Matrices triangulares y matrices ortogonales Problemas para examen

Matrices diagonales 1. Sea a ∈ Rn . Se denota por diag(a) la matriz diagonal con entradas a1 , . . . , an :  n diag(a) = aj δj,k j,k=1 . 2. Producto por componentes de dos vectores. Sean a, b ∈ Rn . Denotemos por a b al vector cuyas componentes son los productos de las componentes correspondientes de a y b:  n a b = aj bj j=1 . 3. Operaciones con matrices diagonales. Sean a, b ∈ Rn , λ ∈ R. Haga las siguientes operaciones con matrices diagonales (enuncie y demuestre las f´ormulas): diag(a) + diag(b),

λ diag(a),

diag(a) diag(b).

Matrices triangulares 4. Denotemos por utn (R) al conjunto de las matrices triangulares superiores y por ltn (R) al conjunto de las matrices triangulares inferiores: n o utn (R) := A ∈ Mn (R) : ∀i, j ∈ {1, . . . , n} i>j ⇒ Ai,j = 0 ; n o := ltn (R) A ∈ Mn (R) : ∀i, j ∈ {1, . . . , n} i Q = In

∧

QQ> = In .

El conjunto de las matrices ortogonales de orden n se denota por O(n, R):  O(n, R) := Q ∈ Mn (R) : Q> Q = In ∧ QQ> = In . 15. Sea Q ∈ Mn (R). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) Q> Q = In y QQ> = In . (b) Q> Q = In . (c) QQ> = In . 16. Otra forma de la definici´ on de matriz ortogonal. Una matriz Q es ortogonal si −1 y s´olo si es invertible y Q = Q> . 17. Grupo de matrices ortogonales. Demuestre que O(n, R) es un grupo: Si A, B ∈ O(n, R), entonces AB ∈ O(n, R). In ∈ O(n, R). Si A ∈ O(n, R), entonces A−1 ∈ O(n, R). 18. Determinante de matrices ortogonales. Sea Q ∈ O(n, R). Demuestre que det(Q) = 1

∨

det(Q) = −1.

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Criterio de matriz ortogonal en t´ erminos de sus renglones y columnas 19. Entradas del producto Q> Q. Sea Q ∈ Mn (R) y sean i, j ∈ {1, . . . , n}. Calcule (Q> Q)i,j . Primero escriba (Q> Q)i,j como cierta suma, luego como el producto-punto de ciertas columnas de Q. 20. Entradas del producto QQ> . Sea Q ∈ Mn (R) y sean i, j ∈ {1, . . . , n}. Calcule (QQ> )i,j . Primero escriba (QQ> )i,j como cierta suma, luego como el producto-punto de ciertos renglones de Q. 21. Nota (bases ortonormales). Si a1 , . . . , an son algunos vectores ortonormales del espacio Rn , entonces a1 , . . . , an forman una base de Rn . 22. Teorema: Criterio de matriz ortogonal en t´ erminos de renglones y columnas. Sea Q ∈ Mn (R). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: Q es una matriz ortogonal. los renglones de Q forman una base ortonormal de Rn : ∀i, j ∈ {1, . . . , n}

hQi,∗ , Qj,∗ i = δi,j .

las columnas de Q forman una base ortonormal de Rn : ∀i, j ∈ {1, . . . , n}

hQ∗,i , Q∗,j i = δi,j .

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Criterio de matriz ortogonal en t´ erminos del producto interno, norma y distancia 23. Escriba la definici´on del producto interno can´onico (producto-punto) en Rn . 24. Escriba la definici´on de la norma euclidiana en Rn . Exprese la norma euclidiana a trav´es del producto-punto. 25. Escriba la definici´on de la distancia can´onica (euclidiana) en Rn . Exprese la distancia euclidiana a trav´es de la norma euclidiana. 26. Identidades de polarizaci´ on. Recuerde c´omo expresar un producto interno a trav´es de la norma inducida por este mismo producto interno. 27. Recuerde c´omo expresar una norma por la distancia inducida por esta misma norma. 28. Teorema: criterio de matriz ortogonal en t´ erminos del producto interno, norma y distancia. Sea Q ∈ Mn (R). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) Q ∈ O(n, R). (b) Q preserva el producto interno de vectores: ∀x, y ∈ Rn

hQx, Qyi = hx, yi.

(c) Q preserva la norma euclidiana de vectores: ∀x ∈ Rn

kQxk2 = kxk2 .

(d) A preserva la distancia euclidiana entre vectores: ∀x, y ∈ Rn

d2 (Ax, Ay) = d(x, y).

29. Recuerde la definici´on de la norma de Frobenius de una matriz. 30. Multiplicaci´ on por una matriz ortogonal preserva la norma de Frobenius. Sea A ∈ Mn (R) y sea Q ∈ O(n, R). Entonces kQAkF = kAkF

y

kAQkF = kAkF .

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Rotaciones del plano 31. Escriba la definici´on de la matriz de rotaci´on Rα . 32. Enuncie y demuestre la f´ormula para el producto Rα Rβ . 33. Calcule Rα> . 34. Calcule Rα R−α . 35. Demuestre que Rα ∈ O(n, R). 36. Sean c, s ∈ R tales que c2 + s2 = 1. Explique c´omo calcular un n´ umero α ∈ R tal que c = cos(α),

s = sen(α).

Considere varios casos y use la funci´on arctan. 37. Sea A ∈ O(n, R) tal que det(A) = 1. I. Demuestre que existen c, s ∈ R tales que c2 + s2 = 1 y   c −s A= . s c II. Demuestre que existe un n´ umero α ∈ R tal que   cos(α) − sen(α) A= . sen(α) cos(α) 38. Rotaci´ on de Givens en el caso de dos dimensiones. Sea   x1 x= ∈ R2 . x2 Encuentre algunos n´ umeros c, s ∈ R tales que c2 + s 2 = 1 y 

c −s s c



x1 x2



 =

kxk2 0

 .

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Proyecci´ on ortogonal a una recta 39. Proyecci´ on ortogonal unidimensional. Sea v ∈ Rn \{0n }. Sea x ∈ Rn . Demuestre que existe un u ´nico n´ umero α ∈ R tal que x − αv ⊥ v. En esta situaci´on el vector αv se denota por prv (x). 40. Matriz de la proyecci´ on ortogonal unidimensional. Sea v ∈ Rn \ {0n }. Muestre que la funci´on x 7→ prv (x) es un operador lineal y calcule su matriz Pv . 41. Rango de la proyecci´ on ortogonal unidimensional. Sea v ∈ Rn \ {0n }. Demuestre que el rango de la matriz Pv es 1. 42. Matriz de la proyecci´ on ortogonal es la misma para dos vectores que generan a la misma recta. Sea v ∈ Rn \ {0n } y sea λ ∈ R \ {0}. Demuestre que Pλv = Pv . 43. Propiedades de la proyecci´ on ortogonal a una recta. Sea v ∈ Rn \ {0n }. Demuestre las siguientes propiedades de la matriz Pv : 1. Pv2 = Pv . 2. Pv> = Pv .

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Reflexiones ortogonales (reflexiones de Householder) 44. Sea v ∈ Rn \ {0n }. Sea x ∈ Rn . Deduzca una f´ormula para la reflexi´on ortogonal del vector x con respecto al hiperplano perpendicular al vector v. Denotemos por Hv a la matriz del operador lineal correspondiente. Exprese Hv en t´erminos de Pv . 45. Propiedades de la matriz de reflexi´ on de Householder. Sea v ∈ Rn \ {0n }. Demuestre las siguientes propiedades de la matriz Hv : 1. Hv2 = In . 2. Hv> = Hv . 3. Hv ∈ O(n, R). 46. Sea v ∈ Rn \ {0n } y sea λ ∈ R \ {0}. Demuestre que Hλv = Hv . 47. Sobre las diagonales de un rombo. Sean a, b ∈ Rn tales que kak2 = kbk2 . Demuestre que a + b ⊥ a − b. 48. Sean a, b ∈ Rn tales que kak2 = kbk2 6= 0. Construya un vector v ∈ Rn \ {0n } tal que Hv a = b. 49. Sea x ∈ Rn \ {0n } tal que x 6= kxk2 e1 . Construya un vector v ∈ Rn \ {0n } tal que v1 = 1 y  > Hv x = kxk2 , 0, . . . , 0 .

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