Konstruktion und Gewicht optimieren mit FEM

Konstruktion und Gewicht optimieren mit FEM Die optimale Konstruktion für ein Produkt zu finden, ist häufig ein iterativer Prozess, in den viel Erfahrung der Firma und des Konstrukteurs einfließt. Oft wird auf bestehenden Konstruktionen aufgebaut. Mit Tests und Berechnungen kann geprüft werden, ob ein Design die Anforderungen erfüllt und gut fertigbar ist. Jedoch ist nicht sicher, ob damit wirklich das allerbeste, optimale Design gefunden wurde. Hier kann die numerische Optimierung mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) helfen. FEM wird häufig für Strukturberechnungen eingesetzt. Meist werden dabei die fertige Geometrie, Materialien, Lasten und Randbedingungen vorgegeben, und das Ergebnis sind Verformungen, Spannungen, Lebensdauer, Schwingungen oder Temperaturen. Damit wird die Frage beantwortet „Erfüllt dieses Design die Anforderungen?“. Durch Optimierung wird auch die Frage beantwortet „Welches ist das beste Design für diese Anforderungen?“. Ein Design, das z.B.:  die vorgegebenen Bedingungen erfüllt und dabei nur minimalen Materialverbrauch und Gewicht hat  bei vorgegebener Materialmenge die maximale Steifigkeit und den gleichmäßigen Kraftfluss in der Struktur gewährleistet  den Schalldruck im gesamten Frequenzbereich minimiert  Lagen eines Faserverbundmaterials so anordnet, dass sie optimale Steifigkeit haben Das Optimierungsmodell ist das gleiche FEM-Modell mit Materialien, Lasten und Randbedingungen, das auch für eine normale FEM-Berechnung verwendet wird. Zusätzlich gibt es in der Optimierung typischerweise:  eine Zielfunktion, die maximiert oder minimiert werden soll  einen oder mehrere Constraints, das sind Limits, die eingehalten werden müssen  Designvariablen, die das Programm ändern kann und deren Werte am Ende das Ergebnis der Optimierung sind Anhand von Beispielen werden im Folgenden verschiedene Arten der Optimierung mit der FEM-Software MSC Nastran gezeigt. Design-Optimierung Bei der sogenannten Design-Optimierung existiert bereits ein fertiger Entwurf der Geometrie; optimiert werden können jedoch noch die Wandstärken, Balkenquerschnitte, Materialwerte o.a. Im Beispiel soll die Wandstärke einer Platte optimiert werden, die Platte ist in 5 verschiedene Bereiche unterteilt, die jeweils eine andere Wandstärke haben können. An einem Ende ist die Platte fest eingespannt, am anderen Ende durch eine Kraft belastet.

Bild 1: Platte mit Randbedingungen, Grün: Einspannung, Rot: Last

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Bild 2: Platte mit den 5 verschiedenen Wandstärkenbereichen

Die Platte soll so leicht wie möglich sein, jedoch soll sie sich am freien Ende nicht mehr als 8mm durchbiegen. Daher stellt sich folgende Optimierungsaufgabe: Zielfunktion: Gewicht minimieren Constraint: Verformung in z-Richtung an einem Knoten auf der Kante < 8mm Designvariablen: die Wandstärken in den 5 Bereichen Die Optimierung geht vom Anfangszustand des Modells aus, hier von einer ursprünglichen Wandstärke von 2mm in allen Bereichen. Es werden mehrere Zyklen gerechnet, bis das optimale Design erreicht ist. Dafür werden hier 5 Zyklen benötigt. Bild 3 zeigt deren Verlauf: das Gewicht reduziert sich, bzw. nähert sich dem minimal möglichen Wert an. Die Verformung liegt am Anfang nur bei 3.3mm und erhöht sich auf die maximal erlaubten 8mm, der Constraint wird normiert dargestellt und geht daher am Ende gegen 0. Die Wandstärken beginnen alle bei 2mm und sind am Ende < 2mm. MSC Nastran erkennt, dass die Bereiche nahe der Einspannung den größten Einfluss auf die Durchbiegung haben, daher bekommen diese die größte Wandstärke.

Verlauf der Zielfunktion (Gewicht in t/mm3)

Verlauf des Constraints (Verformung, normiert)

Verlauf der Designvariablen (Wandstärken in mm, vgl. Bild 2)

Bild 3: Ablauf der Optimierung der Platte

Bild 4: Ergebnis: Optimierte Wandstärke der Platte, 3D-Darstellung

Im nächsten Beispiel sollen die Wandstärken eines Federbeindoms optimiert werden, wieder haben verschiedene Bereiche verschiedene Wandstärken. Das Modell ist an einer Seite fest gelagert, am anderen Ende gibt es drei mögliche Belastungen. Es handelt sich um eine Lebensdauerberechnung, in der diese drei Belastungen in vorgegebener zeitlicher Abfolge (Lastzyklus) wechselnd auftreten.

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Zielfunktion: Gewicht minimieren Constraint: Schädigung nach Ablauf des kompletten Belastungszyklus < 0.8 (0 = neuwertig, 1 = kaputt) Designvariablen: die Wandstärken in den verschiedenen Bereichen

Kraft in y-Richtung

Kraft in z-Richtung

Moment um x-Achse

Bild 5: Federbeindom mit den 3 Lastfällen, Grün: Einspannung, Rot: Last

Durch die Optimierung der Wandstärken wurde nicht nur das Gewicht um 24% reduziert, sondern auch die Lebensdauer um 14% erhöht.

Bild 6: Federbeindom, Wandstärken in den verschiedenen Bereichen vor und nach der Optimierung

Topologie-Optimierung MSC Nastran kann jedoch auch das optimale Design finden. In diesem Fall wird vorgegeben, welches Material verwendet werden soll, welcher Bauraum zur Verfügung steht und wo die Randbedingungen aufgebracht werden. Bei der Topologie-Optimierung gibt es für jedes einzelne Element im Optimierungsbereich eine Designvariable, mit der sich in jedem Optimierungszyklus der E-Modul des Elementes ändern kann. Im Vergleich zur DesignOptimierung, bei der es wie im Beispiel des Federbeindoms vielleicht 10 Designvariablen gibt, gibt es bei der Topologie-Optimierung also extrem viele Designvariablen, daher verwendet MSC Nastran für die TopologieOptimierung einen anderen Berechnungsalgorithmus.

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Im Beispiel soll die optimale Konstruktion einer Brücke gefunden werden. Sie ist an beiden Enden gelagert, in der Mitte unten wird die Kraft aufgebracht. Im Vergleich zum ersten Beispiel (Design-Optimierung der Platte) ist das Netz hier wesentlich feiner, damit die Software die resultierende Struktur fein genug abbilden kann.

Bild 7: Topologie-Optimierung einer Brücke, Ausgangsmodell, Grün: Einspannung, Rot: Last

Dies ist eine typische Aufgabenstellung für die Topologie-Optimierung: die Steifigkeit maximieren, während die Masse reduziert werden muss. Zielfunktion: Steifigkeit maximieren Constraint: es sollen ≤ 40% der Masse erhalten bleiben Designvariablen: Dichte jedes Elements (mit dem E-Modul automatisch über eine Gleichung verknüpft) Im Ergebnis erhält jedes Element eine Dichte zwischen 0 und 100% der Originaldichte. Programmintern wird die Rechnung mithilfe von Penalty-Faktoren so beeinflusst, dass möglichst viele Elemente eine Dichte nahe 0 oder nahe 100% haben, damit es ein klares Ergebnis gibt. Bild 8 zeigt das Ergebnis. Nur die Elemente mit hoher Dichte werden noch dargestellt. Es nehmen jedoch immer alle Elemente an der Rechnung teil, sie werden nicht gelöscht.

Bild 8: Topologie-Optimierung einer Brücke, Ergebnis

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Dieses Ergebnis kann auch im elektronischen Format an die Konstruktion zurückgegeben und im CAD verwendet werden. Patran, ein grafisches Benutzerinterface für MSC Nastran, kann das Netz glätten, so dass der Umriss keine „Treppenstufen“ mehr enthält. Nach Splitten der Viereckselemente in Dreieckselemente kann das Netz als stl-Datei aus Patran herausgeschrieben und ins CAD importiert oder für 3D-Druck verwendet werden. Dies funktioniert auch für Solidmodelle. Auf der kompletten Außenfläche der Solidelemente, die als Optimierungsergebnis übrigbleiben, kann man Vierecks – bzw. Dreieckselemente erzeugen, diese glätten und exportieren.

Geglättetes Netz

Geglättetes Netz, in Dreieckselemente gesplittet

Bild 9: Topologie-Optimierung einer Brücke, Rückgabe ans CAD

Das nächste Beispiel zeigt die Topologie-Optimierung für einen Motorträger.

Bild 10: Topologie-Optimierung eines Motorträgers, Ausgangsmodell, Grün: Einspannung, Rot: Last

Zielfunktion: Steifigkeit maximieren Constraint: es sollen ≤ 40% der Masse erhalten bleiben; in der 2. Variante außerdem Auszugsrichtung für Guss Designvariablen: Dichte jedes Elements (mit dem E-Modul automatisch über eine Gleichung verknüpft)

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Bild 11: Topologie-Optimierung eines Motorträgers, Ergebnis

Nicht jeder Vorschlag aus der Topologie-Optimierung ist praktisch umsetzbar bzw. fertigbar. Die Software könnte z.B. sehr feine Verästelungen vorschlagen, die in der Realität knicken würden oder aufwändig zu fertigen wären. Gussteile müssen aus der Form herausnehmbar sein; durch Strangpressen hergestellte Teile haben einen symmetrischen Querschnitt. Bei manchen Produkten wird Symmetrie verlangt, bei Felgen z.B. eine Rotationssymmetrie. Daher kann man in MSC Nastran bei der Topologie-Optimierung Fertigungsconstraints definieren. Der Motorträger z.B. soll nach oben aus der Gussform entnommen werden. Das wäre beim vorgeschlagenen Design in Bild 11 nicht möglich, da es Hinterschneidungen gibt. Daher fügt man einen Guss-Constraint in yRichtung ein und erhält das Ergebnis in Bild 12.

Bild 12: Topologie-Optimierung eines Motorträgers, Guss-Constraint berücksichtigt, Ergebnis

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Topographie-Optimierung

Bild 13: Topographie auf der Landkarte (von https://en.wikipedia.org/wiki/Topography)

Der Begriff Topographie ist bekannt von der Landkarte. In der Optimierung bedeutet er, die optimale Anordnung der Sicken in einem Blech zu finden. Der Anwender kann in MSC Nastran die minimale Breite, maximale Höhe und den Auszugswinkel der Sicken vorgeben.

Bild 14: Parameter für die Topographie-Optimierung

Das Beispiel zeigt die Topographie-Optimierung eines Bleches. Alle Ränder sind fest eingespannt. Die erste Eigenfrequenz soll möglichst hoch sein.

Bild 15: Topographie-Optimierung einer Platte, Ausgangsmodell, Grün: Einspannung

Zielfunktion: erste Eigenfrequenz maximieren Constraints: minimale Sickenbreite 10mm, maximale Sickenhöhe 20mm Designvariablen: Knotenkoordinaten (Bewegung senkrecht zu Schalenelement oder in vorgegebener Richtung)

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Bild 16: Topographie-Optimierung einer Platte, Ergebnis

Viessmann, ein führender Hersteller von Heizsystemen, setzt die Topographie-Optimierung zur Geräuschminderung der Produkte ein. Für einzelne Bleche eines Heizkessels, in der Akustik „Panels“ genannt, wird die Schallabstrahlung (ERP, Equivalent Radiated Power) berechnet und die Sicken werden so optimiert, dass die Schallabstrahlung minimiert wird. Bild 16 zeigt das Modell mit den Panels, deren Schallabstrahlung ausgewertet wird.

Bild 16: Topographie-Optimierung von Blechen eines Heizkessels, Modellüberblick

Zielfunktion: Schallabstrahlung bei 100 Hz minimieren Constraints: minimale Sickenbreite, maximale Sickenhöhe Designvariablen: Knotenkoordinaten (Bewegung senkrecht zu Schalenelement oder in vorgegebener Richtung) Bild 17 zeigt die optimierte Topographie eines Bleches. Die Schalleistung bei 100 Hz ist bei dem verprägten Blech um 13 dB geringer.

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Bild 17: Topographie-Optimierung von Blechen eines Heizkessels, Ergebnis für ein Blech

Topometrie-Optimierung Topometrie-Optimierung bedeutet Feinoptimierung der Wandstärken. Dabei kann jedes Element eine individuelle Wandstärke bekommen. Dies ist z.B. interessant für:  chemisches Fräsen von Luft- und Raumfahrtstrukturen, wo geringes Gewicht sehr wichtig ist  optimale Positionen für Rippen finden (schmale Bereiche, wo die Optimierung hohe Wandstärke vorschlägt)  Optimierung des Lagenaufbaus von Faserverbundmaterialien Im ersten Beispiel zur Design-Optimierung (Bild 1) wurden für eine einseitig eingespannte Platte 5 verschiedene Wandstärkenbereiche vorgegeben und optimiert. Für dasselbe Modell kann mit der Topometrie-Optimierung die optimale Wandstärke für jedes einzelne Element gefunden werden. Zielfunktion: Gewicht minimieren Constraint: Verformung in z-Richtung an einem Knoten auf der Kante < 8mm Designvariablen: die Wandstärke jedes einzelnen Elementes Das Ergebnis im Bild 18 mit den hohen Wandstärken in der Mitte der Platte deutet darauf hin, dass eine Rippe an dieser Stelle günstig wäre.

Bild 18: Topometrie-Optimierung der Platte aus Bild 1, Ergebnis (Wandstärken in mm)

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Um den Lagenaufbau eines Faserverbundmaterials zu optimieren, erhält in der Topometrie-Optimierung jedes Element und jede Faserverbundlage eine Designvariable. Im Beispiel Bild 19 sind das 640 Elemente * 4 Lagen = 2560 Designvariablen.

Bild 19: Topometrie-Optimierung Faserverbundplatte, Ausgangsmodell, Grün: Einspannung, Rot: Last. Unten: Lagenaufbau

Zielfunktion: Steifigkeit maximieren Constraint: Masse < 15 kg Designvariablen: die Wandstärke jeder Faserverbund-Lage auf jedem Element In den roten Bereichen in Bild 20 sollten also besonders viele Lagen mit dem jeweiligen Winkel abgelegt werden, um eine optimale Steifigkeit gegenüber der aufgebrachten Scherkraft zu gewährleisten.

Dickenverteilung 0°-Lage

Dickenverteilung 90°-Lage

Dickenverteilung 45°-Lage

Dickenverteilung -45°-Lage

Bild 20: Topometrie-Optimierung Faserverbundplatte, Ergebnis

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Allgemeine Tipps zur Optimierung Was ist bei der Optimierung zu beachten, was kann man falsch machen? Die Constraints sollten erfüllbar sein (dies kann abhängen von den unteren und oberen Limits, die den Designvariablen vorgegeben werden). Die Constraints sollten auch bereits im Ausgangsmodell erfüllt sein, weil es der Optimierer dann leichter hat, vom Ausgangspunkt ausgehend eine Verbesserung zu suchen. Die Änderungen in Constraints und Zielfunktionen von einem Optimierungszyklus zum nächsten sollten numerisch eine vernünftige Größe haben. Wenn z.B. der Constraint die Lebensdauer ist und sich zwischen Werten von 107108 bewegt, ist es günstiger, nicht die absolute Zahl, sondern den Logarithmus 7-8 in der Optimierung zu verwenden. Das Netz bei der Topologie- und Topographie-Optimierung sollte fein genug sein, dass sich eine realistische Struktur als Ergebnis herausbilden kann. Es ergeben sich also Rechnungen mit vielen Elementen und mehreren Designzyklen (typischerweise 5 - 60 Zyklen) und daher lange Rechenzeiten. In MSC Nastran bietet der iterative CASI-Solver eine sehr gute Performance bei großen Solidmodellen. Um die Knotenanzahl zu reduzieren, können für einen Vorentwurf auch 4-knotige Tetraederelemente verwendet werden (normalerweise werden in der Strukturberechnung 10-knotige Tetraeder für genauere Ergebnisse empfohlen). Kompliziertere Zielfunktionen und Constraints können definiert werden, indem die direkten Ergebnisse wie Verformung oder Schalldruck an verschiedenen Knoten mit Gleichungen kombiniert und gewichtet werden. Globale Optimierung MSC Nastran verwendet für die Optimierung gradientenbasierte Algorithmen. Daher kann es vorkommen, dass das Optimum je nach Ausgangspunkt verschieden ist. Das gefundene Optimum kann also unter Umständen nur ein lokales und nicht das absolute, globale Optimum sein.

Bild 21: Lokale Minima

Dies kann vor allem bei Faserverbundmodellen und Dynamikanalysen vorkommen. Daher bietet MSC Nastran auch die „globale Optimierung“ an, wobei automatisch mehrere Rechnungen von verschiedenen Startpunkten aus gemacht werden und schließlich das globale Optimum gefunden wird. Geeignete Startpunkte sucht MSC Nastran sich selbst, ausgehend von den benutzerdefinierten Limits der Designvariablen. Ein Datenblatt zur Optimierung mit MSC Nastran finden Sie unter http://www.mscsoftware.com/sites/default/files/ds_msc-nastran-optimization_ltr_pt.pdf. Mehr Informationen zur FEM-Berechnung mit MSC Nastran erhalten Sie unter http://www.mscsoftware.com/de/product/msc-nastran. Fragen beantworten wir Ihnen gerne unter [email protected]

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