C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen Merovius
April 25, 2013
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Motivation
Worum geht es?
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
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Worum geht es? Um Neuronen.
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus
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C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum?
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert Für KI
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert Für KI Um neurologische Krankheiten (z.B. Epilepsie, Parkinson. . . ) zu verstehen
Merovius
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Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert Für KI Um neurologische Krankheiten (z.B. Epilepsie, Parkinson. . . ) zu verstehen Für Mensch/Maschine-interfaces. . .
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C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons - Zellkörper
Merovius
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Anatomie eines Neurons - Zellkörper
Ionenkanäle machen die Membran halbdurchlässig für bestimmte Ionen.
Merovius
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Anatomie eines Neurons - Zellkörper
Ionenkanäle machen die Membran halbdurchlässig für bestimmte Ionen. Ionenpumpen bauen Konzentrationsgefälle auf (Ruhepotential)
Merovius
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Anatomie eines Neurons - Zellkörper
Ionenkanäle machen die Membran halbdurchlässig für bestimmte Ionen. Ionenpumpen bauen Konzentrationsgefälle auf (Ruhepotential) Zellkern macht hauptsächlich Zell-Metabolismus
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C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons - Dendriten
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Anatomie eines Neurons - Dendriten
Nehmen Signale anderer Neuronen auf
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Anatomie eines Neurons - Dendriten
Nehmen Signale anderer Neuronen auf Sind stark verzweigt und normalerweise viele
Merovius
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Anatomie eines Neurons - Dendriten
Nehmen Signale anderer Neuronen auf Sind stark verzweigt und normalerweise viele Können exitatorisch (anregend) oder inhibitorisch (hemmend) sein
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C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons - Axon
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons - Axon
Generiert das Aktionspotential (das Neuron „feuert“)
Merovius
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Anatomie eines Neurons - Axon
Generiert das Aktionspotential (das Neuron „feuert“)
Leitet das AP an andere Neuronen (z.B. auch durch den gesamten Körper) Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons - Synapsen
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Anatomie eines Neurons - Synapsen
Hier docken Dendriten anderer Neuronen an
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Anatomie eines Neurons - Synapsen
Hier docken Dendriten anderer Neuronen an Signalübertragung meistens chemisch (Neurotransmitter), manchmal elektrisch Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten?
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten? Einfachste Möglichkeit: Lineare Überlagerung: vSoma =
X
ai · vi
i ∈Dendriten
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten? Einfachste Möglichkeit: Lineare Überlagerung: vSoma =
X
ai · vi
i ∈Dendriten
Man sieht, dass dies das Produkt des Zeilenvektors der Gewichte mit dem Spaltenvektor der Inputs ist.
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten? Einfachste Möglichkeit: Lineare Überlagerung: vSoma =
X
ai · vi
i ∈Dendriten
Man sieht, dass dies das Produkt des Zeilenvektors der Gewichte mit dem Spaltenvektor der Inputs ist. Nummerieren wir die Neuronen mit 1, . . . , n durch und nennen wir aij das Gewicht, mit dem der Output von Neuron i für das Neuron j gewichtet wird, erhalten wir:
~vSoma = A ~vOut
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation ⇒ schnell.
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation ⇒ schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben:
ϕ : Rn → Rn 1 vi > vthresh vi 7→ 0 sonst 0 ~vOut = ϕ (A ~vOut )
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation ⇒ schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben:
ϕ : Rn → Rn 1 vi > vthresh vi 7→ 0 sonst 0 ~vOut = ϕ (A ~vOut )
Wir können solche Netze verschiedener Größe kombinieren und mit verschiedenen Regeln ausstatten und erhalten so „küntliche Intelligenz“
Merovius
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Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation ⇒ schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben:
ϕ : Rn → Rn 1 vi > vthresh vi 7→ 0 sonst 0 ~vOut = ϕ (A ~vOut )
Wir können solche Netze verschiedener Größe kombinieren und mit verschiedenen Regeln ausstatten und erhalten so „küntliche Intelligenz“ Gut bei Klassifizierungsproblemen, schlecht bei ungefähr allem anderen Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation ⇒ schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben:
ϕ : Rn → Rn 1 vi > vthresh vi 7→ 0 sonst 0 ~vOut = ϕ (A ~vOut )
Wir können solche Netze verschiedener Größe kombinieren und mit verschiedenen Regeln ausstatten und erhalten so „küntliche Intelligenz“ Gut bei Klassifizierungsproblemen, schlecht bei ungefähr allem anderen Großes Thema ⇒ andere C1/4? Merovius
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Punktneuronen - Integrate and Fire
Fragestellung: Wie wird am Axonhügel das Aktionspotential generiert?
Merovius
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Punktneuronen - Integrate and Fire
Fragestellung: Wie wird am Axonhügel das Aktionspotential generiert? Wir können die Zellmembran als Kondensator betrachten: Q = Cv ⇒ C v˙ = I
Merovius
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Punktneuronen - Integrate and Fire
Fragestellung: Wie wird am Axonhügel das Aktionspotential generiert? Wir können die Zellmembran als Kondensator betrachten: Q = Cv ⇒ C v˙ = I
Dieses System konvergiert (ohne spiking) gegen einen Gleichgewichtszustand. Wir führen ein „manuelles spiken“ ein: Ist v (t ) > vthresh , rufen wir „spike“ und setzen v (t ) = vreset
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Punktneuronen - Integrate and Fire -20
3
2 -30
1
0
I
v
-40
-50 -1
-60 -2
-70 0
100
200
300
400
-3 500
t
Merovius
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Punktneuronen - Leaky Integrate and Fire
Zellmembran ist kein Isolator, sondern Halbdurchlässig für bestimmte Ionen Lösung: Leckstrom-Term: C v˙ = I −
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v R
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Punktneuronen - Leaky Integrate and Fire -20
3
2 -30
1
0
I
v
-40
-50 -1
-60 -2
-70 0
100
200
300
400
-3 500
t
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell, . . .
Merovius
C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell, . . . Krönung der Punktneuronen-Modelle: Hodgkin-Huxley
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Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell, . . . Krönung der Punktneuronen-Modelle: Hodgkin-Huxley Wir ergänzen den Leckstrom mit mehreren, spannungsabhängigen Ionenströmen: C v˙ = gL (v − vL ) +
X
Ii = gL (v − vL ) +
i
Merovius
X
gi (t , v )(v − vL )
i
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Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell, . . . Krönung der Punktneuronen-Modelle: Hodgkin-Huxley Wir ergänzen den Leckstrom mit mehreren, spannungsabhängigen Ionenströmen: C v˙ = gL (v − vL ) +
X
Ii = gL (v − vL ) +
i
X
gi (t , v )(v − vL )
i
¯i mi (t , v )pi hi (t , v )qi gi (t , v ) = g ¯i ist die maximale Leitfähigkeit, jedes mi ein Modell: g anregendes Tor, jedes hi ein hemmendes Tor (jeweils mit Werten in [0, 1]), beschrieben durch: ˙ i = αi (v )(1 − mi ) − βi (v )mi m h˙ i = γi (v )(1 − hi ) − δi (v )hi Merovius
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Punktneuron - Hodgkin-Huxley 120 Potential Applied current density
Potential v [ms] and current density I [uA/cm2]
100
80
60
40
20
0
-20 0
50
100
150
200
250
t [ms]
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Punktneuron - Hodgkin-Huxley v I/3 m n h
100
2
1.5
v (in mV)
60
40
1
20
I and m/h/n (dimensionless)
80
0.5 0
-20
0 95
100
105
110 t (in ms)
Merovius
115
120
125
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Räumliche Modelle - Kabeltheorie
Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig
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Räumliche Modelle - Kabeltheorie
Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder
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Räumliche Modelle - Kabeltheorie
Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder Die Membran wird modelliert als Kombination aus Kondensator und Widerstand
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C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen
Räumliche Modelle - Kabeltheorie
Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder Die Membran wird modelliert als Kombination aus Kondensator und Widerstand Das Zellplasma (entlang der Stromrichtung) wird als Ohmscher Widerstand modelliert
Merovius
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Räumliche Modelle - Kabeltheorie
Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder Die Membran wird modelliert als Kombination aus Kondensator und Widerstand Das Zellplasma (entlang der Stromrichtung) wird als Ohmscher Widerstand modelliert Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für jeden Abschnitt
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Fragen?
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