UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Matrices ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ M M ⎢ ⎣an1 an 2

• Matriz: Conjunto de elementos ordenados en filas y columnas • Los elementos pueden ser números reales o complejos • En este curso solo se consideran matrices con elementos reales

L a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L ann ⎦

• Las matrices son denotadas por letras mayúsculas del alfabeto (A, B, C, etc.) • A cada matriz esta asociado un número de filas y columnas, por ejemplo: A de m x n, es decir, la matriz A de m renglones y n columnas • Notación: A = [aij ] • Dos matrices son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y los elementos correspondientes son iguales.

Matrices especiales Triangular Superior ⎡ a11 ⎢0 ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣0

a12 a22 M 0

a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L amn ⎦ K

Triangular Inferior ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ a m1

0 ⎤ L 0 ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L a mn ⎦

0

K

a22 M am 2

Simétrica

Identidad ⎡1 0 K 0 ⎤ ⎢0 1 L 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M M O M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 1 ⎦

⎡ a11 ⎢a ⎢ 12 ⎢ M ⎢ ⎣ a1n

a12 a22 M a2 n

K a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L ann ⎦

Diagonal ⎡ a11 ⎢0 ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣0

0 a22 M 0

0 ⎤ L 0 ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L amn ⎦ K

Cero ⎡0 0 K 0 ⎤ ⎢0 0 L 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M M O M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 0 ⎦

Matriz Transpuesta ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ am1 ALGEBRA LINEAL

a12 a 22 M am 2

a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L a mn ⎦ K

• La matriz transpuesta se obtiene cuando se intercambian las filas por las columnas. • La transpuesta de la matriz A de orden m x n, nos da una matriz de orden n x m • Una matriz es simétrica si A = AT 1

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⎡ a11 ⎢a T A = ⎢ 12 ⎢ M ⎢ ⎣ a1n

a21 a 22

M a2 n

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K am1 ⎤ L a m 2 ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L amn ⎦

Ejemplos

Triangular superior

Triangular inferior

Diagonal

Identidad

Simétrica

⎡1 3 − 4 ⎤ ⎢0 6 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣⎢0 0 − 5⎦⎥

0 0⎤ ⎡ 4 ⎢ − 2 − 1 0⎥ ⎥ ⎢ 5 3⎥⎦ ⎣⎢ 7

⎡2 0 0⎤ ⎢0 6 0⎥ ⎥ ⎢ ⎣⎢0 0 5⎥⎦

⎡1 0 0⎤ ⎢0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

⎡1 4 5 ⎤ ⎢ 4 6 3⎥ ⎥ ⎢ ⎣⎢5 3 2⎥⎦

Matriz Transpuesta ⎡1 3 − 4 ⎤ A = ⎢⎢5 6 2 ⎥⎥ ⎢⎣7 8 − 5⎥⎦

⎡1 5 7⎤ AT = ⎢⎢ 3 6 8 ⎥⎥ ⎢⎣− 4 2 − 5⎥⎦

Operaciones elementales Suma de matrices Para poder realizar lo suma de dos Matrices A y B es necesario que estas sean del MISMO ORDEN y cada elemento de lo primera matriz se sumará con el correspondiente elemento de la segunda matriz aclararemos lo anterior con la siguiente definición: A + B = [ aij ] + [bij ]

Ejemplo: dadas las Matrices A y B efectuar su suma. ⎡ 3 4 9 4⎤ A=⎢ ⎥ ⎣2 6 8 1 ⎦

ALGEBRA LINEAL

⎡1 2 3 0 ⎤ B=⎢ ⎥ ⎣ 4 5 8 3⎦

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⎡ 3 + 1 4 + 2 9 + 3 4 + 0⎤ ⎡4 6 12 4⎤ A+ B = ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎣2 + 4 6 + 5 8 + 8 1 + 3 ⎦ ⎣6 11 16 4⎦ Propiedades: ( [aij ] + [bij ] ) + [cij ] = [ aij ] + ( [bij ] + [cij ] )

(A+B)+C = A+(B+C)

[aij ] + [bij ] = [bij ] + [aij ]

A+B = B+A

asociativa

conmutativa

Producto de una matriz por un escalar Una Matriz de orden m x n puede ser multiplicada por un número diferente de cero dando como resultado otra matriz del mismo orden: El producto de una Matriz A de orden m x n por una constante no nula α es la Matriz αA de orden m x n que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por la constante k dando como resultado:

α A = α aij ⎡ 2 − 4⎤ Si α = 3 y A = ⎢ ⎥ ⎣3 5 ⎦

⎡6 − 12⎤ 15 ⎥⎦

α A=⎢ ⎣9

Propiedades

α ( A + B ) = αA + α B (α + β )A = αA + βA (αβ )A = α (βA) con α ∈ ℜ, β ∈ ℜ

distributiva asociativa

Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices A y B es REQUISITO ( necesario ) que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz, obteniendo una Matriz resultante que estará formada con el número de filas de la primera Matriz y con el número de columnas de la segunda Matriz. Si C es el producto de A * B entonces: A* B = C

m×n

ALGEBRA LINEAL

n× p

3

m× p

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⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣am1

a12 a22 M am 2

L a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L amn ⎦

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⎡b11 b12 ⎢b b22 21 B=⎢ ⎢M M ⎢ ⎢⎣bn1 bn 2

L b1 p ⎤ L b2 p ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L bnp ⎥⎦

⎡ c11 c12 ⎢c c22 21 C=⎢ ⎢ M M ⎢ ⎢⎣cm1 cm 2

L c1 p ⎤ L c2 p ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L cmp ⎥⎦

n

Cij = ∑ aik bkj k =1

Ejemplo: Calcular el producto de las matrices A * B de ser posible.

⎡3 − 2 5⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1 0 4⎦

⎡1 2 − 3 0 ⎤ B = ⎢⎢5 4 1 6⎥⎥ ⎢⎣0 − 3 − 2 5⎥⎦

⎡− 7 − 17 − 21 13 ⎤ A∗ B = ⎢ ⎥ ⎣ 1 − 10 − 11 20⎦

Propiedades:

A ∗ (B + C ) = A ∗ B + A ∗ C ( A ∗ B ) ∗ C = A ∗ (B ∗ C ) A∗ B ≠ B ∗ A

ALGEBRA LINEAL

distributiva asociativa La multiplicación de matrices no es conmutativa

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Vectores Caso especial de matrices donde: m> 1 y n = 1, es decir, esta formada por una sola columna, ó m = 1 y n> 1, es decir, por una sola fila (renglón).

⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ A=⎢ 2⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ am ⎦

B = [b1 b2 L bn ]

La transpuesta de un vector fila es un vector columna y viceversa

⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ A=⎢ 2⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ am ⎦

AT = [a1

a2 L am ]

Suma y resta de vectores

AT + B T = [a1 + b1

AT = [a1

a2 L an ]

B T = [b1 b2 L bn ]

a 2 + b2

L a n + bn ] ,

AT − B T = [a1 − b1

B

A

L a n − bn ]

A-B

B

A+B

a 2 − b2

A

El sentido del Vector A-B siempre es hacia el Vector que es Positivo. Ejemplo: Dados los Vectores A = [2 − 3 4] y B = [3 5 − 5] determinar A + B y A − B

A + B = [5 2 − 1]

ALGEBRA LINEAL

A − B = [− 1 − 8 9]

5

B − A = [1 8 − 9]

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Multiplicación de vectores Como caso especial de matrices, los vectores siguen Las mismas reglas de multiplicación. Por ejemplo:

⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ A * B = [a1 a2 L an ]⎢ 2 ⎥ = a1b1 + a2b2 + L + anbn 1442443 ⎢ M ⎥ 144424443 1×1 1× n ⎢ ⎥ b n⎦ ⎣{ n ×1

La multiplicación en el orden inverso resulta:

⎡ b1a1 b1a2 L b1an ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢b a b a L b a ⎥ ⎢b ⎥ 2⎥ 2 n⎥ ⎢ B* A = a1 a2 L an ] = ⎢ 2 1 2 2 [1 4 4 2 4 4 3 ⎢ M ⎢M⎥ M O M ⎥ 1× n ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ bn ⎦ bn a1 bn a2 L bn an ⎦ ⎣1 ⎣{ 444424444 3 n ×1

n× n

Ejemplo 1

AT = [1 5 7] y BT = [0 − 2 3] obtener AT * B y B * AT ⎡0 ⎤ A * B = [1 5 7]⎢⎢− 2⎥⎥ = (1)(0 ) + (5)(− 2 ) + (7 )(3) = 11 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ T

⎡0 ⎤ ⎡ (0 )(1) ⎢ ⎥ B * A = ⎢− 2⎥[1 5 7] = ⎢⎢(− 2)(1) ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ (3)(1) T

(0)(5) (0)(7 ) ⎤ ⎡ 0 (− 2)(5) (− 2)(7 )⎥⎥ = ⎢⎢− 2 (3)(5) (3)(7 ) ⎥⎦ ⎢⎣ 3

0 ⎤ − 10 − 14⎥⎥ 15 21 ⎥⎦ 0

Ejemplo 2 ⎡ 0 4 3⎤ Multiplicar A * B si A = [1 − 2 3] y B = ⎢⎢− 1 8 2⎥⎥ ⎢⎣ 3 1 5⎥⎦ T

ALGEBRA LINEAL

T

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⎡ 0 4 3⎤ AT * B = [1 − 2 3]⎢⎢− 1 8 2⎥⎥ = [11 − 9 14] 14243 14 4244 3 1×3 1×3 ⎢⎣ 3 1 5⎥⎦ 14243 3×3

B *{ AT no puede ser efectuado, pero el producto { B*{ A si puede ser Note que el producto { 3×3

1×3

3×3

3×1

efectuado Ejemplo 3

Multiplicar las siguientes matrices: ⎡ 0 4 3⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ (0 )(1) + (4 )(0 ) + (3)(2 ) ⎤ ⎡ 6 ⎤ ⎢− 1 8 2⎥ ⎢0⎥ = ⎢(− 1)(1) + (8)(0 ) + (2 )(2 )⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 1 5⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣ (3)(1) + (1)(0 ) + (5)(2 ) ⎥⎦ ⎢⎣13⎥⎦ 14243 { 1444424444 3 3×3

3×1

3×1

Producto punto de vectores (producto escalar)

Dados dos vectores con el mismo número de elementos (por ejemplo n), el producto punto de los vectores A y B denotado por A • B es un número real dado por: AT = [a1

a2 L a n ]

B T = [b1 b2 L bn ]

A • B = AT • B = a1b1 + a2b2 + L + an bn

Propiedades

A • B = B • A conmutativa ( A + B ) • C = A • C + B • C distributiva (αA) • B = α ( A • B ) A • A ≥ 0 positiva definida A • A = 0 si y solo si A = [0] Ejemplo:

Si AT = [1 2 4], BT = [− 3 1 7], C T = [2 5 − 1] Demuestre que A • (B + C ) = A • B + A • C

ALGEBRA LINEAL

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⎡− 1⎤ B + C = ⎢⎢ 6 ⎥⎥ ⎢⎣ 6 ⎥⎦

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A • (B + C ) = −1 + 12 + 24 = 35

A • B = −3 + 2 + 28 = 27

A • C = 2 + 10 − 4 = 8

A • B + A • C = 27 + 8 = 35

Longitud de un vector

Sea X un vector de dos elementos, su longitud denotada por X , es el número no negativo:

x2

X = [x1

X

x2 ]

X = x12 + x22

x1

La longitud de X puede re-escribirse mediante el producto punto como: X =

X•X

La Norma de un vector X, es la longitud del vector X y está dada por X =

X • X = x12 + x22 + L + xn2

Ejemplo:

Si AT = [5 3 4] , encuentre su norma. A = 5 2 + 32 + 4 2 = 25 + 9 + 16 = 50 = 7.0711

Ángulo entre vectores

Si X y Y son dos vectores con n componentes y distintos del vector cero, el coseno del ángulo entre ellos se define como: cos(θ ) =

ALGEBRA LINEAL

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X •Y X Y

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Si el producto punto de los vectores X y Y es cero X • Y = 0 , el ángulo entre los vectores es 90° ó 270°. Ejemplo:

Calcule el ángulo entre los vectores X y Y. X T = [2 − 3 4 1] y Y T = [− 1 2 4 2] cos(θ ) =

X •Y = X Y

− 2 − 6 + 16 + 2 10 = = 0.365 4 + 9 + 16 + 1 1 + 4 + 16 + 4 30 25

θ = 68.58°

Distancia entre vectores

La distancia entre dos vectores X y Y es la longitud del vector X-Y X-Y

Y X

La distancia entre dos vectores X y Y de n componentes esta dada por la siguiente expresión: X T = [x1

x2 L xn ] y Y T = [ y1

d (X ,Y ) = X − Y =

y2 L yn ]

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + L + (xn − yn )2

Ejemplo:

Calcule la distancia entre los vectores X y Y:

X T = [0 3 5 1] ⎡0 − (− 2)⎤ ⎡2⎤ ⎢ 3 − 1 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎥=⎢ ⎥ X −Y = ⎢ ⎢ 5 − (− 3)⎥ ⎢8⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 1 − 1 ⎦ ⎣0 ⎦

ALGEBRA LINEAL

Y T = [− 2 1 − 3 1]

d (X ,Y ) = X − Y =

9

(2)2 + (2)2 + (8)2 + (0)2

= 72 = 8.485

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Conjuntos ortogonales de vectores

Dos vectores de igual número de elementos son ortogonales o perpendiculares si el coseno del ángulo entre ellos es cero, es decir, dos vectores son ortogonales si y solo si el producto punto entre ellos es cero: X •Y = 0 Ejemplo: Determine si los vectores X 1T = [4 4] y X 2T = [− 2 2] son ortogonales. ⎡ 4⎤ ⎡ − 2⎤ X 1 • X 2 = ⎢ ⎥ • ⎢ ⎥ = (4 )(− 2) + (4)(2 ) = 0 por lo tanto son perpendiculares ⎣ 4⎦ ⎣ 2 ⎦ Ejemplo: ¿Es el siguiente conjunto ortogonal? X 1T = [1 0 0 0], X 2T = [0 1 0 0],

X 3T = [0 0 1 0]

X1 • X 2 = 0 X1 • X 3 = 0 X2 • X3 = 0

ALGEBRA LINEAL

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Sistemas de ecuaciones lineales En general, un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas está dado por: a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 M

M

M M M a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm

Todos los coeficientes a y b son números reales. El problema es encontrar todos los conjuntos de n números, denotados por ( ( x1 , x 2 , L, x n ) que satisfagan cada una de las m ecuaciones Para el sistema general hay tres posibilidades: hay una solución, hay un número infinito de soluciones, o no hay soluciones. Método de Gauss-Jordan

Método para encontrar todas las soluciones (si existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Resuelva el sistema de ecuaciones

2 x1 + 8 x2 + 6 x3 = 20 4 x1 + 2 x2 − 2 x3 = −2 3x1 − x2 + x3 = 11 Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial 6 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 20 ⎤ ⎡2 8 ⎢ 4 2 − 2⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ − 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 − 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 11 ⎥⎦ Tiene la forma de

AX = B

Donde la matriz A es la matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de incógnitas y la matriz B es la matriz de términos independientes. Escribiendo el sistema como una matriz aumentada ⎡2 8 6 20 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 4 2 − 2 − 2⎥ ⎢3 − 1 1 11 ⎥⎦ ⎣ El método de Gauss-Jordan consiste en reducir la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida.

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Dividimos el primer renglón por 2 ⎡1 4 3 10 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 4 2 − 2 − 2⎥ ⎢3 − 1 1 11 ⎥⎦ ⎣

Multiplicamos el primer renglón por -4 y se lo sumamos al segundo; después multiplicamos el primero por -3 y se lo sumamos al tercero ⎡1 4 3 10 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 − 14 − 14 − 42⎥ ⎢0 − 13 − 8 − 19 ⎥⎦ ⎣ Dividimos el segundo renglón por -14 ⎡1 4 3 10 ⎤ ⎢ 1 3 ⎥⎥ ⎢0 1 ⎢0 − 13 − 8 − 19⎥⎦ ⎣ Multiplicamos el segundo renglón por -4 y se lo sumamos al primero; después multiplicamos el segundo renglón por 13 y se lo sumamos al tercero. ⎡1 0 − 1 − 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 1 3 ⎥ ⎢0 0 5 20 ⎥⎦ ⎣ Dividimos el tercer renglón por 5 ⎡1 0 − 1 − 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 1 3 ⎥ ⎢0 0 1 4 ⎥⎦ ⎣

Multiplicamos el tercer renglón por -1 y tercer renglón con el primero. ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣

se lo sumamos al segundo, después sumamos el

0 0 2⎤ 1 0 − 1⎥⎥ 0 1 4 ⎥⎦ Esta matriz está en la forma escalonada reducida. La única solución al sistema de ecuaciones sería x1 = 2 x2 = −1 x3 = 4

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Ejemplo: Demostrar que el sistema de ecuaciones tiene infinito número de soluciones. 2 x1 + 8 x2 + 6 x3 = 20

4 x1 + 2 x2 − 2 x3 = −2 − 6 x1 + 4 x2 + 10 x3 = 24 Solución: x1 − x3 = −2, x2 + x3 = 3 Ejemplo: Demostrar que el sistema de ecuaciones no tiene solución. 2 x1 + 8 x2 + 6 x3 = 20

4 x1 + 2 x2 − 2 x3 = −2 − 6 x1 + 4 x2 + 10 x3 = 30

Eliminación gaussiana

Reduce la matriz de coeficientes a la forma escalonada, se resuelve para la última incógnita y luego se usa la sustitución hacia atrás para resolver para las otras incógnitas Para el ejemplo anterior ⎡2 8 ⎡1 4 ⎡1 6 20 ⎤ 3 10 ⎤ 4 3 10 ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢4 2 − 2 − 2⎥ ⇒ ⎢4 2 − 2 − 2⎥ ⇒ ⎢0 − 14 − 14 − 42⎥ ⇒ ⎢3 − 1 1 11 ⎦⎥ ⎢3 − 1 1 11 ⎦⎥ ⎢0 − 13 − 8 − 19 ⎦⎥ ⎣ ⎣ ⎣

⎡1 4 3 10 ⎤ ⎢ 1 3 ⎥⎥ ⎢0 1 ⎢0 − 13 − 8 − 19⎦⎥ ⎣

Hasta aquí, el proceso es el mismo que se hizo anteriormente. Multiplicamos el segundo renglón por 13 y se lo sumamos al tercero. Luego dividimos el tercer renglón por 5 ⎡1 4 3 10 ⎤ ⎡1 4 3 10⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0 1 1 3 ⎥ ⇒ ⎢0 1 1 3 ⎥ ⎢0 0 5 20⎥⎦ ⎢0 0 1 4 ⎥⎦ ⎣ ⎣

De esta última Las ecuaciones nos quedarían: x3 = 4

x 2 + x3 = 3 x1 + 4 x 2 + 3x3 = 10 Resolviendo estas ecuaciones

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x3 = 4 x2 = −1 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

x1 = 2

El sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se conoce como homogéneo si todas las constantes (b1 , b2 ,L, bm ) son cero.

Para el sistema general homogéneo x1 = x 2 = L = x n = 0 siempre es una solución (llamada solución trivial o la solución cero), solamente hay dos posibilidades: la solución cero es la única solución o hay un número infinito de soluciones además de la solución cero. (Las soluciones distintas de la solución cero se conocen como las soluciones no triviales. Ejemplo: Resuelva el sistema homogéneo

x1 + 2 x 2 − x3 = 0 3x1 − 3x 2 + 2 x3 = 0 − x1 − 11x 2 + 6 x3 = 0

La matriz aumentada ⎡1 2 − 1 0⎤ A2 ,1 ( −2 ) ⎡1 2 − 1 0⎤ A1, 2 ( −3) ⎡1 2 − 1 0⎤ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ( ) − M 1) A2 , 3 ( 9 ) ⎥ A1, 3 (⎯ 9 ⎯ ⎯→ →⎢0 1 − 95 0⎥⎥ ⎯⎯ →⎢0 − 9 5 0⎥⎥ ⎯⎯2 ⎯ ⎢ 3 − 3 2 0⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎢0 − 9 5 0⎦⎥ ⎢0 − 9 5 0⎥⎦ ⎢− 1 − 11 6 0⎦⎥ ⎣ ⎣ ⎣ ⎡1 0 19 0⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎢0 1 − 9 0 ⎥ ⎢0 0 0 0⎥⎦ ⎣

La matriz aumentada está en forma escalonada reducida y, evidentemente, hay un número infinito de soluciones dadas por (− 19 x3 , 59 x3 , x3 ) .

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Matriz Inversa Inversa de una matriz.

Definición: Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A−1 . A −1 A = AA−1 = I Método de Gauss para encontrar la inversa de una matriz

Para calcular la matriz inversa de A, se escribe la matriz aumentada [A I ] , y se utiliza la reducción por renglones para formar la matriz identidad en el lugar de la matriz A, entonces la matriz que se forma a la derecha de la barra será la matriz inversa de A. Ejemplo Encontrar la matriz inversa de A. ⎡1 0 2 ⎤ A = ⎢⎢2 − 1 3⎥⎥ ⎢⎣4 1 8 ⎥⎦

Primero se construye la matriz aumentada [A I ] ⎡1 0 2 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 ⎢2 − 1 3 0 1 0⎥ A1, 2 (− 2 )⎢0 − 1 ⎢ ⎥ A (− 4)⎢ ⎢⎣4 1 8 0 0 1⎥⎦ 1,⎯3 ⎯→ ⎢⎣0 1 → 1 0 0⎤ ⎡1 0 2 ⎡1 0 ⎢0 1 1 ⎥ 2 − 1 0⎥ M 3 (− 1)⎢⎢0 1 ⎢ ⎯⎯→ ⎢⎣0 0 − 1 − 6 1 1⎥⎦ ⎢⎣0 0

2 1 0 0⎤ ⎡1 ⎥ − 1 − 2 1 0⎥ M 2 (− 1)⎢⎢0 ⎯⎯→ ⎢⎣0 0 − 4 0 1⎥⎦ 2 1 0 0⎤ ⎡1 A3,1 (− 2)⎢ ⎥ 0 1 2 −1 0 ⎥ A3, 2 (− 1) ⎢ 1 6 − 1 − 1⎥⎦ ⎯⎯→ ⎢⎣0

0 0⎤ − 1 0⎥⎥ A2,3 (− 1) 1 0 − 4 0 1⎥⎦ ⎯⎯→ 0 2 1 1

1 2

0 0 − 11 2 2 ⎤ 1 0 − 4 0 1 ⎥⎥ 0 1 6 − 1 − 1⎥⎦

Por lo que la matriz inversa de A es la matriz del lado derecho 2⎤ ⎡− 11 2 ⎢ A = ⎢ − 4 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣ 6 − 1 − 1⎥⎦ −1

Comprobación

AA −1 = I ALGEBRA LINEAL

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M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

2 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡1 0 2⎤ ⎡− 11 2 ⎢ 2 − 1 3 ⎥ ⎢ − 4 0 1 ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣4 1 8 ⎥⎦ ⎢⎣ 6 − 1 − 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

ALGEBRA LINEAL

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M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ