KAPITEL 1

Komplexe Zahlen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen . Was sind komplexe Zahlen? . . . . . . . . Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . Grundrechenarten in C . . . . . . . . . . Konjugation und Betrag komplexer Zahlen Gleichheit komplexer Zahlen . . . . . . . Umrechnen komplexer Zahlen . . . . . . . Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . Beispielaufgaben . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung: Komplexe Zahlen . .

1

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2 2 3 4 5 6 6 13 14 20 22 32

1.1. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen

1.1

Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen

Lernziele 1 • Darstellung komplexer Zahlen in algebraischer/arithmetischer, trigonometrischer (in Polarkoordinaten) und exponentieller Form.

• Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen in arithmetischer Form.

• Betrag und Konjugation komplexer Zahlen. • Beschreibung von Mengen komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene.

• Multiplikation in trigonometrischer und exponentieller Form. • Die Eulersche Formel und die Formel von Moivre. • Potenzieren in algebraischer/arithmetischer, trigonometrischer und exponentieller Form.

• Radizieren (Wurzelziehen) in trigonometrischer und expontieller Form.

– Einheitswurzeln, d.h.

Ô n

1. Wieviele gibt es?

– Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen. – Lösungen der quadratischen Gleichung.

1.2

Was sind komplexe Zahlen?

Typische Anwendungen für komplexe Zahlen liegen in

• der Elektrotechnik, wobei die Darstellung sowohl in algebraischer Form als auch graphisch erfolgt,

• Beschreibung von geometrischen Objekten (Kurven, Flächen, Mengen) im R2 . 2

1.3. Komplexe Zahlenebene

1.3

Komplexe Zahlenebene

In der mit einem kartesischen (x, y)-Koordinatensystem versehenen Ebene stellen die Punkte der x-Achse die reellen Zahlen dar. Komplexe Zahlen ergeben sich nun dadurch, dass alle Punkte z = (x, y) als „Zahlen“ aufgefasst werden und man schreibt z = x + iy . Man nennt z komplexe Zahl mit dem Realteil Re z = x und dem Imaginärteil Im z = y . Man nennt die x-Achse reelle Achse und die y -Achse wird imaginäre Achse genannt. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.

C := {x + iy : x, y œ R}. Geometrisch lassen sich die komplexen Zahlen als Punkte bzw. Vektoren einer Ebene darstellen. Die Ebene, deren Punkte als komplexe Zahlen aufgefasst werden, heißt komplexe Zahlenebene oder Gaußsche Zahlenebene.

Gaußsche Zahlenebene

iy

(a, b) z = a + ib

b = Im z

exponentielle Form

|z| =

trigonometrische Form

r

algebraische Form

= r(cos = re a = Re z

+ i sin )

i

x

ib Im z = b

Abbildung 1.1: Gaußsche Zahlenebene

3

1.4. Grundrechenarten in C

1.4

Grundrechenarten in C

Die Summe und Differenz komplexer Zahlen ist durch (x + iy) + (u + iv ) := (x + u) + i(y + v ) (x + iy ) ≠ (u + iv ) := (x ≠ u) + i(y ≠ v ).

definiert.

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist definiert als (x + iy)(u + iv ) = x(u + iv ) + iy(u + iv ) = xu + ixv + iyu + iyiv 2

= xu + i yu + i(xv + yu) = (xu ≠ yv ) + i(xv + yu). Bemerkung 1.1 Die Addition/Subtraktion/Multiplikation von komplexen Zahlen erfolgt formal wie für reelle Zahlen; es ist nur zu beachten, dass i 2 = ≠1 ist. Bemerkung 1.2 Bei der Definition der Division benutzt man trickreich die binomische Formel: 2 2 2 2 (u + iv )(u ≠ iv ) = u ≠ (iv ) = u + v und damit ist

(x + iy ) (x + iy )(u ≠ iv) (xu + yv ) + i(yu ≠ xv ) = = (u + iv ) (u + iv )(u ≠ iv) u2 + v 2 xu + yv yu ≠ xv = 2 +i 2 . 2 u +v u + v2 D.h. man erweitert den Bruch mit u ≠ iv und erhält dadurch einen reellwertigen Nenner.

Beispiel 1.3 8 + 2i (8 + 2i)(7 + i) 56 ≠ 2 + i(8 + 14) 54 22 = = = +i . 7≠i (7 ≠ i)(7 + i) 49 + 1 50 50 4

1.5. Konjugation und Betrag komplexer Zahlen

1.5

Konjugation und Betrag komplexer Zahlen

Definition 1.4 Die komplexe Zahl z¯ = x ≠ iy heißt die zu z = x + iy konjugiert komplexe



Zahl und |z | := x 2 + y 2 heißt Betrag (oder auch Norm, Länge, Modul) der komplexen Zahl z.

Eigenschaften: 1. z = z, 2. z1 + z2 = z1 + z2 , 3. z1 · z2 = z1 · z2 , 4. Re z = 5. Im z =

1 2 1 2i

(z + z) , (z ≠ z) ,

6. z œ R ≈∆ z = z, 7. |z | =

Ô

z · z bzw. z · z = x 2 + y 2 ,

8. |z | Ø 0 und |z | = 0 ≈∆ z = 0, 9. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,

10. |z1 + z2 | Æ |z1 | + |z2 | (Dreiecksungleichung). Bemerkung 1.5 Wie bei den reellen Zahlen kann man durch jede komplexe Zahl z ”= 0 dividieren, da zu jeder komplexen Zahl z = x + iy ”= 0 die komplexe Zahl 1 x ≠ iy x ≠ iy z ≠1 =z = = 2 = 2 z (x + iy )(x ≠ iy) x + y |z |2 exisitert.

5

1.6. Gleichheit komplexer Zahlen

1.6

Gleichheit komplexer Zahlen

Gleichheit in algebraischer Form Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 , dann gilt 2

2

2

z1 ≠ z2 = 0 ≈∆ |z1 ≠ z2 | = (x1 ≠ x2 ) + (y1 ≠ y2 ) = 0 und damit folgt (x1 ≠ x2 )2 = (y1 ≠ y2 )2 = 0, also x1 = x2 und y1 = y2 . Offensichtlich folgt umgekehrt aus x1 = x2 und y1 = y2 sofort z1 = z2 .

Satz 1.6 Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil übereinstimmen.

1.7

Umrechnen komplexer Zahlen

Bei der algebraischen Form wird das Element (a, b) œ R2 mit der komplexen Zahl a + ib identifiziert, führt man Polarkoordinaten ein, so ergibt sich die trigonometrische Darstellung. Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion ergibt sich die exponentielle Form. Offensichtlich ergibt sich die algebraische Form aus der geometrischen durch „Ausrechnen“. Schwieriger ist es, aus der algebraischen Form die trigonometrische zu erhalten. Wegen 2

2

2

2

2

2

(r cos Ï) + (r sin Ï) = r sin Ï + r cos Ï 2

2

2

2

2

= r (cos Ï + sin Ï) = r = a + b ist

r =

Ô

2

a2 + b 2 .

Was gilt für den Winkel? Es gibt verschiedenen Varianten sich den Winkel richtig zu überlegen.

6

1.7. Umrechnen komplexer Zahlen

2 Komplexe Zahlen

2.1.3 Winkel aus dem Arkustangens Mittels Tangens Es ist

y Man kann den Winkel auch aus =

r sin r cos

x

= tan .

b r cos Ï zum Tangens den Winkel Man muss nun mit Hilfe der Umkehrfunktion =

a gilt men. Wie man leicht nachrechnet

= tan Ï

r sin Ï

bestim-

y r sin sin berechnen. Allerdings gibt es mit der Umkehrfunktion, da =auch hier = das=Problem tan . x r cos cos der Tangens keine eineindeutige Funktion ist. Um diese Beziehung nach

aufzulosen, ¨ benotigt ¨ man die Umkehrfunktion zum

Tangens, dies ist der Arkustangens. Da der Tangens aber keine eineindeutige Funktion ist, da es gleiche Funktionswerte zu verschiedenen Argumenten gibt, ist das nicht ganz trivial. Wir schauen uns deshalb zun¨achst die Tangensfunktion an: tan x

3 2 1

1 2

1 2

1

2

3 2

2 3 Um eine eineindeutige Zuordnung zu erhalten, schr¨ankt man den Definitionsbe2, 2

reich des Tangens auf das Intervall

ein und erh¨alt als Umkehrfunktion die

sogenannten Hauptwerte des Arkustangens: = arctan t

Abbildung 1.2: Tangens tan

=t

wenn

2


0 und b > 0, dann ist Ï = arctan

1 2 b a

,

• im 2. Quadranten a < 0 und b > 0, dann ist Ï = arctan

1 2

+ fi,

1 2

+ fi,

b a

• im 3. Quadranten a < 0 und b < 0, dann ist Ï = arctan

b a

• im 4. Quadranten a > 0 und b < 0, dann ist Ï = arctan

1 2 b a

+ 2fi .

Weiterhin gilt für komplexe Zahlen a + ib auf den Koordinatenachsen:

• a > 0 und b = 0, dann ist Ï = 0, • a = 0 und b > 0, dann ist Ï =

fi

• a = 0 und b < 0, dann ist Ï =

3fi . 2

2

,

• a < 0 und b = 0, dann ist Ï = fi ,

Gilt a = b = 0, so ist r = 0 und der Winkel Ï ist dann beliebig. Mittels Kosinus Da r bereits bekannt ist, kann man den Winkel Ï aus der Beziehung a = r cos Ï ≈∆

a = cos Ï r

berechnen. Da der Kosinus aber keine eineindeutige Funktion ist, gibt es keine Umkehrfunktion. Schränkt man den Definitionsbereich von cos x aber auf das Intervall [0; fi ] ein, so ist der Kosinus eineindeutig und man erhält die Umkehrfunktion

Ï = arccos t,

für Ï œ [0; fi ], t œ [≠1; 1]. 8

1.7. Umrechnen komplexer Zahlen

Abbildung 1.3: Darstellung komplexer Zahlen

9

1.7. Umrechnen komplexer Zahlen

1

1

0,5

0

0

0,5

1

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

2

-0,5

3 2

5

5,5

6

2

cos x

-1

Abbildung 1.4: Kosinus

Dies entspricht dem roten Graphen von cos x in der folgenden Abbildung. Die übrigen Werte, d.h. die Werte für komplexe Zahlen im 3. bzw. 4. Quadranten ergeben sich dann zu a Ï = 2fi ≠ arccos , r wie man mit Hilfe der Rechenregeln für den Kosinus leicht nachprüft:

1

cos Ï = cos 2fi ≠ arccos

a r

2

1

= cos ≠ arccos

1

= cos arccos

a r

2

a r

=

2

a . r

Damit ergeben sich in Abhängigkeit vom Quadranten folgende Formeln zur Berechnung des Winkels Ï :

10

1.7. Umrechnen komplexer Zahlen

2. Quadrant

= arccos

1. Quadrant

x r

= arccos

3. Quadrant

=2

arccos

x r

4. Quadrant

x r

=2

arccos

x r

Falls, r = 0 ist, so ist der Winkel Ï beliebig. Praktisch muss man sich also überlegen:

• In welchem Quadranten liegt die komplexe Zahl (Skizze!) • Wie groß ist der Winkel deshalb ungefähr?

• Daraus ergibt sich wie der Winkel zu berechnen ist. Bemerkung 1.7 In der Mathematik bevorzugt man für den Winkel das Intervall [0; 2fi ]. In technischen Anwendungen wird allerdings gemäß DIN anders vorgegangen. Für komplexe Zahlen oberhalb der reellen Achse (Im z = b > 0) werden positive Winkel, also Ï = arccos ar und für komplexe Zahlen unterhalb der reellen Achse sind die Winkel negativ zu nehmen, d.h. Ï = ≠ arccos ar .

Gleichheit in trigonometrischer Form Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z1 = r1 (cos Ï1 + i sin Ï1 ) = r2 (cos Ï2 + i sin Ï2 ) = z2 , dann gilt aber auch |z1 | = |z2 |, d.h. r1 = r2 . Es verbleiben die Beziehungen cos „1 = cos „2

und

sin „1 = sin „2 . 11

1.7. Umrechnen komplexer Zahlen Am Einheitskreis gilt für den Kosinus cos Ï = cos(2fi ≠ Ï) = cos(Ï + 2fi ) und für den Sinus

sin Ï = sin(fi ≠ Ï) = sin(2fi + Ï),

weiterhin gilt es wegen der 2fi -Periodizität für Ï + 2k fi . Für Sinus und Kosinus gleichzeitig gilt es nur für Ï + 2k fi , k œ Z. Deshalb gilt k œ Z.

Ï2 = Ï1 + 2k fi ,

Lemma 1.1 Zwei komplexe Zahlen in trigonometrischer Form sind genau dann gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Winkel sich nur um Vielfache von 2k fi , k œ Z, unterscheiden.

Multiplikation in trigonometrischer Form Bei der Multiplikation in trigonometrischer Form wird zunächst wie mit reellen Zahlen gerechnet, es ergeben sich aber Produkte von Sinus und Kosinus, die sich mittels Additionstheoremen vereinfachen lassen: z1 · z2 = {r1 (cos Ï1 + i sin Ï1 )} · {r2 (cos Ï2 + i sin Ï2 )} = r1 r2 (cos Ï1 + i sin Ï1 )(cos Ï2 + i sin Ï2 )

!

2

= r1 r2 cos Ï1 cos Ï2 + (i) sin Ï1 sin Ï2 +i(cos Ï1 sin Ï2 + sin Ï1 cos Ï2 ))

= r1 r2 (cos Ï1 cos Ï2 ≠ sin Ï1 sin Ï2

+i(cos Ï1 sin Ï2 + sin Ï1 cos Ï2 ))

= r1 r2 (cos(Ï1 + Ï2 ) + i sin(Ï1 + Ï2 ))

12

1.8. Potenzen

Satz 1.8 Komplexe Zahlen werden multipliziert indem man die Beträge multipliziert und die Argumente (also die Winkel) addiert.

1.8

Potenzen

Als Spezialfall der Multiplikation erhält man für z = cos Ï + i sin Ï : 2

2

z = r (cos(2Ï) + i sin(2Ï)) und allgemein

n

n

z = r (cos(nÏ) + i sin(nÏ)),

Weitere Spezialfälle ergeben sich für r = 1 :

n œ N.

Satz 1.9 (Formel von Moivre) n

(cos Ï + i sin Ï) = cos(nÏ) + i sin(nÏ),

n œ N.

und

Satz 1.10 (Formel von Euler) e

iÏ

= cos Ï + i sin Ï.

13

1.9. Wurzeln Bemerkung 1.11 In der Funktionentheorie kann man nachweisen, dass ei Ï tatsächlich als Exponentialfunktion betrachtet werden kann. Insbesondere gelten die Rechenregeln für die Exponentialfunktion, d.h. e

i(Ï1 +Ï2 )

=e

i Ï1

· ei Ï2 ,

e

≠i Ï

=

1 . ei Ï

Dies könnte man auch über Additionstheoreme für Sinus und Cosinus beweisen. Es gilt aber ganz allgemein für eine beliebige komplexe Zahl z = x + iy : z

e =e

x+iy

x

=e ·e

iy

und für zwei beliebige komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 : e

z1 +z2

=e

z1

· e z2 ,

e

≠z

=

1 . ez

Wenn man Ï = x setzt und die Exponentialfunktion eix als Reihe aufschreibt, so erhält man ix

e =

Œ ÿ (ix)k

k!

k =0

=

Œ ÿ (≠1)l x 2l l=0

(2l)!

+i

Œ ÿ (≠1)l x 2l+1 l=0

(2l + 1)!

= cos x + i sin x.

Insbesondere muss man die Konvergenz aller Reihen nachweisen (siehe Funktionenreihen).

1.9

Wurzeln

Wie löst man eine Gleichung der Form n

z = A,

A œ C?

Wir betrachten zunächst den Fall A = 1 und bestimmen die n-ten Einheitswurzeln, also Lösungen der Gleichung n

z = 1. Es sei z = r (cos Ï + i sin Ï). Hieraus folgt zunächst z n = r n (cos(nÏ) + i sin(nÏ)). Die komplexe Zahl 1 hat die trigonometrische Darstellung n

n

z = r (cos(nÏ) + i sin(nÏ)) = 1 = cos(0) + i sin(0). 14

1.9. Wurzeln Aus der Gleichheit komplexer Zahlen (siehe Lemma 1.1, Seite 12) in trigonometrischer Form folgt n

gleiche Beträge: r = 1 ≈∆ r = 1, Argumente: n„ = 2k fi , k œ Z.

Folglich sind alle zk = cos

1

2k fi n

2

+ i sin

1

2k fi n

2

,

k œ Z,

Lösungen von z n = 1 und damit Einheitsuwrzeln. Wegen der 2fi -Periodizität von Sinus und Kosinus gibt es aber nur n voneinander verschiedene Einheitswurzeln z0 , z1 , ... , zn≠1 .

Satz 1.12 (Einheitswurzeln) Es gibt genau n verschiedene komplexe Zahlen z0 , z1 , ... , zn≠1 , die der Gleichung n z =1 genügen, diese sind gegeben durch zk = e

i 2knfi

,

k = 0, 1, 2, ... , n ≠ 1.

Beispiel 1.13 Die 7. Einheitswurzeln sind am Einheitskreis dargestellt:

15

1.9. Wurzeln

In analoger Weise gehen wir nun bei der allgemeinen Gleichung z n = A, A œ C, vor. Wir stellen beide komplexe Zahlen zunächst in Polarkoordinaten dar: z = r (cos Ï + i sin Ï)

und

A = R(cos

+ i sin ).

Damit geht die Gleichung z n = A über in (Ausrechnen von z n und einsetzen in die Gl.) n r (cos(nÏ) + i sin(nÏ)) = R(cos + i sin ). Aus der Gleichheit komplexer Zahlen in trigonometrischer Form (Lemma 1.1, Seite 12) folgt n

gleiche Beträge: r = R ≈∆ r = Argumente: nÏ =

! Ô n

Ô n

R,

+ 2k fi , k œ Z.

"

fi fi Damit sind alle zk = R cos +2k + i sin +2k , k œ Z, Lösungen, aber n n wegen der 2fi -Periodizität von Sinus und Kosinus gibt es nur n voneinander verschiedene Lösungen

zk =

Ô n

R

1

cos

+ 2k fi + i sin n

+ 2k fi n

2

,

k = 0, 1, ... , n ≠ 1. 16

1.9. Wurzeln bzw. zk =

Ô n

Re

fi i +2k n

=

1Ô n

R

i e n

2

e

i 2knfi

= z0 · e fi 4

+ i sin

fi 4

,

k = 0, 1, 2, ... , n ≠ 1.

) sind am Einheitskreis

r=

14

2

1, 0

5

Beispiel 1.14 Ô Die 7. Wurzeln aus A = 1 + i = 2(cos dargestellt:

i 2knfi

Beispiel 1.15 Man bestimme alle 5. Wurzeln von z = 4(1 ≠ i).

Wir stellen z zunächst in trigonometrischer Form dar, dazu berechnen wir den Betrag von z : R=



42 + (≠4)2 =

Ô

16 + 16 =

Ô

Ô

2 · 42 = 4 2 = 2 · 2 ·

Ô

2=

Ô

5

2 . 17

1.9. Wurzeln Wir bestimmen den Winkel

mit Hilfe des Arkustangens:

y = ≠1, x

arctan

y fi = arctan(≠1) = ≠ . x 4

Da x > 0 und y < 0 ist, liegt z im 4. Quadranten und es gilt

1

= 2fi + ≠

fi 4

2

7fi . 4

=

Alternativ erhält man mit Hilfe des Arkuskosinus

Ô

x 4 1 2 = Ô = Ô = , R 2 4 2 2

Ô

2 fi = , 2 4

arccos

da z im 4. Quadranten liegt, ergibt sich = 2fi ≠ arccos

x fi 7fi = 2fi ≠ = . r 4 4

Damit lautet z in trigonometrischer Form: z=

Ô

5

2

1

cos

7fi 7fi + i sin 4 4

2

.

Jetzt können wir alle 5 Wurzeln gemäß der Formel für das Radizieren hinschreiben: zk := = =

1 Ô n

R cos

Ò 5

Ô

Ô

2

5

2

3

3

cos

1

cos

+ 2k fi n

3 7fi 4

3 7fi 4

2

+ 2k fi 5

+ 2k fi 5

+ i sin

4

4

1

+ i sin

+ i sin

+ 2k fi n

3 7fi 4

3 7fi 4

22

+ 2k fi 5

+ 2k fi 5

44

44

,

k = 0, 1, 2, 3, 4.

18

1.9. Wurzeln und erhalten: z0 = = z1 = = z2 = = z3 = = z4 = =

Ô

2

3

Ô 1

cos

2 cos

Ô

2

3

Ô 1

cos

2 cos

Ô

2

3

Ô 1

cos

2 cos

Ô

2

3

Ô 1

cos

2 cos

Ô

2

3

Ô 1

cos

2 cos

3 7fi

+2·0·fi

4

1

7fi 20

3 7fi

1

4

2

15fi 20

3 7fi

1

4

23fi 20

3 7fi

1

4

31fi 20

3 7fi

1

4

39fi 20

5

+ i sin

1

+2·1·fi

2

5

+ i sin

2

+ i sin

2

+ i sin

2

+ i sin

22

4

22

+ i sin

22

+ i sin

31fi 20

22

+ i sin

39fi 20

3 7fi 4

+2·0·fi 5

¥ 0, 64 + 1, 26i

+ i sin

23fi 20

4

1

+ i sin

15fi 20

4

1

+2·4·fi 5

4

1

+2·3·fi 5

7fi 20

1

+2·2·fi 5

4

22

3 7fi 4

+2·1·fi 5

¥ ≠1 + i

3 7fi 4

+2·2·fi 5

44 44 44

¥ ≠1, 26 ≠ 0, 64i

3 7fi 4

+2·3·fi 5

¥ 0, 22 ≠ 1, 4i

3 7fi 4

+2·4·fi 5

44 44

¥ 1, 4 ≠ 0, 22i.

Sollten Sie die Zahlenwerte (gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma) nicht erhalten, so kann das daran liegen, dass Sie Ihren Taschenrechner falsch eingestellt haben! Sie müssen Ihren Taschenrechner auf „RAD“ und nicht auf „DEG“ einstellen. Wie jeder weiß, ist cos fi = ≠1, ist Ihr Taschenrechner auf „RAD“ eingestellt, so klappt das auch, wie man leicht überprüft, ist dagegen der Taschenrechner auf „DEG“ eingestellt, so ergibt sich cos fi = 0, 998497159 !! Das ist falsch!! Noch schlimmer wird es, wenn Sie den Taschenrechner auf ‘”GRAD”’ eingestellt haben, GRAD steht für Neugrad und der Vollkreis hat 400 Neugrad! Ganz falsch!!

19

1.10. Ergänzungen

1.10 Ergänzungen Damit kann man z.B. auch quadratische Gleichungen lösen: Beispiel 1.16 Man bestimme alle Lösungen der quadratischen Gleichung 2

z + (1 + i)z +

9 2 (1 + i) = 0. 4

Lösung mittels quadratischem Ergänzen:

1

2

1

2

9 1+i 2 1+i 2 9 2 2 z + (1 + i)z + (1 + i) = z + ≠ + (1 + i) = 0 4 2 2 4 1 2 1+i 2 3fi 3fi 2 ≈∆ (z + ) = ≠2(1 + i) = ≠4i = 4 cos + i sin 2 2 2 2

und damit ergeben sich die beiden Lösungen: z1 = ≠

(1 + i) =≠ +2 2 z2 = ≠

1

(1 + i) Ô 3fi 3fi + 4 cos + i sin 2 4 4

3 Ô

Ô 4

3 Ô

Ô 4

2 2 ≠ +i 2 2

1

2

=≠

Ô (1 + i) 3fi 3fi ≠ 4 cos + i sin 2 4 4

(1 + i) =≠ ≠2 2

2 2 ≠ +i 2 2

3

2

=≠

Ô 4 3 Ô

1+2 2 2

3

+

Ô 4

1≠2 2 2

≠

2 2≠1 2

3 Ô

4

2 2+1 2

i,

4

i.

Wir haben gesehen, dass die quadratische Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen immer lösbar ist. Es gilt aber noch mehr.

Satz 1.17 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom p(z) vom Grad Ø 1 hat in C eine Nullstelle.

20

1.10. Ergänzungen Folgerung: Jedes Polynom p(z) vom Grad n Ø 1 lässt sich (über C) in Linearfaktoren zerlegen: p(z) = an (z ≠ z1 )(z ≠ z2 ) · ... · (z ≠ zn ), wobei an eine beliebige aber feste komplexe Zahl ist und die zk , k = 1, 2, 3, ... , n, nicht notwendig voneinander verschiedene Nullstellen von p(z) sind.

Satz 1.18 (Identitätssatz) Stimmen zwei Polynome p(z) =

n ÿ j=0

aj z

j

und q(z) =

n ÿ

bj z

j

j=0

(höchstens) n-ten Grades an (wenigstens) (n + 1) Stellen überein, so sind die Polynome gleich, d.h. aj = bj für alle j.

21