowKonfiguration mit einer nichtenspiegelten Laserdiode entwickelt. Durch Anwendung des Modells konnten für zwei Spezialfälle die jeweiligen optimalen Gitterdrehpunkte analytisch berechnet werden. Darüber hinaus können Aussagen über die Empfindlichkeit des modensprungfreien Frequenzdurchstimmbereiches in Abhängigkeit vom Gitterdrehpunkt getroffen werden. Unbekannte Systemparameter eines Littrow-Laser, die für eine Simulationen dieses Models gekoppelter Resonatoren notwendig waren, wurden aus Experimenten bestimmt. Durch Simulationsergebnisse konnten experimentell bereits bekannte Effekte, wie Modensprünge die größer sind als der Modenabstand des externen Resonators, bestätigt werden. Des weiteren konnte mittels der Simulationen eine Vergrößerung des modensprungfreien Durchstimmbereiches der Strahlungsfrequenz des ECDLs, die lediglich durch eine Gitterdrehung hervorgerufen wird mit einer veränderten Geometrie erreicht werden. Für Verifikationsmessungen wurde aufbauend auf den Ergebnissen der Simulation zur Vergrößerung des Durchstimmbereiches, ein vorhandener Laser in Littrow-Konfiguration abgeändert. Experimente mit diesem Aufbau konnten die qualitativen Zusammenhänge des Modells weitestgehend bestätigen. Im Experiment konnte zudem ein modensprungfreier Frequenzdurchstimmbereich von ca. 10,7GHz beim Einsatz einer nichtentspiegelten LD erreicht werden. Der dafür benötigte gerätetechnische Aufwand konnte im Vergleich zu früheren Aufbauten erheblich verringert werden. Darüber hinaus konnte bei dieser Durchstimmung auf eine diffizile Synchronisierung der Ansteuerung verzichtet werden. Ein weiter Vorteil besteht in der Wiederholrate der Laserdurchstimmung, die lediglich durch die Massenträgheit des Gitterhalters begrenzt wird. Für eine Weiterentwicklung des Modells müssten die nichtlinearen optischen Effekte implementiert werden. Dies müsste mit der jetzigen Modellierung jedoch iterativ geschehen. Eine weitere Vergrößerung des Durchstimmbereiches könnte durch die Verwendung von vertikal emittierenden Laserdioden erreicht werden, da ihr kurzer LD-Resonators und der damit verbundene größere FSR sich weniger stark, für eine gleichgroße Durchstimmung, bemerkbar machen würde.
Anhang
A.1 Beugung am Littrow-Gitter In Abb. A1 sind die geometrischen Größen zur Berechnung der reflektiven Wirkung des Reflexionsgitters gezeigt. xℜsin xℜsi n
reflektierter Strahl
Littrow-Gitter einfallender Strahl
x0
x
2R
Abb.A.1
Skizze zur Veranschaulichung der Verhältnisse bei der Reflexion einer einfallenden elektromagnetischen Welle
Ausgangspunkt für die Berechnung der Reflektivität ist das Kirchhoffsche Beugungsintegral, das durch +∞
E (sin α , sin β ) = E ⋅ B ≥ e ' 0
−
( x − x0 )2 R2
⋅ f (x ) ⋅ e
−i ⋅
2⋅π
λ
⋅ x ⋅(sin α +sin β )
dx
−∞
( α - Einfallswinkel, β - Ausfallswinkel, xo - Abstand zwischen Gitterdrehpunkt und Strahlmitte, R -Projektion der Strahlradius) gegeben ist.
(A.1)
Als Gitterfunktion wird eine Fourier-Reihe mit f (x ) =
∞
ƒG
⋅e
n
n = −∞
−i⋅2⋅π ⋅n⋅
x g
(A.2)
angesetzt ( n -Beugungsordnung, Gn - Reflexionsfaktor der n-ten Beugungsordnung, g Gitterkonstante). Setzt man die Fourierreihe in das Beugungsintegral ein, ergibt sich E (sin α , sin β ) = E ⋅ B ⋅ ' 0
+∞
∞
ƒG ⋅ ≥ e
−
( x − x0 )2
⋅e
R2
n
n=−∞
−i ⋅2⋅π ⋅n⋅
x g
⋅e
−i⋅
2⋅π
λ
⋅ x⋅(sin α + sin β )
dx
−∞
+∞
∞
−
ƒG ⋅ ≥ e
= E ⋅B⋅ ' 0
( x − x0 )2
⋅e
R2
n
n=−∞
x♣g • −i ⋅2⋅π ⋅ ⋅♦ ⋅(sin α +sin β )− n ÷ g ♥λ ≠
dx .
(A.3)
−∞
x − x0 g
Durch Substituitionen von Gl. (A.3) durch z =
und w =
g
λ
⋅ (sin α + sin β ) − n
ergibt sich: E (w ) = g ⋅ E ⋅ B ⋅ ' 0
= g⋅E ⋅B⋅ ' 0
+∞
∞
ƒG ⋅ ≥ e ƒG
n ⋅e
⋅e
♣ x • −i ⋅2π ⋅w ♦♦ z + 0 ÷÷ g ≠ ♥
dz
−i⋅2π ⋅w⋅
+∞
x0 g
⋅ ≥e
−
g2 R2
⋅z 2
⋅ e −i⋅2π ⋅w⋅z dz
−∞
∞
ƒG
⋅e
n
−i⋅2π ⋅w⋅
♠ ≡ 2 g2 +∞ − 2 z2 ↔ ∞ − Rg 2 z 2 ≈ cos(2π ⋅ w ⋅ z )dz + i ≥ e R sin (2π ⋅ w ⋅ z ) dz ≈ ↔≥e − ∞ ↔ −∞ ≈ 0 ←↔ …≈
x0 ⋅ g
∞
ƒ Gn ⋅ e
= 2⋅g ⋅E ⋅B⋅ ' 0
⋅z 2
−∞
∞
n=−∞
R2
n
n=−∞
n=−∞
= g ⋅ E0' ⋅ B ⋅
g2
−
−i⋅2π ⋅w⋅
x0 ∞ g
≥e
n=−∞ ∞
Mit einem Grundintegral ≥ e
−
g2 R2
⋅z 2
cos(2π ⋅ w ⋅ z ) dz .
(A.4)
0
−a 2 x 2
π
cos(bx )dx =
2a
0
e
−
b2 4a2
wobei a =
g ≈ 10 −3 und b = 2πw R
sind, folgt für die reflektierte Feldstärke: E (w ) = π ⋅ R ⋅ E0' ⋅ B ⋅
= E0 ⋅
∞
ƒG
n=−∞
n
⋅e
∞
ƒG
n=−∞
−i⋅2π ⋅w⋅
x0 g
n
−
⋅e
−i ⋅2π ⋅w⋅
x0 g
e
♣ R⋅π ⋅w • −♦♦ ÷÷ ♥ g ≠
2
R 2 ⋅π 2 ⋅w 2
e
g2
.
(A.5)
− R2 ⋅π 2 7 ≈ 10 Da ist, liefert e g2
R 2 ⋅π 2 ⋅w 2 g2
w ≅ 0 ist. Damit folgt für w =
g
λ
nur merklich von Null verschiedene Werte falls ⋅ (sin α + sin β ) − n dass n ⋅ λ = g ⋅ (sin α + sin β ) ist,
was der Bragg-Bedingung entspricht. Für die reflektierte Feldstärke der ersten Beugungsordnung ( n = 1 ) in Littrow-Anordnung ( α = β ), gilt dann: E (w1 ) = E0 ⋅ G1 ⋅ e = E0 ⋅ G1 ⋅ e = E0 ⋅ G1 ⋅ e
−
−
−
π 2 ⋅R 2 ⋅w12 g2
π ⋅R 2 2
g2
−i ⋅2π ⋅
x0 ⋅w1 g
−i ⋅2π ⋅
x0 ⋅w1 g
e ⋅w12
e
π 2 ⋅R 2 ♣ 2⋅g • ⋅♦ ⋅sin α −1 ÷ g2 ♥ λ ≠
2
−i⋅2π ⋅
e
x0 ♣ 2 g • sin α −1 ÷ ⋅♦ g ♥ λ ≠
Durch umstellen der Bragg-Bedingung erhält man ν 0 (α ) =
.
(A.6)
c0 und man kann den 2 g sin α
Betrag und die Phase des Reflexionsfaktors nach rL = G1 ⋅ e
−
• π 2 ⋅R 2 ♣ ν ⋅♦ −1 ÷ g 2 ♦♥ ν 0 (α ) ÷≠
2
♣ ν • x ♣ 2g • ⋅ ♦♦ − 1÷÷ = −2π ⋅ 0 ⋅ ♦ sin(α ) − 1÷ (A.7) g ♥ λ ≠ ♥ ν 0 (α ) ≠ ~ umformen. Die sich dabei ergebende Phase φL , gilt für eine Ebene, die senkrecht zu dem ~
φL = −2π ⋅
x0 g
Einfallenden Strahl liegt und durch x = 0 geht. Durch weitere Umformung der Phase erhält man: ~
φL = −2 ⋅ k ⋅ x0 ⋅ sin α + 2π ⋅
x0 . g
(A.8)
Der erste Summand (Gl. A.8) stellt eine Phase dar, die eine Welle beim durchlaufen (hin und zurück) der Strecke Ebene-Strahlauftreffpunkt erfährt, währenddessen der zweite Summand einen zusätzlichen Phasenterm entspricht, der dem Littrow-Gitter zuzuordnen ist. Für den Phasensprung den eine Welle im Strahlauftreffpunkt des Gitters erfährt gilt nach Gl. (A.8):
φL = 2π ⋅
x0 (α ) x (α ) − x0 (α 0 ) = φL 0 + 2π ⋅ 0 g g
φL = 2π ⋅
x0 (α ) − x0 (α 0 ) g
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, kann φL 0 = 0 gesetzt werden [Sal2005]
(A.9)
A.2 Berechnung des Reflexionsfaktors in der Frontfacette Die Reflexion eines Strahlungsfeldes durch ein Fabry-Perot-Resonators kann mit der Mehrstrahlinterferenz von elektromagnetischen Wellen berechnet werden (Abb. A.2). Die Reflektoren des FPI werden durch die Littrow-Reflektivität rL und den Ga-As Luftübergang r f gebildet. Der Abstand der beiden Reflektoren LEC ist durch die Größe des externen Resonators gegeben.
rFi,tFi rFa,tFa E4 E3 E2 Ee E1
LEC rF
rLit
Abb. A.2 Schematische Darstellung zur Berechnung
der Reflektion an einem FPI Für die Anfangswelle E E gilt E E = E 0 ⋅ e i⋅w⋅t . Üblicherweise ist auf den Frontfacetten der Laserdioden eine Antireflexschicht aufgedampft, die den Reflexionskoeffizienten der LD verändert. Die optische Dicke einer solchen Schicht wird so gewählt, dass k ⋅ L f ≈ (2m + 1) ⋅
π
(A.10)
2
( k -Wellenzahl, L f - optische Dicke der Antireflexschicht, m - ganzzahlig) gilt [Sal2005]. Unter Beachtung von Gl. (A.10) folgt für die einzelnen Feldstärken: E1 = E0 ⋅ rFi ⋅ e iωt E 2 = E0 ⋅ e iωt ⋅ t Fi ⋅ t Fa ⋅ rL ⋅ e −i⋅2⋅δ ⋅ e −i⋅2⋅LF
e −i⋅2⋅LF = e −i⋅2⋅k ⋅LF ≅ e −iπ
E3 = E0 ⋅ e iωt ⋅ t Fi ⋅ t Fa ⋅ rFa ⋅ rL2 ⋅ e −i⋅4⋅δ ⋅ e −i 2π E 4 = E0 ⋅ e iωt ⋅ t Fi ⋅ t Fa ⋅ rFa2 ⋅ rL3 ⋅ e −i⋅6⋅δ ⋅ ⋅ e −i 3π
E n = E 0 ⋅ e iωt ⋅ (rFi + t Fa ⋅ t Fa ⋅ rL ⋅ e −i⋅(2⋅δ +π ) ⋅ (1 + q + q 2 + q 3 + ...))
q = rFa ⋅ rL ⋅ e −i⋅(2⋅δ +π )
Durch das Einsetzen zweier Beziehungen zwischen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten einer Antireflexschicht ( t Fi t Fa = rFa2 − 1 , rFa = rFi = rF ) [Sal2005], ergibt sich
E n = E 0 ⋅ e iωt ⋅ (rfa + (rfa2 − 1) ⋅ rL ⋅ e −i 2 (2⋅δ +π ) ⋅ (1 + q + q 2 + q 3 + ...))
(A.11)
Unter Ausnutzung der geometrischen Reihe folgt dann für die reflektierte Feldstärke E R
∞ ♣ (r 2 − 1)⋅ rL ⋅ e −i⋅(2⋅δ +π ) •÷ = E ⋅ eiωt ⋅ r E R = E0 ⋅ e iωt ƒ E n = E0 ⋅ e iωt ⋅ ♦♦ rF + F 0 EC 1 − rF ⋅ r´ L ⋅ e −i⋅(2⋅δ +π ) ÷≠ n =1 ♥
(A.12)
Durch Anwendung eines Additionstheorems lässt sich der komplexe Reflexionsfaktor rEC umformen und man erhält: rEC = rF +
(r
− 1) ⋅ rL ⋅ e −i (2δ −φL +π ) 1 − rF ⋅ r´ L ⋅ e + i (2δ −φL +π ) ⋅ 1 − rF ⋅ r´ L ⋅ e −i (2δ −φL +π ) 1 − rF ⋅ r´ L ⋅ e +i (2δ −φL +π ) 2 F
rEC = rF
(r +
− 1) ⋅ rL ⋅ e −i (2δ −φL +π ) − (rF2 − 1) ⋅ rF ⋅ r´ L
rEC = rF
− (r
− 1) ⋅ r
2 F
2
1 + rF2 ⋅ r´ L − 2rF ⋅ r´ L ⋅ cos(2δ − φL + π ) 2
2 F
L
⋅
e −i (2δ −φL +π ) + rF ⋅ r´ L
φ −π • 2 ♣ ⋅ r´ L ) + 4 ⋅ rF ⋅ r´ L ⋅ sin 2 ♦ δ − L ÷ 2 ≠ ♥ e −i (2δ −φL +π ) + rF ⋅ r´ L ⋅ 4 ⋅ rF ⋅ r´ L φ −π • ♣ ⋅ sin 2 ♦ δ − L 1+ ÷ 2 2 ≠ ♥ (1 − rF ⋅ r´ L )
(1 − r
F
rEC = rF −
(r
2 F
− 1) ⋅ rL
(1 − r
F
⋅ r´ L )
rEC = rF +
2
(1 − r )⋅ r
(1 − r
2 F
F
L
⋅ r´ L )
2
rF ⋅ r´ L − e −i (2δ −φL ) ⋅ 4 ⋅ rF ⋅ r´ L φ −π • ♣ 1+ ⋅ sin 2 ♦ δ − L ÷ 2 2 ≠ ♥ (1 − rF ⋅ r´ L )
(A.13)
Dieser Reflexionsfaktor stellt einen abstrahierten Reflexionsfaktor dar, den eine elektomagnetische Welle in der Frontfacette der LD erfahren würde.
A.3 Intensität im Resonator Zur Berechnung der Intensität werden die Hin- und Rücklaufenden Feldstärken ( E H , E R ) analog zu A.2 berechnet. Dazu wird die Laserdiode als FP-Resonator identifiziert, wobei die Reflektoren zum einen durch die Rückfacette der LD und zum anderen durch den komplexen Reflexionsfaktor rEC gebildet werden.
E4 E3 E2 E1 LLD rEC
rB Abb. A.3
Schematische Darstellung zur Berechnung der Intensität einer der LD
Da die Intensität sich aus dem Feldstärkequadrat der Welle berechnet, folgt I ( x ) ~ EG (x ) = (E H + E R ) ⋅ (E H* + E R* ) = E H 2
2
+ E R + E R E H* + E R* E H 2
(A.14)
( E H - Summe der hinlaufenden Feldstärke, E R - Summe der rücklaufenden Feldstärke).
E H = E1 + E3 + E5 + ... E1 = E0 ⋅ e
E R = E2 + E4 + E6 + ...
i (ωt −kx )
E2 = E0 ⋅ e i (ωt +kx )rEC e −i⋅2⋅k ⋅nLDLLD
E3 = E0 ⋅ ei (ωt −kx )rEC rB e −i 2knLD LLD
2 E4 = E0 ⋅ e i (ωt +kx )rEC ⋅ rB ⋅ e −i⋅4⋅k ⋅nLDLLD
2 2 −i 4 knLD LLD E5 = E0 ⋅ ei (ωt −kx )rEC rB e
3 E6 = E0 ⋅ e i (ωt +kx ) rEC ⋅ rB2 ⋅ e −i⋅6⋅k ⋅nLDLLD
(
2 E H = E0 ⋅ e i (ωt −kx ) 1 + rEC rB e − i 2 knLD LLD + rEC rB2 e −i 4 knLD LLD + ...
E R = E0 ⋅ e
i (ωt + kx )
⋅ rEC ⋅ e
−i ⋅2⋅k ⋅n LD LLD
(1 + r
EC
⋅ rB ⋅ e
−i ⋅2⋅k ⋅LLD
)
2 + rEC ⋅ rB2 ⋅ e −i⋅4⋅k ⋅nLD LLD + ...
)
Durch Anwendung der geometrischen Reihe, folgt für die Feldstärken analog zu Anhang (A.2), sowie den konjugiert komplexen Feldstärken: E H = E0 ⋅ e i (ωt −kx )
1 1 − rEC ⋅ rB ⋅ e −i⋅2⋅k ⋅nLD ⋅LLD
E H* = E0 ⋅ e −i (ωt −kx )
E R = E0 ⋅ e i (ωt +kx ) ⋅
1 * 1 − rEC ⋅ rB ⋅ e +i⋅2⋅k ⋅nLD ⋅LLD
rEC ⋅ e −i⋅2⋅k ⋅nLD ⋅LLD 1 − rEC ⋅ rB ⋅ e −i⋅2⋅k ⋅nLD ⋅LLD
E R* = E0 ⋅ e −i (ωt + kx ) ⋅
* rEC ⋅ e i⋅2⋅k ⋅nLD ⋅LLD * ⋅ rB ⋅ e i⋅2⋅k ⋅nLD ⋅LLD 1 − rEC
Zur weiteren Berechnung der Intensität wurden die Produkte der Feldstärken berechnet, diese ergaben sich zu: E H ⋅ E H* = E 02 ER ⋅ E = E 0 * R
2
1
1 + rEC r − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC ) 2
2 B
2 rEC
1 + rEC rB2 − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC ) 2
E R ⋅ E H* = E 02 ⋅ E H ⋅ E R* = E 02 ⋅
rEC ⋅ e −i⋅2⋅k ⋅(nLD ⋅LLD − x )
1 + rEC rB2 − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC ) 2
rEC ⋅ e i⋅2⋅k ⋅(nLD ⋅LLD − x )
1 + rEC rB2 − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC ) 2
Durch einsetzen dieser vier Gleichungen in den Zusammenhang (A.14) ergibt sich die ortsabhängige Intensität: I (x ) = E 0 ⋅ 2
1 + rEC + 2 ⋅ rEC ⋅ cos[2 ⋅ k ⋅ (n LD ⋅ LLD − x ) − φEC ] 2
1 + rEC rB2 − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC ) 2
(A.15)
Eine Mittelung über die Ortskoordinate x liefert schließlich die gemittelte Intensität im Resonator: 1 + rEC −
rEC
2
1 I (x ) = LLD Da 1 + rEC
2
LD
>>
≥ I (x ) = I
k ⋅ n LD LLD
I (x ) ≅ I 0 ⋅
[sin(ϕ EC ) − sin(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC )]
1 + rEC ⋅ rB2 − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC )
0
2
0
rEC
k ⋅ n LD ⋅ LLD
≈ 10 −4 vereinfacht sich der Zähler und man kann schreiben: 1 + rEC
1 + rEC ⋅ r − 2 rEC ⋅ rB ⋅ cos(2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − φEC ) 2
2 B
= I LD
(A.16)
Weitere Umformungen führen auf eine typische Airy-Funktion für die Intensität. I LD = I 0 ⋅
= I0 ⋅
1 + rEC
φ •≡ ♠ 2 ♣ 1 + rEC ⋅ rB2 − 2 ⋅ rEC ⋅ rB ↔1 − 2 sin 2 ♦ 2 ⋅ k ⋅ n LD ⋅ LLD − EC ÷≈ 2 ≠… ♥ ← 1 + rEC
(1 − r
EC
= I0 ⋅
φ • 2 ♣ ⋅ rB ) − 4 ⋅ rEC ⋅ rB ⋅ sin 2 ♦ k ⋅ n LD LLD − EC ÷ 2 ≠ ♥
1 + rEC
(1 − r
EC
1
⋅ rB )
2
1+
4 ⋅ rEC ⋅ rB
(1 − r
⋅ rB )
2
EC
(A.17)
φ • ♣ sin ♦ k ⋅ n LD ⋅ LLD − EC ÷ 2 ≠ ♥ 2
A.4 Abschätzung der Genauigkeit bei einer entspiegelten Diode Ausgehend von Gl (3.14) und der Definition für den FSR (der dem Modenabstand entspricht), kann man schreiben:
ν m −ν L
