Propiedades de las operaciones lineales con matrices Ejercicios

Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de las operaciones lineales en Mm×n (R). Requisitos. Operaciones lineales en Rn , definici´on de operaciones con matrices, matrices con entradas definidas por medio de f´ormulas. Denotamos por Mm×n (R) al conjunto de las matrices de tama˜ no m×n con entradas reales. Las operaciones lineales en Mm×n (R) se definen entrada por entrada, y sus propiedades se demuestran casi de la misma manera que en Rn .

Dos estilos de trabajar con matrices Primer estilo: trabajar con matrices indicando el tama˜ la f´ ormula para las no y m,n entradas. La matriz m × n con entradas Ai,j se denota por Ai,j i,j=1 .

 m,n 1. Sea A = Ai,j i,j=1 ∈ Mm×n (R) y sea λ ∈ R. Establezca correspondencias exactas entre las notaciones y sus significados: 

λAi,j

 m,n producto de λ por Ai,j i,j=1

m,n i,j=1

 m,n λ Ai,j i,j=1

matriz m × n con entradas λAi,j

 m,n 2. Sea A = Ai,j i,j=1 ∈ Mm×n (R) y sea λ ∈ R.  m,n  m,n Explique por qu´e λ Ai,j i,j=1 = λAi,j i,j=1 : # por la propiedad conmutativa en R

# por la propiedad conmutativa en Mm×n (R)

# por la definici´on del producto de una matriz por un escalar # por la propiedad distributiva

Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 1 de 7

Segundo estilo: primero indicar los tama˜ nos y luego trabajar con una entrada. Dada una matriz A ∈ Mm×n (R) y una par de ´ındices (i, j), donde i ∈ {1, . . . , m} y j ∈ {1, . . . , n}, se denota por Ai,j la entrada de la matriz A con ´ındices i, j.

3. Sea A ∈ Mm×n (R), sea λ ∈ R y sean i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. Establezca las correspondencias exactas entre las notaciones y sus significados: (λA)i,j

λ multiplicado por la (i, j)-´esima entrada de A

λAi,j

(i, j)-´esima entrada del producto de λ por A

4. Sea A ∈ Mm×n (R), sea λ ∈ R y sean i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. Explique por qu´e (λA)i,j = λAi,j : # por las propiedades de sub´ındices

# por la propiedad conmutativa en R

# por la propiedad conmutativa en Mm×n (R)

# por la definici´on del producto de una matriz por un escalar

 m,n  m,n 5. Sea A = Ai,j i,j=1 y sea B = Bi,j i,j=1 . Establezca las correspondencias exactas entre las notaciones y sus significados:  m,n  m,n Ai,j i,j=1 + Bi,j i,j=1



Ai,j + Bi,j

m,n i,j=1

 m,n  m,n suma de las matrices Ai,j i,j=1 y Bi,j i,j=1

matriz m × n con entradas Ai,j + Bi,j

Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 2 de 7

 m,n  m,n 6. Sea A = Ai,j i,j=1 y sea B = Bi,j i,j=1 .  m,n  m,n  m,n Explique por qu´e se cumple la igualdad Ai,j i,j=1 + Bi,j i,j=1 = Ai,j + Bi,j i,j=1 : # por la propiedad distributiva en R

# por la definici´on de la suma en Mm×n (R)

# por la propiedad conmutativa de la suma en R

# por la propiedad conmutativa de la suma en Mm×n (R)

7. Sean A, B ∈ Mm×n (R) y sean i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. Establezca las correspondencias exactas entre las notaciones y sus significados: Ai,j + Bi,j

(i, j)-´esima entrada de la suma A y B

(A + B)i,j

suma de las (i, j)-´esimas entradas de A y B

8. Sean A, B ∈ Mm×n (R) y sean i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. Explique por qu´e (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j : # por la definici´on de la suma en Mm×n (R) # por la propiedad distributiva en R

# por la propiedad conmutativa de la suma en R # por las propiedades generales de los sub´ındices

Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 3 de 7

Definici´ on de las operaciones lineales en Mm×n (R)  m,n  m,n 9. Sea A = Ai,j i,j=1 y sea B = Bi,j i,j=1 . Entonces por definici´on A + B :=





.

i,j=

 m,n  m,n 10. Sea A = Ai,j i,j=1 y sea B = Bi,j i,j=1 . Entonces por definici´on A+B ∈ {z

|

}

?

y para todo par de ´ındices (i, j) donde i ∈ {1, . . . ,

},

j ∈ {1, . . . ,

|{z}

}, |{z}

?

?

se cumple la igualdad (A + B)i,j = {z

|

}

?

 m,n 11. Sea A = Ai,j i,j=1 ∈ Mm×n (R) y sea λ ∈ R. Entonces por definici´on λA :=



 i,j=

.

 m,n 12. Sea A = Ai,j i,j=1 ∈ Mm×n (R) y sea λ ∈ R. Entonces por definici´on λA ∈ |

{z

}

?

y para todo par de ´ındices (i, j) donde i∈

j∈

, |

{z ?

}

|

{z ?

}

se cumple la igualdad (λA)i,j = |

{z ?

}

Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 4 de 7

Demostraci´ on de la propiedad de multiplicaci´ on por 1 en Mm×n (R) 13. Primero recordamos la propiedad principal de 1 en R: ∀α ∈ R

1α = |{z} ?

14. Sea A ∈ Mm×n (R). Demuestre que 1A = A.

(1) 

Primera demostraci´on. Denotamos las entradas de A por Ai,j : A = Ai,j Vamos a transformar la expresi´on 1A en A:  m,n   (i) (ii) 1A === 1 Ai,j i,j=1 === i,j=1

(iii)

====



m,n i,j=1

.

(iv)

 i,j=1

====

A.

Justificaci´on de los pasos: (i) Notaci´on para las entradas de A. (ii) Definici´on del producto por escalar en Mm×n (R). (iii) (iv) Segunda demostraci´on. Primero verifiquemos que las matrices 1A y A son del mismo tama˜ no. Por la definici´on del producto por escalar en Mm×n (R) obtenemos lo siguiente: A ∈ Mm×n (R) 1A ∈ 1∈R Luego elijamos un par de ´ındices arbitrarios (i, j) donde i ∈ {1, . . . ,

}, j ∈ {1, . . . , |{z} ?

y demostramos que la (i, j)-´esima entrada de la matriz 1A es igual a la (i, j)-´esima entrada de la matriz A.
(i) 1A i,j ===

(ii)

===

Ai,j .

Justificaci´on: (i) (ii) Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 5 de 7

}, |{z} ?

Demostraci´ on de la propiedad distributiva de la multiplicaci´ on por escalares en Mm×n (R) con respecto a la adici´ on en Mm×n (R) 15. Sean A, B ∈ Mm×n (R) y sea λ ∈ R. Demuestre que λ(A + B) = λA + λB.

(2)

Primera demostraci´on. Usamos la siguiente notaci´on para las entradas de las matrices A y B:  m,n  m,n A = Ai,j i,j=1 , B = Bi,j i,j=1 . Vamos a transformar la expresi´on λ(A + B) que est´a escrita en el lado izquierdo de la f´ormula (2) en la expresi´on λA + λB escrita en el lado derecho de la misma f´ormula.   m,n (i) λ(A + B) === λ Ai,j i,j=1 + (ii)

===

λ

h

i i,j=1

(iii)

====

 
λ Ai,j + Bi,j i,j=

(iv)





==== i,j= (v)

===

h

i

+

h

i,j=

i i,j=

(v)

=== (vi)

====

λA + λB.

Justificaci´on: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Definici´on de la suma en Mm×n (R). (vi) (vii) Notaci´on para las entradas de las matrices A y B. Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 6 de 7

16. Sean A, B ∈ Mm×n (R) y sea λ ∈ R. Demuestre que λ(A + B) = λA + λB.

(3)

Segunda demostraci´on. Primero verifiquemos que las matrices λ(A + B) y λA + λB son del mismo tama˜ no. Por la definici´on de las operaciones lineales en Mm×n (R) obtenemos lo siguiente: A ∈ Mm×n (R) A+B ∈

λA ∈ B ∈ Mm×n (R) λB ∈ λ∈R

Ahora elijamos un par arbitrario (i, j) de ´ındices, donde i ∈

, j∈ |

{z ?

}

, |

{z ?

}

y demostremos que la (i, j)-´esima entrada de λ(A + B) es igual a la (i, j)-´esima entrada de λA + λB.  
(i) λ(A + B) === λ i,j i,j

(ii)

===




λ

(iii)

==== (iv)




==== (v)

===

i,j






+

i,j



.

i,j

Justificaci´on: (i) Definici´on del producto por escalar en Mm×n (R). (ii) (iii) (iv) (v) Definici´on de la suma en Mm×n (R). Propiedades de las operaciones lineales con matrices, ejercicios, p´agina 7 de 7