FEM im Massivbau. (nichtlineare Methoden mit DIANA)

(nichtlineare Methoden mit DIANA) FEM im Massivbau Vorlesungsskript FEM im Massivbau (nichtlineare Methoden mit DIANA) 4. Auflage April 2007 Techni...
Author: Julia Gerhardt
0 downloads 1 Views 3MB Size
(nichtlineare Methoden mit DIANA)

FEM im Massivbau

Vorlesungsskript FEM im Massivbau (nichtlineare Methoden mit DIANA) 4. Auflage April 2007 Technische Universität Berlin Fachgebiet Massivbau Sekretariat TIB 1 - B 2 Gustav-Meyer-Allee 25 13355 Berlin Prof. Dr. sc. techn. Mike Schlaich Dipl.-Ing. Ralf Arndt Dipl.-Ing. Alexander Gaulke Dipl.-Ing. Sven Pöhner Tel +49 (0)30 314-721 30 Fax +49 (0)30 314-721 32 [email protected] www.massivbau.tu-berlin.de

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Inhaltsverzeichnis 1.

Einleitung .......................................................................................................................... 1

2.

Mathematische Materialbeschreibung .............................................................................. 2 2.1.

Beton......................................................................................................................... 2

2.1.1. Einaxiales Materialverhalten.................................................................................. 2 2.1.2. Zweiaxiales Materialverhalten ............................................................................... 6 2.1.3. Ebenes Scherverhalten ......................................................................................... 8 2.1.4. Dreiaxiales Materialverhalten ................................................................................ 9 2.1.5. Elastizität (Cauchy-elastisches Modell) ............................................................... 11 2.1.6. Plastizität .............................................................................................................12 2.1.7. Zugfestigkeit ........................................................................................................ 17 2.1.8. Risse.................................................................................................................... 17 2.1.9. Kriechen und Schwinden..................................................................................... 34 2.1.10. Wärmeeinwirkung................................................................................................ 40 2.2.

Betonstahl ............................................................................................................... 51

2.2.1. Elastizität .............................................................................................................52 2.2.2. Plastizität .............................................................................................................52 2.2.3. Wärmeeinwirkung................................................................................................ 54 2.3.

Verbund von Stahl und Beton ................................................................................. 57

2.3.1. Kraftübertragung im Stahlbeton........................................................................... 57 2.3.2. Relativverschiebung und Verbundspannung....................................................... 58 3.

Elementbibliothek............................................................................................................ 67 3.1.

Elemente ................................................................................................................. 67

3.1.1. Stabelemente ...................................................................................................... 68 3.1.2. Balkenelemente................................................................................................... 69 3.1.3. Ebene Scheibenspannungselemente.................................................................. 70 3.1.4. Ebene Scheibendehnungselemente.................................................................... 71 3.1.5. Plattenelemente................................................................................................... 72 3.1.6. Achsensymmetrische Elemente .......................................................................... 73 3.1.7. Ebene Schalenelemente ..................................................................................... 74 3.1.8. Gekrümmte Schalenelemente ............................................................................. 75 3.1.9. Volumenelemente................................................................................................ 76 3.1.10. Bewehrungselemente.......................................................................................... 77 3.1.11. Interfaceelemente für statische Untersuchungen ................................................ 78 3.1.12. Flusselemente ..................................................................................................... 83 Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite I

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

4.

IANA

Numerische Methoden ....................................................................................................84 4.1.

Grundlagen..............................................................................................................84

4.2.

Nichtlineare Lösungsverfahren................................................................................85

4.2.1. Iterative Verfahren ...............................................................................................85 4.2.2. Inkrementelle Verfahren ......................................................................................86 4.2.3. Inkrementel-iterative Verfahren ...........................................................................87 4.2.4. Konvergenzkriterien.............................................................................................90 4.2.5. Berücksichtigung von entfestigendem Materialverhalten.....................................92 5.

Verwendung von DIANA .................................................................................................93 5.1.

Die DAT-Datei .........................................................................................................95

5.2.

Die COM-Datei ........................................................................................................99

5.3.

iDIANA...................................................................................................................102

5.3.1. Das Arbeitsfenster .............................................................................................103 5.3.2. Batch-Dateien ....................................................................................................104 5.4.

FEMGEN ...............................................................................................................105

5.4.1. Initialisierung eines neuen Modells....................................................................105 5.4.2. Eingabe der Geometriedaten.............................................................................107 5.4.3. Arbeiten mit der Zeichenfläche ..........................................................................109 5.4.4. Netzgenerierung ................................................................................................112

6.

5.5.

GUI - gestützte Analyse ........................................................................................115

5.6.

FEMVIEW..............................................................................................................118

Literatur .........................................................................................................................125

Seite II

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

1.

IANA

Einleitung

Dieses Skript soll eine Einführung in die Verwendung des Programmsystems DIANA von der niederländischen Forschungsgesellschaft TNO geben. Speziell soll es dem Leser die Fähigkeit vermitteln, das nichtlineare Materialverhalten von Stahlbeton so detailliert wie möglich abzubilden. Dazu werden eingangs die Materialgesetzte erläutert, mit denen der Werkstoff Stahlbeton mathematisch beschrieben werden kann. Weiterhin enthält dieses Skript eine Zusammenstellung der wichtigsten Elemente in DIANA und eine kurze Programmeinführung. Der Umgang mit dem Programmsystem DIANA kann abschließend anhand ausgewählter Übungsbeispiele im zugehörigen Übungsumdruck erlernt und vertieft werden.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 1

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

2.

IANA

Mathematische Materialbeschreibung

Die durch Versuche ermittelten Materialeigenschaften müssen für eine realitätsnahe Abbildung der Werkstoffeigenschaften durch mathematische Modelle beschrieben werden. Die Eigenschaften, die es zu beschreiben gilt, sind Spannungs-Dehnungsverhalten und Versagen, beziehungsweise Schädigungsverhalten. Es gibt Riss- und Schädigungsmodelle. Rissmodelle beruhen auf der nichtlinearen Elastizitäts- und der Plastizitätstheorie, Schädigungsmodelle auf der Kontinuumsmechanik mit dem ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.

2.1. Beton Im Vergleich zu Metallen besitzt Beton ein sehr komplexes heterogenes Materialverhalten, das durch starke Nichtlinearität gekennzeichnet ist. Er besteht aus einem Konglomerat von in Zementstein eingebetteten Zuschlagkörnern verschiedener Größe mit unterschiedlichen Eigenschaften. Die Zuschläge besitzen eine größere Festigkeit und einen größeren Elastizitätsmodul als der Zementstein. Außerdem ist der Zementstein, anders als die Zuschläge, noch dem Schwinden und Kriechen unterworfen. Bei Stahlbeton kommt als dritte Komponente noch der Bewehrungsstahl hinzu, wiederum mit eigenen Werkstoffeigenschaften. So bilden die Verbundeigenschaften (zwischen Zementstein und Zuschlag bzw. zwischen Zementstein und Betonstahl) quasi eine vierte, bzw. fünfte, Komponente des Verbundwerkstoffes Stahlbeton und bereits im unbelasteten Zustand treten Phänomene auf, die ein nichtlineares Verhalten induzieren, z. B. Mikrorissbildung infolge von Volumenänderung und Porosität des Zementes, verursacht durch Schwinden, und das Abfließen der Hydratrationswärme während der Erhärtung des Zementmörtels. Andererseits ist Beton einer der am meisten genutzten Baustoffe in der gesamten Bauindustrie, was auf seine besonderen Formgebungsmöglichkeiten gekoppelt mit hoher Druckfestigkeit sowie den guten Verbundeigenschaften mit Stahl zurückzuführen ist. Anhand von Versuchen lässt sich ein breites Spektrum verschiedener Phänomene beobachten.

2.1.1. Einaxiales Materialverhalten 2.1.1.1. Druckverhalten des Betons Das Verhalten des Betons unter stetiger einaxialer Druckspannung σ ist Bild 1 zu entnehmen. Die Querdehnung wird dabei über die gesamte Höhe ungehindert zugelassen.

Seite 2

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Es lassen sich gut drei aufeinander folgende Verhaltensweisen unterscheiden: •

Zunächst verläuft die Spannungs-Dehnungs-Beziehung bis zum Erreichen von etwa 30 % der Druckfestigkeit fc annähernd linear elastisch.



Unter weiter anwachsender Belastung, bis ca. 0,7-0,9 fc, wird die Steigung der Kurve immer geringer. Der Beton verliert zunehmend an Steifigkeit.



Ist fc erreicht, zeigt sich ein entfestigendes Verhalten. Die Kurve fällt bis zum vollständigen Versagen bei Erreichen der Bruchdehnung εcu ab.

Bild 1:

Einaxialer Druckversuch mit lateralen und axialen Dehnungen.

Resultierende Materialgesetze Der ebenfalls anwachsende Wert der Bruchdehnung εcl findet auch im Model Code 1990 und der DIN 1045-1 durch die Abhängigkeit von der Betonfestigkeitsklasse seinen Niederschlag. Die DIN 1045-1 beschreibt diesen Sachverhalt durch die Formel: σc = −

kη − η 2 fc 1 + (k − 2)η

(1)

wobei

η=

εc ε und k = −1,1⋅ E c ⋅ c1 fc ε c1

mit der einachsigen Druckfestigkeit fc gleich der mittleren Zylinderdruckfestigkeit fcm und dem Elastizitätsmodul des Betons Ec nach 28 Tagen (Ec = Ecm = 9500 ⋅ fcm1/3). Nach dem Model Code 1990 wird der Tangentenmodul Eci aus der Formel 1 f 4 c .cyl 3 E c1 = 2,15 ⋅ 10 ( (2) ) [N/mm²] 10 mit der Zylinderdruckfestigkeit fc,cyl gebildet.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 3

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

2.1.1.2. Zugverhalten des Betons Lange wurde die Zugfestigkeit des Betons als unwichtig für das Verständnis seines Materialverhaltens angesehen. Auch die Durchführung von entsprechenden Versuchen erwies sich als sehr schwierig, da die damals gefahrenen lastgesteuerten Versuche keine Daten über das Nachbruchverhalten des Betons produzierten. Erst mit dem Entstehen der Bruchmechanik und der vermehrten Durchführung von weggesteuerten Versuchen wurde die Bedeutung der gesamten Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons für sein Bruchverhalten erkannt (siehe Bild 2):

Bild 2:

Last- und Verformungsgesteuertes Kraft-Weg-Diagramm aus.

Eine umfangreiche Untersuchung zum einaxialen Zugverhalten von Beton lieferte van Mier (1986), anhand einer gekerbten Scheibe, bei der Zugspannungen aufgebracht werden, bis an der Kerbe Mikrorisse entstehen, die sich nur verzögert ausbreiten (siehe Bild 3).

Bild 3:

Seite 4

Rissfortpflanzung und zugehöriges Spannungs-Dehnungsdiagramm unter einaxialer Zugbelastung. Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Im gesamten Vorbruchbereich bis ca. 80 % der Zugfestigkeit (0,8 ⋅ fct), verhält sich der Beton annähernd linear elastisch bis sich bei Punkt A ein Makroriss ausbildet. Der Einfluss der Mikrorisse ist noch zu vernachlässigen. Wird die Last weiter gesteigert, nehmen nichtlineare Erscheinungen langsam zu. Der Riss verlängert sich, bis er von einem Zuschlagkorn vorübergehend gestoppt wird. Bei weiterer Laststeigerung versagt der Verbund zwischen Korn und Zementstein und der Riss breitet sich weiter aus. Dieser Vorgang wiederholt sich mehrmals, bis der Probekörper völlig gerissen ist und der Entlastungsast der Spannungs-Dehnungslinie eine absteigende Treppe bildet (bei einem würfelförmigen Probekörper würde sich allerdings ein stetiger Verlauf aufgrund eines Mittlereffektes ergeben). Im Gegensatz zum einaxialen Druckverhalten ist unter Zug der Entfestigungsast wesentlich steiler und das Verhältnis zwischen maximaler Dehnung und der größten Spannung ebenfalls größer.

Resultierende Materialgesetze Die neben der Spannungsdehnungslinie in erster Linie erhaltenen Werte sind die Spaltzugfestigkeit fct,sp und die Biegezugfestigkeit fct,fl. Von diesen kann dann erst die Zugfestigkeit fct abgeleitet werden. Für den Mittelwert der Zylinderdruckfestigkeit in der DIN 1045-1 gilt: fctm = 0,30 ⋅ fck2/3 bis

bis C50/60

(3)

fctm = 2,12 ln (1 + fcm/10)

ab C55/67

(4)

bzw.

mit der charakteristischen Zylinderdruckfestigkeit fck = fcm – 8. Für den Model Code 1990 gilt entsprechend: fctm = 1,40 (fck / 10)2/3

(5)

Weitere abgeleitete Werte sind die charakteristische Rissweite wc und die Rissenergie Gf, die zur Öffnung eines Risses (Mode I) einer charakteristischen Einheitslänge lch erforderlich ist. Gemäß RILEM 50-FCM (1995) kann die Rissenergie direkt an gekerbten Prüfkörpern, meist Balken, ermittelt werden (vergleiche auch RILEM, 1985; Hillerborg, 1985). Im Model Code 1990 wird Gf in Abhängigkeit von der mittleren Festigkeit des Betons fcm und dem größten Zuschlagkorndurchmesser näherungsweise bestimmt durch

⎛f ⎞ Gf = G f 0 ⋅ ⎜⎜ cm ⎟⎟ ⎝ fcm0 ⎠

0.7

(6)

mit fcm0 = 10 [N/mm²] und Gf0 einem Wert abhängig vom Größtkorn

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 5

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO Tabelle 1:

IANA

Koeffizienten zur Ermittlung der Rissenergie Gf

dmax

Gf0

[mm]

[J/m2]

8

25

16

30

32

58

2.1.2. Zweiaxiales Materialverhalten Grundlegende Arbeiten zu diesem Thema wurden von Kupfer (1973), Nelissen (1972) und Gerstle et al. (1980/1981) geleistet. Die übliche Methode mit Stahlstempeln die Last aufzubringen (siehe Bild 4) führt, wegen der Behinderung der Querdehnung, zur Überschätzung der zweiaxialen Festigkeiten. Deswegen wurden verschiedene Methoden entwickelt die festigkeitssteigernde Wirkung der Lasteinleitungsplatten zu minimieren (siehe Bild 4 b - e).

Bild 4:

Seite 6

zweiaxiales Prüfverfahren: a) steife Lastplatte b) steife Lastplatten mit Gleitschicht c) Stahlbürste d) Flüssigkeitsdruck e) Stahlstempel

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Besonders durch die Versuchsaufbauten c bis e können realistische Versagenskurven unter mehraxialer Belastung ermittelt werden (siehe Bild 5). Man erkennt, dass eine erhebliche Laststeigerung gegenüber dem einaxialen Materialverhalten erreicht wird. Bei einem Spannungsverhältnis der Hauptspannungen von -σ2 / -0.5 · σ1 beträgt sie 28 %. Allerdings wird die Druckfestigkeit der zweiten Hauptrichtung durch den wirkenden Querzug abgemindert. Treten also zusätzlich Beanspruchungen senkrecht zur betrachteten Belastungsrichtung auf, wird die Bildung weiterer Risse verstärkt (Querzug bei Druckbeanspruchung) oder vermindert (Querdruck bei Zugbeanspruchung). Generell kann man sagen, dass sich Beton unter zweiaxialer Belastung duktiler als unter einaxialer Belastung verhält, und dass die Dehnungen im Bruchbereich mit zunehmender Zugspannung abnehmen. Aus Bild 5 ist auch ersichtlich, dass das Volumen stetig abnimmt, während das Verhältnis σ1 / σp größer wird und dass bei einer Spannung von 0,8 ⋅ σmax der Wendepunkt der Volumenänderungskurven liegt. Unmittelbar danach ist das minimale Volumen erreicht und es wächst wieder sprunghaft an.

Bild 5:

a) Biaxiale Betonfestigkeit und

b) Volumenänderungskurven

Kupfer fasst seine Versuchsergebnisse mit folgenden Funktionen abschnittsweise zusammen: Druck-Druck-Bereich: ⎛ σ1 σ 2 ⎞⎟ σ1 σ2 ⎜ + + + 3,65 ⋅ =0 ⎜ f ck,prism fck,prism ⎟ fck,prism f ck,prism ⎝ ⎠

(7)

σ1,2: Hauptdruckspannungen (< 0) fck,prism: einaxiale Prismendruckfestigkeit

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 7

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Druck-Zug-Bereich: σ1 σ2 = 3 1+ f ct f ck,prism

(8)

σ1: Hauptzugspannungen (> 0) σ2: Hauptdruckspannungen (< 0) fct: einaxiale Zugfestigkeit Zug-Zug-Bereich: σ 1,2, u ≈ 0,64 ⋅ 3 f ck2 , prism

(9)

σ1,2,u: Hauptzugspannungen (>0) Für den Zug-Zug-Bereich gibt Kupfer einen konstanten, von der jeweils anderen Hauptzugspannung unabhängigen Wert an. Das heißt bei zweiaxialem Zug ist die Rissbildung im Beton nur von der zur Rissrichtung senkrechten Hauptzugspannung abhängig.

2.1.3. Ebenes Scherverhalten Von Walraven (1981) wurden ebene Schubversuche zum Verhalten von gerissenem Beton durchgeführt. Er verwendete einen Versuchsaufbau, der Verschiebungsänderungen senkrecht zu einem diskreten Riss verhindert. Dabei wurde insbesondere das Verhältnis der aufgebrachten Schubspannung zur daraus entstehenden Normalspannung betrachtet. Es zeigte sich, dass die Schubkraftübertragung entlang eines Risses nicht einfach über eine Schubspannungs-SchubdehnungsBeziehung abgebildet werden kann. Im Gegensatz dazu müssen weitere Faktoren, wie die Normalspannungen und die Rissbreite bei der Formulierung berücksichtigt werden. Bild 6 zeigt die von Walraven formulierte Verknüpfung von der Rissschubspannung, der Rissnormalspannung und der Rissschubverformung. Die aus tangentialen Rissuferverschiebungen resultierenden zusätzlichen Rissöffnungen sind die Folge der rauen Oberfläche der Betonrisse mit den daraus entstehenden Schubspannungen im Riss.

Seite 8

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 6:

IANA

Spannungs-Verschiebungslinie zum Schubtragverhalten einer gerissenen Betonprobe mit der Anfangsrissbreite w nach Walraven

2.1.4. Dreiaxiales Materialverhalten Inzwischen gibt es zahllose Untersuchungen zum dreiaxialen Tragverhalten von Beton, z. B. von Richart et al. (1928), Balmer (1949), Green und Swanson (1973), Kotesovos und Newmann (1978), van Mier (1987), u. a.. Aufgrund des schwierigen Versuchsaufbaues liegen allerdings kaum solche für reine Zugbeanspruchungen oder eine gemischte Zug-Druckbelastung vor. So wurde beobachtet, dass unter hydrostatischem Druck die Entwicklung von Mikrorissen behindert wird und die Festigkeit sowie die Duktilität erhöht werden. Bild 7 ist zu entnehmen, dass die dreiaxiale Druckfestigkeit abhängig ist vom Verhältnis der Hauptspannungen und sich in mehraxialen Druckspannungszuständen erheblich steigern lässt.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 9

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 7:

IANA

Schematische Darstellung der Bruchumhüllenden des Betons im dreidimensionalen Spannungsraum unter Verwendung von Haigh-Westergaard Koordinaten.

Es zeigte sich, dass sich die Versagensfläche unabhängig vom gewählten Koordinatensystem gut als eine Funktion der drei Hauptspannungen abbilden lässt. Eine schematische Darstellung der Fließflächen im Raum ist die sog. Bruchumhüllende in Bild 7. In Bild 8 ist eine Zusammenfassung der verschiedenen Brucharten im Spannungsraum in Abhängigkeit von den Spannungsverhältnissen dargestellt. Gut zu erkennen ist, wie der im reinen Zugbereich vorherrschende Trennbruch im gemischten Zug-Druck-Modus in einen Gleitmodus übergeht, wie er im dreiaxialen Druckbereich auftritt.

Seite 10

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 8:

IANA

Versagensarten in Abhängigkeit zum Verhältnis der Hauptspannungen.

2.1.5. Elastizität (Cauchy-elastisches Modell) Das bei DIANA verwendete Cauchy-elastische Modell beschränkt sich auf die Abbildung einer linearen Beziehung zwischen Verzerrungen und Spannungen. Unter der Annahme einer konstanten Temperatur ergeben sich die Verzerrungen als Funktion des aktuellen Spannungszustandes. Somit bleibt die Belastungsgeschichte unberücksichtigt und alle Verformungen bilden sich bei einer Entlastung wieder zurück. Dabei können unterschiedliche Elastizitätsmoduln Ei für die jeweils orthogonal zueinander stehenden Richtungen berücksichtigt werden. Für den isotropen Werkstoff Beton gilt: E1 = E2 = E3. Die allgemeine orthotrope Beziehung bei DIANA lautet:

⎛ ε xx ⎞ ⎡ 1 ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ Ex ⎜ ⎟ ⎢ − ν xy ⎜ ε yy ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ Ex ⎜ ⎟ ⎢ − ν xz ⎜ ε zz ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ = ⎢ Ex ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ γ xy ⎟ ⎢ 0 ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜γ ⎟ ⎢ 0 ⎜ yz ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ 0 ⎝ γ zx ⎠ ⎣⎢

− ν xy Ex 1 Ey − ν yz

− ν xz Ex − ν yz

0

0

0

0

0

0

Ey

Ey 1 Ez

0

0

1 G xy

0

0

0

0

1 G yz

0

0

0

0

Technische Universität Berlin

⎤ ⎛ ⎞ 0 ⎥ ⎜ σ xx ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎥ ⎜σ ⎟ 0 ⎥ ⎜ yy ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ 0 ⎥ ⎜ σ zz ⎟ ⎟ ⎥ ⋅⎜ ⎟ ⎥ ⎜ 0 ⎥ ⎜ σ xy ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ 0 ⎥ ⎜σ ⎟ ⎥ ⎜ yz ⎟ ⎟ 1 ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜⎜ G zx ⎦⎥ ⎝ σ zx ⎟⎠

Fachgebiet Massivbau

(10)

Seite 11

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Die Beziehung aus Gleichung (10) kann symbolisch auch folgendermaßen wiedergegeben werden:

ε = C⋅σ

(11)

Wird die Nachgiebigkeitsmatrix C invertiert, entsteht daraus die Steifigkeitsmatrix D: D = C-1

(12)

Mit (11) und (12) lässt sich der Spannungszustand wie folgt berechnen:

σ = D⋅ε

(13)

2.1.6. Plastizität Der Vorteil der ursprünglich für Metalle entwickelten Plastizitätstheorie gegenüber der Elastizitätstheorie ist, dass sie über eine Be- und eine Entlastungstheorie verfügt, die unter anderem dazu in der Lage ist, irreversibles Materialverhalten zu erfassen (es kann z. B. das Kriech- und Schwindverhalten abgebildet werden). Dabei sind die Formulierung einer Fließbedingung (Fließgrenze), einer Verfestigungsfunktion (hardening rule) und eines Fließgesetzes (flow rule) die wichtigsten Grundlagen.

2.1.6.1. Fließbedingung Die Fließgrenze bezeichnet den geometrischen Übergang von einem rein elastischen zu einem plastischen Materialverhalten im Spannungsraum anhand einer Fließfläche. Dabei hängt die Fließbedingung f(σij) = k

(14)

mit der Konstanten k nur vom Spannungszustand ab. Bei einem einaxialen Spannungszustand ist sie gleich der Fließspannung (Streckgrenze) fy und bei mehraxialen Spannungszuständen bildet sie eine geschlossene Fläche, die Fließfigur, bestimmt durch eine Funktion f, für die gilt: elastischer Zustand:

f0

(15)

Dabei ist der Spannungsraum innerhalb der Fließfigur der linear elastische Bereich, in dem das Hookesche Gesetz gilt. Außerhalb derselben herrscht ein plastischer Zustand. Die Grenze vom elastischen zum plastischen Zustand wird auch Bruchumhüllende genannt. In der Literatur existieren eine Anzahl von Ansätzen zur Beschreibung der Fließbedingungen von Werkstoffen mit unterschiedlicher Genauigkeit und Komplexität. (Die hier vorgestellten wurden entwickelt, lange bevor es Computer gab, sind aber bei der Modellierung nichtlinearer Strukturen nicht

Seite 12

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

mehr wegzudenken, da die neueren Modelle zwar genauer, aber dafür auch wesentlich schwieriger zu handhaben sind). Man unterscheidet sie nach der Anzahl ihrer Parameter n, beginnend mit einfachen Ein-Parameter-Modellen, z. B. die Fließkriterien von Rankine und von Mises, bis hin zu komplizierten FünfParameter-Modellen, wie das von William-Warnke. Dabei gibt n nicht etwa die Zahl der freien Parameter an, sondern die Anzahl der voneinander unabhängigen Versuche, die zum Bestimmen der Modell-Parameter erforderlich sind, so ist z. B. für die Ein-Parameter-Modelle nur entweder die einaxiale Zug- oder Druckfestigkeit zu bestimmen.

Einparametrige Modelle Will man das Zug-Bruchverhalten des Betons betrachten, eignet sich dazu sehr gut das Modell von Rankine aus dem Jahre 1876. Rankine geht von einem spröden Versagensverhalten aus, wenn an irgendeinem Punkt im Material die Spannung die einaxiale Zugfestigkeit des Betons überschreitet (tension cut off). Die Bruchumhüllende des Betons ist gegeben durch: σ11 = fct

σ 22 = f ct

σ 33 = fct

(16)

oder durch die Spannungsinvarianten ausgedrückt:

f (I1, J 2 , Θ) = 2 ⋅ 2 ⋅ cos Θ + I1 − 3 ⋅ fct

(17)

mit dem Winkel der deviatorischen Querschnitte Θ, der ersten Invarianten des Spannungsektors I1

I1 = σ11 + σ 22 + σ33

(18)

und der zweiten Invarianten J2 des deviatorischen Spannungsvektors sij J2 =

[

1 2 1 2 (s11 + s 222 + s 33 ) = (σ 11 − σ 22 ) 2 + (σ 22 − σ 33 ) 2 + (σ 33 − σ 33 ) 2 2 6

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

]

(19)

Seite 13

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Bild 9 zeigt die Fließbedingung von Rankine im Spannungsraum:

Bild 9:

Fließbedingung nach Rankine a) Meridianschnitt für Θ = 0

b) die π-Ebene

Zweiparametrige Modelle Da der hydrostatische Spannungszustand unter allseitigem Druck das Versagen des Betons stark verändert, sind die einparametrigen Modelle für das Betonversagen nicht genau genug. Für geringen Druck ist eine annähernd dreieckige und für hohen Druck eine kreisförmige Deviatorebene besser geeignet. Die in der Praxis gebräuchlichsten und auch einfachsten zweiparametrigen Fließ-Modelle sind die von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager. Das Mohr-Coulomb Versagenskriterium ist eine Kombination der Gleichung von Coulomb aus dem Jahr 1773 |τ| = c - σ ⋅ tanϕ

(20)

mit der Kohäsion c und dem inneren Reibungswinkel des Materials ϕ und dem Mohrschen Versagenskriterium von 1900 τ = f (σ )

(21)

mit einer von der Normalspannung σ abhängigen maximalen Schubspannung τ als Fließbedingung. Das Modell wird im Bild 10 in Meridianschnitten und dem deviatorischen Querschnitt in der π-Ebene des Spannungsraumes σ11, σ22, σ33 dargestellt.

Seite 14

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 10:

Mohr-Coulomb yield condition a) Meridianschnitt für Θ = 0

IANA

b) die π-Ebene

Die Kohäsion c berechnet sich im Modell von Mohr-Coulomb zu: c = σc ⋅

1 − sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ

(22)

σc:

Betonspannung

ϕ:

Winkel der inneren Reibung

Die äquivalente plastische Dehnung κ erhält man für den Ansatz nach Mohr-Coulomb aus folgender Gleichung:

2 ⋅ sin ψ 3 ⋅ εpl 1 − sin ψ

1 + sin2 ψ − κ=− ψ:

Dilatanzwinkel

εpl:

plastische Dehnung

(23)

Die Drucker-Prager–Fließbedingung ist eine direkte hydrostatische Erweiterung der einparametrigen von Mises Fließbedingung: f (I1, J2 ) = α ⋅ I1 + J2 − k

(24)

f (ξ, ρ ) = 6αξ + ρ − 2k = 0

(25)

bzw.

mit den Parametern α und k. Mit der einaxialen Druckfestigkeit fc und der biaxialen Druckfestigkeit 1,16 ⋅ fc. gilt α = 0,07035 ⋅ fc und k = 0,507 ⋅ fc. Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 15

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Bild 11 zeigt die graphische Darstellung der Fließfläche als Kegel beschrieben durch den Radius in der π-Ebene: ρ Z 0 = ρD0 = 2k

(26)

mit der Spitze des Kegels gegeben durch k

ξ0 =

(27)



Für den Zug-Druck-Bereich und den reinen Zug-Bereich wird diese Fließbedingung häufig durch das Hauptspannungskriterium nach Rankine ergänzt. Auch eine Kombination mit der von Mises Bedingung ist möglich.

Bild 11:

Drucker-Prager yield condition a) Meridianschnitt für Θ = 0

b) die π-Ebene

Die Kohäsion c berechnet sich im Modell von Drucker-Prager zu: c = σc ⋅

1 − sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ

(28)

σc:

Betonspannung

ϕ:

Winkel der inneren Reibung

Die äquivalente plastische Dehnung κ erhält man nach folgender Gleichung: κ=−

1 + 2 ⋅ α 2g

αg = ψ:

Seite 16

1− αg

⋅ ε pl

(29)

2 ⋅ sin ψ 3 − sin ψ Dilatanzwinkel

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

εpl:

IANA

plastische Dehnung

Mehrparametrige Modelle Betrachtet man zweiaxiale Probleme, liefert der kombinierte Drucker-Prager-Ansatz mit Rankineoder von Mises-Ergänzung nach Mehlhorn akzeptable Ergebnisse. Bei dreiaxialen Randbedingungen bildet die Darstellung der Bruchumhüllenden nur eine Näherung und auch die Ergebnisse sind nur bedingt genau. Zu diesem Zweck wurden drei- bis fünfparametrige Modelle entwickelt (z.B. von Bresler und Piester, Chen und Chen, Ottosen, Podgorski sowie Willam und Warnke), die allerdings auch durch eine aufwendigere Parameterbestimmung gekennzeichnet sind. Die in dieser Arbeit kurz erläuterten Schädigungsmodelle von Alex (2000) und Golowin (2000) benutzen das fünfparametrige Modell von Willam und Warnke. Auf eine genauere Beschreibung dieser Modelle wird hier verzichtet.

2.1.7. Zugfestigkeit Wird in einem Gaußpunkt die Zugfestigkeit des Betons überschritten, so entsteht dort ein Riss. Die Rissbildung im Beton wird ausführlich im nächsten Kapitel beschrieben.

2.1.8. Risse Schon unter Gebrauchslasten treten im Beton Risse auf. Sie entstehen an denjenigen Stellen, an denen die aufnehmbare Zugfestigkeit überschritten wird. Senkrecht zu ihnen verliert der Werkstoff seine Zugsteifigkeit – Druckspannungen und Schubspannungen können jedoch in der Regel auch nach erfolgter Rissbildung teilweise oder vollständig übertragen werden. Die Modellierung gerissenen Betons im Kontext der Methode der finiten Elemente bedarf besonderer Überlegungen, um das entfestigte Verhalten abbilden zu können. Man kann hierbei zunächst zwischen Methoden mit über der Elementlänge verschmierten und solchen mit zwischen Elementgrenzen diskretisierten Rissen unterscheiden. Weiterhin ergeben sich unterschiedliche Möglichkeiten der Berücksichtigung der Rissentfestigung. So wird zwischen der Abminderung der Materialsteifigkeit und Modellen, welche den Riss allgemeiner als Schädigung des Kontinuums beschreiben, differenziert. Die Entstehung und Ausbreitung der Risse im Beton sind Gegenstand der Bruchmechanik, deren grundlegende Ansätze im Folgenden dargestellt sind.

2.1.8.1. Bruchmechanik Ein Bruch entsteht, wenn ein Kontinuum durch einen Riss in zwei oder mehr Teile zertrennt wird. Beim Bruchvorgang unterscheidet man zwischen dem Sprödbruch, einer instabilen Rissaus-

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 17

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

breitung und stabilem Risswachstum. Je nach Art der rissverursachenden Beanspruchung kann man drei Risstypen unterscheiden. Sie sind im Bild 12 dargestellt.

Bild 12:

Risstypen

a) Modus I

b) Modus II

c) Modus III

Dabei handelt es sich bei Modus I – Rissen um, durch senkrecht zu den Rissufern wirkende Spannungen hervorgerufene, Zugrisse. Während Modus II – Risse durch Schubspannungen in der betrachteten Ebene verursacht werden, sind für Modus III – Risse diejenigen senkrecht dazu verantwortlich.

Linear elastische Bruchmechanik Die Grundlagen der linear elastischen Bruchmechanik gehen auf Arbeiten von Griffith zurück, der in den zwanziger Jahren versuchte, den Unterschied zwischen der theoretischen und der in Experimenten gemessenen Zugfestigkeit von Glas zu erklären. Kleinste Mikrorisse entstehen zum Beispiel infolge von Wärmeeigenspannungen in jedem Material schon im unbelasteten Zustand. Wird nun der Körper senkrecht zu solchen Rissen belastet, so ergeben sich an den Rissenden sehr hohe Kerbspannungen, die in der Regel wesentlich höher sind als die Zugfestigkeit des Materials und somit zu stetigem Risswachstum bis zur Materialtrennung führen müssten. Da dies jedoch offensichtlich nicht geschieht, muss es ein anderes Kriterium für ein stabiles Risswachstum geben. Griffith betrachtete hierzu die Energiebilanz bei der Entstehung eines Risses. Neben dem Potential der äußeren Kräfte W und der elastischen Formänderungsenergie U berücksichtigte er auch die Oberflächenenergie S, die anwächst, wenn unter Freisetzung von elastischer Energie der Riss und mit ihm auch die Oberfläche vergrößert wird. Zu einem stabilen Risswachstum kommt es demnach, wenn für einen Riss der Länge 2a die Oberflächenenergie dS nicht größer ist, als die freigesetzte elastische Energie -dU: d (U + S) ≤ 0 da

Seite 18

(30)

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Mit U =

π ⋅ σ2 ⋅ a2 E

und

IANA

S = 2 ⋅ (2 ⋅ a ⋅ γ ) ermittelt sich die maximale Spannung an der Rissspitze

zu: σ cr =

2Eγ πa

(31)

wobei σcr die Bruchspannung, γ die spezifische Oberflächenenergie und E den Elastizitätsmodul bezeichnet. Die Schwierigkeit bei der Anwendung von (31) liegt darin, die spezifische Oberflächenenergie abzuschätzen, da sie nur für ideale scharfe Risse einfach zu bestimmen ist. Irwin führte hierzu den sogenannten Spannungsintensitätsfaktor Kcr ein, der ein Maß für die Energie ist, die im Moment der Rissverlängerung in der Umgebung der Rissspitze gespeichert ist, und anhand von genormten Versuchen experimentell bestimmt werden kann: σ cr =

Bild 13:

K cr

(32)

πa

Spannungen an der Rissspitze eines Risses der Länge 2a in einer unendlichen Scheibe unter Zugspannung.

Aus (32) folgt demnach: K cr = 2 ⋅ E

(33)

Als weitere Werkstoffkenngröße lässt sich die kritische Energiefreisetzungsrate Gcr bestimmen:

Gcr = 2 ⋅ γ

(34)

Sie stellt ein Maß für den Materialwiderstand gegen das Reißen dar. Nichthomogene Werkstoffe wie Beton folgen diesem K-Konzept nur bedingt. In der Regel können über den entstandenen Riss auch nach Überschreiten der Zugfestigkeit in geringerem Maße noch Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 19

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Zugspannungen übertragen werden. Dieses entfestigende Verhalten wird als „tension softening“ des Betons bezeichnet. Die hier dargestellten Ausführungen gelten allgemein lediglich für Risse des Modus I. Für Modus II und Modus III – Risse lassen sich entsprechende KII – bzw. KIII – Werte bestimmen, die jedoch für Beton nur eine sehr untergeordnete Rolle spielen, da dieser Werkstoff aufgrund seiner im Vergleich zur Schub- sehr geringen Zugfestigkeit in aller Regel nach Modus I versagt.

Nichtlineare Bruchmechanik Mithilfe der linear elastischen Bruchmechanik können lediglich Werkstoffe beschrieben werden, bei denen die Zone irreversibler Deformationen im Bereich der Rissspitze sehr klein ist, wie zum Beispiel bei Glas. Beton weist jedoch bei der Rissentstehung aufgrund seiner Kohäsionskräfte im Zementleim ein ausgeprägt zähes Verhalten auf. Im ungerissenen Bereich vor der Spitze eines sichtbaren Einzelrisses entsteht eine so genannte „Rissprozesszone“, die durch viele diskontinuierliche Mikrorisse geprägt ist. Diese fortschreitende Schädigung des Materials in der Nähe der Rissspitze bis hin zur Öffnung eines Risses wird als die Ursache für das kontinuierlich entfestigende Verhalten bei der Rissentstehung angesehen. Im Rahmen dieser Betrachtung wurden zwei grundlegende Modelle entwickelt, die diese Rissprozesszone näher spezifizieren: das fiktive Rissmodell nach Hillerborg und die Rissbandmodelle, die auf Bažant und Oh zurückgehen. •

Fiktives Rissmodell

Das fiktive Rissmodell geht von der Annahme aus, dass sich der Werkstoff bis zum Erreichen seiner Zugfestigkeit linear elastisch verhält. Eine weitere Belastung führt zu einer kontinuierlichen Entfestigung innerhalb der Bruchprozesszone bei gleichzeitiger elastischer Entlastung außerhalb. Bild 14 a) verdeutlicht die Ausbildung einer Bruchprozesszone, in der, bedingt durch eine lokale Fehlstelle, die Zugfestigkeit ft überschritten ist. Unter Erhöhung der lokalen Dehnungen (Mikrorissbildung) kommt es zur Abnahme der Spannungen in der Bruchprozesszone, der Rest der Probe verhält sich weiterhin linear elastisch und verkürzt sich entsprechend. Insgesamt ergibt sich das in Bild 14 b) dargestellte Kraft-Verlängerungsverhalten.

Seite 20

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 14:

IANA

a) Zugprobe mit Bruchprozesszone b) Kraft – Verschiebungs -Diagramm

Für das, durch Schädigungen oder plastische Fließbereiche innerhalb der Bruchprozesszone hervorgerufene, Entfestigungsverhalten kann als Spannungs-Rissöffnungs-Diagramm gemäß Bild 15 dargestellt werden. Dabei bezeichnet w die Öffnung eines fiktiven Risses. Ist die Spannungsübertragungsfähigkeit ab einer kritischen fiktiven Rissöffnung wcr nicht mehr vorhanden, so handelt es sich um einen realen Riss.

Bild 15:

a) Elastisches Verhalten außerhalb der Bruchzone b) Entfestigung

Um das Verhalten des Werkstoffes mithilfe des fiktiven Rissmodells beschreiben zu können, werden folgende Kenngrößen benötigt: der Elastizitätsmodul E, die Zugfestigkeit ft, die Spannungs-Rissöffnungs-Funktion σ(w) und die spezifische Bruchenergie Gf, die zur Durchtrennung eines Bauteils benötigt wird. Gf ist dabei identisch mit der Fläche unter der Entfestigungskurve σ(w) und gilt als Materialkonstante. Wie schon eingangs erwähnt, besteht bei der Anwendung von Rissmodellen neben der Abbildung der Bruchmechanik auch das Problem, das gerissene und somit entfestigte Material numerisch zu berücksichtigen. Einen Ansatz hierfür liefert die bei DIANA implementierte Methode diskreter Risse. Hierbei wird ein Riss dadurch modelliert, dass die Verformungsfreiwerte benachbarter KnoTechnische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 21

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

ten entkoppelt werden, wenn die Zugfestigkeit überschritten ist. Das bedeutet, dass die Rissbildung durch Anpassung des Elementnetzes abgebildet wird (Bild 16).

Bild 16:

Diskrete Risse in einem FEM-Netz

Diese Vorgehensweise erfordert somit entweder eine ständige Anpassung des Netzes an die auftretenden Risse oder die Vorhersage des Risspfades mit einer entsprechenden Elementierung. Um mit der Methode diskreter Risse auch ein Entfestigungsverhalten berücksichtigen zu können, gibt es die Möglichkeit, durch sogenannte Verbundelemente die Gesetzmäßigkeiten der Kraftübertragung noch nicht ganz gerissener Bruchzonen zu berücksichtigen. Diese Elemente stellen Kopplungsbeziehungen zwischen den Knotenverschiebungen des einen Betonelementes mit denen des benachbarten zur Verfügung. Über diese indirekte Kopplung kann dann auch nichtlineares Verbundverhalten abgebildet werden. •

Rissbandmodelle

Im Rahmen der Rissbandmodelle wird die Bruchzone nicht mehr als allgemein lokalisiert angesehen, sondern auf eine bestimmte Rissbandbreite d verteilt angenommen. Die Vorstellung besteht darin, dass die Bruchzone aus vielen dicht verteilt und zur Rissebene senkrecht stehenden Mikrorissen besteht. Diese Betrachtungsweise erlaubt es, das Entfestigungsverhalten in der Bruchprozesszone mittels eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms zu definieren, da die fiktive Rissöffnung nun auf die Rissbandbreite bezogen werden kann. Die Schwierigkeit besteht jedoch darin, die tatsächliche Rissbandbreite zu bestimmen. Sie stellt einen Materialparameter dar und kann für Beton einem einfachen Ansatz folgend zum dreifachen des Größtkorndurchmessers bestimmt werden. In der FEM kann die Rissbandbreite in Abhängigkeit vom Elementnetz bestimmt werden. Sie beträgt für Flächenelemente mit linearem Interpolationsansatz:

h = 2A Seite 22

(35) Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

A:

IANA

Fläche des Elements

Für Flächenelemente mit einem höheren Interpolationsansatz beträgt die Rissbandbreite:

h= A A:

(36) Fläche des Elements

Für Volumenelemente beträgt die Rissbandbreite:

h=3 V V:

(37) Volumen des Elements

Die Bruchenergie Gf bestimmt nun die Fläche unter dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Prozesszonenentfestigung (vgl. Bild 17).

Bild 17: Zusammenhänge zwischen dem σ-ε- und σ-∆L-Diagramm beim Rissbandmodell. Bei Modellen mit verschmierten Rissen kann auf eine Neudefinition des Netzes nach jedem Iterationsschritt verzichtet werden, da die Risse über den Einzugsbereich eines Gaußpunktes verschmiert werden. Verschmierte Rissmodellen können in drei Arten unterteilt werden: 1.

Rissmodelle basierend auf einem elastisch-plastischen Ansatz – multi directional fixed smeared crack concept (orthogonal und nicht-orthogonal)

2.

Rissmodelle basierend auf einem Ansatz der totalen Dehnungen – total strain concepts (fixed und rotating)

3.

Schädigungsmodelle basierend auf dem Energieerhaltungssatz

Das Multi-direktionale fixierte verschmierte Risskonzept

Das Modell der festen orthogonalen Risse als eine Sonderform des multi-direktionalen verschmierten Risskonzeptes impliziert ein Drehen der Hauptspannungsachsen nach dem Auftreten Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 23

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

des ersten Risses, so dass nach fortgesetzter Belastung weitere Risse am selben Punkt, aber in unterschiedlichen Richtungen, auftreten können, was besonders für zwei- oder dreiaxiale Zugspannungszustände günstig ist, bei denen zwei oder drei orthogonale Risse zu erwarten sind. (axis-symmetric und plain-strain Analyse). Es wurde weitestgehend durch das Modell der festen nicht-orthogonalen Risse ersetzt, das auch geeignet ist, den gemischten Rissmodus, der mit Zugrissen (Versagensmodus I) beginnt und sich zu Schubrissen entwickelt (Versagensmodus II und III) abzubilden (siehe Bild 12). In DIANA ist das Modell der festen nicht-orthogonalen Risse mit Dehnungszerlegung (straindecomposition) implementiert. Hierbei wird die Gesamtdehnung in einen elastischen Anteil εe und einen plastischen Anteil εcr zerlegt: ε = εe + εcr

(38)

Wird der plastische Anteil εcr jetzt weiter in Unterdehnungen zerlegt, so eröffnet sich damit die Möglichkeit, mehrere, gleichzeitig auftretende Risse abzubilden. Die folgenden Überlegungen werden beispielhaft an einem zweidimensionalen System angestellt. Für das dreidimensionale System gilt entsprechendes. Die Grundlage des Modells der festen nicht-orthogonalen Risse ist ein lokales n-t-Koordinatensystem für jeden Riss i, in dem die Spannungen si und plastischen Dehnungen ecri dargestellt werden (siehe Bild 18). Der Rissvektor ecri und der Spannungsvektor im Riss scri sind wie folgt definiert: eicr

cr ⎤ ⎡ε nn ,i = ⎢ cr ⎥ ⎢⎣ γ nt,i ⎥⎦

(39)

cr ⎤ ⎡σ nn ,i s icr = ⎢ cr ⎥ ⎢⎣τ nt,i ⎥⎦

(40)

Dabei ist εcrnn,i die Modus I-Rissöffnung mit der zugehörigen Spannung σcrnn,i (siehe Bild 12). Die Modus II-Rissöffnung ist γcrnt,i mit der zugehörigen Schubspannung τcrnt,i. Die Beziehung zwischen lokalen und globalen Werten wird mithilfe einer Transformationsmatrix N hergestellt, die im betrachteten Fall der ebenen Dehnungen nach Gleichung (41) angegeben werden kann: ⎡ l2x ⎢ Ni = ⎢ m2x ⎢2 ⋅ l ⋅ m x ⎣ x

⎤ ⎥ ⎥ lx ⋅ m y + l y ⋅ m x ⎥⎦ lx ⋅ ly mx ⋅ my

(41)

⎡l ⎤ n i = ⎢ x ⎥ : zur Rissebene normalisierte Vektor ⎣m x ⎦

Seite 24

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

⎡l y ⎤ t i = ⎢ ⎥ : Vektor in Rissebene ⎣⎢m y ⎦⎥ So können die Dehnungen beispielsweise folgendermaßen aus dem lokalen Risskoordinatensystem in das globale Koordinatensystem überführt werden:

εicr = Ni ⋅ eicr

Bild 18:

(42)

Das Modell der festen nicht-orthogonalen Risse mit dem Winkel α zwischen den einzelnen Rissen und dem lokalen n-t-Koordinatensystem für jeden Riss i.

Für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen kann für den elastischen Teil folgendes angenommen werden:

(

)

(

σ = D ⋅ ε e = D ⋅ ε − ε cr = D ⋅ ε − N ⋅ e cr

)

(43)

Hierbei ist N · ecr die resultierende globale Dehnung aus den einzelnen Dehnungen in den lokalen Koordinatensystemen der einzelnen Risse i. Für die lokale Spannungs-Dehnungs-Beziehung im Riss i gilt unter Vernachlässigung der Abhängigkeiten zwischen den Normalspannungen σcrnn und der Schubspannungen τcrnt folgende Gleichung, bei der der Index i wegen der besseren Verständlichkeit nicht mitgeführt wird: cr ⎤ ⎡DI ⎡σ nn ⎢ cr ⎥ = ⎢ sec ant ⎢⎣τ nt ⎥⎦ ⎣ 0

cr ⎤ ⎤ ⎡ε nn ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ II cr D sec ant ⎦ ⎢⎣ γ nt ⎥⎦

0

(44)

Mit DIsecant und DIIsecant nach Bild 19. Diese Gleichung kann auch geschrieben werden als: cr s cr = Dcr sec ant ⋅ e

Technische Universität Berlin

(45)

Fachgebiet Massivbau

Seite 25

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 19:

IANA

Sekanten Risssteifigkeit.

Nach einigen mathematischen Umformungen kann aus den Gleichungen (43), (44) und (45) die allgemeine Spannungs-Dehnungs-Beziehung für den gerissenen Beton hergeleitet werden:

[

]

−1 σ = ⎡D − D ⋅ N ⋅ D cr + N T ⋅ D ⋅ N ⋅ N T ⋅ D⎤ ⋅ ε sec ant ⎢⎣ ⎥⎦

(46)

Die Moduln DIsecant und DIIsecant können auch über die traditionellen Abminderungsfaktoren µ und β ausgedrückt werden. Da Beton über die Kornverzahnung (aggregate interlocking) auch im gerissenen Zustand noch Schubkräfte übertragen kann, wurde der Shear-retention-faktor β eingeführt. Er liegt in Abhängig von der mittleren Dehnung senkrecht zum Riss zwischen 0,5 und 0. Die Steifigkeitsabminderung durch das Reißen des Betons, das so genannte tension softening, wird über den Faktor µ berücksichtigt. Damit ergeben sich folgende Abhängigkeiten:

Seite 26

DIsec ant =

µ ⋅E 1− µ

(47)

DIIsec ant =

β ⋅G 1− β

(48)

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Anschaulich lässt sich der Zusammenhang auch Bild 20 entnehmen:

Bild 20:

Zusammenhang zwischen den traditionellen Abminderungsfaktoren und den Sekantenmoduln.

Der Zusammenhang zwischen globalen Spannungen und globalen Dehnungen lässt sich mit den traditionellen Abminderungsfaktoren β und µ wie folgt angeben: ⎡ µ ⋅E ⎢ ⎡σ xx ⎤ ⎢1 − µ ⋅ ν 2 ⎢ ⎥ ⎢ µ ⋅ ν ⋅E ⎢σ yy ⎥ = ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢1 − µ ⋅ ν τ ⎣ xy ⎦ ⎢ 0 ⎢⎣

µ ⋅ ν ⋅E 2

1− µ ⋅ ν µ ⋅E 1− µ ⋅ ν2 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ε xx ⎤ ⎥ ⋅ ⎢ε ⎥ 0 ⎥ ⎢ yy ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ β ⋅ E ⎥ ⎣ γ xy ⎦ 2 ⋅ (1 + ν ) ⎥⎦ 0

(49)

Das tension softening gibt die Entfestigung des Betons nach Überschreiten der Zugfestigkeit an. In DIANA besteht die Möglichkeit, zwischen mehreren Funktionen auszuwählen, welche die Entfestigung beschreiben (siehe Bild 21).

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 27

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 21:

IANA

Möglichkeiten der Beschreibung des Tension-softening-Effektes in DIANA.

Beim Sprödbruch (brittle cracking) verliert das Material sofort bei Erreichen der Zugfestigkeit ft seine gesamte Steifigkeit (DIsecant = 0), was dem natürlichen Betonverhalten nicht entspricht. Die anderen Modelle bilden die Entfestigung durch lineare, multi-lineare oder nicht-lineare Funktionen ab, wobei die Fläche unter der Kurve der auf die Elementlänge h bezogenen Rissenergie GF entspricht (siehe Gleichung (53)). Für die Beschreibung des Entfestigungsverhaltens müssen die Zugfestigkeit ft und die Bruchdehnung εcru beziehungsweise die Rissenergie GF bekannt sein. Bei großen Elementen sind die Ergebnisse nicht mehr unabhängig von der Netzgeometrie. Da die Risse über das gesamte Element verschmiert werden, kann ein so genanntes „snap-back“ Phänomen auftreten, bei dem die Rissenergie keine Konstante mehr ist. Um das zu vermeiden, muss für den Entfestigungsbereich die Zugfestigkeit abgemindert werden, was durch die konstante Rissenergie allerdings zu einer höheren Duktilität des Materials führt und deshalb nur angewandt werden sollte, wenn es nicht möglich ist, kleinere Elemente zu verwenden. Die abgeminderte Zugfestigkeit berechnet sich für das Tension-Softening nach Hordijk et al. zu:

⎧ G ⋅E ⎪ 0,739 ⋅ f ft,abgemindert = min ⎨ h ⎪f ⎩t

Seite 28

Fachgebiet Massivbau

(50)

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Aus dieser Gleichung lässt sich auch eine Bedingung für die maximale Rissbandbreite ableiten, damit die Elementgröße von Beginn an so gewählt werden kann, dass keine Netzabhängigkeiten auftreten: h ≤ 0,739 ⋅

Gf ⋅ E ft2

(51)

Wird bewehrter Beton abgebildet, so wird mit dem absteigenden Ast des Spannungs-DehnungsDiagramms die versteifende Wirkung des Betons zwischen den Rissen infolge des Verbundes berücksichtigt, das so genannte tension stiffening (siehe Bild 22). Dafür wird für die Bruchdehnung des Betons die Fließgrenze des Stahls angesetzt. ε ucr = ε su =

Bild 22:

f sy

(52)

Es

Das Tension-Stiffening Konzept für bewehrten Beton.

Damit sich ein Riss überhaupt ausbilden kann müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Als erstes muss ein Trennkriterium erfüllt sein, die so genannte cut-off Bedingung, für die es in DIANA zwei Ansätze für den zweidimensionalen Spannungszustand gibt (siehe Bild 23).

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 29

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 23:

IANA

Mögliche Cut-off Kriterien.

Als zweites Versagenskriterium müssen die Hauptspannungen bereits einen Schwellwinkel αTD zu bereits bestehenden Rissen überschritten haben (siehe Bild 18). Unter diesen Umständen ist es durchaus möglich, dass die Zugspannungen teilweise bis zu dreimal größer als die Zugfestigkeit werden bis der erforderliche Winkel zwischen den Rissen erreicht ist. Die Rissentstehung selbst wird in den Gaußpunkten der Elemente gesteuert. Aufgrund der Tatsache, dass auch nach erfolgter Rissbildung noch Schubspannungen übertragen werden können, verändern sich in der Regel die Richtungen der Hauptspannungen mit der Rissbildung. Den Rissbandmodellen entsprechend, wird die Risszone in einer bestimmten Rissbandbreite lokalisiert, die nun jedoch vom Elementnetz vorgegeben ist. Dies ist der Grund dafür, dass die zur Rissbildung erforderliche Rissenergie Gf auf die Elementlänge normiert werden. Sie errechnet sich so zu: Gf =

fth ε cu 2

(53)

mit der Grenzdehnung εcu des Betons und der sogenannten charakteristischen Elementlänge h. Letztere stellt die Länge senkrecht zur erwarteten Rissebene dar, über die die Rissdehnungen verschmiert werden sollen. Das heißt, dass sie entweder der Kantenlänge der Betonelemente entspricht oder zum Beispiel bei zu erwartenden Diagonalrissen auch zur Länge der Elementdiagonalen gewählt wird. Für die Abbildung der Verformungswirkung des Risses werden zu den elastischen Dehnungen des Betons die errechneten Rissdehnungen zugeschlagen.

Rissmodelle mit totalem Dehnungsansatz Diese Modelle basieren auf dem totalen Dehnungsansatz (anders als bei dem oben vorgestellten fixierten, verschmierten, nicht-orthogonalen Rissmodell mit einem elastisch-plastischen Ansatz) und

der

modifizierten

Druckfeldtheorie

(engl.

modified

compression

field

theory)

von

Vecchio/Collins (1986) und deren dreidimensionalen Erweiterung von Selby/ Vecchio (1993). Die konstitutive Beziehung dieser Materialmodelle beruht auf der Vorgabe einer SpannungsDehnungsbeziehung jeweils für den Druck- und für den Zugbereich. In Bild 24 ist eine Thorenfeldt-

Seite 30

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Druck



und

Hordijk-Zugcharakteristik

IANA

dargestellt.

Gut

zu

erkennen

sind

auch

die

Entlastungsgeraden (Sekanten).

Bild 24: Spannungs-Dehnungsdiagramm mit Entlastungsgeraden. Dabei kann das Zugverhalten wie bei den elastisch-plastischen Modellen über Entfestigungskurven abgebildet werden. Das Schubverhalten wird beim fixierten Modell ebenfalls mit dem Schubreduktionsfaktor β (mit 0 ≤ β ≤ 1) gesteuert. Da die Richtungen der Hauptspannungen und Hauptdehnungen während des gesamten Vorganges zusammenfallen, kann für das rotierende Rissmodell generell auf die Verwendung eines Schubmoduls verzichtet werden. Starke Zugdehnungen lotrecht zur Druckspannung reduzieren die Druckfestigkeit des gerissenen Betons. Nach Vecchio/Collins (1986 und 1993) lässt sich dieses laterale Rissverhalten (engl. lateral cracking behaviour) anhand eines Reduktionsfaktors βcr rechnerisch erfassen (siehe

Bild 25).

Bild 25:

Reduktionsfaktor für Rissbildung quer zur Hauptdruckspannung.

Der Anstieg der Druckfestigkeit bei Behinderung der Querdehnung infolge Poissoneffekt (lateral confinement) in mehraxialen Spannungszuständen kann wiederum nach Selby/ Collins (1993) Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 31

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

über einen zusätzlichen externen Lastvektor und ein modifiziertes mehraxiales Druckverhalten mit erhöhter Druckfestigkeit fc berücksichtigt werden (siehe Bild 26).

Bild 26: Einfluss der Mehraxialität auf die Druckspannungs–Dehnungslinie.

Schädigungsmodelle Dem Modell der Materialschädigung liegt das Bestreben zu Grunde, den Einfluss von Materialdefekten der Mikroebene, wie zum Beispiel Mikroporen oder Mikrorissen, auf das makroskopische Verhalten mittels einer Schädigungsvariablen zu beschreiben. Der Wertebereich dieser Feldvariablen D ist durch den ungeschädigten Zustand (D = 0) und den voll geschädigten Zustand (D = 1) definiert. Zwischenwerte kennzeichnen somit einen Bereich der kontinuierlichen Schädigung. Bei einer Anwendung auf Beton ergibt sich zum Beispiel die Möglichkeit, Risse von der Mikrorissentstehung bis zur Ausbildung von Makorissen mit ein und demselben Konzept zu beschreiben. Der entfestigende Einfluss der Schädigungen auf das Materialverhalten wird dabei dergestalt berücksichtigt, dass der belastete Querschnitt durch die geschädigten Bereiche geschwächt ist und sich die Spannungen im ungeschwächten Bereich konzentrieren. Die Einführung nur einer Schädigungsvariablen führt zu einer isotropen Materialdefinition, weshalb neuere Modelle auf Schädigungstensoren beruhen, die die Schädigung getrennt für die verschiedenen Belastungsrichtungen bestimmen. Somit kann auch die unterschiedlich Schädigungswirkung von Zug- und Druckbelastungen berücksichtigt werden. Schädigungsmodelle für Beton beruhen dabei in der Regel auf elasto-plastischen Formulierungen des Zug-Druckverhaltens. Die Bildung der geschädigten Bereiche wird dabei mithilfe von Schädigungspotentialen kontinuumsmechanisch gesteuert, die Formulierungen können dabei inkrementeller oder viskoplastischer Natur sein.

Seite 32

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Es lassen sich zwei Arten von Schädigungsmodellen charakterisieren. Zum einen solche mit einer totalen Formulierung und zum anderen solche mit einer zeitabhängigen Formulierung. Beide Arten sind abhängig vom Spannungstensor σ, der skalaren inneren Variable K und der vektoriellen Variable ξ. Die totale Formulierung erhält damit folgende Form:

ε = f (σ, ξ, K )

(54)

Die zeitabhängige Formulierung lässt sich wie folgt darstellen:

ε& = f (σ, σ& , ξ, K )

(55)

Der Punkt bedeutet hierbei eine Ableitung nach der Zeit. Die Materialschädigung, die eine Verminderung der elastischen Eigenschaften des Materials ist, wird mittels einer skalaren Schädigungsvariablen D beschrieben. Wobei der Wert ψk = 1-D die „Nichtzerstörbarkeit“ eines Querschnittes beschreibt und im Wertebereich zwischen 0 und 1 liegt. Er wurde definiert als: ψk =

A − AD A

(56)

A: ungeschädigte Fläche des Querschnitts AD: geschädigte Fläche des Querschnitts Die Spannung in einem geschädigten Querschnitt erhöht sich damit um: σ=

σ 1− D

(57)

Der Wert D = 1 bezeichnet also den Zustand vollständiger Zerstörung, während D = 0 den intakten Zustand abbildet. Da mit einer Schädigungsvariablen nur ein isotropes Verhalten abgebildet werden kann, wurden Schädigungstensoren mit mehreren Schädigungsvariablen eingeführt, die auch eine Abbildung von unterschiedlichem Zug- und Druckverhalten ermöglichen, wie es beim Werkstoff Beton vorkommt. Dabei sind Schädigungstensoren vierter Stufe noch handhabbar, während höhere Stufen schnell den Rechenaufwand nicht mehr rechtfertigen.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 33

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

2.1.9. Kriechen und Schwinden Mit Kriechen wird die zeitabhängige Zunahme der Verformungen unter andauernder Belastung bezeichnet. Die Spannungsabnahme bei vorgegebener konstanter Dehnung wird als Relaxation definiert. Das Kriechverhalten von Beton wird fast ausschließlich durch den von Kapillar- und Gelporen durchsetzten Zementstein bestimmt. Die sehr viel steiferen Zuschlagskörner sind keinen Kriechund Schwinddehnungen unterworfen. Bei einer phänomenologischen Betrachtung der Vorgänge beim Kriechen lassen zwei Kriechphasen unterscheiden. Zum einen das primäre Kriechen, bei dem reversible, verzögert elastische Verformungen auftreten und zum anderen das sekundäre Kriechen, bei dem es zu irreversiblen, plastischen Verformungen kommt (Bild 27). Diese Beschreibung des Kriechens ist für eine Berechnung günstig, die physikalischen Vorgänge im Beton jedoch werden damit nur unzureichend wiedergegeben.

Bild 27:

Kriechdehnung als Summe von irreversiblen und reversiblen Anteilen.

Da ein kristallines Fließen, wie es bei Metallen auftritt, bei Beton nur unter sehr großen Spannungen entsteht, scheidet es als Erklärung aus. Besser geeignet zur Beschreibung der Vorgänge im Beton ist die „seepage“-Theorie, die von einem teilweisen Auspressen des Gelwassers des Zementsteins in die Kapillarporen ausgeht. Dabei findet also kein Feuchtigkeitsaustausch mit der Umgebung statt. I. Ali und C.E. Kessler haben zur Beschreibung die Begriffe Grundkriechen (basic creep) für das Kriechen bei Feuchtigkeitsänderung und Trocknungskriechen (drying creep) eingeführt. Dabei findet das Grundkriechen ohne Änderung des Wassergehaltes des Betons statt. Beim Trocknungskriechen wird jedoch sowohl Wasser abgegeben als auch Wasser aufgenommen. Der Verlauf des Kriechens von Beton lässt sich in drei Phasen einteilen (Bild 28). Eine primäre mit rascher Verformungszunahme, eine sekundäre mit verlangsamtem Verformungszuwachs, der sich einem Endwert nähert und eine tertiäre, die zum Kriechbruch führt. In der tertiären Phase kann vermehrte Mikrorissbildung und eine Gefügeauflockerung beobachtet werden. Die Spannung, die

Seite 34

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

auch unter einer Langzeitbelastung nicht zu einer tertiären Kriechphase führt, wird als Dauerstandfestigkeit bezeichnet. Sie liegt etwa bei 0,85 · fc,prism (fc,prism = kurzzeitige Prismenfestigkeit).

Bild 28:

Verlauf der Kriechverformungen von Beton bei unterschiedlichen Beanspruchungsgraden.

Im CEB-FEP Model Code 1990 wird die Kriechdehnung abhängig von der elastischen Dehnung über eine Kriechzahl ϕ (t,t0) beschrieben. ε cc (t, t 0 ) =

σ c (t 0 ) ⋅ ϕ(t, t 0 ) Ec

mit: Ec:

(58)

Elastizitätsmodul des Betons im Alter von 28 Tagen

Dabei berechnet sich die Kriechzahl als: ϕ (t,t0) = ϕ0 · βc (t – t0)

(59)

Hierin ist ϕ0 die Grundkriechzahl. Sie ist definiert als: ϕ0 = ϕRH · β (fcm) · β (t0)

(60)

Der Einfluss der relativen Luftfeuchte wird über ϕRH einbezogen:

1− ϕ RH = 1 +

RH RH0

⎛ h 0,46 ⋅ ⎜⎜ ⎝ h0

⎞ ⎟⎟ ⎠

(61)

3

RH:

relative Luftfeuchtigkeit in %

RH0:

100 %

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 35

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

h=

IANA

2 ⋅ Ac : wirksame Bauteildicke [mm] (notional size of member), wobei Ac der Betonu

querschnitt ist und u der der Atmosphäre ausgesetzte Bauteilumfang. h0:

100 mm

Die Betondruckfestigkeit geht über β (fcm) ein:

β(f cm ) =

5,3

(62)

f cm f cm,0

fcm:

mittlere Betondruckfestigkeit nach 28 Tagen

fcm,0:

10

N m m²

Mit β (t0) wird das Betonalter bei Belastungsbeginn berücksichtigt:

β(t 0 ) =

1 ⎛t ⎞ 0,1 + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ t1 ⎠

(63)

0,2

t0:

Betonalter bei Belastungsbeginn in Tagen

t1:

1 Tag

Für die zeitliche Entwicklung des Kriechens wird eine Hyperbelfunktion angesetzt:

⎡ (t − t 0 ) ⎤ ⎢ ⎥ t1 ⎥ β c (t − t 0 ) = ⎢ ( t − t0 )⎥ ⎢ ⎢ βH + t ⎥ 1 ⎣ ⎦

0,3

(64)

t0:

Betonalter bei Belastungsbeginn in Tagen

t1:

1 Tag

Hierin ist βH abhängig von der relativen Luftfeuchtigkeit und der wirksamen Bauteildicke:

⎧⎪ ⎛ RH β H = 150 ⋅ ⎨1 + ⎜⎜1,2 ⋅ RH0 ⎪⎩ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

18

⎫⎪ h + 250 ≤ 1500 ⎬⋅ ⎪⎭ h 0

(65)

RH, RH0, h und h0: Siehe Gleichung (61).

Seite 36

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Für die Umgebungstemperatur während der Zementaushärtung wurde zur Ermittlung der Gleichungen (58) bis (65) 20 °C angenommen. Sollte die tatsächliche Lagerungstemperatur eine andere sein, so kann das effektive Betonalter mit folgender Gleichung ermittelt werden:

t 0,T =

n

∑ ∆t

i

⋅e

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 4000 ⎜ ⎟ −⎜ −13,65 ⎟ T (∆t i ) ⎜⎜ 273 + ⎟⎟ T0 ⎝ ⎠

(66)

i=1

∆ti:

Anzahl der Tage, an denen die Temperatur T herrscht

T (∆ti):

Temperatur in °C während der Zeitperiode ∆ti

T0:

1 °C

Die verwendete Zementart wird durch eine Korrektur des effektiven Betonalters bei Belastungsbeginn berücksichtigt:

t 0 = t 0,T

⎡ ⎢ ⎢ 9 ⋅⎢ ⎢ ⎛ t 0,T ⎢ 2 + ⎜⎜ ⎝ t 1,T ⎣⎢

α

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1,2

⎤ ⎥ ⎥ + 1⎥ ≥ 0,5 ⎥ ⎥ ⎦⎥

t0,T:

effektives Betonalter nach Gleichung (66)

t1,T:

1 °C

(67)

⎧− 1 für langsam erhärtende Zemente (S) ⎪ α = ⎨0 für normal oder schnell erhärtende Zemente (N, R) ⎪+ 1 für schnell erhärtende, hochfeste Zemente (RS) ⎩

2.1.9.1. Schwinden Als Schwinden wird die lastunabhängige Verkürzung des Betons infolge seines Austrocknens bezeichnet. Es ist wie das Kriechen ein zeitabhängiger Vorgang (Bild 29). Schwindverformungen entstehen am ausgehärteten Beton und sind nicht zu verwechseln mit dem Schrumpfen des Frischbetons. Dabei bindet der Zement während der Hydratation etwa 25 cm³ je 100 g Zement chemisch, was zu einer Volumeneinbuße von etwa 6 cm³ je 100 g Zement führt. Der größte Teil der Volumenverminderung beim Schwinden entsteht durch Wasserdiffusion aus den Gel- und Kapillarporen. Nur ein geringer Anteil wird durch Hydratation oder Karbonatisierung verursacht. Die Diffusion wird durch ein Feuchtigkeitsgefälle zwischen dem Betoninneren und der Umgebung verursacht. Daher wird die Entstehung von Schwindspannungen durch eine Nachbehandlung auch verlangsamt. Sinnvolle Nachbehandlungen sind beispielsweise eine Abdeckung Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 37

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

des jungen Betons durch Folien, belassen des Betons in der Schalung oder eine Wasserlagerung. Bei einer Wasserlagerung des Betons können sich die Gel- und Kapillarporen allerdings auch mit Wasser füllen, was zum so genannten Quellen des Betons führt. Die Nachbehandlung sollte so lange andauern, bis die Zugfestigkeit des Betons ausreicht um die Schwindspannungen aufzunehmen. Da der Beton am Rand schneller trocknet als in der Mitte, entstehen Eigenspannungen, die am Rand Zugspannungen verursachen und die Rissbildung begünstigen. Dadurch kommt es zu Steifigkeitsverschiebungen im Querschnitt, die zu Schnittkraftumlagerungen führen. Der Haupteinflussfaktor für das Schwinden ist der Wasserzementwert. Ein großer Wasserzementwert erzeugt einen porenreichen Beton mit hohem Schwindmaß. Ein großer Zuschlagsgehalt vermindert jedoch das Schwinden. Ein weiterer Faktor ist die Bauteilgeometrie. Während bei dünnen Bauteilen das Endschwindmaß bereits nach ein bis zwei Jahren erreicht ist, können dicke Bauteile zum Teil über Jahrzehnte schwinden. Die Zementart hat kaum einen Einfluss. Man kann feststellen, dass feinerer Zement etwas mehr schwindet als grob gemahlener Zement.

Bild 29:

Schwinddehnungen im Laufe der Zeit.

Nach CEB-FIP Model Code 1990 werden die Schwinddehnungen εcs (t,ts) wie folgt berechnet: εcs (t,ts) = εcs0 · βs(t – ts)

(68)

Dabei ist das Grundschwindmaß εcs0 von der mittleren Betondruckfestigkeit fcm, der relativen Luftfeucht RH und von der Zementart abhängig: εcs0 = εs(fcm) · βRH

(69)

Hierbei wird der Beiwert zur Berücksichtigung der Betonfestigkeit εs(fcm) wie folgt berechnet: ⎡ ε s (f cm ) = ⎢160 + 10 ⋅ β sc ⎣⎢

Seite 38

⎛ f ⋅ ⎜⎜ 9 − cm f cm0 ⎝

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⋅ 10 −6 ⎠⎦⎥

fcm:

mittlere Betondruckfestigkeit nach 28 Tagen

fcm0:

10

(70)

N m m²

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

βsc berücksichtigt den Einfluss der Zementart:

βsc =

⎧4 für langsam erhärtende Zemente; S ⎪ ⎨5 für normal oder schnell erhärtende Zemente; N, R ⎪8 für schnell erhärtende, hochfeste Zemente; RS ⎩

βRH ist abhängig von der relativen Luftfeuchte:

βRH =

⎧ ⎡ ⎛ ⎪⎪− 1,55 ⋅ ⎢1 − ⎜ RH ⎢ ⎜⎝ RH0 ⎨ ⎣ ⎪ ⎪⎩+ 0,25

RH:

relative Luftfeuchtigkeit in %

RH0:

100 %

⎞ ⎟⎟ ⎠

3

⎤ ⎥ für 40% ≤ RH < 99% ⎥ ⎦ für RH ≥ 99%

Der Beiwert zur Beschreibung des Schwindvorganges βs erläutert das Schwinden in Anlehnung an die Diffusionstheorie zur Darstellung der Trocknung von Beton:

(t − t s ) β s (t − t s ) =

h=

t1 ⎛ h 350 ⋅ ⎜⎜ ⎝ h0

(71)

⎞ (t − t s ) ⎟⎟ + t1 ⎠ 2

2 ⋅ Ac : wirksame Bauteildicke [mm] (notional size of member), wobei Ac der Betonu

querschnitt ist und u der der Atmosphäre ausgesetzte Bauteilumfang. h0:

100 mm

t1 =

1 Tag

2.1.9.2. Nacherhärtung Neben der zeitabhängigen Verformung erfährt der Beton im Laufe der Zeit eine Festigkeitszunahme und eine Erhöhung des Elastizitätsmoduls. Die zeitabhängige Zunahme der Druckfestigkeit kann nach CEB-FIP Model Code 1990 wie folgt angenommen werden: fcm (t) = βcc (t) · fcm

(72) ⎡ ⎢ s⋅ ⎢1− ⎢ ⎣

⎤ 28 ⎥ t ⎥ t1 ⎥⎦

mit:

β cc (t ) = e

fcm (t):

mittlere Betondruckfestigkeit nach t Tagen

fcm:

mittlere Betondruckfestigkeit nach 28 Tagen

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 39

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

βcc (t):

vom Alter des Betons t abhängiger Faktor

t:

effektives Betonalter in Tagen

t1

= 1 Tag

s

⎧0,20 für schnell erhärtende hochfeste Zemente; RS ⎪ = ⎨0,25 für normal und schnell erhärtende Zemente; N, R ⎪0,38 für langsam erhärtende Zemente; SL ⎩

IANA

In gleichem Maß kann auch von einer Erhöhung der Zugfestigkeit ausgegangen werden. Jedoch werden diese Zunahmen durch Schwindspannungen teilweise wieder abgebaut. Es kann sogar zu einer scheinbaren Abnahme der Betonzugfestigkeit kommen. Bei Berücksichtigung der Schwindspannungen kann in gerissenen Bauteilen auch eine zeitabhängige Erhöhung der Zugfestigkeit angesetzt werden. Die Erhöhung des Elastizitätsmoduls lässt sich nach CEB-FIP Model Code 1990 mit folgender Formel angeben: Ec (t) = βE (t) · Ec

(73)

mit:

βE (t ) = β cc (t )

Ec (t):

Elastizitätsmodul des Betons im Alter von t Tagen

Ec:

Elastizitätsmodul des Betons im Alter von 28 Tagen

βE (t):

vom Betonalter t abhängiger Faktor

βcc (t):

Faktor nach Gleichung (72).

2.1.10. Wärmeeinwirkung Neben den Einwirkungen äußerer Kräfte sind Bauwerke vielfältigen thermischen Beanspruchungen ausgesetzt, die sich in vier Beanspruchungsarten unterteilen lassen, die der Planer schon beim Entwurf des Bauwerkes berücksichtigen sollte: •

Hydratrationswärme



klimatisch-thermische Einflüsse



Brand



Beanspruchungen aus Funktionen des Bauwerkes

Eine Vernachlässigung oder falsche Einschätzung dieser thermischen Einwirkungen während der Lebenszeit eines Bauwerkes kann zu Schäden führen, die nicht nur seine Dauerhaftigkeit sondern auch seine Standsicherheit gefährden. Seite 40

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Diese Überlegungen haben auch ihren Niederschlag in modernen Regelwerken gefunden. So unterteilt z.B. der DIN-Fachbericht 101 zur besseren Charakterisierung der Temperatureinwirkungen auf Brücken das Temperaturprofil in einem Bauteil in vier Anteile (siehe Bild 30).

Bild 30: Temperaturprofil in einem Bauteil: a) Konstanter Temperaturanteil, ∆ TN b) Linear veränderlicher Temperaturanteil in der x-z-Ebene, ∆ TMz c) Linear veränderlicher Temperaturanteil in der x-y-Ebene, ∆ TMy d) Nicht-lineare Temperaturverteilung, ∆ TE. Zur Erlangung eines solchen Temperaturprofils zu jedem beliebigen Zeitpunkt t benötigt man eine zeit- und ortsabhängige Beschreibung des Wärmestromes.

2.1.10.1.

Instationäre Wärmeströmung

In der Thermodynamik versteht man unter Wärme die Bewegungsenergie der Moleküle der Materie, die zusätzlich zu den mechanischen Energieformen jedem Körper als „innerer Energiezustand“ zugewiesen werden kann. Mit Temperatur bezeichnet man eine messbare Größe dieser Bewegungsenergie. In der technischen Wärmelehre ist der innere Energiezustand eines Körpers (auch Wärmeinhalt) proportional zu dessen Temperatur und seiner spezifischen Wärme c, die die Wärmemenge Q angibt, die aufgewendet werden muss um die Temperatur eines Körpers mit der Masse m = 1 kg um ein Kelvin zu erhöhen. Dieser Zusammenhang wird in der Gleichung (74) dargestellt: ∆Q = c · m · ∆ϑ

(74)

Bezeichnet man Q als die je Volumeneinheit ein- bzw. abgeführte Wärmemenge, dann liefert die Fouriersche Differentialgleichung (75) eine Beschreibung dieses Wärmetransportes für stationäre

Strömungen: −Q =

∂ϑ ⎞ ∂ϑ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϑ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ⎛ ⋅ ⎜λz ⋅ ⎟ ⋅ ⎜⎜ λ y ⋅ ⎟⎟ + ⋅ ⎜λx ⋅ ⎟ + ∂z ⎠ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ⎝

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

(75)

Seite 41

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Hierbei ist λ die druck- und temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit eines Körpers [W/(mK)]. Im Gegensatz zur stationären Wärmeströmung bei der nur die Wärmeleitfähigkeit eine Rolle spielt, berücksichtigt die instationäre Wärmeströmung auch die Wärmekapazität des Materials. So wird das Wärmespeichervermögen eines Baustoffes in Abhängigkeit von seiner Masse zeitabhängig berücksichtigt. Die allgemeine Beschreibung einer instationären Wärmeströmung erfolgt durch die Fouriergleichung (76): −Q =

∂ϑ ∂ϑ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϑ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϑ ⎞ ∂ ⎛ ⎟⎟ + ⋅ ⎜ λz ⋅ ⎜⎜ λ y ⋅ ⎜λx ⋅ ⎟ + ⎟ − c ⋅ρ⋅ ∂t ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂x ⎝

(76)

mit der Temperatur T, der Zeit t, der Dichte ρ, der spezifischen Wärme c und den Ortvariablen x, y, z. Da es sich bei der Fouriergleichung (76) um ein Anfangswertproblem handelt, müssen zu ihrer Lösung Anfangs- und Randbedingungen formuliert werden. Als Randbedingung muss entweder die Temperatur T oder der Wärmefluss q auf allen Punkten des Randes bekannt sein und als Anfangsbedingung muss entweder die Temperatur T oder der Wärmefluss q in jedem Punkt des betrachteten Körpers zum Zeitpunkt t = 0 gegeben sein. Wärme kann dabei auf verschiedene Arten transportiert werden: •

Wärmeleitung:

Die Wärmeenergie wird zwischen Molekülen durch direkten Kontakt trans-

portiert (Festkörper). •

Konvektion:

Die Wärmeenergie wird durch Stoffbewegungen transportiert (Flüssigkeiten

und Gase). •

Strahlung:

Der Wärmtransport erfolgt über elektromagnetische Wellen.

Randbedingungen aus Wärmeübergängen An den Grenzflächen zwischen zwei Materialien treten Wärmeübergangsprozesse auf. Sie sind abhängig von der Beschaffenheit der Grenzfläche und einer möglicherweise vorhandenen Konvektion, z.B. zwischen Gasen und Feststoffen. Eine Näherungslösung bietet Gleichung (77): Qwü(α) = α (T1-T2)

(77)

mit dem Wärmeübergangskoeffizient α [W / m2K] und den Randtemperaturen T1 und T2 der beiden angrenzenden Materialien. Bei idealem Kontakt wird α unendlich groß, was durch einen Wärmeübergangswiderstand

Seite 42

1 = 0 berücksichtigt wird. α

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Randbedingungen aus Wärmestrahlung Der Einfluss der Wärmestrahlung auf einen bestrahlten Köper ist abhängig von der Wellenlänge der Bestrahlung, der Beschaffenheit der bestrahlten Oberfläche (Form, Orientierung zur Strahlung, Rauhigkeit, Farbe, Material) sowie der Temperatur von Umgebung und Oberfläche. So setzt sich Wärmeaustausch eines Bauteiles durch Strahlungsenergie aus folgenden Bestandteilen zusammen: •

Absorption der Globalstrahlung (kurzwellige Strahlung aus direkter Sonnenstrahlung, Reflexionsstrahlung und diffuser Himmelsstrahlung): Qs = αs·I



(78)

Qs:

Wärmefluss inf. absorbierter Sonneneinstrahlung [W/m²]

αs:

Absorptionskoeffizient für Sonnenstrahlung

I:

Auf die Bauteiloberfläche auftreffende Globalstrahlung [W/m²]

Absorption der Wärmestrahlung aus der Umgebung (langwellige Strahlung aus atmosphärischer Gegenstrahlung, d. h., Emission von Wärmestrahlung ausgehend von Partikeln, Gegenständen und Bauteilen in der Umgebung nach vorhergehender teilweiser Absorption der langwelligen Globalstrahlung): Qw = αo·W

(79)

Qw:

Wärmefluss infolge Wärmestrahlung [W/m²]

αo:

Absorptionskoeffizient für Wärmestrahlung

W:

Auf

die

Bauteiloberfläche

auftreffende

langwellige

atmosphärische

Gegenstrahlung [W/m²] •

Eigenstrahlung des Bauteiles (nach dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz abgehende Strahlung von Oberflächen): ⎛T ⎞ Q t = ε 0 ⋅ C s ⋅ ⎜ wo ⎟ ⎝ 100 ⎠

4

(80)

Qt:

Wärmefluss infolge Emission [W/m²]

εo:

Emissionszahl der Bauteiloberfläche

Cs:

Strahlungszahl der Bauteiloberfläche [W/(m²K4)]

Two:

Temperatur der Bauteiloberfläche [W/(m²K4)]

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 43

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Bilanzgleichung für den Wärmefluss Der Wärmefluss am Rand einer Materialschicht lässt sich nach und wie folgt abbilden: QRand = Qwü + Qs + Qw- Qt

2.1.10.2.

(81)

Qwü:

Wärmefluss infolge eines Wärmeüberganges [W / m²]

Qs:

Wärmefluss absorbierter Sonnenstrahlung [W / m²]

Qw:

Wärmefluss infolge absorbierter atmosphärischer Gegenstrahlung [W / m²]

Qt:

Wärmefluss infolge Strahlungsemission einer Oberfläche[W / m²]

Betonverhalten bei hohen Temperaturen

Bei einer Belastung mit hohen Temperaturen führen physikalische und chemische Reaktionen im Beton zu einer Abnahme von Festigkeit und Elastizitätsmodul. Bei der Ermittlung der Materialeigenschaften unter hohen Temperaturen spielen neben der Temperatur die Versuchsart (stationär oder instationär), die Probekörpergeometrie, die Feuchte des Betons sowie die Betonzusammensetzung eine Rolle. Vor allem die Veränderung der Versuchsart führt zu einer Abweichung bei den Ergebnissen. So wurde festgestellt, dass die Festigkeit größer ist, wenn die Probe mit einer Vorlast erhitzt wird, als wenn die Erhitzung im unbelasteten Zustand erfolgt. Beton mit quarzitischem Zuschlag hat eine stärkere Festigkeitsabnahme bei hohen Temperaturen als Beton mit kalkhaltigem Zuschlag, da die größere Dehnungsdifferenz zwischen Zement und Quarzzuschlag zu einer größeren Schädigung des Gefüges führt.

Betonfestigkeit und -Verformung unter einaxialer Belastung Die Untersuchung der Festigkeits- und Verformungseigenschaften des Betons unter hoher Temperatur geschieht durch zwei Versucharten: •

Versuchsart 1: Erwärmung des Probekörpers mit oder ohne Vorlast, Ermittlung der σ-ε-Linie unter konstanter, hoher Temperatur



Versuchsart 2: Belastung des Probekörpers, Ermittlung der Verformung bei Erwärmung

Die Versuchsarten liefern hinsichtlich Festigkeit und Verformbarkeit unterschiedliche Ergebnisse. Bei Versuchsart 2 führen die Anteile von Hochtemperaturkriechen zu insgesamt größeren Verformungen. Die Angaben in DIN V ENV 1992-1-2, die hier Verwendung finden, berücksichtigen den Einfluss der Vorbelastung nicht.

Seite 44

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Die Abnahme der Festigkeit kann Bild 31 und Bild 32 entnommen werden, Bild 31 gilt für Beton mit quarzhaltigem Zuschlag, für andere Zuschläge liegen diese Werte auf der sicheren Seite.

Bild 31:

Druckfestigkeit von Beton für hohe Temperaturen nach DIN V ENV 1992-1-2, bezogen auf die Druckfestigkeit bei 20°C

Bild 32:

Zugfestigkeit von Beton für hohe Temperaturen nach DIN V ENV 1992-1-2 (Anhang A), bezogen auf die Zugfestigkeit bei 20°C

Für die Spannungs-Dehnungsbeziehungen gibt DIN V ENV 1992-1-2 eine Bestimmungsgleichung sowie empfohlene Parameter εc1 (Dehnung bei Erreichen von fc(T)) und εcu (Bruchdehnung) an (siehe Bild 33). Für eine numerische Berechnung wird dort empfohlen, nach Erreichen der Festigkeit fc(T) einen abfallenden Kurventeil zwischen εc1 und εcu, z.B. durch ein lineares Modell, zu wählen. Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 45

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 33:

IANA

Bezogene Druckspannung in Abhängigkeit von Temperatur und Dehnung, nach DIN V ENV 1992-1-2

Betonfestigkeit unter mehraxialer Belastung Die Festigkeitssteigerung, die bei biaxialer Belastung gegenüber der einaxialen Belastung auftritt, fällt bei höheren Temperaturen größer als bei Normaltemperatur. Das Maximum der erreichbaren Festigkeit verschiebt sich im Vergleich zum Druckversuch unter Normaltemperatur hin zu größeren Spannungsverhältnissen σ2/σ1. Beim Druck-Zug-Versuch sind die Festigkeitsverluste bei steigender Temperatur identisch mit denen im einaxialen Zugversuch.

2.1.10.3.

Thermische Dehnung

Bei einer Temperaturbelastung überlagern sich die Anteile aus lastabhängiger Verformung und Temperaturdehnung, die ihrerseits wiederum Anteile aus Hochtemperatur-Kriechen enthält. Zudem ist die Gesamtverformung u.a. abhängig von Zementgehalt, Betongüte und Zuschlagsart. So hat Beton mit quarzhaltigem Zuschlag einen höheren Längenausdehnungskoeffizienten als Beton mit kalkhaltigem Zuschlag oder mit Leichtzuschlägen. Zum Vergleich sind im Bild 34 die Werte für die thermische Dehnung von Beton mit unterschiedlichen Zuschlagsstoffen abgebildet.

Seite 46

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 34:

2.1.10.4.

IANA

Rechenwerte der thermischen Dehnung für Beton mit unterschiedlichen Zuschlagsarten nach DIN V ENV 1992-1-2

Wärmeübergangsbedingungen

Der Wärmeübergang vom Brandraum auf die Betonoberfläche geschieht hauptsächlich durch Konvektion und Radiation. Bei der Konvektion erwärmt die an der Bauteiloberfläche entlangströmende Luft das Bauteil. Bei der Radiation wird Wärme durch elektromagnetische Strahlung von den Brandraumwänden sowie von den Gasen auf das Bauteil übertragen. Für den Betrag der in das Bauteil eingebrachten Wärme sind u.a. Brandraumgröße und Geometrie, Art der Auskleidung und Ventilation von Bedeutung, sodass selbst gleiche Bauteile unter Normbrandbeanspruchung (d.h. Gastemperatur nach ETK) unter verschiedenen Prüfbedingungen (z.B. verschieden Brandöfen) nicht dieselbe Erwärmung erfahren. Umfangreiche Untersuchungen hierzu wurden in durchgeführt. Darin wurde außerdem festgestellt, dass bei der Messung eine klare Trennung in radiativen und konvektiven Wärmeübergang nur schwer möglich ist und dass die in den bekannten Gleichungen des Wärmeübergangs enthaltenen Koeffizienten (Wärmeübergangskoeffizient, Emissionsgrad) nicht konstant, sondern vor allem von der Temperatur und vom Brandablauf abhängig sind.

Konvektiver Wärmeübergang an der Bauteiloberfläche Der konvektive Anteil der Wärmestromdichte q& wird wie folgt berechnet:

(

q& c = α c ⋅ Tg − Tm

)

(82)

Bei einer Temperaturberechnung nach DIN EN 1991-1-2 darf der Wärmeübergangskoeffizient αc konstant angenommen werden. Der Wert sollte dann bei einer Temperaturberechnung nach nominellen Temperaturzeitkurven mit αc = 25 W/m²K und bei einer Berechnung mit Naturbrandmodellen mit αc = 35 W/m²K angesetzt werden. Durch Vergleich von gemessenen und anhand eines Modells

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 47

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

berechneten Temperaturverläufen für den Wärmeübergangskoeffizienten wird näherungsweise folgender Zusammenhang festgestellt: α c = Fakt k ⋅ 3 Tg − Tm

(83)

Dieser Ansatz stimmt mit dem in überein. Der Faktor FaktK wird jedoch in der Literatur zwischen 2,5 und 5,0 angegeben.

Bild 35:

Vergleich der Ansätze für den Wärmeübergangskoeffizient

Für den Wärmeübergang von Bauteiloberfläche zu Wasser gilt Gleichung

q& c = α c ⋅ (Tf − Tm )

(82) entsprechend: (84)

Die in der Literatur zu findenden Werte αc für Wasser schwanken erheblich, weil auch hier Art der Konvektion (freie oder erzwungene), Fließgeschwindigkeit, Bauteilgeometrie etc. den Wärmeübergang beeinflussen. In der Literatur werden folgende Werte für αc angegeben: αc =100...600 W/m²K

für Wasser bei freier Konvektion

αc =1000...2000 W/m²K

für siedendes Wasser bei freier Konvektion

αc =500...10000 W/m²K

für Wasser bei erzwungener Konvektion

Da der hohe Wärmeübergangskoeffizient dafür sorgt, dass der oberflächennahe Beton schnell abkühlt, ist nicht davon auszugehen, dass die Temperatur des Wassers über einen längeren Zeitraum 100 °C übersteigt. Durch den Löschwasserstrahl kommt es zu einer erzwungenen

Seite 48

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Konvektion, die Wasserströmung ist turbulent, somit wird sich der Wärmeübergangskoeffizient zwischen 500 und 10000 W/m²K bewegen.

Radiative Wärmeübertragung an der Bauteiloberfläche Für den Wärmeaustausch zweier Körper bzw. zwischen Brandraum und Bauteil gilt nach dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz:

(

(

)

4 4 q& r = φ ⋅ ε t ⋅ ε m ⋅ C s ⋅ ϑr4 − ϑm4 = φ ⋅ ε t ⋅ ε m ⋅ C s ⋅ (Tr + 273 ) − (Tm + 273 )

)

(85)

Der Faktor φ ist ein Formfaktor, der das Verhältnis der Bauteiloberfläche zur Brandraumfläche, die Ausrichtung der Flächen zueinander sowie eventuelle Abschattungen berücksichtigt. Gleichung (85) gilt für den Wärmeaustausch zweier Körper, das hieße hier zwischen den Oberflächen des Bauteils und der Brandraumauskleidung. Normale Raumluft hat ein Durchlassverhältnis von d ≈ 1, d.h. sie absorbiert und emittiert fast keine Wärme. Im Brandfall ist die Luft aber mit Rauchgasen und Schwebstoffen (Rußpartikel) versetzt, was zu einer Reduzierung von d und einer Erhöhung von a bzw. ε führt, sodass ein Wärmeaustausch zwischen Luft und Bauteil durch Strahlung entsteht. Für den Fall, dass keine Strahlung mehr von der Brandraumbekleidung auf das Bauteil trifft, lässt sich folgendes Strahlungsgesetz herleiten:

(

q& r = ε m ⋅ C s ⋅ ϑg4 − ϑm4

)

(86)

Dagegen sieht DIN EN 1991-1-2 die Verwendung von Gleichung (85) mit φ = 1,0 und εm = 0,8 vor. Für εt gibt einen Wert von 0,8 an. Dieser Ansatz wird hier verwendet, die Strahlungstemperatur Tr wird gleich der Gastemperatur Tg gesetzt (zulässig nach DIN EN 1991-1-2) die Wärmestromdichte ergibt sich dann zu:

((

q& r = 0,64 ⋅ Cs ⋅ Tg + 273

2.1.10.5.

) − (T 4

m

+ 273 )

4

)

(87)

Wärmeleitfähigkeit

Steinert hat die Angaben zur Wärmeleitfähigkeit für quarzitischen Beton aus verschiedenen Quellen gemittelt und gibt einen temperaturabhängigen Verlauf in Abhängigkeit der Temperatur an (Bild 36).

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 49

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 36:

2.1.10.6.

IANA

Wärmeleitfähigkeit für Beton in Abhängigkeit von der Temperatur

Spezifische Wärmekapazität

Für die spezifische Wärmekapazität von Beton werden die gemittelten Werte von Steinert mit den Werten aus DIN V ENV 1992-1-2 verglichen. Die Spitzenwerte in dem Kapazitäts-Verlauf nach DIN sind anzusetzen, wenn man den Einfluss des Feuchtegehalts des Betons auf die Wärmebilanz durch die Wärmekapazität berücksichtigt. Diese Werte gelten nur für Beton mit kalkhaltigem oder quarzitischem Zuschlag.

Bild 37:

Seite 50

Angaben zur spezifischen Wärmekapazität von Beton im Vergleich

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

2.2. Betonstahl Anders als für Beton gelten für den Bewehrungsstahl einaxiale isotrope Materialeigenschaften. Entsprechend werden in der Praxis zur Modellierung des plastischen Verhaltens von Stahl meist die einparametrigen Modelle von Tresca und von Mises verwendet. Die maßgebenden Kennwerte für Stahl unter Zugbelastung sind der Elastizitätsmodul Es, i. a. zwischen 195000 und 210000 MN/m2, die Streckgrenze fy, die Zugfestigkeit ft, die Dehnung bei Höchstlast ε0 und die Bruchdehnung δ10, zwischen 1 % für stark kaltverformte und 10 % für naturharte Betonstähle. Ein weiteres Merkmal für die Qualität von Betonstählen ist ihr Verhältnis von Zugfestigkeit und Streckgrenze als Maß für ihre Zähigkeit. Im CEB-FIP Model Code 1990, S. 2-63 werden drei Duktilitätsklassen unterschieden. Class S bezieht sich dabei auf die Anwendung in Erdbeben gefährdeten Gebieten:

⎧1,05 für normaldukt ile Stähle (Class B) ft ⎪ ≥ ⎨1,08 für hochduktile Stähle (Class A ) fy ⎪ ⎩1,15 für sehr hochduktile Stähle (Class S)

(88)

In Bild 38 sind die Spannungs-Dehnungslinien für naturverformten und kaltverformten Betonstahl, die zwei im Stahlbetonbau gebräuchlichsten Stahlsorten, dargestellt.

Bild 38:

Spannungs-Dehnungslinien des Betonstahles.

Bei beiden Stahlsorten wird die Steigung der σ-ε−Kurve im elastischen Bereich durch den Elastizitätsmodul Es bestimmt. Er gilt bis zum Erreichen der ausgeprägten Fließgrenze fy, gefolgt vom, von der Zugfestigkeit ft begrenzten, Verfestigungsbereich bei naturharten Stählen. Bei kaltverformten Stählen mit einer nahezu kontinuierlichen σ-ε−Beziehung und ohne eine ausgeprägte Fließgrenze wird das Ende des elastischen Bereiches durch die rechnerische Fließspannung f0,02 bei der irreversiblen Dehnung von 0,2 % definiert. Allen Stahlsorten gemein ist, dass bis zum Erreichen der Zugfestigkeit die Dehnungen gleichmäßig über die Länge des Stabes anwachsen. Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 51

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Mit Überschreiten der maximalen Zugfestigkeit beginnt der Stahl sich örtlich begrenzt einzuschnüren, bis er schließlich unter größter Dehnung δ10 vollständig versagt. Es wird allgemein gleiches Materialverhalten für Druck- und Zugbelastung angenommen. Erfolgt eine Entlastung mit anschließender Wiederbelastung im Verfestigungsbereich führt das zu einer Vergrößerung der Fließgrenze im Zug-, bzw. einer Verkleinerung derselben im Druckbereich, dem so genannten Bauschinger-Effekt (siehe Bild 39).

Bild 39:

Bauschinger-Effekt.

2.2.1. Elastizität Die elastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung kann einfach wiedergegeben werden durch:

σ = D ⋅ ε el

(89)

Wobei D die Materialsteifigkeitsmatrix ist.

2.2.2. Plastizität Aufgrund des isotropen Materialverhaltens von Stahl mit seinem ausgeprägten Fließbereich eignen sich die einparametrigen Modelle von Tresca (1864) oder von Mises (1913) ausgezeichnet, um die Fließgrenze dieses Werkstoffes zu definieren.

Seite 52

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Laut Tresca wird das Fließen eingeleitet, wenn die maximale Schubspannung den Wert der Konstanten k erreicht, die aus den einaxialen Zug- und Druckfestigkeiten nach der folgenden Gleichung bestimmt werden kann: ⎧1 ⎪ 2 σ11 − σ 22 ⎪ ⎪1 k = max ⎨ σ 22 − σ 33 ⎪2 ⎪1 ⎪ 2 σ 33 − σ 11 ⎩

(90)

bzw. nach der Invarianten-Schreibweise: f (J 2 , Θ ) = J 2 sin( Θ +

1 π) − k = 0 3

(91)

Im einaxialen Zugversuch gilt σ11 = fy und σ22 = σ33 = 0. Das führt zu: k=

fy

(92)

2

Im dreidimensionalen Raum entspricht die Fließbedingung von Tresca, unabhängig vom hydrostatischem Druck bzw. der Spannungsinvarianten I1, einem Prisma mit sechseckiger Grundfläche (siehe Bild 40). Bei dem etwas moderneren und in der Praxis häufig für Stahl verwendeten von Mises- Modell tritt das Fließen nach Erreichen der kritischen OktaederSchubspannung τokt auf: 2 2 J2 = ⋅k 3 3

τokt =

(93)

oder bei Darstellung durch die Spannungsinvarianten: f(J2)=J2 - k2 = 0

(94)

Hier ist die Konstante k ebenfalls durch einen einaxialen Zugversuch bestimmbar: k=

fy

(95)

3

Im dreidimensionalen Raum entspricht die von Mises-Fließbedingung, unabhängig vom hydrostatischem Druck bzw. der Spannungsinvarianten I1, einem Zylinder (siehe Bild 40).

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 53

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 40:

IANA

Fließbedingungen von Tresca und von Mises

Es wird ersichtlich, das die beiden Modelle für reine Zug- bzw. Druckbelastung die gleiche Festigkeit ergeben, die Spannungen liegen dann auf einer der Hauptachsen. Dagegen ergibt sich für reine Schubbelastung (bei einem Winkel θ = 30°) eine Abweichung von ca. 15 % mit der von Mises-Schubspannung als dem größeren Wert.

2.2.3. Wärmeeinwirkung 2.2.3.1. Mechanische Eigenschaften unter Wärmeeinwirkung DIN V ENV 1992-1-2 enthält im eigentlichen Normentext sowie im Anhang A umfangreiche Angaben zu Festigkeit und Verformungsverhalten unter Temperaturen zwischen 20 °C und 1200 °C. Hierzu werden für warmgewalzte und kaltverformte Betonstähle Tabellen, Grafiken und Bestimmungsgleichungen bereitgestellt. Zur Vereinfachung wird hier der linearelliptische Ansatz aus o.g. DIN durch einen liniearisierten Ansatz ersetzt (Bild 41).

Seite 54

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 41:

IANA

Linearer Ansatz für die Spannungs-Dehnungs-Beziehung für verschiedene Temperaturen (warmgewalzter Stahl)

2.2.3.2. Thermische Dehnung Die Werte für die thermische Dehnung für eine Bezugstemperatur von 20 °C werden DIN V ENV 1992-1-2 entnommen und sind im Bild 42 wiedergegeben.

Bild 42:

thermische Dehnung von Stahl nach DIN V ENV 1992-1-2

2.2.3.3. Wärmeleitfähigkeit Die Angaben zur Wärmeleitfähigkeit von Stahl finden sich in der Literatur. Eine Unterscheidung in Beton- und Spannstahl wird dort nicht vorgenommen.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 55

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 43:

IANA

Wärmeleitfähigkeit von Stahl

2.2.3.4. Spezifische Wärmekapazität DIN V ENV 1992-1-2 enthält keine Angaben zur spez. Wärmekapazität des Stahls mit dem Hinweis, dass bei Stahl- und Spannbetonbauteilen die thermischen Eigenschaften des Stahls unberücksichtigt bleiben können, da ihr Einfluss auf den Temperaturverlauf im Beton gering ist. Der Verlauf der Wärmekapazität über die Temperatur wird der Literatur entnommen und ist im Bild 44 dargestellt.

Bild 44:

Seite 56

spezifische Wärmekapazität von Stahl

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

2.3. Verbund von Stahl und Beton Maßgeblich für das Verständnis des Verbundwerkstoffes Stahlbeton ist nicht nur das Verhalten der Einzelkomponenten Stahl und Beton, sondern deren Zusammenwirken und gegenseitige Beeinflussung. Im Zustand I (ungerissener Beton) sind die Dehnungen des Betonstahls und des ihn ummantelnden Betons gleich groß. Der Dehnungsverlauf über die Querschnittshöhe ist linear. Es gilt das Hooke'sche Gesetz und die Traganteile der Werkstoffe Stahl und Beton ergeben sich direkt aus den unterschiedlichen Materialsteifigkeiten (E-Moduln). Im Zustand II (gerissener Beton) übernimmt der Stahl mit Erfüllung des Zugversagenskriteriums im Beton (engl. tension cut off) an eben diesen Stellen zusätzlich die Traganteile des Betons, falls keine anderweitige Entlastung des Betons erfolgt. Über die Verbundwirkung wird die Zugbelastung vom gerissenen Beton über eine relativ kurze Strecke auf den Bewehrungsstahl übertragen, der nun erst seine eigentliche Funktion erfüllt.

2.3.1. Kraftübertragung im Stahlbeton Neben der Übertragung von Zugkräften spielt auch die von Querkräften eine entscheidende Rolle bei der Tragwirkung von Beton- und Stahlbetonkonstruktionen. Da oft schon unter Gebrauchslast Risse auftreten, kann das Querkrafttragverhalten sinnvollerweise nur im Zustand II betrachtet werden. Bild 45 zeigt die Mechanismen der Querkraftübertragung im Stahlbetonbau:

Bild 45:

Querkraftübertragung im Stahlbeton

Die Querkraftübertragung im Stahlbeton erfolgt im ungerissenen unbewehrten Bereich infolge chemischer Adhäsion (a), durch Normalkräfte in kreuzender Bewehrung (b), durch die Verzahnungs-

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 57

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

wirkung der gegenüberliegenden Rissufer (engl. aggregate interlock, c) und durch die Verdübelungswirkung der kreuzenden Bewehrung (engl. dowel action, d)1. Der eigentliche Verbundmechanismus besteht dabei aus den Traganteilen: chemische Adhäsion im ungerissenen Bereich, Reibung und mechanische Verzahnung der gegenüberliegenden Rissufer durch den Zuschlag bzw. die Stahlrippen. Bei geringer Beanspruchung erfolgt die Verbundwirkung überwiegend über Adhäsion. Wird die Haftfestigkeit überschritten, werden die beiden Komponenten relativ zueinander verschoben (Schlupf).

Bild 46:

Querkraftübertragung an bewehrten Rissen a) Modell b) und Krafteck; nach Walraven

2.3.2. Relativverschiebung und Verbundspannung Beim Schlupf zwischen Stahl und Beton gewinnt der verformte Stahl seine Widerstandskraft gegen das Herausziehen aus dem Beton hauptsächlich durch seine Oberflächenbeschaffenheit (Rippen des Bewehrungsstahles) und deren Ineinandergreifen mit dem Beton. Die Verbundkräfte strahlen hierbei von der einzelnen Rippe unter einem Winkel α als Längsdruckkräfte in den Beton aus. Die-

1

Laut Walraven ist der Anteil des dowel action an der Übertragungswirkung der Kräfte an einem Riss verhältnismäßig gering (≤ 10 %), erzeugt aber einen weiteren Mechanismus der Kraftübertragung bei bewehrten Rissen, das aggregate interlock vom Typ II. Durch die Zerstörung des Zementsteines um die Bewehrungseisen infolge großer Zugkräfte erhöht sich das Volumen der gelösten Partikel im Riss und es können mehr Schubkräfte übertragen werden. Zur Bestimmung dieser Kraft entwickelte er ein Krafteck in Abhängigkeit von Rissweite w und der Relativverschiebung der Rissufer ∆. Nur bei Betonen hoher Festigkeit und niedrigem Bewehrungsgehalt kann laut Walraven aggregate interlock Typ II vernachlässigt werden.

Seite 58

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

se erzeugen wiederum durch Querzug lokale Ringzugkräfte im ummantelnden Beton (siehe Bild 47).

Bild 47:

Spannungszustand infolge Verzahnungswirkung.

Schon bei verhältnismäßig niedriger Verbundspannung bilden sich im Beton senkrecht zum Stab Sekundärrisse, die zur Stahlachse geneigt und vom Rippenende ausgehend in den umgebenden Beton verlaufen. Mit zunehmender Verbundbeanspruchung wird der umgebende Betonkörper durch die sich verlängernden und vermehrenden Risse zunehmend in seiner Steifigkeit geschwächt, so dass sich der Schlupf zwischen Stahl und Beton immer weiter vergrößern muss, um die Kräfte noch übertragen zu können. Im gleichen Maß, wie die Auszugskraft zunimmt, wachsen auch die Ringzugspannung und der Winkel zwischen den Verbundkräften und der Stabachse. Bild 48 mit dem Tragmodell von Goto, veranschaulicht die Spannungsverläufe an einem gerissenen Stahlbetonzugstab mit zwei von außen sichtbaren primären Trennrissen und vielen, unter 60° geneigten, in Richtung der Druckstreben verlaufenden Sekundärrissen an den Rippen des Bewehrungsstabes.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 59

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 48:

IANA

Spannungen in einem Stahlbetonzugstab a) Tragmodell von Goto b) Verteilung der Stahlspannung c) Verteilung der Verbundspannung d) Verteilung der Betonspannung

Es ist gut zu erkennen, wie am Primärriss die gesamte Zugkraft vom Bewehrungsstahl aufgenommen wird. Im Bereich der Sekundärrisse wird die Kraft vom Stahl wieder auf den Beton übertragen, was wiederum zu einer Abnahme der Zugspannungen im Stahl führt. Bei zunehmender Belastung kommt es schließlich zum Druckversagen (engl. crushing) des hochbeanspruchten Betonbereichs vor den Rippen und zur teilweisen Trennung des Verbundes bis hin zum Abplatzen der Betondeckung, da auch in Längsrichtung infolge der Ringzugkräfte Risse entstehen (Sprengrissversagen).

Seite 60

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 49:

IANA

Detail Sekundär- und Längsrisse.

Wird infolge erhöhter Querbewehrung das Auftreten von Längsrissen verhindert, so scheren die durch die Sekundärrisse immer weiter getrennten und geschwächten Betonzähne zwischen den Stahlrippen ab. Der Verbund versagt letztlich durch Herausziehen des Bewehrungsstabes (engl. pull-out failure). Die meisten Untersuchungen auf diesem Gebiet wurden mithilfe von Ausziehversuchen (engl. pull-out-tests) vorgenommen (siehe Bild 50).

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 61

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

a)

IANA

b)

Bild 50: Pull-out-Test a) Versuchsaufbau b) Relativverschiebung ∆ und Verbundspannung ν infolge der Zugkraft F.

2.3.2.1. Verbundgesetze Verbundgesetze werden generell als Beziehung zwischen Verbundschlupf und Verbundspannung formuliert, da allgemein davon ausgegangen wird, dass die Spannung in der Verbundfuge erst durch die Relativverschiebung aktiviert wird. Diese Annahme wird gestützt auf eine Reihe von experimentellen Ausziehversuchen (z.B. von Dörr, Rehm und RILEM-CEB-FIP) von Stäben aus Betonkörpern. Dabei zeigte sich, dass die Fähigkeit der Verbundfuge, Schubspannungen vom Beton auf den Stahl zu übertragen, wesentlich von der Betongüte, dem Stahldurchmesser, der Rippengeometrie, der Betonierlage und einem eventuell vorhandenen Querdruck abhängt. Ein vollständiges Versagen tritt dann ein, wenn ein bestimmter Grenzwert der Relativverschiebung (von ca. 3-5 mm) überschritten wird und eine vollständige Trennung der beiden Werkstoffe ohne weitere Kraftübertragung erreicht ist. Im Folgenden werden die im Rahmen dieser Arbeit untersuchten Verbundspannungs-Schlupf-Diagramme kurz vorgestellt.

Verbundgesetz von Dörr Diese Formulierung (siehe Gleichung (96)) wurde aus Versuchen an zugbeanspruchten Prüfkörpern unter gleichzeitigem äußerem Querdruck gewonnen und beinhaltet die Zugfestigkeit des Betons fct sowie die vom Querdruck abhängige Relativverschiebung dt0 (im Folgenden zu 0,06 mm angenommen).

Seite 62

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

⎧ ⎛ ⎛ ⎪f ⎜ 5⎜ dt ⎪⎪ ct ⎜ ⎜ dt o τ b = ⎨ ⎜⎝ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 1,9 fct

⎛ ⎞ ⎟ − 4,5⎜ dt ⎜ dt o ⎟ ⎝ ⎠

2

⎞ ⎛ ⎞ ⎟ + 1,4⎜ dt ⎟ o ⎜ dt ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

3

IANA

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

für 0 ≤ dt ≤ dt o (96) für dt ≥ dt o

Gleichung (96) resultiert in der in Bild 51 wiedergegebenen Verbundspannungs-Schlupf-Kurve.

Bild 51:

Verbundgesetz nach Dörr.

Wie zu sehen ist, beeinflussen die oben genannten Randbedingungen nur indirekt über die Zugfestigkeit die maximale Schubspannung und den maßgebenden Schlupfwert. Ein Abfall der übertragbaren Verbundspannungen nach dem Überschreiten einer bestimmten Grenze ist nicht vorgesehen, dafür wird der Plateauwert relativ früh erreicht. Nähere Angaben zur Ermittlung dieser Faktoren können in der Literatur gefunden werden.

Verbundgesetz des Model Code 1990 Das im MC1990 angegebene Verbundgesetz kann in vier Teile unterteilt werden und beruht weitestgehend auf den Arbeiten von Eligehausen, Popov und Bertero, die, ausgehend von einer Reihe von Versuchsergebnissen, eine eigene τ-σ-Beziehung aufstellten (siehe Bild 52).

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 63

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 52:

IANA

Verbundgesetz des MC1990

Zunächst wächst die Verbundspannung mit zunehmendem Schlupf s exponentiell bis zum Maximaltwert τmax (bei s1). Sie verbleibt zunächst auf diesem Niveau bis sie bei weiter zunehmendem Schlupf (s2) linear auf einen konstanten Gleitreibungswert τf (bei s3) abfällt. Die Werte für τmax, sowie s1, s2 und s3 sind dabei abhängig vom vorherrschenden Querdruck, den allgemeinen Verbundverhältnissen und der Zylinderdruckfestigkeit fck und sind in der nachstehenden Tabelle 2 vertafelt. Tabelle 2: Querdruck nicht vorhanden

Verbundparameter nach Tab. 3.1.1 MC1990 Verbundverhältnisse gut mäßig gut

vorhanden

s1 0,6 0,6 1,0

mäßig

s2 0,6 0,6 3,0

s3 1,0 2,5 Rippenabstand

α

τmax

2,0 ⋅ fck 0,4

1,0 ⋅ fck 2,5 ⋅ fck 1,25 ⋅ fck

τf 0,15 ⋅ τmax

0,40 ⋅ τmax

Verbundgesetz nach Brüggeling Das von Brüggeling im Heron dargestellte Verbundgesetz (Gleichung (97)) beruht auf Pull-OutTests, wie sie zuerst von Rehm entwickelt und später von RILEM im RC 8 standardisiert festgeschrieben wurden: τcs,x = C ⋅ δxN

(97)

wobei N ein Formfaktor ist, der den Verlauf des Verbundspannungs-Schlupf-Diagramms (τ-δ-Kurve) festlegt und C direkt mit der Verbundfestigkeit verknüpft ist. Als Parameter ist die Art und Lage der Bewehrung (Verbundbereich) sowie die mittlere Druckfestigkeit des Betons (hier fccm = fcc + 4 N/mm²) in Tabelle 2 dargestellt. Seite 64

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO Tabelle 3:

IANA

Verbundparameter nach [Brüggeling]

Typ und Lage der Bewehrung

Verbundbereich

C / fccm

N

VB II

0,38

0,18

VB I

0,32

0,28

Drähte

0,17

0,32

Litzen

0,12

0,27

Schlaffstahl

Spannstahl

In Bild 53 ist Tabelle 2 noch einmal qualitativ, grafisch dargestellt. Wobei anzumerken ist, dass die hier getroffenen Annahmen nur für Bewehrung mit ausreichender Betondeckung gelten (nach Brüggeling mindestens 2-3 dS).

Bild 53:

Verbundkurven

Vergleich der Verbundgesetze In Bild 54 sind die verwendeten Verbundgesetze noch einmal in einer Graphik zusammengefasst (für ft = 2,52 N/mm²). Man kann erkennen, dass die Verbundkurve nach Dörr im Bereich von einem Schlupf von 0,15 - 0,85 mm eine niedrigere Verbundspannung ergibt als die übrigen Kurven, dafür aber bei großen Relativverschiebung (> 0,85 mm) eine größere Verbundfestigkeit beibehält.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 65

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

12,00

Verbundspannung [N/mm²]

10,00 8,00 Dörr 6,00

MC1990 Brüggeling

4,00 2,00 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 Schlupf [mm]

Bild 54:

Seite 66

Gegenüberstellung verschiedener Verbundgesetze

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

3.

IANA

Elementbibliothek

Dieses Kapitel soll eine kleine Übersicht über die für den Stahlbetonbau wichtigsten Elemente und ihre Interpolationsansätze geben. Da das Programmsystem DIANA nicht alle Materialmodelle in Kombination mit jedem Elementtyp verwenden kann, sind in Tabelle 4 die einzelnen Kombinationsmöglichkeiten aufgeführt.

Bewehrungselemente

a c c

a -

a c c

a e e

a -

a a a

a c c

a -

Plastizität Orthotrope Plastizität Viskose Plastizität

e a

bf b

c c c

-

c c c

e e e

g -

a a a

c c c

a a

Reißen Viskose Elastizität Kriechen Schwinden

a a a a

b b b b

c c c c

-

c c c c

e e e e

-

a a a a

c c c c

-

Boden Besonderheiten Reißen mit totalem Dehnungsansatz

? ?

-

? ?

-

? ?

? ?

-

? ?

? ?

-

Hyperelastizität Benutzerdefinierte Unterfunktionen

a

b

c

-

d c

d e

-

a

d c

-

Gekrümmte Schalenelemente

Volumenelemente

Ebene Schalenelemente

a b b

Achsensymmetrische Elemente

a a a

Scheibendehnungselemente

Lineare Elastizität Nichtlineare Elastizität Modifizierte Elastizität

Scheibenspannungselemente

Balkenelemente

Plattenbiegungselemente

Verfügbarkeit von Materialmodellen für die unterschiedlichen Elementtypen in DIANA 8.

Stabelemente

Tabelle 4:

(a) Alle Elemente. (b) Nicht für Class-I Balkenelemente. (c) Nur für reguläre Elemente. (d) Nur für Gummielemente. (e) Nicht für Gummielemente. (f) Nur Tresca, Von Mises, Mohr-Coulomb und Drucker-Prager. (g) Nur für Spline-Elemente. (-) Nicht verwendbar. (?) Nicht untersucht.

3.1. Elemente Die Elementeingabe in DIANA erfolgt über den Befehl MESHING TYPES. Anschließend kann die Elementauswahl nach dem Typ erfolgen, z.B. 3SIDES für die dreiseitigen Flächenelemente, oder wenn die Bezeichnung bekannt ist listet der Befehl ALL alle Elemente alphabetisch auf. DIANA unterscheidet zwischen Strukturelementen für feste Werkstoffe, Flusselementen zur Grundwasserund Wärmestromberechnung, sowie Interfaceelementen zur Verbindung unterschiedlicher Grenzbereiche.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 67

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

3.1.1. Stabelemente Stabelemente zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Querschnittsabmessungen klein im Vergleich zu ihrer Länge sind. Sie können nur eine axiale Verschiebung ∆l aufnehmen und haben somit nur eine Normalkraft als Schnittgröße.

3.1.1.1. 2-Knoten-Stabelement L2TRU

Bild 55:

Das 2-Knoten Stabelement L2TRU.

Das L2TRU-Element ist ein 2-Knoten-Element mit einem Integrationspunkt. Das Interpolationspolynom für die Verschiebung ux ist folgendermaßen definiert:

u x (ξ) = a0 + a1 ⋅ ξ

(98)

Die Dehnung εxx ist konstant entlang der Stabachse. Die Masseverteilung im Element ist nur für die x-Achse komplett, nicht aber für xyz-Koordinaten. Deshalb darf das Element nicht für dynamische Analysen verwendet werden. Dafür sind die erweiterten Stabelemente geeignet.

3.1.1.2. Gekrümmtes 3-Knoten-Stabelement CL9BE

Bild 56:

Gekrümmtes 3-Knoten Stabelement CL9BE.

Das CL9BE-Element ist ein zweidimensionales, 3-Knoten Class-III Stabelement. Die Variablen sind die Verschiebungen ux und uy und die Verdrehung ϕz.

Seite 68

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Die Interpolationspolynome für die Verformungen können folgendermaßen angegeben werden: u x (ξ ) = a 0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ ξ 2 u y (ξ ) = b 0 + b1 ⋅ ξ + b 2 ⋅ ξ 2 ϕ z (ξ ) = c 0 + c 1 ⋅ ξ + c 2 ⋅ ξ

(99)

2

Die Dehnungen ändern sich linear entlang der Stabachse. Standardmäßig verwendet DIANA eine 2-Punkt Gaußintegration entlang der Stabachse. Senkrecht zur Stabachse wird standardmäßig eine 3-Punkt Simpsonintegration verwendet. Es sind maximal sieben Integrationspunkte senkrecht zur Stabachse möglich. Für die Gaußintegration können 2, 3, 4, 5, 6 oder 7 Punkte verwendet werden für die Simpsonintegration nur 3, 5 oder 7 Punkte. Hinweis:

Eine Gaußintegration entlang der Stabachse mit mehr als zwei Integrationspunkten führt zu falschen Ergebnissen, sofern die Verformung keine reine Biegung ist.

3.1.2. Balkenelemente Balkenelemente müssen die Bedingung erfüllen, dass ihre Dicke d senkrecht zu Stabachse und klein im Vergleich zu ihrer Länge ist. Balkenelemente können eine Verformung ∆l in Stabachse, eine Schubverformung γ, eine Krümmung κ und Torsion haben. Es können also Normalkräfte, Querkräfte und Momente durch ein Element aufgenommen werden. DIANA bietet drei Arten Balkenelemente an: •

CLASS - I: klassische Balkenelemente, die direkt über den Querschnitt integriert werden. Diese Elemente können für lineare und geometrisch nicht-lineare Untersuchungen verwendet werden.



CLASS – II: Klassische Balkenelemente, die komplett numerisch integriert werden. Diese sind für physikalisch nichtlineare Analysen notwendig (Risse im Stahlbeton).



CLASS – III: Mindlin2 Balkenelemente, die ebenfalls komplett numerisch integriert werden. Auch sie lassen sich für alle Untersuchungen verwenden.

2

Mindlin Balkenelemente: Eine genaue Definition dieser Balkenelemente findet sich in der Elementbibliothek der DIANA Hilfe.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 69

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

3.1.2.1. 3-Knoten-Element CL18B

Bild 57:

Das Gekrümmte 3-Knoten Balkenelement CL18B.

Bei dem CL18B-Element handelt es sich um ein im dreidimensionalen Raum liegendes gekrümmtes Class III-Balkenelement. Die Interpolationspolynome für die Verformungen können folgendermaßen angegeben werden:

ui (ξ ) = ai0 + ai1 ⋅ ξ + ai2 ⋅ ξ 2

i = x, y, z

(100)

Φ i (ξ ) = bi0 + bi1 ⋅ ξ + bi2 ⋅ ξ 2

i = x, y, z

(101)

Dementsprechend variieren die Dehnungen linear entlang der Stabachse. Als Grundeinstellung verwendet DIANA eine 2-Punkt-Gaußintegration. Gaußintegrationen mit mehr als zwei Punkten auf der Stabachse führen zu falschen Ergebnissen, wenn die Verformung keine reine Biegung ist.

3.1.3. Ebene Scheibenspannungselemente Ebene Scheibenspannungselemente müssen eben sein, d.h. dass alle Knoten des Elementes in einer Ebene liegen müssen. Zudem müssen sie dünn sein, also die Dicke d muss klein sein im Vergleich zu Länge l und Breite b. Ebene Scheibenspannungselemente werden auch als Membranelemente bezeichnet. Sie können nur Kräfte in ihrer Ebene aufnehmen.

3.1.3.1. 3-Knoten-Element T6MEM

Bild 58:

Seite 70

Das dreieckige 3-Knoten-Element T6MEM.

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Das T6MEM-Element ist ein dreieckiges, isoparametrisches ebenes Scheibenspannungselement. Es basiert auf einem linearen Interpolationsansatz und Flächenintegration. Das Polynom für die Verschiebungen ux und uy kann folgendermaßen geschrieben werden:

ui (ξ, η) = a0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η

i = x, y

(102)

Typischerweise führt dieses Polynom zu konstanten Dehnungen über die Elementfläche. Als Voreinstellung verwendet DIANA eine Ein-Punkt-Integration. Drei- und Vier-Punkt-Integrationen sind ebenfalls möglich. Integrationsschemata mit mehr als vier Punkten sind ungeeignet.

3.1.3.2. 8-Knoten Element CQ16M

Bild 59:

Das viereckige 8-Knoten-Element CQ16M.

Das CQ16M-Element ist ein viereckiges Scheibenelement. Es basiert auf einem quadratischen Interpolationsansatz und Gaußintegration. Das Polynom für die Verschiebungen ux und uy kann folgendermaßen geschrieben werden:

ui (ξ, η) = a0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a 3 ⋅ ξ ⋅ η + a 4 ⋅ ξ 2 + a 5 ⋅ η2 + a 6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + a 7 ⋅ ξ ⋅ η2

(103)

Typischerweise führt dieses Polynom zu einer Dehnung εxx, die linear in x-Richtung und quadratisch in y-Richtung variiert. Die Dehnung εyy variiert linear in y-Richtung und quadratisch in x-Richtung. Die Schubdehnungen γxy variieren quadratisch in beiden Richtungen. Standardmäßig verwendet DIANA ein 2x2-Integrationsschema. Ein 3x3 Integrationsschema wäre allerdings ebenfalls möglich. Integrationsschemata höher als 3x3 sind nicht empfehlenswert.

3.1.4. Ebene Scheibendehnungselemente Ebene Scheibendehnungselemente unterscheiden sich zu ebenen Scheibenspannungselementen (Kapitel 3.1.3) dadurch, dass ihre Dicke d = 1 ist und Dehnungen senkrecht zur Elementebene null sind. Sie eignen sich für die Untersuchung von Querschnitten unendlich langer Strukturen, wie Dämme oder Spundwände.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 71

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

3.1.4.1. 8-Knoten Element CQ16E

Bild 60:

Das vierseitige 8-Knoten ebene Scheibendehnungselement CQ16E.

Das CQ16E Element ist ein vierseitiges, isoparametrisches 4-Knoten Scheibendehnungselement. Es verwendet eine quadratische Interpolation und Gaußintegration. Die Polynome für die Verschiebung uz und die Verdrehungen ϕx und ϕy lauten:

ui (ξ, η) = a0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a3 ⋅ ξ ⋅ η + a 4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅ η2 + a6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + a7 ⋅ ξ ⋅ η2

i = x, y (104)

Dieses Polynom führt zu einer Dehnung εxx, die linear in x-Richtung und quadratisch in y-Richtung variiert. Dementsprechend verhält sich die Dehnung εyy linear in y-Richtung und quadratisch in x-Richtung. Die Schubdehnung γxy variiert quadratisch in beiden Richtungen. Das Standardintegrationsschema von DIANA ist eine 2x2-Integration, die zu optimalen Spannungsergebnissen führt. Möglich ist auch eine 1x1- oder 3x3-Integration. Integrationsschemata höher als 3x3 werden nicht empfohlen.

3.1.5. Plattenelemente Plattenelemente müssen eben sein, d.h. alle Knoten des Elementes müssen in einer Ebene liegen. Ihre Dicke d muss klein sein im Vergleich zur Breite b und Länge l. Sie können nur Kräfte senkrecht zu ihrer Ebene aufnehmen, tragen also nur Momente und Querkräfte ab. Die Momente müssen um eine Achse drehen, die in der Ebene des Elements liegt. Die Spannungen senkrecht zur Elementebene sind null, es herrsch also ein ebener Spannungszustand. DIANA bietet zwei Arten von Plattenelementen an: Discrete-Kirchhoff-Elemete und Mindlin-Reissner-Elemente.

Seite 72

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

3.1.5.1. 4-Knoten Element Q12PL

Bild 61:

Das vierseitige 4-Knoten Plattenelement Q12PL.

Das Q12PL Element ist ein vierseitiges, isoparametrisches 4-Knoten Plattenelement in Anlehnung an die Theorie von Mindlin-Reissner. Es verwendet eine lineare Interpolation. Die Polynome für die Verschiebung uz und die Verdrehungen ϕx und ϕy lauten: u z (ξ, η) = a 0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a 3 ⋅ ξ ⋅ η ϕi (ξ, η) = b 0 + b1 ⋅ ξ + b 2 ⋅ η + b 3 ⋅ ξ ⋅ η

i = x, y

(105)

Diese Polynome führen zu einer Krümmung κxx, einem Moment mxx und einer Querkraft qxz, die in x-Richtung konstant sind und sich über die y-Richtung linear ändern. Die Krümmung κyy, das Moment myy und die Querkraft qyz sind in y-Richtung konstant und variieren linear in x-Richtung. Das einzig mögliche Integrationsschema ist eine 2x2-Integration.

3.1.6. Achsensymmetrische Elemente Alle Knoten eines achsensymmetrischen Elementes müssen in einer Ebene liegen. DIANA rotiert die Elementfläche um eine Mittelachse, so dass ein Ring entsteht. Achsensymmetrische Elemente eignen sich besonders für die Untersuchung von Behältern.

3.1.6.1. 4-Knoten Element Q8AXI

Bild 62:

Das achsensymmetrische 4-Knoten Element Q8AXI.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 73

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Das Q8AXI Element ist ein isoparametrisches Ringvolumenelement mit vier Knoten und einem vierseitigen Querschnitt. Es basiert auf einer linearen Interpolation und Gaußintegration. Das Polynom für die Verschiebungen ux und uy lautet:

ui (ξ, η) = a0 + a1 ⋅ ξ + a2 ⋅ η + a3 ⋅ ξ ⋅ η

i = x, y

(106)

Dieses Polynom erzeugt eine Dehnung εxx die konstant in x-Richtung und linear in y-Richtung ist. Dementsprechend variiert die Dehnung εyy linear in x-Richtung und ist konstant in y-Richtung. Die Schubdehnung γxy ist konstant über den Querschnitt. DIANA verwendet standardmäßig eine 2x2-Integration, mögliche wäre auch eine 1x1-Integration. Integrationsschemata höher als 2x2 werden nicht empfohlen.

3.1.7. Ebene Schalenelemente Ebene Schalenelemente bilden eine Kombination aus eben Scheibenspannungselementen und Plattenelementen (Kapitel 3.1.3 und Kapitel 3.1.5). Sie ermöglichen eine Belastung sowohl in, als senkrecht zur Elementebene. Es können also Momente, Querkräfte und Normalkräfte abgetragen werden. Momente müssen um eine Achse in der Elementebene drehen. Alle Knoten des Elementes müssen in einer Ebene liegen.

3.1.7.1. 8-Knoten Element CQ40F

Bild 63:

Das 8-Knoten ebene Schalenelement CQ40F.

Das CQ40F Element ist ein vierseitiges 8-Knoten ebenes Schalenelement. Die Plattenbiegung wird nach der Mindlin-Reissner-Theorie berechnet und ist konform zu einem Standardplattenbiegungselement. Das Membranverhalten entspricht dem des CQ16M Elementes (Kapitel 3.1.3.2). Die Geometrie und die Verschiebungen werden durch biquadratische Funktionen interpoliert. Die Integration senkrecht zur Elementebene geschieht direkt als Summe über die Fläche.

Seite 74

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Die Polynome für die Translation u und die Rotation ϕ lassen sich folgendermaßen schreiben:

ui (ξ, η) = a0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a3 ⋅ ξ ⋅ η + a 4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅ η2 + a 6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + a7 ⋅ ξ ⋅ η2 ϕi (ξ, η) = b0 + b1 ⋅ ξ + b 2 ⋅ η + b3 ⋅ ξ ⋅ η + b 4 ⋅ ξ 2 + b5 ⋅ η2 + b 6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + b7 ⋅ ξ ⋅ η2

i = x, y

(107)

Diese Polynome führen dazu, dass die Dehnung εxx, die Krümmung κxx, die Membrankraft nxx und die Querkraft qxz linear in x-Richtung und quadratisch in y-Richtung variieren. Die Größen εyy, κyy, nyy und qyz variieren linear in y-Richtung und quadratisch in x-Richtung. Das einzig mögliche Integrationsschema ist eine 2x2-Integration.

3.1.8. Gekrümmte Schalenelemente Bei gekrümmten Schalenelementen müssen die Knoten nicht notwendigerweise in einer Ebene liegen. Es können Normal-, Querkräfte und Momente aufgenommen werden.

3.1.8.1. 12-Knotenelement CQ60S

Bild 64:

Das viereckige 12-Knoten-Element CQ60S.

Das Element CQ60S basiert auf einer Interpolation dritter Ordnung und einer Gaußintegration über die ξ-η-Fläche. Die Integration in Dickenrichtung ζ kann mit Gauß- oder Simpsonintegration erfolgen. Das Polynom für die Verschiebung u kann wie folgt geschrieben werden: ui (ξ, η) = a 0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a 3 ⋅ ξ ⋅ η + a 4 ⋅ ξ 2 + a 5 ⋅ η2 + a 6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + a 7 ⋅ ξ ⋅ η2 + a 8 ⋅ ξ 3 + a 9 ⋅ η3 + a10 ⋅ ξ 3 ⋅ η + a11 ⋅ ξ ⋅ η3

(108)

Die Rotation φ wird folgenderweise ausgedrückt: Φ i (ξ, η) = b 0 + b1 ⋅ ξ + b 2 ⋅ η + b 3 ⋅ ξ ⋅ η + b 4 ⋅ ξ 2 + b 5 ⋅ η2 + b 6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + b 7 ⋅ ξ ⋅ η2 + b 8 ⋅ ξ 3 + b 9 ⋅ η3 + b10 ⋅ ξ 3 ⋅ η + b11 ⋅ ξ ⋅ η3

(109)

Für die Integration können über das gesamte Element bis zu 64 Integrationspunkte verteilt werden. In der Fläche akzeptiert DIANA maximal 5 Punkte in ξ- oder η-Richtung, in der Dickenrichtung ζ kann zwischen 2, 3, 5, 7, 9 und 11 Punkten gewählt werden. Die Gesamtzahl von 64 Integrationspunkten je Element darf aber nicht überschritten werden. Werden in ξ- und η-Richtung jeweils drei Punkte gewählt, so können in ζ-Richtung noch maximal 7 Punkte gewählt werden Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 75

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

(3 · 3 · 7 = 63 ≤ 64). Die Befehlszeile in der Datendatei von DIANA lautet für diesen Fall unter Verwendung der Gaußintegration beispielsweise folgendermaßen:

' DATA ' 1 NINTEG 3 3 7 NUMINT GAUSS GAUSS GAUSS Wobei der Wert 1 das Material angibt, für das dieses Integrationsschema gelten soll und die Werte 3, 3, 7 die Anzahl der Integrationspunkte in ξ-, η- und ζ-Richtung.

3.1.9. Volumenelemente Volumenelemente sind Allzweckelemente. Aufgrund der großen Rechenzeiten sollte ihre Anwendung auf Fälle beschränkt bleiben, bei denen speziellere Elemente versagen. Sie besitzen folgende Eigenschaften: einen dreiaxialen Spannungszustand, beliebige Möglichkeit der Belastung und die Kantenlängen des Elementes sind in allen Richtungen etwa gleich.

3.1.9.1. 20-Knotenelement CHX60

Bild 65:

Das quaderförmige 20-Knotenvolumenelemet CHX60.

Das Element CHX60 basiert auf einem quadratischen Interpolationsansatz und einer Gaußintegration über sein Volumen. Das Polynom für die Verschiebung uxyz kann folgendermaßen angegeben werden: ui (ξ, η, ζ ) = a 0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a 3 ⋅ ζ + a 4 ⋅ ξ ⋅ η + a 5 ⋅ η ⋅ ζ + a 6 ⋅ ξ ⋅ ζ + a 7 ⋅ ξ 2 + a 8 ⋅ η2

+ a 9 ⋅ ζ 2 + a10 ⋅ ξ ⋅ η ⋅ ζ + a11 ⋅ ξ 2 ⋅ η + a12 ⋅ ξ 2 ⋅ ζ + a13 ⋅ ξ ⋅ η2 + a14 ⋅ ξ ⋅ ζ 2

(110)

+ a15 ⋅ η2 ⋅ ζ + a16 ⋅ η ⋅ ζ 2 + a17 ⋅ ξ 2 η ⋅ ζ + a18 ⋅ ξ ⋅ η2 ⋅ ζ + a19 ⋅ ξ ⋅ η ⋅ ζ 2

Ein rechteckiges Quaderelement nähert sich typischer Weise folgender Spannungs-Dehnungsverteilung über das Elementvolumen. Die Dehnungen εxx und die Spannungen σxx ändern sich linear

Seite 76

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

in x-Richtung und quadratisch in y- und z-Richtung. Die Dehnungen εyy und die Spannungen σyy ändern sich linear in y-Richtung und quadratisch in x- und z-Richtung. Die Dehnungen εzz und die Spannungen σzz ändern sich linear in z-Richtung und quadratisch in y- und x-Richtung. Das Standardintegrationsschema ist eine 3x3x3-Integration. Ein weiteres mögliches Integrationsschema ist die 2x2x2-Integration, die zu optimalen Spannungspunkten führt. Integrationsschemata, die höher sind als 3x3x3 oder kleiner als 2x2x2, sind nicht zu empfehlen.

3.1.10. Bewehrungselemente Bewehrungselemente erhöhen die Steifigkeit der Elemente, denen sie zugeordnet werden. Ein Bewehrungselement, das ein Betonelement kreuzt erhöht somit dessen Steifigkeit.

3.1.10.1.

Bild 66:

Stabbewehrung in Balkenelementen

Stabbewehrung in einem Balkenelement.

Nur Class-II und Class-III Balkenelemente können Stabbewehrung aufnehmen. In Class-I Balkenelemente kann keine Bewehrung eingebettet werden.

3.1.10.2.

Bild 67:

Mattenbewehrung in gekrümmten Scheibenelementen

Mattenbewehrung in einem gekrümmten Scheibenelement.

Die Bewehrung wird immer einem kompletten Element zugeordnet. Damit die Bewehrung einem Element zugeordnet wird, muss die Bewehrung das gesamte Element einschließen. Um sicherzugehen, dass dem betreffenden Element die Bewehrung auch zugeordnet wird, empfiehlt es sich, die Grenzen für die Bewehrung immer etwas über die Elementgrenzen hinauszuziehen.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 77

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

3.1.11. Interfaceelemente für statische Untersuchungen Es gibt drei Arten von Interfaceelementen, die in DIANA verfügbar sind. Zum einen die „Structural Interfaces“, die die Verbindung zwischen zwei Festkörpern herstellen, dann die „Contact Elements“ für Kontaktuntersuchungen und die „Fluid-Structure Interfaces“ die die Kontaktstelle zwischen einer festen Struktur und einer Flüssigkeit herstellen.

3.1.11.1.

Bild 68:

Linieninterfaceelement L8IF

Das 2D 2+2-Knoten Linieninterfaceelement L8IF.

Das L8IF Element ist ein Interfaceelement zwischen zwei Linien in einem zweidimensionalen Modell. Die lokalen x- und y-Achsen für die Verschiebungen haben ihren Ursprung im Knoten 1 mit der x-Achse vom Knoten 1 zum Knoten 2. Die Variablen sind in der x- und der y-Achse orientiert. Das Element basiert auf einer linearen Interpolation. Als Standard verwendet DIANA ein 3-Punkte Newton-Cotes Integrationsschema. Mögliche Optionen sind 2- und 4-Punkt Newton-Cotes, 2- und 3-Punkt Gauss, 2-, 3- und 4-Punkt Lobatto und ein Schema, das Knoten zusammenlegt. Das Element richtet sich zu einer Baselinie senkrecht aus. Die Baselinie einer Oberfläche (Surface) ist immer die zuerst erzeugte Seite. Soll eine andere Linie die Baselinie sein, so muss diese mit dem Befehl MESHING/ TYPES/ Si/ ILxx/ BASE/ Lj festgelegt werden.

3.1.11.2.

Besonderheiten bei der Definition von Interface-Elementen mit FEMGEN

Neben anderen im Repertoire von DIANA befindlichen Interface-Typen, wie z. B. Kontaktelementen, sind im Stahlbetonbau insbesondere die im Programmsystem als strukturelle InterfaceElemente bezeichneten Elementtypen von Interesse. Deshalb beziehen sich die hier getroffenen Angaben in erster Linie auf Elemente dieses Typs. Strukturelle Interface sind dabei derart konfiguriert, dass sich mit ihrer Hilfe das Verhalten von Relativverschiebungen und zugehöriger Spannungsübertragung in normaler und tangentialer Richtung zwischen zwei Elementen beschreiben lässt. Geometrisch lassen sie sich in Punkt-, Liniensowie Flächen-Interface-Elemente unterscheiden. Während sich die geometrische Festlegung bei Punkt-Interfaces als recht einfach gestaltet, da die Angabe der beiden zu verbindenden Knoten genügt, kann bereits ein Linien-Interface sowohl Seite 78

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

zwischen zwei Linienelementen, zwischen zwei Flächenelementkanten oder auch zwischen den Kanten zweier 3D-Elemente zu finden sein. Der generelle Weg, ein Interface-Element in FEMGEN zu definieren, besteht darin, zwischen den zu verbindenden Elementnetzen einen eigenen Bereich für die Interface-Elemente zu generieren. Dieser muss dabei geometrisch jeweils eine Ordnung höher gewählt werden, als das darin zu generierende Interface-Element. Das heißt, es wäre eine Fläche zu definieren, um darin LinienInterface unterzubringen. Die eigentlichen Schwierigkeiten resultieren dabei jedoch aus der Tatsache, dass Interface in der Regel ohne eigene Ausdehnung definiert werden, da sie ja nicht wirklich materielle Körperbereiche modellieren sollen, sondern gerade Zwischenschichten von solchen repräsentieren. Es ist also das Kunststück zu schaffen, zum einen die über die Interfaces zu verbindenden Elementregionen auch geometrisch voneinander zu trennen, obwohl ihre Kanten aufeinander stoßen, und zum anderen in einem Bereich mit einer Ausdehnung von 0 eine eigene Elementregion anzulegen, welche die Interface-Elemente beherbergen soll. Die einfachste Möglichkeit, beides gleichzeitig zu realisieren, besteht darin, zunächst die Elementtopologie an einer verzerrten Geometrie festzulegen, wobei der Interfacebereich quasi herausgezoomt wird, um anschließend mit einfachen Geometriebefehlen (wie MOVE oder SCALE) die gewünschte Geometrie zu erzielen. Anhand eines einfachen Beispiels wird der Sachverhalt etwas klarer: Es sollen zwei Körper unterschiedlicher Materialien mithilfe von Interface-Elementen verbunden werden. Die Materialelemente seien Scheibenelemente Q8MEM, der Verbund wird mithilfe von Linieninterfaces L8IF (oder auch IL22) realisiert. Es handelt sich jeweils um isoparametrische Weggrößenelemente mit linearer Ansatzcharakteristik.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 79

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

a)

IANA

b)

Bild 69:

a) Geometrie

b) Linienteilung

Zunächst wird die Geometrie der drei Flächen (die zwei zu verbindenden Materialnetze sowie der Interface-Bereich) eingegeben. Der Bereich, welcher die Interfaces enthält (die Fläche S2 im Bild 69 a)) wird dabei den Erfordernissen entsprechend größer eingegeben, als er im Endeffekt sein soll. In unserem Beispiel erfolgte die Eingabe der Punkte der Reihenfolge nach von unten links nach rechts oben. Die Linien sind gegen den Uhrzeigersinn definiert, was an der Bezeichnungsreihenfolge erkennbar ist. Für die Steuerung der Netzgenerierung ist die Eingabe von Linienteilungen erforderlich. Bild 69 b) zeigt, dass die Interface-Fläche in vertikaler Richtung nur eine Elementreihe besitzen darf. Weiterhin sind bereits die verschiedenen Materialeigenschaften definiert. Die Eingabe der Elementtypen erfolgt mittels: MESHING TYPES ALL Q8MEM MESHING TYPES S2 IL22 Nun sollte sich das Netz generieren lassen: MESHING GENERATE

Seite 80

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Doch iDIANA liefert die folgenden Fehlermeldungen: * W0045: Only one interface element allowed through thickness on L3 * W0045: Only one interface element allowed through thickness on L6 Offensichtlich war die Eingabe noch nicht eindeutig, so dass das Programm annehmen konnte, dass die Interface-Elemente horizontal ausgerichtet sein würden (vergleiche die Lage der Linien L3 und L6 in Bild 69 a)). Im Übrigen tritt dieses Problem auf, da FEMGEN einfach die erste Linie der Flächendefinition (vgl. die Ausgabe von UTILITY TABULATE GEOMETRY SURFACES) als Grundlinie annimmt. Dies lässt sich umgehen, wenn bei der Definition der Elementtypen des Interfacebereiches die Bezugslinie (BASE) des Interfaces angegeben wird:

Bild 70:

Verzerrtes Netz

MESHING TYPES S2 IL22 BASE L3 MESHING GENERATE An der Meldung „* W0226: Surface S2

has been redefined“ kann man erkennen, dass die

Reihenfolge der flächendefinierenden Linien geändert wurde! Bild 70 zeigt das Netz mit den verzerrten Interface-Elementen. Nun muss lediglich die Geometrie verändert werden, um dem Interface die Ausdehnung von 0 zuzuweisen. Die Elementtopologie bleibt hiervon unbeeinflusst.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 81

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 71:

IANA

Endgültiges Netz

Wir wollen einfach die obere Fläche so verschieben, dass das Interface verschwindet. GEOMETRY MOVE S3 TRANSLATE P6 P4 ! CONFIRM MODIFICATION => YES * W0133:Mesh cancelled above NN= 0 and NE= 0 MESHING GENERATE VIEW MESH ALL LABEL MESH MATERIALS Die in Bild 71 dargestellte endgültige Netzgeometrie und -topologie zeigt nun die beiden Materialnetze, welche durch ein geometrisch nicht vorhandenes Interface verbunden sind (vgl. die Bezeichnungen der Materialien). Bei einer manuellen Eingabe des Netzes in die [.dat]-Datei trifft man die hier angesprochenen Probleme im Grunde genommen nicht an, da man selbst die Verbindungen und Lage der einzelnen Knoten festlegt. Hinweis:

An diesem Problem können sehr schön die Differenzierung zwischen den Begriffen Geometrie und Topologie sowie die Schwierigkeiten des Präprozessors, mithilfe der Geometrie die Topologie zu definieren, erkannt werden.

Seite 82

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

3.1.12. Flusselemente Mit Flusselementen können sowohl Grundwasser- als auch Wärmeströmungen dargestellt werden.

3.1.12.1.

Bild 72:

vierseitiges 8-Knotenelement CQ8HT

Das vierseitige isotrope 8-Knotenelement CQ8HT zur allgemeinen Potentialstrom Analyse.

Das CQ8HT-Element ist ein vierseitiges isotropes 8-Knotenelement, das allgemein zur Analyse von Strömen zwischen unterschiedlichen Potentialen geeignet ist. Es basiert auf einer quadratischen Gaußintegration. Das Polynom für das Potential φ kann folgendermaßen angegeben werden:

φ(ξ, η) = a 0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅ η + a 3 ⋅ ξ ⋅ η + a 4 ⋅ ξ 2 + a5 ⋅ η2 + a 6 ⋅ ξ 2 ⋅ η + a 7 ⋅ ξ ⋅ η2

(111)

Das Standardintegrationsschema ist eine 2x2-Integration.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 83

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

4.

IANA

Numerische Methoden

4.1. Grundlagen Mithilfe der technischen Mechanik können Zustände von Tragwerken wie zum Beispiel Balken, Platten oder Scheiben durch Systeme von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen formuliert werden. Dafür müssen Annahmen getroffen werden, die die Wirklichkeit stark vereinfachen, um wenigstens für Sonderfälle mit einfachen Randbedingungen geschlossene (analytische) Lösungen zu erhalten. So wird in der klassischen Elastizitätstheorie beispielsweise von einem linear elastischen Werkstoffverhalten ausgegangen. Ebenfalls gilt das Prinzip der kleinen Verformungen, das davon ausgeht, dass nur kleine Verschiebungen und Verzerrungen auftreten, was in der Realität zwar oft auftritt, aber nicht alle Fälle abdeckt. Für die Bemessung sind daher meist umfangreiche Tafelwerke nötig und es entstehen daher von Grund auf Ungenauigkeiten, die durch eine Abschätzung zur sicheren Seite mit unter sehr unwirtschaftliche Ergebnisse liefern. Durch den Einsatz moderner Datenverarbeitung wird es jedoch möglich, numerische Ergebnisse zu finden, die die Realität sehr viel genauer abbilden. Das Rechenverfahren, das sich dafür in vielen Bereichen durchgesetzt hat, ist die Methode der finiten Elemente (FEM). Hierbei wird die Gesamtkonstruktion, die ja physikalisch ein Kontinuum bildet, gedanklich in viele kleine Unterbereiche zerlegt, die finiten Elemente. Für jedes dieser Elemente kann nun eine Anzahl von Ansatzfunktionen gefunden werden, die die Spannungen und Verschiebungen in diesem Element beschreiben. Diese Ansatzfunktionen beruhen auf dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen, bei dem die virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte Wav der virtuellen inneren Arbeit Wiv gleichgesetzt wird:

( )

Wav = u v

T

⋅f =

∫ (ε )

v T

⋅ σ ⋅ dV = Wiv

(112)

V

uv: virtuelle Verschiebungen f: von außen auf das System einwirkende Kräfte

εv: virtuelle Verzerrungen σ: im System herrschende Spannungen

Für die Randbereiche der Elemente müssen Übergangsbedingungen erfüllt sein, die eine Kontinuität der Gesamtkonstruktion sicherstellen. Dadurch wird das zuvor gedanklich zerlegte System wieder zusammen genäht. An den Systemrändern müssen die Randbedingungen erfüllt sein, die zum Beispiel die Lagerung des Randes beschreiben. Die Gleichungen, die aus diesen Bedingungen für die Gesamtkonstruktion entstehen, können zu folgender Systemgleichung zusammengefasst werden: Seite 84

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

K ⋅u = f

(113)

Die Matrix K wird als Systemsteifigkeitsmatrix bezeichnet, u ist der Vektor der Knotenverschiebungen und f der Vektor der Knotenkräfte. In diesem Kapitel werden die Möglichkeiten zur Lösung von Gleichung (113) für nichtlineares Materialverhalten vorgestellt. Die Lösung von linearen Gleichungssystemen kann beispielsweise durch Gaußsche Elimination oder ähnliche Verfahren erfolgen. Eine genaue Beschreibung dieser Lösungen findet sich in der Fachliteratur (siehe Literaturverzeichnis).

4.2. Nichtlineare Lösungsverfahren Für lineare Probleme erhalten wir in Gleichung (113) für Knotenkräfte α · f Knotenverschiebungen α · u. Ist diese einfache Beziehung nicht gegeben, so handelt es sich um ein nichtlineares

Problem. Nichtlineare Probleme entstehen durch das nichtlineare Materialverhalten des Stahls und des Betons, sowie durch die Betrachtung der zeitabhängigen Eigenschaften des Betons. Das Stoffgesetz σ = D ⋅ ε hat für den nichtlinearen Fall folgende Form:

σ = D(ε ) ⋅ ε

(114)

Die Möglichkeiten zur Lösung von Gleichung (113) lassen sich in drei Kategorien einteilen. Zum einen in die iterativen Verfahren, des weiteren in die inkrementellen Verfahren und als dritte Kategorie in eine Kombination von inkrementell-iterativen Verfahren, die sich der Vorteile beider Verfahren bedient.

4.2.1. Iterative Verfahren Die Systemsteifigkeitsmatrix K wird über das Stoffgesetz ermittelt. Lässt sich nun durch Anpassung von σ, ε oder D(ε) eine Lösung der Gleichung (114) finden, so haben wir die Lösung für das nichtlineare Problem. Es liegt also nahe eine iterative Lösung zu suchen. Hierbei wird die gesamte Belastung fext auf einmal aufgebracht. Liegt das Stoffgesetz in der Form

σ = f (ε )

(115)

vor, so ist es sinnvoll die Korrektur der Spannung σ vorzunehmen. Das ist die so genannte Methode der Anfangsspannung und empfiehlt sich für Materialien, die mit zunehmender Spannung weicher werden. Ist das Stoffgesetz allerdings in der Form

ε = f (σ )

Technische Universität Berlin

(116)

Fachgebiet Massivbau

Seite 85

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

gegeben, so sollte die Methode der Anfangsverzerrung gewählt werden. Diese konvergiert eher bei Materialien, die eine Verfestigung mit zunehmender Spannung aufweisen. Ist die Spannungs-Verzerrungs-Beziehung aber gemäß Gleichung (114) gegeben, so bietet sich die Methode der veränderlichen Steifigkeiten an, wie sie in DIANA implementiert ist. Hierbei wird in einem ersten Schritt die Systemsteifigkeitsmatrix K0 für eine Verschiebung u0 = 0 ermittelt. Für die interne Kraft fint gilt zu diesem Zeitpunkt ebenfalls fint,0 = 0. Die externe Kraft fext ist jedoch ungleich Null. Die Differenz fext - fint = g wird als „out-of-balance-force“ bezeichnet und mit ihr lässt sich mit

δui = K i−1 ⋅ gi

(117)

die Verschiebung

ui +1 = ui + δui

(118)

finden, für die sich die nächste Systemsteifigkeitsmatrix Ki+1 ermitteln lässt. Die Iteration wird abgeschlossen, sobald die „out-of-balance-force“ g einen bestimmten Wert unterschreitet. Das ist das so genannte Konvergenzkriterium. Grafisch ist die Methode der veränderlichen Steifigkeiten im Bild 73 dargestellt.

f fext g1 fint,1 g0 δu0 fint,0 u0

Bild 73:

δu1 u1

u

u2

Methode der veränderlichen Steifigkeiten

Der Nachteil des reinen iterativen Verfahrens ist das divergente Verhalten, das bei bestimmten Systemen auftritt und durch die großen Differenzen zwischen inneren und äußeren Kräften ausgelöst wird.

4.2.2. Inkrementelle Verfahren Bei inkrementellen Verfahren wird nicht die gesamte Belastung in einem Schritt aufgebracht, sondern in mehreren Lastschritten inkrementell erhöht. Für zeitabhängige Betrachtungen wie das Kriechen, bei denen Spannungen und Verschiebungen zu einem bestimmten Zeitpunkt gesucht sind, Seite 86

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

werden inkrementelle Zeitschritte verwendet. Es wird näherungsweise angenommen, dass das Materialverhalten während eines Last- beziehungsweise Zeitinkrementes linear ist. Damit wird das Problem auf die Lösung von linearen Gleichungssystemen reduziert, die für Lastinkremente folgende Form annehmen:

K i −1 ⋅ ∆ui = ∆fi i=1,2,…,n

(119)

Das inkrementelle Verfahren ist im Bild 74 erläutert.

f

inkrementelle Lösung

f3

äußere Kraft

f2 wirkliches Verhalten f1 Lastinkrement ∆f

u0

u1

u2

u3

u4

u

Verschiebung

Bild 74:

Das inkrementelle Verfahren für Lastinkremente.

Eine genaue Abbildung des wirklichen Verhaltens wird nur für infinitesimal kleine Inkremente erreicht. Da sie aber nicht beliebig klein gewählt werden können, ergibt sich nach jedem Schritt eine Differenz zwischen der inkrementellen Lösung und dem wirklichen Verhalten. Diese Fehler summieren sich auf, da nach den einzelnen Last- oder Zeitschritten keine Gleichgewichtskontrolle durchgeführt wird, sondern wir davon ausgehen, dass Gleichgewicht herrscht.

4.2.3. Inkrementel-iterative Verfahren Sowohl das inkrementelle als auch das iterative Verfahren haben Nachteile. Deshalb sind heute Kombinationen aus beiden die gängige Praxis. Hierbei werden inkrementelle Lastschritte aufgebracht und diese dann iterativ in ein Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Kräften gebracht. Durch die kleinen Lastschritte haben die Systeme so ein gutes Konvergenzverhalten und das Materialverhalten wird wirklichkeitsnah abgebildet. Die in DIANA implementierten inkrementelliterativen Verfahren werden im Weiteren kurz vorgestellt. Der Unterschied zwischen den einzelnen Verfahren liegt im Wesentlichen in der Ermittlung der Steifigkeitsmatrix K für die einzelnen Iterationsschritte.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 87

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

4.2.3.1. Newton-Raphson-Methode Die reguläre Newton-Raphson-Methode ermittelt die Steifigkeitsmatrix K für jeden Iterationsschritt als Tangentensteifigkeit neu. Das hat zur Folge, dass das Verfahren mit wenigen aber dafür sehr zeitaufwändigen Iterationen auskommt. Graphisch ist das Verfahren im Bild 75 erläutert.

Bild 75: Reguläre Newton-Raphson Iteration.

4.2.3.2. Modifizierte Newton-Raphson-Methode Die modifizierte Newton-Raphson-Methode ermittelt die Steifigkeitsmatrix K als Tangentensteifigkeit nur zum Beginn eines Inkrementes. Das heißt, für eine einzelne Iteration ändert sich die Steifigkeitsmatrix nicht nach jedem Schritt. Dadurch benötigt dieses Verfahren zwar mehr Iterationsschritte als die reguläre Newton-Raphson-Methode, ist dafür aber in den einzelnen Iterationen schneller. Dargestellt ist das Verfahren im Bild 76.

Seite 88

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 76:

IANA

Modifizierte Newton-Raphson Iteration.

4.2.3.3. Quasi-Newton-Methode Die Quasi-Newton-Methode verbessert die Annäherung an den tatsächlichen Verlauf dadurch, dass sie zusätzlich die Informationen aus der vorangegangenen Iteration verwendet und die Steifigkeitsmatrix K als Sekantensteifigkeit ermittelt. Allerdings wird die Steifigkeitsmatrix nicht für jeden Iterationsschritt komplett neu aufgestellt, wie es bei der regulären Newton-RaphsonMethode der Fall ist. Die Steifigkeitsmatrix aus dem vorhergehenden Schritt wird lediglich angepasst, was Zeit spart. Die Quasi-Newton-Methode benötigt mehr Iterationsschritte als die reguläre Newton-Raphson-Methode, aber weniger als die modifizierte. Anschaulich dargestellt wird das Verfahren im Bild 77.

Bild 77:

Quasi Newton Iteration.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 89

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

4.2.3.4. Methode der linearen Anfangssteifigkeitsmatrix Die Methode der linearen Anfangssteifigkeitsmatrix berechnet die Steifigkeitsmatrix K nur ein einziges Mal für die Verschiebung u = 0. Dadurch entfällt die Ermittlung von K während der Berechnung, was eine enorme Zeitersparnis bedeutet und durch eine stabile Steifigkeitsmatrix weitestgehend verhindert, dass die Lösung divergiert. Es besteht jedoch die Gefahr, dass dieses Verfahren bei Verzweigungsproblemen dem Pfad des instabilen Gleichgewichtes folgt. Die Methode der linearen Anfangssteifigkeitsmatrix führt meistens noch zu einem Ergebnis, wenn die reguläre Newton-Raphson-Methode oder die Quasi-Newton-Methode nach mehreren erfolgreichen Inkrementen versagt haben. Eine graphische Darstellung dieses Verfahrens findet sich im Bild 78.

Bild 78:

Iteration mit konstanter und linearer Steifigkeit.

4.2.4. Konvergenzkriterien Um den Iterationsvorgang zu beenden, gibt es mehrere Möglichkeiten. Sollte nach einer festgelegten Anzahl von Iteration keine Konvergenz gefunden sein, so bricht die Iteration ab, ohne eine Lösung gefunden zu haben. Eine weitere Abbruchbedingung ist offensichtlich auftretende Divergenz. Erfolgreich ist die Iteration, wenn eine der folgenden Konvergenzkriterien erfüllt wird.

Seite 90

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 79:

IANA

Größen für Konvergenzkriterien.

4.2.4.1. Das Kraftkriterium Das Kraftkriterium ist erfüllt, wenn der „out-of-balance-force“ Vektor im i-ten Iterationsschritt gi im Verhältnis zum Vektor der Start „out-of-balance-force“ g0 einen vorgegebenen Wert k unterschreitet. Der Quotient giT ⋅ gi g 0T ⋅ g 0

≤k

(120)

strebt für konvergierende Systeme gegen Null. Die Bedeutung von gi und g0 ist aus Bild 79 zu ersehen. Als Konvergenzkriterium ist k = 10-3 im Allgemeinen ausreichend.

4.2.4.2. Das Verschiebungskriterium Das Konvergenzkriterium kann ebenfalls die Verschiebung in der i-ten Iteration im Vergleich zur Verschiebung im nullten Iterationsschritt herangezogen werden. Das Konvergenzkriterium lautet dann: δu iT ⋅ δu i ∆u 0T ⋅ ∆u 0

≤k

(121)

und strebt genau wie Gleichung (120) für konvergierende Systeme gegen Null. Nach der „nullten Iteration“ ist der Quotient in Gleichung (121) per Definition gleich eins. Es ist also immer mindestens eine weitere Iteration nötig. Als Konvergenzkriterium ist auch hier k = 10-3 in den meisten

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 91

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Fällen hinreichend genau. Die Werte, die für das Verschiebungskriterium benötigt werden, sind im Bild 79 gegeben.

4.2.4.3. Das Energiekriterium Als drittes Konvergenzkriterium gibt es noch die Möglichkeit, die Verschiebungsenergie zu benutzen. Die Verschiebungsenergie wird durch die Fläche unter dem Kraft-Verschiebungs-Diagramm dargestellt, wie es auch aus Bild 79 ersichtlich wird. Das Konvergenzkriterium lautet dann: δuiT ⋅ (fint,i +1 + fint,i ) ∆u0T ⋅ (fint,1 + fint,0 )

≤k

(122)

Hierbei muss natürlich die interne Kraft verwendet werden, die sich als Differenz zwischen externer Kraft und „out-of-balance-force“ ergibt: fint = fext – g

(123)

Auch hier reicht es meist k = 10-3 anzunehmen. Allgemein gilt für alle Konvergenzkriterien, dass sie bei entfestigendem Materialverhalten strenger – also näher bei Null – formuliert sein sollten als bei verfestigendem Materialverhalten.

4.2.5. Berücksichtigung von entfestigendem Materialverhalten Bei der Verwendung von Lastschritten kann entfestigendes Materialverhalten, wie es im Druckbereich von Beton auftritt, nicht abgebildet werden. Deshalb kann die Belastung auch durch Verschiebungsschritte u zu den einzelnen Zeitpunkten ti aufgebracht werden. Der Unterschied zwischen der Last- und der Wegsteuerung ist im Bild 80 dargestellt.

Bild 80:

Seite 92

Last- und Wegsteuerung.

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

5.

IANA

Verwendung von DIANA

Für die Verwendung des FEM - Programmpaketes DIANA gibt es im Wesentlichen zwei verschiedene Möglichkeiten. Je nach Geschmack oder Art der zu lösenden Aufgaben, kann die Berechnung durch die grafische Benutzeroberfläche iDIANA unterstützt werden oder mithilfe des Kommandozeilenprogramms diana.exe, sowie selbst erstellten Eingabedateien durchgeführt werden. Beide Wege sind dabei gleichwertig, da iDIANA für uns im Grunde auch nichts anderes erledigt, als menügesteuert die erwähnten Eingabedateien zu erzeugen und zur Berechnung an diana.exe zu übergeben.

Diese Aussage wird jedoch relativiert, wenn man sich vor Augen führt, dass jede Finite Element Analyse in die folgenden drei Arbeitsschritte unterteilt werden kann: •

Vorbereitung der Modelldaten (das sogenannte preprocessing)



Berechnung des Modells



Auswertung der Ergebnisse (in der Regel als postprocessing bezeichnet).

Es zeigt sich, dass die grafische Oberfläche insbesondere im ersten und letzten Schritt eine vielleicht sogar unverzichtbare Hilfestellung liefert. Das Übersetzen der Daten aus einer dem Ingenieur verständlichen Syntax in eine Form, welche die numerische Behandlung erst ermöglicht, und die anschließende Aufbereitung der Ergebnisse in leicht verständliche und auswertbare Darstellungen sind demnach die Hauptanwendungsgebiete von iDIANA. Die entsprechenden Programmteile heißen FEMGEN (Präprozessor) und FEMVIEW (Postprozessor). Im Folgenden wird ein kurzer Überblick über die von DIANA verwendeten Dateien und deren Bedeutung gegeben. Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei der grafischen Benutzeroberfläche iDIANA lediglich um einen Aufsatz auf das eigentliche Berechnungssystem von DIANA. Die für einen Berechnungslauf von diana.exe verwendeten Dateien sind demnach für beide beschriebenen Anwendungsfälle identisch. Eingabedateien Innerhalb der Eingabedatei wird das Finite Element Modell beschrieben. Es enthält die entsprechenden Daten zu Knoten, Topologie, Materialeigenschaften und Lasten in Form von Tabellen. Die Dateiendung lautet: [.dat]. Kommandodateien Die Kommandodateien enthalten Anweisungen, wie das Modell berechnet werden soll und in welcher Form die erzielten Ergebnisse auszugeben sind. Die Dateiendung lautet: [.com].

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 93

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Ausgabedateien Die Ergebnisse der Berechnung werden, den in der Kommandodatei getroffenen Maßgaben entsprechend, in Dateien ausgegeben. Es gibt verschiedene Ausgabedateiformate: •

die Standardausgabedatei enthält Informationen zum Laufzeitverhalten der durchgeführten Berechnung. Dies können zum Beispiel insbesondere Fehlermeldungen sein. Die Dateiendung lautet: [.out]. Die Standardausgabedatei wird immer erzeugt und sollte der erste „Anlaufpunkt“ sein, falls die Berechnung wider Erwarten abgebrochen wird. In der Regel können hier wertvolle Hinweise zu den Fehlerursachen gefunden werden.



die formatierte Ausgabe der Ergebnisse in Tabellenform kann, wenn gewünscht, in der Kommandodatei mit dem Befehl OUTPUT TABULA erzeugt werden. Die Endung der entsprechenden Datei lautet: [.tb].



für die nachträgliche Bearbeitung der Ergebnisse mithilfe des iDIANA Postprozessors FEMVIEW werden die Ergebnisdateien mit dem Kommando OUTPUT FEMVIE erzeugt. Je nachdem, ob die Ausgabe als Binär- oder ASCII-Datei erfolgt, lauten die Dateiendungen [.V63] und [.M63], bzw. [.fvi].

Prozessdatei (FILOS-file) Während der Laufzeit der Berechnung werden die für die Berechnung des Modells notwendigen Daten in der sogenannten FILOS-Datei vorgehalten. Sie stellt die zentrale Datenbasis des Jobs dar und endet auf [.ff]. Wird iDIANA als Hilfsmittel für die Generierung des Netzes und der Randbedingungen benutzt, kommt man zudem noch mit [.G63]-Dateien in Berührung. Sie enthalten in binärer Form die Geometrie-, Topologie-, Material- und Lastdaten, welche iDIANA für die Erstellung der [.dat]-Datei benötigt. Starten einer DIANA-Berechnung Wie bereits erwähnt, ist es egal, ob man die grafische Benutzeroberfläche iDIANA für die Generierung der Kommando- und Datendateien verwendet. In jedem Fall wird die eigentliche Berechnung mithilfe des Programmes diana.exe durchgeführt. Der allgemeine Aufruf lautet: (Angaben in [ ] sind optional) diana [-m] [basename] [file.dat] [file.com] [file.ff].

Der Schalter [-m] veranlasst diana.exe Statusmeldungen über den Fortgang der Berechnungen im Terminalfenster anzuzeigen. In der Voreinstellung wird diese Ausgabe unterdrückt. Der Ausdruck in [basename] wird von DIANA als Name aller mit dem Job verbundenen Dateien

Seite 94

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

angenommen. Wird kein weiterer Dateiname angegeben, sucht diana also nach basename.dat und basename.com und erzeugt als FILOS-file basename.ff. Jede weitere Angabe überschreibt den Bezeichner in [basename]. Die Voreinstellung für [basename] ist diana. Ein Beispiel: diana -m beispiel.dat kommando.com

lässt

DIANA

nach

beispiel.dat

und

kommando.com suchen und erzeugt das FILOS-file diana.ff. Außerdem werden die Status-

meldungen angezeigt.

5.1. Die DAT-Datei Die [.dat]- Datei enthält die für die Berechnung notwendigen Angaben zum Modell. In Form von einzelnen Tabellen werden die Knotenkoordinaten, die Elementtopologie, die Materialeigenschaften, die Lagerungsbedingungen sowie die Belastungen angegeben. Es handelt sich um eine Textdatei mit ASCII-Zeichensatz. Die maximale Zeilenlänge beträgt 80 Zeichen. Die ersten Zeilen sind dabei beschreibenden Texten vorbehalten. Ihr Inhalt wird am Beginn der DIANA-Ausgabedatei [.out] ausgegeben. Den Tabellen ist jeweils ein Name vorangestellt, wobei nur die ersten sechs Buchstaben signifikant sind. Die Deklaration als Tabellentitel erfolgt durch umschließende Hochkommata: eingabe.dat 'COORDI' .

Falls notwendig, können in der Titelzeile weitere Parameter angegeben werden. eingabe.dat 'COORDI' DI=2

würde zum Beispiel festlegen, dass die in der Tabelle angegebenen Knotenkoordinaten für ein zweidimensionales System gelten. In der Regel sind die derart angegebenen Parameter optionaler Natur, so dass DIANA Standardwerte annimmt, falls sie vom Nutzer nicht belegt werden. Das Ende der letzten Tabelle und somit auch das Dateiende wird durch eingabe.dat 'END'

angezeigt. Einträge nach diesem Bezeichner werden nicht eingelesen, sind jedoch zulässig, so dass der Nutzer nicht mehr oder noch nicht benötigte Datentabellen dahinter „verstecken“ kann. Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 95

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Zur besseren Lesbarkeit kann die [.dat]- Datei Kommentar- und Leerzeilen enthalten. Kommentare werden mit einem Doppelpunkt an der ersten Zeilenposition eingeleitet: eingabe.dat : ich bin eine Kommentarzeile. Leerzeilen können an jeder Stelle eingefügt werden. Einige Tabellen werden in Untertabellen gegliedert. Der Bezeichner jeder Untertabelle muss dabei mit dem ersten Zeichen der Zeile beginnen. Lediglich die ersten sechs Buchstaben werden unterschieden, z. B.: eingabe.dat 'ELEMENT' CONNECTIVITY Topologiedaten MATERI Materialzuweisungen GEOMETRY Geometriezuweisungen

Die Zeilen, die die eigentlichen Daten enthalten, sind in der Regel in mehrere Datenfelder unterteilt. Es gibt Datenzeilen mit ein, zwei oder drei Datenfeldern, wobei bestimmte Formatierungsvorgaben einzuhalten sind: •

bei Zeilen, die aus einem Datenfeld bestehen, können die Daten beliebig auf den Positionen 1 bis 80 verteilt sein. eingabe.dat

GEOMETRY / 1-3 / 1

Seite 96

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO



IANA

bei zweifeldrigen Zeilen reicht das erste Feld von der ersten bis zur fünften Zeilenposition. Es enthält in der Regel eine Nummer, wie zum Beispiel eine Knotennummer. Das zweite Feld reicht von der sechsten bis zur 80. Stelle. eingabe.dat

'COORDI' 1

0. 0. 0.

2

2. 0. 0.

3

4. 0. 0.

4

6. 0. 0.



werden in einer Zeile drei Datenfelder benötigt, ist das erste Feld von Position 1 bis 5 und das zweite Feld von 6 bis 12 anzuordnen. Das dritte Feld reicht wiederum bis zu Ende der Zeile (Pos. 13-80). Wie auch im Beispiel, enthält das zweite Feld oft einen Namen. eingabe.dat

CONNECTIVITY 1

L6BEN

1 2

2

L6BEN

2 3

3

L6BEN

3 4

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 97

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Nachfolgend ist ein Beispiel für eine einfache Dateneingabedatei angegeben: eingabe.dat Balkenmodell für Frequenz-Analyse ## Fachgebiet Massivbau TU-Berlin ## 'COORDI' 1

0. 0. 0.

2

2. 0. 0.

3

4. 0. 0.

4

6. 0. 0.

'ELEMENT' CONNECTIVITY : Balken-Elemente 1

L6BEN

1 2

2

L6BEN

2 3

3

L6BEN

3 4

MATERI / 1-3 / 1 GEOMETRY / 1-3 / 1 'MATERI' 1

YOUNG

10.E9

DENSIT

2500.

'GEOMETRY' 1

CROSSE

0.080

INERTI

0.001066667

'DIRECTIONS' 1

1. 0. 0.

2

0. 1. 0.

'SUPPORT' / 1 4 / TR 2 / 3 / TR 1 'LOADS' CASE

1

WEIGHT 2

10.

'END'

Seite 98

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

5.2. Die COM-Datei Neben der Angabe der geometrischen und topologischen Daten des entwickelten FE-Modells in der [.dat]-Datei, muss DIANA zusätzlich „wissen“, was mit diesen Daten geschehen soll. Die entsprechenden Anweisungen werden innerhalb der so genannten Kommandodatei ([.com]-Datei) festgelegt. Neben den Angaben zum gewünschten Analysetyp (wie etwa Wärmestromanalysen) enthält sie insbesondere Angaben zum Iterationsverfahren, der Größe und Abfolge der gewählten Lastschritte sowie der Art der Ergebnisausgabe. Im Folgenden soll ein kurzer Überblick über die Konventionen und syntaktischen Regeln innerhalb der [.com]-Dateien gegeben werden. Der Benutzer wird diese Datei in der Regel mithilfe des Analyse-Dialoges von iDIANA interaktiv erzeugen, so dass die hier zu findenden Angaben vornehmlich der Fehlersuche dienen werden und den Anwender in die Lage versetzen sollen, vorhandene Kommandodateien „lesen“ und nötigenfalls ändern zu können. Die Kommandosprache von DIANA besteht aus Schlüsselwörtern (zumeist von den zu verwendenden Modulen vorgegebene Befehle), Datenfeldern und Parametern. Letztere können als vorbezeichnete Variablen angesehen werden, deren Werte durch den Benutzer verändert werden sollen. Datenfelder können sowohl Zahlen als auch Zeichenfolgen enthalten, oft verwendete Datenfelder in Kommandodateien sind zum Beispiel die Angaben zur Größe der Lastschritte einer nichtlinearen Berechnung. Die wichtigsten Befehle sind zunächst die Befehle, welche die für die Berechnung notwendigen Module starten. Diese als Modulbefehle bezeichneten Schlüsselwörter können leicht an ihrem vorangestellten Sternsymbol ’*’ erkannt werden. Die häufigsten Vertreter sind sicherlich *END (zeigt das Ende der Kommandodatei an) und *INPUT (einlesen der Daten aus der .dat-Datei). Innerhalb der Module, d. h. nach einem Modulbefehl und vor dem nächsten, sind die Befehle in der Regel in einer bestimmten Reihenfolge zu verwenden. Nähere Angaben hierzu geben die Handbücher der jeweiligen Module (i. A. in: „Analysis Procedures“). Oft werden diese Befehle in benannten Blöcken gruppiert, die mit dem Schlüsselwort BEGIN starten und mit END beendet werden. Diese Blöcke können dabei ineinander verschachtelt sein:

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 99

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

kommando.com BEGIN EXECUT BEGIN ITERAT METHOD NEWTON REGULA MAXITE=10 BEGIN CONVER FORCE TOLCON=1E-06 DISPLA OFF END CONVER END ITERAT END EXECUT

Alle möglichen Befehle hier zu nennen, ist nicht möglich, weshalb nur kurz auf die wichtigsten Hauptmodule eingegangen wird. Weitergehende Informationen sind den Handbüchern zu entnehmen. *FILOS

Modul, welches die Pflege des FILOS-files ermöglicht. So ist es z. B. möglich, ein Backup des FILOS-file zu erstellen oder es zu komprimieren. *INPUT

Modul zum Einlesen der Daten aus der [.dat]- Datei. Mit den Befehlen READ, DELETE und REMAKE werden die Daten des FILOS-files bearbeitet. *LINSTA

Modul für die linear-statische Analyse. „OUTPUT“ ist hierbei der interessanteste Befehlsblock. In ihm wird festgelegt, wie die Ergebnisse gespeichert und vor allem welche Ergebnisse ausgegeben werden sollen. Nachfolgend ist ein Beispiel für einen OUTPUT-Befehlsblock gegeben. Innerhalb des Blocks SELECT werden zunächst die drei Lastfälle 2, 4 und 6 sowie die Maximalwerte für die Ausgabe gewählt. Weiterhin soll sich die Ausgabe auf die Elemente mit den Nummern 415 und 533 beziehen und jeweils nur den Knoten mit der Nummer 1 berücksichtigen. Am Ende wird die auszugebende Größe gewählt, im Beispiel die Spannungen am Knoten in lokaler X-Richtung. Die Nummerierungen beziehen sich hierbei auf diejenigen der [.dat]-Dateien.

Seite 100

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

kommando.com BEGIN OUTPUT BEGIN SELECT LOADS 2 4 6 MAX BEGIN ELEMEN 415 533 NODES 1 END ELEMEN END SELECT STRESS CAUCHY LOCAL XX NODES END OUTPUT

*NONLIN

Das uns am meisten beschäftigende Modul ist *NONLIN. Neben dem schon beschriebenen OUTPUT-Block sind hier insbesondere die Blöcke TYPE und EXECUT zu beachten. Innerhalb von TYPE wird festgelegt, um welche Art der Nichtlinearität es sich handelt ( physikalisch, geometrisch oder transient) und welche Effekte im Einzelnen betrachtet werden. EXECUT bestimmt insbesondere das zu verwendende Iterationsverfahren und die Schrittgröße der Lastschritte. Es folgt ein Beispiel für eine phys.-nichtlin. Berechnung: kommando.com *NONLIN

BEGIN TYPE : physikalisch nichtlinear

BEGIN PHYSIC TOTCRK SECANT END TRANSI END TYPE

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 101

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

BEGIN EXECUT : als Belastung wird Lastfall 2 ausgewählt, die zu verarbeitenden Lastschrittfaktoren : betragen 0.5, 0.3 und 2 mal 0.1, d. h. es werden 50 %, dann 80 %, dann 90 % und : zum Schluss 100 % der im Lastfall 2 ausgewiesenen Lasten angesetzt

BEGIN LOAD LOADNR=2 BEGIN STEPS BEGIN EXPLIC SIZES 0.5 0.3 0.1(2) END EXPLIC END STEPS END LOAD : Newton-Raphson-Verfahren, maximale Anzahl v. Iterationen= 5

BEGIN ITERAT MAXITE=5 METHOD NEWTON REGULA : als Konvergenzkriterium wird das Kraftkriterium mit einer Abbruchschranke von 0.01 : gewählt

BEGIN CONVER FORCE TOLCON=1.E-2 END CONVER END ITERAT END EXECUT

5.3. iDIANA Innerhalb der folgenden vier Abschnitte wird ein kurzer Überblick über die Verwendung der grafischen Benutzeroberfläche iDIANA gegeben. Wie bereits mehrfach erwähnt, handelt es sich dabei um einen Aufsatz auf das eigentliche FEM-Paket. Im Grunde genommen ließen sich auch fremde Prä- und Postprozessoren für die Berechnung mit DIANA verwenden. Naturgemäß ist jedoch eine proprietäre Oberfläche, wie iDIANA, so auf die speziellen Anforderungen und Möglichkeiten des Analyseprogramms zugeschnitten, so dass sich ihre Anwendung generell empfiehlt. iDIANA

kann durch Aufruf der [.exe]-Datei idiana sowie einfach durch Anklicken der eventuell

vorhandenen Desktopverknüpfung oder des entsprechenden Eintrages im Windows-Startmenü erfolgen.

Seite 102

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Hinweis:

IANA

Für die kommandozeilenorientierte Arbeit mit DIANA empfiehlt es sich, anstatt der DOS-Eingabeaufforderung die DIANA CommandBox zu verwenden, da hier wichtige Umgebungsvariablen automatisch gesetzt werden

Nach erfolgtem Aufruf befindet sich der Nutzer im sogenannten Index-Bereich von iDIANA. Von hier aus werden die Module FEMGEN (Präprozessor), FEMVIEW (Postprozessor) oder das Analysetool angewählt werden. Weiterhin wird der Anwender in diesem Bereich das Arbeitsverzeichnis „working directory“ einstellen (unter File/Select Working Directory…), welches die zu bearbeitenden Modelle enthält oder enthalten soll. Eine andere nützliche Funktion ist die Import-Funktion (File/Import), um Geometriedaten, welche mithilfe von CAD-Programmen erstellt wurden und im [.dxf] oder IGES-Format vorliegen, einzulesen.

5.3.1. Das Arbeitsfenster Das iDIANA-Arbeitsfenster unterteilt sich in verschiedene Bereiche, die der Datenein- und ausgabe dienen oder Befehlsschaltflächen enthalten. Der größte Bereich des Fensters wird von der Zeichenfläche eingenommen. Sie dient der grafischen Darstellung der Modellgeometrie oder ergebnisse. Eine in ihr enthaltene Legende gibt Informationen zu den dargestellten Daten, wie z. B. den Modellnamen oder die Art des gezeigten Ergebnisses. Um die in der Zeichenfläche dargestellten Daten zu bearbeiten, verwendet der Benutzer Befehle, deren Eingabe auf zweierlei Art erfolgen kann.

Bild 81:

Hauptfenster von iDIANA

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 103

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Zum einen können sie mithilfe der am rechten Rand des Arbeitsfensters befindlichen Menüleiste oder der über der Zeichenfläche angeordneten Anzeige-Schalter angewählt werden. Die Befehle sind dabei gruppiert, so dass sich eine Menüstruktur ergibt. Meist führen erst mehrere Klicks zum gewünschten Befehl; die Untermenüs mit den Unterbefehlen erscheinen dann jeweils anstelle des vorhergehenden Menüs. Oft wird ein Befehl von einem oder mehreren Datensätzen begleitet (z. B. die Angabe der Knotenkoordinaten). Ist eine derartige Eingabe gefordert, erscheint in der Menüleiste ein Eintrag der, in Hochkommata gesetzt, die Bezeichnung der erwarteten Eingabe enthält. Bei einigen Datensätzen, wie zum Beispiel Bezeichnungen von Materialien oder Modellen, kann die Eingabe aus einer zur Verfügung stehenden Liste erfolgen. In diesem Fall ist der entsprechende Menüeintrag mittels eines „>“-Zeichens gekennzeichnet. Um nun die Auswahl zu erreichen, muss bei der Anwahl mit der linken Maustaste die Shift-Taste gedrückt gehalten werden (alternativ: Klicken mit der mittleren Maustaste). Die mithilfe der Menüleiste eingegebenen Befehle erscheinen daraufhin in der Befehlszeile, welche sich am unteren Rand des Arbeitsfensters befindet. Die Anzeige-Schalter (über der Zeichenfläche) stellen gewissermaßen short-cuts für bestimmte oft benötigte Befehle zur Anzeigenmanipulation dar. Hier werden keine weiteren Eingaben erwartet. Im Gegensatz zur interaktiven Eingabe können die gewünschten Befehle auch direkt durch den Nutzer in der Befehlszeile eingegeben werden. Hinweis:

Es genügt, jeweils die signifikanten Stellen einer Befehlssequenz einzugeben; z. B.: e f anstatt eye frame oder: l m co anstatt label mesh constraints - jedoch nicht: l m c , da es auch label mesh csyst als Befehl gibt.

Die Eingabe wird mittels Enter-Taste bestätigt. In den darüber befindlichen Befehlsstatuszeilen erscheinen eventuelle Fehlermeldungen, angeforderte Ausgaben, Rückfragen oder einfach nur ein Echo der eingegebenen Befehle. Hinweis:

Frühere Statusmeldungen können mithilfe der Scroll-Bar angezeigt werden; eine gewisse Anzahl eingegebener Befehle werden gespeichert und können mit der Pfeil nach oben „↑“-Taste angewählt werden.

5.3.2. Batch-Dateien Manchmal kann es sehr nützlich sein, bestimmte wiederkehrende Befehlsfolgen zu automatisieren. Hierzu kann die Befehlseingabe mithilfe von sogenannten BATCH-Dateien erfolgen. Es handelt sich hierbei einfach um Textdateien im ASCII-Format, welche zeilenweise die einzugebenden Befehle enthalten. Vorstellbar wäre es, sich solche Dateien mithilfe einer Programmiersprache oder eines Tabellenkalkulationsprogramms zu erstellen. Eine weitere wichtige Anwendung besteht in der Möglichkeit, sogenannte Archiv- oder HistoryDateien derart einzulesen, um bereits bestehende Modelldaten, wie z. B. gleichartige Bereiche Seite 104

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

eines Modells, nicht ein zweites mal eingeben zu müssen. Bei den Archiv-Dateien ([.fga]) handelt es sich um Dateien, die eben zu diesem Zweck mit dem Befehl UTILITY WRITE ARCHIVE erzeugt werden können. Während die History-Dateien ([.HIS]) sämtliche während der Erstellung des Modells getätigten Befehle aufzeichnen. Das eigentliche Einlesen der BATCH-Dateien erfolgt entweder mithilfe des Befehles UTILITY READ BATCH „Dateiname“ oder aber mithilfe des @-Symbols gefolgt vom Dateinamen. Hinweis:

Unter Umständen kommt es zu Problemen beim Einlesen von History-Dateien, da das Programm an bestimmten Stellen auf bestimmte Befehle wartet, wie zum Beispiel bei der Initialisierung der Einheiten eines neuen Geometriemodells. Es ist also darauf zu achten, welche Eingaben das Programm erwartet und welche Befehle an dieser Stelle in der Datei enthalten sind.

Es besteht auch die Möglichkeit, Kommentarzeilen in einer BATCH-Datei zu verwenden. Zeilen mit vorangestelltem Ausrufezeichen werden beim Einlesen durch das Programm „Femgen“ ignoriert. !ICH BIN EINE KOMMENTARZEILE

5.4. FEMGEN Der Präprozessor FEMGEN stellt die Module zur Verfügung, die für das Erstellen eines FEMNetzes mit all seinen Materialeigenschaften, Lasten und geometrischen Randbedingungen notwendig sind. Im Folgenden werden in kurzer Form anhand eines kleinen Beispiels die wichtigsten Befehle, die für die Erstellung einfacher Modelle nötig sind, vorgestellt. Das FEMGEN-Modul wird gestartet, indem in der Befehlszeile der Befehl FEMGEN eingegeben wird. Alternativ kann auch der Schalter „Femgen“ der Menüleiste verwendet werden.

5.4.1. Initialisierung eines neuen Modells Nachdem FEMGEN angeklickt wurde, erscheint anstelle der rechten Menüleiste eine Auswahl von bereits in dem Arbeitsverzeichnis befindlichen Modellen, sowie ein Eintrag ’model’. Dieser zeigt an, dass an dieser Stelle ein Modellname eingetragen werden kann, um ein neues oder ein bestehendes Modell zu öffnen. Hinweis:

Der Modellname darf aus maximal sechs Zeichen bestehen

Wir geben einen neuen Namen an: FEMGEN Decke

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 105

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Die getätigte Eingabe erscheint in der Befehlsdialogzeile. Das Zeichen FG> in der Befehlszeile zeigt an, dass wir uns im Modul FEMGEN befinden. Die Befehlszeile enthält nun die Aufforderung einen Analysetyp aus der Menüleiste zu wählen: SPECIFY ANALYSE TYPE => STRUCT_3D Wir entscheiden uns für eine dreidimensionale Strukturanalyse, da wir ein zweidimensionales Plattentragwerk berechnen wollen, die Belastung jedoch in der dritten Achsenrichtung, nämlich senkrecht zur Plattenmittenebene wirkt. Nun werden wir aufgefordert, nacheinander die gewünschten Einheiten für Länge, Masse, Kraft, Zeit und Temperatur anzugeben: SPECIFY UNITS => METER SPECIFY UNITS => KILOGRAM SPECIFY UNITS => NEWTON SPECIFY UNITS => SECOND SPECIFY UNITS => KELVIN Die hier getroffene Wahl hat recht weitreichende Folgen für die Eingabe und Auswertung der Berechnungsdaten und sollte nicht unbedacht vorgenommen werden. Es ist von Vorteil, wenn ein konsistentes System von Einheiten gewählt wird, wie es in unserem Fall mit den SI-Einheiten geschehen ist (konsistent ist es, da sich die abgeleiteten Einheiten, wie z. B. für Geschwindigkeiten oder Spannungen direkt und ohne Umrechnungsfaktoren aus diesem System ergeben: so ist [v] = m / s, [σ] = N / m² = kg · m³ / s², [W] = kg · m² / s²). Hinweis:

Einige Materialmodelle schreiben die Verwendung von bestimmten Einheiten vor, so z. B. wenn die Betoneigenschaften aus dem Model Code 1990 übernommen werden sollen.

Seite 106

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Für Einheitensysteme, die nicht die SI-Einheiten verwenden, gelten folgende Umrechnungen: Tabelle 5:

Einheitensysteme

Einheit

Ursprung

SI

mm-kg-N

m-t-kN

CGS

Länge

l

m

mm

m

cm

Masse

m

kg

kg

t

g

Zeit

t

s

s

s

Temperatur

T

K

K

K

Geschwindigkeit

l t-1

m/s

m/s

cm / s

Beschleunigung

l t-2

m / s2

m / s2 !!

m / s2

Gal

N

N

kN

dyne

Pa

MPa

kPa

dyne / cm2

J

mJ

kJ

erg

Kraft Spannung Energie

mlt

-2

-1 -2

ml t

m l2 t-2

s 1000

!!

K m 1000 ⋅ s

!!

Nach der Eingabe der letzten Maßeinheit befinden wir uns nun in der Arbeitsumgebung des FEMGEN-Moduls, die Legende des Zeichenfensters gibt den Modellnamen und Analysetyp an. Die Menüleiste auf der rechten Seite des Fensters besteht nun aus den Befehlen des Präprozessors. Die Initialisierung des neuen Modells ist abgeschlossen.

5.4.2. Eingabe der Geometriedaten Die Geometriedaten in DIANA sind, der Konstitution der verwendbaren Elementtypen entsprechend, innerhalb eines hierarchisch organisierten Systems von Punkten, Linien, Flächen und Körpern geordnet. Die Punkte sind dabei typischerweise durch ihre Koordinaten beschrieben, Linien durch Anfangs- und Endpunkt, Flächen durch die Kanten bildenden Linien und Körper durch die sie begrenzenden Flächen. Der Grundbefehl für die Eingabe und Manipulation der Geometriedaten ist der Befehl GEOMETRY. Wird er angeklickt oder eingegeben, öffnet sich ein Untermenü und gibt die verwendbaren Unterbefehle frei. Es finden sich Befehle zum Erstellen von geometrischen Objekten (wie z. B. SURFACE für Flächendefinitionen) und solche, die der Veränderung bestehender Objekte dienen (z. B. COPY zum Kopieren). Wir erstellen zunächst die Eckpunkte unserer Platte: GEOMETRY POINT COORD 0 0 0

(oder kürzer: g p c 0)

GEOMETRY POINT COORD 0 12 0

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 107

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

GEOMETRY POINT COORD 6 0 0 GEOMETRY POINT COORD 6 12 0 GEOMETRY POINT COORD 8 0 0 GEOMETRY POINT COORD 8 12 0. Nach der Eingabe des ersten Punktes erwartet das Programm die Eingabe weiterer Punkte und schreibt jeweils schon den Befehl GEOMETRY POINT COORD in die Befehlszeile, so dass der Nutzer lediglich die Koordinaten eingeben muss. Mithilfe der Escape-Taste wird dieser Modus beendet. EYE FRAME bewirkt, dass alle eingegebenen Punkte im Zeichenfenster zentriert dargestellt werden. Nun wenden wir uns der Definition der Linien zu. Der Befehl GEOMETRY LINE STRAIGHT öffnet ein Auswahlmenü an der Stelle der Menüleiste. Wird dort der Schalter /pick-p angewählt, können die im Zeichenfenster dargestellten Punkte mit der Maus ausgewählt werden. Der Eintrag ’point-old’ bedeutet, dass in der Befehlszeile die Bezeichnung eines vorhandenen Punktes erwartet wird. Da wir bei der Definition der Punkte keine eigenen Namen angegeben hatten, wurden die Punkte mit P1 bis P6 bezeichnet. Die automatische Bezeichnung anderer Objekte funktioniert entsprechend. Geben wir unsere Linien ein: g li st p1 p2 In den Dialogzeilen wird der Befehl wiederholt. Außerdem kann man dort erkennen, dass unsere neue Linie L1 genannt wurde. Wie schon bei den Punkten erwartet das Programm die Definition weiterer Linien: GEOMTRY LINE STRAIGHT

also fügen wir P3 P4 an. Und weiter:

GEOMTRY LINE STRAIGHT P5 P6 GEOMTRY LINE STRAIGHT P1 P3 GEOMTRY LINE STRAIGHT P3 P5 GEOMTRY LINE STRAIGHT P2 P4 GEOMTRY LINE STRAIGHT P4 P6 Hinweis:

Probieren Sie, die Punkte mit der Maus auszuwählen. Hierzu ist es von Vorteil, den Befehl LABEL GEOMETRY POINTS (oder: l g po) einzugeben, so dass die Punkt-

Seite 108

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

bezeichnungen in der Zeichenfläche angegeben werden und die richtigen Punkte angewählt werden können. Fehlt nur noch die Eingabe der Flächen: GEOMETRY SURFACE gibt das Untermenü frei, mit dem Flächen definiert werden können. Man erkennt, dass verschiedene Modi Verwendung finden können, je nach Bedarf und Geometrie der Fläche. Da wir schon Linien als Kanten definiert hatten, wählen wir: GEOMETRY SURFACE 4SIDES . Hinweis:

Bei Verwendung des Befehls GEOMETRY SURFACE 4POINTS wäre es nicht nötig gewesen, zuvor Linien zu erzeugen, da sie bei der Flächenerstellung automatisch generiert worden wären.

Mithilfe der Maus und dem Schalter /pick-l erzeugen wir nun die beiden folgenden Flächen. Wir wollen ihnen diesmal aussagekräftigere Namen geben und fügen deshalb eine Bezeichnung ein: GEOMETRY SURFACE feld 4SIDES L1 L4 L2 L6 GEOMETRY SURFACE krag 4SIDES L2 L5 L3 L7 Hinweis:

Die Reihenfolge der Kanten oder Punkte, die zur Definition der Flächen angewählt werden, sollte stets entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn gewählt werden, um eine einheitliche Ausrichtung der lokalen Koordinatensysteme zu erzielen.

5.4.3. Arbeiten mit der Zeichenfläche Nachdem wir nun unsere Geometrie eingegeben haben, sollten wir uns kurz mit den verschiedenen Möglichkeiten beschäftigen, die iDIANA bietet, um die grafische Ausgabe der Daten zu steuern. Diese Befehle sind im übrigen auch im Modul FEMVIEW gültig und werden bei dessen Beschreibung nicht noch einmal vorgestellt.

5.4.3.1. Einstellen der Betrachterposition Der Grundbefehl lautet EYE (EYE FRAME hatten wir bereits kennen gelernt). Die wichtigsten Unterbefehle stellen ZOOM, ROTATE und SHIFT dar, wobei die Bezeichnung selbst erklärend sein sollte. Wesentlich einfacher als über die rechte Menüleiste lassen sich gerade diese Befehle mithilfe der in 5.3 beschriebenen Anzeigeschaltflächen bedienen. Noch effektiver ist die Manipulation mit der Maus: ZOOM

Halten Sie die Ctrl- und die Shift-Taste gedrückt, greifen Sie das Modell mit der linken Maustaste und bewegen Sie die Maus nach rechts oder links. Das Modell

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 109

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

kann vergrößert oder verkleinert werden (alternativ: Ctrl-Taste halten und mittlere Maustaste verwenden). ROTATE

Halten Sie die Ctrl-Taste gedrückt und greifen Sie das Modell mit der linken Maustaste. Je nachdem, wo Sie das Modell „anfassen“ und in welche Richtung Sie die Maus bewegen, ändert sich die Drehachse der Rotation.

SHIFT

Halten Sie die Ctrl-Taste gedrückt und greifen Sie das Modell mit der rechten Maustaste. Schieben Sie sich das Modell in die gewünschte Position.

5.4.3.2. Ändern der Anzeigefarben Geben Sie die folgenden Befehle ein: VIEW GEOMETRY ALL VIOLET LABEL GEOMETRY LINES ALL GREEN LABEL GEOMETRY POINTS ALL BLUE LABEL GEOMETRY SURFACES ALL ORANGE Das Geometriemodell sollte nun schön bunt aussehen.

5.4.3.3. Erstellen einer Grafikdatei des Zeichenfensters Für das Erstellen von Grafikdateien, die mit anderen Programmen weiterverarbeitet werden können, bieten sich in iDIANA vor allem die Dateiformate .tif und .ps an. Zunächst muss das gewünschte Format gewählt werden: UTILITY SETUP PLOTTER FORMAT TIFF anschließend kann das Zeichenfenster in dem Grafikformat gespeichert werden: DRAWING SAVE PLOTFILE decke.tif soll eine neue Datei erstellt werden? yes wir können eine Beschriftung eingeben: unser erstes Plotfile

Seite 110

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Das Ergebnis sollte ungefähr so aussehen:

Bild 82:

Plotfile der Geometriedaten

5.4.3.4. Verwenden von SETs Es ist in der Regel von Vorteil, die eingegebenen Geometriedaten in sogenannten SETs zu gruppieren. Zum einen können so zu definierende Eigenschaften, wie zum Beispiel die Materialeigenschaften, in rationeller Weise für mehrere Objekte gleichzeitig durchgeführt werden. Zum anderen empfiehlt sich das Anlegen von SETs für die Darstellung der Berechnungsergebnisse mit FEMVIEW, da so bestimmte Teile des Netzes sehr einfach ein- oder ausgeblendet werden können. Die Steuerung der SETs erfolgt mit dem Befehl CONSTRUCT SET und den folgenden Unterbefehlen: OPEN

öffnet ein vorhandenes oder neues SET. Es können mehrere SETs geöffnet sein. Alle GEOMETRY-Befehle wirken sich auf alle geöffneten SETs aus!

APPEND

fügt ein Objekt den geöffneten SETs hinzu.

REMOVE entfernt ein Objekt aus den geöffneten SETs. CLOSE

schließt das angegebene oder zuletzt geöffnete SET.

Weiter in unserem Beispiel: CONSTRUCT SET OPEN lager

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 111

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

CONSTRUCT SET APPEND L1 CONSTRUCT SET APPEND L2 CONSTRUCT SET CLOSE Es wird neues Set mit dem Namen lager geöffnet und die zwei Linien, welche die späteren Auflagerlinien darstellen, hinzugefügt.

5.4.4. Netzgenerierung Bislang haben wir lediglich Geometriedaten definiert, von einem FEM-Netz mit Knoten und Elementen ist noch nichts zu sehen. Um aus den geometrischen Daten nun das FEM-Netz zu generieren, benötigt das Programm vom Nutzer Angaben zu den gewünschten Elementen und der Beschaffenheit des Netzes. Wir wollen zunächst die zu verwendenden Elemente festlegen. Es handelt sich um Schalenelemente mit quadratischem Ansatz der Verschiebung und demnach 8 Knoten je Element. Die Bezeichnung lautet CQ40F, die 40 steht dabei für die Anzahl der Freiheitsgrade eines Elementes. MESHING TYPES ALL QU8 CQ40F Nun muss noch die Anzahl und Lage der Elemente in unserem Netz festgelegt werden. Hierzu verwendet iDIANA die Angabe von Linienteilungen. Die Netzdichte von Flächen und Körpern wird somit indirekt über die Angabe der Elementanzahl je Kante gesteuert. Ein Unterabschnitt (DIVISION) stellt dabei den Abstand von Knoten zu Knoten dar, so dass Elemente mit Mittelknoten für die gleiche Anzahl von Elementen die doppelte Anzahl von DIVISIONs benötigen: MESHING DIVISION PROPAGATE L1 48 MESHING DIVISION PROPAGATE L4 24 MESHING DIVISION PROPAGATE L5 8. Das derart festgelegte Netz besteht aus quadratischen Schalenelementen mit einer Kantenlänge von 50 cm. Der Zusatzbefehl PROPAGATE bewirkt, dass die Werte nicht nur auf die angegebene Linie bezogen werden, sondern auch auf alle gleichartigen parallelen Linien. Wir lassen uns die definierten Teilungen mit LABEL GEOMETRY DIVISIONS anzeigen. Der Befehl: MESHING GENERATE führt die eigentliche Vernetzung aus. Seite 112

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

VIEW MESH ALL Zeigt das generierte Netz in seiner Elementteilung an.

Bild 83:

FEM-Netz

5.4.4.1. Definition der Lagerungsbedingungen Die Lagerungsbedingungen werden mithilfe des Befehls PROPERTY BOUNDARY CONSTRAINTS definiert. In diesem Fall sollen zwei um die y-Achse frei drehbar definierte Linienlagerungen der Linien L1 und L2 (sind im SET lager zusammengefasst) angegeben werden. PROPERTY BOUNDARY CONSTRAINTS lager X Y Z RX RZ Angegeben werden jeweils die gesperrten Freiheitsgrade, hier die Verschiebungen in x, y und z-Richtung sowie die Verdrehung um die x- und die z-Achse. LABEL MESH CONSTRNT

zeigt die eingegebenen Lagerungsbedingungen.

5.4.4.2. Eingabe der Belastung Die Belastungen können in verschiedenen Lastfällen gruppiert werden. Sie werden in ähnlicher Weise eingegeben, wie die Lagerungsbedingungen. In unserem Fall soll zunächst das Eigengewicht der 24 cm starken Platte als Lastfall 1 definiert sein und eine Verkehrslast von 5 kN/m² als unabhängige Einwirkung auf Feld- und Kragbereich wirken (LF 2 und 3). PROPERTY LOADS GRAVITY 1 ALL -9.81 Z

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 113

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

PROPERTY LOADS PRESSURE 2 feld –5000 Z PROPERTY LOADS PRESSURE 3 krag –5000 Z Mit LABEL MESH LOADS 1 RED LABEL MESH LOADS 2 BLUE LABEL MESH LOADS 3 ORANGE kann die Eingabe überprüft werden.

5.4.4.3. Material- und Querschnittseigenschaften Um die Eingabe des FEM-Modells zu komplettieren, müssen die Materialeigenschaften für die verwendeten Elemente festgelegt werden. Weiterhin werden noch Querschnittswerte für die Modellierung der dreidimensionalen Decke als zweidimensionales Plattentragwerk benötigt. Zweckmäßigerweise geschieht die Eingabe dieser Werte mithilfe des sogenannten PropertyManagers, da dort die in DIANA verfügbaren Material- und Querschnittsmodelle hinterlegt sind und somit die Werte interaktiv gesetzt werden können. Der Property-Manager wird über die Menüleiste des Fensters (nicht die Menüleiste rechts) unter Tools aufgerufen. Um Materialeigenschaften einzugeben, erweitern wir im Baum links den Eintrag Material und wählen Properties an. Daraufhin öffnet sich ein Dialog in dem im oberen Bereich zunächst ein Name für das einzugebende Material festgelegt wird (hinter: Hierarchical Instance Name). Wir tragen hier „Beton“ ein. Darunter befinden sich mehrere Reiter für die Angabe der verschiedenen Materialwerte. Für uns sind dabei insbesondere die Reiter „Linear Elasticity“ und „Static Nonlinearity“ von Interesse. In diesem Beispiel soll die Deckenplatte jedoch nach althergebrachter Methode linear-elastisch berechnet werden, so dass wir den ersten Reiter „Linear Elasticity“ anwählen. Die Auswahl „Concept“ setzen wir auf Isotropic für ein isotropes Materialverhalten, den EModul geben wir mit 3E10 N/m² an, die Querdehnzahl sei 0.17 (Als Dezimaltrennzeichen ist ein Punkt einzugeben!). Für den Lastfall Eigengewicht fehlt nun noch die Angabe der Masse. Der entsprechende Wert von 2500 kg/m³ wird unter dem Reiter „Mass“ mit dem Concept „Mass density“, d. h. mit gleichmäßig verteilter Masse, angegeben. Das neue Material ist mit „Add“ zu bestätigen, der Dialog kann mit OK verlassen werden. Die Zuweisung des eingegebenen Materials zum Netz erfolgt mit dem Befehl: PROPERTY ATTACH ALL MATERIAL Beton

Seite 114

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Die Definition der Querschnittsdaten erfolgt in gleicher Weise mit dem Property-Manager. Erweitern Sie im linken Baum des Property-Managers den Eintrag „Physical“. Tragen Sie die Bezeichnung „quer“ im oberen Textfeld ein und wählen Sie den Reiter „Geometry“ an. Als Concept stellen wir „Plate Bending“ ein. Als Sub-Concept wird „Isotropic“ gewählt. Beenden Sie den Dialog, indem Sie „Add“ und anschließend „OK“ anklicken. PROPERTY ATTACH ALL quer weist den Elementen die eingegebenen Parameter zu.

5.4.4.4. Erstellen der [.dat]-Datei Damit ist die Eingabe unseres FEM-Netzes abgeschlossen. Dies ist ein günstiger Zeitpunkt, um, falls nicht bereits geschehen, die Daten abzuspeichern: SAVE Bislang ist unser Netz lediglich für das Modul FEMGEN lesbar. Um mithilfe von diana.exe die eigentliche Berechnung durchführen zu können, müssen wir eine [.dat]-Datei (siehe oben) erstellen lassen. UTILITY WRITE DIANA Beenden wir nun das Präprozessor-Modul FEMGEN und kehren in den Indexbereich von iDIANA zurück. INDEX

5.5. GUI - gestützte Analyse Wie schon im Abschnitt 5.2 festgestellt wurde, benötigt DIANA Anweisungen, wie mit den Daten der [.dat]-Datei zu verfahren ist. Als Alternative zur manuellen Eingabe der hierzu nötigen Befehle stellt iDIANA ein interaktives Tool zur Erstellung der Kommandodatei und Durchführung der Berechnung zur Verfügung. Das Analyse-Tool wird aus dem Indexbereich heraus durch Anklicken oder Eingeben des Befehles ANALYSE gestartet. Nach der Angabe der gewünschten Modellbezeichnung öffnet sich zunächst ein Dialog zur Initialisierung der Berechnung. In der Regel wird es nicht nötig sein, an den Pfadangaben etwas zu ändern. Die wichtigste Einstellung ist demnach auch die Auswahl des Analysetyps am unteren Rand des Dialoges. Für unser Beispiel wählen wir ’Structural linear static’. Erwähnenswert ist der Edit-Schalter im DatafileAbschnitt. Hiermit kann die bearbeitete [.dat]-Datei sehr bequem eingesehen werden.

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 115

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 84:

IANA

Initialisierungsdialog

Das Anklicken des OK - Schalters beendet den Initialisierungsdialog und diana startet das Einlesen der Daten in das FILOS-file. Die Aktionen bis hierher entsprechen den in 5.2 beschriebenen Modulen *FILOS und *INPUT. Nach dem erfolgreichen Einlesen der Daten erscheint das eigentliche Analyseformular. Im Hauptfenster des Formulars befinden sich die drei Reiter Initialize, „Solve“ und „Output“. Bei nichtlinearen Rechnungen findet man anstelle von Solve die beiden Reiter „Type“ und „Execute“. Hier werden die für die Erstellung nötigen Angaben getroffen. Für Standardfälle sind alle Eingaben mit vordefinierten Werten besetzt, so dass sich der Nutzer nur auf die für ihn wesentlichen Änderungen konzentrieren muss. Die mit dem Tool erstellten [.com]-Dateien können im Menü „File“ gespeichert und geladen werden. Der Schalter „Run“ (►) startet die Berechnung:

Hinweis:

Den derart erstellten Kommandodateien fehlt das Modul *INPUT; sollen sie wie in 5.2 beschrieben direkt verwendet werden, muss dieser Eintrag ergänzt werden.

Die Befehle des Reiters „Initialize“ betreffen die Vorbereitung des Netzes für die Berechnung, wie zum Beispiel die Überprüfung, ob eine ungünstige Elementform die Ergebnisse beeinflussen könnte (Evaluate).

Seite 116

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Unter „Solve“ lässt sich einstellen, wie das lineare Gleichungssystem gelöst werden soll. Zur Auswahl stehen eine iterative und eine direkte Methode. Die iterative Variante liefert in der Regel auch dann noch Ergebnisse, wenn die direkte Lösung nicht zu Lösungen führt.

Bild 85:

Output - Reiter

Im letzten Reiter „Output“ werden die Einstellungen für die Ergebnisausgabe eingetragen. Unter „Device“ kann ausgewählt werden, in welcher Form die Ergebnisse gespeichert werden sollen. Im Bereich „Model“ wird die Ausgabe gegebenenfalls auf bestimmte Elemente oder Knoten beschränkt. Die für uns wesentlichen Einstellungen werden jedoch im Bereich „Results“ ermöglicht. Hier wird festgelegt, welche Größen (Verschiebungen, Spannungen, Kräfte usw.) berechnet und ausgegeben werden sollen. Wir möchten uns die Knotenverschiebungen, Auflagerkräfte und Plattenmomente ausgeben lassen. Wählen Sie hierzu den Radio-Button ’user selection’ an und klicken Sie auf „Modify“. Im sich nun öffnenden Dialog befinden sich im linken Fensterbereich die möglichen Ergebnisse. Um einen Ergebnistyp auszuwählen, muss dieser markiert werden und mittels „Add“ der rechten Auswahlliste hinzugefügt werden. Wird der Grundtyp eines Ergebnisses (z. B.: DISPLA) markiert, Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 117

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

so öffnet sich der Unterzweig und der Nutzer wird zum wichtigsten Eintrag geleitet (Fett dargestellt).

Bild 86:

Ergebnisauswahl

Wir fügen die Einträge DISPLA TOTAL TRANSL GLOBAL, FORCE REACTI TRANSL GLOBAL sowie STRESS TOTAL DISMOM LOCAL zur Liste der rechten Seite hinzu. Erstere stehen dabei für die Knotenverschiebungen und Auflagerreaktionen im globalen Koordinatensystem, letzteres für die Momente. Mit „OK“ wird der Dialog geschlossen Starten Sie nun die Berechnung!

(Run s.o.)

Es erscheint ein Statusfenster, in welchem der Fortschritt und eventuelle Fehlermeldungen der Berechnung eingesehen werden können. Die Voreinstellung für das Format der Ausgabedatei ist die Ausgabe in einer FEMVIEW-Datei, so dass wir uns die erzielten Ergebnisse im iDIANA-Postprozessor FEMVIEW ansehen können.

5.6. FEMVIEW Das Modul FEMVIEW wird aus dem Indexbereich heraus gestartet. FEMVIEW Decke. Der Arbeitsbereich des Postprozessors wird geöffnet. Die Menüleiste enthält die Grundbefehle der Ergebnisbearbeitung und Darstellung. Der Befehlszeilenprompt zeigt FV>.

Seite 118

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 87:

IANA

FEMVIEW Arbeitsfenster

Bild 87 zeigt den Arbeitsbereich mit der Ausgabe des folgenden Befehles: UTILITY TABULATE LOADCASES Angegeben sind die drei Lastfälle mit den jeweils verfügbaren Ergebnissen. Die berechneten Zahlenwerte der Ergebnisse sind auf verschiedene Bezugspunkte bezogen. Während die Knotenverschiebungen DTX und die Auflagerreaktionen FBX jeweils für die Knoten angegeben sind (NODAL), ist das Moment ein Elementergebnis (ELMNT). Diese Unterscheidung hat Auswirkungen auf die Darstellbarkeit der Ergebnisse. Mit VIEW MESH lassen wir uns das FEM-Netz als Gitterliniennetz anzeigen, um die Durchbiegung der Platte zu kontrollieren. Mit den folgenden Befehlen wählen wir das anzuzeigende Ergebnis aus. Mit der LOADCASE-Option wird der Lastfall ausgewählt. NODAL in Verbindung mit DT wählt die Knotenverschiebungen als darzustellendes Ergebnis aus. DTZ stellt dabei die Komponente der Verschiebung in z-Richtung dar. RESULTS LOADCASE LC1 RESULTS NODAL DTX…G DTZ

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 119

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

PRESENT CONTOUR LEVELS Der letzte Befehl bewirkt, dass die Werte der Verschiebung mithilfe verschiedener Farben im Netz selbst dargestellt werden. In der Legende der Zeichenfläche wird das dargestellte Ergebnis und der verwendete Lastfall ausgegeben. Außerdem sind die Extremwerte angegeben. Natürlich lassen sich die Verschiebungen auch in Form einer Netzverformung anzeigen: PRESENT SHAPE Manchmal kann es nützlich sein, Ergebnisse an einem verformten Modell darstellen zu lassen. Wir nutzen hierzu die Verschiebungen in z-Richtung. VIEW OPTIONS DEFORM USING DTX….G DTZ EYE ROTATE TO 75 -10 Nun lassen wir uns das Plattenmoment in x-Richtung anzeigen: RESULTS ELEMENT EL.MXX.L MXX PRESENT CONTOUR LEVELS 5 Die „5“ hinter dem Befehl PRESENT bewirkt dabei, dass lediglich fünf verschiedene Wertebereiche dargestellt werden. Oft sollen die Werte entlang einer Linie als Diagramm ausgegeben werden. Zunächst muss diese vorgegeben werden. Hierzu sollten wir das Netz wieder undeformiert und in der Ansicht von oben anzeigen lassen: VIEW OPTIONS DEFORM OFF EYE ROTATE TO 0 Die Linie wird mithilfe des Befehles CONSTRUCT LINE und Anklicken der Knoten im Modell erstellt. Wir möchten die Momente entlang der x-Achse ausgeben. CONSTRUCT LINE NODES THROUGH /PICK

Seite 120

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 88:

IANA

Ergebnislinien erstellen in FEMVIEW

Klicken Sie die beiden äußeren Knoten (Bild 88) an und beenden Sie die Auswahl mit Escape. Die Ausgabelinie ist somit vorgegeben. Wir müssen lediglich die Diagrammattribute in einem interaktiven Prozess angeben (eigene Angaben sind fett gedruckt): PRESENT GRAPH PROMPT SPECIFY X-AXIS => DISTANCE FOR WHICH LINE(S) => OLD NUMBER OF Y-AXIS ATTRIBUTES => 1 Y-AXIS ATTRIBUTE => ELEMENT EL.MXX.L MXX FOR WHICH LOADCASE(S) => ALL

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 121

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

Bild 89:

IANA

Momentenverläufe der Lastfälle

Lassen Sie sich das Diagramm als Plotfile ausgeben (siehe 5.4.3.3)! Gerade in unserem Beispiel wäre es interessant, die Lastfälle in Lastfallkombinationen mit Teilsicherheitsbeiwerten zu kombinieren. Die maßgebenden Lastfallkombinationen sind: LK1

1.35·G+1.5·QFeld

LK2

1.35·G+1.5·QKragbereich

Wie schon bei der Diagrammerstellung, werden auch Lastfallkombinationen interaktiv abgefragt: RESULTS CALCULATE COMBINE LK1 SOURCE LOADCASE (OR ’GO’)=> LC1 SCALING FACTOR=> 1.35 SOURCE LOADCASE (OR ’GO’)=> LC2 SCALING FACTOR=> 1.5 SOURCE LOADCASE (OR ’GO’)=> GO 20 Character Ref=> max M 1.35xG+1.5xQ_F ATTRIBUTE=> ALL RESULTS CALCULATE COMBINE LK2 SOURCE LOADCASE (OR ’GO’)=> LC1 SCALING FACTOR=> 1.35

Seite 122

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

SOURCE LOADCASE (OR ’GO’)=> LC3 SCALING FACTOR=> 1.5 SOURCE LOADCASE (OR ’GO’)=> GO 20 Character Ref=> min M 1.35xG+1.5xQ_K ATTRIBUTE=> ALL Lassen Sie sich nun die Momentenlinien für die Lastfallkombinationen ausgeben!

Bild 90:

Momente der Lastfallkombinationen

Zum Abschluss möchten wir uns noch die Reaktionskräfte der Lagerlinien anschauen; zunächst als Vektoren: VIEW MESH ALL RESULTS LOADCASE LK1 RESULTS NODAL FBX….G FBZ PRESENT VECTORS EYE ROTATE TO 75 -20 0 Um einzelne Werte bestimmen zu können, ist die numerische Ausgabe der Werte wählbar: PRESENT NUMERIC

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 123

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

Falls die Anzeige zu unübersichtlich ist, können wir die unterschiedliche Färbung der Zahlenwerte auch ausschalten: PRESENT OPTIONS NUMERIC MODULATE OFF PRESENT NUMERIC Nachdem wir nun ein eigenes Modell eingegeben und berechnet haben, können wir die iDIANA Sitzung beenden. STOP yes

Seite 124

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

IANA

6.

Literatur

[1]

ABERSPACH, Lars: Numerische Untersuchung des Tragverhaltens älterer Stahlbetonkonstruktionen unter Brandbeanspruchung und Löschwasserangriff. Diplomarbeit am Fachgebiet der TU-Berlin. Berlin 2005.

[2]

AMLER, Jens: Betonverhalten bei hohen Temperaturen und triaxialer Beanspruchung – FE-Modell auf Basis der Betonstruktur, Heft 134. Institut für Baustoffe, Massivbau und Brandschutz. Braunschweig 1997

[3]

ARNDT, Ralf: Dreidimensionale analytische Untersuchung zum Biege- und Querkrafttragverhalten von Stahlbetonquerschnitten mit Hilfe nichtlinearer Finite-Elemente-Verfahren. Diplomarbeit am Fachgebiet Stahlbetonbau der TU-Berlin, Berlin 2003.

[4]

BABRAUSKAS, Vytenis: COMPF2 – A Programm for Calculating Post-Flashover Fire Temperatures. National Bureau of Standards, Technical Note 991. 1979.

[5]

BATHE, Klaus-Jürgen: Finite-Elemente-Methoden, Deutsche Übersetzung von Peter Zimmermann, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1986

[6]

BRÜGGELING, A. S. G.: Structural conrete: Science into Practice, HERON Nr.32, Stevin Laboratory of the Department of Civil Engineering und Delft University of Technology, Delft (Niederlande) 1987

[7]

CEB (Comite Euro-International du Beton): CEB-FIP Model Code 1990. Final Draft. Chapters 1-3, Bulletin d’information No. 203, 1991

[8]

CHEN, W.F. und HAN, D.J.: Plasticity for Structural Engineers. Springer-Verlag, New York 1988.

[9]

CHRISTEN, Marc: Rissbildung in einem zusammengesetzten Werkstoff. Institut für Baustoffe, Werkstoffchemie und Korrosion, ETH Zürich, Zürich 1997

[10]

DE BORST, René und MEYER, Christian: Numerische Probleme bei nichtlinearem Tragwerksverhalten. In: „Der Ingenieurbau, rechnerorientierte Baumechanik“, Bd. 6, Seiten 427 – 488. Ernst und Sohn, Kassel 1995.

[11]

DIANA USER MANUAL: Release 8.1 Second Edition, TNO DIANA BV, Delft 2003

[12]

DIANA USER MANUAL: Release 9, TNO DIANA BV, Delft 2005

[13]

DIN 1045-1: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton, Teil 1: Bemessung und Konstruktion. Beuth Verlag, Berlin Juli 2001

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 125

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

[14]

IANA

GALLAGHER, Richard H.: Finite-Elemente-Analysis Grundlagen. Aus dem Englischen übertragen von K. Hutter, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1976

[15]

GAULKE, Alexander: Numerische Analysen zum Verformungs- und Bruchverhalten biegeund querkraftbeanspruchter Plattentragwerke aus Stahlbeton unter besonderer Berücksichtigung zeitabhängiger nichtlinearer Materialgesetze. Diplomarbeit am Fachgebiet Stahlbetonbau der TU-Berlin, Berlin 2003.

[16]

GOLOWIN, Andrej: Überspannungskonzept zur Modellierung von duktil-spröden Deformationsprozessen in Stahlbeton. Fraunhofer IRB Verlag, Berlin 2001.

[17]

JOFRIET, Jan C. und MCNEICE, Gregory M.: Finite Element Analysis of reinforced concrete slabs. Journal of the Structural Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers, März 1971, S. 785 – 806

[18]

JOHOW, Markus: Schalenbau, Reinforced Concrete Structures Modelling and Analysis using DIANA, Skript des Fachgebietes Stahlbetonbau der TU Berlin, Berlin 2003

[19]

KABIR, Ahmad Fazlul: Nonlinear analysis of reinforced concrete panels, slabs and shells for time-dependent effects. Department of civil Engineering, Division of Structural Engineering and Structural Mechanics, University of California, Berkeley, CA 94720 1976

[20]

KERKENI, Naceur: Zur Anwendung der FE-Methode bei Spritzbeton verstärkten Stützen. Lehrstuhl und Institut für Massivbau RWTH Aachen Heft 11, Aachen 2000

[21]

KORDINA, Karl und MEYER-OTTENS, Claus: Beton Brandschutz-Handbuch. Bau + Technik. Düsseldorf 1999

[22]

KUPFER, Helmut: Das Verhalten des Betons unter mehrachsiger Kurzzeitbelastung unter besonderer Berücksichtigung der zweiachsigen Beanspruchung. DAfStb Heft 229, Berlin 1973

[23]

LINSE, D. und STEGBAUER, A.: Festigkeit und Verformungsverhalten von Leichtbeton, Gasbeton, Zementstein und Gips unter zweiachsigen Kurzzeitbeanspruchungen. DAfStb Heft 254, Berlin 1976

[24]

LEONHARDT, Fritz: Vorlesungen über Massivbau. Fünfter Teil: Spannbeton. Springer-Verlag, Berlin 1980.

[25]

LUNDGREN, K.: Three Dimensional Modelling of Bond in Reinforced Concrete, Ph.D. Thesis, University of Technology Göteborg, Göteborg 1999

[26]

MEHLHORN, Gerhard und KOLLEGGER, Johann: Anwendung der Finite Elemente Methode im Stahlbetonbau. In: „Der Ingenieurbau, rechnerorientierte Baumechanik“, Bd. 6, Seiten 293 – 425. Ernst und Sohn, Kassel 1995.

Seite 126

Fachgebiet Massivbau

Technische Universität Berlin

FEM im Massivbau, nichtlineare Methoden mit TNO

[27]

IANA

NITSCHKE, Matthias: Numerische Analysen zum Verformungs- und Bruchverhalten schubbeanspruchter Scheibentragwerke aus Mauerwerk unter besonderer Berücksichtigung nichtlinearer Materialgesetze der Steine und der Mörtelfugen. Diplomarbeit am Fachgebiet Massivbau der TU-Berlin, Berlin 2004.

[28]

PÖHNER, Sven: Analytische Untersuchung zum Bruchverhalten eines biege- und querkraftbeanspruchten Stahlbetonquerschnitts unter besonderer Berücksichtigung nichtlinearer Materialgesetze und deren Verbundwirkung. Diplomarbeit am Fachgebiet Stahlbetonbau der TU-Berlin, Berlin 2003.

[29]

ROTS, J.G. und BLAAUWENDRAAD, J.: Crack models for concrete: Discrete or rotating? Fixed, multi-directional or rotating? Heron Volume 34 No. 1, Delft 1989

[30]

SCHAPER, Gerhard: Berechnung des zeitabhängigen Verhaltens von Stahlbetonplatten unter Last- und Zwangsbeanspruchung im ungerissenen und gerissenen Zustand. DAfStb Heft 338, Berlin 1982.

[31]

SCHOLZ, Wilhelm et al.: Baustoffkenntnis. 13. Auflage, Werner-Verlag, Minden 1995

[32]

STEINERT, Carola: Bestimmung der Wärmeübergangsbedingungen auf Bauteile im Brandfall, Heft 120. Institut für Baustoffe, Massivbau und Brandschutz. Braunschweig 1996

[33]

VAN MIER, Jan G. M.: Fracture of Concrete under complex stress. Heron Volume 31 No. 1, Delft 1986.

[34]

VAN MIER, Jan G. M.: Examples of non-linear analysis of reinforced concrete structures with DIANA. Heron Volume 32 No. 3, Delft 1987

[35]

WICHMANN, Aiko: Modellversuche zum Querkrafttragverhalten von Flachdecken. Diplomarbeit am Fachgebiet Stahlbetonbau der TU-Berlin, Berlin 2002.

[36]

WINKLER, Bernhard Josef: Traglastuntersuchungen von unbewehrten und bewehrten Betonstrukturen auf der Grundlage eines objektiven Werkstoffgesetzes für Beton. innsbruck university press, Innsbruck 2001.

[37]

ZIENKIEWICZ, Olgierd C.: Methode der finiten Elemente. Carl Hanser Verlag, München 1975

Technische Universität Berlin

Fachgebiet Massivbau

Seite 127