Cap´ıtulo 1

Matrices y Determinantes 1.1

Matrices. Generalidades

Definici´ on 1.1 Sea E 6= ∅ un conjunto cualquiera, m, n ∈ N . Definimos matriz de orden m × n sobre E a una expresi´ on de la forma:     

a11 a21 .. . am1

a12 a22 .. . am2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . amn

    

con aij ∈ E, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. A los elementos aij se les denomina elementos de la matriz. Atendiendo a la disposici´on de los elementos en la matriz, diremos que la matriz est´a compuesta por m filas (de n elementos) y n columnas (de m elementos), siendo aij el elemento de la fila i y la columna j de la matriz. A la matriz cuyos elementos son aij se denota por ((aij )), o simplemente por A. Al conjunto de las matrices de orden m × n sobre E se denota por Mm×n (E). En el caso de que una matriz tenga igual n´ umero de filas que de columnas (m = n) se denomina matriz cuadrada de orden n, y el conjunto de dichas matrices se denota por Mn (E). Si solamente tiene una fila (m = 1) se le denomina matriz fila, y si s´olo tiene una columna (n = 1) se le denomina matriz columna. Definici´ on 1.2 Dos matrices A, B ∈ Mm×n (E) son iguales si tienen los mismos elementos. ((aij )) = ((bij )) ⇔ aij = bij

∀i, ∀j.

Definici´ on 1.3 Sea A ∈ Mm×n (E) y k = min{m, n}. Al conjunto formado por los elementos aii con i = 1, 2, . . . , k se le llama diagonal principal de la matriz A. Y al conjunto {aij / i + j = n + 1} se le llama diagonal no principal de la matriz A. an por Definici´ on 1.4 Sea A ∈ Mm×n (E). Decimos que A es triangular superior si los elementos que est´ debajo de la diagonal principal son nulos. Decimos que A es triangular inferior si los elementos que est´ an por encima de la diagonal principal son nulos. La matriz A es diagonal si es triangular superior e inferior. 1

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

2

Definici´ on 1.5 A la matriz Θ ∈ Mm×n (E) cuyos elementos son nulos se le denomina matriz nula de orden m × n. A la matriz diagonal In ∈ Mn (E) cuyos elementos de la diagonal principal son unos se le denomina matriz identidad de orden n.

1.2 1.2.1

Operaciones con matrices Suma de matrices

Definici´ on 1.6 (Suma de matrices) Sean A, B ∈ Mm×n (K) con A = ((aij )) y B = ((bij )), definimos A + B = ((aij + bij )) ∈ Mm×n (K). Propiedades 1. Conmutativa: A + B = B + A, ∀A, B ∈ Mm×n (K) 2. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C, ∀A, B, C ∈ Mm×n (K) 3. Existe elemento neutro Θ ∈ Mm×n (K) tal que Θ + A = A + Θ = A, ∀A ∈ Mm×n (K) 4. ∀A ∈ Mm×n (K), ∃ − A = ((−aij )) ∈ Mm×n (K) tal que A + (−A) = (−A) + A = Θ. Por tener estas propiedades (Mm×n (K),+) tiene estructura de grupo conmutativo.

1.2.2

Producto por un escalar

Definici´ on 1.7 (Producto de una matriz por un escalar) Sea λ ∈ K y A = ((aij )) ∈ Mm×n (K), definimos λA = ((λaij )) ∈ Mm×n (K). Propiedades 1. (λ + µ)A = λA + µA, ∀A ∈ Mm×n (K). 2. λ(A + B) = λA + λB, ∀A, B ∈ Mm×n (K). 3. (λ · µ)A = λ(µA) = µ(λA), ∀A ∈ Mm×n (K) 4. 1 · A = A, ∀A ∈ Mm×n (K).

1.2.3

Producto de matrices

Definici´ on 1.8 (Producto de matrices) A = ((aij )) ∈ Mm×n (K), B = ((bjk )) ∈ Mn×l (K), definimos la matriz producto n X A.B = (( aij bjk )) ∈ Mm×l (K). j=1

Propiedades Respetando los ´ordenes de las matrices para que se puedan multiplicar, se verifican las siguientes propiedades: 1. A.B 6= B.A, en general.

1.3. MATRIZ TRASPUESTA. PROPIEDADES

3

2. A.B = Θ/⇒ A = Θ o B = Θ. Y por tanto: A.B = A.C/⇒ B = C. 3. A.(B + C) = A.B + A.C;

(A + B).C = A.C + B.C

4. (A.B).C = A.(B.C) 5. Si A ∈ Mm×n (K), A.In = Im .A = A Teorema 1.1 El producto de matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales son, respectivamente, matrices triangulares inferiores, superiores y diagonales.

1.3

Matriz traspuesta. Propiedades

Definici´ on 1.9 Sea A ∈ Mm×n (E). Denominamos matriz traspuesta de A a la matriz t A ∈ Mn×m (E) cuyas filas son las columnas de A y cuyas columnas son las filas de A. Propiedades

1. (At )t = A, ∈ Mm×n (K). 2. (A + B)t = At + B t , A, B ∈ Mm×n (K) 3. (λA)t = λAt , A, B ∈ Mm×n (K) 4. (A · B)t = B t · At , A ∈ Mm×p (K), B ∈ Mp×n (K). Definici´ on 1.10 Una matriz A cuadrada es sim´ etrica si At = A, y es antisim´ etrica si At = −A.

1.4

Submatrices y bloques

Definici´ on 1.11 Dada una matriz A ∈ Mm×n (K), se llama submatriz de A de orden p × q, a la matriz que resulta de eliminar m − p filas y n − q columnas de A. Si los ´ındices de filas y columnas que determinan la submatriz son consecutivos, entonces la submatriz se denomina bloque o caja. Descomposici´ on en bloques: Dada A ∈ Mm×n (K), consideremos una sucesi´on creciente de ´ındices de filas 0 < m1 < m2 < . . . < mp = m y una sucesi´on creciente de ´ındices de columnas 0 < n 1 < n 2 < . . . < nq = n Sea Aij el bloque de A que definen las filas comprendidas entre las mi−1 + 1 y la mi (ambas inclusive) y las columnas comprendidas entre las nj−1 + 1 y la nj (ambas inclusive). Se dice que A se descompone en bloques cuando se la expresa en funci´on de los p · q bloques Aij . Estos forman p filas y q columnas y quedan situados como si se tratara de los elementos de una matriz.   A11 A12 . . . A1n  A   21 A22 . . . A2n   . .. ..  ..  .  . . .   . Am1 Am2 . . . Amn

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

4

Se puede operar con los bloques como si fueran escalares, siempre que los ´ordenes sean adecuados. M´as concretamente: Multiplicaci´ on por bloques Sean A ∈ Mm×p (K) y B ∈ Mp×n (K) y sea C = A.B. Si A se descompone en los bloques determinados por los ´ındices de filas 0 < m1 < m2 < . . . < mα = m y de columnas 0 < p1 < p2 < . . . < pγ = p y B se descompone en los bloques determinados por los ´ındices de filas 0 < p1 < p2 < . . . < pγ = p y de columnas 0 < n1 < n2 < . . . < nβ = n, entonces si C = [Cij ] Cij =

γ X

Aih Bhj

h=1

1.5

Matriz inversa

Definici´ on 1.12 (Matriz inversa) Sea A ∈ Mn (K). A es invertible si ∃ B ∈ Mn (K),

A.B = B.A = In .

A la matriz B se le denota por A−1 y se denomina matriz inversa de A. Es f´acil demostrar que la inversa de una matriz invertible es u ´nica. Teorema 1.2 Son ciertas las siguientes proposiciones: 1. Si A es invertible, A−1 tambi´en y (A−1 )−1 = A. 2. Si A, B ∈ Mn (K) son invertibles, A.B tambi´en y (A.B)−1 = B −1 .A−1 3. Si A es invertible, entonces At tambi´en y (At )−1 = (A−1 )t . Teorema 1.3 Las matrices diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores son invertibles si y s´ olo si los elementos de la diagonal son distintos de cero. Adem´ as las inversas de estas matrices siguen siendo diagonales, triangulares superiores o triangulares inferiores.

1.5.1

M´ etodo de Gauss–Jordan para el c´ alculo de la matriz inversa

Consiste en someter a una matriz A invertible a transformaciones elementales por filas hasta conseguir transformarla en la matriz identidad. El producto de las matrices asociadas a dichas transformaciones elementales por filas ser´a la inversa de la matriz. Para conseguir transformar la matriz A en la matriz identidad procedemos de la siguiente manera: 1. Ampliamos la matriz A con la matriz identidad: [A|In ]. 2. Triangularizamos la matriz A superiormente; es decir, utilizando transformaciones elementales, conseguimos hacer ceros todos los elementos por debajo de la diagonal. Adem´as si A es invertible los elementos de la diagonal ser´an todos distintos de cero y por tanto podemos hacer unos todos los elementos de la diagonal. Se obtendr´a [L|B] 3. Utilizando el mismo m´etodo pero desde abajo hacia arriba, podemos hacer cero los elementos que est´an por encima de la diagonal, obteni´endose [In |A−1 ].

1.6. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES. MATRICES ASOCIADAS. INVERSAS

1.6

5

Transformaciones elementales. Matrices asociadas. Inversas

Definici´ on 1.13 Sea A ∈ Mm×n (K). Se denominan transformaciones elementales por filas (an´ alogamente por columnas) a las transformaciones efectuadas sobre los elementos de la matriz siguientes • Fij (o Cij ) Intercambiar la fila i por la j (an´ alog. columnas). • Fi (α) (o Ci (α)) con α 6= 0. Multiplicar la fila i por α ∈K (an´ alog. columnas). • Fij (α) (o Cij (α)). Sumar a la fila i la fila j multiplicada por α ∈K (an´ alog. columnas). Definici´ on 1.14 Sea A ∈ Mm×n (K). Definimos matriz asociada a una transformaci´ on elemental por filas (por columnas), que la denotaremos igual que la transformaci´ on elemental, como la matriz cuadrada de orden m (de orden n si se trata por columnas) que resulta de someter a la matriz identidad de orden m (de orden n para columnas) a dicha transformaci´ on elemental por filas (por columnas). Teorema 1.4 Sea A ∈ Mm×n (K). Sea F ∈ Mm (K) la matriz asociada a una transformaci´ on elemental por filas. Sea A0 la matriz que resulta de someter a la matriz A a dicha transformaci´ on elemental. Entonces se tiene que F.A = A0 . Sea B ∈ Mm×n (K). Sea C ∈ Mn (K) la matriz asociada a una transformaci´ on elemental por columnas. Sea B 0 la matriz que resulta de someter a la matriz B a dicha transformaci´ on elemental. Entonces se tiene que B.C = B 0 . Teorema 1.5 Las matrices asociadas a transformaciones elementales son invertibles. Adem´ as:

1.7

Fij−1 = Fij ,

Fi−1 (α) = Fi (1/α) con α 6= 0,

Fij−1 (α) = Fij (−α)

−1 Cij = Cij ,

Ci−1 (α) = Ci (1/α) con α 6= 0,

−1 Cij (α) = Cij (−α)

Determinantes: definici´ on y propiedades

Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn (K), pretendemos asignarle un escalar de K, que llamaremos determinante de A y representaremos por det(A) o | A |, para obtener informaci´on acerca de la matriz dada. Entre otras cosas dicho n´ umero proporciona criterios de invertibilidad de A y resulta ser tambi´en igual al volumen de un paralelep´ıpedo P en el espacio n-dimensional, donde las aristas de P vienen de las filas de A.

1.7.1

Permutaciones (recordatorio)

Dado un conjunto de N elementos que podemos suponer que es N = {1, 2, . . . , n}, para permutar estos elementos, es decir para situarlos en distinto orden, bastar´a recurrir a un aplicaci´on biyectiva σ : N −→ N , que representaremos escribiendo debajo de cada i ∈ N su imagen σ(i), es decir 

1 2  ↓ ↓ σ(1) σ(2)

... ... ...

 n ↓  σ(n)

Estas biyecciones de N en N se llaman permutaciones de n elementos. Con una de ellas, σ, los elementos de N , que inicialmente se suponen que est´an ordenados en el orden natural (1, 2, . . . , n), se consideran ahora formando la nueva sucesi´on (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)). En total hay n! permutaciones de n elementos. El conjunto de todas

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

6

ellas se denota Pn . Se llaman trasposiciones a aquellas permutaciones en las que, salvo dos elementos de N , que vamos a llamar i y j, todos los dem´as permanecen fijos (es decir, coinciden con su imagen); los elementos que var´ıan se transforman uno en el otro (es decir i en j y j en i). Se llama ´ındice de una permutaci´on y se denota por i(σ), al n´ umero de trasposiciones que presenta dicha permutaci´on.

1.7.2

Definici´ on de determinante

Definici´ on 1.15 Dada A = ((aij )) ∈ Mn (K), se define el determinante de A como: X

|A| =

(−1)i(σ) a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n)

σ∈Pn

donde el sumatorio se extiende a las n! permutaciones de {1, 2, . . . , n}, Por ejemplo, si n = 2, P2 = {(12), (21)} y, por lo tanto ¯ ¯ a |A| = ¯¯ 11 a21

¯ a12 ¯¯ = a11 a22 − a12 a21 a22 ¯

Si n = 3, P3 = {(123), (132), (213), (231), (312), (321)} y i(123) = 0, i(132) = 1, i(213) = 1, i(231) = 2, i(312) = 2, i(321) = 3, por tanto ¯ ¯ a11 ¯ |A| = ¯¯ a21 ¯ a 31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=

(−1)0 a11 a22 a33 + (−1)1 a11 a23 a32 + (−1)1 a12 a23 a31 + +(−1)2 a12 a23 a31 + (−1)2 a13 a21 a32 + (−1)3 a13 a22 a31

es decir |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a23 a31 − a13 a22 a31 expresi´on que se puede recordar m´as f´acilmente con ayuda de la conocida regla de Sarrus. Si se examina cualquiera de las expresiones obtenidas para el determinante de matrices de orden 2 ´o 3, se ver´a que cada uno de los productos incluye un t´ermino de cada una de las filas de A y un t´ermino de cada una de las columnas. En general, |A| es la suma de todos los productos posibles de n elementos de A, con los signos adecuados, y donde en cada producto hay exactamente un t´ermino de cada fila y exactamente uno de cada columna.

1.7.3

Menor complementario y adjunto

Definici´ on 1.16 Dada una matriz A ∈ Mn (K) se denomina menor complementario del elemento apq y se denota Mpq , al determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila p y la columna q de A. Se llama adjunto del elemento apq al n´ umero, que representaremos por Apq , definido por Apq = (−1)p+q Mpq Notemos que los signos de la definici´on de adjunto tienen una disposici´on de tablero de ajedrez: 

+ −  − +   + −

+ − + ···

 ··· ···   ··· 

´ 1.8. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. CALCULO DE LA INVERSA

7

Teorema 1.6 (Desarrollo de |A| por una fila o columna) Sea A ∈ Mn (K), entonces el |A| se puede calcular desarroll´ andolo con respecto a cualquier fila o a cualquier columna,mediante |A| =

n X

aij Aij = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain ,

∀i = 1, · · · , n

aij Aij = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj ,

∀j = 1, · · · , n

j=1

|A| =

n X i=1

1.8

Propiedades de los determinantes. C´ alculo de la inversa

Sea A ∈ Mn (K). Entonces: 1. |A| = |At |. 2. Si todos los elementos de una fila (columna) de A son nulos, entonces |A| = 0. 3. Si se permutan entre s´ı dos l´ıneas (filas o columnas) de un determinante, ´este cambia de signo. 4. El determinante de una matriz con dos filas (columnas) iguales vale 0. 5. Si se multiplican todos los elementos de una fila (columna) de A por un n´ umero λ, el determinante de la matriz B resultante, queda |B| = λ|A|. 6. El determinante de una matriz con dos filas (columnas) proporcionales vale 0. 7. Si cada elemento de una fila (columna), por ejemplo p, de la matriz A es de la forma apq = a0pq + a00pq , entonces |A| = |B| + |C|, donde ½

bij = aij , cij = aij ,

si si

i 6= p, i 6= p,

bpj = a0pj cpj = a00pj

8. Al sumar a una l´ınea una combinaci´on lineal de las restantes l´ıneas paralelas el determinante de A no var´ıa. Esta propiedad se utiliza a menudo en la pr´actica para calcular el determinante de una matriz de una forma m´as simple. Se toma un elemento de una l´ınea distinto de cero como pivote y con ´el, utilizando la anterior propiedad, se hacen ceros el resto de elementos de dicha l´ınea, con lo cual el determinante de orden n se reduce al c´alculo de un determinante de orden n − 1. 9. Si una l´ınea de la matriz A es combinaci´on lineal de otras l´ıneas paralelas a ella, el |A| = 0. (En consecuencia si |A| 6= 0 =⇒ las l´ıneas de A son linealmente independientes) 10. El producto de los elementos de una fila (o columna) por los adjuntos de otra fila (o columna) es nulo. Teorema 1.7 Si A, B ∈ Mn (K), entonces |A · B| = |A| · |B|. Corolario 1.8 Si A es no singular, |A−1 | =

1 = |A|−1 . |A|

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

8

1.8.1

C´ alculo de la inversa mediante determinantes

Queremos calcular una f´ ormula expl´ıcita para la matriz inversa de A, supuesto que existe. Definici´ on 1.17 Dada una matriz A ∈ Mn (K), a la matriz cuadrada de orden n, adj(A) = ((Aij )) se le llama adjunta de la matriz A. Teorema 1.9 Sea A ∈ Mn (K), entonces A es invertible si y s´ olo si , |A| 6= 0. En dicho caso es: A−1 =

1.9

1 1 .adj(At ) = .(adj(A))t |A| |A|

Menores de una matriz

Definici´ on 1.18 Sea A ∈ Mm×n (K). Se llama menor de orden p de la matriz A al determinante de la matriz cuadrada obtenida por la intersecci´ on de p filas y p columnas de A. Definici´ on 1.19 Se llama orlar un menor de orden p a obtener un menor de orden p + 1 a˜ nadi´endole una fila y una columna al menor original. Si en una matriz A, una fila p (columna) es combinaci´on lineal de otras h filas (columnas), todos los menores de orden h + 1 que pueden formarse con la fila p y las h filas (columnas) consideradas son nulos, en virtud de la propiedad 9 de los determinantes. El siguiente teorema es un rec´ıproco de este resultado. Teorema 1.10 Si un menor de orden h de una matriz A es distinto de cero, y todos los menores de orden h + 1, que pueden formarse orlando ´este con la fila p de la matriz y cada una de las columnas que no figuran en el menor son nulos, entonces la fila p es combinaci´ on lineal de las filas de la matriz que figuran en el menor.

1.9.1

Rango de una matriz

Definici´ on 1.20 Se llama rango por menores de A, y lo denotamos por r(A), al mayor orden de sus menores no nulos. Es decir, r(A) = h si A tiene alg´ un menor no nulo de orden h y todos los menores de orden h + 1 de A son nulos. Si r(A) = h, un menor de orden h de A se denomina menor principal. Proposici´ on 1.1 Si A es una matriz cuadrada de orden n, r(A) = n ⇐⇒ |A| 6= 0 Como consecuencia del teorema (1.10) se verificar´a que si r(A) = h y M es un menor principal de A, entonces cualquier fila (columna) de A ser´a combinaci´on lineal de las filas (columnas ) de A que figuran en el menor. nade o se suprime una fila (columna) combinaci´ on lineal Teorema 1.11 El rango de una matriz no var´ıa si se a˜ de las dem´ as.

1.9.2

C´ alculo del rango

El m´ etodo de los orlados consiste: 1. Se suprimen todas las l´ıneas de la matriz A que sean combinaci´on lineal de otras.

1.9. MENORES DE UNA MATRIZ

9

2. Se busca en la matriz un menor de orden uno no nulo. 3. Orlamos dicho menor con una fila determinada y con el resto de las columnas de la matriz A. (a) Si todos los orlados son nulos, se suprime dicha fila y se repite la operaci´on con otra fila determinada. (b) Si alg´ un orlado es no nulo se vuelve a repetir el proceso con dicho menor desde el punto (3). 4. Una vez agotadas todas las filas, el orden del u ´ltimo menor no nulo es el rango de la matriz A.

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

10

Ejercicios y problemas 1.1 Hallar la matriz X que cumple X.A + B = C, siendo 

0 A= 3 0

2 0 1

 0 −3  2

µ B=

4 5

−2 1 1 −3

¶

µ C=

1 −2

−3 4

5 −6

¶

1.2 Calcular A y B sabiendo: 

1 2 A+B = 4 5 7 8



 3 6  9

0 0 A + At =  0 0 0 0



 0 0  0

0 B − Bt =  0 0

0 0 0

 0 0  0

1.3 Hallar todas las matrices de orden 3 que conmutan con la matriz diagonal D(α, β, γ), con α, β, γ escalares.

1.4

a) Sea una matriz de orden m × n, demostrar que At .A y A.At son matrices sim´etricas. µ t

t

b) Hallar A .A y A.A en el caso A =

1 0

2 1

−1 −2

¶

1.5 Encontrar todas las matrices idempotentes (A2 = A) de orden 2, con elementos en R. Deducir que en una matriz idempotente de orden 2, distinta de I2 las columnas y filas son proporcionales.



a 0 1.6 Sea A =  1 a 0 1

 0 0 , a 6= 0 . Calcular Am , m ∈ N a



0  0 12 1.7 Calcular (I + A) , siendo A =   0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

 0 0   1  0

1.8 Calcular la potencia n-´esima de las siguientes matrices: 

1  0 A=  0 0

1 n

1 0 0

1 n

0 1 0

1 n



0   1  1



1 1 B= 1 1 1 1

 1 1  1

µ C=

a 0

1 a

¶



1 D= 0 0

−1 1 0

 1 −1  1

1.9. MENORES DE UNA MATRIZ 

1  1.9 Dada A = 0 0

−1 1 0

11

 1 −1 , calcular An . 1

1.10 Sean A = (aij ), B = (bij ) matrices tridiagonales de orden n tales que aij = 0 si i < j + r y bij = 0 si i < j + s, donde r y s ∈ {0, 1, . . . , n}, fijos. Sea C = A.B, C = (cij ) a) Probar que cij = 0, si i < j + r + s b) Probar que si A es una matriz triangular inferior de orden n con los elementos de la diagonal nulos entonces An = Θ.



0 1.11 Sea A =  0 0

2 0 0

 −1 1 . 0

a) Comprobar que A es nilpotente (∃ n/An = Θ) b) Demostrar que I3 + A + A2 es la inversa de I3 − A.

1.12 Hallar el rango de las siguientes matrices seg´ un los diferentes valores de los par´ametros. 

1  2 1

λ −1 10

 −1 2 λ 5  −6 1



λ  1 1

1 λ 1

 1 1 1 1  λ 1

 2a b 1  2 ab 1  2 b a 



1  1 1

 a a2 1 1 1 b  1 a−1 0

 1 p−1 0  3−p 1 p−2  1 2p − 3 0 

1.13 Si D es una matriz diagonal de orden n, tal que los elementos de su diagonal son todos no nulos, demostrar que D es invertible. Hallar Dn , n ∈ N. Demostrar que una matriz triangular es invertible si y s´olo si sus elementos diagonales son todos no nulos.

1.14

a) Demostrar que toda matriz cuadrada de orden n que verifica la ecuaci´on: a0 In + a1 A + a2 A2 + . . . + an An = Θ , a0 6= 0 es invertible. ¿Cu´al es la inversa? µ ¶ a b b) Demostrar que toda matriz cuadrada de orden 2, A = , satisface la ecuaci´on X 2 − (a + c d d)X + (ad − bc)I2 = Θ. c) ¿Qu´e debe verificar la matriz del apdo. anterior para ser invertible? d) Hallar la inversa.

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES

12 

0  2 1.15 Sea la matriz A =   2 2

0 0 2 2

0 0 0 0

 0 0  . Se pide: 1  0

a) Calcular las potencias sucesivas de A. b) Sea B = I + A, expresar B n en funci´on de I, A, A2 . c) Demostrar que la inversa de B es I − A + A2 .

1.16 Calcular, si es posible, las inversas de las siguientes matrices:    µ ¶ 2 1 1 2 0 2 −1  0 1 2   1 1 1 1 4 2 2 −1 1

 2 1 1 1.17 Hallar la inversa de la matriz A =  4 2 0  −3 −1 1 y resolver, aplicando el resultado anterior, el sistema  y +  2x + 4x + 2y  −3x − y +

 0 0  1



1.18 Resolver matricialmente, si es posible, el sistema   2x + y 3x − y  x + y

z z

+ z + 4z + z

= 7 = −1 = 0

= = =

1 0 −2

1.19 Dada una matriz A cuadrada de orden n ¿qu´e relaci´on existe entre det(A), det(−A), det(−3A) y det(A3 )?

1.20 Una matriz A se dice que es antisim´etrica si At = −A, como en   0 p q  −p 0 r  −q −r 0 Demostrar que det(A) = 0, compar´andolo con det(A) y det(−A). ¿Por qu´e una matriz antisim´etrica de orden 5 × 5 debe tener determinante cero pero una de orden 4 × 4 no? ¯ ¯1 ¯ 1.21 Resolver ¯¯ 1 ¯1

¯ 1 1 ¯¯ x 1 ¯¯ =0 1 x2 ¯

1.9. MENORES DE UNA MATRIZ

13

1.22 Sin desarrollar, demostrar que: ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ ¯ a) ¯¯ a b c ¯¯ = 0 ¯b + c a + c a + b¯ ¯ ¯1 ¯ c) ¯¯ 1 ¯1

a2 b2 c2

¯ ¯ a3 ¯¯ ¯¯ bc a b3 ¯¯ = ¯¯ ca b c3 ¯ ¯ ab c

¯ ¯ a+b b+c ¯ b) ¯¯ m + n n + l ¯ x+y y+z

¯ a2 ¯¯ b2 ¯¯ c2 ¯

¯ ¯1 6 ¯ d) ¯¯ 1 8 ¯0 4

¯ ¯ 9 ¯¯ ¯¯ 1 2 ¯¯ + ¯¯ 5 1¯ ¯4

¯ ¯ ¯a b a + c ¯¯ ¯ m + l ¯¯ = 2 ¯¯ m n ¯x y x+z¯ 1 6 9

¯ ¯ 1 ¯¯ ¯¯ 1 6 8 ¯¯ = ¯¯ 1 8 2¯ ¯1 9

¯ c ¯¯ l ¯¯ z¯

¯ 9 ¯¯ 2 ¯¯ 5¯

1.23 Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisim´etrica (A = −At ). Probar que |A| = 0.

1.24 Si B ∈ Mn (R). ¿Es |λB|−1 = λ−n |B|

¯ 3 ¯x ¯ 2 ¯x 1.25 Resolver ¯¯ ¯x ¯ 1

−1

?

¯ 3x2 3x 1¯ ¯ x2 + 2x 2x + 1 1 ¯¯ =0 2x + 1 x + 2 1 ¯¯ 3 3 1¯

1.26 Demostrar que el determinante llamado de Vandermonde es igual a: ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯a b c d¯ ¯ ¯ ¯ a2 b2 c2 d2 ¯ = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) ¯ ¯ ¯ a3 b3 c3 d3 ¯ Como aplicaci´on calcular ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯1 1 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ln 2 ln 3 ln 4 ¯2 5 ¯ 7 9 ¯¯ ¯ (ln 2)2 (ln 3)2 (ln 4)2 (a) ¯¯ (b) ¯ ¯ ¯ 4 25 49 81 ¯ ¯ (ln 2)3 (ln 3)3 (ln 4)3 ¯ 8 125 343 729 ¯ ¯ ¯ (ln 2)4 (ln 3)4 (ln 4)4

1 ln 5 (ln 5)2 (ln 5)3 (ln 5)4

1.27 Calcular el ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ 1 0 ¯ ¯ a) ¯¯ 1 1 ¯ .. .. ¯ . . ¯ ¯ 1 1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

valor de los siguientes determinantes de orden n: ¯ ¯ ¯ −1 1 · · · 1 ¯¯ x x ¯ ¯ ¯ 1 ··· 1 ¯ x ¯ x −1 ¯ ¯ 0 ··· 1 ¯ x x −1 ¯ b) ¯ .. .. ¯¯ .. .. .. ¯ ¯ . . ¯ . . . ¯ ¯ ¯ x 1 ··· 1 ¯ x x

¯ ¯ 1 + x1 y1 ¯ ¯ 1 + x2 y1 ¯ c) ¯ .. ¯ . ¯ ¯ 1+x y n 1

1 + x1 y2 1 + x2 y2 .. . 1 + xn y2

··· ··· ···

1 + x1 yn 1 + x2 yn .. . 1 + xn yn

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ d) ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯

0 1 1 .. . 1

1 1 0 x x 0 .. .. . . x x

··· ··· ··· ···

··· ··· ···

x x x .. . −1

··· 1 x x .. . 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ 1 ¯ ¯ ln 6 ¯¯ (ln 6)2 ¯¯ (ln 6)3 ¯¯ (ln 6)4 ¯