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Indexrechnung Worum geht es in diesem Modul? Verhältniszahlen Messzahlen Indexzahlen Preisindizes Mengen- und Umsatzindizes

Worum geht es in diesem Modul? In diesem Modul beschäftigen wir uns mit der Bildung von Maßzahlen, die es erlauben, ökonomisch interessante Entwicklungen kompakt zu erfassen.

Verhältniszahlen Viele gesellschaftlich relevante Sachverhalte werden auf der Grundlage von wirtschaftsstatistischen Ergebnissen diskutiert. Eine elementare Weise, empirische Sachverhalte zu quantifizieren, bilden dabei Verhältniszahlen. Eine Verhältniszahl (Maßzahl, Kennzahl) ist der Quotient zweier statistischer Größen; es kann sich dabei um Merkmalswerte, Gesamtmerkmalsbeiträge oder Umfänge von Gesamtheiten handeln. Wir unterscheiden drei Arten von Verhältniszahlen: Gliederungszahlen, Beziehungszahlen und Messzahlen. Gliederungszahlen Bei einer Gliederungszahl ist drückt der Zähler einen Teil des Nenners aus. Ein Beispiel ist etwa .

Beziehungszahlen

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Beziehungszahlen setzen unterschiedliche Merkmale des gleichen "Merkmalsträgers" ins Verhältnis. So etwa bei der Bevölkerungsdichte .

Messzahlen Hier betreffen die Ausdrücke der Zähler- und Nennergröße beide gleichartige Tatbestände. Der typische Fall liegt vor, wenn Zähler- und Nennergröße den gleichen Sachverhalt mit verschiedenem Zeitbezug ausdrücken. Für die wirtschaftliche Entwicklung von besonderem Interesse sind Preise, Absatzzahlen und Umsätze:

Zeitreihen Die Betrachtung von Messzahlen im Zeitverlauf führt auf das Gebiet der Zeitreihenanalyse. Eine Zeitreihe ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungswerten eines Merkmals, die sich auf verschiedene (in der Regel gleich weit voneinander entfernte) Zeitpunkte bzw. (in der Regel gleich lange und aneinander anschließende) Zeiträume beziehen. In diesem Modul beschäftigen wir uns mit der Bildung ökonomisch relevanter Maßzahlen, deren Betrachtung vor allem im Zeitverlauf Sinn macht. Die Analyse einer solchen Entwicklung anhand der entsprechenden Zeitreihe wird im Modul Zeitreihenanalyse angegangen. Messzahlen Wir wollen uns nun mit einigen Eigenschaften und Methoden bei Messzahlen beschäftigen. Zeitreihen von Messzahlen Dazu gehen wir von einer Zeitreihe einer Preis-, Mengen- oder Absatzgröße aus: Die Indizes bezeichnen die verschiedenen Perioden. Aus diesen Werten bilden wir eine Zeitreihe von Messzahlen. Dazu legen wir eine spezielle Periode als Basisperiode fest und beziehen alle vorliegenden Werte darauf. Die Periode des darauf bezogenen Wertes wird als Berichtsperiode bezeichnet.

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der Basisperiode erhalten wir die Zeitreihe

Auf diese Weise erhalten wir Messzahlen, die die Entwicklung einer wirtschaftlichen Größe mit Bezug auf die Basisperiode widerspiegeln. Sie werden oft in Prozent angegeben. Messzahlen sind dimensionslos. Daher erlauben sie, die Entwicklung gleichartiger Größen, die in analogen, aber nicht unbedingt identischen Einheiten gemessen werden, miteinander zu vergleichen. Ein Beispiel dafür bildet die Entwicklung des Bruttoinlandsproduktes von verschiedenen Ländern: Bruttoinlandsprodukt BRD und USA zu Marktpreisen Jahr

BRD

Messzahl

BIP (Mrd. €)

USA

Messzahl

BIP (Mrd. $)

1998

1929,4

97.73

8781.5

94.69

1999

1974.3

100

9274.3

100

2000

2025.5

102.59

9824.6

105.93

2001

2063.0

104.49

10082.2

108.71

Hier wurde 1999 als Basisperiode festgelegt. 1998, 2000 und 2001 sind die Berichtsperioden. Der Anstieg des BIP von 1999 bis 2001 ist in der BRD mit ca. 4.5% etwa halb so groß wie der Anstieg in den USA mit knapp 9%. Umbasierung Werden zwei Zeitreihen von Messzahlen mit unterschiedlichen Basisperioden verglichen, so muss die Entwicklung einer Zeitreihe auf die Basisperiode der anderen Reihe bezogen werden; formal gesprochen muss eine Zeitreihe umbasiert werden. Die Umbasierung einer Zeitreihe von Messzahlen kann auch ohne Kenntnis der Ausgangsreihe durch eine Quotientenbildung der Messzahlen erfolgen. Es werden einfach sämtliche Messzahlen der Zeitreihe durch die Messzahl der neuen Basisperiode dividiert: Ist die ursprüngliche Basisperiode und soll die neue Basisperiode sein,

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so bilden wir die Quotienten

Dies ergibt schon den gewünschten

Bezug auf die neue Basisperiode:

Als Beispiel betrachten wir Bruttoinlandsprodukt der BRD und Japans zu Marktpreisen. Für Japan liegen die Messzahlen mit der Basisperiode 2000 vor. Diese werden auf 1999 umbasiert. Messzahl

Messzahl

Messzahl

1998

97.73

82.69

87.69

1999

100

94.30

100

2000

102.59

100

106.04

2001

104.49

86.91

92.16

Jahr

Verkettung Liegen für dieselbe Größe zwei Messzahlenreihen vor, die für unterschiedliche Zeiträume bestimmt wurden, dann können wir diesen beiden Messzahlenreihen verknüpfen und eine längere Zeitreihe daraus bilden. Diese Verknüpfung wird als Verkettung bezeichnet. Bei den beiden Teilen der zu bildenden Zeitreihe gibt es notgedrungen unterschiedliche

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Basisperioden. Daher ist für die Aneinanderfügung der eine Teil einfach mit der Messzahl aus dem anderen Teil zu multiplizieren, welche zu der Basisperiode des zu ändernden Abschnittes gehört. Seien die Messzahlen des ersten Teils und die des zweiten. Dann ergeben sich die Messzahlen Zeitreihe, bei der

der verketteten

die Basisperiode ist, gemäß:

Ein Beispiel stellt die Entwicklung der Bevölkerung West dar. Hier liegen Angaben bis 1998 vor und eine zweite Reihe ab 1998. Durch eine Verkettung erhält man in diesem Fall eine einzige Messzifferreihe mit dem Basisjahr 1996. Messziffern Bevölkerung West: West

1996

1997

1998

100

101,17

100,26

West Verkettet

100

101,17

1999

2000

100

100,30

100,58

100,26

100,56

100,84

Die Berechnungen erfolgen dabei wie folgt:

Im Datensatz der hier zu erreichenden Laborseite ist die Entwicklung des Kaufwerte für Bauland insgesamt für die Bundesrepublik Deutschland angegeben. (Quelle: Statistisches Bundesamt Deutschland 2003, vom 2.12.03) Daraus ist eine Messzahlenreihe zu bilden; diese ist umzubasieren und beide Reihen sind grafisch darzustellen.

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Labordatei öffnen ( c0a.zmpf ) Indexzahlen Notwendigkeit von Indexzahlen In wirtschaftlichen Zusammenhängen ergibt sich häufig die Problemstellung, die durch verschiedene Messzahlen erfasste zeitliche Entwicklung von Preisen, Absatzzahlen oder Umsätzen durch eine einzige Kenngröße zu erfassen. Eine solche kollektive Kenngröße für eine Vielzahl von Einzelentwicklungen ist eine Indexzahl. Natürlich müssen die Messzahlen unter einem bestimmten Gesichtspunkt zusammenfassbare Preis-, Mengenoder Umsatzentwicklungen repräsentieren. Beispiele für Indexzahlen sind die Preisindizes für Lebenshaltung, die das Ausgabenniveau durchschnittlicher Haushalte repräsentieren sollen. Mit dem Index der industriellen Nettoproduktion soll die Entwicklung der Wirtschaftskraft der Volkswirtschaft nachgezeichnet werden. Auch Börsenindizes wie der DAX kombinieren eine Vielzahl von Einzelentwicklungen. Der Ausgangspunkt Als Ausgangspunkt dienen n Reihen von Messzahlen

Naheliegend ist die Bildung eines einfachen arithmetischen Mittels der jeweils n Messzahlen. Das hat aber zwei Nachteile: Auf der formalen Seite spricht gegen ein einfaches arithmetisches Mittel, dass der resultierende Index nicht alle Eigenschaften von Messzahlen hat, insbesondere nicht die, einen Wachstumsfaktor darzustellen. Inhaltlich sollte zudem die unterschiedliche ökonomische Bedeutung der durch die Messzahlen repräsentierten Größen berücksichtigt werden. Das kann geschehen, indem die Messzahlen mit geeigneten Gewichten versehen werden. Die Gewichte geben z.B. eine prozentuelle Aufteilung von Gütern in einem Warenkorb wieder. Sie müssen größer gleich null sein und ihre Summe muss jeweils gleich eins sein:

Um nun die Messzahlen unter Zuhilfenahme der Gewichte zu verknüpfen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Laspeyres-Index Anstelle des einfachen kann ein gewichtetes arithmetisches Mittel der Messziffern gebildet werden. Dies berücksichtigt den erwähnten inhaltlichen Einwand gegen das einfache arithmetischen Mittel. Mit den Gewichten aus der Basisperiode erhalten wir den Index von Laspeyres

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.

Der Laspeyres-Index ist einer der meist angewandten Indizes. Er findet beispielsweise Anwendung in der Berechnung der Lebenshaltungskosten. Paasche-Index Eine weitere Möglichkeit Messzahlen zu verbinden, besteht in der Bildung eines gewogenen harmonischen Mittels. Harmonische Mittel werden vor allem verwendet, wenn die

Verhältnisse von Größen sind. Dies ist ja bei den

Messzahlen gegeben. Der Paasche-Index ist ein gewichtetes harmonisches Mittel von Messziffern, bei dem die Gewichte aus der Berichtsperiode stammen:

Fisher-Index Das geometrische Mittel aus Laspeyres- und Paasche-Index ist der Fisher-Index:

Er findet seltener Anwendung. Preisindizes Ein Preisindex drückt die preisliche Veränderung eines Warenkorbes zwischen verschiedenen Zeiträumen aus. Die hier zugrundeliegenden Messzahlen sind natürlich Quotienten von Preisen. Ist der Preis vom Gut zum Zeitpunkt in einem Warenkorb, so ist die zugehörige Messzahl .

Um die Messzahlen ökonomisch sinnvoll zu verbinden, werden für die Gewichte und

die jeweiligen Umsatzanteile des Gutes im Warenkorb in der Basisperiode

bzw. Berichtsperiode verwendet. Mit ihnen wird die "Wichtigkeit" der einzelnen Güter festgesetzt. Somit wird verhindert, dass Güter, die weniger konsumiert werden, über Gebühr die Gesamtgröße des Index bestimmen.

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Aggregatform Preisindex Die Preisindizes von Laspeyres und Paasche lassen sich in eine andere Form bringen, wenn wie angesprochen für die Gewichte die jeweiligen Umsatzanteile der Güter im Warenkorb gewählt werden. Bezeichnen wir mit

den Preisindex von Laspeyres zur Basisperiode 0 und

Berichtsperiode t. Mit

, wobei

die Menge des Gutes i in

der Basisperiode ist, gilt:

Entsprechend erhalten wir für den Preisindex

von Paasche:

Dies ist die sogenannte Aggregatform für Preisindexzahlen. Aggregatformen sind durch die leichte Handhabung in der Praxis sehr beliebt. Es soll die Preisentwicklung von fünf Gütern der privaten Haushalte untersucht werden. Dazu stehen Ihnen auf der folgenden Laborseite die Mengen und Preise der Basisperiode und die der Berichtsperiode zur Verfügung. Berechnen Sie dazu den Preisindex von Laspeyres und den von Paasche. Labordatei öffnen ( c99.zmpf ) Mengen- und Umsatzindizes Mengenindex Ein Mengenindex drückt die mengenmäßige Veränderung eines Warenkorbes zwischen verschiedenen Zeiträumen aus. Der Mengenindex von Laspeyres lautet, wenn als Gewichte wieder die Umsatzanteile der Basisperiode gewählt

werden:

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Die Aggregatform des Paasche-Index erhält die Gestalt:

Dies ist die sogenannte Aggregatform für Mengenindexzahlen. Umsatzindex Ein Wert- bzw. Umsatzindex drückt die wertmäßige Veränderung eines Warenkorbes zwischen verschiedenen Zeiträumen aus. Für die Aggregatform für Umsatzindexzahlen gilt folgender Zusammenhang:

Es liegen Ihnen im Datensatz der folgenden Laborseite Daten für die Preise und Mengen der Basisperiode und der Berichtsperiode vor. Was lässt sich mittels dieser Daten über die Mengenänderung dieses Warenkorbs aussagen? Berechnen Sie dazu den Mengenindex von Laspeyres sowie den Mengenindex von Paasche und vergleichen Sie die Ergebnisse! Laborseite öffnen ( cc7.zmpf ) Aus ökonomischer Sicht ist die Messung einer wertmengenmäßigen Veränderung eines Warenkorbes zwischen verschiedenen Zeiträumen von Interesse. Berechnen Sie dazu den Umsatzindex für die Ihnen auf der folgenden Laborseite zur Verfügung stehenden Mengen und Preise der Basisperiode und der Berichtsperiode. Laborseite öffnen ( cd1.zmpf ) Betrachten wir zwei Güterbündel

mit den zugehörigen Laspeyres-Teilindizes

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und dem Gewichtungsschema der Wertanteile der jeweiligen Güterbündel am zusammengefassten Güterbündel

dann ergibt sich der Gesamtpreisindex nach Laspeyres als:

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