Apolin, Big Bang 5, Kap. 10, Seite 105 --- Jump-and-Reach-Test 2

Jump-and-Reach-Test Teil 2 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung zu den Themen Impuls und Impulssatz, Kraftstoß, Energieerhaltung sowie Energieformen Martin Apolin (Stand Dezember 2010) Mit dem Jump-and-Reach-Test kann man die Hebung des Körperschwerpunktes (KSP) messen (siehe Kap. 5.2). Dazu stellst du dich seitlich an eine Wand und greifst so hoch wie möglich hinauf (Abb. 1). Ein Helfer markiert diese Stelle. Dann springst du aus der Hocke so hoch wie möglich hinauf. Das wird wieder markiert. Die Differenz zwischen den Markierungen ist deine KSP-Hebung. Sie ist von der Körpergröße unabhängig. In Tabelle 1 siehst du einige Richtwerte für „Normalsterbliche“. Weltklassehochspringer kommen bei diesem Test über 1 m! Alter 15 17

weiblich/männlich 34 cm / 43 cm 36 cm / 48 cm

Tab. 1: Richtwerte für den Jump-and-Reach-Test

Abb. 1: Durchführung des Jump-andReach-Tests

1

teln kann. Dabei wird mit Hilfe einer Kraftmessplatte der Impuls beim Absprung gemessen. Um einen Gegenstand zu beschleunigen, braucht man eine Kraft (Kap 8.3 und 8.4). Weil sich dabei der Impuls (siehe Kap. 10) ändert, kann man sagen: Zur Impulsänderung braucht man eine Kraft. Oder anders gesagt: Kraft kann man auch als Impulsänderung pro Zeit auffassen. Formelmäßig formuliert man das so: ∆ ∆

∆ ∆ Kraftstoß

∆

∆

∆

Mit Hilfe von Kraftmessplatten lässt sich die Absprunggeschwindigkeit sehr präzise eruieren. Abb. 2 zeigt das Beispiel eines Kraftverlaufs bei einem Strecksprung. Die Skala der y-Achse wurde so gewählt, dass sie beim ruhigen Stehen null zeigt. Bei der Auftaktbewegung gibt die Person etwas in den Knien nach und der KSP wird nach unten beschleunigt (negativer Impuls). Durch die Streckbewegung entsteht eine Beschleunigung nach oben (positiver Impuls). Am Ende der Abdruckphase sinkt die Kraft unter den Ruhewert ab. Der Körper wird also noch während der Abdruckphase bereits wieder einen Tick langsamer. Um den Nettoimpuls nach oben zu bekommen, muss man die Flächen addieren. Die roten Flächen zählen dabei negativ. Der Nettoimpuls in unserem Beispiel beträgt 280 Ns - 102 Ns – 8 Ns = 170 Ns.

(Grafik: Janosch Slama; Abb. 5.12, Kap. 5).

XA1

Es gibt bei diesem Test aber auch Fehlerquellen, die zu Ungenauigkeiten bei der Messung führen können. Welche könnten das sein? (Anm.: Das grüne Symbol X vor Fragen verweist auf den Lösungsteil)

Es gibt eine objektivere Methode, mit der man auf elegante Weise die Hebung des KSP indirekt ermit-

Abb. 2 Kraftverlauf bei einem Strecksprung (Grafik: Janosch Slama; Abb. 10.20, Kap. 10.4, S. 104).

Wenn man den Impuls und auch die Masse der Person kennt, kann man die exakte Abfluggeschwindigkeit berechnen und aus dieser wiederum die Flughöhe des

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KSP. Diese D Methode der Berecchnung der KSP-Hebung K mit Hilfe der Krafttstöße ist abeer nicht 1:1 auf a den gen. Es wird hier nämlich h Jump--and-Reach-TTest umzuleg die Flu ughöhe bereechnet, nachdem die Kraftwerte auf null gesunken sind d, also quasi die letzte Zeehenspitze m konvention nellen Jump-den Boden verlasssen hat. Beim Reach-Test wird w aber die Hebung dess KSP aus and-R dem Stand S berech hnet. Der Unterschied liegt also in der Sttreckung derr Füße. Daheer liefert diesee Methode Wertee, die um ein ne Fußstrecku ung kleiner sind, s also etwa 15 bis 20 cm m (siehe auch h Jump-and-Reach-Test Teil 1;; Download im Kapitel 6)). d RohdaVersuche nun, diee Auswertung mit Hilfe der f Schritt naachzuvollzieh hen. Diese ten seelbst Schritt für Rohdaaten befindeen sich im Filee Jump p and Reach h Rohdaten.xls. Ideal wääre es, wenn n du diee Daten selbsst in einem Tabellenkalku T ulationsprogramm m auswertesst. Wenn dass nicht möglich ist, versu-che die Überlegun ngen und Rechnungen an Hand der ben selbst du urchzuführen n. Angab hst aus den Rohdaten R ein ne Grafik, A2 Erstelle zunäch die deen Verlauf deer Kraft überr der Zeit zeigt. Berechnee die Zeeitdaten neu,, so dass diesse mit null beginnen b (renorrmierte Zeit),, und nicht wie w in den Ro ohdaten mit 0,5 s. Vergiss nich ht, die Achsen zu beschriften! Die fertigee Grafik solltte so ausseheen wie Abb. 3. Die Werte zu dieser Grafikk findest du im File Jump p and Reach h Ausw wertung.xls im ersten Taabellenblatt.

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der Kurve K zuordn nen? b) Welcches ist der Bereich B des AbA sprun ngs, der für unsere u Aufgabe von Bed deutung ist? c) An welcher w Stellee der Kurve kkann man da as Gewicht der d Perso on am besten n ermitteln? d) Wie kann n man die MasM se de er Person berrechnen? XA4

Die Platte weist w einen kleinen syste ematischen er auf. Man nennt so etw was auch ein nen OffsetFehle Fehle er. Diesen kaann man in d den Rohdate en erkennen. Wo? Und wie gro oß ist dieser Fehler etwa? Versuche, m Hilfe einees Kalkulation nsprogramm ms zu ermitteeln. ihn mit B die Kraftdaten, indem du eiine neue Spaalte A5 Bereinige erstellst, in der alle Werte um m den Offset--Fehler verminW sind im m Excel-File in der dert sind. Diese Werte blatt 1 zu fin nSpaltte bereinigtee Kraftwerte im Tabellenb den. XA6

Berechne nu un das Gewicht der Perso on. Was ist das d nd wie könnte man es lö ösen? Wenn du Probllem dabei un das Gewicht G ermittelt hast, dann berechn ne die Massee. m Tabellenkaalkulationsprrogramm ein ne A7 Erstelle nun im e Spalte, in der du von deen Kraftwertten das Geneue wichtt abziehst. Diese D Kraft-W Werte findestt du im File Jump p and Reach h Auswertung g.xlsx in der Spalte S renor ormierte Kraft ft [N]. Die Kraaftkurve beginnt nun, wiie auch in Abb. 2, im m Bereich um m 0 Newton. Zeichne ein ne Grafik, in der du den Zeitbereeich von 0 bis S (also den Absp prung) mit diesen neuen 1,1 Sekunden Wertten darstellstt. Die Grafik sollte so ähn nlich ausseheen wie Abb. A 4.

Abb. 3: Kraft-Zeit-K Kurve, rekonstrruiert aus den Rohdaten der Kraftmessp platte. XA3

Interpretiere die Grafik. a) a Welche Beewegungen m welchen n „Hügeln un nd Tälern“ der Peerson kann man

Abb. 4: Kraft-Zeit-Kurve bis zum Ende des Absprungs. Von den d Origin naldaten sind der d Offsetfehleer und das Gew wicht abgezog gen.

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A8 Deer Kraftstoß ist die Flächee unter der Kraft-ZeitK Kurve (siehe auch Abb. 2). Dieese Fläche errhält man n. Integrieren lernst du erst e in der 8. durch Integration d Falle den d Gesamt-Klassee. Wir werdeen daher in diesem impuls durch num merische Inttegration beerechnen n die Fläche nicht n analy(Abb. 5). Dabei beestimmt man ( nicht mit m Hilfe einerr Funktion), sondern s tisch (also numerisch, indem m man diese in kleine Recchtecke zerD x-Wert beträgt b jeweils 1/1000 Seekunde (das legt. Der entsprricht der zeittlichen Auflö ösung der Plaatte), der yWert ist der jeweilige Kraftwert in dieser Zeit Z ft [N]). In Tabelle 2 siehst du exempla-(renorrmierte Kraft risch, wie man dieeses Verfahreen durchführrt. Die Teilpalte Kraftsto toß [Ns] im Kraftsstöße findestt du in der Sp File. Wenn W du allee diese kleineen Kraftstößee addierst, ergibtt sich ein Nettto-Kraftsto oß von 251 Ns nach oben.

3 XA9 Berechne au us dem eben n ermittelten Wert von N die Absprrunggeschwindigkeit. 251 Ns XA10 0

Damit wir nun die Flug ghöhe des KSP K berechn nen könn nen, braucheen wir eine G Gleichung, die den Zusam mmenh hang zwischen Absprung ggeschwindigkeit und Flugh höhe angibt. Zu dieser ko ommt man zum z Beispiel mit Hilfe H des Ene ergiesatzes (Kap. 9.6). Die D Überlegu ung dazu ist folgendee: Beim Absp prung ist die potenzielle gie Ep null, dafür ist die kkinetische Energie Ek maxxiEnerg mal. Es kann abeer keine Energie verloren gehen. Die geg samtte kinetische Energie musss sich daherr während dees Fluge es des KSP bis zur größteen Höhe in potenzielle p Energ gie umwandeln. Daher kkann man be eide Gleichun ngen gleichsetzen g und nach h auflösen. XA11 1

Berechne nun n die Spru unghöhe mit der in A10 abge eleiteten Form mel. Ein Objektt alleine kann n seine Geschwindigkeit niem mals ändern! Wenn man aalso in die Höhe springt, dann n muss sich auch a etwas aanderes bewe egen! Es klin ngt ungla aublich, aberr es ist die geesamte Erde (Abb. 6)! Nun ist ab ber die Masse der Erde w wirklich sehr groß, g und deeshalb kannst du ih hre Bewegun ng nicht bem merken. Überrleg ungsmäßig berechnen b ge dir, wie man größenordnu könn nte, wie weit sich die Erde beim Sprung in die Geegenriichtung bew wegt. Die Masse der Erde beträgt 24 2 6⋅10 kg. XA12 2

Abb. 5: 5 Numerische Integration: Die D Kurve zeigt sehr stark ver-größert die erste 1/1 100 s des Krafttverlaufs aus Abb. A 4. Die far-bigen Flächen entsprrechen jeweils dem winzigen n Impuls, der in n 00 s wirkt. Der Gesamtimpulss ergibt sich au us der Summe 1/100 aller dieser d Flächen.. Steigt die Kurrve an, wird die tatsächliche Flächee unterschätzt, sinkt sie, wird d sie überschättzt. Die Fehler sind aber, a vor allem bei großen Krräften, minimal und gleichen sich bei eineer an- und abstteigenden Kurvve aus. Reno ormierte Zeit [s]

renormierte Kraft [N]

Teil-Kraftsstoß [Ns]

0

2,12

2,12 N⋅10-3 s = 2,12⋅10-3 NS

0,001

2,67

2,67 N⋅10-3 s = 2,67⋅10-3 NS

0,002

3,01

3,01 N⋅10-3 s = 3,01⋅10-3 NS

0,003

2,80

2,80 N⋅10-3 s = 2,80⋅10-3 NS

0,004

3,22

3,22 N⋅10-3 s = 3,22⋅10-3 NS

0,005

3,56

3,56 N⋅10-3 s = 3,56⋅10-3 NS

Tabelle 2: Um die Teil-Kraftstöße T auszurechnen n, nimmt man an, dass d die Kräftee jeweils 1/100 00 s wirksam siind. Das entspriccht der Breite der d Flächen. Die Ergebnisse in n der rechten S Spalte entsprechen den ersteen 5 Flächen in n Abb. 5.

Abb. 6: Wenn du sp pringst, dann b bewegt sich die Erde – hier sehr s übertriebeen dargestellt – in die Gegenrichtung (Grafik: Janoscch Slama; Abb b. 10.5, Kap. 10.1, S. 100). XA13 3

Welche kin netische Energie steckt der d Springer beim m Absprung in n seinen Körrper?

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Wie lautetee die Formel für die Leistu ung (siehe Kap. 9.5)? 9 Was istt der Unterscchied zwischen Beschleu unigungsarbeeit und Beschleunigungssenergie? Wie groß g ist die durchschnittliche Leistung g des Springers während w des Absprungs?? Überlege dir dazu mit Hilfe von v Abb. 7 (nächste Seite), wie langee der Absprung dauert. Welche Ungen nauigkeiten ergeben e sich bei dieeser Abschättzung?

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b) Um m den Impuls ausrechnen n zu können n, ist nur der Bereich bis zum Absinken A der Kraft auf null interessant, bis allso der Körpeer die Platte vollständig verlassen v hatt. c) Da as Gewicht der Person en ntspricht der angezeigten n Kraftt in den „Ruh hephasen“, aalso zu Begin nn und am EnE de de es Sprungs. d) Da as Gewicht isst Masse mal Erdbeschleunigung, alsso . Die Maasse bekomm mt man dahe er, indem man die Gewichtskraf G t durch die EErdbeschleun nigung (g = 9,81 m/s2) dividiert.

Abb. 7: 7 Kraft-Zeit-Ku urve bis zum En nde des Absprrungs mit deutlich hervorgehobener x-Achse.

5 XA15

Berechne nun mit Hilfe des Tabellen nkalkulationsprogramms diee Beschleunigung des Sp pringers überr v 0 bis 4 Sekunden). S den gesamten Zeitraum (also von k man von v den Krafftwerten auff die BeWie kommt schleu unigung? Gib b die Beschleeunigung in m/s2 und in g an. Überlege, beevor du die Grafik G zeichn nest, wie viell g auf den Körper wirken, wen nn er sich komplett in der b Stellle die Kurve in einer Graafik dar. Die Luft befindet. Lösun ng befindet sich im Excel--File in Tabellenblatt 2.

Abb. 8: Die einzelnen Phasen des Sp prungs.

Hilfe und Lösung gen A1 Daas Hauptprob blem ist, dasss man im Staand eventuell and ders hinauf greift g als im Sprung. Wen nn man im Stand schlampig hinauf h greift,, beim Sprun ng den Arm o strreckt, dann kann k man einiges an aber ordentlich Höhe gewinnen. Auch A bei derr Messung kaann es zu nger vor dem m Fehlerrn kommen. Günstig wäre es, die Fin Sprun ng in Kreidesttaub zu taucchen, damit eine e Markie-rung an a der Wand d bleibt. u, welche Phase des A3 a) In Abbildung 8 siehst du ngs man der Grafik zuord dnen kann. Sprun

Abb. 9: Diese Graffik zeigt den Kraftverlauf in der d Zeit zwischen 1,1 und 1,6 Sekun nden. In dieserr Zeit müsste der Wert 0 betrragen, lieg gt jedoch im Scchnitt bei rund 2,4 N.

W sich deer Körper kom mplett in derr Luft befindet, A4 Wenn müssste die Plattee 0 Newton zzeigen. In de er Vergrößerung der Zeit zwischen 1,1 un nd 1,6 Sekun nden (Abb. 9) 9 nst du aber seehen, dass d der Wert zwisschen etwa 1,5 kann und 3,5 3 Newton n schwankt. W Wenn man den d Durchschniittswert in diieser Zeit berrechnet, kom mmt man auff 2,39 N. Diesen Wert W zeigt diee Platte immer zu viel, un nd uss daher vo on allen Krafttwerten abgezogen wer-er mu den.

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A6 Deer Beginn der Kurve ist durch die Aufftaktbeweg gung verfälscht. Am besten eignet siich zur Messung des d Gewichtts die Zeit naach dem Aufssprung zwischen 2,5 und 4 Sekunden S (sieehe Abb. 8). Weil man n kann, schw wankt die niemaals komplett ruhig stehen Kraft durch leichtee Auf- und Abbewegung A gen jedoch wert in diesem Zeitraum leicht hin und her. Der Mittelw gt 825,85 N.. Die Masse ergibt e sich aus m = FG/g beträg = 84,1 18 kg.

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das Objekt O mit deer Geschwindigkeit null startet, s sind Besch hleunigungsaarbeit und kinetische Ene ergie zahlenmäßig gleich groß. Generell g gilt: Durch Arbeit A wird Energ gie übertrageen und/oderr werden Ene ergieformen umge ewandelt (sieehe Abb. 10 0).

A9 Es gilt

. Daher gilt 51 Ns und einer Masse vo on 84,18 kg . Bei 25 erhältt man eine Absprunggesc A chwindigkeitt von 2,98 m/s. m u 11 Ep = mgh m , Ek = (m mv2)/2. Durch h GleichsetA10 und zen und Umformeen erhält man

. Wenn W man

hält man für die KSPfür g = 9,81 m/s2 einsetzt, erh Hebun ng 45,3 cm. D Gesamtim mpuls von Errde und Men nsch ist vor A12 Der dem Sprung S in Su umme null. Auf A Grund deer Impulserhaltun ng muss diesser Impuls au uch null bleib ben. Drückt sich ein Mensch in n die eine Ricchtung weg,, dann muss gengesetzten n die Erde einen gleeich großen, aber entgeg n. Der Gesam mtschwerpun nkt bleibt Impuls bekommen D Masse dees Springers dadurrch an dersellben Stelle. Die beträg gt 84,2 kg, die d Masse deer Erde 6⋅1024 kg. Das Verhäältnis ist daheer 1:1,4⋅10-233. Die Sprung ghöhe beträgt 0,453 0 m. Weenn der Gesamtschwerp punkt an der-selben n Stelle bleib bt, bewegt sich die Erde daher d um -23 -24 0,453 3 m⋅1,4⋅10 = 6,4⋅10 m in die Geg genrichtung. Zum Vergleich: V Qu uarks, die Baausteine der Materie, sind mit m einem Du urchmesser von v etwa 10-18 etwa einee Million mal größer!

Ab bb. 10: Der Zussammenhang zwischen Arbe eit und Energiee (Grafik: Jano osch Slama; Ab bb. 9.5, Kap. 9.1, 9 S. 85).

Der Knackpunkt K bei der Berechnung der Leistung ist die Festle egung der Dauer D des Ab bsprungs. Das ist in gewissser Weise W Geschm mackssache, weil die Kra aft von Begin nn an ettwas hin und d her schwan nkt. In unsere em Fall erscheint es sinnvoll, den Absprung zwische en 0,25 und 1,1 s (t = 0,85 s) anzunehmen. Für die du urchschnittlicche ung ergeben n sich dann 4 440 W. Leistu p. 8.3, S. 74) A15 Die Bewegungsgleichung (siehe Kap et F = m·a. Man M kommt d daher von de en Kraftwertten laute auf die d Beschleun nigung, wenn man die Kraft K durch die Massse dividiert. Das D ist in derr Abbildung unten dargeestellt. Wenn man n die Werte in g darstellt,, ergibt sich elbe Kurve. Allerdings A sin nd die Werte der y-Achsee diese um den d Faktor 10 0 kleiner (weeil g rund 10 0 m/s2 ist). Während der Flugphase ist die einzige Be eschleunigun ng u zeigt, bedie Erdbeschleunigung. Weil diese nach unten trägt sich -9,81 m/s m 2. Die kleinen Schwan nkungen ergeeben sich s durch diie Ungenauig gkeit der Platte.

D kinetischee Energie ist Ek = (mv2)/2 2. Für A13 Die 84,18 8 kg und einee Absprungg geschwindigkkeit von 2,98 m/s m ergeben sich daher 374,35 3 J. E gilt Leistun ng ist Arbeit pro Zeit, also o P = W/t. A14 Es Die Beeschleunigun ngsarbeit ist die Arbeit, die d man für eine Beschleunigu B ung eines Ob bjekts investieeren muss. Die kinetische Eneergie ist jene Energie, diee der Gegen-unigung bessitzt. Wenn stand am Ende dieeser Beschleu

Abb.. 11: Die Besch hleunigung wäährend des gessamten Versuchs.

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