Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Inhalt 1. Grundlagen zu Exponentialfunktionen ............................................................................... 2

Skript zu den Grundlagen der Exponentialfunktionen mit Beispielen und Aufgaben.

Exponentialfunktionen Grundlegende Eigenschaften und Anwendungen

1.1

Eingangsbeispiele zum exponentiellen Wachstum ......................................................... 2

1.2

Definition Exponentialfunktion (Wachstum, Zerfall) ......................................................... 4

1.3

Herleitung der Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen ..................................... 6

1.4

Herleitung der natürlichen Exponentialfunktion ................................................................ 9

1.5

Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ...................................................................... 10

1.6

Modell des begrenzten Wachstums ................................................................................. 14

2. Eigenschaften von Exponentialfunktionen ....................................................................... 16 2.1 Symmetrieeigenschaften von Exponentialfunktionen ..................................................... 16 2.2 Grenzwertverhalten und Monotonieeigenschaften von Exponentialfunktionen ......... 17 2.3 Markante Punkte von Exponentialfunktionen................................................................... 18 2.3.1 Schnittpunkt mit der y-Achse .............................................................................. 18 2.3.2 Schnittpunkte mit der x-Achse ............................................................................ 19 3 Exponentialfunktionen und Differentialrechnung ............................................................. 21 3.1 Ableitung von Exponentialfunktionen der Art f ( x ) = b x und f ( x ) = e x .................... 21

Kurs: Mathematik AHR 12

3.2 Weitere Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen...................................... 22 3.2.1 Kettenregel .......................................................................................................... 23 3.2.2 Produktregel ........................................................................................................ 24 3.3 Anwendungen der Differentialrechnung bei Exponentialfunktionen ............................ 26 4 Exponentialfunktionen und Integralrechnung ................................................................. 33

1

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Schuljahr 2016/2017 Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

1. Grundlagen zu Exponentialfunktionen 1.1

Beispiel 2 (Zellwachstum)

Eingangsbeispiele zum exponentiellen Wachstum

Bei natürlichen Organismen beruhen die Wachstumsvorgänge darauf, dass die

Beispiel 1 (Wachstumsvergleich)

Zellen, aus denen sie bestehen, sich ständig teilen. Solange die Umwelt-

Ein See ist 800 m2 groß. Mit Hilfe von Baggern und anderem „schweren Gerät“ soll er ver-

bedingungen günstig sind, geschieht dies in regelmäßigen Zeitabständen.

größert werden. Jede Woche schaffen die Bagger 550 m2 neue Fläche dazu.

Angenommen

2

eine

Zelle

teilt

sich

unter

den

gegebenen

Bedingungen

Vor Beginn der Arbeiten, waren 80 m des Sees mit Seerosen bedeckt, deren weitere Ver-

durchschnittlich nach einer Stunde, dann verdoppelt sich die Anzahl der Zellen nach

breitung verhindert wurde. Während der laufenden Arbeiten ist dies jedoch nicht mehr mög-

jeder Stunde.

lich, so dass sich die mit Seerosen bedeckte Fläche jede Woche verdoppelt.

In der folgenden Tabelle kann für t = 0,1, ... , 7 abgelesen werden, wie viele Zellen

a) Berechnen Sie jeweils wie groß die Seefläche bzw. die Fläche der Seerosen nach 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Wochen ist.

nach t Stunden aus der ursprünglichen Zelle entstanden sind: Tab.3: Zellwachstum

b) Geben Sie jeweils eine Funktionsgleichung an, die die Größe der Seefläche nach x Wochen als f (x ) bzw. die Größe der Fläche mit Seerosen als g (x ) angibt. c) Nach wie vielen Wochen ist der See vollständig von Seerosen bedeckt? Zeit (Wochen)

Rechnung

0

Seefläche 2

Zeit

(in m )

(Wochen)

800

0

Rechnung

Rosenfläche

t

0

1

2

3

4

5

6

7

f (t )

1

2

4

8

16

32

64

128

Die durch diese Tabelle gegebene Funktion wird erfasst durch den Term:

2

(in m )

f (t ) = 2t .

80

Setzen wir in diesen Funktionsterm einen beliebigen Wert für t ein, so können wir berechnen, wie viele Zellen nach t Stunden vorhanden sind.

1

1

2

2

3

3

Wachstumsprozesse, wie wir sie gerade betrachtet haben, werden als exponentielles

4

handeln. Es können auch Verdreifachungen, Vervierfachungen, oder eine Verviel-

4 5 6 7

Wachstum bezeichnet. Dabei muss es sich nicht immer um eine Verdoppelung fachung um einen beliebigen Wert b ∈ IR vorliegen.

5

Stets ist dabei jedoch so, dass in einem vorgegebenen Zeitraum, d.h. in gleich großen Intervállen (Zeitabständen) die Funktionswerte sich um den selben Faktor b

6

ändern.

7

Tab.1: Wachstum der Seefläche Tab.2: Wachstum der Rosenfläche

2

3

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Beispiel

Definition (Exponentialfunktion)

Maria bekommt monatlich

f ( x ) = bx

und auch g mit

g( x ) = c ⋅ b x

30 € Taschengeld. Jedes Jahr soll es um 5 € erhöht

Dabei ist b∈ IR mit b > 0 , c ∈ IR \ {0} und x ∈ IR .

Entsprechend der obigen Definition ist die Definitionsmenge von Exponentialfunktionen die Menge aller rellen Zahlen, also ID = IR .

Pro Jahr: ⋅1,06

des Jahr soll der Stunden-

Nach 3 Jahren: 1,063

lohn um 6% steigen.

Exponentielles Wachstum

Eine 10 cm hohe Kerze

Pro Minute: − 2

nute brennt sie um 2 mm herunter.

Für b > 1 werden die Funktionswerte immer größer. Man spricht dann von Ein Computer kostet 2000

exponentiellem Wachstum.

Für 0 < b < 1 werden die Funktionswerte immer kleiner. Man spricht dann von

€. Jedes Jahr verliert er die

f ( x ) = 10 ⋅ 1,06 x

f ( x ) = − 2 x + 10

Lineare Abnahme Pro Jahr: ⋅ 0,5 Nach 3 Jahren: 0,53

f ( x ) = 2000 ⋅ 0,5 x

Exponentieller Zerfall

In der Funktionsgleichung

g( x ) = c ⋅ bx

wird der Faktor c auch als

Anfangswert bezeichnet. Er entspricht dem Funktionswert an der Stelle x = 0 : 0

Eine Hefekultur mit 5 g Hefe verdreifacht stündlich ih-

Pro Stunde: ⋅ 3 Nach 3 Jahren: 33

f ( x ) = 5 ⋅ 3x

re Masse.

g( 0 ) = c ⋅ b = c ⋅ 1 = c . der

Nach 3 Minuten: 3 ⋅ ( −2 )

f ( x ) = 5 x + 30

Hälfte seines Wertes.

exponentiellem Zerfall.

b in

Nach 3 Jahren: 3 ⋅ 5

Karina verdient als Tischle-

wird angezündet. Jede Mi-

Funktion

Pro Jahr: + 5

Lineares Wachstum

rin 10 € in der Stunde. Je-

Bemerkungen:

Wachstum

werden.

werden als Exponentialfunktionen bezeichnet.

Der Faktor

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Tabelle 4: Beispiele für verschiedene Wachstumsprozesse

1.2 Definition Exponentialfunktion (Wachstum, Zerfall)

Funktionen f mit

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Exponentielles Wachstum

Funktionsgleichung

x

g ( x ) = c ⋅ b wird auch als

Wachstumsfaktor bzw. Zerfallsfaktor bezeichnet.

Ein Öltank enthält 800 l Öl. Aus dem Tank werden je Minute 200 l Öl gepumpt.

Pro Minute: − 200 Nach 3 Minuten: 3 ⋅ ( −200 )

f ( x ) = − 200x + 800

Lineare Abnahme

An der Art des Wachstums kann man erkennen, ob es sich um lineare oder exponentielle Vorgänge handelt, wobei zwischen Wachstumsprozessen und Zerfallsprozessen bzw. linearer Zunahme und Abnahme unterscheidet.

4

5

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

f(x) = 8

()

(8 )

Zu Beginn: 8 000 Tiere

x f( x) = 1

3

2

(4 )

x f( x) = 1

1 x

-4

-3

⇒

f (0) = 8 000 f (1) = 8 000 ⋅ 1,05

Nach einem Tag 5 % mehr

⇒

Nach zwei Tagen noch 5 % mehr ⇒

f (2) = 8 000 ⋅ 1,05 ⋅ 1,05 = 8 000 ⋅ 1,052

Nach fünf Tagen

⇒

4

f ( x) = 4x

-2

-1

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

zu a)

5

1 x 2

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Lösung:

y

f ( x ) = 2x f( x) =

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Beispiele für den Verlauf von Funktionsgraphen von Exponentialfunktionen

x

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

0

1

2

3

4

f (5) = 8 000 ⋅ 1,055 ≈ 10 210

Antwort: Nach 5 Tagen sind ca. 10 210 Tiere vorhanden. Zu b)

-1

Aus den Überlegungen zu a) folgt unmittelbar

f ( x ) = 8 000 ⋅ 1,05 x .

-2

f ( x ) = 2x

f ( x ) = 4x

f ( x ) = 8x

(2 )

x f( x) = 1

(4 )

x f(x) = 1

(8 )

x f(x) = 1

Abb.1: Graphen von Exponentialfunktionen

Abb.2: Graphen von Exponentialfunktionen

(Wachstumsprozesse)

(Zerfallsprozesse)

Wir haben bereits darauf hingewiesen, dass Exponentialfunktionen die Eigenschaft besitzen, dass sich ihre Funktionswerte in gleich großen Intervallen jeweils um denselben Faktor ändern. So gilt

1.3

Herleitung der Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen

Untersucht man den Wachstumsvorgang, der dem funktionalen Zusammenhang zugrunde liegt, so kann man den Wachstumsfaktor ermiteln. Ausgehend von dem ursprünglichen Ausgangswert kann man dann die Funktionsgleichung aufstellen.

g ( x + 1) c ⋅ b x + 1 c ⋅ b ⋅ b x = = =b g( x ) c ⋅ bx c ⋅ bx

und somit

g ( x + 1) = b ⋅ g ( x ) .

Erhöht man also den x-Wert um 1, so wird der Funktionswert mit der Basis b multipliziert. Dies kann analog auch für die Funktion f aus der Definition nachgewiesen werden. Diese Eigenschaft benutzt man, um anhand von zwei gegebenen Punkten einer Exponentialfunktion den Anfangswert und den Wert der Basis b zu berechnen.

Daher bezeichnet man bei Exponentialfunktionen mit Gleichungen der Art

g( x ) = c ⋅ b x

den Faktor c auch als „Anfangswert“ und die Basis b als

„Wachstumsfaktor“ bzw. „Abnahmefaktor“ (s.o.).

Beispiel 2 Auf einer Südseeinsel lassen Piraten mehrere Schweine zurück. Nach zwei Jahren

Beispiel (Heuschreckenschwarm)

kehren die Piraten zurück und zählen 12 Schweine. Als Sie nach 5 Jahren abermals

In einer bestimmten Region Afrikas vermehrt sich ein Heuschreckenschwarm täglich um 5 %. Zu Beginn der Beobachtung sind bereits 8 000 Tiere vorhanden. a) b)

zurückkehren finden sie 96 Schweine vor. a)

Wie viele Tiere sind nach 5 Tagen vorhanden?

Wie viele Schweine wurden ursprünglich zurückgelassen und mit welcher Wachstumsrate vermehren sie sich?

Wie lautet die Funktionsgleichung der Vermehrungsfunktion

b)

(d. h. der Wachstumsfunktion)?

Wie viele Schweine werden Sie nach 10 Jahren vorfinden, wenn das angenommene Wachstumsmodell in etwa zutrifft?

6

7

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Funktionsgleichung der Form g( x ) = c ⋅ b .

Eine Bank bietet eine außergewöhnliche Kapitalanlage an, bei der sich das angelegte Kapital K 0 bei einer jährlichen Verzinsung verdoppelt (d. h. Prozent-

Es gilt: g( 2 ) = c ⋅ b 2 = 12 und g( 5 ) = c ⋅ b 5 = 96 :

96 g( 5 ) c ⋅ b 5 = = g( 2 ) c ⋅ b 2 12

⇔

b=2

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Beispiel (Verzinsung / Zinseszins)

x

b3 = 8

Exponentialfunktionen

1.4 Herleitung der natürlichen Exponentialfunktion

a) Wir gehen von einem exponentiellen Wachstum aus mit einer

⇔

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

LÖSUNG:

⇒

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kürzen

zinssatz 100%). Nach einem Jahr erhält man dann das Kapital K1 , für das dann gilt

(

⇒

c ⋅ 4 = 12

⇔

c =3

)

K1 = K 0 ⋅ 1 + 100 = K 0 ⋅ 2 .

g( 2 ) = c ⋅ 22 = 12 :4

100

Es besteht aber auch die Möglichkeit, das Kapital halbjährlich mit einem Prozentzinssatz von 50% zu verzinsen. Dann gilt

3

(

K1 = K 0 ⋅ 1 +

)

50 2 100

Wird das Kapital sogar täglich mit Das bedeutet, dass ursprünglich 3 Schweine ausgesetzt wurden, die sich mit dem

1 % 360

(

K1 = K 0 ⋅ 1 +

Wachstumsfaktor b = 2 vermehren.

(

)

1 2 2

= K0 ⋅ 1 +

= K 0 ⋅ 2,25 .

verzinst, gilt

)

1 360 360

≈ K 0 ⋅ 2,71452 .

Aus dem Beispiel zur Verzinsung können wir ableiten, dass bei einer Einteilung des

b) Aus den obigen Überlegungen ergibt sich die Funktionsgleichung g( x ) = 3 ⋅ 2 x .

Jahres in n gleichlange Zeitintervalle und einem Prozentzinssatz von p =

Somit kann man den Bestand nach 10 Jahren ermitteln als:

100 % n

das

Kapital nach einem Jahr mit folgender Formel zu berechnen ist:

g( 10 ) = 3 ⋅ 210 = 3072 .

(

)

n K1 = K 0 ⋅ 1 + 1 . n

Sie könnten also erwarten 3072 Schweine vorzufinden.

Die folgende Tabelle zeigt den Kontostand K1 für ein Anfangskapital K 0 = 1 nach einem Jahr. Tab.5: Kapital K1 bei verschiedenen Verzinsungen (gerundet) jährlich

halbjährlich

monatlich

täglich

stündlich

n

1

2

12

360

8640

K1

2,0

2,25

2,61304

2,71452

2,71828

Verzinsung

Die Tabelle lässt vermuten, dass der Wert von K1 bei einer Erhöhung von n immer weiter ansteigt, jedoch scheint es auch einen gewissen „Endwert“ zu geben.

8

9

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Der Grenzwert von

(

lim 1 +

n →∞

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Exponentialfunktionen

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

)

1 n n

Schuljahr 2016/2017 Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Satz und Definition (Umkehrfunktion) Die Umkehrfunktion einer Funktion f ordnet jedem y-Wert einer Funktion den

wurde vom Schweitzer Mathematiker Leonard Euler (1707 – 1783) entdeckt.

zugehörigen x-Wert zu. Eine Funktion f −1 heißt Umkehrfunktion der Funktion f, falls gilt: f −1(f ( x )) = x bzw. f −1(y ) = x , für f (x ) = y .

Definition (Eulersche Zahl / natürliche Exponentialfunktion)

(

Der Grenzwert lim 1 + n →∞

)

1 n n

heißt Eulersche Zahl und wird mit e bezeichnet. Auf Grund ihrer Monotonieeigenschaften existiert zu jeder Exponentialfunktion mit

Es gilt

b ≠ 1 eine Umkehrfunktion.

(

lim 1 +

n →∞

)

1 n n

Die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen der Art

= e ≈ 2,71828 .

f (x ) = b x

werden

Logarithmusfunktionen genannt und als „Logarithmus zur Basis b“ bezeichnet.

Die Funktion f mit f ( x ) = e x wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

Ebenso wie die natürliche Exponentielfunktion nimmt auch die entsprechende Umkehrfunktion der natürliche Logarithmus eine Sonderrolle ein. Auch der Logarithmus zur Basis 10 wird häufig benutzt und heute ist ebenso wie der natürliche

Die natürliche Exponentialfunktion hat dieselben Eigenschaften, wie jede andere

Logarithmus auf den meisten Taschenrechnern zu finden.

Exponentialfunktion. Sie hat aber darüber hinaus aber noch weitere wichtige Besonderheiten innerhalb

Definition (Logarithmusfunktion)

der Exponentialfunktionen, auf die im Rahmen der Differentialrechnung noch

Die Logarithmusfunktion zur Basis b mit b ∈ IR , b ≠ 1 , ist diejenige Funktion logb für

eingegangen wird. Dazu gehört insbesondere auch eine Eigenschaft, die unter allen Funktionen einzigartig ist.

die gilt y = logb ( x )

⇔

x = by

(für x ∈ IR + und y ∈ IR ).

Dabei steht IR + für die Menge der positiven reellen Zahlen.

1.5 Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion Lässt sich die Zahl der Bakterien in einer bestimmten Bakterienkultur beispielsweise mit der Funktionsgleichung f (x ) = 2 x beschreiben, so kann damit für jede Zeitspanne (für jeden Wert x) ermitelt werden,wie viele Bakterien vorhanden sind. Man könnte jedoch auch umgekehrt danach fragen, wie viel Zeit erforderlich ist, um eine bestimmte Bakterienmenge zu erreichen. Bei dieser Fragestellung ist der Funktionswert (y-Wert) bekannt und der zugehörige x-Wert wird gesucht. Soll

nun nicht für jede einzelene Fragestellung eine seperate Gleichung gelöst

werden, so muss man eine allgemeine Formel aufstellen, die jedem y-Wert den zugehörigen x-Wert zuordnet. Dies erfolgt mit Hilfe der sogenannten Umkehrfunktion.

10

Definition (natürliche Logarithmusfunktion) Die Logarithmusfunktion zur Basis e wird natürliche Logarithmusfunktion genannt und mit ln bezeichnet. Dafür gilt y = ln( x )

⇔

x = ey

(für x ∈ IR + und y ∈ IR ).

Definition (dakadische Logarithmusfunktion) Die Logarithmusfunktion zur Basis 10 wird dekadischer Logarothmus oder Zehnerlogarithmus genannt und mit lg bezeichnet. Dafür gilt y = lg( x )

⇔

x = 10 y

(für x ∈ IR + und y ∈ IR ).

11

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

die

Exponentialfunktionen

und

die

Logarithmusfunktionen

( ) = x und b

Umkehrfunktionen von einander sind gilt stets: log b b

x

jeweils

log b ( x )

=x.

2. Für die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus gilt

( ) = x und e

entsprechend: ln e

x

ln( x )

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

1237 ⋅ 536 bestimmen, indem man lg (1237 ⋅ 536) = 5,821 durch zugehörige die

Eigenschaften der Logarithmusfunktionen 1. Da

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

4. Beispiel für die Anwendung des Logarithmus beim Lösen von Gleichungen von Nullstellen bei Exponentialfunktionen bzw. die zu Beginn dieses Kapitels

3. Für alle Logarithmusfunktionen sowie u > 0 und v > 0 gelten die folgenden

angesprochene Frage nach dem Erreichen eines bestimmten Funktionswertes zu finden.

Logarithmengesetze: Summe der einzelnen Logarithmen berechnet

1237 ⋅ 536 = 10lg (1237⋅536 ) = 105 ,821 ≈ 662216,5 . sind in Kapitel 2.3.2 zu finden. Konkret sind dort Beispiele für die Bestimmung

=x

Der Logarithmus eines Produktes kann als

Exponentialfunktion umkehrt, d.h.

log b (u ⋅ v ) = log b ( u ) + log b (v )

5. Die Graphen einer Exponentialfunktion und der zugehörigen Logarithmus-

werden.

funktion ergeben sich durch die Spiegelung an der an der Winkelhalbierenden

Beispiel: lg (1237 ⋅ 536) = lg( 1237 ) + lg (536) ≈ 3,092 + 2,729 = 5,821

des 1. Quadranten (diese hat die Funktionsgleichung h( x ) = x ).

Der Logarithmus eines Quotienten (Bruchs) kann als Differenz der einzelnen Logarithmen

u  log b   = log b ( u ) − log b (v ) v 

berechnet werden.

( 536 )

Beispiel: lg 1237 = lg( 1237 ) − lg (536) ≈ 3,092 − 2,729 = 0,363 Der Logarithmus einer Potenz kann duch die Multiplikation mit dem Exponeneten des

( )

log b u n = n ⋅ log b (u )

Logarithmus berechnet werden.

(

)

Beispiel: lg 5361237 = lg( 1237 ) ⋅ lg (536) ≈ 3,092 ⋅ 2,729 ≈ 8,438 Tab.6: Logarithmengesetze

Abb.3: Die Graphen der Funktionen

f(x) =

10 x und

g( x ) = log( x )

Abb.4: Die Graphen der Funktionen f ( x ) = e x und g( x ) = ln( x )

Diese Logarithmengesetze werden auch heute noch benutzt, um zum Beispiel Gleichungen mit Exponentialfunktionen zu lösen. (siehe 2.3.2) Ursprünglich – vor dem Zeitalter der Taschenrechner und Computer - waren die Logarithmengesetze ein wichtiges Hilfmittel, um ganz allgemein Rechnungen mit größeren bzw. längeren Zahlen, mit Hilfe von sogenannten Logarithmentafeln (in denen die Ergebnisse für viele Logarithmen nachgeschlagen werden können), auf einfachere Rechenvorgänge zurückzuführen. So kann man auf Grund dieser Regeln (vgl. das erste Beispiel in obiger Tabelle) das Ergebnis für die Multiplikation

12

13

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Da der Kaffee die Raumtemperatur – ohne weiteres - nicht unterschreiten kann gilt:

1.6 Modell des begrenzten Wachstums Bei der mathematischen Vorstellung vom exponentiellem Wachstum (oder Zerfall) ist der Wachstumsfaktor (oder Zerfallsfaktor) konstant. Dies führt zu einem unbegrenz-

G = 20 . f ( 0 ) = G − a ⋅ e −k ⋅0 = 72

ten Wachstum bzw. Zerfall.

⇒

G − a = 72

⇒

20 − a = 72

Das ist aber in der Realität jedoch in der Regel nicht möglich. Dies kann viele verschiedene Ursachen haben. Beim Wachstum von Populationen können Gründe wie Platznot, Nahrungsmangel oder Stress dazu führen dazu, dass eine Population nicht

f ( 3 ) = G − a ⋅ e −k ⋅3 = 56

⇒

⇒

a = − 52

G − a ⋅ e −3k = 56

unbegrenzt wächst.

Setzt man die Ergebnisse für G und a ein, kann man k bestimmen:

Mathematische Modelle sollten daher auch berücksichtigen, dass eine bestimmte

⇒

natürliche (vorgegebene) Grenze oft nicht überschritten oder unterschritten werden

20 − (− 52) ⋅ e −3k = 56

⇔

20 + 52 ⋅ e − 3k = 56

kann. In diesem Fall existiert ein „Grenzbestand G“ der maximal bzw. minimal erreicht werden kann. Dabei ändert sich dann die „Zuwachsrate“, sie wird kleiner, je näher sich die Funktion dem Grenzbestand annähert.

⇔

52 ⋅ e

⇔

e

− 3k

⇔

− 3k

− 3k

= 36

= 36 52 = ln 36 52

− 20 : 52 ln( x )

( )

Die Exponentialfunktion, die solche Prozesse beschreibt, kann dann in der Form

⇔

− 3k ≈ − 0,37

f ( x ) = G − a ⋅ e −k ⋅ x dargestellt werden.

⇔

k ≈ 0,123

: ( −3 )

Dabei entspricht der Koeffizient a nicht dem Anfangswert c, sondern muss mit Hilfe

Setzt man diese Ergebnisse in f ( x ) = G − a ⋅ e −k ⋅ x ein, so erhält man:

der Angaben im Text bestimmt werden. Es gilt dabei: a = G − f ( 0 ) .

f ( x ) = 20 + 52 ⋅ e −0 ,123 x .

Ist a positiv, so handelt es sich um begrenztes Wachstum, ist a negativ, so handelt

Nun kann berechnet werden, wann der Kaffee eine Temperatur von 25°C erreicht.

es sich um einen Zerfallsprozess.

Bed.: f ( x ) = 25

⇒

BEISPIEL:

20 + 52 ⋅ e −0 ,123 x = 25 − 0 ,123 x

⇔

52 ⋅ e

⇔

e − 0 ,123 x =

er ausrechnen, wie lange es dauert, bis sein Kaffee diese Temperatur erreicht hat.

⇔

− 0,123x = ln 5 52

Nachdem er auf dem Zimmerthermometer abgelesen hat, dass die Raumtemperatur

⇔

− 0,123x ≈ − 2,34

20°C beträgt misst er mit seinem neuen Küchenthermometer die Temperatur seines

⇔

x ≈ 19,02

Ein Mathematiker hat sich einen frischen Kaffee zubereitet. Er festgestellt, dass ihm der Kaffee bei einer Temperatur von unter 25° C nicht mehr schmeckt. Nun möchte

Kaffees. Diese beträgt 72°C. Nach 3 Minuten misst er erneut die Temperatur seines Kaffees und misst nun 56°C. Da er weiß, dass solche Prozesse durch Exponentialfunktion mit f ( x ) = G − a ⋅ e −k ⋅ x dargestellt werden können, kann er nun berechnen wann diese Temperatur erreicht

=5

5 52

( )

− 20 : 52 ln( x )

: ( −0,123 )

Somit wird nach ca. 19 Minuten die Temperatur von 25°C erreicht. (Dies gilt natürlich nur, falls er nicht zusätzlich kalte Milch in den Kaffee gibt oder die Modellannahme auf andere Art verändert, zum Beispiel indem er in einen wärmeren oder kälteren Raum hinübergeht. ☺)

wird. 14

15

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

2.1 Symmetrieeigenschaften von Exponentialfunktionen Aus Abb.5 ist offensichtlich, dass die Graphen der Exponentialfunktionen weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Auch der rechnerische Nachweis, dass die beiden Symmetriebedingungen - f ( x ) = f ( − x ) für Achsensymmetrie zur y-Achse und f ( − x ) = − f ( x ) für Punktsymmetrie zum

In Bezug auf das Grenzwertverhalten und die Monotonieeigenschaften von Exponentialfunktionen

Gegenbeispiel führen.

2

−x

=

()

1 x 2

entsprechend

zwischen

zwei

den

in

Typen

von

2.1

beschriebenen

Exponentialfunktionen

unterschieden werden: Funktionen mit Funktionsgleichungen der Art

f (x) = bx

und

(b )

x g( x ) = b − x = 1 .

Das heißt, hier wird zwischen Exponentialfunktionen, bei denen gilt b > 1 und

(41 ) − x = 4 x

2

muss

Symmetrieeigenschaften

Ursprung - nicht gelten, lässt sich für jede Exponentialfunktion leicht mit einem

()

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

2.2 Grenzwertverhalten und Monotonieeigenschaften von

2. Eigenschaften von Exponentialfunktionen

1 x 4

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

solchen, bei denen gilt b < 1 unterschieden. Bei Exponentialfunktionen mit f ( x ) = b x

Bei Exponentialfunktionen mit f ( x ) = b x

und b > 1 gilt:

und b < 1 gilt:

x

• Alle Funktionswerte sind größer als Null, d. h. b

x

• Alle Funktionswerte sind größer als Null, d.h. b x > 0 .

> 0.

• Die Funktion ist streng monoton steigend.

• Die Funktion ist streng monoton fallend.

• Es gilt:

• Es gilt:

lim b

x→−∞

( )x

Abb.5: Graphen von Exponentialfunktionen der Art b x und b x = b1

x

= 0 und

Abb.5 zeigt aber, dass die Funktionsgraphen von Exponentialfunktionen mit

lim b +∞

x→

x

= +∞.

lim b x = + ∞ und

x→−∞

lim b x = 0 .

x→+∞

Tabelle 6: Monotonieeigenschaften und Grenzwertverhalten von Exponentialfunktionen

Funktionsgleichungen der Art

f ( x ) = b x und g ( x ) = b − x =

(b1 ) x

Anmerkungen (1)

zueinander achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse sind.

Alle Exponentialfunktionen mit f ( x ) = b x und b > 1 wachsen für x → + ∞ stärker (schneller) gegen + ∞ als jede beliebige ganzrationale Funktion.

Der Beweis ist unter Ausnutzung der Potenzregeln recht einfach und soll hier nicht weiter ausgeführt werden.

(2)

Für die Exponentialfunktionen mit f ( x ) = b x und b > 1 gilt außerdem dass sie für

x→ −∞

stärker (schneller) gegen

0

streben als

jede beliebige

ganzrationale Funktion.

16

17

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

(3)

Aus

den

Anmerkungen

(1)

Exponentialfunktion mit f ( x ) = b Funktion g mit g( x ) = an ⋅ x

n

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

und x

(2)

ergibt

sich

zum

Beispiel

für

und b > 1 und eine beligbige ganzrationale

+ an −1 ⋅ x

n −1

2

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

1

+ ... + a2 x + a1x + a0 :

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

2.3.2 Schnittpunkte mit der x-Achse Wie bereits festgehalten, gilt b x > 0 für alle x ∈ IR , da b > 0 , wie in der Definition der Exponentialfunktion festgelegt wurde. Somit hat keine der hier behandelten Exponentialfunktionen einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

(

)

lim b x − g( x ) = + ∞ +∞

x→

aber

 g( x ) Außerdem gilt zum Beispiel: lim  x→ +∞  bx

(

)

Alle Funktionen f mit f ( x ) = b x und alle Funktionen g mit g ( x ) = c ⋅ b x ,

lim g( x ) − b x = − ∞ +∞

x→

  = 0 

 bx aber lim  x → + ∞  g ( x )

  = +∞ .  

bei denen c > 0 gilt, verlaufen somit vollständig oberhalb der x-Achse. Diejenigen Funktionen g mit g ( x ) = c ⋅ b x , bei denen c < 0 , verlaufen jedoch vollständig unterhalb der x-Achse.

(4)

Die Exponentialfunktion mit b = 1 ist eine konstante Funktion mit dem

Anmerkung 1

x

Funktionswert 1, denn es gilt: f ( x ) = 1 = 1 für alle x ∈ IR .

Exponentialfunktionen, deren Funktionsgleichung sich aus mehreren Funktionstermen zusammensetzen, können durchaus Nullstellen besitzen. So hat zum Beispiel die Funktion f mit f ( x ) = e x − 1 trivialerweise die Nullstel-

2.3 Markante Punkte von Exponentialfunktionen

le x = 0 und somit den Nullpunkt N (0 / 0 ) .

Die Aussagen über die markanten Punkte der bisher behandelten Exponentialfunktionen (hier sollen nur die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen betrachtet wer-

Bei anderen Funktionen ist die Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse

den) sind auf Grund der in den bisherigen Abbildungen dargestellten Graphen ganz

keineswegs einfach. In der Regel wird dann die Anwendung des Logarithmus

offensichtlich.

zur Bestimmung der Lösung (Nullstellen) benutzt. Für die Funktion f mit f ( x ) = 18 ⋅ 2 x − 144 gilt:

2.3.1 Schnittpunkt mit der y-Achse

Beispiel 1:

Auch bei Exponentialfunktionen gilt für den Schnittpunkt mit der y-Achse die

f(x) = 0

Bedingung x = 0 .

⇒

18 ⋅ 2 x − 144 = 0

: 18

⇔

2x − 8 = 0

+8

⇔

2x = 8

log 2 ( d .h. auf beide Seiten den Logarithmus zur Basis 2 anwenden )

⇔

x

Für Funktionen f mit

f ( x ) = b x gilt – entsprechend den Potenzgesetzen –

unabhängig vom Wert für b stets f (0) = b 0 = 1 . Somit hat der Schnittpunkt mit der y-Achse die Koordinaten Sy (0 / 1 ) . Alle Funktionen mit einem Funktionsterm der Art f ( x ) = b x verlaufen also durch

( )=

log 2 2

log 2 (8 )

⇔

x = log 2 (8 )

⇔

x= 3 Somit erhält man: N ( 3 / 0 ) .

diesen Punkt.

Anmerkung 2 Der Logarithmus ist bekanntlich die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (s.o.), so dass sich das Bilden des Logarithmus zur Basis 2 und das Bilden der 18

19

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktion zur Basis 2 gegenseitig aufheben. Somit gilt zum Beispiel:

( ) = x , was in der obigen Lösung benutzt wurde.

log 2 2

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Schuljahr 2016/2017 Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

3 Exponentialfunktionen und Differentialrechnung

x

3.1 Ableitung von Exponentialfunktionen der Art f ( x ) = b x und f ( x ) = e x

Beispiel 2: Für die Funktion f mit g( x ) = 2e 2 x − 3 − e x gilt:

Die Exponentialfunktionen gehören – wie die ganzrationalen Funktionen – zu den

g( x ) = 0

auch integrierbaren Funktionen.

⇒

2e 2 x − 3 − e x = 0

+ ex

⇔

2e 2 x − 3 = e x

ln

⇔

ln 2e 2 x − 3 = ln e x

⇔

ln (2 ) + ln e 2 x − 3 = ln e x

⇔

ln (2 ) + 2 x − 3 = x

(

)

(

im gesamten Definitionsbereich stetigen und damit sowohl differenzierbaren, als

( d .h. auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden )

( )

Für Exponentialfunktionen f mit

gilt

f ′( x ) = f ′(0) ⋅ b x .

Beweis: Entsprechend der Definition der Ableitung gilt hier − ln( 2 ) + 3

f ′(a ) = lim

2 x = x − ln (2 ) + 3

⇔

x = ln (2 ) + 3 ≈ 0,69 + 3 = 3,69

x →a

−x

b x − ba . x −a

Ersetzt man x durch a + h , so folgt:

f ′(a ) = lim

Somit erhält man: N ( 3,69 / 0 ) .

h →0

Hinweise:

(

b a + h − ba ba ⋅ b h − 1 = lim (a + h ) − a h → 0 h

)=

 b h −1 ba ⋅  lim  h →0 h 

  = ba ⋅ f ′(0) .  

Hinweis

Durch die Anwendung des Logarithmierens und (in Beispiel 2) der Logarithmengesetze sind für beide Funktionen Nullstellen bestimmt worden.

•

f (x) = bx

) ( )

⇔

•

Satz (Ableitung von Exponentialfunktionen)

Mit Hilfe der Formel b = e

ln b

Die Berechnung der jeweiligen Ableitungskonstanten f ′(0) für Exponentialfunktionen ist nicht ohne weiteres durchführbar. Sie kann jedoch mit Hilfe der natürlichen Expo-

können wir Gleichung mit beliebigen Exponenti-

alfunktionen durch natürliche Exponentialfunktionen darstellen und durch die

nentialfunktion und des natürlichen Logarithmus durchgeführt werden (siehe Anmerkungen unten).

Anwendung des natürlichen Logarithmus lösen.

( ) x = e x⋅ln b .

Satz (Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion)

Es gilt b x = e ln b

Für die natürliche Exponentialfunktion mit f ( x ) = e x •

gilt:

f ′( x ) = e x .

Das hier vorgestellte Verfahren wird auch benutzt, um zu bestimmen, wann eine Exponentialfunktion einen bestimmten (gesuchten) Funktionswert erreicht. 20

21

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Anmerkung 1:

3.2.1 Kettenregel

Die natürliche Exponentialfunktion mit f ( x ) = e x ist praktisch die einzige Funktion (*)

Die sogenannte Kettenregel gilt für Funktionen, deren Funktionsgleichungen sich

für die gilt, dass Funktion und Ableitungsfunktion übereinstimmen. D.h. für diese

durch die nacheinander erfolgende („verkettete“) Durchführung von verschiedenen

Funktion gilt: f ( x ) = e x = f ′( x ) .

Funktionsvorschriften zusammensetzen. So erhält man den Funktionswert der Funk-

( )2 , indem man für einen beliebigen x-Wert zunächst das Ergeb-

tion f mit f ( x ) = e x

(*) Auf Grund der Ableitungsregeln (Faktorregel) gilt dies für alle Funktionen mit Funktions-

nis von e x berechnet und dieses anschließend quadriert.

termen der Art f ( x ) = a ⋅ e x mit a ∈ IR .

Die Kettenregel kann auch benutzt werden, um den Rechenaufwand bei letztlich ganzrationalen Funktionen - die aber in verketteter Form angegeben werden – zu

Anmerkung 2:

verringern.

Mit Hilfe der Formel b = e

ln b

können wir jede Exponentialfunktion durch die natürli-

x

che Exponentialfunktion e darstellen. Es gilt

b

x

( )

= e

ln b x

(

So kann bei der Funktion f mit f ( x ) = 2 x 2 + 1

)3

der Funktionswert bestimmt wer-

den, indem man zunächst den Funktionsterm ausmultipliziert und ihn so in ein Poly-

=e

x⋅ln b

nom (hier vom Grad n = 6 ) überführt. Die Ableitung dieser Funktion kann dann ent-

.

sprechend den bekannten Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen bestimmt werden.

Anmerkung 3: Mit Hilfe dieser Formel ergibt sich schließlich für die Ableitung von beliebigen Expox

allerdings

Ergebnis anschließen mit 3 potenziert. Die Funktion wird dann nicht mehr wie eine

f ′( x ) = ln b ⋅ b x (mit b ∈IR \ {1 } ) bzw. letztlich f ′( x ) = ln b ⋅ e

)3

auch bestimmen, indem man zunächst den Wert für 2 x 2 + 1 bestimmt und dieses

nentialfunktionen mit f ( x ) = b folgende Formel für die Ableitung:

x ⋅ ln b

(

Man kann den Funktionswert von der Funktion f mit f ( x ) = 2 x 2 + 1

ganzrationale Funktion behandelt, sondern wie die Verkettung zweier verschiedener Funktionen.

(mit b ∈IR \ {1 } )

Die nun folgende Kettenregel zur Bestimmung der Ableitung von verketteten Funktionen gilt in der Mathematik als sehr wichtige und vielfältig einsetzbare Regel. Auf die exakte mathematische Herleitung der Regel und ihren formalen Beweis soll an dieser Stelle jedoch verzichtet werden.

3.2 Weitere Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen Die bisher bekannten Ableitungsregeln, wie zum Beispiel die Summen- bzw. Differenzenregel oder die Faktorregel, gelten auch für Exponentialfunktionen.

Satz (Kettenregel)

Um zusammengesetzte Exponentialfunktionen (wie beispielsweise f ( x ) = e 0,5 x − 3

Sind die Funktionen g und h differenzierbar, so ist auch die Funktion f mit

oder f ( x ) = x 2 ⋅ e x ) ableiten zu können, benötigen wir allerdings weitere Ableitungsregeln.

22

f ( x ) = g (h( x )) differenzierbar und es gilt: f ′( x ) = h′( x ) ⋅ g ′(h( x )) .

23

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Schuljahr 2016/2017 Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Anmerkung 1:

Hier ist eine weitere spezielle Ableitungsregel erforderlich, sie sogenannte Produkt-

Da bei der Verkettung der beiden Funktionen g und h die Funktionswerte (y-Werte)

regel.

der Funktion h als x-Werte in die Funktionsgleichung der Funktion g eingesetzt wer-

Auch bei dieser Regel wird hier auf die exakte mathematische Herleitung der Regel

den, muss genauer gesagt in diesem Fall die Funktion g differenzierbar sein muss für

und ihren formalen Beweis verzichtet.

alle Funktionswerte von h.

Es sei jedoch auf die Möglichkeit sich im Internet oder in verschiedenen Mathematikbüchern zu informieren hingewiesen. Der Beweis dieser Regel ist durch die Einfüh-

Anmerkung 2:

rung eines „mathematischen Tricks“ - nämlich das Addieren und sofort anschließen-

Bei der Verkettung der beiden Funktionen g und h nennt man die Funktion h die

de Subtrahieren eines benötigten Terms (somit wird letztlich „Null“ addiert) - gut

innere Funktion (das ist diejenige Funktion, die zuerst ausgeführt wird) und die Funk-

nachzuvollziehen.

tion g die äußere Funktion (die anschließend an die innere Funktion ausgeführt wird). Die Kettenregel kann man dann zu folgender Merkregel umformulieren:

Satz (Produktregel)

Sind die Funktionen g und h differenzierbar, so ist auch die Funktion f mit

Ableitung der Gesamtfunktion = innere Ableitung „mal“ äußere Ableitung.

f ( x ) = g( x ) ⋅ h( x ) differenzierbar und es gilt: Tabelle 7: Beispiele für die Anwendung der Kettenregel

f ′( x ) = g ′( x ) ⋅ h( x ) + g( x ) ⋅ h′( x ) . x

Hier gilt: h( x ) = 0 ,5 x − 3 und g( x ) = e .

f ( x ) = e 0,5 x − 3

Somit ist f ′( x ) = 0,5 ⋅ e 05 x − 3

(

f ( x ) = 2x

+1

Lässt man die Funktionsargumente weg, so kann die Produktregel auch kurz ge-

Hier gilt: h( x ) = x 2 − 3 x und g( x ) = e x .

2 f ( x ) = e x −3 x

2

Anmerkung:

schrieben werden als: f ′ = g ′ ⋅ h + g ⋅ h′ .

2 Somit ist f ′( x ) = (2 x − 3 ) ⋅ e x −3 x

)

3

Tabelle 8: Beispiele für die Anwendung der Produktregel

Hier gilt: h( x ) = 2 x 2 + 1 und g( x ) = x 3 .

(

Hier gilt: g( x ) = x 2 und h( x ) = e x .

)2

Somit ist f ′( x ) = 4 x ⋅ 3 2 x 2 + 1

Somit ist f ′( x ) = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x

f ( x ) = x 2 ⋅ ex

Klammert man nun e x aus, so kann der Funktionsterm

)

(

umgeschrieben werden zu f ′( x ) = 2 x + x 2 ⋅ e x .

3.2.2 Produktregel Wird eine neue Funktionsgleichung nicht durch die Hintereinanderausführung zweier Funktionen, sondern durch die Multiplikation zweier Funktionen gebildet, so entste-

(

)(

)

hen Funktionsterme der Art f ( x ) = x 2 ⋅ e x oder f ( x ) = 2 x 2 + 1 ⋅ e x − 3 .

(

2

)(

f ( x ) = 2x + 1 ⋅ e

x

−3

)

(

)

(

)

Hier gilt: g( x ) = 2 x 2 + 1 und h( x ) = e x − 3 .

(

) (

)( )

Somit ist f ′( x ) = (4 x )⋅ e x − 3 + 2 x 2 + 1 ⋅ e x

Ein solches Produkt von Funktionen darf nicht einfach abschnittsweise differenziert werden. 24

25

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schuljahr 2016/2017

(( 1 ) = (( 1 ) = ( 2x

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

also: S y ( 0 / − 2 )

f ( 0 ) = (0 − 2) ⋅ e 0 = (− 2) ⋅ 1 = − 2

Somit ist f ′( x ) = ( 1 ) ⋅ e 2 x + (x + 1 ) ⋅ 2 ⋅ e 2 x

f ′( x ) =

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schnittpunkt y-Achse: Bed.: x = 0

Hier gilt: g( x ) = (x + 1 ) und h( x ) = e 2 x .

f ( x ) = (x + 1 ) ⋅ e 2 x

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Schnittpunkt x-Achse: Bed.: f ( x ) = 0

+ (x + 1 ) ⋅ 2) ⋅ e 2 x + (2 x + 2 )) ⋅ e 2 x

⇔

(x − 2) ⋅ e x (x − 2 ) = 0 (x − 2 ) = 0

⇔

x = 2

⇒

+ 3) ⋅ e 2 x

⇔

=0 ∨

ex = 0

+2

∨

unlösbar

also: N ( 2 / 0 )

f ′( x ) = (1) ⋅ e x + (x − 2) ⋅ e x

3.3 Anwendungen der Differentialrechnung bei

I. notw. Bed.: f ′( x ) = 0

Extrempunkte:

= (x − 1) ⋅ e x

Exponentialfunktionen

⇔

(x − 1)⋅ e x = 0 (x − 1) = 0 + 1

⇔

x=1 ∨

⇒ Anwendungsbeispiel 1

Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = (x − 2) ⋅ e . x

Erläutern Sie zunächst das Grenzwertverhalten der Funktion. Bestimmen Sie dann die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen sowie die Extrem-

∨

ex = 0

unlösbar

II. hinreichende Bed.:

punkte und die Wendepunkte des Graphen. Skizzieren Sie anschließend den Gra-

f ′( 0 ) = (0 − 1) ⋅ e 0 = ( −1) ⋅ 1 = − 1

phen von f und geben Sie die Wertemenge von f an. x = 1

Grenzwertverhalten:

f ′( 2 ) = (2 − 1) ⋅ e 2 ≈ ( 1) ⋅ 7,389 = 7,389

Da die e-Funktion für x → + ∞ schneller wächst als jede ganzrationale Funktion und zudem gilt, dass

= ((1) + (x − 2)) ⋅ e x

lim

x → +∞

(x

− 2) = + ∞ , ergibt sich hier insgesamt:

Hier liegt ein (-/+)VZW vor, somit ist bei

x = 1 ein TP

lim f (x ) = + ∞

x → +∞

Für x → − ∞ strebt die e-Funktion schneller gegen Null als jede ganzrationale Funktion, so dass hier gilt: (Weil gilt lim

x → −∞

(x

lim

x→− ∞

ALTERNATIVE

f (x ) = 0 .

f ′′( x ) = ( 1)⋅ e x + (x − 1) ⋅ e x

− 2) = − ∞ strebt der Graph von f für x → − ∞ aus dem negativen

=

kommend gegen Null.)

(( 1)

= x⋅e

26

+ (x − 1))⋅ e x x

f ′′( 1) = 1⋅ e1 = e ≈ 2,72 f ′′( 1) > 0 , somit ist bei x = 1 ein TP

27

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Exponentialfunktionen

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

III. y-Koordinaten

Schuljahr 2016/2017 Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

III. y-Koordinaten

f ( 1) = (1 − 2) ⋅ e1 = (− 1) ⋅ e ≈ (− 2) ⋅ 2,72 = − 2,72

also: WP ( 0 / − 2 )

f ( 0 ) = (0 − 2) ⋅ e 0 = (− 2) ⋅ 1 = − 2

Somit ergibt sich der Tiefpunkt TP (1 / − 2,72 ) .

Y = (X-2)*EXP(X)

y 5 4

I. notw. Bed.: f ′′( x ) = 0

Wendepunkte

3 2

f ′′( x ) = ( 1)⋅ e x + (x − 1)⋅ e x =

(( 1)

= x⋅e

1

+ (x − 1))⋅ e x

x

x

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1

⇒

⇔ ⇔

x⋅e

x

=0

x =0 x =0

-2

x

∨ ∨

e =0 unlösbar

-3 -4

II. hinreichende Bed.:

f ′′( −1) = x =0

f ′′( 1) =

Anhand des Graphen kann man erkennen, dass der Tiefpunkt ein absoluter

(− 1) ⋅ e⋅(−1) (1) ⋅ e⋅(1) =

= − 1 ≈ − 1 ≈ − 0,368 e

e ≈ 2,72

2,72

Hier liegt ein

{

}

Tiefpunkt ist. Somit gilt: W = y ∈ IR y ≥ − 2,72 .

(-/+)VZW vor, somit ist bei x =0

ein WP

Anwendungsbeispiel 2

Die Konzentration eines bestimmten Medikamentes im Blut (in mg/l) lässt sich nach x Stunden durch die Funktion f mit f ( x ) = 8 x ⋅ e − x näherungsweise beschreiben.

ALTERNATIVE

a) Nach wie viel Stunden wird die höchste Konzentration erreicht und wie groß ist f ′′′( x ) = 1⋅ e x + x ⋅ e x = (1 + x ) ⋅ e

f ′′′( 0 ) = ( 0 + 1) ⋅ e 0 = ( 1) ⋅ 1 = 1

diese? b) Zum dem Zeitpunkt an dem das Medikament am stärksten abgebaut wird soll-

x

= (x + 1 ) ⋅ e x

te dem Patienten eine neue Dosis verabreicht werden. Wann ist dies der Fall?

f ′′′( 1) ≠ 0 , somit ist bei x = 1 ein WP

c) Die Konzentration eines anderen Medikamentes kann durch die Funktion g mit

g( x ) = ( 2 x + 9 ) ⋅ e − x beschrieben werden. Zu welchem Zeitpunkt erreichen beide Medikamente die gleiche Konzentration im Blut? 28

29

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schuljahr 2016/2017

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Exponentialfunktionen

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Lösung zu a):

Antwort:

Die höchste Konzentration wird am Hochpunkt erreicht.

Die höchste Konzentration wird nach einem Tag erreicht.

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Sie beträgt dann ca. 2,94 mg.

I. notwendige Bed.: f ′( x ) = 0 f ′( x ) = 8 ⋅ e − x + 8 x ⋅ ( −1)e − x = 8 ⋅ e − x − 8x ⋅ e− x = (8 − 8 x ) ⋅ e − x

Lösung zu b):

= ( − 8 x + 8) ⋅ e − x

Der stärkste Abbau erfolgt an einem Wendepunkt. Dies muss ein Übergang von einer

⇔

( − 8x + 8) ⋅ e ( − 8x + 8) = 0

⇔

− 8x = − 8

⇒

⇔

−x

Rechts- in eine Linkskurve sein, da dort ein Tiefpunkt der 1. Ableitung (Zunahme bzw. Abbau) liegt.

=0 −8

∨

e−x = 0

: ( − 8)

∨

unlösbar

II. hinreichende Bed.: f ′( 0 ) = (− 8 ⋅ (0 ) + 8 )⋅ e −0 = ( 8 ) ⋅ 1 = 8

Hier liegt ein (+/-)VZW vor,

x = 1

f ′( 2 ) = (− 8 ⋅ (2) + 8 )⋅ e

=

−8 e2

⇔

( 8 x − 16) ⋅ e − x ( 8x − 16) = 0

⇔

8 x = 16

⇔

x=2

⇒

x=1

−2

somit ist bei

≈ − 1,08

x = 1 ein HP

∨

∨

e−x = 0

unlösbar

f ′′( 1) =

= ( − 8) ⋅ e − x + ( 8 x − 8) ⋅ e − x

(( − 8) + ( 8 x − 8)) ⋅ e = ( 8 x − 16) ⋅ e − x

=

f ′′( 3 ) = (8 ⋅ (3 ) − 16)⋅ e −3

−x

e2

somit ist bei

(Ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskurve.)

( 8 ⋅ (1) − 16) ⋅ e −1 −8

Hier liegt ein (-/+)VZW vor,

x = 2 ein WP

= 8 ⋅ e − 3 ≈ 8 ⋅ 0,05 = 0,4

f ′′( x ) = ( − 8 ) ⋅ e − x + ( − 8 x + 8 ) ⋅ (− 1)e − x

≈ − 1,08 ALTERNATIVE

f ′′( 1) < 0 , somit ist bei x = 1 ein HP

f ′′′( x ) = = =

III. y-Koordinaten f ( 1) = 8 ⋅ ( 1) ⋅ e

+ 16

f ′′( 0 ) = (8 ⋅ (0 ) − 16) ⋅ e −0 = ( −16 ) ⋅ 1 = − 16

ALTERNATIVE

−1

: ( 8)

=0

II. hinreichende Bed.:

x = 2

=

und f ′′( x ) = ( 8 x − 16) ⋅ e − x

I. notw. Bed.: f ′′( x ) = 0

=

= 8 ≈ 2,94 e

( 8) ⋅ e − x + ( 8 x − 16) ⋅ ( −1) ⋅ e − x ( 8) ⋅ e − x + ( − 8 x + 16) ⋅ e − x (( 8) + ( − 8 x + 16)) ⋅ e − x ( − 8x + 24) ⋅ e − x

f ′′′( 2 ) =

( − 8 ⋅ (2) + 24) ⋅ e − 2

=

8 e2

f ′′( 2 ) > 0 , somit ist bei x = 2 ein WP und zwar von einer Rechts- in eine Linkskurve.

Antwort:

Somit ergibt sich der Hochpunkt HP (1 / 2,94 ) .

Nach zwei Stunden sinkt die Konzentration des Medikamentes im Blut wieder am stärksten ab, so dass dann bereits eine neue Dosis verabreicht werden sollte.

30

≈ 1,08

31

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt -

Schuljahr 2016/2017

Exponentialfunktionen

Kurs: Mathematik AHR 12 Kurslehrer: Langenbach

Lösung zu c):

4 Exponentialfunktionen und Integralrechnung

Die gleiche Konzentration wird erreicht, wenn gilt f ( x ) = g ( x ) .

Die Methoden und Themen der Integralrechnung können ebenfalls auf die Exponen-

⇒

8 x ⋅ e − x = ( 2x + 9 ) ⋅ e − x

− g( x )

⇔

8 x ⋅ e − x − ( 2x + 9 ) ⋅ e − x = 0

ausklammern

⇔ ⇔

(8x (8x

⇔

8 x − 2x − 9 = 0

⇔

6x − 9 = 0

+9

⇔

6x = 9

:6

⇔

x = 1,5

tialfunktionen übertragen werden. Wie bei der Differentialrechnung sind aber auch hier einige neue und weitergehende Integrationsverfahren bzw. Regeln erforderlich.

− ( 2x + 9 )) ⋅ e − x = 0 − ( 2x + 9 )) = 0

∨ ∨

e−x = 0 unlösbar

Antwort: Nach 1,5 Stunden haben beide Medikamente die gleiche Konzentration im Blut.

32

33