Komplexe Zahlen und Funktionen

Komplexe Zahlen und Funktionen 1. komplexes Gleichungssystem z1 − iz2 = i−2 z + 3z = 6 − 6i 2 3 −2iz1 − 3iz3 = −1 − 8i 2. komplexe Gleichung Welch...
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Komplexe Zahlen und Funktionen 1. komplexes Gleichungssystem z1 − iz2 = i−2 z + 3z = 6 − 6i 2 3 −2iz1 − 3iz3 = −1 − 8i



2. komplexe Gleichung Welche z ∈ C erf¨ ullen die Gleichung 4z 2 − 4¯ z + 1 = 0? 3. konjugiert-komplexe Zahlen F¨ ur welche Zahlen z ∈ C gilt: z¯−1 = −z 4. Komplexe Gleichungen Welche z ∈ C erf¨ ullen die folgenden Gleichungen? (a) z =

2z−i 2z−2i

(b) z 4 − iz 2 + 2 = 0 (c) z = i −

i z

5. nochmals komplexe Gleichungen Welche z ∈ C erf¨ ullen die folgenden Gleichungen? (a) 4z 2 − 4¯ z+1=0 (b)

z−i z¯+i

=1

6. Untersuchung der L¨ osungsmenge Gegeben ist die quadratische Gleichnung az 2 + 2z + a = 0. F¨ ur welche Werte von a ist die Gleichung l¨ osbar, wenn folgende Bedingungen gelten sollen. Gib jeweils die entsprechenden L¨osungen an. (a) a ∈ IN und die L¨ osungsmenge ist Teilmenge von IN (b) a ∈ ZZ und die L¨ osungsmenge ist Teilmenge von ZZ (c) a ∈ IR und die L¨ osungsmenge ist Teilmenge von IR (d) a ∈ IR und die L¨ osungsmenge ist Teilmenge von C 7. Gerade und Kreis abbilden Gegeben ist die q komplexe Funktion w = f (z) = (4 + 2i)z sowie die Gerade g : y = x und der Kreis k : |z + 1| =

1 2

in der Gauss’schen Ebene.

(a) Bestimme die Bilder g 0 und k 0 die bei der Abbildung der Gerade g resp. des Kreises k mit der Funktion f (z) entstehen. (b) Beweise: Die Gerade g ber¨ uhrt den Kreis k und g 0 ber¨ uhrt k 0 . 8. abgebildetes Dreieck Gegeben sind die drei Eckpunke eines Bilddreiecks A’(2), B’(5+2i) und C’(1+2i). Das Dreieck wurde mit der Funktion w = f (x) = − 21 iz − 7 + 9i abgebildet. (a) Wie lauten die Originalpunkte A, B und C? (b) Welchen Fl¨ acheninhalt hat das Bilddreieck A’B’C’ ?(Tipp: Skizze!) (c) Wie kann auf einfache Weise aus dem Fl¨acheninhalt des Bilddreiecks und der Funktionsgleichung der Fl¨ acheninhalt des Originaldreiecks berechnet werden? Begr¨ unde und f¨ uhre es konkret aus.

9. Schnittmenge Gegeben ist der Kreis K: |z − 2 − 2i| = 5 und die Funktion w = f (z) = −i(z + i) − i. Der Kreis K werde mit der Funktion f (z) abgebildet. (a) Wie lautet die Kreisgleichung des abgebildeten Kreises K’ ? (b) K und K’ schneiden sich. Wie gross ist die gemeinsame Fl¨ache? 10. Drehzentrum gesucht √ √ Von einer Drehung kennt man den Originalpunkt P(-3+3i) und den zugeh¨orige Bildpunkt P’( 3+ 3i). Wo liegt das Drehzentrum, wenn der Drehwinkel ϕ = −120◦ betr¨agt? 11. abbilden! Gegeben ist die ganz-lineare Funktion w = f (z) = (−1 − i)z − 2 − 2i. (a) Gesucht ist der Fixpunkte von f(z). (b) Wie lautet die Gleichung des Bildes des Kreises |z − 1| = 2? (c) Welche Gerade wird auf die imagin¨are Achse abgebildet? 12. Halbmond Von einer halbkreisf¨ ormigen Figur (’Halbmond’) weiss man, dass... ... sein (Kreis-)Mittelpunkt im Punkt M(4+2i) ist, ... seine gerade Seite parallel zur reellen Achse liegt und ... sein Fl¨ acheninhalt 3π betr¨ agt. (a) Wie lauten die Gleichungen des Kreises und der Gerade, welche den Halbkreis begrenzen? (b) Mit welcher ganz-linearen Funktion mit Drehzentrum Z0 (1 − i) wird der Halbkreismittelpunkt in den Ursprung abgebildet? Wie gross wird der Radius? 13. Drehstreckung Die komplexe Funktion f (z) = (5 − 12i) · z − 8i stellt als Abbildung eine Drehstreckung dar. Vom Punkt P weiss man, dass er auf den Punkt P’(-3) abgebildet wird. Bestimme das Drehzentrum (=Fixpunkt der Abbildung!), den Streckungsfaktor sowie den Punkt P. 14. Quadrat i mit z 6= 0. Die Eckpunkte A(1 + i); B(−1 + z i); C(−1 − i); D(1 − i) eines Quadrates werden mit f (z) abgebildet. Die Bildpunkte A0 ; B 0 ; C 0 ; D0 anschliessend wieder miteinander verbunden. Welche Art Figur entsteht? Wieviel Prozent der urspr¨ unglichen Quadratfl¨ ache misst die Bildfl¨ache? Gegeben ist die komplexe Funktion f (z) = i −

15. Komplexe Abbildung Gegeben ist die komplexe Funktion w = u + iv = f (z) = z 2 + iz − i. (a) Bestimme die Fixpunkte von f (z) (b) Die reelle Achse soll mit f (z) abgebildet werden. Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten u und v. Wie sieht das Bild aus? 16. Abbilden eines Kreises Der Kreis K : |z + 7 − i| = 1 soll mit der Funktion f (z) = (−3 − i)z − 15 − 8i abgebildet werden. Wie lautet die Gleichung des Bildkreises? 17. Komplexe Gleichungen Bestimme alle L¨ osungen der komplexen Gleichungen: (a) iz 4 − 106 − 8i = iz 2 − 2z 2 (b) (1 + i) · z + (1 − i) · z¯ =

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(Achtung: Interpretiere das Resultat!)

18. Abbilden von Geraden Im Abstand 2 werden Parallelen zur imagin¨aren Achse gezogen. Diese beiden Geraden werden mit der Funktion f (z) = iz + 2 − i abgebildet. Wie lauten die Gleichungen der Bildgeraden? Welchen Abstand haben sie voneinander? 19. Gerade und Kreis abbilden Gegeben ist die q komplexe Funktion w = f (z) = (4 + 2i)z sowie die Gerade g : y = x und der Kreis k : |z + 1| =

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in der Gauss’schen Ebene.

(a) Bestimme die Bilder g 0 und k 0 die bei der Abbildung der Gerade g resp. des Kreises k mit der Funktion f (z) entstehen. (b) Beweise: Die Gerade g ber¨ uhrt den Kreis k und g 0 ber¨ uhrt k 0 .

L¨ osung zu: Komplexe Zahlen und Funktionen 1. komplexes Gleichungssystem z1 = 1 + i z2 = −3i z3 = 2 − i 2. komplexe Gleichung z1,2 = − 12 ± i Zuerst z = x + yi und z¯ = x − yi ersetzen. Anschliessen kann die Gleichung durch Real- resp. Imagin¨ arteil-Vergleich gel¨ ost werden. 3. konjugiert-komplexe Zahlen z1,2 = ±i In der Gleichung z durch x+yi ersetzten und anschliessend durch Vergleich der Real- resp. Imagin¨arteile l¨ osen. 4. Komplexe Gleichungen (a)

1 2

+ 12 i

(b) z1 = 1 + i z2 =





2 2



2 2 i

(c) z1 = 0.62 − 0.3i z2 = −0.62 + 1.3i 5. nochmals komplexe Gleichungen (a) − 12 ± i (b) z = a + i mit a beliebig ∈ IR 6. Untersuchung der L¨ osungsmenge (a) nicht l¨ osbar (b) a = −1 und z = 1 oder a = 1 und z = −1 √ −2± 4−4a2 2a √ 2 z1,2 = −2± 2a4−4a

(c) −1 ≤ a ≤ 1 mit den L¨ osungen z1,2 = (d) beliebiges a ∈ IR mit den L¨ osungen 7. Gerade und Kreis abbilden

√ (a) g 0 : v = 3u; k 0 : |w + (4 + 2i)| = 10 Die Kreisabbildung erh¨ alt man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebenen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverh¨altnis berechnet. ¨ Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine Ahnlichkeitsabbildung handelt. (b) Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess’schen Normalform gef¨ uhrt. 8. abgebildetes Dreieck (a) A(18+18i); B(14+24i); C(14+16i) (b) A’ = 4 Die eine Seite des Dreiecks liegt parallel zur x-Ache, daraus lassen sich Grundlinie und H¨ ohe bestimmen.

(c) A = 16 Der Streckungsfaktor der Umkehrfunkion ist 2, somit ¨andert sich die Fl¨ache mit Faktor 4. 9. Schnittmenge (a) |w − (3 − 3i)| = 5 Es handelt sich bei der Abbildung um eine Drehung, daher r=r’=5 (b) A ≈ 29.85 Da Original- und Bildkreis gleich gross sind kann mit dem Satz von Pythagoras und Trigonometrie der Zentriwinkel berechnet werden. Damit l¨asst sich dann die Schnittmenge berechnen. 10. Drehzentrum gesucht Z(i-1) 11. abbilden! (a) z = −1.2 − 0.4i

√ (b) |w + 3 + 3i| = 2 2 (c) y=x+2 12. Halbmond (a) k: |z − 4 − 2i| = (b) w =

1 3 iz

+

2 3





4 3 i;

6 und g: y = 2 √

r=

6 3

13. Drehstreckung  111 4 Drehzentrum D(−0.6 + 0.2i); Streckungsfaktor 13; P − 169 + 169 i Um P zu bestimmen soll zuerst die Umkehrfunktion ermittelt werden. 14. Quadrat     A0 − 12 + 12 i ; B 0 − 12 + 32 i ; C 0 12 + 32 i ; D0 12 + 21 i Es entsteht wieder ein Quadrat. Seine Fl¨ache ist 25% der urspr¨ unglichen Quadratfl¨ache. 15. Komplexe Abbildung (a) z1 = −i und z2 = 1 sind die Fixpunkte. (b) Es gilt u = (v + 1)2 Durch Einsetzen von z = x+vi, sowie y = 0 (reelle Achse) lassen sich f¨ ur u und v zwei Gleichungen in x herleiten, aus denen dann x eliminiert werden kann. 16. Abbilden eines Kreises √ K 0 : |w − (−7 + 4i)| = 10 ¨ Da die lineare komplexe Abbildung eine Ahnlichkeitsabbildung ist kann zuerst der Mittelpunkt abgebildet werden. Anschliessend das Streckungsverh¨altnis bestimmen und damit die L¨ange von r’ berechnen. 17. Komplexe Gleichungen (a) z1 = 3 − i; z2 = −3 + i; z3 = 1.35 + 2.97i; z4 = −1.35 − 2.97i Die Gleichung kann durch Substitution gel¨ost werden. Stichwort biquadratische Gleichung. (b) Alle Punkte der Gerade y = x − 41 erf¨ ullen die Gleichung. Zum L¨ osen ist z = x + yi und z¯ = x − yi zu setzen.

18. Abbilden von Geraden g10 : v = −3 und g20 : v = 1. Der Abstand der Geraden ist 4. Aus der Abbildungsgleichung kann zuerst die Umkehrfunktion bestimmt werden. Es ergeben sich f¨ ur x und y je eine Gleichung in u und v. Die Geraden x = 2 und x = −2 in der x-Gleichung eingesetzt ergibt die L¨ osungen. 19. Gerade und Kreis abbilden √ (a) g 0 : v = 3u; k 0 : |w + (4 + 2i)| = 10 Die Kreisabbildung erh¨ alt man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebenen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverh¨altnis berechnet. ¨ Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine Ahnlichkeitsabbildung handelt. (b) Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess’schen Normalform gef¨ uhrt.