Stochastische FEM mit elementaren Zufallselementen

Einleitung Aufgabenstellungen der FEMSP FEMSP mit elementaren Zufallselementen Stochastische FEM mit elementaren Zufallselementen Hans-Jörg Starkloff...
Author: Calvin Böhler
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Einleitung Aufgabenstellungen der FEMSP FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Stochastische FEM mit elementaren Zufallselementen Hans-Jörg Starkloff Westsächsische Hochschule Zwickau

13. Südostdeutsches Kolloquium zur Numerischen Mathematik 2007 Freiberg, 27. April 2007

FEMSP mit elementaren Zufallelementen

Einleitung Aufgabenstellungen der FEMSP FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Einführung Deterministische FEM

Die Methode der finiten Elemente für stochastische Aufgabenstellungen I

Methode der finiten Elemente: wichtiges Näherungsverfahren zur Lösung einer großen Anzahl mathematischer und angewandter Aufgabenstellungen

I

flexibel, mathematisch gut fundiert und weit verbreitet

I

eingehende Parameter, Daten in (praktischen) Problemen häufig mit Unsicherheiten behaftet

I

eine Möglichkeit der Modellierung der Unsicherheiten: Modellierung durch Zufallsgrößen bzw. Zufallsfunktionen oder allgemeine Zufallselemente

I

⇒ stochastische FEM (SFEM), FEM für stochastische Probleme (FEMSP)

FEMSP mit elementaren Zufallelementen

Einleitung Aufgabenstellungen der FEMSP FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Einführung Deterministische FEM

Ausgangspunkt für deterministische FEM häufig: Randwertaufgabe für partielle oder gewöhnliche Differentialgleichung, z.B. − div (a(x) grad u(x)) = f (x),

x ∈ D ⊂ Rd

(1)

x ∈ ∂D

u(x) = 0, bzw. d − dx



du(x) a(x) dx

 = f (x), x ∈ (0, 1) ⊂ R,

u(0) = 0,

a(1)

du(1) =F dx

(klassische Lösungen) FEMSP mit elementaren Zufallelementen

(2)

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Einführung Deterministische FEM

Variationsformulierung Definition einer Bilinearform a(u, v ) und einer Linearform l(v ) auf einem geeigneten Hilbertraum V Betrachtung der Variationsaufgabe:

ges. u ∈ V ∀v ∈ V

a(u, v ) = l(v )

Z z.B.

a(x) D

d X ∂u(x) ∂v (x) j=1

∂xj

∂xj

mit

Z dx =

f (x)v (x) dx D

∀ v ∈ H10 (D) Z bzw.

1

0

0

1

Z

a(x)u (x)v (x) dx = 0

f (x)v (x) dx + Fv (1), 0

∀ v ∈ H1 ([0, 1]), v (0) = 0 FEMSP mit elementaren Zufallelementen

(3)

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Einführung Deterministische FEM

FEM Betrachtung der Variationsaufgabe in endlichdimensionalen Teilräumen V h ⊂ V : ges. u h ∈ V h mit a(u h , v h ) = l(v h )

∀ vh ∈ Vh

(4)

Basisfunktionen {φ1 , . . . , φN } in V h mit lokalem Träger Basisdarstellung der gesuchten Lösung in V h u h = u1 φ1 + . . . + uN φN lineares Gleichungssystem für die N unbekannten Koeffizienten {uj } N X

uj a(φj , φi ) = l(φi ) i = 1, . . . , N,

bzw.

Au = f

j=1

Satz von Lax/Milgram sichert eindeutige Lösbarkeit unter bestimmten Bedingungen (Koerzität von a(·, ·), Stetigkeit von a(·, ·), l(·)) FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Zufällige Parameter I I I I

rechte Seite Koeffizienten,Parameter in der Differentialgleichung oder den Randbedingungen das betrachtete Gebiet selber verschiedene Interpretationen der vorkommenden Operatoren, z.B. Ableitungen

als zufällige Parameter Zahl ⇒ Zufallsgröße Vektor ⇒ Zufallsvektor Funktion ⇒ Zufallsfunktion allgemein: Zufallselement d.h. Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, SΩ , P), messbarer Raum (X , SX ), messbare Abbildung X : Ω → X FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Kenngrößen der zufälligen Parameter I

Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsmaß PX auf (X , SX ) • für Zufallsgrößen geg. durch Verteilungsfunktion FX (x) = P(X < x), x ∈ R, oder Verteilungsdichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion oder charakteristische Funktion • für Zufallsvektoren geg. durch gemeinsame Verteilungsfunktion F(X1 ,...,Xn ) (x1 , . . . , xn ) = P(X1 < x1 , . . . , Xn < xn ) oder Verteilungsdichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion • für Zufallsfunktionen geg. durch System der endlichdimensionalen Verteilungen bzw. äquivalente Kenngrößen

I

abgeleitete Kenngrößen, wie Erwartungswerte, Varianzen, höhere Momente, Kovarianzen, Erwartungswert- und Kovarianzfunktionen FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Zufällige Lösungen Lösungen (klassische oder verallgemeinerte) sind Zufallsfunktionen bzw. Zufallselemente, es können ganz verschiedene Kenngrößen gesucht sein, z.B. I Verteilungen von Funktionalen der Lösung I Momente der Lösung oder von Funktionalen der Lösung I Wahrscheinlichkeiten für bestimmte zufällige Ereignisse, die durch die Lösung definiert werden usw. zu beachten ist: I Abhängigkeit der Lösung von Koeffizienten in Differentialgleichung ist nichtlinear I Verteilungen verhalten sich wesentlich nichtlinear I Verteilungen sind „unendlichdimensional“ I abgeleitete Kenngrößen der zufälligen Parameter bestimmen im Allgemeinen nicht eindeutig Kenngrößen der Lösung FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Nichteindeutigkeit der Lösungskenngrößen im Beispiel

d − dx



du(x) a(x) dx

 x ∈ (0, 1),

= 0,

u(0) = 0, Z Lösung

u(x) = 0

mit

a(1) x

du(1) =F dx

F dy a(y )

E{β} = 1

falls

a(x, ω) = β(ω)a0 (x)

und

F , a0 (x) deterministisch, β(ω) > 0 f.s., a0 (x) > 0  Z x 1 F E{u(x)} = E dy β 0 a0 (y ) FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Unzureichende Charakteristiken Es gilt aber     1 sup E : β(·) > 0, E{β} = 1 = ∞ (β ∼ U(1 − ∆, 1 + ∆)) β     1 inf E : β(·) > 0, E{β} = 1 = 1 (Jensen-Ungleichung) β z.B.

falls

a0 (x) = ex , F = 100

   1 E{u(x)} = E 100 1 − e−x β FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Realisierungsweise Variationsformulierung Voraussetzungen wie für deterministische FEM an (fast) alle Realisierungen der zufälligen Parameter Variationsaufgabe: ges. Zufallselement u(ω), ω ∈ Ω, mit Werten in V, so dass z.B. Z a(x, ω) D

a(ω)(u(ω), v ) = l(ω)(v )

d X ∂u(x, ω) ∂v (x) j=1

∂xj

∂xj

∀v ∈ V

P − f .s.

(5)

Z dx =

f (x, ω)v (x) dx D

∀ v ∈ H10 (D) P − f .s. Z 1 Z 1 a(x, ω)u 0 (x, ω)v 0 (x) dx = f (x, ω)v (x) dx + F (ω)v (1), 0

0

∀ v ∈ H1 ([0, 1]), v (0) = 0 P − f .s. FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Realisierungsweise Variationsformulierung I

deterministischer Raum von Testfunktionen

I

bei Kenntnis der Eigenschaften der Realisierungen der zufälligen Parameter kann die deterministische Theorie der FEM genutzt werden

I

Ausgangspunkt von verschiedenen Varianten der FEMSP • Monte-Carlo-FEMSP • FEMSP mit elementaren Zufallselementen • FEMSP mit Störungsansatz • FEMSP mit Neumann-Reihe

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Stochastische Variationsformulierung e z.B. geeigneter Hilbertraum von Zufallselementen V, F-messbare Zufallselemente in V mit endlichem zweiten Moment F wird von zufälligen Parametern erzeugt n n o o e = v (·) : Ω → V, F − messbar , E kv (·)k2 < ∞ V unter bestimmten Bedingungen an zufällige Parameter: el : V e → L1 (Ω, F, P; R) Linearform el(v ) := E {l(·) (v (·))} Bilinearform

e×V e → L1 (Ω, F, P; R) e:V a e(u, v ) := E {a(·)(u(·), v (·))} a FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen

Stochastische Variationsformulierung e so dass ∀ v ∈ V e gesucht u ∈ V, e(u, v ) = el (v ) a

I

Zufallselemente als Testfunktionen

I

Approximation durch endlichdimensionale Aufgaben durch FEM-Methoden bezüglich der räumlichen Variablen und besonderer endlichdimensionaler Approximationen bezüglich der stochastischen Einflussgrößen

I

Ausgangspunkt von weiteren Varianten der FEMSP, wie dem sogenannten Spektralansatz

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Elementare Zufallselemente Approximation durch elementare Zufallselemente FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Elementare Zufallselemente I

I

I

elementare Zufallselemente in V können nur endlich viele mögliche Werte annehmen, d.h. ihr Wertebereich ist eine (f.s.) endliche Menge im Raum V im Fall von Zufallsgrößen oder Zufallsvektoren besitzen elementare Zufallselemente eine diskrete Verteilung sind die zufälligen Parameter der Differentialgleichung elementare Zufallselemente, ist das Problem bezüglich der stochastischen Einflussgrößen endlichdimensional: N [ Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes Ω = Ωk k =1

auf jeder Teilmenge Ωk nimmt jeder der Parameter einen deterministischen Wert an ⇒ deterministische Differentialgleichung oder Variationsaufgabe FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Elementare Zufallselemente Approximation durch elementare Zufallselemente FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Approximation durch elementare Zufallselemente unter bestimmten Bedingungen lassen sich beliebige Zufallselemente durch elementare Zufallselemente approximieren: Satz: Sei X ein Zufallselement mit Werten in einem separablen metrischen Raum. Dann existiert eine Folge (Xn )n∈N von elementaren Zufallselementen, die P-f.s. (unter geeigneten Voraussetzungen auch im p-ten Mittel) gegen X konvergiert. (Entsprechende Aussagen gelten auch für Verteilungen und die Konvergenz in Verteilung.)

FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Elementare Zufallselemente Approximation durch elementare Zufallselemente FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Approximation durch elementare Zufallselemente I

für Zufallsvariable bzw. Zufallsvektoren: durch diskrete Zufallsvariable bzw. Zufallsvektoren

I

für Zufallsfunktionen: • Abbruch von Reihenentwicklungen, Koeffizienten mit diskreten Verteilungen • Approximation z.B. durch zufällige Polynome mit Koeffizienten mit diskreter Verteilung • Approximationsoperatoren im unendlichdimensionalen Wertebereich des Zufallselementes

hier ist die Approximation der gemeinsamen Verteilung von Interesse

FEMSP mit elementaren Zufallelementen

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Elementare Zufallselemente Approximation durch elementare Zufallselemente FEMSP mit elementaren Zufallselementen

FEMSP mit elementaren Zufallselementen N [

Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes Ω =

Ωk

k =1

auf jeder Teilmenge Ωk nimmt jeder der Parameter einen deterministischen Wert an endliche Anzahl von deterministischen Problemen: gesucht uk ∈ V so dass ak (uk , v ) = lk (v )

∀v ∈ V

Lösung dieser Probleme mittels deterministischer FEM

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Elementare Zufallselemente Approximation durch elementare Zufallselemente FEMSP mit elementaren Zufallselementen

FEMSP mit elementaren Zufallselementen Resultat: elementares Zufallselement mit Werten uk : u(ω) = uk

für

ω ∈ Ωk ,

P(Ωk ) = pk

Verteilung der Näherungslösung ist bekannt ⇒ gesuchte stochastische Kenngrößen der Lösung können näherungsweise berechnet werden I flexibel I notwendig, zuverlässig Approximationen durch elementare Zufallselemente zu bestimmen I entstehende Fehler müssen abgeschätzt werden I Möglichkeit zur Verifizierung anderer Verfahren I steht im Verhältnis zur Monte Carlo stochastischen FEM ungefähr wie die Erzeugung von Quasizufallszahlen (gleichverteilte Zahlenfolgen) zur Erzeugung von Folgen von Zufallszahlen FEMSP mit elementaren Zufallelementen

Einleitung Aufgabenstellungen der FEMSP FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Elementare Zufallselemente Approximation durch elementare Zufallselemente FEMSP mit elementaren Zufallselementen

Zufällige Beispielaufgabe Gesucht ist eine Zufallsfunktion u(x, ω) mit   du d a(x, ω) (x, ω) = f (x, ω), − dx dx du u(0) = 0 a(1) (1, ω) = F (ω) dx

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