Technische Universität Dresden Fakultät Maschinenwesen / IFKM

Professur für Getriebelehre Prof. Dr. rer. nat. habil. Modler

Komplexe Zahlen - Rechenregeln ______________________________________________________

Rechenregeln – Komplexe Zahlen

A = x A + iy A = rAeiϕ

A

A = x A − iy A = rAe − iϕ

A

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

A = xA + y A

e − iϕ = cosϕ − i sin ϕ

e =i

2

2

2

i π2

-----------------------------------------------Komplexes Produkt (Drehstreckung) AB = ( x A + i y A )( x B + i y B ) = A B e i (α + β )

AB = BA

kommutativ

( A + B ) C = AC + BC distributiv ( AB ) C = A (BC ) assoziativ A B = (a b ) e i (α − β ) a= A , b= B

-----------------------------------------------Inneres Produkt (Skalarprodukt, Punktprodukt)

( A, B ) = 12 (AB + A B ) = x A x B + y A y B =

( A, B ) = (B, A) ( A + B, C ) = ( A, C ) + (B, C ) (( A, B ), C ) ≠ ( A, (B, C ))

A B cos(α − β )

-----------------------------------------------Äußeres Produkt (Vektorprodukt, Kreuzprodukt)

[A, B ] = 2i (AB − A B ) = x A y B − y A x B =

[A, B ] = −[B, A] alternierend [A + B, C ] = [A, C ] + [B, C ] [ [A, B ], C ] ≠ [A, [B, C ] ]

A B sin (β − α )

-----------------------------------------------Weitere Rechenregeln

( A, A) = AA = x A 2 + y A 2 = ( A, B ) + i [A, B ] = A B

(1, A) = Re A [1, A] = Im A

A

2

( Ai, B ) = [A, B ] [A, Bi ] = ( A, B )

2 [A, B ] (C , D ) = [AC , BD ] + [AD, BC ] 2 [ A, B ] ( A, B ) = [AA, BB ] + [AB, AB ] = [A 2 , B 2 ] _,_

(_,_ )

und

[_,_ ]

A, Bc = Ac, B = c A, B

AC , BC = ACC , B = CC A, B

A, BC = AC , B

A, Bi = − Ai , B

Ae iϕ , Be iϕ = A, B Drehregel ______________________________________________________

Zwanglauf und Getriebefreiheitsgrad Der Getriebefreiheitsgrad F gibt die Anzahl der Antriebsparameter eines Getriebes an, damit alle Getriebeglieder eindeutige Bewegungen ausführen. Die meisten Getriebe haben den Getriebefreiheitsgrad F = 1 .

Lehrsatz: Ein Getriebe ist zwangläufig, wenn der Stellung des Antriebsgliedes bzw. der Antriebsglieder die Stellungen der übrigen Getriebeglieder eindeutig zugeordnet sind.

F = b(n − 1) − ∑ (b − f ) − ∑ f id e

Allgemeine Zwanglaufgleichung

g =1

Im Raum mit b = 6 und f ≤ 5 Freiheiten folgt:

e

F = 6 (n − 1) − ∑ (6 − f ) − ∑ f id g =1

Ebene Getriebe In der Ebene mit b = 3 und f ≤ 2 Freiheiten folgt :

F = 3(n − 1) − ∑ (3 − f ) e

g =1

Ebene Getriebe, die nur Dreh- und Schubgelenke mit dem Gelenkfreiheitsgrad f = 1 aufweisen, werden mit dem Zwanglaufkriterium nach GRÜBLER bewertet:

F = 3(n − 1) − 2e . Ebene Getriebe, die Dreh- und Schubgelenke mit dem Gelenkfreiheitsgrad f = 1 und Kurvengelenke mit f = 2 aufweisen, werden mit dem Zwanglaufkriterium nach ALT bewertet:

F = 3(n − 1) − 2e1 − e2 . e1 - Anzahl der Gelenke mit f = 1 ( Drehgelenke, Schubgelenke ) e2 - Anzahl der Gelenke mit f = 2 ( Kurvengelenke )

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Getriebetechnik Umdruckblatt 1

Übertragungswinkel nach ALT Der Übertragungswinkel

 tritt im Gelenkpunkt zwischen Übertragungsglied und

angetriebenem Glied auf. Er ist stets der spitze Winkel zwischen absoluter und relativer Bewegungsrichtung dieses Gelenkpunktes.

ta

0    90

B





Übertragungsglied

    90

3

tr

nr

  0   90





4

B0 keine Bewegung möglich

angetriebenes Glied

1

na 

optimale Bewegungsübertragung

Koppelgetriebe :

 min  40 als grober Richtwert

Kurvengetriebe :

 min  50 als grober Richtwert

Der minimale Übertragungswinkel

 min tritt beim Viergelenkgetriebe in einer der

Gestelllagen (Decklage oder Strecklage von Gestell 1 und Antriebsglied 2) auf.

Beispiel

1 = 49° = min 2 = 89° 4 3

 2 1

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1

Getriebetechnik Umdruckblatt 2

Polygonmethode Die Polygonmethode ist ein graphisches Verfahren zur Ermittlung von Momentanpolen. Insbesondere bei höhergliedrigen Getrieben besteht eine bessere Übersicht hinsichtlich der Reihenfolge der zu ermittelnden Pole. Vorgehensweise 1) 2) 3) 4)

Bezeichnung aller Getriebeglieder im Lageplan (Gestell 1, Antrieb 2 usw. bis Glied n). Zeichnen des Polygons als n-Eck mit den n Getriebegliednummern. Kennzeichnen der sofort erkennbaren Momentanpole (Strukturpole bzw. Gelenke) durch Verbinden der jeweils 2 entsprechenden Polygonpunkte. Ermitteln und Markieren weiterer Momentanpole der Polkonfiguration durch entsprechende Verbindungslinien im Polygon. Nach dem Theorem von ARONHOLD/KENNEDY (Satz von den 3 Momentanpolen) ergibt sich ein gesuchter Momentanpol im Schnittpunkt zweier Polgeraden. Diese Polgeraden können im Lageplan gezeichnet werden, wenn im Polygon über der dem gesuchten Momentanpol entsprechenden Verbindungslinie bereits zwei "Dreiecke" existieren. z.B. Momentanpol 13 : Dreieck 1 2 3 mit den Seiten 12 – 23 – 13 Dreieck 1 4 3 mit den Seiten 14 – 34 – 13

Beispiele

Lageplan 23

1

2

4 2

24

Polygon

34

3

1

12

4

14

13

12 - 23 14 - 34

24

12 - 14 23 - 34

3

13

Polygon

Lageplan 13

35

5

36

6

23

2

3

6

15

4 2

24 1 13

56

34

3

1

12 - 23 14 - 34

12

1 24

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12 - 14 23 - 34

14

1 15

5

16 16 - 56 13 - 35

36

13 - 16 35 - 56

4 usw. Getriebetechnik Umdruckblatt 3

Polstreckenverfahren Das Polstreckenverfahren ist ein graphoanalytisches Verfahren zur Ermittlung von Übersetzungsverhältnissen.

Das

Übersetzungsverhältnis

wird

als

Quotient

zweier

Winkelgeschwindigkeiten definiert und lässt sich als Verhältnis zweier Polstrecken darstellen.

Polbahn 4 4 ω41

ω21

C(2)

2

C(4) 24

r12

12

14

1

1

r14 Polbahn 2 Die relative Bewegung der Glieder 2 und 4 ist durch das Abrollen der zu diesen Gliedern gehörigen Polbahnen bestimmt. Im Momentanpol 24 liegen die Punkte C (2 ) und C (4 ) der Glieder 2 und 4. Die Betrachtung der Relativbewegung der Ebenen 1, 2 und 4 führt zu folgenden Beziehungen.

Prinzip der zyklischen Vertauschung 1

2

C

vC 21 + vC 14 + vC 42 = 0

→

vC 21 = vC 41 + vC 24

4

Da C (2 ) und C (4 ) im Pol 24 liegen, ist vC 24 = 0 und vC 21 = vC 41 .

vC 21 = ω 21 ⋅ r12

mit

r12 = 12 − 24

vC 41 = ω 41 ⋅ r14

mit

r14 = 14 − 24

ω 21 ⋅

12 − 24 14 − 24 = ω 41 ⋅ M M

ω 41 12 − 24 r12 = = ω 21 14 − 24 r14

→

i41−21 =

gleichgerichtet

→

positive Übersetzung

entgegengesetzt gerichtet

→

negative Übersetzung

Die Polstrecken sind gerichtete Strecken.

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Getriebetechnik Umdruckblatt 4

Drehschubstrecke Die Drehschubstrecke nach HAIN entspricht einer Polstrecke und ist stets positiv. Als einfache Drehschubstrecke stellt sie den Zusammenhang bei der Relativbewegung dreier Ebenen dar, wobei eine Ebene eine Translationsbewegung ausführt. Damit existiert ein formelmäßiger Zusammenhang zwischen einer Geschwindigkeit v und einer Winkelgeschwindigkeit

ω.

14 ∞

vC21 = vC41 = vB = v41

24 = C

r41-21

23

r

ω21 1

3

12

34 B

4

1

v41 Für das gezeigte Getriebe lautet die Drehschubstrecke :

v41

r41−21 =

ω 21

= 12 − 24 =

r41−21 M

mit M als Zeichenmaßstab.

Herleitung Im Pol 24 wird ein Punkt C angenommen, der sowohl zu Glied 2 als auch zu Glied 4 gehört. Die Relativgeschwindigkeit vC 24 ist gleich Null, nicht aber vC 21 und vC 41 .

vC 21 = ω 21 ⋅ 12 − 24

vC 41 = v41

Da ein Punkt, der zu zwei Ebenen gehört, die gleiche Geschwindigkeit besitzt, gilt :

vC 21 = vC 41 = vB = v41 Mit vC 21 = ω 21 ⋅ 12 − 24 folgt

→

ω 21 ⋅ 12 − 24 = v41 v41

ω 21

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vC 21 = v41 . bzw.

= 12 − 24

Getriebetechnik Umdruckblatt 5

Winkelhebelprinzip

v

- Ermittlung über das Winkelhebelprinzip am zweipunktig gesteuerten Dreigelenkbogen

Geg.:

v A , vB , nA , nB

Ges.:

vC , nC

PAC tC

nC C

nA

vC PBC vB

A

vC vB

B

vA vA

*

nCB

nCA nB

0 vA

vC v-Plan

*

vCA

vC = v A + vCA

vB

vCB

v A + vCA = vB + vCB

vC = vB + vCB

Für den Fall v A = 0 oder v B = 0 liegt der einpunktig gesteuerte Dreigelenkbogen vor.

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Getriebetechnik Umdruckblatt 6

Normalbeschleunigung Eine Möglichkeit zur graphischen Ermittlung der Normalbeschleunigung ist der wechselnde Parallelenzug in seinen zwei Varianten. Der Vektor der Normalbeschleunigung zeigt stets zum Drehpunkt. Punktfolge: S → V → T → Z

A

nA

Variante 1

ρA vA aAn

tA

Z

vA

T

V

beliebige Wahl des Punktes S (S ∉ A0A)

A0 S

V

Variante 2

vA T

A

ρA

Z

aAn

beliebige Wahl des Punktes S (S ∉ A0A)

nA S A0 TU Dresden IFKM Professur für Getriebelehre

Getriebetechnik Umdruckblatt 7

Bewegungsanalyse in komplexen Zahlen Gegeben :

Viergelenkgetriebe mit Rast- und Gangsystem, Getriebeabmessungen

Gesucht :

Übertragungsgleichung, Übertragungsfunktionen

P13

y y3 A

zum Gelenkpunkt B ,

B

l3 ϕ31

l2 e iϕ + l3 e iϕ = l1 + l4 e iψ ,

x3

31

und der Multiplikation der konjugiert

l4

l2 ϕ

Ausgehend von den beiden Vektorzügen

ϕ31

komplexen Größen

l3 e iϕ = l1 + l4 e iψ − l2 e iϕ 31

ψ

l1

B0

A0

x

l3 e − iϕ = l1 + l4 e − iψ − l2 e − iϕ 31

folgt die Übertragungsgleichung

F (ϕ ,ψ ) = 0 = l12 + l22 − l32 + l42 − 2l1l2 cos ϕ + 2l1l4 cosψ − 2l2 l4 cos(ϕ − ψ ) . Vereinfacht lautet sie :

0 = A cosψ + B sinψ + C

mit

A = 2l4 (l1 − l2 cos ϕ ) B = −2l2l4 sin ϕ C = l12 + l22 − l32 + l42 − 2l1l2 cos ϕ .

Unter Anwendung der Theoreme für sin ϕ und cos ϕ mit tan

B ± A2 + B 2 − C 2 ψ = 2 arctan A−C

ϕ 2

folgt

Übertragungsfunktion 0. Ordnung

Die Übertragungsfunktionen 1. und 2. Ordnung lauten

ψ′ =

l2 l1 sin ϕ + l4 sin (ϕ − ψ ) ⋅ l4 l1 sin ψ + l2 sin (ϕ − ψ )

ÜF 1. Ordnung

l l cos ϕ + (1 − ψ ′ ) l2l4 cos(ϕ − ψ ) − ψ ′2 l1l4 cosψ ψ ′′ = 1 2 l1l4 sin ψ + l2l4 sin (ϕ − ψ ) 2

ÜF 2. Ordnung

Die zeitabhängigen Bewegungsgrößen sind

ψ& = ψ ′ϕ&

Winkelgeschwindigkeit

ψ&& = ψ ′′ϕ& 2 + ψ ′ϕ&&

Winkelbeschleunigung

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Getriebetechnik Umdruckblatt 8

Bewegungsanalyse der Schubkurbel Gegeben :

Schubkurbelgetriebe mit Rastsystem, Getriebeabmessungen

Gesucht :

Schubweg s , Geschwindigkeit s und Beschleunigung s des Gleitsteins

A l2

 a



l3 y ,s

A0 B

s

B0

x ,a Ansatzgleichung:

l 2 e i  l 3 e i  a  i s

mit

s  s  ,    t 

Schubweg (Stellung des Gleitsteins im Koordinatensystem)

s1, 2  l2 sin   l32  a 2  l2 cos  2 a  l2 cos   Geschwindigkeit

s 

l2 s cos   a sin   s  l2 sin 

s  vB  s Beschleunigung

l2 cos  2 s  a   s sin    s2 s  s  l2 sin  s  a Bt  s  s 2

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Getriebetechnik Umdruckblatt 9

Leistungssatz mit Übersetzung (PSV) Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung

Gegeben : Lageplan einer Kurbelschwinge, Gesucht :

ω 21 , M 41

M 21 34 4

3

M41

23

M21 ω21

2 24

14

12

r12

1

1

r14

Ansatzgleichung +4

M 21ω 21 − M 41ω 41 = 0

M 21 = M 41

ω 41 ω 21

mit

ω 41 12 − 24 r12 = i41− 21 = = =+ W 14 − 24 r14 ω 21

M 21 = + W ⋅ M 41 Hinweis: Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung sind durch die Orientierung der Momente bestimmt. Für den Fall, dass eine Kraft (z. B. F41 ) an einem Getriebeglied angreift, so ist die Umrechnung in das Moment (z. B. M 41 ) vorzunehmen. Die Lage des Momentanpols (z. B. P14 ) bestimmt die wirksame Hebellänge.

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Getriebetechnik Umdruckblatt 10

Leistungssatz mit Drehschubstrecke Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung

ω 21 , F41

Gegeben : Lageplan einer Schubkurbel, Gesucht :

M 21 F41(=F31)

34 4

1 3

(M31)

24 23 2

r12

M21 ω21

r41-21

12

ω31

1

r13 13

14∞

Ansatzgleichung +4

14∞

M 21ω 21 − (+ ) F41v41 = 0

M 21 = F41

v41

ω 21

mit

v41

ω 21

= r41− 21 = 12 − 24 = + W

M 21 = F41 ⋅ r41− 21 Hinweis: Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung sind durch die Orientierung der Momente bestimmt. Die Kraft F41 wird dabei als F31 betrachtet und erzeugt damit ein Moment um den Pol P13 . Das eingeklammerte Vorzeichen in der Ansatzgleichung resultiert aus dem momentan positiven Übersetzungsverhältnis i31− 21 = r12 r13 .

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Getriebetechnik Umdruckblatt 11

Leistungssatz mit h - Strecken Kräftebestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung

Gegeben : Lageplan einer Schubkurbel, v A , F41 = FB , Wirkungslinie F21 , ¬

ω 21 = +1 rad s Gesucht :

F21 = FA F41=FB

B

4

1

F21=FA

hB

A 2

WL F21

v B¬

3

v A¬

hA

A0 1

B0∞

ω21

Ansatzgleichung +4

FA ⋅ hA − FB ⋅ hB = 0

FA = FB

hB hA

Hinweis: Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung sind durch die Orientierung der Kraft um die Spitze der gedrehten Geschwindigkeit des jeweiligen Kraftangriffspunktes

bestimmt.

Antriebsgeschwindigkeit

kann

Die

darstellende

beliebig

gewählt

Größe

der

werden.

Die

maßstabsunabhängige hi - Strecke ist der lotrechte Abstand der Kraftwirkungslinie zur Spitze der gedrehten Geschwindigkeit.

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Getriebetechnik Umdruckblatt 12