Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse Inhalt 1. Einführung .................................................................................. 2 2. Definitionen ................................................................................ 3 3. Rechnen mit Matrizen ................................................................ 5 3.2. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ............... 6 3.3. Inneres Produkt von Vektoren (Skalares Produkt) ..... 7 3.4. Multiplikation von Vektoren und Matrizen ................... 7 3.4. Multiplikation von Matrizen ....................................... 10 3.5. Matrizen und Lineare Gleichungssysteme (LGS) ..... 14

4. Übergangsmatrizen (Austausch- und Entwicklungsprozesse) . 17 4.1 Stochastische Matrizen ............................................. 19 4.2 Populationsentwicklung ............................................. 21 4.3 Gleichgewichtszustände (Fixvektoren und Grenzmatrix) ....... 27

1

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

1. Einführung

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

2. Definitionen

Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit linearen Abbildungen zwischen sogenannten Vektorräumen beschäftigt. Einfache Beispiele für Vektorräume sind IR 2 , die klassische zweidimensionale Ebene mit rechtwinkligen Koordinatenachsen oder seine dreidimensionale Entsprechung

D1

IR 3 . Die Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren (siehe D2 und D3). Sie können im IR 2 oder IR 3 als Verschiebungen zwischen zwei Koordinaten (gerichtete Pfeile) aufgefasst bzw. veranschaulicht werden. Die linearen Abbildungen zwischen den Vektorräumen werden durch Matrizen (Singular: Matrix), dargestellt.

D2

 a11 a12   a21 a22 A m ,n =  ... ...  ...  ... a  m1 am 2

... ... ... ... ...

a1n   a 2n  ...   ...  amn 

heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten, die Ordnung der Matrix ist mxn. Die aij heißen Elemente der Matrix A. Matrizen werden mit Großbuchstaben beschrieben, die Elemente mit kleinen Buchstaben des lateinischen Alphabets.

Ist m = 1, dann heißt die Matrix auch Zeilenvektor:

Matrizen werden auch benutzt, um lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. Sie sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik. Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen in verschiedenen Naturwissenschaften und insbesondere in der Wirtschaftswissenschaft. Die in diesem Skript vorgestellten und behandelten Beispiele stellen nur stark vereinfachte Anwendungsmöglichkeiten dar, anhand derer die grundsätzlichen Zusammenhänge und Vorgehensweisen vorgestellt werden sollen. Die tatsächlichen Anwendungen sind in der Regel weit komplexer und ohne den Einsatz von Computern oft nicht zu bewältigen. Beispiel 1: Folgende Tabelle stellt den Wert (in Geldeinheiten GE - Angaben in 1000 €) der Lieferungen von drei Firmen (F1, F2 und F3) an jeweils vier Kunden (K1, K2, K3 und K4) dar. nach von

F1 F2 F3

K1

K2

K3

K4

5 3 2

2 1 4

2 4 0

1 6 1

A 1,n = (a1 a2

... an ).

 a1    a  A m ,1=  2  . ...   a  m

D3

Ist n = 1, dann heißt die Matrix auch Spaltenvektor:

D4

Eine Matrix mit n Zeilen und n Spalten heißt quadratische Matrix.

D5

Eine quadratische Matrix mit einer Zeile und einer Spalte wird als Skalar bezeichnet. (Ein Skalar ist also i.d.R. eine Zahl!)

Zwei Matrizen gleicher Ordnung sind gleich, wenn A = B ist, also gilt: D6

D7

aij = bij für alle i , j .

Eine Matrix deren sämtliche Elemente gleich Null sind, heißt Nullmatrix 0.

Diese kurze Darstellung lässt sich wie folgt lesen: Firma F1 liefert Waren in Wert von 5 GE (=5000 €) an Kunde K1, 2 GE an Kunde K2, 2 GE an Kunde K3 und 1 GE an Kunde K4. ...

Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Elemente bis auf die Elemente der Hauptdiagonalen Null sind, heißt Diagonalmatrix.

Firma F3 liefert u.a. Waren im Wert von 2 GE an Kunde K1.

Dafür gilt: aij = 0 für i ≠ j , aij ≠ 0 für i = j .

Betrachtet man nur den Zahlenblock, so lässt sich dieser in Form einer Matrix folgendermaßen darstellen:

 5 2 2 1   FK =  3 1 4 6   2 4 0 1   Ein Vorteil dieser Darstellung ist die Kompaktheit, kürzer lassen sich Zusammenhänge kaum darstellen. 2

D8

1  0 Beispiel :  0  0

3

0  0 . 0 2,7 0   0 0 4 0

0

2

0

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3. Rechnen mit Matrizen Eine Diagonalmatrix, bei der sämtliche Elemente der Hauptdiagonalen gleich Eins sind, heißt Einheitsmatrix. Dafür gilt: aij = 0 für i ≠ j , aij = 1 für i = j .

D9

1  0 Beispiel :  0  0

0 0 0  1 0 0 . 0 1 0  0 0 1

3.1. Matrizenaddition Die Tabelle aus dem Beispiel 1 (von Seite 2) stellt den Wert der Lieferungen der drei Firmen (F1, F2 und F3) an die vier Kunden (K1, K2, K3 und K4) für das erste Halbjahr dar. nach von

F1 F2 F3

K1

K2

K3

K4

5 3 2

2 1 4

2 4 0

1 6 1

Eine Matrix, die nur Einträge auf und oberhalb (unterhalb) der Hauptdiagonalen aufweist, heißt obere (untere) Dreiecksmatrix.

D 10

 1 2 3   Beispiel :  0 4 5 . 0 0 6  

Im zweiten Halbjahr ergeben sich folgende Werte: nach von

F1 F2 F3

K1

K2

K3

K4

8 4 5

4 3 3

5 2 2

3 4 2

Die zu Am,n transponierte Matrix A Tn ,m erhält man, indem man Zeilen und Spalten vertauscht.

D 11

 4 −3 1  5 0 − 2    4   7 − 6  5 T Beispiel : A =  − 3 7 2 1 . und A =  . 0 2 9   1 −6 9 8      − 2 1  8   Ist A zu sich selbst transponiert, dann spricht man auch von einer symmetrischen Matrix.

Für das gesamte Jahr erhält man die Werte der Lieferungen, indem man die Lieferungen der beiden einzelnen Halbjahre addiert. Dies sieht dann wie folgt aus: nach von

F1 F2 F3

K1

K2

K3

K4

5 + 8 = 13 3+4=7 2+5=7

2+4=6 1+3=4 4+3=7

2+5=7 4+2=6 0+2=2

1+3=4 6 + 4 = 10 1+2=3

Anmerkung: Jede Diagonalmatrix ist eine symmetrische Matrix. In reiner Matrizenschreibweise bedeutet dies:  5 2 2 1   8 4 5 3  13 6 7 4         3 1 4 6  +  4 3 2 4  =  7 4 6 10 .  2 4 0 1  5 3 2 2   7 7 2 3       

4

5

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Man addiert also zwei Matrizen gleicher Ordnung, indem man die „positionsgleichen“ Elemente addiert und in die neue Matrix einsetzt. R1

Man schreibt:

A + B = C mit aij + bij = c ij .

Analog zur Matrizenaddition wird die Subtraktion zweier Matrizen erklärt: R2

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3.3. Inneres Produkt von Vektoren (Skalares Produkt) Beispiel: Ein Geschäft hat in seinem Sortiment Stühle, Tische und Bänke. Die Preise für diese Produkte sind folgende: ein Stuhl kostet 30 €, ein Tisch kostet 50 € und eine Bank kostet 40 €. An einem Tag werden 7 Stühle, 6 Tische und 3 Bänke verkauft. Der Gesamttagesumsatz berechnet sich wie folgt:

(7

A − B = D mit aij − bij = dij .

Hinweis: Nur Matrizen gleicher Ordnung (das heißt mit der gleichen Anzahl an Spalten und der gleichen Anzahl an Zeilen) können addiert bzw. subtrahiert werden.

3.2. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Die Tabelle aus Beispiel 1 (→ Seite 3) stellt den Wert der Lieferungen in Geldeinheiten GE dar, die Angaben sind in Euro (€) dargestellt. Sie sollen nun in US-Dollar ($) umgerechnet werden, d.h. jedes Element der Matrix wird mit dem Umrechnungskurs (Skalar c) multipliziert. Hier wird ein Wechselkurs von 1,3 Dollar pro Euro angenommen. Der Wert der Lieferungen in Dollar errechnet sich als

 5 2 2 1   6,5 2,6 2,6 1,3      1,3 ⋅  3 1 4 6  =  3,9 1,3 5,2 7,8 .  2 4 0 1   2,6 5,2 0 1,3      Allgemein gilt für die Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar c (einer Zahl):

R3

 c ⋅ a11 c ⋅ a12 c ⋅ a13    c ⋅ A =  c ⋅ a21 c ⋅ a22 c ⋅ a23 . c ⋅ a  31 c ⋅ a32 c ⋅ a33   Bei der Multiplikation mit einem Skalar c, muss also lediglich jedes einzelne Element der Matrix mit diesem Skalar multipliziert werden.

Allgemein geht man zur Berechnung des inneren Produktes von Zeilen- mal Spaltenvektor folgendermaßen vor: Man multipliziert also das erste Element des Zeilenvektors mit dem ersten Element des Spaltenvektors. Dann multipliziert man das zweite Element des Zeilenvektors mit dem zweiten Element des Spaltenvektors und so weiter. Allgemein multipliziert man das i-te Element des Zeilenvektors wird mit dem i-ten Element des Spaltenvektors. Die Summe dieser einzelnen Multiplikationen ist dann das innere Produkt. Zur Verdeutlichung sollte erwähnt werden, dass Zeilen- und Spaltenvektor die gleiche Länge haben müssen. Achtung: Der Zeilenvektor wird stets „von links“ mit dem Spaltenvektor multipliziert.

3.4. Multiplikation von Vektoren und Matrizen Die Multiplikation von Vektoren und Matrizen soll mit Hilfe eines Beispiels eingeführt werden. Beispiel 2: Eine kleine Firma verkauft zwei Sorten von elektronischen Steuergeräten, die beide (in verschiedenen Zusammenstellungen) aus den gleichen 4 Einzelteilen zusammengebaut werden. Die folgende Tabelle gibt an, wie viele der verschiedenen Einzelteile für die beiden Steuergeräte jeweils benötigt werden.

E1 E2 E3 E4

6

 30    6 3 ) ⋅  50  = 7 ⋅ 30 + 6 ⋅ 50 + 3 ⋅ 40 = 630 (Euro).  40   

S1 3 2 0 1

S2 2 1 2 3

Dies ergibt die Matrix ES:

7

3  2 ES =  0  1

2  1 2  3 

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Wenn man nun weiß, wie viel die verschiedenen Einzelteile kosten, kann man die Gesamtkosten für die beiden Steuergeräte berechnen.

Die Gesamtzahl, die von jedem Einzelteil benötigt wird erhält man, wenn man die Anzahl, die jeweils für die verschiedenen Steuergeräte benötigt mit der jeweiligen Bestellmenge der Steuergeräte multipliziert.

Dazu müssen für jedes der beiden Bauteile, die Anzahl der verschiedenen Einzelteile mit den zugehörigen Kosten multipliziert werden.

S1·50

Im obigen Beispiel soll gelten:

Kosten

E1 13 €

E2 20 €

E3 15 €

E4 10 €

Für die Kosten der Steuergeräte gilt dann: Kosten

S1

S2

E1

3 ⋅ 13 € = 39 €

2 ⋅ 13 € = 26 €

E2

2 ⋅ 20 € = 40 €

1⋅ 20 € = 20 €

E3

0 ⋅ 15 € = 0 €

2 ⋅ 15 € = 30 €

E4

1 ⋅ 10 € = 10 €

3 ⋅ 10 € = 30 €

Summe:

89 €

106 €

S2·20

Summe:

E1

3 ⋅ 50

2 ⋅ 20

3 ⋅ 50 + 2 ⋅ 20 = 190

E2

2 ⋅ 50

1⋅ 20

2 ⋅ 50 + 1 ⋅ 20 = 120

E3

0 ⋅ 50

2 ⋅ 20

0 ⋅ 50 + 2 ⋅ 20 = 40

3 ⋅ 20

1⋅ 50 + 3 ⋅ 20 = 110

E4

1⋅ 50

In Matrizenschreibweise bedeutet dies, dass in einer Matrix ES mit 4 Zeilen und 2 Spalten (4x2-Matrix) jede Zeile mit der Bestellmenge multipliziert werden muss. Die Matrix ES muss also mit einem Spaltenvektor mit zwei Zeilen (2x1-Matrix) multipliziert werden. (siehe 3.3) Man erhält bei der Multiplikation einer 4x2-Matrix mit einem Spaltenvektor mit zwei Zeilen (2x1-Matrix) einen Spaltenvektor mit vier Zeilen (1x4-Matrix). Für das obige Beispiel bedeutet dies:

3  2 0  1

In Matrizenschreibweise bedeutet dies eine Übertragung des inneren Produktes von Vektoren auf ein Produkt eines Vektors mit einer Matrix. Die Kosten der Einzelteile müssen als Zeilenvektor „von links“ mit der Matrix ES der Einzelteile pro Steuergerät multipliziert werden, damit die Anzahl der Elemente im Zeilenvektor mit der Anzahl der Elemente in der Spalte der Matrix übereinstimmen.

2  3 ⋅ 50 + 2 ⋅ 20  190       1   50   2 ⋅ 50 + 1⋅ 20  120  ⋅ = =    40  2   20   0 ⋅ 50 + 2 ⋅ 20       3  1⋅ 50 + 3 ⋅ 20  110 

Hier wird also ein Zeilenvektor (1x4-Matrix) mit einer Matrix mit 4 Zeilen und 2 Spalten (4x2-Matrix) multipliziert. Man erhält dabei einen Zeilenvektor mit zwei Spalten (1x2-Matrix). 3  2 (13 20 15 10) ⋅  0  1

2  1 2  3 

Insgesamt kann man die folgenden beiden Merkregeln für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor aufstellen: Eine Matrix wird stets „von links“ mit einem Zeilenvektor multipliziert.

R4

= (13 ⋅ 3 + 20 ⋅ 2 + 15 ⋅ 0 + 10 ⋅ 1 13 ⋅ 2 + 20 ⋅ 1 + 15 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 ) = (89 106 ). Die Firma möchte nun berechnen, wie viele Einzelteile sie für die Erledigung einer Bestellung von 50 Steuergeräten der Sorte S1 und von 20 Steuergeräten der Sorte S2 benötigt.

8

Diese Multiplikation ist nur dann möglich, wenn die Zahl der Spalten des Zeilenvektor und die Zahl der Zeilen der Matrix übereinstimmen. Man erhält dann einen Zeilenvektor, der so viele Spalten hat, wie zuvor die Matrix. Es gilt: (1 x n ) ⋅ (n x m ) = (1 x m ) .

Zeilenvektor • Matrix = Zeilenvektor

9

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Rechenbeispiel:

Eine Matrix wird stets „von rechts“ mit einem Spaltenvektor multipliziert.

R5

Diese Multiplikation ist nur dann möglich, wenn die Zahl der Spalten der Matrix und die Zahl der Zeilen des Zeilenvektor übereinstimmen. Man erhält dann einen Spaltenvektor, der so viele Zeilen hat, wie zuvor die Matrix. Es gilt: (n x m ) ⋅ (m x 1) = (n x 1) .

7  8 2  0

2  7 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 7 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2   20 11 39       3   2 1 5   8 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 8 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 8 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2   25 14 46  ⋅   = = . 1   3 2 2   2 ⋅ 2 + 1⋅ 3 2 ⋅ 1 + 1⋅ 2 2 ⋅ 5 + 1⋅ 2   7 4 12       6  0 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 0 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2 0 ⋅ 5 + 6 ⋅ 2   18 12 12 

Matrix • Spaltenvektor = Spaltenvektor Dies bedeutet, dass die Multiplikation von zwei Matrizen A und B nur dann möglich ist, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A und Anzahl der Zeilen der Matrix B übereinstimmen. Die beiden „inneren“ Zahlen der Ausgangsmatrizen müssen also gleich sein: (4 x 2)* (2 x 3) = (4 x 3).

3.4. Multiplikation von Matrizen Formal ist die Multiplikation von Matrizen ebenfalls nur eine Übertragung des inneren Produktes von Vektoren auf Matrizen. Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist dann lediglich ein Spezialfall der allgemeinen Multiplikation zweier Matrizen bei der eine der beiden Matrizen entweder eine 1xn-Matrix (also ein Zeilenvektor) oder eine nx1-Matrix (also ein Spaltenvektor) ist. Das Produkt einer mxn-Matrix A mit der nxr-Matrix B ergibt eine n

mxr-Matrix C und ist folgendermaßen definiert: C = A ⋅ B = ( ∑ aij ⋅ b jk ) ,

Die Ordnung der Produktmatrix erhält man aus den beiden „äußeren“ Zahlen der Ausgangsmatrizen: (4 x 2)* (2 x 3) = (4 x 3).

Beispiel 3: (Anwendungsbeispiel)

Die aus Kapitel 3.4 bekannte Firma stellt die vier Einzelteile, die sie für ihre beiden Steuergeräte benötigen aus drei verschiedenen Rohmaterialien her. Die benötigten Rohmaterialien kann man der folgenden Tabelle entnehmen:

j =1

mit den aij aus der Matrix A und den bjk aus der Matrix B. Das Element cik des Produktes C erhält man, indem man das innere Produkt der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B bildet. R6

 (Zeile 1) ⋅ (Spalte 1)  =  (Zeile 2 ) ⋅ (Spalte 1)  (Zeile 3 ) ⋅ (Spalte 1) 

E1 2 1 1

E2 1 0 2

E3 0 1 1

E4 1 2 0

Die folgende - schon von Seite 8 bekannte - Tabelle gibt weiterhin an, wie viele der verschiedenen Einzelteile für die beiden Steuergeräte jeweils benötigt werden.

Zum Beispiel:  a11 a12    b b C = A ⋅ B =  a21 a22  ⋅  11 12  a a   b21 b22  31 32 

R1 R2 R3

b13   b23 

(Zeile 1) ⋅ (Spalte 2) (Zeile 1) ⋅ (Spalte 3 )   (Zeile 2) ⋅ (Spalte 2) (Zeile 2 ) ⋅ (Spalte 3) (Zeile 3 ) ⋅ (Spalte 2) (Zeile 3 ) ⋅ (Spalte 3 )

E1 E2 E3 E4

S1 3 2 0 1

S2 2 1 2 3

Wenn die Firma nun bestimmen will, wie viele der verschiedenen Rohstoffe sie für ihre beiden Steuergeräte jeweils benötigt, kann sie dies mit Hilfe einer Matrizenmultiplikation (der beiden zu den Tabellen gehörenden Matrizen RE und ES) bestimmen.

10

11

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3  2 1 0 1    2 RS = RE ⋅ ES =  1 0 1 2  ⋅   1 2 1 0 0   1 

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Das zugehörige Falk-Schema sieht folgendermaßen aus:

2  1 2  3 

 2 ⋅ 3 + 1⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + 1⋅ 1 2 ⋅ 2 + 1⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 3  9 8      =  1⋅ 3 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 0 + 2 ⋅ 1 1⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3  =  5 10   1⋅ 3 + 2 ⋅ 2 + 1⋅ 0 + 0 ⋅ 1 1⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 1⋅ 2 + 0 ⋅ 3  7 6      Dies bedeutet, dass die Firma zum Beispiel für jedes Steuergerät S1 folgende Rohmaterialen benötigt: 9 mal R1, 5 mal R2 und 7 mal R3. Für jedes Steuergerät S2 werden 8 mal R1, 10 mal R2 und 6 mal R3 benötigt.

9 8    Mit Hilfe der Matrix RS =  5 10  könnte nun berechnet werden, wie viele Rohmate7 6    rialien für eine Bestellung von 50 Steuergeräten der Sorte S1 und von 20 Steuergeräten der Sorte S2 benötigt werden (vgl. Seite 10). 9 8   9 ⋅ 50 + 8 ⋅ 20     50     5 10  ⋅   =  5 ⋅ 50 + 10 ⋅ 20  = 20  7 6     7 ⋅ 50 + 6 ⋅ 20     

 610     450   470   

Die Firma benötigt also für die Bestellung 610 mal R1, 450 mal R2 und 470 mal R3.

3

2

2 0

1 2

1

3

2 1 0 1

x11 x12

1 0 1 2 1 2 1 0

x21 x22 x31 x32

Das Ergebnis für das Feld x21 der Ergebnismatrix erhält man, indem man die Zeile links von diesem Feld (die zweite Zeile) mit der Spalte oberhalb dieses Feldes (die erste Spalte) multipliziert. 3 2

2 1

0 1

2 3

x11

x12

2 1 0 1 1 0 1 2

x21 x22

1 2 1 0

x31 x32

Somit ist x21 = 1⋅ 3 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 0 + 2 ⋅ 1 = 5 .

Falk-Schema Eine Hilfe bei der Multiplikation zweier Matrizen A und B kann das sogenannte „FalkSchema“ darstellen.

Die anderen Felder der Ergebnismatrix werden ebenfalls durch die Multiplikation der Zeile links von dem Feld mit der Spalte oberhalb des Feldes berechnet.

3 2 2 1

Für dieses Schema legt man eine Tabelle mit vier Feldern an. In das Feld unten links schreibt man die Matrix A, in das Feld oben rechts die Matrix B. In das Feld recht unten kommt die die Ergebnismatrix der Multiplikation. Im obigen Anwendungsbeispiel muss die folgende Matrizenmultiplikation durchgeführt werden:  2 1 0 1   RS = RE ⋅ ES =  1 0 1 2   1 2 1 0   12

3  2 ⋅ 0  1 

2  1 . 2  3 

0 2 1 3

2 1 0 1 1 0 1 2

9 8 5 10

1 2 1 0

7

13

6

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Einen Spezialfall bildet die Multiplikation mit der Einheitsmatrix E:

R7

Für die Multiplikation eines Zeilenvektors oder eines Spaltenvektors mit der Einheitsmatrix E gilt:

v ⋅ E = v bzw. E ⋅ v = v .

R8

Für die Multiplikation einer quadratischen Matrix M mit der Einheitsmatrix E gilt: M ⋅ E = M bzw. E ⋅ M = M .

Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix verändert also weder einen Vektor noch eine Matrix.

3.5. Matrizen und Lineare Gleichungssysteme (LGS) In verschiedenen Anwendungsbereichen der Matrizenrechnung (insbesondere im Bereich der Wirtschaftswissenschaften) wird versucht, Beziehungen zwischen verschiedenen Einflussgrößen mathematisch auszudrücken, und sie so „berechenbar“ zu machen. Matrizen werden insbesondere genutzt, um komplexe Beziehungsgeflechte zu beschreiben, die sich nicht durch klassische Funktionen (ganzrationale oder gebrochen-rationale Funktionen, Exponentialfunktion, ...) darstellen lassen. Eine Möglichkeit der Mathematisierung liegt im Darstellen solcher Beziehungen durch ein System verschiedener linearer Gleichungen, wodurch ein sogenanntes Lineares Gleichungssystem (LGS) entsteht.

Beispiel 4 Eine Firma stellt 3 verschiedene Endprodukte E1, E2 und E3 her. Für die Produktion sind 3 verschiedene Maschinen M1, M2 und M3 erforderlich. Die Zeiten, die die einzelnen Maschinen für die verschiedenen Endprodukte benötigen, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. M1 M2 M3

E1 1 2 4

E2 3 2 3

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Da diese Maschinen auch zur Fertigung anderer Produkte benötigt werden, können sie jeden Tag nur eine begrenzte Zeit für die Fertigung dieser speziellen Endprodukte eingesetzt werden. Zur Zeit kann die Maschine M1 täglich 560 Minuten eingesetzt werden, die Maschine M2 täglich 590 Minuten und M3 sogar 810 Minuten. Es soll nun berechnet werden, wie viele Endprodukte E1, E2 und E3 bei diesen Produktionsbedingungen hergestellt werden können. Bezeichnet man die Anzahl die von den einzelnen Endprodukten hergestellt werden können mit a, b und c, so muss der Vektor, der sich daraus ergibt, mit der Produktionsmatrix, die sich aus der obigen Tabelle ergibt, multipliziert werden. Das Ergebnis ist dann der Vektor, der aus den vorgegebenen Maschinenlaufzeiten gebildet wird. Da a, b und c mit den zugehörigen Endprodukten E1, E2 und E3 multipliziert werden

a    müssen, muss die Produktionsmatrix „von rechts“ mit dem Vektor  b  multipliziert c    werden. In Matrizenschreibweise ergibt dies die folgende Gleichung:

 1 3 2   a   560         2 2 3  ⋅  b  =  590   4 3 1   c   810        Multipliziert man die Matrix mit dem Vektor, so erhält man das folgende Gleichungssystem:

⇒

a + 3b + 2c = 560 2a + 2b + 3c = 590 4a + 3b + c = 810

Dieses Gleichungssystem kann nun mit den bekannten Verfahren (z.B. Additionsverfahren oder Gauß´sches Eliminationsverfahren) gelöst werden.

E3 2 3 1

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⇒

a + 3b + 2c = 560 ⋅ (− 3 ) 2a + 2b + 3c = 590 ⋅ 2 4a + 3b + c = 810 ⋅ 6

 a = 100    Somit erhält man den Produktionsvektor  b = 120  .  c = 50   

⇔

− 3a − 9b − 6c = 1680 4a + 4b + 6c = 1180 + Z1 24a + 18b + 6c = 4860 + Z1

Dies bedeutet, das unter den gegebenen Bedingungen 100 Teile des Endproduktes E1, 120 Teile von E2 und 50 Teile von E3 hergestellt werden können.

Beispiel 5 Die Firma aus Beispiel 1 stellt ihre Endprodukte E1, E2 und E3 mit Hilfe der Rohstoffe R1, R2 und R3 her. Dabei gelten die folgenden Produktionszusammenhänge:

− 3a − 9b − 6c = − 1680 a − 5b = − 500 ⋅ 9 21a + 9b = 3180 ⋅5

⇔

− 3a − 9b − 6c = − 1680 9a − 45b = − 4500 105a + 45b = 15 900

⇔

− 3a − 9b − 6c = − 1680 9a − 45b = − 4500 114a = 11400

⇔

R1 R2 R3 + Z2

: 114

E3 6 1 2

Im Lager der Firma sind noch 6500 Mengeneinheiten (ME) des Rohstoffes R1, 5150 ME des Rohstoffes R2 und 4900 ME des Rohstoffes R3. Wie viele Endprodukte E1, E2 und E3 können mit Hilfe dieser Rohstoffmengen noch produziert werden?

 2 8 6   a   6 500         4 6 1  ⋅  b  =  5 100   7 0 2   c   4 900       

a = 100 einsetzen in Zeile 2:

⇒

9 ⋅ 100 − 45b = − 4500

⇔

900 − 45b = − 4500

− 900

⇔

− 45b = − 5400

: (− 45 )

⇔

b = 120

Multipliziert man die Matrix mit dem Vektor, so erhält man das folgende Gleichungssystem: 2a + 8b + 6c = 6 500 4a + 6b + c = 5 100 7a

a = 100 und b = 120 einsetzen in Zeile 1:

⇒

− 3 ⋅ 100 − 9 ⋅ 120 − 6c = − 1680

⇔

− 300 − 1080 − 6c = − 1680

+ 1380

⇔

− 6c = − 300

: (− 6 )

⇔

c = 50

16

E2 8 6 0

In Matrizenschreibweise führt diese Fragestellung zu folgender Gleichung:

− 3a − 9b − 6c = − 1680 9a − 45b = − 4500 a = 100

⇔

E1 2 4 7

+ 2c = 4 900

 a = 600    Durch Lösung dieses Gleichungssystems ergibt sich:  b = 400  .  c = 350    Dies bedeutet, das unter den gegebenen Bedingungen 600 Teile des Endproduktes E1, 400 Teile von E2 und 350 Teile von E3 mit den drei Maschinen hergestellt werden können. 17

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Die oben beschriebene wiederholte Anwendung von Übergangsmatrizen auf einen

4. Übergangsmatrizen (Austausch- und Entwicklungsprozesse)

Ausgangsvektor ( vn = v0 ⋅ M n ) nennt man eine Markov-Kette, nach dem russischen

Viele (natürliche) Prozesse basieren auf Zustandsveränderungen, die durch Matrizen dargestellt werden können. Da diese Matrizen den Übergang von einem Zustand in den nächsten erfassen bzw. darstellen, nennt man solche Matrizen Übergangsmatrizen. Übergangsmatrizen können in sehr unterschiedlichen Situationen auftauchen und zur mathematischen Beschreibung und Modellierung genutzt werden. Die erfassten Zustände können die Position eines Gegenstandes im Raum sein, aber auch Temperaturangaben oder Mengenangaben ausdrücken, oder Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bestimmter Ereignisse angeben. Aus diesem Ansatz kann man sehr weitreichende Folgerungen entwickeln, die auch in andere Teilbereiche der Mathematik - wie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) - hineinreichen. Bei diesen Modellen wird meist die Ausgangssituation (der Anfangszustand) durch einen Zeilen- oder Spaltenvektor (den Anfangsvektor v0 ) dargestellt. Die Multiplikation dieses Anfangsvektors mit der Übergangsmatrix M ergibt dann den Zustandsvek-

Mathematiker Andrej Markov (1856-1922).

4.1 Stochastische Matrizen Übergangsmatrizen, die im wesentlichen Austauschprozesse oder Verteilungsprozesse beschreiben, haben einige besondere Eigenschaften. Falls die vorgegeben Ausgangssituation vollständig erfasst werden soll, bedeutet dies, dass die Summe der Werte im Ausgangsvektor stets 1 ergeben muss (100 %). Die Übergangsmatrix beschreibt dann die Verteilung auf den Folgezustand. Da dabei auch jeweils die Ausgangssituation vollständig erfasst wird, gilt - je nach dem Aufbau der Matrix (von nach) - dass entweder die Spaltensummen oder die Zeilensummen der Matrix 1 (bzw. 100 %) ergeben müssen. Der unterschiedliche Aufbau kann jedoch vernachlässigt werden, da diese Matrizen durch Transponierung ineinander übergehen.

tor v1 , der den Folgezustand darstellt. Es gilt: M ⋅ v0 = v1 bzw. v0 ⋅ M = v1

Anmerkung: Nicht zuletzt aus Platzgründen ist es weit verbreitet diese Berechnungen so durchzuführen, dass die Übergangsmatrix von rechts mit dem Ausgangsvektor multipliziert wird. In diesem Fall müssen sowohl der Ausgangsvektor, als auch der Folgevektor als Spaltenvektoren geschrieben werden. Die Spaltensummen der Übergangsmatrix ergeben dann 1.

Da solche Prozesse in der Regel mehrfach oder sogar beliebig oft wiederholt werden können, müssen Übergangsmatrizen stets quadratische Matrizen sein, damit Anfangsvektor und Zustandsvektor die gleiche Länge besitzen und somit der Zustandsvektor für die erneute Multiplikation mit der Übergangsmatrix genutzt werden kann. (→ 3.4). Multipliziert man den aktuellen Zustandsvektor mit der Übergangsmatrix, so erhält man den Zustandsvektor des nachfolgenden Zustandes, also zum Beispiel

In den oben beschriebenen Matrizen werden oft auch Wahrscheinlichkeiten für den Übergang in die jeweils andere Verteilung erfassen, daher werden sie auch stochastische Matrizen genannt. Hier ist die Matrizenrechnung eng mit der Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung) verknüpft.

v1 ⋅ M = v 2 und v 2 ⋅ M = v3 . Dabei

gilt:

(

)

v 2 = v1 ⋅ M = v0 ⋅ M ⋅ M = v0 ⋅ M 2 und

entsprechend

erhält

Stochastische Matrizen beschreiben Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Zuständen oder Verteilungen. Sie haben daher folgende Eigenschaften:

man

v3 = v0 ⋅ M 3 . Führt man diesen Übergang „n-mal“ durch, so erhält man demzufolge: vn = v0 ⋅ M n . Die Berechnung von höheren Potenzen von M n ist jedoch sehr langwierig und sollte mit Hilfe von Computerprogrammen (z.B. auch Tabellenkalkulation) oder Computer-Algebra-Systemen (CAS) durchgeführt werden, die inzwischen auch auf manchen Taschenrechnern zur Verfügung stehen (dies sind in der Regel GrafikTaschenrechner – GTR).

18

R9

•

In einer stochastischen Matrix ist kein Element negativ und jedes Element ist kleiner als 1, das heißt es gilt stets: 0 ≤ aij ≤ 1.

•

In einer stochastischen Matrix ist stets die Spaltensumme oder die Zeilensumme gleich 1.

19

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Beispiel 6: (Marktverteilungsmatrix)

Drei verschiedene Illustrierte (A, B, C) teilen einen Markt folgendermaßen unter sich auf: A: 40% Marktanteile, B: 20 % und C: 40%. Das Kaufverhalten der Leserschaft verändert sich von einer Woche zur nächsten Woche derart, dass 80% der Leser von A bei ihrer Zeitschrift A bleiben, 10% wechseln zu B und 10% wechseln zu C; von B wechseln 20% zu A und 10 % zu C und von C wechseln 20% zu A und 20% zu B. Stellt man diese Angaben in einer Tabelle dar, so ergeben sich - je nach dem Aufbau der Matrix (von nach) - die folgenden beiden Darstellungsmöglichkeiten: nach

A

B

C

A

0,8

0,1

0,1

B

0,2

0,7

C

0,2

0,2

von

von

A

B

C

A

0,8

0,2

0,2

0,1

B

0,1

0,7

0,2

0,6

C

0,1

0,1

0,6

nach

Betrachtet man diese Tabelle, so erkennt man, dass die Summen der Zeilen stets 1 ergibt.

Betrachtet man diese Tabelle, so erkennt man, dass die Summen der Spalten stets 1 ergibt.

Da insgesamt alle vorherigen Leser verteilt werden (100 % = 1) und die vollständige „neue“ Verteilung erfasst wird, ergibt sich diese Eigenschaft zwingend. Wie kann nun die veränderte Markaufteilung bestimmt werden? Die Veränderungen, die durch die obige Tabelle erfasst sind, können durch eine Matrix dargestellt werden. Zur Bestimmung der veränderten Markaufteilung betrachtet man nun die Ausgangssituation als Vektor, der mit dieser Matrix multipliziert wird.

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Das obige Beispiel zeigt, wie bei der unterschiedlichen Betrachtungsweise jeweils vorzugehen ist. Es macht jedoch auch deutlich, dass die unterschiedlichen Schreibweisen keinen Einfluss auf die Ergebnisse besitzen.

4.2 Populationsentwicklung Viele Wachstumsprozesse lassen sich mathematisch mit Hilfe von Matrizen beschreiben. Dabei muss man insbesondere im Bereich der Biologie für das Wachstum von Populationen (aber zum Beispiel auch bei ökonomischen Wachstumsprozessen) in der Regel eine ganze Reihe von Einflussgrößen berücksichtigen. Dazu gehören neben der Ausgangsgröße der jeweiligen Population auch Umweltfaktoren, wie zum Beispiel der vorhandene Lebensraum oder das Nahrungsmittelangebot. In der Regel werden bei der Modellbildung mehrere Entwicklungsstadien, sowie die Reproduktionsrate und die Sterberate erfasst. Im Rahmen der Modellbildung werden dann ebenfalls Übergansmatrizen erstellt. Auf Grund der einbezogenen Reproduktionsvorgänge erhalten wir hier jedoch keine stochastischen Matrizen, sondern es kommt zu zyklischen Schwankungen. Beispiel 7 Die Populationsentwicklung einer bestimmten Insektenart wird über mehrere Jahre hinweg untersucht. Dabei stellt man fest, dass sich stets aus 25 % der vorhandenen Eier (E) dieser Insektenart innerhalb eines Monats Larven (L) entwickeln. Nach einem weiteren Monat entwickeln sich aus 50 % der Larven die erwachsenen (adulte) Tiere (A), der Rest wird von Fressfeinden – zum Beispiel Vögeln - gefressen. Die erwachsenen Insekten legen dann durchschnittlich 8 Eier und sterben kurz darauf.

Stellt man die Veränderungen von einem Monat zum nächsten in einer Tabelle zusammen erhält man: Von

Die Ausgangssituation kann hier dargestellt werden als (40 20 40) .

 40    Die Ausgangssituation ist hier  20  .  40   

Somit erhält man die neue Verteilung als:

Somit erhält man die neue Verteilung als:

(40

 0,8 0,1 0,1    20 40) ⋅  0,2 0,7 0,1  = (44 26 30).  0,2 0,2 0,6   

 0,8 0,2 0,2   40       0,1 0,7 0,2  ⋅  20  =  0,1 0,1 0,6   40     

 44     26 .  30   

E

L

A

E

0

0

8

L

0,25

0

0

A

0

0,5

0

nach

Diese Tabelle ergibt sich folgendermaßen: Von den vorhandenen Eiern bleiben 0 % Eier, 25 % werden zu Larven und natürlich werden auch 0% zu erwachsenen Insekten (Adulte). Von den Larven werden natürlich 0 % zu Eiern und ebenfalls 0 % bleiben Larven. 50 % werden zu erwachsenen Insekten. Die erwachsenen Insekten legen 8 Eier, aber natürlich keine Larven oder gar Erwachsene.

Die Veränderung von einem Monat zum nächsten lässt sich somit mit Hilfe der folgenden Übergangsmatrix darstellen:

0 8  0   M =  0,25 0 0   0 0,5 0  

Nun liegt also folgende Marktaufteilung vor: A: 44%, B: 26% und C: 30%.

20

21

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Geht man davon aus, dass zu Beginn der Beobachtung 1200 Eier, 400 Larven und 240 adulte Insekten vorhanden sind, so lässt sich der Ausgangsvektor dieser Insektenpopulation schreiben als:

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

In diesem Beispiel gilt:

1200    v 0 =  400  .  240   

0 0  1 0 0  0,25 ⋅ 0,5 ⋅ 8      M 3 = 0 1 0 = E =  0 0,25 ⋅ 0,5 ⋅ 8 0 . 0 0 1    0 0 0 , 25 ⋅ 0 , 5 ⋅ 8     Das heißt: 0 ,25 ⋅ 0 ,5 ⋅ 8 = 1 .

Die Population des Nachfolgemonats erhält als:

0 8  1200   0      0,25 0 0  ⋅  400  =  0 0,5 0   240  

1920     300  = v1  200   

Dies bedeutet, dass in diesem Fall die dreifache Anwendung der Matrix M (das heißt

M 3 ) die Einheitsmatrix E ergibt (→ D 9). Es gilt: M 3 = E . In diesem Fall nennt man auch die Matrix M zyklisch.

Einen weiteren Monat später erhält man:

Nach 3 Monaten ergibt sich dann die folgende Populationsverteilung:

0 8  1920   0     0 25 0 0  ⋅  300  = ,   0 0,5 0   200  

1600     480  = v 2  150   

0 8  1600   0      0,25 0 0  ⋅  480  =  0 0,5 0   150  

1200     400  = v 3  240   

D 12

Eine quadratische Matrix M heißt zyklisch, falls es ein n∈ IN gibt, so dass gilt: M n = E .

Stellt man die Angaben zur Populationsentwicklung für die ersten 10 Monate in einem Punktdiagramm mit Polygonzug dar, so erhält man:

Offensichtlich ist nach 3 Monaten wieder der Anfangsbestand erreicht. Bleibt also die Übergangsmatrix unverändert, so ergibt sich nach 4 Monaten die gleiche Population, wie nach dem ersten Monat und so weiter. Alle drei Monate würde sich nach diesem Modell der gleiche Bestand an Eiern, Larven und erwachsenen Insekten ergeben. Diese Population entwickelt sich somit zyklisch. Ein Zyklus umfasst hier 3 Monate. Stellt man die Angaben zur Populationsentwicklung der ersten 10 Monate in einer Tabelle zusammen, so erhält man die folgende Tabelle B7: Monat:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Eier:

1200

1920

1600

1200

1920

1600

1200

1920

1600

1200

Larven:

400

300

480

400

300

480

400

300

480

400

Adulte:

240

200

150

240

200

150

240

200

150

240

Betrachtet man die oben beschriebene Populationsentwicklung als Markov-Kette (wiederholte Anwendung von Übergangsmatrizen auf einen Ausgangsvektor v n = v0 ⋅ M n ), so ergibt sich hier: v 3 = v 0 ⋅ M 3 = v 0 .

22

Die zyklische Entwicklung, wie sie in diesem Beispiel dargestellt ist, führt letztlich zu einem stabilen Zustand. Die durchschnittliche Größe der jeweiligen Population bleibt in jedem Zyklus gleich.

23

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Beispiel 8: Nicht immer wird bei einer Populationsentwicklung ein solcher stabiler Zyklus erreicht. Wenn beispielsweise – unter sonst gleichen Bedingungen – die Fortpflanzungsrate der Insekten verringert wird (zum Beispiel durch den Einsatz von Pestiziden oder einer ungewöhnlich großen und dauerhaften Vermehrung von Fressfeinden), so ergibt sich eine neue Situation.

Für die Darstellung im Modell soll davon ausgegangen werden, dass die Insekten nun nur noch 4 Eier legen. 0 4  0   Dies ergibt die folgende Übergangsmatrix: N =  0,25 0 0  .  0 0,5 0   1200    v 0 =  400   240   

Geht man wieder davon aus, dass zu Beginn der Beobachtung 1200 Eier, 400 Larven und 240 Insekten vorhanden sind, so lässt sich der Ausgangsvektor erneut schreiben als: Für die Populationsentwicklung erhält man nun folgende Tabelle B8: Monat:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Eier:

1200

960

800

600

480

400

300

240

200

150

Larven:

400

300

240

200

150

120

100

75

60

50

Insekten:

240

200

150

120

100

75

60

50

37,5

30

Vergleicht man die Populationen nach 3 bzw. 6 Monaten mit der ursprünglich angenommenen, so kann man erkennen, dass sich die Anzahl der Eier, der Larven und der erwachsenen Insekten nach 3 Monaten jeweils halbiert hat und dass nach 6 Monaten nur noch ein Viertel der ursprünglichen Populationen vorhanden sind. Hier wird also kein stabiler Zustand erreicht, sondern die Population wird kontinuierlich kleiner.

0  0 0   0,5 0  1 0 0  0,25       Hier gilt: N 3 =  0 0,5 0  ≠  0 1 0  = E und N 6 =  0 0,25 0 .  0 0 0 1   0 0 0,5  0 0,25     

0 4  0   Für die Übergangsmatrix: N =  0,25 0 0  gilt: 0 ,25 ⋅ 0,5 ⋅ 4 = 0,5 .  0 0,5 0  

Beispiel 9: Erhöht sich jedoch – bezogen auf die Ausgangssituation von Beispiel 7 – die Überlebensrate der Larven (zum Beispiel durch eine dauerhafte Reduzierung von Fressfeinden), so ergibt sich wiederum eine andere Situation. Für die Darstellung im Modell soll davon ausgegangen werden, dass die nun 75 % der Larven zu erwachsenen Insekten werden.

0 8  0   0 0 . Dies ergibt die folgende Übergangsmatrix: L =  0,25  0 0,75 0   Geht man wieder davon aus, dass zu Beginn der Beobachtung 1200 Eier, 400 Larven und 240 Insekten vorhanden sind, so lässt sich der Ausgangsvektor erneut schreiben als:

Die graphische Darstellung ergibt nun folgendes Bild:

24

25

1200    v 0 =  400   240   

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Für die Populationsentwicklung erhält man nun folgende Tabelle B9: Monat:

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Vergleicht man die drei behandelten Populationsentwicklungen, so kann man folgende Regel aufstellen:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Eier:

1200

960

2400

1800

1440

3600

2700

2160

5400

4050

Larven:

400

300

240

600

450

360

900

675

540

1350

Insekten:

240

300

225

180

450

337,5

270

675

506,25

405

Die graphische Darstellung ergibt nun folgendes Bild:

Ist für eine Populationsentwicklung eine Übergangsmatrix M der Art 0 0 v    M =  a 0 0  charakteristisch, mit der Vermehrungsrate v > 0 und 0 b 0   R 10

den Überlebensraten a und b mit 0 < a < 1 und 0 < b < 1 , dann gilt: •

Ist a ⋅ b ⋅ v < 1, so stirbt die Population (langfristig) aus.

6000

•

Ist a ⋅ b ⋅ v = 1, so entwickelt sich die Population zyklisch.

5000

•

Ist a ⋅ b ⋅ v > 1, so nimmt Gesamtzahl der Population zu.

Insektenpopulation aus Beispiel 9

4000 Eier: 3000 Larven:

4.3 Gleichgewichtszustände (Fixvektoren und Grenzmatrix)

Insekten: 2000

Allgemein stellt sich bei den Übergangsmatrizen (stochastische Matrizen) die Frage, ob es möglich ist einen „stabilen Zustand“ zu erreichen, der sich nicht weiter verändert.

1000

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Man erkennt insbesondere bei der Zahl der Eier und bei den Larven, dass sich die Durchschnittsangaben (bezogen jeweils auf drei Monate) kontinuierlich erhöhen. Dies ist auch bei den erwachsenen Insekten der Fall. Auf Grund der niedrigeren Anfangswerte ist dies Entwicklung in der graphischen Darstellung jedoch nicht so deutlich.

Für

die

Übergangsmatrix:

0 8  0   L =  0,25 0 0  0 0,75 0  

Im Kapitel 4.2 ist darauf hingewiesen worden, dass bei Populationsentwicklungen in der Regel zyklische Prozesse entstehen. Bei Stochastischen Matrizen können wir dagegen sicher sein, dass es möglich ist, einen stabilen Gleichgewichtszustand zu erreichen, bei dem dann ein weiterer Übergang (d.h. eine weitere Multiplikation mit einer Übergangsmatrix) zu keiner Veränderung führt. Der Vektor, der diesen Zustand repräsentiert, wird dann Fixvektor genannt.

D 13

gilt:

0 ,25 ⋅ 0 ,75 ⋅ 8 = 1,5

und

r Ein Vektor x heißt Fixvektor der Übergangsmatrix M, falls gilt: r r M ⋅x = x .

Nicht bei allen Matrizen ist es möglich einen zugehörigen Fixvektor zu bestimmen.

 1,5 0 0    entsprechend L =  0 1,5 0  .  0 0 1,5    3

Bei stochastischen Matrizen ist dies jedoch der Fall.

26

27

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

M sei eine beliebige stochastische Matrix, die aber von der Einheitsmatrix E verschieden ist. Dann gelten folgende Regeln:

r Es gibt genau einen vom Nullvektor verschiedenen Fixvektor x der stochastischen Matrix M.

R 11

Man kann den Fixvektor einer Matrix berechnen, indem man bestimmt, welr r r cher Vektor x .die Gleichung M ⋅ x = x .löst. Die

Gleichung

r r M ⋅ x = x .führt

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Beispiel 10: (Bestimmung des Fixvektors)

In einem Wildreservat leben verschiedene Tierarten, die täglich eine von drei Tränken A, B oder C aufsuchen. Bei der Beobachtung dieser Tiere wurde festgestellt, dass ein gewisser Anteil der Tiere jeden Tag zu einer anderen Tränke wechselt. Das beobachtete Wechselverhalten der Tiere ist in dem folgenden Diagramm dargestellt. 50 %

A zu

einem

linearen

Gleichungssystem 20 %

(LGS),das zum Beispiel mit Hilfe des Additions-Verfahren gelöst werden kann.

30 % 80 % 20 %

B 50 %

Die Matrixpotenzen M , M 2 , M 3 , M 4 , … streben mit wachsendem ExpoR 12

C

10 % 10 %

nenten gegen die sogenannte Grenzmatrix M ∞ .

r Jede Spalte der Grenzmatrix ist dann mit dem Fixvektor x der Matrix M identisch.

R 13

30 %

r r r r Die Folgezustände M ⋅ a , M 2 ⋅ a , M 3 ⋅ a , M 4 ⋅ a , … streben für jeden Anr r r fangszustand (Startvektor) a mit a ≠ 0 gegen den Fixvektor der Matrix M. r r Es gilt: M ∞ ⋅ a = x .

Dies bedeutet, dass zum Beispiel 50 % der Tiere, die an der Tränke A gesehen wurden, auch am nächsten Tag zur Tränke kommen. 20 % der Tiere wechseln von der Tränke A zur Tränke B und 30 % von der Tränke A zur Tränke C. Um die Beobachtung und Versorgung der Tiere besser koordinieren zu können, möchten die Revierförster gerne wissen, ob es im Laufe der Zeit zu einer „stabilen“ Verteilung der Tiere kommt, bei der sich die Zahl der Tiere an den einzelnen Tränken nicht mehr ändert. Sie gehen bei ihren Überlegungen von einer Gesamtzahl von insgesamt 2400 Tieren aus, wobei 1000 Tieren bei Tränke A, 1000 Tieren bei Tränke B und 400 Tieren bei Tränke C erfasst wurden. Geben Sie die Verteilung für die ersten drei Tage an und bestimmen Sie die stabile Verteilung, indem Sie den Fixvektor der zu diesem Austauschprozess gehörenden Übergangsmatrix bestimmen. Lösung: Die zu diesem Austauschprozess gehörende Übergangsmatrix ergibt sich aus obigem Diagramm (Für die Matrix werden die Prozentzahlen in Dezimalzahlen umgewandelt. So wird aus 20 % dann 0,2.). Es gilt:

 0,5 0,2 0,8  1000      M =  0,2 0,5 0,1  mit dem Startvektor v 0 = 1000  .  0,3 0,3 0,1   400     

28

29

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

Man erkennt, dass diese Matrix eine stochastische ist, alle Spaltensummen ergeben die Summe 1. Zur Ermittlung der Folgeverteilung muss die Matrix also von rechts mit einem Spaltenvektor multipliziert werden.

5a − 1b − c = 0 8 4

⇔

2a − 5b + c = 0 − 1a − 1b + c = 0

 0,5 0,2 0,8  1000  1020        Damit ergibt sich für den 1. Tag: v 1 =  0,2 0,5 0,1  ⋅ 1000  =  740  .  0,3 0,3 0,1   400   640       

3

 0,5 0,2 0,8  1170  1186        Und für den 3. Tag gilt: v 3 =  0,2 0,5 0,1  ⋅  638  =  612  ..  0,3 0,3 0,1   592   602       

Zum Nachweis und zur Berechnung dieser Grenzverteilung muss man die folgende Gleichung lösen:

 0,5 0,2 0,8   x1   x1         0,2 0,5 0,1  ⋅  x 2  =  x 2  bzw. alternativ:  0,3 0,3 0,1   x  x     3  3

 0,5 0,2 0,8   a  a        0,2 0,5 0,1  ⋅  b  =  b  .  0,3 0,3 0,1   c  c       

( 8) ⋅ (− 24 ) 7 : 25

5a − 1b − c = 0 8 4

⇔

Schon nach diesen wenigen Tagen scheint die Verteilung gegen eine (stabile) Grenzverteilung zu streben.

+ Z1

3

5a − 1b − c = 0 8 4 25a − 5 1b = 0 8 4 7 a − 7 b =0 24 12

⇔

 0,5 0,2 0,8  1020  1170        Für den 2.Tag gilt: v 2 =  0,2 0,5 0,1  ⋅  740  =  638  .  0,3 0,3 0,1   640   592       

+ Z1

a − 2b

=0

− a + 2b

=0

+ Z2

5a − 1b − c = 0 8 4

⇔

a − 2b

=0 0 =0

allgemeingültig

Somit ist dieses Gleichungssystem so nicht eindeutig lösbar. Wir haben jedoch noch eine weitere Bedingung zur Verfügung, die wir benutzen können, um das Gleichungssystem zu einer eindeutigen Lösung zu überführen: Die Gesamtzahl der Tiere beträgt 2400; daher gilt: a + b + c = 2 400 . Damit ergibt sich:

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 0,5a + 0,2b + 0,8c = a − a 0,2a + 0,5b + 0,1c = b − b

⇔

⇔

⇔

5a − 2b − 8c = 0 : 8 2a − 5b + c = 0 − 3a − 3b + 9c = 0 : 9

30

a − 2b

=0

a + b + c = 2 400 + Z1

0,3a + 0,3b + 0,1c = c − c − 0,5a + 0,2b + 0,8c = 0 ⋅ ( −10 ) 0,2a − 0,5b + 0,1c = 0 ⋅ 10 0,3a + 0,3b − 0,9c = 0 ⋅ ( −10 )

5a − 1b − c = 0 8 4

⇔

5 a − 1b − c = 0 8 4

a − 2b 15 a + 3 b 8

⇔

4

=0 = 2 400 ⋅ 8

(3 )

5a − 1b − c = 0 8 4

a − 2b

4 1 a + 2b 3

31

=0 = 6 400

+ Z2

Lineare Algebra - Matrizen und Prozesse

5a − 1b − c = 0 8 4

⇔

a − 2b

=0

( 3)

= 6 400 : 5 1

5 1a 3

5a − 1b − c = 0 8 4

⇔

a − 2b =0 = 1 200 a

a = 1 200 einsetzen in Zeile 2:

⇒ 1200 − 2b = 0 ⇔ 1200 = 2b ⇔

+ 2b :2

600 = b

a = 1 200 und 600 = b einsetzen in Zeile 1:

(

)

− 1 ⋅ (600 ) − c = 0

⇒

5 1200 ⋅ 8

⇔

750 − 150 = c 600 = c

⇔

4

+c

a   1200   r   r  Für den Fixvektor x =  b  gilt also: x =  600  . c   600     

Die zu erwartende Stabile Verteilung sieht demnach folgendermaßen aus: Es sind langfristig 1200 Tiere bei der Tränke A, 600 Tieren bei Tränke B und 400 Tieren bei Tränke C zu erwarten..

32