Messung der relativen Konzentration

¾

Lorenzkurve

¾

Gini-Koeffizient

¾

Standardisierter Gini-Koeffizient

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

1

Bibliografie: ¾ Prof. Dr. Kück; Universität Rostock 2005; Statistik, Vorlesungsskript ¾ Bleymüller / Gehlert / Gülicher; Verlag Vahlen; Statistik für Wirtschaftswissenschaftler ¾ Hartung; Oldenburg Verlag; Statistik ¾ http://www.wiwi.uni-rostock.de/~stat/download.htm

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Relative Konzentration

2

Konzentration Sie bedeutet soviel wie Verdichtung, Schwerpunktbildung, Ballung oder Ungleichverteilung der Merkmalssumme auf die Merkmalsträger.

Der Nachweis einer Konzentration ist nur sinnvoll bei der Untersuchung nichtnegativer extensiver Merkmale. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

3

Extensive Merkmale - Beispiele Extensive Merkmale werden dadurch charakterisiert, dass eine Summenbildung der Merkmalsausprägungen ein interpretierbares, real vorstellbares Aggregat bildet. Beispiele: ¾

Landwirtschaftliche Fläche

¾

Einkommen

¾

Umsatz

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Relative Konzentration

4

Konzentration - Klassifikation ¾Absolute Konzentration: Die Merkmalssumme ist auf eine kleine bzw. kleiner werdende Zahl von Merkmalsträgern verteilt. ¾Relative Konzentration: Zuordnung eines großen bzw. eines größer werdenden Anteils einer Merkmalssumme zu einem kleinen bzw. kleiner werdenden Anteil der Merkmalsträger.

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Relative Konzentration

5

Konzentration - Beispiele Beispiel: Absolute Konzentration: Die drei größten deutschen Häfen hatten 1999 einen Jahresumschlag von 91 Mio. Tonnen, das sind etwa zwei Drittel des Umschlages aller deutschen Häfen. Beispiel: Relative Konzentration: In der BRD sind im Jahr 1999 80 % der gesamten Einkommenssteuer von 20 % der Steuerpflichtigen erbracht worden.

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Relative Konzentration

6

Konzentrationsmessung Absolute Konzentration Konzentrationsrate m

C m = ∑ p [i]

Herfindaal-Index Anteile an Merkmalssumme

i =1

p [i] =

a [i]

N

H = ∑ p i2 i =1

N

∑

i =1

a [i]

Relative Konzentration Lorenzkurve (grafisch) Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Gini-Koeffizient Relative Konzentration

Standardisierter Gini-Koeffizient 7

Lorenzkurve (Einzelwerte) Sei a[1] ≤ a[2] ≤ ... ≤ a[N] eine aufsteigend geordnete Reihe von Merkmalswerten. Der Streckenzug, der die Punkte (0, 0) und (ui, vi) für i=1, 2, . . ., N verbindet, heißt die Lorenzkurve der Konzentration.

i ui = N

vi

1

i

0,9 0,8 0,7

vi =

0,6 0,5

Kumulierte Anteile der Merkmalsträger

0,4 0,3

∑a

[j]

∑a

[j]

j =1 N j =1

0,2 0,1 0

x-Achse

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

ui

Kumulierte Anteile an der Merkmalssumme y-Achse

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Relative Konzentration

8

Lorenzkurve (Einzelwerte) -Beispiel Messung der relativen Konzentration des Automobilmarktes unter den 10 größten Automobilkonzernen, Stand 2001. Umsatz in Mrd. Dollar Mitsubishi PSA Peugeot Citro Honda Fiat-Gruppe Volkswagen-Grupp Renault/Nissan Toyota/Daihatsu DaimlerChrysler Ford-Gruppe General Motors Gesamt

kumulierte kumulierte Anteile der Anteile am Merkmalsträger Anteil am Gesamtumsatz Gesamtumsatz vi ui

31 ,40 40,80 52,20 53,20 7 9,00 86,20 1 21 ,30 1 52,40 1 7 0,1 0 1 84,60 97 1 ,20

0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,7 0 0,80 0,90 1,00 5,50

0,032 0,042 0,054 0,055 0,081 0,089 0,1 25 0,1 57 0,1 7 5 0,1 90 1 ,000

0,032 0,07 4 0,1 28 0,1 83 0,264 0,353 0,47 8 0,635 0,81 0 1 ,000

vi

1 0,9 0,8

64,7 %

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3

40 %

0,2 0,1 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Relative Konzentration

0,9

ui

Interpretation für den Punkt P(0,60; 0,353): 40 (100-60) Prozent unter den 10 größten Automobilkonzernen kontrollieren 64,7 (100-35,3) Prozent des Automobilmarktes. Es liegt eine mittlere relative Konzentration vor. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

0,8

9

1

Verteilungen des Gesamtumsatzes eines Industriezweiges - Beispiel Unternehmen

Denkbare Verteilungen des Gesamtumsatzes A 1000 0 0 0 0

F G H U1 180 100 199 U2 180 100 199 U3 150 100 199 U4 150 100 199 U5 100 100 199 U6 100 100 1 U7 40 100 1 U8 40 100 1 U9 30 100 1 U10 30 100 1 Merkmals- 1000 1000 1000 1000 2000 1000 1000 1000 summe Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

B 360 300 200 80 60

C 200 200 200 200 200

D E 500 1000 140 280 130 260 120 240 110 220

Relative Konzentration

10

Lorenzkurve für die Verteilung A Unternehmen i 1 2 3 4 5

U5 U4 U3 U2 U1 Merkmalssumme

Verteilung A a*[i] 0 0 0 0 1000 1000

ui 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Kummulierte vi Summe 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 1

* aufsteigend geordnete Reihe der Merkmalswerte

Bei maximaler Konzentration bilden die Lorenzkurve und die Diagonale ein Dreieck mit der maximalen Fläche F0. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

i ui = N

i

vi =

∑a

[j]

∑a

[j]

j =1 N j =1

11

Lorenzkurve für die Verteilung C Unternehmen i 1 2 3 4 5

U5 U4 U3 U2 U1 Merkmalssumme

Verteilung C ai 200 200 200 200 200 1000

vi

ui 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Kummulierte Summe 200 400 600 800 1000

1,0

0,8

vi 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

0,6

0,4

0,2

0,0 0,0

0,4

0,6

0,8

1,0

ui

Bei Gleichverteilung des Umsatzes, minimaler Konzentration, stimmen die Lorenzkurve und die Diagonale des Quadrates überein. Die Diagonale bringt zum Ausdruck, dass gleiche Anteile von Merkmalsträgern gleichen Anteilen der Merkmalsteilsummen entsprechen. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

0,2

Relative Konzentration

i ui = N

i

vi =

∑a

[j]

∑a

[j]

j=1 N

j=1

12

Lorenzkurve für die Verteilung B Unternehmen i 1 2 3 4 5

U5 U4 U3 U2 U1 Merkmalssumme

Verteilung B ai 60 80 200 300 360 1000

ui 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Kummulierte Summe 60 140 340 640 1000

vi 0,06 0,14 0,34 0,64 1,00

Interpretation für den Punkt (0,80; 0,64): 20 % (1-0,80) der größten Unternehmen erbringen 36 % (1-0,64) des Gesamtumsatzes. Es liegt eine schwache relative Konzentration vor. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

i ui = N

i

vi =

∑a

[j]

∑a

[j]

j =1 N

j =1

13

Vergleich der Lorenzkurven vi

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ui

Verteilung A maximale Konzentration

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Verteilung B

Fomin ≤ Fo ≤ Fomax

Relative Konzentration

Verteilung C minimale Konzentration

14

Lorenzkurve - Interpretation ¾ Je stärker die Konzentration ist, desto stärker hängt die Lorenzkurve nach rechts unten und desto größer ist die Fläche zwischen Hauptdiagonale und Lorenzkurve. ¾ Die Diagonale bringt zum Ausdruck, dass gleiche Anteile von Merkmalsträgern gleichen Anteilen der Merkmalsteilsummen entsprechen, d. h. minimale relative Konzentration vorhanden ist.

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Relative Konzentration

15

Gini-Koeffizient - Definition Der Gini-Koeffizient gibt das Verhältnis der Fläche zwischen der Diagonale und der Lorenzkurve zur Fläche des Dreiecks unter der Diagonale an.

F0: Fläche zwischen Lorenzkurve und Diagonale F =

1 1 ⋅1 ⋅1 = 2 2

G=

Fläche des Dreiecks unter der Diagonale

Fo = 2 ⋅ Fo 1 2

h F

F =

1 ⋅ b⋅ h 2

b Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

16

Gini-Koeffizient für die Verteilung A Unternehmen i 1 2 3 4 5

Verteilung A a*[i]

U5 U4 U3 U2 U1 Merkmalssumme Fo =

0 0 0 0 1000 1000

1 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − ⋅ 0,2 ⋅ 1 2 2

= 0,5 − 0,1 = 0,4

Kummulierte vi Summe 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 1

ui 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

G=

Fo 0,4 = = 0,8 1 0,5 2

F

F =

1 ⋅ b⋅ h 2

b

F0: Fläche des Dreiecks zwischen Lorenzkurve und Diagonale. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

h

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks Relative Konzentration

17

Gini-Koeffizient bei maximaler Konzentration Bei maximaler Konzentration bilden die Lorenzkurve und die Diagonale ein Dreieck mit der maximalen Fläche F0. Daher erreicht der Gini-Koeffizient den maximalen Wert. Dieser Wert ist allerdings kleiner als Eins. N− 1 F N− 1 G = 0 = 2N = 1 1 N 2 2 Fläche des Dreiecks rechts von der Lorenzkurve h

Fo =

F

1 1 1 N −1 − ⋅ = 2 2 N 2N

1 ⋅ b⋅ h 2

b

Fläche des Dreiecks unter der Diagonale Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

F =

Relative Konzentration

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks 18

Gini-Koeffizient - allgemeine Formel Definitionsformel

Fo G = = 2 ⋅ Fo 1 2 Um die Fläche F0 zwischen Diagonale und Lorenzkurve zu berechnen, muss man zuerst die Fläche unter der Lorenzkurve ermitteln. Diese Fläche ist die Summe der Flächen aus N-1 Trapezen und einem Dreieck, das als Sonderfall eines Trapezes mit einem Schenkel gleich Null gesehen werden kann. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

19

Fläche eines Trapezes b

h

a

1 F = ⋅ (a + b) ⋅ h 2

F

a

b

Fi = vi-1

Fi

vi

1 1 ⋅ (v i + v i −1 ) ⋅ 2 N

(ui-ui-1)=1/N Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

20

Herleitung der allgemeinen Formel für die Fläche Fu unter der Lorenzkurve (1) 1 1 Fi = ⋅ (vi + v i −1 ) ⋅ 2 N

1 v i −1 + v i Fu = ∑ Fi = ⋅ ∑ N i =1 2 i =1 N

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

N

21

Herleitung der allgemeinen Formel für die Fläche Fu unter der Lorenzkurve (2) v N −1 + v N 1 N vi −1 + vi 1 v 0 + v1 v1 + v 2 Fu = ⋅ ∑ ) = ⋅( + +K+ N i =1 2 N 2 2 2 vN 1 v0 = ⋅ ( + v1 + K + v N −1 + ) 2 N 2 vN vN vN 1 = ⋅ (0 + v1 + K + v N −1 + + − ) N 2 2 2 vN ⎞ 1 ⎛ N vN 1⎛ N 1⎞ V 1 = ⋅ (v1 + K + v N −1 + v N − ) = ⎜ ∑ vi − ⎟ = ⎜ ∑ vi − ⎟ = N 2 N ⎝ i =1 2 ⎠ N ⎝ i =1 2⎠ N N

mit Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

V = ∑ vi − i =1

22

1 2

Herleitung der allgemeinen Formel für den Gini-Koeffizienten V Fu = N

N

mit

1 V = ∑ vi − 2 i =1

1 V N− 2 V 1 Fo = − Fu = − = 2 N 2N 2

G = Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Fo 2 N− 2 V N− 2 V = 2⋅ = = 1− ⋅V 1 N 2N N 2

Relative Konzentration

23

Gini-Koeffizient - Verteilung B ui

vi

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Summe

0,00 0,06 0,14 0,34 0,64 1,00 2,18

2 G = 1− ⋅ V N N

1 V = ∑ vi − 2 i =1

1 V = 2,18 − = 1,68 2

2 G = 1 − ⋅1,68 = 1 − 0,4 ⋅1,68 = 1 − 0,672 = 0,328 5 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

24

Gini-Koeffizient - Wertebereich vi

1,0

Fo G = = 2 ⋅ Fo 1 2

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ui

minimale Konzentration

Fo min = 0

G min = 0 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

N− 1 0≤G≤ N

maximale Konzentration

F0(max)

1 1 1 N− 1 = − ⋅ = 2 2 N 2N

Nachteil

G max = Relative Konzentration

N−1 N 25

Standardisierter Gini-Koeffizient vi

1,0

Gs =

0,8

0,6

F0 F0(max)

0,4

Gs =

0,2

0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ui

F0 F N = 0⋅ N− 1 1 N− 1 2N 2

bei minimaler Konzentration

N G s = G⋅ N− 1

Gs = 0

Wertebereich

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

0 ≤ G

s

≤ 1

Relative Konzentration

bei maximaler Konzentration

Gs = 1 26

Gini-Koeffizient - Beispiele vi

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0 0,0

A Verteilung A B C

B Fo

G

Gs

0,400 0,800 1,000 0,164 0,328 0,410 0,000 0,000 0,000

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ui

C

Fo G= 1 2

Relative Konzentration

N G s = G⋅ N− 1 Für N=5 27

Gini-Koeffizient für Einzelwerte - andere Berechnungsformel Neue Formel N

Bekannte Formel

Fo 2 G = = 1− ⋅ V 1 N 2

2 G= ⋅ N

∑ i⋅ a i =1 N

∑a i =1

i

N+1 − N

i

2 N N+1 = ⋅ ∑ i⋅ p i − N i =1 N Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

28

Gini-Koeffzient - Herleitung der Formel (1) G

2 ⎛ N 1 ⎞ = 1 − ⎜ ∑ v i − ⎟ 2 ⎠ N ⎝ i=1 N N N + 1 2 2 v v i = − − ∑ ∑ N N i=1 N i=1

2 = 1 − ⋅ V N

= 1 +

1 N

i

i

=

N + 1 2 − N N

N

∑

i=1

∑

a

[j]

∑

a

[j]

j= 1 N j= 1

=

N + 1 − N

N ⋅

∑

i

∑ ∑

N

j= 1

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

N

2 a

i=1

j= 1

a

[j]

[j]

Relative Konzentration

29

Gini-Koeffzient - Herleitung der Formel (2) N+ 1 = − N

2 N

N⋅ ∑ a [j]

⋅ (a [1] + (a [1] + a [2] ) + K + (a [1] + a [2] + K + a [N] ))

j=1

N+ 1 = − N

2 N

N⋅ ∑ a [j]

N

⋅ ∑ (N − i + 1) ⋅ a [i] i =1

j=1

N+ 1 = − N

N N ⎞ ⎛ ( ) N 1 a i a + ⋅ − ⋅ ⎜ ∑ [i] ∑ [i] ⎟ N i =1 i =1 ⎠ N⋅ ∑ a [j] ⎝

2

j=1

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

30

Gini-Koeffzient - Herleitung der Formel (3) N + 1 2 ⋅ (N + 1) = − + N N

2 N

N⋅ ∑ a [j]

N

⋅ ∑ i⋅ a [i] i =1

j=1

N

2 = ⋅ N

∑ i⋅ a i =1 N

∑a j=1

[i]

[j]

a [i] N+ 1 2 N N+ 1 − = ⋅ ∑ i⋅ N − N N i =1 N a ∑ [j] j=1

2 N N+ 1 = ⋅ ∑ i⋅ p[i] − N i =1 N

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

q. e. d

31

Gini-Koeffizient - Verteilung A Unternehmen

N

Verteilung A ai

i . ai

0 0 0 0 1000 1000 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

0 0 0 0 5000 5000 0,800 1,000

i 1 2 3 4 5

G s = G⋅

U5 U4 U3 U2 U1 Summe

2 G= ⋅ N

∑ i⋅ a i =1 N

∑a i =1

i

N+1 − N

i

2 5000 6 G= ⋅ − = 0,8 5 1000 5

N 5 = 0,8 ⋅ = 1 N−1 4

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Relative Konzentration

32

Gini-Koeffizient - Verteilung B Unternehmen i 1 2 3 4 5

Verteilung B ai

U5 U4 U3 U2 U1 Summe

60 80 200 300 360 1000 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

N

i . ai 60 160 600 1200 1800 3820 0,328 0,410

2 ∑ G= ⋅ i =N1 N

i⋅ a i

∑a i =1

N+1 − N

i

2 3820 6 G= ⋅ − = 0,328 5 1000 5

N 5 G s = G⋅ = 0,328 ⋅ = 0,410 N− 1 4 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

33

Gini-Koeffizient - Verteilung C Unternehmen i 1 2 3 4 5

Verteilung C ai

200 200 200 200 200 1000 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

G s = G⋅

U5 U4 U3 U2 U1 Summe

N

i . ai 200 400 600 800 1000 3000 0,000 0,000

2 ∑ G= ⋅ i =N1 N

i⋅ a i

∑a i =1

−

N+1 N

i

2 3000 6 G= ⋅ − =0 5 1000 5

N 5 = 0⋅ = 0 N−1 4

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Relative Konzentration

34

Gini-Koeffizient - Verteilung D Unternehmen i 1 2 3 4 5

Verteilung D ai

U5 U4 U3 U2 U1 Summe

110 120 130 140 500 1000 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

N

i . ai 110 240 390 560 2500 3800 0,320 0,400

2 ∑ ⋅ i =N1 G= N

i⋅ a i

∑a i =1

G=

N+1 − N

i

2 3800 6 ⋅ − = 0,32 5 1000 5

N 5 G s = G⋅ = 0,32 ⋅ = 0,4 4 N−1 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

35

Gini-Koeffizient - Verteilung E Unternehmen i 1 2 3 4 5

N

Verteilung E ai

U5 U4 U3 U2 U1 Summe

220 240 260 280 1000 2000 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

i . ai 220 480 780 1120 5000 7600 0,320 0,400

2 ⋅ G= N

∑ i⋅ a i =1 N

∑a i =1

G=

i

−

N+1 N

i

2 7600 6 ⋅ − = 0,32 5 2000 5

N 5 G s = G⋅ = 0,32 ⋅ = 0,4 N−1 4 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

36

Gini-Koeffizient - Verteilung F Unternehmen Verteilung F ai

i . ai

U10 30 U9 30 U8 40 U7 40 U6 100 U5 100 U4 150 U3 150 U2 180 U1 180 Summe 1000 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

30 60 120 160 500 600 1050 1200 1620 1800 7140 0,328 0,364

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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N

Relative Konzentration

2 ∑ G= ⋅ i =N1 N

i⋅ a i

∑a i =1

−

N+1 N

i

2 7140 11 G= ⋅ − = 0,328 10 1000 10 N G s = G⋅ N−1 10 = 0,328 ⋅ = 0,364 9 37

Gini-Koeffizient - Verteilung G i

Unternehmen Verteilung G ai

N

i . ai

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U10 100 100 U9 100 200 U8 100 300 U7 100 400 U6 100 500 U5 100 600 U4 100 700 U3 100 800 U2 100 900 U1 100 1000 Summe 1000,00 5500,00 0,000 Gini-Koeffizient 0,000 Standardisierter Gini-Koeffizient Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

2 ⋅ G= N

∑ i⋅ a i =1 N

∑a i =1

i

−

N+1 N

i

2 5500 11 G= ⋅ − =0 10 1000 10

G s = G⋅ = 0⋅

N N− 1

10 =0 9 38

Gini-Koeffizient - Verteilung H Unternehmen

N

Verteilung H ai

i . ai

1 1 1 1 1 199 199 199 199 199 1000,00 Gini-Koeffizient Standardisierter Gini-Koeffizient

1 2 3 4 5 1194 1393 1592 1791 1990 7975,00 0,495 0,550

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U10 U9 U8 U7 U6 U5 U4 U3 U2 U1 Summe

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

2 G= ⋅ N

∑ i⋅ a i =1 N

∑a i =1

G=

i

−

N+1 N

i

2 7975 11 ⋅ − = 0,495 10 1000 10

N N− 1 10 = 0,495 ⋅ = 0,55 9

G s = G⋅

39

Gini-Koeffizient -Vergleich Verteilungen des Umsatzes UnterA B C D E F G H nehmen U1 1000 360 200 500 1000 180 100 199 U2 0 300 200 140 280 180 100 199 N−1 U3 0 200 200 130 260 150 100 199 0≤G≤ U4 0 80 200 120 240 150 100 199 N U5 0 60 200 110 220 100 100 199 4 U6 100 100 1 0 ≤ G ≤ = 0,8 U7 40 100 1 5 U8 40 100 1 U9 30 100 1 U10 30 100 1 0 ≤ G ≤1 s Summe 1000 1000 1000 1000 2000 1000 1000 1000 9 G 0,800 0,328 0,000 0,320 0,320 0,328 0,000 0,495 0≤G≤ = 0,9 1,000 0,410 0,000 0,400 0,400 0,364 0,000 0,550 Gs 10 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

40

Lorenzkurve - klassierte oder gehäufte Werte Die Lorenzkurve für klassierte oder gehäufte Merkmalswerte bzw. Merkmalsanteile ist durch folgende Formel definiert: i

i

ui =

∑h j=1

N

j

i

= ∑f j = Fi

vi =

j=1

∑h

j

∑h

j

j =1 k j =1

Kumulierte relative Häufigkeiten x-Achse Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

i

⋅xj = ⋅xj

∑ f ⋅x

j

∑ f ⋅x

j

j =1 k j =1

j

j

Kumulierte Merkmalsanteile y-Achse Relative Konzentration

41

Messung der relativen Konzentration (klassierte Werte) -Beispiel Beispiel: Es soll die relative Konzentration für die Bauhauptbetriebe in MV nach ihrem Umsatz analysiert werden (Stand 1999): Anzahl der Beschäftigten 1 bis 9 10 bis 19 20 bis 49 50 bis 99 100 bis 199 200 und mehr Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Anzahl der Betriebe 383 438 362 135 69 29

Umsatz 1000 DM 23559 65564 148123 121159 109989 128300

Relative Konzentration

42

Lorenzkurve (klassierte Werte) -Beispiel Anzahl der Beschäftigten

Umsatz (xi .hi ) ui =Fi

Betriebe (hi )

1 bis 9 10 bis 19 20 bis 49 50 bis 99 100 bis 199 200 und mehr Summe

383 438 362 135 69 29 1416

23559 65564 148123 121159 109989 128300 596694

0,27 0,58 0,84 0,93 0,98 1,00

i

vi 0,04 0,15 0,40 0,60 0,78 1,00

ui =

∑h j=1

N

j

= Fi

i

vi =

∑h

j

⋅x

j

∑h

j

⋅x

j

j=1 k j=1

xi: durchschnittlicher Umsatz eines Betriebes; xi = Umsatz / hi Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

43

Lorenzkurve (klassierte Werte) -Beispiel ui =Fi

vi

0 0,27 0,58 0,84 0,93 0,98 1,00

0 0,04 0,15 0,40 0,60 0,78 1,00

Interpretation: 93 % der Betriebe erwirtschaften nur 60 % des Gesamtumsatzes, d. h. 7 % der größten Betriebe erwirtschaften 40 % des Gesamtumsatzes. Es liegt eine hohe relative Konzentration vor. Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

44

Gini-Koeffizient -klassierte Werte 1 k G = 1 − ⋅ ∑ h i ⋅ (v i −1 + v i ) N i =1

Wertebereich 0≤G≤

k

G = 1 − ∑ f i ⋅ (v i −1 + v i )

N− h k N

i =1

vi : siehe Lorenzkurve Standardisierter Gini-Koeffizient G s = G⋅

Wertebereich 0 ≤ Gs ≤ 1

N N− h k

hk: Häufigkeit der letzten Klasse Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

45

Gini-Koeffizient (klassierte Werte) -Beispiel 1 k G = 1 − ⋅ ∑ h i ⋅ (v i −1 + v i ) N i =1

0≤G≤

1 G = 1− ⋅ 577,9729 = 0,5918 1416 Anzahl der Beschäftigten 1 bis 9 10 bis 19 20 bis 49 50 bis 99 100 bis 199 200 und mehr Summe

Betriebe (hi ) 383 438 362 135 69 29 1416

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

N− h k N

0 ≤ G ≤ 0,9795

vi v i-1 +v i hi *(v i-1 +v i ) 0,039 0,039 15,1218 0,149 0,189 82,7136 0,398 0,547 198,0003 0,601 0,998 134,7640 0,785 1,386 95,6087 1,000 1,785 51,7645 577,9729 0,5918 Gini-Koeffizient Relative Konzentration

G s = G⋅

N N− h k

G s = 0,5918 ⋅

1416 1387

= 0,6042

0 ≤ Gs ≤ 1 46

1. Aufgabe -Klausur Februar 2005 Über Investitionen, Betriebe und Beschäftigte im verarbeitenden Gewerbe liegen Ihnen für kreisfreie Städte folgende Angaben eines Jahres vor: Kreisfreie Stadt

Bruttoanlageinvestitionen Betriebe Beschäftigte in Mill. Euro Anzahl Anzahl

Greifswald

14

25

1.700

Neubrandenburg

22

30

2.500

Rostock

34

80

6.500

Schwerin

16

40

3.800

Stralsund

12

15

1.900

102

30

3.600

Wismar

3. Geben Sie für Bruttoanlageinvestitionen die Wertepaare der Lorenz-Kurve an. 4. Berechnen Sie zusätzlich zu 1.3 den Wert des Gini-Koeffizienten (einfach und standardisiert). Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

47

Lösung 1.3 -Klausur 02. 2005 Berechnung der Koordinaten für Lorenz-Kurve. Zuerst werden die Merkmalsausprägungen aussteigend sortiert. BruttoanlageKreisfreie Stadt investitionen in Mill. Euro

ui

vi

Stralsund

12

0,17 0,06

Greifswald

14

0,33 0,13

Schwerin

16

0,50 0,21

Neubrandenburg

22

0,67 0,32

Rostock

34

Wismar

102

Summe

200

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

i ui = N

i

vi =

∑a

[j]

∑a

[j]

j=1 N j=1

Zum Beispiel:

3 u 3 = = 0,50 6 0,83 0,49 1,00 1,00

Relative Konzentration

v3 =

12 + 14 + 16 = 0,21 200 48

Lösung 1.4 -Klausur 02. 2005 Kreisfreie Stadt

Berechnung des Gini-Koeffizienten.

vi

Stralsund

0,06

Greifswald

0,13

Schwerin

0,21

Neubrandenburg

0,32

Rostock

0,49

Wismar

1,00

Summe

2,21

2 ⋅V N 2 G = 1 − ⋅ 1,71 = 0,43 6 G = 1−

N

1 V = ∑ vi − 2 i =1 V = 2,21− 0,5 = 1,71

Berechnung des standardisierten Gini-Koeffizienten.

6 N = 0,43 ⋅ = 0,516 G s = G⋅ 5 N− 1 Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

49

Relative Konzentration -Beispiel Beispiel: Untersuchen Sie vergleichend die Disparität der Verteilung des HHNE in der Bundesrepublik Deutschland. Nutzen Sie 450 Euro als untere Grenze der ersten Klasse. HHNE von…bis unter … Euro

Früheres Neue Länder Bundesgebiet und Berlin-Ost

Unter 900

7,2

12,8

900 – 1300

11,7

16,7

1300 – 1500

6,6

7,6

1500 – 2000

14,7

17,3

2000 – 2600

14,7

16,0

2600 – 3600

18,1

15,3

3600 – 5000

14,6

8,8

5000 – 18000

12,2

5,4

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

Haushaltnettoeinko mmen (HHNE) in den Neuen Ländern und Berlin-Ost. Erwerbsstatistik 2003 (DESTATIS)

50

Relative Konzentration des HHNE -ABL Früheres HHNE Bundesgebiet von…bis unter … Euro fi (in %) 7,2 Unter 900 11,7 900 – 1300 6,6 1300 – 1500 14,7 1500 – 2000 14,7 2000 – 2600 18,1 2600 – 3600 14,6 3600 – 5000 12,2 5000 – 18000 Summe

ui= Fi 0,07 0,19 0,26 0,40 0,55 0,73 0,88 1,00

Klassemitte xi

xi·fi/100 675 48,60 1100 128,70 1400 92,40 1750 257,25 2300 338,10 3100 561,10 4300 627,80 11500 1403,00 3.456,95

Kummulierte Summe xi·fi/100 48,60 177,30 269,70 526,95 865,05 1426,15 2053,95 3456,95

vi fi·(vi-1+vi)/100 0,01 0,0010 0,05 0,0076 0,08 0,0085 0,15 0,0339 0,25 0,0592 0,41 0,1200 0,59 0,1470 1,00 0,1945 0,5717

Lorenz-Kurv e

1 vi

k

G = 1 − ∑ f i ⋅ (v i −1 + v i )

0,75

i =1

0,5

= 1 − 0,5717 = 0,4283

0,25 0 0

0,25

0,5

0,75 ui 1

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

51

Relative Konzentration des HHNE -NBL Neue Länder fi (in %) 12,8 16,7 7,6 17,3 16,0 15,3 8,8 5,4

HHNE von…bis unter … Euro Unter 900 900 – 1300 1300 – 1500 1500 – 2000 2000 – 2600 2600 – 3600 3600 – 5000 5000 – 18000 Summe

ui= Fi 0,13 0,30 0,37 0,54 0,70 0,86 0,95 1,00

Klassemitte xi

xi·fi/100 675 86,40 1100 183,70 1400 106,40 1750 302,75 2300 368,00 3100 474,30 4300 378,40 11500 621,00 2.520,95

Kummulierte Summe xi·fi/100 86,40 270,10 376,50 679,25 1047,25 1521,55 1899,95 2520,95

vi fi·(vi-1+vi)/100 0,03 0,0044 0,11 0,0236 0,15 0,0195 0,27 0,0725 0,42 0,1096 0,60 0,1559 0,75 0,1194 1,00 0,0947 0,5996

L o re n z-Ku rv e

1

k

G = 1 − ∑ f i ⋅ (v i −1 + v i )

vi

0,75

i =1

0,5

= 1 − 0,5996 = 0,4004

0,25 0 0

0,25

0,5

0,75

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

ui

1

Relative Konzentration

52

Relative Konzentration -BRD HHNE Früheres Neue Länder von…bis unter … Euro Bundesgebiet und Berlin-Ost Unter 900

7,2

12,8

900 – 1300

11,7

16,7

1300 – 1500

6,6

7,6

1500 – 2000

14,7

17,3

2000 – 2600

14,7

16,0

2600 – 3600

18,1

15,3

3600 – 5000

14,6

8,8

5000 – 18000

12,2

5,4

Gini-Koeffizient

0,4283

0,4004

Lorenz-Kurv e

1

vi 0 ,7 5

0 ,5

0 ,2 5 ABL Dia gona l

0 0

0 ,2 5

0 ,5

0 ,7 5

ui 1

Interpretation: Überlegen Sie selbst! Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

53

NBL

Danke schön!!!

Dr. Ricabal Delgado/ Prof. Kück Lehrstuhl Statistik

Relative Konzentration

54