Matrices y operaciones con Matrices.
∗
En clases anteriores hemos usado arreglos rectangulares de números, denominados resolver sistemas de ecuaciones lineales.
matrices aumentadas, para
1. De nición Una matriz.
matriz
es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan los
Ejemplo:
1 3 −1
2 0 , 4
2
1
e 0 0
−3 ,
0
π 1 2
0
√ − 2 1 , 0
1 , 3
elementos de la
4 .
El tamaño de una matriz se describe en términos del número de renglones y de columnas que contiene. La primera matriz de nuestro ejemplo tiene tres renglones y dos columnas, de modo que su tamamño es 3 por 2 (que se escribe 3 x 2). Una matriz con una sola columna se denomina matriz columna (vector columna), y una matriz con un solo renglón se denomina matriz renglón (vector renglón). Es común usar mayúsculas para denotar las matrices y minúsculas para las cantidades numéricas (escalares). Una matriz A con n renglones y n columnas se denominará matriz cuadrada de orden n.
2. Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si son del mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales.
3. Suma y resta de matrices Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces la suma A + B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos de A con los elementos correspondientes de B, y la diferencia A − B es la matriz que se obtiene al restar los elementos de B de los elementos correspondientes de A. No es posible sumar o restar matrices de diferentes tamaños. Sean las matrices:
a11 A= a21
La matriz
a12 , a22
A+B =
En general, si denotamos a A por (aij ) y
b B = 11 b21
a11 + b11 a21 + b21
B por
b12 b22
a12 + b12 . a22 + b22
(bij ), podemos escribir: A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ).
Ejemplo:
Sean las matrices:
2 A = −1 4
1 0 −2
0 3 2 4 , 7 0
−4 B= 2 3
Entonces: ∗ Eduard Rivera Henao. 2014-03-05. Álgebra Lineal.
1
3 5 2 0 2 −4
1 −1 5
4 Multiplicación de una matriz por un escalar
−2 A+B = 1 7
En general, si A,B y
C
2
4 5 4 2 2 3 , 0 3 5
6 A − B = −3 1
2 5 −5
−2 −5 −2 2 −4 11
son matrices:
A + B = B + A. A + (B + C) = (A + B) + C.
4. Multiplicación de una matriz por un escalar Si A es cualquier matriz y k es cualquier escalar, entonces el producto kA es la matriz que se obtien al multiplicar cada elemento de la matriz A por k. Se dice que la matriz kA es un multiplo escalar de A. Sean
a11 a21
A= kA = k
a12 , k∈< a22 a12 ka11 ka12 = . a22 ka21 ka22
a11 a21
Usando la notación alterntiva: kA = k(aij ) = (kaij ). Ejemplo:
Sean las matrices: A=
2 1
4 , 1
3 3
B=
2 7 , 3 −5
0 −1
9 C= 3
−6 0
3 12
Tendremos: 2A =
4 2
6 6
8 , 2
(−1)B =
0 1
−2 −3
−7 , 5
1 C= 3
3 1
1 4
−2 0
Si A1 , A2 , . . . , An son matrices del mismo tamaño y c1 , c2 , . . . , cn son escalares, entonces una expresión de la forma c1 A1 , c2 A2 , . . . , cn An se denomina combinación lineal de A1 , A2 , . . . , An con coe cientes c1 , c2 , . . . , cn .
5. Matriz cero Una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero, se denominará matriz cero. Resulta evidente entonces que: A + 0 = 0 + A = A. Si de nimos la matriz −A como −1(A); la cual llamaremos negativa de A, entonces A + (−A) = A + (−1)A. A + (−1)A =
a11 a21
a12 a22
+ (−1)
a11 a21
a12 a22
=
a11 a21
a12 a22
+
−a11 −a21
−a12 −a22
=
0 0
Así, A + (−A) = 0. En general la diferencia A − B está de nida como A − B = A + (−B).
0 . 0
6 Multiplicación de un vector y una matriz
3
6. Multiplicación de un vector y una matriz ~ un vector como una pareja ordenada de números reales: A ~ = (a1 , a2 ), esta forma de escribir el vector Sea A ~ también lo podemos llamar vector renglón. A ~ por el símbolo Podemos denotar el vector A
a1 a2
donde a1 es el primer elemento y a2 es el segundo elemento del vector. Un vector escrito en esta forma se llama
vector columna. Usando esa terminología, podemos hablar de la matriz
a11 a21
a12 a22
como formada por los vectores renglón (a11 , a12 ) y (a21 , a22 ); o formada por los vectores columna a11 a21
y
Sea C = (c1 , c2 ) un vector renglón (matriz 1 x 2) y renglón (matriz 1 x 2) denotado por CA y de nido:
a CA = (c1 , c2 ) 11 a21
a12 a22
a12 . a22
A una matriz 2 x 2. El producto de
C y
A será el vector
a11 a = (c1 , c2 ) · , (c1 , c2 ) · 12 a21 a22
CA = ((c1 , c2 ) · (a11 , a21 ), (c1 , c2 ) · (a12 , a22 )) CA =(c1 a11 + c2 a21 , c1 a12 + c2 a22 ) Ejemplo:
Sean
C = (2, −3),
Determinar CA y
A=
CB. 2 CA = (2, −3) 4
9 3
2 4
9 , 3
B=
1 7
5 . 2
=((2, −3) · (2, 4), (2, −3) · (9, 3)) =(−8, 9)
1 CB = (2, −3) 7
5 =((2, −3) · (1, 7), (2, −3) · (5, 2)) 2 =(−19, 4)
7. Multiplicación de matrices Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el producto AB es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el renglón i y en la columna j de AB, se consideran únicamente el renglón i de la matriz A y la columna j de la matriz B. Se multiplican entre sí los elementos correspondientes del renglón y la columna mencionados y luego se suman los productos resultantes. Sea
R una matriz 1 x n (vector renglón) y C RC = r1
r2
...
una matriz n x 1 (vector columna), el producto entre c1 c2 rn . = r1 c1 + r2 c2 + · · · + rn cn . .. cn
RyC
es:
8 Propiedades de la aritmética matricial
4
Observamos que el número de columnas de la matriz R debe coincidir con el número de renglones de la matriz C, para que el producto esté de nido. Además podemos recordar el concepto de producto punto de dos vectores para hallar el producto de las dos matrices anteriores si las tomamos como vectores renglón y columna, respectivamente. Veámos:
R · C = r1 ,
r2 ,
...
c1 c2 rn · . = r1 , .. cn
r2 ,
...
rn · c1 ,
c2 ,
...
cn = r1 c1 + r2 c2 + · · · + rn cn .
0 3 −1
4 1 −1 5 2 1
Ejemplo:
Considerando las matrices A=
1 −2
1 B = −2 0
0 −3 , 4 1
Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto AB es una matriz 2 x 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y la columna 3 de AB, sólo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B. Después se multiplican entre sí los elementos correspondientes y se suman los productos obtenidos. 2
2
-2
4
2 2 2 2 2 1 2 2
4
-1 2
2 2 2 = 2 2
2 2
2 2 −10 2
(−2) ∗ (4) + (4) ∗ (−1) + (1) ∗ (2) = −10.
Así, AB =
1 −2
1 0 −3 −2 4 1 0
0 3 −1
4 1 1 −1 5 = −10 2 1
3 11
−2 −2 −10 19
En este caso el producto BA no está de nido, ya que el número de columnas de B no coincide con el número de renglones de A.
8. Propiedades de la aritmética matricial Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas se pueden efectuar, las siguientes reglas de la aritmética matricial son válidas. A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA a(B+C)=aB+aC (a+b)C=aC+bC a(bC)=(ab)C a(BC)=(aB)C=B(aC).
8 Propiedades de la aritmética matricial
5
Existen diferencias entre la multiplicación de escalares y matrices; por ejemplo, si a,b,c son números reales con
a 6= 0, tendremos que: ab = ac si y sólo si b = c, en donde podemos cancelar el factor a. En el caso de matrices, AB = AC no implica que entonces B = C; veámos:
Sean
A=
1 , 1
1 1
Podemos calcular
B=
1 3
2 , 4
C=
3 1
AB =
1 1
1 1 1 3
2 4 = 4 4
6 6
AC =
1 1
1 3 1 1
4 4 = 2 4
6 6
Además
4 . 2
Aunque AB = AC, donde A 6= 0; observamos que B 6= C. La multiplicación entre matrices no siempre es conmutativa, pero siempre será asociativa. Veámos: Sean A=
2 , −1
1 0
B=
−1 4
3 0 , 1 −6
2 C = 1 . −3
veri caremos que (AB)C = A(BC). AB =
1 0
2 −1 −1 4
(AB)C =
Ahora,
7 −4
3 0 1 −6
5 −1
=
7 −4
5 −1
−12 6
2 55 −12 1 = −27 6 −3
2 1 3 0 1 = BC = 27 1 −6 −3 1 2 1 55 A(BC) = = 0 −1 27 −27
−1 4
Así, (AB)C = A(BC). Ejemplo:
Calcular
(7, 9)
1 10
−2 −4
−1 . 3
De las propiedades sabemos que: a(BC) = (aB)C = B(aC). Por lo tanto: (7, 9)
1 10
−2 −4
−1 3
1 = 10
−2 (7, 9) −4
1 −1 −2 −1 = (7, 9) · , (7, 9) · 3 −4 3 10
1 1 ((7, 9) · (−2, −4), (7, 9) · (−1, 3)) = (−14 − 26, −7 + 27) = (−5, 2). 10 10
9 Ejercicios propuestos
6
9. Ejercicios propuestos 1. Calcular:
2 6
8 4
1 3 2 −2
1 −3
.
2. Determinar kCA
a)
k = 2,
C = (−1, 3),
A=
b)
3 . 2
−1 4
k = −1,
C = (4, −7),
A=
C = (2, −2),
3 A= 3
c) k = 1,
8 . 1
1 −2
5 . 5
3. En cada uno de los siguientes ejercicios determinar A + B, AB, BA, 2A, 3B, 2A − 3B, (2A)(3B).
a)
A=
b)
A=
1 −1
c)
A=
−1 , 0
0 1
B=
1 , −1
B=
1 , 2
B=
3 4
0 1
1 −1
1 0
1 . 1 1 . −1 0 . 1
4. Si A es una matriz de orden 2, determinar (A − B)(A + B). ¾Es A2 − B 2 = (A − B)(A + B) para todos A, B de orden 2? 5. Si A es una matriz de orden 2, entonces AA será tambien de orden 2 y será denotado por A2 . Por otra parte, como (AA)A = A(AA), usaremos A3 para denotar, ya sea (AA)A o A(AA). Si A=
2 3
−1 , 1
Determinar A2 , A3 . 6. Si K1 = k1 I, K2 = k2 I, donde k1 , k2 son números reales e I es la matriz unitaria de segundo orden, I=
1 0
0 , 1
mostrar que:
a) b)
K1 + K2 = (k1 + k2 )I. K1 K2 = (k1 k2 )I.
