Übergangsraten zwischen Anfangs- und Endzuständen Nicht-relativistische Störungsrechnung: Benutze zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
mit H 0 Hamilton - Operator für stationäre Zustände r Ansatz :ψ = u n (r ) exp(−iEnt / h ) ⇒ H 0un = Enun r mit u n vollständiger Satz von Lösungen mit ∫ u *m u n dr = δ nm
ih∂ tψ = H 0ψ
zeitabhängige Störung durch Potential H = H 0 + H int ⇒ ih∂ tψ = (H 0 + H int )ψ Lösungsansatz : ψ = ∑ cn (t )un exp(−iEnt / h ) Entwicklung nach ungestörten Eigenfktn. n
Die Wahrscheinlichkeit das System im Zustand n zu finden ist : c n (t )
2
⇒ ih ∑ c&nun exp(−iEnt / h ) + ∑ En cnun exp(−iEnt / h ) = ∑ cn (H 0 + H int )u n exp(−iEnt / h ) n
n
n
⇒ ih ∑ c&nun exp(−iEnt / h ) = ∑ cn H int u n exp(−iEnt / h ) n
n
r multipliziere mit u *m und integriere über d r ⇒ ihc&m = ∑ m H int n cn exp(i ( Em − En )t / h ) n
ca (t ) = 1 ( Anfangszus tan d ) cn (t ) = 0 für n ≠ a und t < t 0 ca (t ) ≈ 1 cn (t ) = t 0 : kleine Störung
1 m H int a exp(i ( Em − Ea )t / h) ih H int sei konstant für t > t 0 bis t = T
⇒ c&m =
0
für t < t 0
T m H int a 1 ⇒ cm (t ) = m H int a ∫ exp(i ( Em − Ea )t / h)dt = (1 − exp(i( Em − Ea )T / h) ) ih E m − Ea 0 *
Wahrscheinlichkeit für Zustand m : Pma (t ) = c m (T )c m = 4 m H int a Unschärferelation!
2
sin 2 [( Em − Ea )T / 2h ] ( E m − Ea ) 2
Vma: Matrixelement
∆E=Em-Ea
WS 2007/08
Steinbrück, Horns: Physik V
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Vorlesung 6: Kerne 2
Fermi‘s Goldene Regel Nehme an, dass Vma konstant im ∆E Intervall.
⇒ Totale Übergangsrate P = ∑ Pma ⇒ P = 4 b H int a
2
∫ ....dN
m
Sei x =
(E ( N ) − Ea )T 2h
⇒ P(T) = 4 b H int a ⇒ Übergangsrate
2
dN 2h dN dE = dx dE T dE ∞ dN T sin 2 x 2πT dx = b H int a h dE 2h −∫∞ x 2 dN =
P(T) 2π 2 = wba = Vba ρ ( E ) T h Matrixelement
WS 2007/08
2
dN dE
∞
sin 2 x mit ∫ 2 = π x −∞
Fermi‘s Goldene Regel
Zustandsdichte (Phasenraumfaktor)
Steinbrück, Horns: Physik V
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β-Zerfall mit Fermi‘s Goldener Regel
Vorlesung 6: Kerne 2
Berechnung des β-Zerfalls mit Fermi‘s Goldener Regel möglich: 2 2π wobei E f , Ei die Energien im final, initial state sind V fi δ ( E f − Ei ) df ∫ h Energieerhaltung : δ ( E f − Ei ) ∫ df : Integral über Phasenraum = Summe aller mgl. Endzustände r r v v V fi = ψ f VS ψ i = ∫ψ *f (rf )V Sψ i (ri )drf dri : Matrixelement
