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Functions of de Several Funciones varias Functions of Several Variables Variables variables

13 13 13

In this chapter, you will study functions of In Inthis thischapter, chapter,you youwill willstudy studyfunctions functionsof of En este capítulo se estudiarán funciones more than one independent variable. Many more more than than one one independent independent variable. variable. Many Many In this chapter, you will study functions of de másconcepts de una variable independiente. of the concepts presented are extensions of of ofthe the concepts presented presented are are extensions extensions of of more than one independent variable. Many Muchos de los conceptos presentados familiar ideas from earlier chapters. familiar familiar ideas ideas from from earlier earlier chapters. chapters. of the concepts presented are extensions of son extensiones de ideas familiares de familiar ideas from earlier chapters. In this chapter, you should learn the In In this this chapter, chapter, you you should should learn learn the the capítulos recientes. following. following. following. In this should learn the En estechapter, capítulo,you se aprenderá: following. ■ How to sketch graph, level curves, ■n ■ How How to totrazar sketch sketchuna aaagraph, graph, level level curves, curves, Cómo gráfica, curvas de and level surfaces. ( 13.1 ) and level level surfaces. surfaces. ( ( 13.1 13.1 ) ) ■ and nivel y superficies de nivel. ( 13.1 ) How to sketch a graph, level curves, ■ How to find a limit and determine ■ ■ and level surfaces. 13.1 ) y determiHow totoencontrar find find aalimit limit and determine determine n How Cómo un(and límite continuity. 13.2 continuity. (((13.2 13.2 ))) and ■ continuity. nar latocontinuidad. (13.2 ) How find a limit determine ■ How to find and use a partial derivative. ■ ■ How continuity. ( 13.2 ) n How to to find find and and use use a a partial partial derivative. derivative. Cómo encontrar y usar una derivada ( 13.3 ) ( ( 13.3 13.3 ) ) parcial. (13.3 ) use a partial derivative. ■ How to find and ■ n Cómo y usar unadifferential diferenHow to find and use total differential ■ ■ How (How 13.3to )toencontrar find findand anduse use aaatotal total differential cial total y determinar diferenciabili13.4 and determine differentiability. and and determine determine differentiability. differentiability. (((13.4 13.4))) ■ How to find and use a total differential dad. ( 13.4 ) ■ How to use the Chain Rules and find ■■ How and 13.4 Howdetermine to touse usethe thedifferentiability. Chain ChainRules Rulesand and(find find)aaa n partial Cómoderivative usar la regla de la cadena derivative implicitly. ( 13.5 ) partial derivative implicitly. implicitly. ( ( 13.5 13.5 ) )y a ■ partial How to use the Chain Rules and find encontrar una derivada parcial implí■ How to find and use directional ■ ■ How partial implicitly. (13.5) Howto toderivative find findand anduse use aaadirectional directional ■ ■ ■ cita. (13.5 ) a gradient. (13.6) derivative and derivative and and aagradient. gradient. ((13.6 13.6)) ■ derivative How to find and use a directional n Cómo encontrar y usar una derivada ■ ■ How to find an equation of aatangent tangent ■ ■ How derivative and aequation gradient. ) How to tofind find an equation of of(a13.6 tangent direccional yanun gradiente. (13.6) plane and an equation of a normal line plane plane and and an an equation equation of of a a normal normal line line ■ toencontrar find an equation of a tangent n How Cómo unatoecuación de un to a surface, and how find the angle to to a a surface, surface, and and how how to to find find the the angle angle plane and an equation of a normal line plano tangente y una ecuación de una of inclination of plane. ((13.7 13.7 of ofinclination of ofaaahow plane. plane. 13.7 ))) angle to ainclination surface, to (find the recta normaland a una superficie, y cómo ■ How to find absolute and ■ ■ How of inclination of a plane. (relative 13.7) How to tofind findelabsolute absolute and andinclinación relative relative encontrar ángulo de de extrema. ( 13.8 ) extrema. extrema. ( ( 13.8 13.8 ) ) ■ How to find(13.7 absolute un plano. ) and relative ■ How to solve an optimization problem, ■ ■ How extrema. (13.8 ) optimization How to tosolve solve an an optimization problem, problem, n Cómo encontrar los extremos absoluincluding constrained optimization using including constrained constrained optimization optimization using using ■ including tos y relativos. ( 13.8 ) How to solve an optimization problem, a Lagrange multiplier, and how to use the a a Lagrange Lagrange multiplier, multiplier, and and how how to to use use the the constrained optimization using n including Cómo resolver un problema de optimethod of least squares. ( 13.9, 13.10 ) method method of of least least squares. squares. ( ( 13.9, 13.9, 13.10 13.10 ) ) amización, Lagrangeincluida multiplier, and how to use optimización res-the method least squares. (13.9, 13.10 tringidaofusando un multiplicador de) Lagrange, y cómo usar el método de mínimos cuadrados. (13.9, 13.10)

NOAA NOAA NOAA

Meteorologists use maps that show curves of equal atmospheric pressure, called NOAA Meteorologists Meteorologistsuse usemaps mapsthat thatshow showcurves curvesof ofequal equalatmospheric atmosphericpressure, pressure,called called isobars , to predict weather patterns. How can you use pressure gradients to isobars isobars , , to to predict predict weather weather patterns. patterns. How How can can you you use use pressure pressure gradients gradients to to Los meteorólogos usan mapas que muestran curvas de presión atmosférica igual, ■ ■ ■ Meteorologists use maps that show curves of equal atmospheric pressure, called determine the area of the country that has the greatest wind speed? (See Section determine determine the the area areaof of the thepredecir country country that that has hascan the thegreatest greatest wind wind speed? speed? (See Section Section llamadas para losHow patrones del use clima. ¿Cómo se(See pueden isobars, toisobaras, predict weather patterns. you pressure gradients to usar los ■ 13.6, Exercise 68.) 13.6, 13.6, Exercise Exercise 68.) 68.) gradientes de presión paracountry determinar el área del paíswind que tiene las(See mayores determine the area of the that has the greatest speed? Section velocidades de 68.) viento? (Ver la sección 13.6, ejercicio 68.) 13.6, Exercise

zzz

zzz

zzz

yyy

z

z

z

y

xxx

yyy

yyy

yyy

y

y

y

xxx x

xxx

xxx

x x x Many real-life quantities are functions of two or more variables. In Section 13.1, you will learn how to graph function Muchas cantidades de laare vida real son devariables. dos o más En la sección 13.1 se to aprenderá cómo Many Manyreal-life real-life quantities quantities are functions functions of offunciones two twoor ormore more variables. In Invariables. Section Section13.1, 13.1, you you will will learn learn how how tograph graphaaafunction function of two variables, like the one shown above. The first three graphs show cut-away views of the surface at various graficar una función de dos variables, tal como la que se muestra arriba. Las primeras tres gráficas muestran visof of two two variables, variables, like like the the one one shown shown above. above. The The first first three three graphs graphs show show cut-away cut-away views views of of the the surface surface at at various various Many real-life quantities are functions of two or more variables. In Section 13.1, you will learn how to graph a function traces. Another way to visualize this surface is to project the traces onto the xy -plane, as shown in the fourth graph. tas cortadas de la superficie en varios trazos. Otra forma de visualizar estas superficies es proyectar los trazos traces. traces. Another Another way way to to visualize visualize this this surface surface is is to to project project the the traces traces onto onto the the xy xy -plane, -plane, as as shown shown in in the the fourth fourth graph. graph. of two variables, like the one shown above. The first three graphs show cut-away views of the surface at various hacia plano xy, taltocomo se muestra en laiscuarta gráfica. traces.elAnother way visualize this surface to project the traces onto the xy-plane, as shown in the fourth graph.

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

13.1 Introducción a las funciones de varias variables n n n n n

Entender la notación para una función de varias variables. Dibujar la gráfica de una función de dos variables. Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables. Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables. Utilizar gráficos por computadora para representar una función de dos variables.

Funciones de varias variables EXPLORACIÓN

Comparación de dimensiones Sin usar una herramienta de graficación, describir la gráfica de cada función de dos variables.

Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (independiente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza sW 5 FDd y el volumen de un cilindro circular recto sV 5 p r 2hd son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular sV 5 lwhd es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos.

a) z 5 x 2 1 y 2

z 5 f sx, yd 5 x2 1 xy

b) z 5 x 1 y c) z 5 x 2 1 y d) z 5 !x 2 1 y 2 e) z 5 !1 2 x 2 1 y 2

Función de 2 variables.

2 variables

y w 5 f sx, y, zd 5 x 1 2y 2 3z

Función de 3 variables.

3 variables

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

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Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.

MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872) Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831.

En la función dada por z 5 f sx, yd, x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente. Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y n-adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos, rango es un conjunto de números reales. En este capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables. Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la función dada por f sx, yd 5 x 2 1 y 2 se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de f sx, yd 5 ln xy es el conjunto de todos los puntos sx, yd en el plano para los que xy > 0. Esto consiste en todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.

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SECCIÓN 13.1

EJEMPLO 1

Introducción a las funciones de varias variables

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Dominios de funciones de varias variables

y

Hallar el dominio de cada función. 4

a) f sx, yd 5 2 1 −2

−1

−1

1

2

−2

−4

Dominio de x2 + y2 − 9 f(x, y) = x

Figura 13.1

x

b) g sx, y, zd 5

x !9 2 x 2 2 y 2 2 z 2

Solución x

−4

!x 2 1 y 2 2 9

4

a) La función f está definida para todos los puntos sx, yd tales que x Þ 0 y x 2 1 y 2 ≥ 9. Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculo x 2 1 y 2 5 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se muestra en la figura 13.1. b) La función g está definida para todos los puntos sx, y, zd tales que x 2 1 y 2 1 z 2 < 9. Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos sx, y, zd que se encuentran en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen. Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.

s f ± gdsx, yd 5 f sx, yd ± gsx, yd s f gd sx, yd 5 f sx, ydgsx, yd f f sx, yd sx, yd 5 g sx, yd Þ 0 g g sx, yd

Suma o diferencia. Producto. Cociente.

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta s g 8 hdsx, yd como sigue.

s g 8 hdsx, yd 5 g sh sx, ydd

Composición.

El dominio de esta función compuesta consta de todo sx, yd en el dominio de h tal que h sx, yd está en el dominio de g. Por ejemplo, la función dada por f sx, yd 5 !16 2 4x 2 2 y 2 puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por h sx, yd 5 16 2 4x 2 2 y 2 y la función de una sola variable dada por gsud 5 !u. El dominio de esta función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por 4x2 1 y2 5 16 o en su interior. Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx m y n (donde c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una función polinomial de dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por f sx, yd 5 x 2 1 y 2 2 2xy 1 x 1 2 y g sx, yd 5 3xy 2 1 x 2 2 son funciones polinomiales de dos variables. Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales. Terminología similar se utiliza para las funciones de más de dos variables.

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

Gráfica de una función de dos variables Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos sx, y, zd para los que z 5 f sx, yd y sx, yd está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones 11.5 y 11.6. En la figura 13.2 hay que observar que la gráfica de z 5 f sx, yd es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) en D. Figura 13.2

EJEMPLO 2

Descripción de la gráfica de una función de dos variables

¿Cuál es el rango de f sx, yd 5 !16 2 4x 2 2 y 2 ? Describir la gráfica de f. Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 16 2 4x 2 2 y 2 ≥ 0. Por tanto, D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o son interiores a la elipse dada por x2 y2 1 5 1. 4 16

Elipse en el plano xy.

El rango de f está formado por todos los valores z 5 f sx, yd tales que 0 ≤ z ≤ !16 o sea 0 ≤ z ≤ 4.

Rango de f.

Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si z 5 !16 2 4x 2 2 y 2 La gráfica de f sx, yd 5 ! 16 2 4x 2 2 y 2 es la mitad superior de un elipsoide Figura 13.3

z 2 5 16 2 4x 2 2 y 2 4x 2 1 y 2 1 z 2 5 16 x2 y2 z2 1 1 5 1, 4 16 16

z=

16 − 4x 2 − y 2

0 ≤ z ≤ 4.

De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de un elipsoide, como se muestra en la figura 13.3.

z

Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo, para hallar la traza de la superficie en el plano z 5 2, se sustituye z 5 2 en la ecuación z 5 !16 2 4x 2 2 y 2 y se obtiene 2 5 !16 2 4x 2 2 y 2 x

Figura 13.4

y

x2 y2 1 5 1. 3 12

Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menor de longitudes 4!3 y 2!3. Las trazas también se usan en la mayor parte de las herramientas de graficación tridimensionales. Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora de la superficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la herramienta de graficación tomó 25 trazas paralelas al plano xy y 12 trazas en planos verticales. Si se dispone de una herramienta de graficación tridimensional, utilícese para representar varias superficies.

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SECCIÓN 13.1

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Introducción a las funciones de varias variables

Curvas de nivel

20

30

1008

40

30

30

30

20

100 4 100 8 1 10 01 16 2

20 1004

40

101 2

100 8 100 4 100 0

1008

100 4

101 2

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar z 5 f sx, yd se asigna al punto sx, yd. Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f sx, yd es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5 muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. Las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isotermas, como se muestra en la figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la representación de campos de potencial eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivel se llaman líneas equipotenciales.

50

1008

4

0 10

08 10

80

00 10

80

00 10

70

60

1008

90

Las curvas de nivel muestran las líneas de igual presión (isobaras) medidas en milibares

Las curvas de nivel muestran líneas de igual temperatura (isotermas) medidas en grados Fahrenheit

Figura 13.5

Figura 13.6

Alfred B. Thomas/Earth Scenes

Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie de la Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en la figura 13.7 se representa por el mapa topográfico de la figura 13.8. Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espacio entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica que z cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z. Además, en un mapa de contorno, es importante elegir valores de c uniformemente espaciados, para dar una mejor ilusión tridimensional.

USGS

Figura 13.7

Figura 13.8

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

Dibujo de un mapa de contorno

EJEMPLO 3

El hemisferio dado por f sx, yd 5 !64 2 x 2 2 y 2 se muestra en la figura 13.9. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que correspondan a c 5 0, 1, 2, . . . , 8. Solución Para cada c, la ecuación dada por f sx, yd 5 c es un círculo (o un punto) en el plano xy. Por ejemplo, para c1 5 0, la curva de nivel es x 2 1 y 2 5 64

Círculo de radio 8.

la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel del hemisferio.

f(x, y) =

64 −

x2

−

y2

z z

y

c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2 c4 = 3

Superficie:

c5 = 4 c6 = 5 c7 = 6 c8 = 7

8

4

8

c9 = 8

12

x −8

10

−4

4

8

8 −4

6 4

8 x

2 4

4

x

y

−8

Hemisferio

Mapa de contorno

Figura 13.9

Figura 13.10

EJEMPLO 4 Superficie: z = y2 − x2

Figura 13.11

c= 0 c = −2 c = −4 c = −6 c = −8 c = −10 c = −12

y 4

x 4

−4

Curvas de nivel hiperbólicas (con incrementos de 2) Figura 13.12

El paraboloide hiperbólico dado por

se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.

c = 12

−4

Dibujo de un mapa de contorno

z 5 y2 2 x2

Paraboloide hiperbólico

c=2

y

8

Solución Para cada valor de c, sea f sx, yd 5 c y dibújese la curva de nivel resultante en el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel sc Þ 0d es una hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y 5 ± x. Si c < 0, el eje transversal es horizontal. Por ejemplo, la curva de nivel para c 5 24 está dada por x2 y2 2 5 1. 22 22

Hipérbola con eje transversal horizontal.

Si c > 0, el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para c 5 4 está dada por y2 x2 2 2 5 1. 2 2 2

Hipérbola con eje transversal vertical.

Si c 5 0, la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas que se cortan, como se muestra en la figura 13.12.

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Introducción a las funciones de varias variables

Introduction to Functions of Several Variables

891

Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función de producción de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para representar el Onedeexample a functionalof two las variables useddeintrabajo economics is the número unidadesofproducidas variar cantidades y capital. Si Cobbx mide las Douglas production function. This function is used as a model to represent the unidades de trabajo y y mide las unidades de capital, el número de unidades producidas numbers of units produced by varying amounts of labor and capital. If x measures the está dado por units of labor and y measures the units of capital, the number of units produced is f sx, yd 5 Cx a y 12a given by donde C y a son constantes, con 0 < a < 1. f x, y Cx a y 1 a EJEMPLO 5 a La de producción where C and are función constants with 0 < a < 1. de Cobb-Douglas z = 100x0.6y0.4 y y 2 000

0.6 y 0.4 80 000 c = 160 000 zc==100x

c = 80,000 c = 160,000

2000 1 500

(2 000, 1 000)

1500 1 000 1000

(2000, 1000)

500

500

x 500

1 000 1 500 2 000 x (1 000, 500) 500 1000 1500 2000

(1000, 500) Curvas de nivel (con incrementos de 10 000) Figura Level curves13.13 (at increments of 10,000)

Figure 13.13

f(x, y, z) = c3 f (x, y, z) = c3 f(x, y, z) = c2 f(x, y, z) = c2

z

z

f (x, y, z) = c1 f (x, y, z) = c1

Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es f sx, yd 5 100x 0.6 y 0.4, EXAMPLE 5 The de Cobb-Douglas Production donde x es el número unidades de trabajo y y esFunction el número de unidades de capital. Comparar el nivel de producción cuando x 5 1 000 y y 5 500 con el nivel de producción A toy manufacturer 100x 0.6 y 0.4, where cuando x 5 2 000 y yestimates 5 1 000.a production function to be f x, y x is the number of units of labor and y is the number of units of capital. Compare the production Cuando level when 500dewith the production level when Solución x 5 1x000 1000 y y 5 and 500, yel nivel producción es x 2000 and y 1000. ƒ(1 000, 500) 5 100(1 0000.6)(5000.4) ø 75 786. Solution When x 1000 and y 500, the production level is Cuando x 5 2 000 y y 5 1 000, el nivel de producción es f 1000, 500 100 1000 0.6 500 0.4 75,786. ƒ(2 000, 1 000) 5 100(2 0000.6)(1 0000.4) 5 151 572. When x 2000 and y 1000, the production level is Las curvas de nivel de z 5 f sx, yd se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblar 0.6 producción ambas x y y, se duplica100 el nivel ejercicio 79). f 2000, 1000 2000de 1000 0.4 (ver 151,572. The level curves of z

f x, y are shown in Figure 13.13. Note that by doubling both

Superficies de nivel the production level (see Exercise 79). x and y, you double El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie Level de nivel. Surfaces Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación es auna superficie de be nivel de la función como se to muestra la figura fThe sx, y,concept zd 5 c of level curve can extended by one f,dimension defineena level 13.14. surface. If f is a function of three variables and c is a constant, the graph of the Ingenieros han desarrollado mediante formas de ver equation f x, y,yz científicos c is a level surface of the functioncomputadoras f, as shown inotras Figure 13.14. funciones de tres variables. Por ejemplo, la figura 13.15 muestra una simulación compuWith computers, engineers and scientists have developed other ways to view tacional paraFor representar distribución de temperaturas del fluido que functionsque of usa threecolores variables. instance, la Figure 13.15 shows a computer simulation entra en el tubo. that uses color to represent the temperature distribution of fluid inside a pipe fitting.

y x

y

Superficies de nivel de f Level surfaces of f Figura 13.14 Figure 13.14

Imagen cortesía de CADFEM GmbH

x

TM y ANSYS Una forma común de One-way coupling of ANSYS CFX CFX™ and ANSYS Mechanical™ TM para análisis de esfuerzos térmicos. Mechanical for thermal stress analysis

Figura Figure 13.15

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

EJEMPLO 6

Superficies de nivel

Describir las superficies de nivel de la función f sx, y, zd 5 4x 2 1 y 2 1 z 2. Solución

Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma

4x 2 1 y 2 1 z 2 5 c. z

Superficies de nivel: 4x2 + y2 + z2 = c c=4

c=0 y x

c = 16

Ecuación de una superficie de nivel.

Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales paralelas al plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las secciones transversales circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las superficies de nivel correspondientes a los valores c 5 0, c 5 4 y c 5 16 son como sigue. 4x 2 1 y 2 1 z 2 5 0 x2 y2 z2 1 1 51 1 4 4 2 2 x y z2 1 1 51 4 16 16

Superficie de nivel para c 5 0 (un solo punto). Superficie de nivel para c 5 4 (elipsoide). Superficie de nivel para c 5 16 (elipsoide).

Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.

Figura 13.16

NOTA Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las superficies de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas. n

Gráficas por computadora El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarse usando una computadora. Aunque hay varios tipos de herramientas de graficación tridimensionales, la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tres dimensiones. Para usar tales herramientas de graficación, por lo general se necesita dar la ecuación de la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse y el número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la superficie dada por f sx, yd 5 sx 2 1 y 2de 12x

2

2y 2

se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z. f(x, y) = (x 2 + y 2)e1 − x

2

− y2

23 ≤ x ≤ 3 23 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ 3

z

x

Figura 13.17

y

Límites para x. Límites para y. Límites para z.

La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora utilizando 26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el programa utiliza una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas en primer plano (las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medida que se dibuja una nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte de la traza siguiente. Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies que fueron dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computadora para dibujo, podrán reproducirse estas superficies.

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18:39

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SECCIÓN 13.1

z

893

Introducción a las funciones de varias variables

z

z

x

x y

x

y y

Tres vistas diferentes de la gráfica de f sx, yd 5 s2 2 y2 1 x2d e12 x 2 s y y4d 2

z

2

y

z

x

y

x

y

x

Trazas dobles

Trazas simples

Curvas de nivel

Trazas y curvas de nivel de la gráfica de f sx, yd 5

2 4x x 1 y2 1 1 2

z

z

z

y

x y y

x x

f(x, y) = sen x sen y

f (x, y) = −

1 + y2

x2

f (x, y) =

1− x 2 − y 2 1− x 2 − y 2 

1053714_1301.qxp 10/27/08 12:05 PM Page 894 Larson-13-01.qxd 10/27/08 3/12/09 18:40 PagePage 894 894 1053714_1301.qxp 12:05 PM 1053714_1301.qxp

894 894

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Chapter 13 13 Functions Functions of of Several Several Variables Variables Chapter CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 13 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables

894 894 894

Seeofwww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out worked-out solutions solutions to to odd-numbered odd-numbered exercises. exercises. Exercises See for 13 Functions Several Variables Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.1 113.1 3.1 Chapter Ejercicios 13.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. In Exercises Exercises and 2, use use the graph to to determine whether is aa En los ejercicios 1 y2, usarthe la gráfica para determinar si z eszz is una x, yy sen yy 13. ff x, In 11 and graph determine whether xx sen 13. In13.1 Exercises use the graph to determine whether z is a f x, y x sen y function ofxxxExercises and Explain. y.2,Explain. función de y1and y.and Explicar. function of y. See www.CalcChat.com for worked-out solutions 13. to odd-numbered exercises. 2, 44 b) a) 2, b) a) In Exercises andy.2,Explain. use the graph to determine whether z is a function of x1and x sen y 13. f x, y

894

zz 1. 1. function of x and y. Explain. z 1. In Exercises 1 and 2, use the graph to determine whether z is a 1. 22 z function of x and y. Explain. 2 2z

1.

2 44 4 x x 4 x

2. 2. 2. 2.

x

33 3 3 zz z

3 4

x

44 4

yy y

4

y

4

y

33 z 3 3

2.

z 55 xx 5 x 5 x

3 55 5

5

5

x

yy y y

y. In Exercises Exercises 33––6, 6, determine determine whether whether zz is is aa function function of of xx and and y. In In Exercises 3 – 6, determine 5 whether z is a function of x and y. 2 de x y y. y En los determinar si esis22una función 3y223 – 6,3xxydetermine ya 6, 10 10 2x 3.Exercises 4.zxz xx22zzejercicios 3y 2x yy yy2of 4. zxz x 44and y. In3. whether a function 2 2 2 xz x y 10 2x y y 4 3. x222z 3y 4. 22 y x y 2 22 x 2xyyy 8yz y 2 400 3. 4. z x y 11 10 z 2 xx ln ln 8yz 5. xx22z y3y 6. zxz 2 z 5. 6. In5.Exercises whether of x and 2 determine 44 99 3 –z6, 1 ln y 8yz 0 y. 6. zz is ax function x42 y92 2 8yz zxz 2 x ln 5. x 2z 3y2 z x y 1 10 6. 2xyy values. y 2 40 4.the 4 9 7–18, In3.Exercises Exercises 7–18, find find and and simplify simplify the function values. In function 2 2 In Exercises find and simplify the function values. y 7–18, x 1 and simplify6.the z function x ln y values. 8yz 0 5. x, yy 7–18, xyz 2 find 7.Exercises f4f x, xy In7. 9 f ejercicios x, y xy 7 a 18, hallar y simplificar los valores de la funEn7.los 3, 2 1, 4 30, 5 a) b) c) 1, 4 c) 30, 5 a) 3, 2 b) f x, y3, 2 xyb) 7. a) 1, 4 c) 30, the 5 function values. ción. In Exercises 5, yy 7–18, x, 22 and simplify 5, tt d) 5, e) find x, d) e) ff )) 5, a) 5, 2y b) 2 422 fc)) 30, 5, t 5 d) 3, e) 22x, 1, x,x,yyy 44xy xx 4y 8. fff x, 4y 8. 7. f x, y5, y 4 e) x 2x, 24y 2 f ) 5, t 8. d) 0, 020 b) 0, 1, 2, 30, a) 0, b) 0, c) c) 2, 11 4 c) 33 5 a) 3, 8. fa)x, y0, 0 4 b) x 2 0, 14y 2 c) 2, 3 e) f ) 1, y x, 0 t, 1 t d) e) f ) 1, y x, 0 t, 1 d) 5, 2 f ) 5, 0, a) e) f ) 2, 1, 0y b) x, 01 2 c) t, 31 d) 0, y y 2 x, yy 9. ff x, xe 9. 4xe x 4y 8. x, 0 f ) t, 1 y f x, y1, y xee) 9. d) 5, 0 3, 2 2, 3 11 a) b) c) 2, 5, 0 3, 2 a) 0, b) 0, 1 c) y 9. fa)x, y5, 0 xeb) 3, 2 c) 2, 1 5, yy e) x, 202 ff )) t,t, tt1 d) 5, e) x, d) 1, a) 5, 0y b) x, 22 c) t, t 1 d) 5, e) 3, f ) 2, y g x, y ln x 10. g x, y ln x yy 10. xe 9. f f ) t, t g x, y5, y lne)x x,y 2 10. d) 1, 00 b) 0, 2 11 c) c) 0, ee1 a) 1, b) 0, c) 2,0, a) 5, 3, y 1 c) 0, e 10. ga)x, y1, 0 lnb)x 0, 1, 1 e, e 2 d) e) f ) 1, 1 e, e 2 2, d) 5, y e) x, 2 f )f ) t, t2, e55 a) 1, 01 b) e, e 12 fc)) 0, 2, 5 d) 1, e) 0, xy ln xy x y 10. g x, y 1,zz1 e) e, e 2 2, 5 h x, x, y, y, 11. hd) f ) 11. xy h x, y, 11. a) 1, z0 b)zz 0, 1 c) 0, e xy z ha)x, y, 11. a) 2, 3, 0, 11 f ) c) 2, 3, 3, 44 d) 5, 4, 4, 66 b) e, 1, c) 2, 5 2, d) 5, 2, 1, z3, 1 99 e) b) e1, 20, d) 2, 3, 4 d) 5, 4, 6 a) 2, 3, 9 z b) 1, 0, 1 c) x, y, y, zz 12. ff x, xx yy zz 12. 2, z3, 9 xyb) 2, 3, 4 d) 5, 4, 6 x y1, 0, z1 c) 12. a) hf x, y, 11. 0, 5, 5, 44 z b) 6, 8, 8, 33 a) 0, b) 6, a) 12. fa)x, y,0,z5, 4 xb) y6, 8,z 3 4, 6, 6, 292 d) 10,0, 14, 4, c)33 c) 4, d) 10, c) 2, 3, 1, 2, 3, 4 d) 5, 4, 6 a) b) a) 4, 5, 6, 42 b) 10,8, 4,3 3 c) 0, d) 6, x y z 12. f x, y, z c) 4, 6, 2 d) 10, 4, 3 a) 0, 5, 4 b) 6, 8, 3 c)

4, 6, 2

d)

10,

4,

3

3, 11 c) 3, 33 d) 4, 22 c) d) 4, 3, 3, 3, 3 d) 4, 2 a) 2, 4 22 b) 3, 1 c) V r, h r h V r, h r h 3, 3 d) 4, 2 a) V r, h2, 4 r 2hb) 3, 1 c) 3, 10 10x sen 5, 22 c) 4, 88 d) 6, 44 b) c) 4, d) 6, a) b) fa)x, y3, 2hy 5, V r, h r a) 3, 10 yy b) 5, 2 c) 4, 8 d) 6, 4 2, 4 b) 3, 1 c) 3, 3 d) 4, 2 a) 3, g x, x, yy 10 y b) 2t 5,332dt dt c) 4, 8 d) 6, 4 15. ga) 2t 15. g x, 15. V xxyr 22t r, hy h 3 dt 14. 3 ga)x, y4, 2t 4, 15. a) 4, 010 0 xb) 4,5,3112dtc) 4,4,3232 8 d) b)b) c)c) 4, d)d) 3223,,6,00 4 3, a) 3 4, 1 4, a) 4, 0 xyb) c) d) y 2 2, 0 y 1 1 3 3 y 4, 0 4, 1 4, ,0 a) b) c) d) g x, y dt 16. g x, y dt 16. 2 2 1 2tt 3 dt 15. g x, y 16. g x, y xxxy t dt 1 t 1 ga)x, y4, 16. a) 4, 101 xb) 6, 313 c) 2, 535 d) b) dt c) 2, d) 31221,,, 077 6, d) 4, 4, a) b) c) t 4, 2 6, 3 2, 5 a) 4, 1 xb) c) d) 22, 7 22 2 x, yy 2xy 1 yy2 x, yy1 3x 2y 17. ff x, 18. ff x, 3x 2x 2y 17. 18. c) 2, 518. d) 2 3 f x, y2, 7 3x2 2y 17. a) gf x, y4, 1 2xb) ydt6, 16. x,tyy x, yy x, yy x, yy ff xx x, ff x, ff xx x, ff x, fa)x, yf x 3x2x, y 2y f x, y fa)x, yf x 2xx x, yy2 f x, y 17. a) 18. a) 1 xx a) f4,x1 b)x, yxx6, 3 f x,c)y 2, 5 a) d) f2,x7 x, yx f x, y x a) a) x, yy2x yyy2 ff x, x, yy x, yy3x2 yy 2y ff x, x, yy fb)x, yff x, fb)x, yff x, 17. b) 18. b) f x, y yyxy f x, y f x, y yxyy f x, y b) f x b) f x x, yyy ff x, x, yy x, yyy ff x, x, yy a) f x, y a) f x, y b) b) x x y deof In Exercises 19–30, describe the eldomain domain and range of the In 19–30, the range En Exercises los ejercicios 19y a describe 30, describir dominioand y rango la the funIn Exercises 19–30, describe the domain and range ofx,the function. f x, y y f x, y f x, y y f y function. ción.b) b) In Exercises 19–30, describe the domain and range of the function. y y 2 2 xy x, yy x, yy 19. ff x, 20. ff x, eexy xx2 yy2 19. 20. function. x2 y2 e xy 19. f x, y 20. f x, y In Exercises 19–30, describe the domain andxy yy range of the ey xx2 yy y 2 19. 20. x, yy x, yy 21. gfg x, 22. gfg x, 21. 22. function. xx x y 21. g x, y 22. g x, y yx g x, y x y g x, y 21. 22. x y xy 2 2 xy x y xy y 19. 20. 23. zfz x, yx yx 24. zfz x, y xy e x 23. 24. xy xy 23. z 24. z xx yy y xy xy yx y 22 2 g x, x, yyyx xy y 44 xx22 4y 21. 22. 2 23. 24. x, yy 4y22 x, 25. fzf x, 26. fzgf x, 44 xx yy 25. 26. x xy 2 2 4 x y 25. f x, y 26. f x, yx y 4 x 2 4y 2 x, yyx yarccos arccos xx2 yy 2 x, yy xy arcsen arcsen yy2 xx 27. ff x, 28. ff x, 27. 28. 4 xx yy 4 xy x 4y 2 25. 26. x, yy arccos x, yy arcsen 27. fzf x, 28. fzf x, 23. 24. x, yy xy ln ln 44 xx yy x, yyx yln ln xy xy 66 29. ff x, 30. ff x, 29. 30. arccos arcsen 27. 28. x, yy ln 4 xx2 yy 2 x, yy ln xy y26x 29. ff x, 30. ff x, x, y 4 x y 4y 2 f x, y 4 x 25. ff x, 26. y About ln 4 It y b), xy and 29. 30. f x,a), 31. Think Think About It xThe Theygraphs graphs labeled labeled a), b),lnc), c), and6 (d) (d) are are 31. fThink x, y About x They graphs x,a), y xx22b),arcsen 27. 28. f 4x 31. graphs are 22 and yc), 1y ..x(d) f x, x, yy labeled 4x graphs ofarccos theItfunction function Match y 1 f of the Match 31. Think Para pensar Las gráficas marcadas a), b), y2d) and son gráficas 2 c) c), 31. About It The graphs labeled a), b), (d) are y 1 . f x, y 4x x of the function Match thex,four four graphs with the points in space from which the surface fgraphs y ln 4 x y f x, y ln xy 6 29. the 30. graphsf swith pointssxin2 1 space from which the surface 21 de la función gráfix, yd the 5 24xy y4x d. Asociar 2 1cada .10, f x, yare x1225 graphs of the Match the four graphs with points in space from the surface 20, 15, 25which 15, 10, 20 ,, is viewed. viewed. Thefunction fourthepoints points are 20, 15, ,,ysuperficie 15, 20 is The four ca con el punto en el espacio desde el que la es vifour graphs the0points in space from the 10, surface 20,a), 15, 25which , c), and 15, is20, The four are 31. the Think Itwith The graphs labeled b), (d) 20 are, 20,viewed. 20,About 0 ,, and 20, 0, 0points . and 20, 0 20, 0, . sualizada. Los cuatro puntos son (20, 15, 25), (215, 10, 20), 20 , is Thefunction four0, points 20,viewed. 20,of 0 ,the 20, 0 f. x, yare 20, and 1 .10, 4x15,x 225 , yzz2 15, graphs Match zz (20, a) b) a) b) (20, 20, 00), yand 0, 0, 0) 0 . 20, 20, 20, z z the four graphs with the points in space from which the surface a) b) z a) viewed.z zThe four points b) b) 20,xx15, 25 , z 15, 10, 20 , is are a) x x 20, 20, 0 , and 20, 0, 0 . x 14. 14. 14. 13. 14.

z

a)

y

yy y

x

y y

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c) c) c) c) c)

z

z

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z

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x

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z

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y

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x

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z

z

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CAS

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13.1 to of Variables 895 13.1 Introduction to Functions Functions of Several Several Variables 895 SECCIÓN 13.1 Introduction Introducción a las funciones de varias variables 895 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 895 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 895 13.1 Introduction to Functions of Several Variables 895 2 2 32. 2 xxx2 2 12y 13.131. Variables 895 32. Think Think About About It It Use Use the the function function given given in in Exercise Exercise 31. Introduction to Functions of Several 2y 2y 2 ff fx, xx2x2 2 ff fx, 47. 48. x, lnlnyyof x, cos 47. 48. 32. Think ParaFind pensar Usar laand función dada enfunction. elinejercicio 31. 47.to 48.Several sIntroduction x,yyyd 5ln y 2Several sx,yyyd895 5cos cosx 2 442y 2 895 13.1 to Functions of Variables 32. About It Use the function given Exercise 31. 13.1 Introduction Functions Variables (a) the domain range of the FindAbout the domain and of the function. 32. (a) Think It Use therange function given in Exercise 31. lnz y x 2 2 f x, 2y cos x 2 4 2y 2 47. f x, y 48. 32. Think About It Use function given in Exercise 31. a) the Hallar el domain dominio y rango de la función. f x, y zz zcos 47.2 f x, y x 248. 2y zln 4 (a) Find the and range of the function. xy(b) Identify the points in the plane at which the function z y f x,xy xy(b) Identify the points in the plane at which the function 4 f x, y ln y x cos 47. 48. (a) the Findfunction the domain and range of the function. 32.(a)Think It b) Use given inenExercise 31. x 24 2y 2 z z Identificar los puntos el plano xy donde el valor de la funFind About the domain and range of the function. 5 value is 0. 2 55 z 48. f x, y value is the 0. points in the xy-plane at which the47.function (b) Identify 44 z f x, y ln y x cos Identify the points the xy-plane the31. function z 32. Think About Itthe Use the given Exercise 32.(a) Think It (b) Use the given in function Exercise 31. atinwhich x 2 2y 2 z x 2 4 2y 2 4 ción esisfunction 0. FindAbout the and range of function. xy(b) Identify thedomain points in the plane atpass which the function 0.surface (c) Does the through all f x, y ln y47. xf 2 x, y 5 5 ln y48. xf 2x, y cos 48. f x, y 4 cos 47.rectan(c) value Does the surface pass through all the the octants octants of of the the rectanvalue is 0. z z 4 4 4 Find the domain and range ofreasons the function. c)(a)¿Pasa la superficie por todos los octantes del sistema de coor(a) Find thethe domain and range ofplane thesystem? function. xy(b) Identify points in the the at through which the function value is 0. gular coordinate Give for answer. −−66 4 gular coordinate system? Give reasons for your your answer. (c) Does surface pass all the octants of the rectan- 5 −6 z z z z (c) Does the surface pass through all the octants of the rectandenadas rectangular? Dar las razones de la respuesta. value 0. the points xy(b) Identify points the plane atforwhich the function 5 xy-plane Identify incoordinate the the atinwhich the function 4 yy (c) (b) Does theissurface pass through all the octants of the rectangular system? Give reasons your answer. −6 gular coordinate system? Give reasons forthe your answer. y −6 In Exercises 33 – 40, sketch the surface given by function. 5− 6 value is 0. 3 22 value is 0. In Exercises 33 – 40, sketch the surface given by the function. 4 (c)gular Does the En surface pass through octants the rectancoordinate Give for your answer. 4 lossystem? ejercicios 33reasons aall 40,the dibujar la of superficie dada por la función. 5 55 444 33 2 y 10 5 y 1010 2 xx Insurface Exercises 33through –Give 40, sketch the surface given by the function. system? reasons for your − 6 444 55 6 Does the surface pass through all octants of the rectan(c)gular Doescoordinate the pass all the octants rectany x5 4 3 3 2 −2 33. 34.ofanswer. ff (c) x, 4433 ff the x, yythe 6by 2x 3y In Exercises – 40, sketch the surface 5 66 yy y xx x, yythe x,given 6 the 2xfunction. 3y 2 −2 −2 10 In Exercisesgular 33 – coordinate 40,33. sketch surface given by for the 34. function. 5 4 x6 4 3 gular coordinate system? Give reasons for your answer. x −10 system? Give reasons your answer. − 6 1 y 4 5 6 2 1 5 y 4 x 33. 34. f x, y 4 f x, y 6 2x 3y 2 −2 fff x, ggf x, 36. 5 6 x x,x,yyy theyy4surface given by the x, 35. 36. In Exercises 33 –35. 40, y 33.sketch 34.function. x,yyy 226yy 2x 3y −2 10 4 5 3 2 x x 4 y y of the function. 5 y 6 In 49–56, 33. f x, y 4 6 2x 3y 11 x 221 by 2 22f x, y −2 22 In4Exercises Exercises 49–56, describe the the level level curves curves of the function. x 10 describe x, y xx22the y34. gzfunction. 37. 38. In 33 – 40, sketch surface the function. In Exercises 3335. –37. 40,fzExercises surface giventhe by36. the 2yy x 3 2 zfsketch zgx,x,ygiven 38. 22y x 2 y1 yyy 3 2 5 x, y y 35. 36. 4 4 1 EnExercises ejercicios a 56, las curvas de nivelfunction. de la funy level 5los 2 6 the c-values. Sketch curves for the given 34. f x, y y6 2x 3y f x, 5 −2 1 Sketch the level curves fordescribir thethe given In 49–56, level curves of the x 49 y y y 2 4 37. 35.33.f x, 10 c-values. 10 4describe 2 z x, yy x 2 2ee36. yxx2 2g x, y 38. z 2 1 x 2 2 y 2 2 x 39. Inx 4Exercises 49–56, describe thepara levelloscurves ofdados the function. 5 6 de ynivel 5Dibujar 1 6 38. ción. curvas valores de c. y−2 las y34.g fx, zf x,3y 37. 33.ffzfx, 34. x, y x 4 36. y x 6 yIn 2xExercises 3y 6 level 33.f fx,x,y 2y y 242 39. 2x −2 Sketch 1 x,y y2 49–56, describe the level curves of the function. c the curves for the given -values. 2 x y 35. x 2 2 x y 39. f x, y 37. z 38. x z zz xthe y, cccurves1, 0, 2, 44given c-values. 49. Sketch level for the 2 x 0, y y1 0 x y, 1, 0, 2, 49. e 1 xy, x x 2 y 0 In Exercises the level curves of the function. c-values. Sketch the level49–56, curves describe for the given 239. eyxy, x,yyyy 35.ffffx, 35.z f x, yx 2 x yy240. 36.z gxx,12 y 0, 2y x 2 yy 236. g x, y 38. x,x, 40. zzzExercises x66 the y,2x c 3y, 1,cc 0, 2,0, 42,the 49. y e 39.37.f x, 4, 8, 10 50. 0, xxx 0 tal que

| f sx, yd 2 L| < «

siempre que 0 < !sx 2 x0d2 1 s y 2 y0d2 < d.

NOTA Gráficamente, esta definición del límite implica que para todo punto sx, yd Þ sx0, y0d en el disco de radio d, el valor f sx, yd está entre L 1 « y L 2 «, como se muestra en la figura 13.20. n

z

La definición del límite de una función en dos variables es similar a la definición del límite de una función en una sola variable, pero existe una diferencia importante. Para determinar si una función en una sola variable tiene límite, sólo se necesita ver que se aproxime al límite por ambas direcciones: por la derecha y por la izquierda. Si la función se aproxima al mismo límite por la derecha y por la izquierda, se puede concluir que el límite existe. Sin embargo, en el caso de una función de dos variables, la expresión

L +ε L L−ε

sx, yd → sx0, y0d

y x

(x1, y1) (x0, y0)

Disco de radio δ

Para todo sx, yd en el círculo de radio d, el valor de f sx, yd se encuentra entre L 1 « y L 2 «.

significa que el punto sx, yd puede aproximarse al punto sx0, y0d por cualquier dirección. Si el valor de sx, yd → sx0, y0 d

lim lím

f sx, yd

no es el mismo al aproximarse por cualquier dirección, o trayectoria o camino a sx0, y0d, el límite no existe.

Figura 13.20

EJEMPLO 1

Verificar un límite a partir de la definición

Mostrar que sx, yd → sa, bd

lim lím

x 5 a.

Solución Sea f sx, yd 5 x y L 5 a. Se necesita mostrar que para cada « > 0, existe un entorno d de sa, bd tal que

| f sx, yd 2 L| 5 |x 2 a| < « siempre que sx, yd Þ sa, bd se encuentre en el entorno. Primero se puede observar que 0 < !sx 2 ad2 1 s y 2 bd2 < d implica que

| f sx, yd 2 a| 5 |x 2 a|

5 !sx 2 ad2 ≤ !sx 2 ad2 1 s y 2 bd2 < d.

Así que se puede elegir d = e y el límite queda verificado.

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto a la suma, diferencia, producto y cociente que los límites de funciones de una sola variable. (Ver teorema 1.2 en la sección 1.3.) Algunas de estas propiedades se utilizan en el ejemplo siguiente.

Cálculo de un límite

EJEMPLO 2 Calcular

5x 2y . sx, yd → s1, 2d x 1 y 2 lim lím

2

Solución Usando las propiedades de los límites de productos y de sumas, se obtiene sx, yd → s1, 2d

lim lím

5x 2y 5 5s12ds2d 5 10

y sx, yd → s1, 2d

lím lim

sx 2 1 y 2d 5 s12 1 22d 5 5.

Como el límite de un cociente es igual al cociente de los límites (y el denominador no es 0), se tiene 5x 2y 10 5 1 y2 5

sx, yd → s1, 2d x 2

lim lím

5 2. EJEMPLO 3 Calcular

Verificar un límite 5x 2y . 1 y2

sx, yd → s0, 0d x 2

lím lim

Solución En este caso, los límites del numerador y del denominador son ambos 0, por tanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del límite tomando los límites del numerador y del denominador por separado y dividiendo después. Sin embargo, por la gráfica de ƒ (figura 13.21), parece razonable pensar que el límite pueda ser 0. En consecuencia, se puede intentar aplicar la definición de límite a L 5 0. Primero, hay que observar que

|y| ≤ !x 2 1 y 2

z

y

Entonces, en un entorno d de (0, 0), se tiene 0 < !x 2 1 y 2 < d, lo que, para (x, y) ≠ (0, 0) implica

7 6 5

| f sx, yd 2 0| 5

| | 5x 2y 1 y2

x2

| |1 x 2 1 y 2 2 ≤ 5|y|

55y

−5 −4 2 5

3

4

5

y

x2

≤ 5!x 2 1 y 2

x

< 5d.

Superficie: f(x, y) =

Figura 13.21

x2 ≤ 1. x 1 y2 2

5x2y x2 + y2

Por tanto, se puede elegir d 5 «y5 y concluir que 5x 2y 5 0. sx, yd → s0, 0d x 2 1 y 2 lim lím

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SECCIÓN 13.2

z

Límites y continuidad

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Con algunas funciones es fácil reconocer que el límite no existe. Por ejemplo, está claro que el límite sx, yd → s0, 0d

lím lim

4

1 x2 1 y2

no existe porque el valor de f sx, yd crece sin tope cuando sx, yd se aproxima a s0, 0d a lo largo de cualquier trayectoria (ver la figura 13.22). Con otras funciones no es tan fácil reconocer que un límite no existe. Así, el siguiente ejemplo describe un caso en el que el límite no existe ya que la función se aproxima a valores diferentes a lo largo de trayectorias diferentes. 3 x

lim sx, yd → s0, 0d x 2 lím

y

EJEMPLO 4

3

1 no existe 1 y2

Un límite que no existe

Mostrar que el siguiente límite no existe.

Figura 13.22 sx, yd → s0, 0d

lim lím

1

x2 2 y2 x2 1 y2

2

2

Solución El dominio de la función f sx, yd 5

1xx

2 2

2 y2 1 y2

2

2

consta de todos los puntos en el plano xy con excepción del punto (0, 0). Para mostrar que el límite no existe cuando (x, y) se aproxima a (0, 0), considérense aproximaciones a (0, 0) a lo largo de dos “trayectorias” diferentes, como se muestra en la figura 13.23. A lo largo del eje x, todo punto es de la forma (x, 0) y el límite a lo largo de esta trayectoria es sx, 0d → s0, 0d

lim lím

1xx

2 2

2 02 1 02

2

2

5

12 5 1.

sx, 0d → s0, 0d

lim lím

Límite a lo largo del eje x.

Sin embargo, si sx, yd se aproxima a s0, 0d a lo largo de la recta y 5 x, se obtiene sx, xd → s0, 0d

lim lím

NOTA

En el ejemplo 4 se puede concluir que el límite no existe ya que se encuentran dos trayectorias que dan límites diferentes. Sin embargo, si dos trayectorias hubieran dado el mismo límite, no se podría concluir que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, se debe mostrar que el límite es el mismo para todas las aproximaciones posibles. n

1

x2 2 x2 x2 1 x2

2

2

5

sx, xd → s0, 0d

lim lím

1 2 0 2x 2

2

5 0.

Límite a lo largo de la recta y 5 x.

Esto significa que en cualquier disco abierto centrado en s0, 0d existen puntos sx, yd en los que f toma el valor 1 y otros puntos en los que f asume el valor 0. Por ejemplo, f sx, yd 5 1 en los puntos s1, 0d, s0.1, 0d, s0.01, 0d, y s0.001, 0d y f sx, yd 5 0 en los puntos s1, 1d, s0.1, 0.1d, (0.01, 0.01) y s0.001, 0.001d. Por tanto, f no tiene límite cuando sx, yd → s0, 0d.

z A lo largo del eje x: (x, 0) → (0, 0)

El límite es 1. 2

3 x

3

y

A lo largo del eje y = x: (x, x) → (0, 0) El límite es 0. sx, yd → s0, 0d

lím lim

1 xx

2 2

Figura 13.23

2 y2 1 y2

2 no existe 2

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

Continuidad de una función de dos variables En el ejemplo 2 hay que observar que el límite de f sx, yd 5 5x 2 yysx 2 1 y 2d cuando sx, yd → s1, 2d puede calcularse por sustitución directa. Es decir, el límite es f s1, 2d 5 2. En tales casos se dice que la función f es continua en el punto s1, 2d. NOTA Esta definición de continuidad puede extenderse a puntos frontera de la región abierta R considerando un tipo especial de límite en el que sólo se permite a sx, yd tender hacia sx0, y0d a lo largo de trayectorias que están en la región R. Esta noción es similar a la de límites unilaterales, tratada en el capítulo 1. n

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Una función f de dos variables es continua en un punto sx0, y0d de una región abierta R si f sx0, y0d es igual al límite de f sx, yd cuando sx, yd Æ sx0, y0d. Es decir, sx, yd → sx0 , y0 d

lím lim

f sx, yd 5 f sx0, y0d.

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todo punto de R.

En el ejemplo 3 se mostró que la función f sx, yd 5

5x 2y 1 y2

x2

no es continua en (0, 0). Sin embargo, como el límite en este punto existe, se puede eliminar la discontinuidad definiendo el valor de f en (0, 0) igual a su límite. Tales discontinuidades se llaman removibles o evitables. En el ejemplo 4 se mostró que la función f sx, yd 5

1xx

2 2

2 y2 1 y2

2

2

tampoco es continua en (0, 0), pero esta discontinuidad es inevitable o no removible. TEOREMA 13.1 FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES Si k es un número real y f y g son funciones continuas en sx0, y0d, entonces las funciones siguientes son continuas en sx0, y0d. 1. Múltiplo escalar: kf 2. Suma y diferencia: f ± g

3. Producto: fg 4. Cociente: fyg, si gsx0, y0d Þ 0

El teorema 13.1 establece la continuidad de las funciones polinomiales y racionales en todo punto de su dominio. La continuidad de otros tipos de funciones puede extenderse de manera natural de una a dos variables. Por ejemplo, las funciones cuyas gráficas se muestran en las figuras 13.24 y 13.25 son continuas en todo punto del plano. z

z

Superficie: f(x, y) = 1 sen(x2 + y2)

Superficie: f(x, y) = cos(y2)e−

2

x2 + y2

2

x

y

x

2

2

y

La función f es continua en todo punto del plano

La función f es continua en todo punto en el plano

Figura 13.24

Figura 13.25

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SECCIÓN 13.2

EXPLORACIÓN

Sostener una cuchara a un palmo de distancia y mirar la propia imagen en la cuchara. La imagen estará invertida. Ahora, mover la cuchara más y más cerca a uno de los ojos. En algún punto, la imagen dejará de estar invertida. ¿Podría ser que la imagen ha sido deformada continuamente? Hablar sobre esta cuestión y sobre el significado general de continuidad con otros miembros de la clase. (Esta exploración la sugirió Irvin Roy Hentzel, Iowa State University.)

903

Límites y continuidad

El siguiente teorema establece las condiciones bajo las cuales una función compuesta es continua. TEOREMA 13.2 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si h es continua en sx0, y0d y g es continua en hsx0, y0d, entonces la función compuesta sg 8 hdsx, yd 5 gshsx, ydd es continua en sx0, y0d. Es decir, sx, yd → sx0, y0d

lim lím

gshsx, ydd 5 gshsx0, y0dd.

NOTA En el teorema 13.2 hay que observar que h es una función de dos variables mientras que g es una función de una variable. n

EJEMPLO 5

Análisis de la continuidad

Analizar la continuidad de cada función. a) f sx, yd 5

x 2 2y x2 1 y 2

b) gsx, yd 5

2 y 2 x2

Solución a) Como una función racional es continua en todo punto de su dominio, se puede concluir que f es continua en todo punto del plano xy excepto en (0, 0), como se muestra en la figura 13.26. b) La función dada por gsx, yd 5 2ys y 2 x2d es continua excepto en los puntos en los cuales el denominador es 0, y 2 x2 5 0. Por tanto, se puede concluir que la función es continua en todos los puntos excepto en los puntos en que se encuentra la parábola y 5 x2. En el interior de esta parábola se tiene y > x 2, y la superficie representada por la función se encuentra sobre el plano xy, como se muestra en la figura 13.27. En el exterior de la parábola, y < x 2, y la superficie se encuentra debajo del plano xy.

z

z

g(x, y) = 5

5

2 y − x2

4 3 2

4 3

4

x

y

y 5 x

f (x, y) =

x − 2y x2 + y2

y = x2

La función f no es continua en (0, 0)

La función g no es continua en la parábola y 5 x2

Figura 13.26

Figura 13.27

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904 904

Chapter 13 13 Functions of Several CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables Variables

904 904

Continuity de of auna Function Variables Continuidad funciónofdeThree tres variables

Continuity of ofandThree Variables Continuity of aa Function Function Three Variables precedinganteriores definitions of limits continuity can extenderse be extended to functions of LasThe definiciones de límites y of continuidad pueden a funciones de tres three variables by considering points x, y, z within the open sphere The definitions of continuity can extended variables considerando los puntos dentro de la esfera abierta slimits x, y, zand dand The preceding preceding definitions of limits continuity can be be extended to to functions functions of of three variables by considering points within the open sphere x, y, z three variables by considering points x, y, z within the open sphere 2 2 2 2 sphere sx 2 x0dx2 1 sxy0 2 y0dy2 1 syz0 2 z0d2z < zd02. < . EsferaOpen abierta. 2 2 2 2 xx xx0 2 yy yy0 2 zz zz0 2 00 fx x, y >> 0,0, xx >> 00, , fy x, y the fx x, yinformation insufficient nature 0 determine y >of0 the function > 0, x > to < 0, >y y0d>> 0, 0,fyyfyyxx, sx, y fxy todox,syx,.yd. fxysx,x, 0, f point x, y 0, yyfyy x, y < 0, and xyfxy x, y 0 for all x, y . 9, fyy x0, y0 4, fxy x0, y0 6 31. fxx x0, y0

5

fxxPxS0,TyO0 N E 32.C A

5

3, f x , y

yy 0 0 CC AAPPSSTTO NE Para discusión fxx Consider x0, y0O N Ethe9,functions fyy x0, y0 33.60.

8,

fxy x0, y0

2

6, fxy x0, y0 10 60. Consider the functions funciones 2lasfunctions 2 y g x, y 2 2. the fxConsider x, y x y y x , y 25, f x , y 8, f x , y 10 34.60. fxx Considerar f 0x, y0 x22 y2yy2y g0 x,0 y x22 xy y20.2 0 f x,Show y x both y yfunctions x aycritical . g x, y have (a) that point at 0, 0 . (a) Show that que bothambas functions have atienen critical atcrítico 0, 0 .en a) Demostrar funciones unpoint punto (a) Explain Show that both functions havedifferently a critical point 0, 0 . (b) how f and g behave at thisat critical (b)(0, Explain f and g behave differently at this critical 0). how (b) point. Explain how f and g behave differently at this critical point. cómo f y g se comportan de manera diferente en b) Explicar point. este punto crítico. True or False? In Exercises 61– 64, determine whether the True or False? In Exercises 61– 64, determine whether ¿Verdadero falso? En los ejercicios 61 a 64, why determinar sianla statement isotrue or If it is61– false, or givethe True or False? In false. Exercises 64, explain determine whether the statement is true or itfalse. it is false, why orpor givequé an o declaración esshows verdadera oIffalsa. Si es explain falsa, explicar example that is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an example that shows is false. que es falsa. dar un ejemplo queitdemuestre example thata shows it is false. 61. If f has relative maximum at x0, y0, z0 , then fx x0, y0 f 61. If has a relative maximum at sxx0,, yy0,, zz0d,, entonces then f x , y0 , y ) 61. fSi f tiene un máximo relativo en x , y 0. f , y00 0 If has a relative maximum at 0x0, 0y0, 0z0 , then xfx ƒx00x(x y 0 0 fy5x0ƒ, y(x0 , y )0.5 0. 0, then f has a relative maximum at 62. Iffy fxx0yx, 0y,00y0 0 0.fy x0, y0 fy x0, y0 0, then f hasf tiene 62. a relative maximum at 0, ,yy 0 62. IfSi un máximo relativo x0f,xfxxyx(x If then f has a relative maximum at 0x,0z 0y.0) = ffy(xx0,, yy0) = 0,0,entonces y0,,0zy0 .,0 z ). y 0 0 xen0, (x , y , z . x 0 two relative minima of f, there must be at least one 0 00 0 0any 63. Between 63. Between any two relative minima relativos of f, theredemust be at least oneal 63. Entre cualesquiera dos f, aquí estar maximum of f. mínimos 63. relative Between any two relative minima of f, there must bedebe at least one relative maximum ofrelativo f. menos un máximo de f. maximumfor of all f. x and y and has two relative minima, 64. Ifrelative f is continuous 64. IfSif fises all x and has dos two relative minima, 64. continua todo y yyyand yand tiene f continuous must have para atfor least relative maximum. 64. then If f is continuous for allone x xand has twomínimos relative relativos, minima, then f mustf debe have tener at least one relative maximum. entonces un máximo relativo por lo menos. then f must have at least one relative maximum.

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables n n

Resolver problemas de optimización con funciones de varias variables. Utilizar el método de mínimos cuadrados.

Problemas de optimización aplicada En esta sección se verán algunas de las muchas aplicaciones de los extremos de funciones de dos (o más) variables. EJEMPLO 1 z

(0, 0, 8)

Hallar un volumen máximo

Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. El vértice opuesto está en el plano

Plano: 6x + 4y + 3z = 24

6x 1 4y 1 3z 5 24 como se muestra en la figura 13.73. Hallar el volumen máximo de la caja. Solución Sean x, y y z el largo, ancho y la altura de la caja. Como un vértice de la caja se encuentra en el plano 6x 1 4y 1 3z 5 24, se sabe que z 5 1–3(24 2 6x 2 4y), y así se puede expresar el volumen xyz de la caja en función de dos variables. Vsx, yd 5 sxdsydf 13s24 2 6x 2 4ydg 5 13s24xy 2 6x 2y 2 4xy 2d

x

(4, 0, 0)

(0, 6, 0)

y

Igualando a 0 las primeras derivadas parciales y Vxsx, yd 5 13 s24y 2 12xy 2 4y2d 5 s24 2 12x 2 4yd 5 0 3 x Vysx, yd 5 13 s24x 2 6x 2 2 8xyd 5 s24 2 6x 2 8yd 5 0 3

Figura 13.73

se obtienen los puntos críticos (0, 0) y s3, 2d. En (0, 0) el volumen es 0, así que ese punto 4

no proporciona un volumen máximo. En el punto s3, 2d, se puede aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales. 4

NOTA En muchos problemas prácticos, el dominio de la función a optimizar es una región acotada cerrada. Para encontrar los puntos mínimos o máximos, no sólo se deben probar los puntos críticos, sino también los valores de la función en los puntos frontera. n

Vxxsx, yd 5 24y 28x Vyysx, yd 5 3 1 Vxysx, yd 5 3s24 2 12x 2 8yd Como 8 64 Vxxs43, 2dVyys43, 2d 2 fVxys43, 2dg 5 s28ds2 32 9 d 2 s2 3 d 5 3 > 0 2

2

y Vxxs43, 2d 5 28 < 0 se concluye de acuerdo con el criterio de las segundas derivadas parciales que el volumen máximo es Vs43, 2d 5 13f24s43 ds2d 2 6s43 d s2d 2 4s43 ds22dg 5 64 9 unidades cúbicas. 2

Nótese que el volumen es 0 en los puntos frontera del dominio triangular de V.

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SECCIÓN 13.9

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

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En las aplicaciones de los extremos a la economía y a los negocios a menudo se tiene más de una variable independiente. Por ejemplo, una empresa puede producir varios modelos de un mismo tipo de producto. El precio por unidad y la ganancia o beneficio por unidad de cada modelo son, por lo general, diferentes. La demanda de cada modelo es, a menudo, función de los precios de los otros modelos (así como su propio precio). El siguiente ejemplo ilustra una aplicación en la que hay dos productos. EJEMPLO 2

Beneficio máximo

Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo Psx, yd 5 8x 1 10y 2 s0.001dsx 2 1 xy 1 y 2d 2 10,000. Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la ganancia máxima? Solución Las derivadas parciales de la función de beneficio son Pxsx, yd 5 8 2 s0.001ds2x 1 yd PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre el uso de la matemática en la economía, ver el artículo “Mathematical Methods of Economics” de Joel Franklin en The American Mathematical Monthly.

y

Pysx, yd 5 10 2 s0.001dsx 1 2yd.

Igualando estas derivadas parciales a 0, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente. 8 2 s0.001ds2x 1 yd 5 0 10 2 s0.001dsx 1 2yd 5 0 Después de simplificar, este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como 2x 1 2y 5 08 000 2x 1 2y 5 10 000. Resolviendo el sistema se obtiene x 5 2 000 y y 5 4 000. Las segundas derivadas parciales de P son Pxx(2 000, 4 000) 5 20.002 Pyy(2 000, 4 000) 5 20.002 Pxy(2 000, 4 000) 5 20.001. Como Pxx < 0 y Pxx(2 000, 4 000)Pyy(2 000, 4 000) 2 [Pxy(2 000, 4 000)]2 5

s20.002d2 2 s20.001d2 > 0 se concluye que el nivel de producción con x 5 2 000 unidades y y 5 4 000 unidades proporciona el beneficio máximo. El beneficio máximo es P(2 000, 4 000) 5 8(2 000) 1 10(4 000) 2 (0.001)[2 0002 1 2 000(4 000) 1 4 0002)] 2 10 000 5 $18 000. NOTA En el ejemplo 2 se supuso que la planta industrial puede producir el número requerido de unidades para proporcionar el beneficio máximo. En la práctica, la producción estará limitada por restricciones físicas. En la sección siguiente se estudiarán tales problemas de optimización. n

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

El método de mínimos cuadrados En muchos de los ejemplos en este texto se han empleado modelos matemáticos, como en el caso del ejemplo 2, donde se utiliza un modelo cuadrático para el beneficio. Hay varias maneras para desarrollar tales modelos; una es la conocida como el método de mínimos cuadrados. Al construir un modelo para representar un fenómeno particular, los objetivos son simplicidad y precisión. Por supuesto, estas metas entran a menudo en conflicto. Por ejemplo, un modelo lineal simple para los puntos en la figura 13.74 es y 5 1.8566x 2 5.0246. Sin embargo, la figura 13.75 muestra que si se elige el modelo cuadrático, ligeramente más complicado,* es y 5 0.1996x 2 2 0.7281x 1 1.3749 se logra mayor precisión. y = 0.1996x 2 − 0.7281x + 1.3749

y = 1.8566x − 5.0246

y

y

(11, 17)

(11, 17)

15

15

(9, 12)

(9, 12)

10

10

(7, 6)

5

(7, 6)

5

(2, 1)

(5, 2)

(2, 1)

(5, 2)

x 5

x

10

5

Figura 13.74

10

Figura 13.75

Como medida de qué tan bien se ajusta el modelo y 5 f sxd a la colección de puntos

Hsx1, y1d, sx2, y2d, sx3, y3d, . . . , sxn, yndJ se pueden sumar los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y y los valores dados por el modelo para obtener la suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos

y

(x1, y1) d1

S5

y = f(x) d2 (x2, y2)

o f f sx d 2 y g . i

i

2

Suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos.

i51

(x3, y3) d3 x

Suma de los cuadrados de los errores: S 5 d12 1 d22 1 d32 Figura 13.76

n

Gráficamente, S puede interpretarse como la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre la gráfica de f y los puntos dados en el plano (los puntos de los datos), como se muestra en la figura 13.76. Si el modelo es perfecto, entonces S = 0. Sin embargo, cuando la perfección no es posible, podemos conformarnos con un modelo que haga mínimo el valor de S. Por ejemplo, la suma de los errores cuadráticos en el modelo lineal en la figura 13.74 es S < 17. En estadística, al modelo lineal que minimiza el valor de S se le llama recta de regresión o por mínimos cuadrados. La demostración de que esta recta realmente minimiza S requiere minimizar una función de dos variables. * En el ejercicio 37 se describe un método para hallar el modelo de mínimos cuadrados para una colección de datos.

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SECCIÓN 13.9

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

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TEOREMA 13.18 RECTA DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS La recta de regresión de mínimos cuadrados para {(x1, y1), (x2, y2), . . . . (xn, yn)} está dada por f sxd 5 ax 1 b, donde n

The Granger Collection

n a5

n

i i

i51 n

o

n

x2i 2

i51

ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833) El método de mínimos cuadrados lo introdujo el matemático francés Adrien-Marie Legendre. Legendre es mejor conocido por su trabajo en geometría. De hecho, su texto “Elementos de Geometría” fue tan popular en Estados Unidos que se usó durante un periodo de más de 100 años y hubo 33 ediciones.

n

oxy 2 oxoy

i i i51 i51 n 2

b5

y

1o x 2

1 n

1 o y 2 a o x 2. n

n

i

i51

i

i51

i

i51

DEMOSTRACIÓN Sea Ssa, bd la suma de los cuadrados de los errores para el modelo f sxd 5 ax 1 b y el conjunto de puntos dado. Es decir, n

o f f sx d 2 y g

Ssa, bd 5

i

i

2

i51 n

o sax 1 b 2 y d

5

i

i

2

i51

donde los puntos sxi, yi d representan constantes. Como S es una función de a y b, se pueden usar los métodos de la sección anterior para encontrar el valor mínimo de S. Las primeras derivadas parciales de S son n

o 2x sax 1 b 2 y d

Sasa, bd 5

i

i

i

i51

5 2a

n

ox

1 2b

2 i

i51

n

n

o x 2 2o x y i

i i

i51

i51

n

o 2sax 1 b 2 y d

Sbsa, bd 5

i

i

i51

5 2a

n

n

o x 1 2nb 2 2 o y .

i51

i

i

i51

Igualando estas dos derivadas parciales a 0, se obtienen los valores de a y b que indica el teorema. Se deja como ejercicio aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales (ver ejercicio 47) para verificar que estos valores de a y b dan un mínimo.

Si los valores de x están simétricamente distribuidos respecto al eje y, entonces o xi 5 0 y las fórmulas para a y b se simplifican: n

oxy

i i

a5

i51 n

ox

2 i

i51

y b5

1 n y. n i51 i

o

Esta simplificación es a menudo posible mediante una traslación de los valores x. Por ejemplo, si los valores x en una colección de datos son los años 2005, 2006, 2007, 2008 y 2009, se puede tomar 2007 como 0.

Larson-13-09.qxd 3/12/0912:10 19:18 1053714_1309.qxp 10/27/08 PM Page Page 966 966 1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 966

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CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables

Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados EXAMPLE 3 Finding the Least Squares Regression Line EXAMPLE Finding the Leastcuadrados Squarespara Regression Hallar la recta de 3 regresión de mínimos los puntosLine (23, 0), (21, 1), (0, 2) Find the least squares regression line for the points  ⫺3, 0, ⫺1, 1, 0, 2, and 2, 3. y (2, 3). Find the least squares regression line for the points ⫺3, 0, ⫺1, 1, 0, 2, and 2, 3. EJEMPLO 3

Solution The table shows the calculations involved in finding the least squares Solución tablatable muestra losthe cálculos necesarios para hallar la recta regresión SolutionLaThe shows calculations involved in finding thedeleast squaresde regression line using n ⫽ 4. mínimos cuadrados usando n 5 4. regression line using n ⫽ 4. x TECNOLOGÍA

Muchas calcu-

TECHNOLOGY Many calculators Many regression calculators TECHNOLOGY tienen “incorporados” prohaveladoras “built-in” least squares

have “built-in” least squares gramas regresión de mínimos programs. Ifdeyour calculator has regression such a programs. If your calculator has cuadrados. utilizar una such a program, use itSe to puede duplicate the results program,3.usecon it to duplicate the results calculadora estos programas of Example of Example 3. para reproducir los resultados del ejemplo 3.

n

y

x

⫺3 ⫺3 ⫺1 ⫺1 0 0 2 2

0 1 2 3 n

8 x + 47 f(x) = 13 326

8 x +8 47 f(x) = 13 26 47 x + 26 f(x) = 13 2

3 32

y

i

(2, 3) (2, 3) (0, 2)

21 2) (0, (−3, 0) (−1, 1) (0, 2) 1 1, 1) 1 (−3, 0) −3 (− 1 1, 1) (− 3, 0) −2 (−−1

x 2

x

x −3 −de 2 regresión −1 1 2 cuadrados Recta de mínimos −3 − 2 − 1 1 2

Figura Least squares13.77 regression line Least13.77 squares regression line Figure

2 3

n

9

0

⫺1 ⫺1 0 0 6 6

1 0 4 n

i⫽1

xn2i

xni yi

i

i⫽1

i⫽1

x2 9 1 0 4

i⫽1

i i

i⫽1

2 i

i⫽1

Aplicando el teorema 13.18 se obtiene Applying Theorem 13.18 produces Applyingn Theorem n13.18nproduces n n xni yi 2 n xni n yni n xi yi ⫺ i51 xi i51 yi 4s5d 2 s22ds6d 8 a 5 i51 nn xi yi i⫽1 ⫺ n i⫽1 xi2 5yi 45 ⫺ ⫺262 5 8 i⫽1 d ⫽ a⫽ ⫽ 4s14 4d52  ⫺s22 ⫺2 6 13 8 414 ⫺ ⫺22 2 13 a ⫽n ni⫽1xn2i2 2 ni⫽1xni 2i⫽12 ⫽ ⫽ ni51 xi ⫺2 i51 xi 414 ⫺ ⫺2 13 n xi ⫺i⫽1 xi i⫽1 y i⫽1 i⫽1 and n n 1 8 47 and 1 b 5 1 n yi 2 a n xi 5 1 6 2 8 s22d 5 47 . n 4 13 26 n n b ⫽ i51 1 yi ⫺ ai51 xi ⫽ 61 ⫺ ⫺2 8  ⫽ .47 b n⫽ yi ⫺i⫽1a xi 4⫽ 6 13 ⫺ ⫺2 26 ⫽ 8. 47 La recta de i⫽1 regresión de mínimos cuadrados n i⫽1 4 13 es f sxd 526 13 x 1 26 , como se muestra en la i⫽1 8 47 The least squares regression line is f x ⫽ x 8⫹ 26, as shown in Figure 13.77. figura 13.77. The least squares regression line is f x 13 ⫽ 13x ⫹ 47 26 , as shown in Figure 13.77.

o o

(2, 3)

1

yni

i⫽1

y

0

0

x2

xy

⫽6 ⫽5 ⫽ 14 ⫽x ⫺2 ⫽ ⫺2 y ⫽ 6 x y ⫽ 5 x ⫽ 14 xni

i⫽1

y

xy

y

o o 1 o 2 

1o o 2 3

 

4



■

Figure 13.77

■

for worked-out solutions to odd-numbered exercises. EjerciciosSee www.CalcChat.com 13.9 13.9 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.9Exercises

En los ejercicios y 2,the hallar la distancia mínima del point punto al In Exercises 1 and 2,1find minimum distance from the In Exercises 1 and 2, find the minimum distance from the point plano (Sugerencia: Para simplificar los cálcux ⴚ y 1 z ⴝ 3. to the plane x ⴚ y 1 z ⴝ 3. (Hint: To simplify the computations, to the plane (Hint: To simplify the computations, x ⴚel ycuadrado 1the z ⴝdistance.) 3. de los, minimizar la distancia.) minimize the square of minimize the square of the distance.) s0,00, s1,32, 1. 1. 2. 2. 0, 0,  0d 1, 2,  3d 1. 0, 0, 0 2. 1, 2, 3 En los ejercicios y 4,the encontrar la distance distanciafrom mínima desde el In Exercises 3 and 4,3find minimum the point In Exercises 3 and 4, find the minimum from the point ⴚ 2x ⴚIndistance 2y. punto a la zsuperficie (Sugerencia: En el ⴝ 1 ⴚ 2xz ⴝ ⴚ 2y.1 (Hint: to the surface Exercise 4, use the  zⴝ 1 ⴚ 2x ⴚraíz 2y. de to the surface (Hint: In Exercise 4,de use the ejercicio 4, usar la operación una herramienta grafiroot feature of a graphing utility.) root feature of a graphing utility.) cación.) 3. ⫺2, ⫺2, 0 3. ⫺2, ⫺2, 0 4. 0, 0, 2 4. 0, 0, 2 x, y, andx,z ythat In En Exercises 5 – 8, find three positivenúmeros integers positivos los ejercicios 5 afind 8, hallar que x, y, and yz zthat In Exercises 5 – 8, three tres positive integers satisfy the given conditions. satisfagan condiciones dadas. satisfy the las given conditions. 5. The product is 27 andythe sum isesa mínima. minimum. 5. la suma 5. El Theproducto product es is 27 27 and the sum is a minimum. 2 z2is a maximum. 6. The sum is 32 and 6. 32 and yP P⫽P⫽xy ⫽xyxyz2zesismáxima. 6. La Thesuma sum es is 32 a maximum. 7. The sum is 30 and the sum ofdethe squares is a es minimum. 7. 30 and y la the suma losthe cuadrados 7. La Thesuma sum es is 30 sum of squares is amínima. minimum. 8. The product is 1 and the sum of the squares is a minimum. 8. El producto es 1 y la suma de los cuadrados es 8. The product is 1 and the sum of the squares is amínima. minimum.

9. Costos Unimprovement contratista decontractor mejorías is caseras estáthe pintando 9. Cost A home painting walls las 9. Cost A home improvement contractor is painting the paredes y el techo de una habitación rectangular. El volumen and ceiling of a rectangular room. The volume of the room walls is de and ceilingfeet. of es aThe rectangular room. The isvolume of the room isde la habitación de 668.25 cúbicos. El costo pintura 668.25 cubic cost of pies wall paint $0.06 perde square feet. Thepiepaint cost of is de $0.06 perFind square pared escubic de $0.06 por cuadrado y paint elper costo pintura de techo foot668.25 and the cost of ceiling is wall $0.11 square foot. foot and the cost of ceiling paint is $0.11 per square foot. es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la the room dimensions that result in a minimum cost for theFind the room dimensions that result in a minimum cost for the habitación que den por resultado un mínimo costo para la pintupaint. What is the minimum cost for the paint? paint. What minimum the paint? ra. ¿Cuál esiselthe mínimo costocost por for la pintura? 10. Maximum Volume The material for constructing the base 10. Maximum Volume The material forconstruir constructing 10. Volumen máximo material para la base debase una of an open box costs 1.5El times as much per unit area asthethe of an open box costs 1.5 times as much per unit area as the caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el matematerial for constructing the sides. For a fixed amount of material fortheconstructing the a fixed amount rialC, para construir los lados. Dada unaofFor cantidad fija de dinero money find dimensions of thesides. box largest volume that ofC, C, money find the dimensions of the box of largest volume that las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede can hallar be made. can be made. ser fabricada. 11. Maximum Volume The volume of an ellipsoid 11. Maximum Volume El The volumede of un an elipsoide ellipsoid 11. Volumen máximo volumen x2 2 y 2 2 z2 2 ⫹ x22⫹ yy 2 2 ⫽ z 21 a 2 x2 b⫹ c 1 z2 ⫽ 1 2 ⫹ 1 aa 2 bb2 cc 2 5 1 is 4␲abc3. For a fixed sum a ⫹ b ⫹ c, show that the ellipsoid ises44␲pabc3. For a is fixed sum afija ⫹ ab 1 ⫹ bc,1 show that theque ellipsoid abcy3. c, mostrar Dada una suma el elipof maximum volume a sphere. of maximum volume is a sphere. soide de volumen máximo es una esfera.

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1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM PM PagePage 967 967 1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10

13.9 SECCIÓN 13.9

Applications of Extrema of Functions of Two Variables Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

967

967

19. Minimum Cost A water line is to be built from point P to 12. Maximum Volume Show that the rectangular box of maxi13.913.9Applications Extrema of que Functions ofun Two Variables 967967 Applications ofmust Extrema of construir Functions of Two Variables 12. Volumen máximo Mostrar que la caja rectangular de volumen 19. CostoSof mínimo Hay conducto para agua costs desde point and pass through regions where construction mum volume inscribed in a sphere of radius r is a cube. máximo inscrita en una esfera de radio r es un cubo. el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos differ (see figure). The cost per kilometer in dollars is 3k from 13. Volume and Surface Area Show that a rectangular box of detoconstrucción (ver klafrom figura). kilómetro Find por P Q, 2k from difieren Q to R, and R toElS.costo x and y such 13. Volumen y área exterior Mostrar rectangular de given volume and minimum surfaceque areauna is acaja cube. 19. 19. Minimum Cost A water line isQto beto built from point 12. 12. Maximum Volume Show that that the rectangular box box of maxiPx to Minimum Cost A water line is be built from point Maximum Volume Show the rectangular of maxien dólares es 3k de P a Q, 2k de a R y k de R a S. Hallar y Py to that the total cost will be minimized. C volumen dado y área exterior mínima es un cubo. 14. mum Areamum A volume trough with trapezoidal cross point pass through regions where construction costscosts volume inscribed in a in sphere of radius r is ariscube. S andel and must pass through regions where construction inscribed a sphere ofsections radius is formed a cube. by S must talespoint que costo total C se minimice. 14. Área dea secciones transversales en forma(see de turningUn up comedero the edges of 30-inch-wide sheet of aluminum differdiffer (see figure). The The cost cost per kilometer in dollars is 3kisfrom figure). per kilometer in dollars 3k from 13. 13. Volume and and Surface AreaArea Show that that a rectangular box box of of P (see Volume Surface Show a rectangular trapecio se forma doblando losof extremos de area. una lámina de aluP2k figure). Find the cross section maximum to from to and from to Find and such P Q, Q R, k R S. x y to from to and from to Find and P Q, 2k Q R, k R S. x y such given volume and and minimum surface area area is a cube. minimum surface isHallar a cube. miniogiven de 30volume pulgadas de ancho (ver la figura). la sección that the total cost cost be minimized. C will 2 kmthat the total be minimized. C will 14. transversal AreaArea A trough with trapezoidal crosscross sections is formed by by 2 km x Q 14. A área trough with trapezoidal sections is formed de máxima. x Q turning up the edges of a 30-inch-wide sheet of aluminum (see turning up the edges of a 30-inch-wide sheet of aluminum (see x x 1 km P P R 1 km R figure). FindFind the cross section of maximum area.area. figure). the cross section of maximum y θx

x θ

30 − 2x

θ

x

x

θ

x

x

S y S 2 km2 km Q km Q x x10 10 km 1 km1 km R R 20. Distance y A company has retail outlets located at the points y empresa 20. Distancia Una tres tiendas de ventas al menudeo S tiene S

15. Maximum A company manufactures two types of 30 Revenue − 2x θ θ sneakers, running shoesθ andθ basketball shoes. The total revenue 15. Ingreso máximo Una empresa fabrica dos tipos de zapatos 30 − 30 2x from x1 units of −running shoes and x2 units of basketball shoes 2x tenis, tenis para correr y tenis para baloncesto. El ingreso total de is R 5x12 8x22 2x1x 2 42x1 102x 2, where x1 and unidades de tenis para correr y unidades de tenis de balonx x 15. 15. Maximum Revenue A company types of of 20. 2 manufactures Maximum Revenue A Find company manufactures two types in thousands to maximize x12 are x and x so as two 2 of units. 2 cesto es Rrunning donde 5 25x 2 shoes 8xand 2x1basketball x 2 11 shoes. 42x12shoes. 1The 102x x1 sneakers, shoes basketball total revenue 1 2 2 2, total sneakers, running and The revenue the revenue. yfrom en miles de running unidades. Hallar y xbasketball quebasketball maximizan x2 están of running shoes and and units of shoes x1 units x2 las 2 of from of shoes shoes x1 units x2x1units 16. elMaximum Profit A corporation manufactures candles at two is ingreso. and Ris R 5x12 5x128x22 8x222x1x2x x where , x 2 1x 242x142x1102x102x 2, where 1 2 1 and locations. The cost of producing x1 units at location 1 is of máximo units. FindFind assotoasmaximize x2 are x1 and x2 sox2fabrica arethousands thousands of units. to maximize x2 in x1 and 16. Ganancia oinbeneficio Una empresa velas en 2 the revenue. the0.02x revenue. dos producción de x1 unidades en el lugar 1 C1 lugares. 4x1 de 500 1El costo es 16. 16. Maximum Profit A corporation manufactures candles at two Maximum Profit A corporation manufactures candles at two and the cost of producing x2 units at location 2 is locations. The cost of producing units at location 1 is x locations. cost of producing units at location 1 is x 2 The 1 1 C1 5 0.02x1 2 1 4x1 1 500 C 0.05x2 24x 2 275. C 2 C10.02x0.02x 4x 500 1 1 4x1 de 500 y 1el costo de1 producción x2 unidades en el lugar 2 es The candles sell for $15 per unit. Find the quantity that should and the cost of producing at location 2 is 2 is x and the cost of producing at location x2 units 2 units Cbe 0.05x22 1 4x 1 275.location at 2 each to maximize the profit 2 5produced 2 x 24x C 275.C . x10.05x CP2 C15 0.05x 22 2 4x12 2 2 Las velas se2 venden a $15 275. por unidad. Hallar la cantidad que 17. debe Hardy-Weinberg Law Common blood typesal are determined producirse lugar para aumentar máximo el beThe The candles sell en for $15 per unit. Find the quantity that that should candles sellcada for $15 per unit. Find the quantity should genetically by three alleles A, 2 B, Cand O. (An allele is any of a neficio P 5 15 s x 1 x d 2 C . be produced at1 each location the the profit 1 location 2 to maximize be produced at 2 each to maximize profit group of possible mutational forms of a gene.) A person whose CAS 21. P de x15 P15Hardy-Weinberg 17. Ley Los sanguíneos son genética1 x1x2 x2 C1 C1C 2. Ctipos 2. blood type is AA, BB, or OO is homozygous. A person whose determinados por tres alelos A,types B types yare O.determined (Alelo es 17. mente Hardy-Weinberg Law Common 17. Hardy-Weinberg Law Common blood are determined blood type is AB, AO, or BO isblood heterozygous. The Hardycualquiera de las posibles formas deB,mutación de un gen.) Una genetically by three alleles A, B, and O. (An allele is any of a of a genetically by three alleles A, and O. (An allele is any Weinberg Law states that the proportion P of heterozygous persona tipo mutational sanguíneo es AA, BB u OO es CAS CAS 21. group ofcuyo possible forms of gene.) A homocigótica. person whose group ofinpossible mutational forms a gene.) A person whose individuals any given population is a of Una persona tipoBB, sanguíneo es homozygous. AB, AO A o BO heteroblood typetype is cuyo AA, BB, or is homozygous. person whose OO blood is AA, or OO is A es person whose cigótica. ley Hardy-Weinberg establece que la proporción P P p,blood q,type rLatype 2pq 2prAO, blood is AB, AO, or 2qr is heterozygous. The The HardyBO is AB, or BO is heterozygous. Hardyde individuos heterocigótica en cualquier población es Weinberg Law states that that the proportion P ofP heterozygous Weinberg Law states the proportion ofdada heterozygous where p represents the percent of allele A in the population, q any population is is in1given any population Pindividuals s p,individuals q, rd 5in 2pq 2prgiven 1 represents the percent of 2qr allele B in the population, and r percent of 2pr allele in the population. Use the fact Prepresents p,Pq,p,r q,the 2pr 2qrO2qr r 2pq 2pq p representa el porcentaje de alelos A en la población, q donde that p q r 1 to show that the maximum proportion of representa el porcentaje de alelos B la r repre2in population, where the percent allele A población inisAthe p represents q q where the ofenallele the ypopulation, p represents heterozygous individuals inpercent anyofpopulation 3. senta el porcentaje depercent alelos O laBpoblación. Utilizar el and hecho represents the the percent of allele inB the population, r r represents ofenallele in the population, and 18. de Shannon Diversity One way to measure species diverque mostrar proporción p1 1 5Index 1ofpara represents theq percent allele O inOthe population. Use Use themáxifact represents ther percent of allele inque thelapopulation. the fact sity is to use the Shannon diversityenindex habitat consists H. If apoblación ma es 23.of of that de that that thecualquier maximum proportion p individuos that to show the maximum proportion pq qr heterocigóticos r1 to 1show of three species, A, B, and C, its Shannon diversity 2 index is heterozygous individuals in any is 23de . ismedir heterozygous individuals in population any population 18. Índice de diversidad de Shannon Una forma diversi3. H de especies x ln x esy usar ln y el índice z ln z de diversidad de Shannon H. Si dad 18. 18. Shannon Diversity Index One One way way to measure species diverShannon Diversity Index to measure species diverun hábitat consiste deShannon tresof especies, A,ABindex su índice de diverwhere is percent species inyH.C, the the y is sity is toxisuse diversity index IfH. ahabitat, habitat consists sity tothe useShannon the diversity If a habitat consists sidad Shannon percent of species BA,and inB,the habitat, anddiversity the index percent z isdiversity of three species, A,esB, C, its is ofis ofdethree species, and C,Shannon its Shannon index species C in the habitat. H H x ln x ln xy ln y ln yz ln z ln z (a) Use the fact that x y z 1 to show that the maximum where of especies species A en inAel the habitat, is yporthe where is percent the percent of species inhábitat, the habitat, is the donde xxesiselxthe porcentaje de y esy el value of H occurs when x y z 13. percent of especies species BB inen of z iselzthe percent of species Bthe in the habitat, is percent the percent centaje de el habitat, hábitat yand z and es porcentaje de of (b) species UseCC the part (a) to show that the maximum value species inenCresults the habitat. inhábitat. theofhabitat. especies el of H in this habitat is ln 3. (a)Usar Use thefactor fact that to 1show that that theque maximum x + yxy + zyz= 1z1para (a) Use the fact to show theelmaximum a) el de that demostrar valor valuevalue ofdeHof when x xy yz z13. 13. occurs when H máximo Hoccurs ocurre cuando (b)Usar Use theresultado results ofdel part (a) to(a) that the maximum (b) el Use the results ofinciso part to show that the que maximum value b) a)show para demostrar el value valor of HofinH this habitat ishábitat lnis3.lnes inHthis habitat 3. de ln 3. máximo de en este

0, 0 , 2, 2 , and 2, 2 (see figure). Management plans to localizadas en los puntos (0, 0), (2, 2) y (22, 2) (ver la figura). La build a distribution 10 km 10 kmcenter located such that the sum of the dirección planea construir un centro de distribución localizado de distances S from the center to the outlets is minimum. From the tal manera que la suma Shas de las distancias del centro las tiendas Distance A the company outlets located at athe 20. Distance A problem company has retail outlets located at points the points symmetry of it retail is clear that the distribution center sea mínimo. Por laand simetría del problema es claro que elplans centro de and (see figure). Management to 0, 0 , 2, 2 , 2, 2 (see figure). Management plans 0, 0 , 2, 2 , 2, 2 will be located on the y-axis, and therefore S is a function of the to distribución se localizará en located el ejelocated y, such y por consiguiente Sofesthe una build a distribution center that the sum build a distribution center such that the sum of single variable y. Using techniques presented in Chapter 3, find the función deSuna y. Utilizando técnicas presentadas en distances from theofcenter to the is minimum. FromFrom theelthe distances from the tooutlets thelasoutlets is minimum. Svariable the required value y. center capítulo 3, of calcular el problem valoritdeisyitclear requerido. symmetry the that that the distribution center symmetry of problem the is clear the distribution center y yy y S is aS function will will be located on the axis, and therefore of the be located onythe and therefore is a function of the y-axis, single variable Using techniques presented in Chapter 3, find y. 4 presented single Using techniques in Chapter 3, find y. 3variable 3 4 (−2, 2) (2, 2) (−2,required 2) required (2,y. 2)of y. the of the dd3 value 22 value (−2, 2) (4, 2) dd2 2

3

y y (0, yy)) dd1 (0, 1 x (0,2)30) −−3 3 (−2, −2 22 2)(2, 2) 0) 3 11 (2, (−2, 2) −2 (0, d2 3 d3 2 2d d2 −−2 2 (0, y)(0, y) d1 d1

Figure for 2020 0)1 − 3 −2 − 3(0, −20)(0, Figura para

21

2

(−2, 2) (x, y) (4, 2) y (x, yy) dd2 dd3 1 d 3 4 4d12 x (0, 0) −2 2 4 −2 (−2, (−2, 2) (0, 2) 0) 2 (4,42)(4, 2) −2 (x, y)(x, y) d−2 d d3 2 d2 d 1 d 13 Figure for 21 Figura para2210) 4 −2 −2 (0, 0)(0, 2 4

− 2 − 2 The Investigation retail outlets described in Exercise 20en areel Investigación Las tiendas de ventas descritas −2al menudeo −2 located at200,se0localizan and(0, 0), (see figure). The lalocation , 4, 2 , en 2, (4, 2 2) ejercicio y (22, 2) (ver figura). of the distribution therefore the ysum the yFigure , and La localización delcenter centroisdex,distribución (x,21 y), porof consiFigure for 20 fores21 Figure for 20 Figure for distances is a function of x and y.es una función de x y y. guiente la Ssuma S de las distancias Investigation The The retailretail outlets described in Exercise 20 are 21. Investigation outlets described in Exercise 20 are a) Escribir expresión giving que dathelasum suma S de las distancias. (a) Write thelaexpression of the distances S. Use located at 0,at0 0, figure). The The location , 04, ,2 4, , and located figure). location 2 , and2, 2 2,(see 2 (see Utilizar un sistema algebraico porgraph computadora representar a computer algebra system to surface S. Does ythe of the center is x,isy x, therefore the sum of the , and of distribution the distribution center therefore the sum of the y , and S. ¿Tiene esta superficie un mínimo? have a minimum? distances of x of andx and S is Sa function y. y. distances is a function b) Utilizar un sistema algebraico computadora (b) Use a computer algebra systempor to obtain ObserveSx S and Syy .obtener (a) Write the expression giving the sum of the S. Use (a) Write the expression giving the sum ofxdistances the distances S. Use ythat quesystem resolver Sy . Observar Sy 5difficult. 0 es muy solving the Sx el sistema 0 and SSy x 500isy very a computer algebra system to graph the surface S. Does a computer algebra system to graph the surface S. Does difícil. Por tanto, aproximar la of localización del centro de disSo, approximate the location the distribution center. havehave a minimum? a minimum? tribución. (c) An initial estimate of the critical point is x1, y1 1, 1 . (b) Use a computer algebra system to obtain S and . Observe (b) Use a computer algebra system to obtain S Sand Sy . Observe c) Una estimación Sinicial punto crítico esx sx1xS, xyy11, d5 1d. Calculate with components 1, 1 del 1 s1,and that that solving the system difficult. Sx Sx0 and solving the system difficult. 0 Sand Sy0 is very 0 is very Calcular s1, direction 1d con componentes 2Svector s1, 1d y 2S s1,1 1?d. is given byythe . What Sy 1, 12=S S y1, x So, approximate the location of the center. So, approximate the location of distribution the distribution center. dirección es la dada porcritical el vector 2=S (d) ¿Qué The second estimate of the point is s1, 1d? (c) An estimate of the pointpoint is xis , y 1, 1 1, . 1. (c) initial An initial estimate of critical the critical , y x d) La segunda estimación del punto crítico es 1 1 1 1 Calculate and 1, 1 S and 11 t, with 1, 1 S y2 x 1 S 1, SxS1x11,, ywith y1components Scomponents x , y t . x 2, Calculate x x y 1 1 direction is ygiven they1vector 1y 1, . sWhat ? 1? the sx 2S,yy1, x11 .2What Sxsx1direction , y1dt, 2given Sby dtd. vector S 1, S1 1, 2dS5 1 is ysx1,by If these coordinates are substituted into S x, y , then S (d) Si The second estimate ofcoordenadas the point (d)seThe second estimate of critical the critical S se sx,ist.ydFind ,isentonces sustituyen estasof en Spoint becomes a function the single variable the value convierte en una función de una variable t. Hallar el valor de of Use this value of to estimate x S. t , y x S x , y t, y S x , y t . x 2,t ythat x S x , y t, y S x , y t . x2 2, yminimizes 2 2 . x 1 x 1 1 11 2 1 1 y 1 y 11 1 t que minimiza S.1Utilizar este valor de t para estimar sx 2, y2d. (e) Complete two more iterations of the process in part (d) to If these coordinates aremás substituted intodel S x, , then S S If these coordinates are substituted into then Sy x, yd), para e) Realizar del proceso inciso obtain xdos of the distribution center, y4iteraciones . For this location 4a, function becomes of the single variable Find the value t. becomes a function of the single variable Find the value t. obtener Dada esta localización del centro de diss x , y d . 4 what is the4 sum of the distances to the retail outlets? of t that minimizes Use this of t to x 2, yx2 2.al S. suma of t that minimizes this value ofestimate S. Use t toa estimate , y2 . tribución, ¿cuál es la de value las distancias las tiendas (f) menudeo? Explain why S x, y was used to approximate the (e) Complete two two moremore iterations of the in part (d) to (e) Complete iterations of process the process in part (d) to minimum value of S. In what types of problems would you xpor obtain this location the center, . For. For obtain location of distribution the distribution center, f) Explicar usó this aproximar el valor 2=S sx, yofd para 4, yx 4qué 4, y4se use S x, y ? whatwhat is de theisS.sum ofqué the distances to the outlets? the oftipo thede distances to retail the retail outlets? mínimo ¿Ensum problemas se usaría =Ssx, yd? (f) Explain whywhy S x, Sy x,was usedused to approximate the the (f) Explain to approximate y was minimum valuevalue of S.ofInS.what typestypes of problems would you you minimum In what of problems would use use S x, Sy x, ? y?

1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 968 Larson-13-09.qxd 10/27/08 3/12/09 19:18 PagePage 968 968 1053714_1309.qxp 12:10 PM 1053714_1309.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 968

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CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 13 Functions of Several Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables

22. el ejercicio tiendas delocated ventas at al 22. Investigación Investigation Repetir Repeat Exercise 21 21 forcon retail outlets 22. menudeo Investigation Repeat 21s24, for retail located localizadas en6Exercise los puntos 0d, s1,outlets 6d, y s12, 2d. at the points and 4, 0 , 1, , 12, 2 . 22. Exercise the Investigation points 4, 0 , Repeat 1, 6 , and 12, 221 . for retail outlets located at the points 4, 0 , 1, 6 , and 12, 2 .

W R I T I N G A B de OUT CONCEPTS Desarrollo W R I T I N G A B O U Tconceptos CONCEPTS

23. W InRyour own theC Eproblem-solving strategy for Ilas T I Npropias G Awords, Bpalabras, O U Tstate CON P TlaSestrategia para 23. la solu23. Con In your own words, statedescribir the problem-solving strategy for applied minimum andaplicación maximum problems. 23. In your own words, state the problem-solving strategy for ción de problemas de de mínimos y máximos. applied minimum and maximum problems. 24. In your own words, describe the method of least squares for applied minimum and maximum problems. 24. lasown propias palabras, describir el método mínimos 24. Con In your words, describe the method of leastdesquares for finding mathematical 24. In your ownelaborar words,models. describe method of least squares for cuadrados para modelosthe matemáticos. finding mathematical models. finding mathematical models. En los ejercicios 25 a(a)28, a) the hallar recta de regresiónline de and míIn Exercises 25– 28, find leastlasquares regression In Exercises 25– 28,y (a) the least squares line and nimos cuadrados b) find calcular S, la suma regression de los errores al (b) In calculate the sum of the squared errors. Use the regression S, Exercises 25–sum 28, (a) findsquared the leasterrors. squares regression line and (b) calculate of the Use theuna regression S, the cuadrado. Utilizar el programa para regresión de herracapabilities of a S, graphing to verifyerrors. your results. (b) calculate the sumutility of the squared Use the regression capabilities of a graphing to verify your results. mienta de graficación parautility verificar los resultados. capabilities of a graphing utility to verify youry results. y 25. 26. yy yy 25. 26. 25. 26. yy yy (2, 3) 25. 26. 4 (2, 3) 3 4 33 (2, 3) 2 33 22 (0, 1) 22 1) (0, 1) 1 (0, (−2, 0) 11 (0, 1) (−2,0) 0) 11 (−2, x − 2 (−2, − 1 0) 1 2 − 2 −1 −1−1 −2 11 22 −−−111 −− 22 −1 11 22 −− 11 27. yyy 27. 27. (0,yy4) 4) (0, 27. 44 (0, 4) 4 (0, (1,4) 3) (1, 3) 33 44 (1, 3) 3 (1, 3) 22 33 2 (1,1) 1) (1, 11 22 (1, 1) 1 (2,1) 0) (1, (2, 0) (2, 0) 11 x 3 0) 1 2 3(2, 44 1 2 3 1 2 4 33 11 22 44

4 3 33 2 (−1, 1) 22 (−1, 1) (−1, 1) (−3, 0) 11 (−3, 0)(−1,1 1)

44 (3, 2) (3, 2) 33(1, 1) (3, 2)

(1, 1)

(3, 2)

22(1, 1) (1, 1) (−3, 0)(−1, 1) (− 3,−10) 11 1 2 3 x −3 −2 (−3, −3 −2 −2 −1 −1 −3 11 22 33 −3 11 22 33 −2−1 −3 −2 −2 −1 −2 −2 −2 −2 28. yyy 28. 28. (5,2) 2) (5, yy 28. (5, 2) 22 2 (4,2) 2) (6,2) 2) (4, (6, 2) (5, (4, 2) (6, 2) 22 (6, 2) (3,1) 1) (4, (4,2)1) 1) (3, (4, (3, 1) (4, 1) 11 1 (3, 1) (4, 1) 11 0) (3, 0) (1, (1, 0) (3, 0) (1, 0) (3, 0) x 4 50) 5 66 33 4(3, 11 (1, 22 0) 1 2 (2,3 0)4 5 6 (2, 0) 11(2,220) 33 44 55 66

(2, 0)

En los ejercicios 29 afind 32, the hallar la squares recta deregression regresión de In Exercises 29–32, least linemínimos for the In Exercises 29–32, find the leastUtilizar squares regressionde line for the cuadrados para los puntos dados. el programa regresión points. Use the regression capabilities of a graphing utility to the In Exercises 29–32, find capabilities the least squares regressionutility line for points. Use the regression of a graphing to de una your herramienta de parautility verificar los resultados. verify results. Usegraficación the graphing to graphing plot the points points. Use the regression capabilities of a utility to verify your results. Use the graphing utility to plot the points Utilizar la herramienta de graficación para trazar los puntos y reandverify graph the regression line. your results. Use the graphing utility to plot the points and graph regression line. presentar la the recta de regresión. 29. and 0, 0graph , 1, 1the , 3,regression 4 , 4, 2 , line. 5, 5 29. s0,0,00d,,s1,1,11d,,s3,3,44d,,s4,4,22d,,s5,5,55d 29. 30. 29. 1, 00,, 03,, 31,, 15,, 63, 4 , 4, 2 , 5, 5 30. s1,1,00d,,s3,3,33d,,s5,5,66d 30. 31. 30. 0, 61,, 04,, 33,, 35,, 05,, 68, 4 , 10, 5 31. s0,0,66d,,s4,4,33d,,s5,5,00d,,s8,8,244d,,s10, 10,255d 31. 32. 31. 6, 40,, 61,, 24,, 33,, 35,, 08,, 68,, 11, , 13, 58 4 ,8 10, 32. s6,6,44d,,s1,1,22d,,s3,3,33d,,s8,8,66d,,s11, 11,88d,,s13, 13,88d 32. 32. 6, 4 , 1, 2 , 3, 3 , 8, 6 , 11, 8 , 13, 8 33. Modeling Data The ages (in years) andlas systolic x matemático la tabla muestran edadesblood x (en 33. 33. Modelo Modeling Data TheEn ages and systolic blood x (inseyears) pressures of seven men are shown in the table. y años) y las presiones arteriales sistólicas y de siete hombres. 33. Modeling Data The ages (in years) and systolic blood x pressures y of seven men are shown in the table. pressures y of seven men are shown in the table. 16 25 39 45 49 64 70 Edad, x 16 25 39 45 49 64 70 Edad, x 16 25 39 45 49 64 70 Edad, x Presión Presión 122 150 165 159 183 199 arterial Presión 109 109 122 150 165 159 183 199 arterial sistólica, y 109 122 150 165 159 183 199 arterial sistólica, y sistólica, y a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de grafi(a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find para hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados (a)cación Use the regression capabilities of a graphing utility to find the Use leastthe squares regression line forofthe data. (a) regression capabilities a graphing utility to find para datos. the los least squares regression line for the data. (b) Usethe a graphing utility to plot theline data least squares regression forand thegraph data. the model. b) una herramienta graficación trazar the los datos (b)Utilizar Use a graphing utility todeplot the datapara and graph model.y (c)representar UseUse the amodel to approximate thethe change in systolic blood (b) graphing utility to plot data and graph the model. el modelo. (c) Use the model to approximate the change in systolic blood pressure for each one-year increase in age. (c) Useelthe model to approximate change blood c) Utilizar modelo aproximar lathe variación ensystolic la presión pressure for each para one-year increase in age. in pressure forpor each one-year increase in age. arterial sistólica cada incremento de un año en la edad.

34. Modeling Modelo matemático El manager gerente de tienda quierethe conocer 34. Data A store wants to know demandla 34. Modeling Abarra storedemanager wants to know the demand demanda yData de una energía en función del precio x. for Las for an energy bar as a function of price The daily sales y x. 34. Modeling Aa store manager wants to know sales the demand for andiarias energyData bar function of price The for yventas x. aprices tresasprecios diferentes de lashown barradaily dethe energía se three different of the energy bar are in table. an energy bar as a function of price x. The daily sales for y for three different muestran en la prices tabla. of the energy bar are shown in the table. three different prices of the energy bar are shown in the table. $1.29 $1.49 $1.69 Precio, x $1.29 $1.49 $1.69 Precio, x $1.29 $1.49 $1.69 Precio, x 375 330 Demanda, y 450 375 330 Demanda, y 450 375 330 Demanda, y 450 (a) Use theelregression graphing utility de to grafifind a) Utilizar programacapabilities de regresiónofdea una herramienta (a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find the least squares regression line for the data. cación para hallar la recta de regresión de mínimos cuadra(a) regression capabilities a graphing utility to find the Use leastthe squares regression line forofthe data. para los datos. (b) dos Usethe theleast model to estimate the line demand when squares regression for the data.the price is (b) Use el themodelo model para to estimate demand cuando when the price is b) Usar estimar the la demanda el precio es $1.59. (b) Use the model to estimate the demand when the price is $1.59. $1.59. 35. Modeling Data An agronomist used four test plots to $1.59. 35. Modeling Data An Un agronomist used four testfertilizantes plots to Modelo matemático agrónomo cuatro determine the Data relationship betweenprueba the wheat yield (in yplots 35. Modeling An para agronomist used four testentre determine the de relationship between the wheat yield y (inla to en los campos cultivo determinar la relación bushels per acre) and the amount of fertilizer (in hundreds of x determine the relationship between the yield y (in bushels per de acre) and amount of (in hundreds of x wheat producción trigo y the (en bushels porfertilizer acre) y la cantidad de ferpounds per acre). The results are shown in the table. bushels acre) amount fertilizer (in hundreds x resultados pounds per acre). Theand results are shown in theLos table. tilizante x per (en cientos dethelibras porofacre). se of poundsenper acre). The results are shown in the table. muestran la tabla. 1.0 1.5 2.0 2.5 Fertilizante, x 1.0 1.5 2.0 2.5 Fertilizante, x Fertilizante, x Rendimiento, y 32 1.0 41 1.5 48 2.0 53 2.5 41 48 53 Rendimiento, y 32 41 48 53 Rendimiento, y 32 Use the regression capabilities of a graphing utility to find the Use the regression capabilities of ade graphing utility to find the Utilizar el programa deline regresión unaand herramienta de yield grafileast squares regression for theof data, estimate Use the regression capabilities a graphing utilitythe to yield find the least squares regression linede forregresión the data, andmínimos estimate the cación para hallar la recta de cuadrados for least a fertilizer application 160forpounds perand acre. squares regressionof the data, estimate the yield for fertilizer application ofline 160 pounds per acre. paraa los datos, la producción para una and aplicación de 36. Modeling Data y estimar The table shows percents numbers for a fertilizer application of 160thepounds perxacre. 36. Modeling Data The table shows the percents x and numbers 160 libras de fertilizante por acre. millions)Data of women in theshows work force for selected y (in 36. Modeling The table percents numbers x andyears. (in millions) of women in the muestra work the force selected yModelo 36. (Source: matemático LaLabor tabla los for porcentajes xyears. y los U.S. Bureau of Statistics) of women inStatistics) the work force for selected years. y (in millions) (Source: U.S. Bureau of Labor números y (en millones) de mujeres en la fuerza laboral en (Source: U.S. Bureau of Labor Statistics) determinados años. (Fuente: Labor Statistics) 1970 1975U.S. Bureau 1980 of1985 Año 1970 1975 1980 1985 Año 1970 1975 1980 1985 Año 43.3 46.3 51.5 54.5 Porcentaje, x 43.3 46.3 51.5 54.5 Porcentaje, x Porcentaje, x 31.543.3 37.546.3 45.551.5 51.154.5 Número, y 31.5 37.5 45.5 51.1 Número, y 31.5 37.5 45.5 51.1 Número, y 1990 1995 2000 2005 Año 1990 1995 2000 2005 Año 1990 58.9 1995 59.9 2000 59.3 2005 Año 57.5 Porcentaje, x 57.5 58.9 59.9 59.3 Porcentaje, x Porcentaje, x 56.857.5 60.958.9 66.359.9 69.359.3 Número, y 56.8 60.9 66.3 69.3 Número, y 56.8 60.9 66.3 69.3 Número, y (a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find (a) Use the regression capabilities of a graphing utility to find the Use leastelsquares regression line forofthe data. programa para regresión de una herramienta a) Utilizar (a) regression capabilities a graphing utility tode find the leastthe squares regression line for the data. para hallar la recta de regresión de (b) graficación According to this model, approximately how many women the least squares regression line for the data. mínimos (b) cuadrados Accordingpara to this model, approximately how many women losforce datos. enter the laborto for each one-point increase in women the (b) According this model, approximately how many enter the labor force for each one-point cuántas increase in the b) Según este modelo, ¿aproximadamente mujeres percent of women in the labor force? enterofthe labor force for each one-point increase in the percent the labor force?incremento ingresan a lawomen fuerzain laboral por cada de un punto 37. Find a percent system of equations whose solution women in the labor force? yields the coeffiof enaelsystem porcentaje de mujeres en la solution fuerza laboral? 37. Find of equations whose yields the coefficients the leastwhose squares regression quadratic b, and c offorequations Finda, yields the coefficients and c for the least squares regression quadratic a,unab,system 37. 37. Hallar sistema de the ecuaciones cuyasolution solución proporcione points y cients ax 22 a,bxb, and c for , y , x , y , . . . , xquadratic ,y x 1 squares 1 2 regression 2 for the least c the points ylos coeficientes ax bx a,c bfor , y , x , y , . . . , xnn, ynn x y c para el modelo de regresión 1 1 cuadrático 2 2 by minimizing the sum 22 ymínimos ax bx c for ythe y11 ,c xpara . . .puntos , xnn, ynn 11, 1 22, y22 ,los by the sum de minimizing cuadrados 5points ax 2 1 xbx la suma sx1,by y1dminimizing , sx2, y2nnd, . .the . , sum sxn2, ynd minimizando S a, b, c yi axi2 bxi c 22. n S a, b, c axi bxi c . ni i 1 ny Ssa,Sb,a,cb, d5 22i2 bxi bx 2i cd2.c 22. c i 1 syi 2yii ax2i ax i i

o

i51 ii

11

CAPSTONE CPara A P S Tdiscusión ONE 38.CThe ofEthe length and the girth (perimeter of a cross A P Ssum TON 38. The sum of the length and the girth (perimeter of a cross

section) of las a package carried bythea girth delivery service cannot 38. 38. La suma de longitudes y and el tamaño (perímetro de una The sum the length (perimeter of aseccross section) of a of package carried by a delivery service cannot exceed 108 inches. Find the dimensions of the rectangular ción transversal) de un paquete llevado por un servicio de section) a package carried by a delivery service cannot exceed 108 of inches. Find the dimensions of the rectangular package of 108 largest volume that may be sent. 108 entrega a domicilio no puede exceder pulgadas. inches. Find the dimensions of the rectangular exceed package of largest volume that may be sent. Encontrar lasofdimensiones delthat paquete rectangular de más package largest volume may be sent. grande volumen que puede ser enviado.

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13.9Applications Applications Extrema ofFunctions Functions Two Variables 13.9 Applications ofofExtrema of ofofdos Two Variables 13.9 of Extrema of Functions of de Two Variables SECCIÓN 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones variables

969 969 969 969

13.9 Applications of Extrema of Functions of Two Variables 969 45. Modeling Data meteorologist measures the atmospheric InExercises Exercises 39–42, use theresult result Exercise 37find find theleast least 45.45. Modeling Data AA meteorologist measures the atmospheric In 39–42, use the ofofExercise 37 totofind the Modeling Data A meteorologist measures the atmospheric In Exercises 39–42, use the result of Exercise 37 to the least En los ejercicios 39 a 42, utilizar el resultado del ejercicio 37 45. Modelo matemático Un meteorólogo mide la presión atmospressure (in kilograms kilograms per square meter) altitude hh (in (in squares regression quadratic quadratic for for the the given points. Use the pressure per square meter) atat altitude squares regression given points. PP (in pressure kilograms square meter) altitude squares regression given points. UseUse thethe P (in para hallar el modeloquadratic cuadráticofor de the regresión de mínimos cuaférica P (en kilogramos porper metro cuadrado) aatuna altitudhh (in (en kilometers). The data areshown shown below. the atmospheric regression capabilities ofgraphing graphing utility to confirm confirm your 45. Modeling kilometers). The data are below. regression capabilities of aa graphing utility to your kilometers). The data are shown below. regression capabilities of a utility to confirm your Data A meteorologist measures In Exercises 39–42, use the result of Exercise 37 to find the least drados para los puntos dados. Usar el programa de regresión de kilómetros). Los datos se muestran en la tabla. results. Use thegraphing graphing utility toplot plot thepoints points and graph the results. Use utility to the graph results. Use thethe graphing utility to plot the points andand graph thethe pressure P (in kilograms per square meter) at altitude h (in squares regression for the given points. Use the una herramienta de quadratic graficación para confirmar los resultados. 10 15 15 15 20 20 20 Altitud, 55 10 10 Altitud, hh data0are00shown 5 below. Altitud, hThe least squares regression quadratic. least squares regression quadratic. least squares regression quadratic. kilometers). regression capabilities of agraficación graphing para utilitytrazar to confirm youry Utilizar la herramienta de los puntos results. Use the graphing utility tode plot the points and graph the representar cuadrados. 10332 3325 583 5832 376 3761 240 240517517 517 Presión, 10 55583 22376 11240 39. 2, 02,2, ,10,0, Presión, PP 10 332 Presión, , ,1, 01,1, 000,, regresión 39.39. ,la00curva , de , 111,, ,21,1, , 222,, ,mínimos 52,2,55 0 5 10 15 20 Altitud, hP least squares regression quadratic. 39. s 22, 0 d , s 21, 0 d , s 0, 1 d , s 1, 2 d , s 2, 5 d 40. 4, 5 , 2, 6 , 2, 6 , 4, 2 40.40. 4, 54,, 5 , 2, 62,, 62,, 62,, 64,, 24, 2 a)Presión, Utilizar el de regresión de una (a) Use Use theprograma regression utility find 10 332capabilities 5capabilities 583 2of376 1graphing 240herramienta 517 (a) regression capabilities aagraphing utility totode find (a) Use thePthe regression aofof graphing utility to find 39. s41. 2, 0d,,0s22, 1, 602d,,, s2, 0, 616d,,, s4, 1, 2212 2, 5 42. 0, 10 , 1, 9 , 2, 6 , 3, 0 40. 24, d , 42. 42.0, 10 4,4,12 0, 10 41.41. 0, 00,50, , 02,, ,22,2, , 23,, 63,3, , 64,, 12 , 1,, 91,, 92,, 62,, 63,, 03, 0 graficación para hallar una recta de regresión de mínimos aleast least squares regression line forthe thepoints points h,Plnln. PP. . a squares regression line for h, a least squares regression line for the points h, ln 40. s0, 4, , 2d2, 6 ,6d2, 6 ,124, cuadrados para los puntos sh, ln Pd. 0d,5s2, , s3, , s4, d 2 42. s0, 10d, s1, 9d, s2, 6d, s3, 0d 41. (a) Use the regression capabilities ofequation a graphing to (b) The result part (a)an an equation the form lnPP (b) The result inin part isis an ofofutility the form (b) The result in part (a)a)(a) is ofdethe form lnlnfind Pln 43. Modeling Data After new turbocharger for an automobile 43. Modeling Data After aanew turbocharger 43. Modeling Data After a turbocharger automobile 41. Modelo 42. 0, 0 , 2,matemático 2 , 3, 6 , 4, Después 12 new 0, 10 1,for 9 for ,an 2,an 6 ,automobile 0 b) El resultado delregression inciso esline unaequation ecuación lah,forma P5 de que fue, desarrollado un3,nue43. a least squares for the points ln P . Write this logarithmic form in exponential form. ah b. this logarithmic form in exponential form. ah b. Write b. Write this logarithmic form in exponential form. ah engine was developed, the following experimental data were engine developed, following experimental were engine waswas developed, the the following experimental datadata were ah 1 b. Expresar esta forma logarítmica en forma exponencial. vo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los obtained for speed miles per hour two-second time (b) The in part (a) an equation of data the data form ln graph P the the (c) Use Use graphing utility tograficación plot theoriginal original and obtained for speed inin miles hour atatantwo-second time obtained for speed in miles perper hour atfortwo-second time ysiguientes 43. datos Modeling Data After ayynew turbocharger (c) aagraphing utility to plot and (c) Use aresult graphing utility toisde plot the the original and graph c) Utilizar una herramienta para data trazar losgraph datos the experimentales de velocidad y enautomobile millas por intervals this logarithmic form in exponential form. ah b. Write exponential model inpart part (b). intervals x.x. intervals x. engine was developed, the following experimental data were exponential model in (b). exponential model in part (b). originales y representar el modelo exponencial del inciso b). hora a intervalos x de dos segundos. obtained for speed y in miles per hour at two-second time (c) Use aIfgraphing utility to plot the original data and graph the (d) your graphing utility can fitpuede logarithmic models tolodata, (d) If your graphing utility can fit logarithmic models to data, (d) If your graphing utility can fit logarithmic models to data, d) Si una herramienta de graficación ajustar modelos 10 Tiempo, Tiempo, Tiempo, x x.xx 0 00 2 22 4 44 6 66 8 8810 10 intervals exponential part (b). use verify the result inpart part (b). toto verify the result inpara (b). useuse it toititverify the in result in part (b). garítmicos amodel datos, utilizarla verificar el resultado del inciso 1530 30 3050 50 5065 65 6570 70 70 Velocidad, (d) IfModeling yourb). graphing utility can fit logarithmic models to data, 46. Data The endpoints of the the interval over which Velocidad, yy0 0015 15 Velocidad, Modeling Data The endpoints interval which 46.46. Modeling Data The endpoints of of the interval overover which 2 4 6 8 10 Tiempo, x y 0 use itvision tovision verify the result in part (b). distinct vision possible are called thenear near point and farpoint point distinct isis possible are called point and is possible called the the near point and far far point 46. distinct Modelo matemático Losarepuntos terminales del intervalo de a) modelo cuadrático de regresión dethe (a) Find Find least squares regression quadratic for themínimos data. Use the eye. With increasing age, these points normally change. 15 30 regression 50 quadratic 65quadratic 70 for for Velocidad, ya un (a) aa0least squares data. ofofthe eye. With increasing these points normally change. (a)Hallar Find least squares regression the data. UseUse a aa 46. Modeling of the eye. With increasing age,age, these points normally visión se llaman punto próximo yofpunto lejano del ojo.change. Con la Data The endpoints the interval over which cuadrados para los Utilizar unaresults. herramienta de grafigraphing utility confirm your results. The table shows theapproximate approximate near points (in inches) for y(in graphing utility totoconfirm your The table shows the points inches) yand graphing utility to datos. confirm your results. The table shows thecambian. approximate near points inches) for for ylos(in edad, estos puntos La tabla muestra puntos próxidistinct vision is possible are called thenear near point far point cación para confirmar los resultados. various ages (in years). (Source: Ophthalmology various ages xx (in years). (Source: Ophthalmology various ages xincreasing (in (Source: & && mos yeye. (en pulgadas) ayears). varias edades x Ophthalmology (en años). change. (Fuente: (a) Find least squares regression for thegraph data. Use a of the With age, these points normally (b) Use graphing utility plot thepoints points and graph the model. aagraphing utility totoplot the and model. (b) (b) UseUse aa graphing utility to plot thequadratic points and graph the the model. b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar los puntos Physiological Optics) Physiological Optics) Physiological Optics) Ophtalmology &the Physiological graphing utility to confirm your results. The table shows approximateOptics) near points y (in inches) for 44. Modeling Data The table shows theworld world populations (in Data The table shows populations yy(in 44.44. Modeling Data table shows the the world populations y (in yModeling representar el The modelo. various ages x (in years). (Source: Ophthalmology & (b) Use a graphing utility to plot the points and graph the model. billions) for five different years. Let represent the year x 8 billions) different years. 8 represent billions) for for fivefive different years. LetLet the the yearyear x x 8 represent 16 32 32 32 44 44 44 50 50 50 60 60 60 Edad, Edad, 16 16 Edad, x xx 44. Modelo matemático La tabla muestra la International población mundial y Physiological Optics) 1998. (Source: U.S. Census Bureau, Data Base) 1998. (Source: Census Bureau, International Data Base) 1998. (Source: U.S. Census Bureau, Data Base) 44. Modeling Data TheU.S. table shows the International world populations y (in (en miles de millones) para cinco diferentes años. Considerar que 3.04.74.7 4.79.89.8 9.819.719.7 19.739.439.4 39.4 Punto próximo, yy3.03.0 Punto próximo, Punto billions) for five different years. Let x 8 represent the year 32 44 50 60 Edad, xpróximo, y 16 x = 8Año, representa el1998 año 2008. (Fuente: U.S. Census Bureau, 1998 2000 2002 2004 2006 Año, 1998 2000 2002 2004 2006 2000 2002 2004 2006 Año, x xx U.S. 1998. (Source: Census Bureau, International Data Base) International Data Base) a) Hallar un amodelo racional para datos tomando el recí(a) Find Find model for thelos data bytaking taking thereciprocals reciprocals a rational model the data by 3.0 4.7 9.8 19.7 39.4 (a) (a) Find a rational model for for the data by taking the the reciprocals Punto próximo, yrational 5.9 6.16.1 6.1 6.26.2 6.2 6.46.4 6.4 6.56.5 6.5 Población, Población, yy 5.95.9 Población, y proco o inverso de los puntos próximos para generar los pun1998 2000 2002 2004 2006 Año, x thenear near points generate thepoints points Use the y. .Use ofofthe points totogenerate of the near points to generate the the points the the x, 1x,x,y11. yUse tos sx, Utilizar el programa para regresión de una he1yy d . regression capabilities of a graphing utility to find a least regression capabilities of a graphing utility to find a least regression capabilities of a graphing utility to find a least (a) Find a rational model for the data by taking the reciprocals (a) Use Use the regression capabilities graphing utility find rramienta de graficación parafor hallar una rectadata. de regresión de 5.9 capabilities 6.1 6.4 utility 6.5 Población, y regression (a) capabilities aagraphing utility totofind (a) Use the the regression of6.2aofof graphing to find squares regression line thepoints revised resulting squares regression line the revised squares regression for for thethe revised data. resulting of the near points toline generate Useresulting the x,data. 1The y The .The the least squares regression line for the data. mínimos cuadrados para los datos revisados. La recta resulleast squares regression data. the the least squares regression lineline for for the the data. line has theform form Solve for axb. Solve y. a least the yyax ax b.b.Solve lineline hashas the form for for 1 y11of y. regression capabilities a graphing utility to y.find a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de tante tiene la forma 1/y = ax + b. Despejar y. (a) Use the capabilities of aaof graphing utility to (b) Use theregression regression capabilities of graphing utility find (b) the capabilities aagraphing utility totofind (b)graficación UseUse theregression regression capabilities ofde graphing utility to find find squares regression line for revised data. The resulting (b) Use agraphing graphing utility tothe plot thedata data and graph themodel. model. para hallar la recta regresión de mínimos (b) Use a utility to plot the and graph the (b) Use a graphing utility to plot the data and graph the model. b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar los datos the squares regression line for thefor data. theleast least squares regression quadratic forthe thedata. data. the squares regression quadratic for theleast least squares quadratic the data. line has the form Solve for 1 y ax b. y. cuadrados para losregression datos. (c) Do you think the model can be used used predict the near Do think the model toto predict (c) (c) youyou think model cancan be be used to predict the the nearnear yDo representar el the modelo. (b) Use the capabilities a de graphing utility to models. find (c) Use Use agraphing graphing utility plot the data and graph the models. (c) aregression utility totoplot data and graph (c)Utilizar Use a graphing utility to plot theofthe data and graph the the models. b) el programa de regresión una herramienta de (b) Use apoint graphing utility towho plot the data and graph the próximo model. for aperson person ispara 70years years old? Explain. point for a who is 70 old? Explain. point for a person who is 70 years old? Explain. c) ¿Puede utilizarse el modelo predecir el punto the least squares regression quadratic for thede data. para hallar el modelo regresión de the (d) Use both models toforecast forecast theworld world population for the (d) both models to the population (d)graficación UseUse both models to forecast thecuadrático world population for for the (c) Do you think the model can used to predict the for nearfor una persona dePartials 70 años? 47. Use the Second Partials Test toverify verify that theformulas formulas Use the Second tobe the 47.47. Useen the Second Partials TestTest toExplicar. verify thatthat the formulas aforaa (c) mínimos Use a graphing utility to plot the data and graph the models. cuadrados para los datos. year 2014. How do the two models differ as you extrapo2014. How models differ as you extrapo- 47. Usar yearyear 2014. How do do the the twotwo models differ as you extrapopoint for a person who is13.18 70yield years Explain. el de las segundas derivadas parciales para veand given Theorem 13.18 yield minimum. given inin Theorem yield aaminimum. bbcriterio andand given in Theorem 13.18 a old? minimum. b c) una herramienta de graficación trazar los late into thefuture? future? into the latelate into the future? (d) Utilizar Use both models to forecast the worldpara population fordatos the rificar las fórmulas anyn verify b proporcionadas en el teorema 47. Use theque Second Partials para Test nn 2the22formulas for a n that n to yyear representar los modelos. 2014. How do the two models differ as you extrapo2 2 2 13.18 llevan a un mínimo. Hint: Use the fact that n x x . the and given in 13.18 bHint: Hint: UseUse theTheorem factfact thatthat n n xyield xi x.i i . i xi i a minimum. d) Utilizar modelos para estimar la población mundial late intoambos the future? i 1 i i n11 i 1 i i 11 n 2 n n en el año 2014. ¿Cómo difieren los dos modelos cuando se Sugerencia: Considerar el hecho que nx 2. x2i ≥ xi . 2 Hint: Use the fact that n x i i extrapola i51 i51 INOO NNPelRPfuturo? PORRJOOEJJCEETCC TT S ESS CEETCCITTOIhacia

3

o

i

1

i

1o 2 4

1

Building a Pipeline Pipeline SBuilding E C T I aO Pipeline P ROJECT aNDE Building PROYECTO TRABAJO The cost building thepipeline pipeline $3million million permile mile the ofofbuilding isis$3 ininthe TheThe costcost of building the the pipeline is $3 million perper mile in the water and $4million million permile mile onland. land. So,the thecost cost thepipeline pipeline water ofofthe water andand $4 $4 million perper mile on on land. So,So, the cost of the pipeline El costo de construcción del oleoducto esmeets millones por milla Una empresa petrolera desea construir unFurthermore, oleoducto desde su P,iswhere depends on the location point where itmeets meets the shore. What shore, and thewishes refinery mile inland. Furthermore, and are depends Aand Bare P, depends location ofof point it$3 shore. What shore, and refinery 11mile inland. A B P, on the location ofthe point where the shore. shore, and the the refinery isto 1isis mile inland. Furthermore, A and B are The coston ofthe building pipeline $3itmillion perthe mile inWhat the An oil company construct a pipeline from its offshore en would elwould mar, y $4 por milla enoftierra. Por tanto, el pipeline costo del plataforma Aapart, hasta sushown refinería B. plataforma estáisa22 miles millasfrom de la be themillones most economical route the pipeline? miles apart, shown theLa figure. be the most economical route ofofthe pipeline? 55miles asas inin the figure. would be the most economical route the pipeline? 5 miles shown inB.the figure. water and $4 million per mile on land. So, the cost of the facility to itsasrefinery The offshore facility Aapart, oleoducto depende deyou laoflocalización punto costa, la refinería está is 1 milla tierra adentro. Además, A B están en lashore. orilla. ¿Cuál Imagine that you are write areport report the oil company about Imagine that are totowrite adel totoPthe oil company about Imagine you are to write awhere report the oil company about P, depends on thethat location point ittomeets the What shore, yand theA refinery 1 mile inland. Furthermore, A yand B area AA 55 millas de distancia unaindethe otra, como se muestra en la figura. sería labeproblem. ruta para el shown oleoducto? this problem. Let bethe the distance shown thefigure. figure. Determine this Let be distance ininthe Determine xeconomical this problem. Leteconómica bexxthe distance in the figure. Determine would the más most route of shown the pipeline? miles apart, as shown figure. Imaginar queyou hay que redactar informe la empresa P,and the cost building the pipeline from and thecost cost from P, cost ofof building the totothe the from Aun P, P toPPtoto the the cost of building the pipeline from toAAto and thepara cost from Imagine that are topipeline write a from report oil company about A A22mi mi 2 mi petrolera acerca de este problema. Sea xroutes lain distancia mostrada en la B. Analyze some sample pipeline and their corresponding B. Analyze some sample pipeline routes and their corresponding B. Analyze some sample pipeline routes and their corresponding x this problem. Let be the distance shown the figure. Determine 5 mi 5 mi 5 mi figura. Determinar elwhat costo de elP, oleoducto deroute? Aroute? a P, el costs. For instance, what thecost cost the most direct route? Then costs. instance, what isisconstruir the ofof the most direct Then costs. For instance, is the cost of the most direct Then A to P yto the cost ofFor building the pipeline from and the cost from P PP5 millas 2 2millas mi costo de P a B. Analizar alguna trayectoria muestra para el oleoducuse calculus to determine the route of the pipeline that minimizes use calculus to determine the route of the pipeline that minimizes use calculus to determine the route of the pipeline that minimizes x B. Analyze some sample pipeline routes and their corresponding x x 5 mi mi to ythe sus costos correspondientes. ejemplo, esand el costo de 1 mi11mi the cost. Explain allis steps your development and include any cost. Explain all steps ofofPor your development include the cost. Explain all steps of cost your and include anylaany costs. For instance, what the ofdevelopment the most¿cuál direct route? Then P P rutarelevant másgraphs. directa? Utilizar the después para determinar la ruta B relevant graphs. B B graphs. relevant use calculus to determine routeelofcálculo the pipeline that minimizes x x del cost. oleoducto queallminimiza costo. Explicar todos los pasosany del 1 mi 1 milla the Explain steps ofelyour development and include desarrollo e incluir una gráfica pertinente. B relevant graphs. An oil company company wishes construct pipeline from its offshore offshore wishes toto construct aa pipeline from An An oil oil company wishes to construct a pipeline from its its offshore

Building atotoPipeline Construcción de un oleoducto facility its refinery refinery The offshore facility miles from B. facility its The offshore facility 22 miles from AAits B. facility refinery offshore facility is 2isismiles from A to B. The

B

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

13.10 Multiplicadores de Lagrange n n n

Entender el método de los multiplicadores de Lagrange. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones. Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones.

Multiplicadores de Lagrange JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736-1813) El método de los multiplicadores de Lagrange debe su nombre al matemático francés Joseph Louis Lagrange. Lagrange presentó el método por primera vez en su famoso trabajo sobre mecánica, escrito cuando tenía apenas 19 años.

Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimización porque la solución óptima puede presentarse en un punto frontera del dominio. En esta sección se estudia una ingeniosa técnica para resolver tales problemas. Es el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ver cómo funciona esta técnica, supóngase que se quiere hallar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en la elipse dada por x2 y2 2 1 2 5 1. 3 4 Sea (x, y) el vértice del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la figura 13.78. Como el rectángulo tiene lados de longitudes 2x y 2y, su área está dada por Función objetivo. f sx, yd 5 4xy. Se quieren hallar x y y tales que f sx, yd es un máximo. La elección de (x, y) está restringida a puntos del primer cuadrante que están en la elipse

x2 y2 Restricción. 2 1 2 5 1. 3 4 Ahora, considérese la ecuación restrictiva o de ligadura como una curva de nivel fija de x2 y2 2 1 2. 3 4 Las curvas de nivel de f representan una familia de hipérbolas f sx, yd 5 4xy 5 k. En esta familia, las curvas de nivel que satisfacen la restricción dada corresponden a hipérbolas que cortan a la elipse. Es más, para maximizar f sx, yd, se quiere hallar la hipérbola que justo satisfaga la restricción. La curva de nivel que hace esto es la que es tangente a la elipse, como se muestra en la figura 13.79. gsx, yd 5

Elipse: x2 y2 + =1 32 42

y

Curvas de nivel f: 4xy = k

y

(x, y)

5

3 2

3

1

2 x

−4

−2

−1

−1

1

2

−2 −3

Función objetivo: f sx, yd 5 4xy Figura 13.78

k = 72 k = 56 k = 40 k = 24

1

4

x −2 −1 −1

1

2

4

5

6

−2 −3

Restricción: gsx, yd 5 Figura 13.79

x2 y2 2 1 2 5 1 3 4

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SECCIÓN 13.10

Multiplicadores de Lagrange

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Para encontrar la hipérbola apropiada se usa el hecho de que dos curvas son tangentes en un punto si y sólo si sus vectores gradiente son paralelos. Esto significa que =f sx, yd debe ser un múltiplo escalar de =gsx, yd en el punto de tangencia. En el contexto de los problemas de optimización con restricciones, este escalar se denota con la letra griega l (lambda minúscula del alfabeto griego). =f sx, yd 5 l=gsx, yd Al escalar l se le conoce como un multiplicador de Lagrange. El teorema 13.19 da las condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores. TEOREMA 13.19 TEOREMA DE LAGRANGE Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene un extremo en un punto (x0, y0) sobre la curva suave de restricción gsx, yd 5 c. Si =gsx0, y0 d Þ 0, entonces existe un número real l tal que =f sx0, y0 d 5 l=gsx0, y0 d. DEMOSTRACIÓN Para empezar, se representa la curva suave dada por gsx, yd 5 c mediante la función vectorial

rstd 5 xstdi 1 ystdj, r9 std Þ 0 donde x9 y y9 son continuas en un intervalo abierto I. Se define la función h como h std 5 f sx std, y stdd. Entonces, como f sx0, y0 d es un valor extremo de f, se sabe que h st0 d 5 f sxst0 d, y st0 dd 5 f sx0, y0 d es un valor extremo de h. Esto implica que h9st0 d 5 0, y, por la regla de la cadena, h9 st0 d 5 fxsx0, y0 d x9 st0 d 1 fy sx0, y0 dy9 st0 d 5 =f sx0, y0 d ? r9 st0 d 5 0.

NOTA Se puede demostrar que el teorema de Lagrange también es válido para funciones de tres variables, usando un argumento similar con superficies de nivel y con el teorema 13.14. n

Así, =f sx0, y0 d es ortogonal a r9 st0 d. Por el teorema 13.12, =gsx0, y0 d también es ortogonal a r⬘ 共t0 兲. Por consiguiente, los gradientes =f sx0, y0 d y =gsx0, y0 d son paralelos y debe existir un escalar l tal que =f sx0, y0 d 5 l=gsx0, y0 d. El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema 13.19 para encontrar los valores extremos de una función f sujeta a una restricción. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción gsx, yd 5 c. Para hallar el mínimo o el máximo de f, seguir los pasos descritos a continuación. 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones =f sx, yd 5 l=gsx, yd y gsx, yd 5 c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.

NOTA Como se verá en los ejemplos 1 y 2, el método de los multiplicadores de Lagrange requiere resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Esto a menudo requiere de alguna manipulación algebraica ingeniosa. n

fxsx, yd 5 lgxsx, yd fysx, yd 5 lgysx, yd gsx, yd 5 c 2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el máximo de f sujeto a la restricción gsx, yd 5 c, y el valor menor da el mínimo de f sujeto a la restricción gsx, yd 5 c.

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CAPÍTULO 13

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Funciones de varias variables

Problemas de optimización con restricciones o ligaduras En el problema presentado al principio de esta sección, se quería maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse. El ejemplo 1 muestra cómo usar los multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.

Multiplicador de Lagrange con una restricción o ligadura

EJEMPLO 1

Hallar el valor máximo de f sx, yd 5 4xy donde x > 0 y y > 0, sujeto a la restricción sx 2y32d 1 s y 2y42d 5 1. NOTA

El ejemplo 1 también puede resolverse utilizando las técnicas aprendidas en el capítulo 3. Para ver cómo se hace esto, calcular el valor máximo de A 5 4xy dado que x2 y2 1 2 5 1. 2 3 4

Solución Para comenzar, sea gsx, yd 5

Igualando =f sx, yd 5 4yi 1 4xj y l=gsx, yd 5 s2l xy9d i 1 slyy8d j, se puede obtener el sistema de ecuaciones siguiente.

Para empezar, de la segunda ecuación se despeja y y se obtiene y 5 43!9 2 x 2. Después se sustituye este valor en la primera ecuación para obtener A 5 4x s

4 3 !9

2

x2

2 4y 5 l x 9

fxsx, yd 5 lgxsx, yd.

1 4x 5 l y 8

fysx, yd 5 lgysx, yd.

x2 y2 1 51 32 42

d.

Por último, se usan las técnicas del capítulo 3 para maximizar A.

x2 y2 2 1 2 5 1. 3 4

Restricción.

De la primera ecuación, se obtiene l 5 18yyx, que sustituido en la segunda ecuación da n

4x 5

1 2

1 18y y 8 x

x2 5

9 2 y. 16

Sustituyendo en la tercera ecuación x2 por este valor se tiene

1

2

x2 5

9 2 y 16

1 9 2 1 2 y 1 y 51 9 16 16

y 2 5 8.

Así, y 5 ± 2!2. Como se requiere que y > 0, se elige el valor positivo y se halla que

5 x5

9 9 s8d 5 16 2 3 . !2

Por tanto, el valor máximo de f es f

3 ,2 2 2

4xy

3 2 2 2

4

24.

Nótese que el expresar la restricción como gsx, yd 5

x2 y2 1 51 32 4 2

o

gsx, yd 5

x2 y2 1 2150 32 4 2

no afecta la solución, la constante se elimina cuando se calcula =g.

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SECCIÓN 13.10

EJEMPLO 2

Multiplicadores de Lagrange

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Una aplicación a la economía

La función de producción de Cobb-Douglas (ver ejemplo 5, sección 13.1) para un fabricante de software está dada por f sx, yd 5 100x 3y4 y1y4

Función objetivo.

donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) y y representa las unidades de capital (a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $50 000. Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre la utilización de los multiplicadores de Lagrange en economía, ver el artículo “Lagrange Multiplier Problems in Economics” de John V. Baxley y John C. Moorhouse en The American Mathematical Monthly.

Solución De la función dada, se tiene =f sx, yd 5 75x21y4 y 1y4 i 1 25x 3y4 y23y4 j. El límite para el costo de trabajo y capital se refleja en la restricción o ligadura gsx, yd 5 150x 1 250y 5 50,000.

Restricción.

Así, l=gsx, yd 5 150l i 1 250l j. Esto da lugar al sistema de ecuaciones siguiente. 75x21y4 y 1y4 5 150l

fxsx, yd 5 lgxsx, yd.

5 250l

fysx, yd 5 lgysx, yd.

25x 3y4 y23y4

150x 1 250y 5 50,000

Restricción.

Resolviendo para l en la primera ecuación

l5

75x21y4 y1y4 x21y4 y1y4 5 150 2

y despejando l de la segunda ecuación, se obtiene 25x 3y4 y23y4 5 250

1

x21y4 y1y4 2

2

25x 5 125y.

Multiplicar por x 1y4 y 3y4.

Así, x 5 5y. Sustituyendo en la tercera ecuación, se tiene 150s5yd 1 250y 5 50,000 11000y 000y 5 50,000 y 5 50 unidades de capital x 5 250 unidades de trabajo. Por tanto, el nivel máximo de producción es f s250, 50d 5 100s250d3y4s50d1y4 unidadesunits. del producto. < 16,719 product Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange obtenido en una función de producción productividad marginal del capital. Por ejemplo, en el ejemplo 2 la productividad marginal de capital en x 5 250 y y 5 50 es

l5

x21y4 y 1y4 s250d21y4 s50d1y4 5 < 0.334 2 2

lo cual significa que por cada dólar adicional gastado en la producción, puede producirse 0.334 unidades adicionales del producto.

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CAPÍTULO 13

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Chapter 13

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Funciones de varias variables

Functions of Several Variables

EJEMPLO 3

Multiplicadores de Lagrange y tres variables

Hallar el valor mínimo de Lagrange Multipliers and Three Variables

sx, y, zd 5 2x 2value 1 y 2of1 3z 2 Find fthe minimum

Función objetivo.

2 4z 5 function 49. sujeto a la f sx, y, restricción zd 5 2x 2 1o yligadura 1 3z 2 2x 2 3y 2 Objective

subject to the constraint 2x 2 3y 2 4z 5 49. Solución Sea gsx, y, zd 5 2x 2 3y 2 4z 5 49. Entonces, como Solution Let gsx, y, zd 5 2x 2 3y 2 4z 5 49. Then, because =f sx, y, zd 5 4xi 1 2yj 1 6zk l=gsx, y, zd 5 2l i 2 3l j 2 4l k y l=gsx, y, zd 5 2l i 2 3l j 2 4l k =f sx, y, zd 5 4xi 1 2yj 1 6zk and se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente. you obtain the following system of equations. 4x x, y, y, zzdd 5 5 llggxssx, x, y, y, zzdd. 4x 5 5 22l l ffxssx, x

x

fyysx, y, zd 5 lgyysx, y, zd . 2y 5 23l 6z 5 5 24 24l l fzsx, y, zd 5 lgzsx, y, zd 6z fzsx, y, zd 5 lgzsx, y, zd. 2x 2 3y 2 4z 5 49 Constraint Restricción. 2x 2 3y 2 4z 5 49 The solution of this system is x 5 3, y 5 29, and z 5 24. So, the optimum value of La f issolución de este sistema es x 5 3, y 5 29 y z 5 24. Por tanto, el valor óptimo de f es

f s3, 29, 24d 5 2s3d 2 1 s29d2 1 3s24d 2 5 147.

Elipsoide: Ellipsoid: 2x2 + y2 + 3z2 = 147 2x 2 + y 2 + 3z 2 = 147

From the original function and constraint,resulta it is clear maximum. sx,y,y,zdzdhas De la función original y de la restricción, clarothat quef sf x, no no tiene máximo. Por So, the optimum value of f determined above is a minimum. ■ tanto, el valor óptimo de f determinado arriba es un mínimo.

z

z 8 8 y y16 16 −16 − 16 24

x

24

x Punto de tangencia Plano: Point tangency (3,of−9, −4) Plane: 2x − 3y − 4z = 49 (3, −9, − 4) 2x − 3y − 4z = 49

Figura 13.80 Figure 13.80

A graphical of se constrained optimization problems in problema two variables Al principio interpretation de esta sección dio una interpretación gráfica del de optiwas givencon at restricciones the beginningpara of dos thisvariables. section. In three theinterpretación interpretationesissimimización Con tres variables, variables, la similar, that level surfaces instead leveldecurves. For en instance, in 3, lar, sólo except que se usan superficies de are nivelused en lugar de of curvas nivel. Así, el ejemplo Example 3, the f are ellipsoids at the and the las superficies de level nivel surfaces de f son of elipsoides centradascentered en el origen, y laorigin, restricción constraint 2x 2 3y 2 4z 5 49 2x 2 3y 2 4z 5 49 es un plano. El valor mínimo de f está representado por la elipsoide tangente al plano de is arestricción, plane. Thecomo minimum value of is figura represented la se muestra enf la 13.80.by the ellipsoid that is tangent to the constraint plane, as shown in Figure 13.80.

Optimización en el interior de una región EXAMPLE 4 Optimization Inside a Region

EJEMPLO 4

Hallar los valores extremos de Find the extreme values of x, yydd 5 5 xx22 1 1 2y 2y22 2 2 2x 2x 1 1 33 ff ssx, z

Relative z 40 maxima Máximo (−1, − 3, 24) 32 40 relativo (− 1, 3, 24) (−1, −3, 24) 24 32 (−1, 3, 24) 16 24 8 16

Relative minimum Mínimo (1, 0, 2) relativo (1, 0, 2)4 x

8

4

x Figure 13.81

Figura 13.81

(

2

3 2

10, 0, 6.675 (

(

y

4 3

10, 0, 6.675(

4

y

Función Objectiveobjetivo. function

sujeto la the restricción x 2 x12 1 y 2 y≤2 10. subjecta to constraint # 10. Solution To solve this problem, you can constraint into twoen cases. Solución Para resolver este problema, sebreak puedethe dividir la restricción dos casos. 2 2 a. For points on the circle x 1 y 25 10,2 you can use Lagrange multipliers to find 10, se value a) that Para the los maximum puntos en value el círculo puedenoccurs usar los of f sxx, y1d yis 5 24—this at smultiplicadores 21, 3d and at de f s x, y d Lagrange para hallar que el valor máximo de es 24; este valor s21, 23d. In a similar way, you can determine that the minimum value se of presenta f sx, yd en s21, 3d y en s21, 23d. De manera similar, se!puede determinar que el valor mínimo is approximately 6.675—this value occurs at s 10, 0d. de f sx, yd es aproximadamente 6.675; este valor se presenta en s!10, 0d. b. For points inside the circle, you can use the techniques discussed in Section 13.8 b) Para los puntos al círculo, se pueden usar las analizadas to conclude that interiores the function has a relative minimum of 2técnicas at the point s1, 0d. en la sección 13.8 para concluir que la función tiene un mínimo relativo de 2 en el punto (1, 0). By combining these two results, you can conclude that f has a maximum of 24 at Combinando dos resultados, concluir que f13.81. tiene un máximo de ■ 24 en s21, ± 3d andestos a minimum of 2 at s1,se0dpuede , as shown in Figure s21, ± 3d y un mínimo de 2 en (1, 0), como se muestra en la figura 13.81.

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SECCIÓN 13.10

Multiplicadores de Lagrange

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El método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones En problemas de optimización que involucran dos funciones de restricción g y h, se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange, m (letra minúscula mu del alfabeto griego), y resolver la ecuación =f 5 l=g 1 m=h donde los vectores gradiente no son paralelos, como se ilustra en el ejemplo 5.

Optimización con dos restricciones

EJEMPLO 5

Sea T sx, y, zd 5 20 1 2x 1 2y 1 z 2 la temperatura en cada punto en la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 11. Hallar las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del plano x 1 y 1 z 5 3 y la esfera. Solución Las dos restricciones son gsx, y, zd 5 x 2 1 y 2 1 z 2 5 11

y

hsx, y, zd 5 x 1 y 1 z 5 3.

Usando =T sx, y, zd 5 2i 1 2j 1 2zk

l=gsx, y, zd 5 2l x i 1 2ly j 1 2l z k y

m=h sx, y, zd 5 m i 1 m j 1 m k se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

x2

1

y2

1

2 5 2l x 1 m

Txsx, y, zd 5 lgxsx, y, zd 1 mhxsx, y, zd.

2 5 2ly 1 m

Tysx, y, zd 5 lgysx, y, zd 1 mhysx, y, zd.

2z 5 2lz 1 m

Tzsx, y, zd 5 lgzsx, y, zd 1 mhzsx, y, zd.

z2

5 11

Restricción 1.

x1y1z53

Restricción 2.

Restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene el sistema siguiente. AYUDA DE ESTUDIO

El sistema de ecuaciones que se obtiene en el método de los multiplicadores de Lagrange no es, en general, un sistema lineal, y a menudo hallar la solución requiere de ingenio.

lsx 2 yd 5 0 2zs1 2 ld 2 m 5 0 x 2 1 y 2 1 z 2 5 11 x1y1z53 De la primera ecuación, se concluye que l 5 0 o x 5 y. Si l 5 0, se puede demostrar que los puntos críticos son s3, 21, 1d y s21, 3, 1d. (Tratar de hacer esto toma un poco de trabajo.) Si l Þ 0, entonces x 5 y y se puede mostrar que los puntos críticos se presentan donde x 5 y 5 s3 ± 2!3 dy3 y z 5 s3 7 4!3 dy3. Por último, para encontrar las soluciones óptimas, se deben comparar las temperaturas en los cuatro puntos críticos. T s3, 21, 1d 5 T s21, 3, 1d 5 25

13 2 32 312 T1 3 T

2 5 913 < 30.33 3 2 5 913 < 30.33

!3 3 2 2!3 3 1 4!3

,

3

,

3

!3 3 1 2!3 3 2 4!

,

3

,

3

91 Así, T 5 25 es la temperatura mínima y T 5 3 es la temperatura máxima en la curva.

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Chapter 13 13 Functions of Several CAPÍTULO Funciones de variasVariables variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables Chapter 13 Functions of Several Variables

www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 Ejercicios See 13.10 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 Exercises Exercises SeeSeewww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 Exercises for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 13.10 In Exercises 1– 4,1 identify the constraint and level curves ofythe En los ejercicios a 4, identificar la restricción o ligadura las 13. Minimizar f x, y, z

In Exercises 1– 4, identify the constraint and level curves of the objective in theobjetivo figure. Use the figure curvas defunction nivel deshown la función mostradas entolaapproxfigura. objective function shown inthe the constraint figure. Useand the level figurecurves to approxIn Exercises 1– 4, identify of the imate the extrema, assuming that and ycurves aresuponienpositive. xindicado, Utilizar la indicated figura para aproximar el extremo In Exercises 1– 4, identify the constraint and level of the imate the indicated extrema, assuming that and xthe y aretopositive. objective function shown in the figure. Use figure approxUseque Lagrange verify your result. do xfunction y ymultipliers son positivos. Utilizar los de objective shown into figure. Use themultiplicadores Use Lagrange multipliers tothe verify your result. imate the indicated extrema, assuming that and y to areapproxpositive. xfigure Lagrange para verificar el resultado. imate the indicated extrema,toassuming thatresult. x and 1. Maximize 2. your Maximize z multipliers xy z y are xy positive. Use Lagrange verify 1. Maximizar Maximize multipliers 2. Maximize zz 5xy Maximizar xy xy 1. Use Lagrange to verify2. your result. zz 5xy Constraint: Constraint: 10 1.Restricción Maximize xzx yxy 2.Restricción Maximize 2x z2x xyyy 44 Constraint: Constraint: y 10 1. Maximize 2. Maximize z xy z xy y y o Constraint: ligadura: o Constraint: ligadura: 1y5 c =2x22x cx=x1 30y y5 1010 y y y 44 c =2 c = 30 c = 40 Constraint: Constraint: xc = 40 y 10 4 12 y y 6yy c2x =4 y 12 10 y 12 1012 8 10810 12 6 1086 8 4 864 6 2 642 4 42 2 2

c30 = 50 c= 30 c= c = 50 = c =4040 c =c 30 = c =5050 c =c40 c = 50

2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 x 2 2 4 4 6 6 8 2810101212 2

3. Minimize z x 2 y 2 3. Minimize y 2 4 z6 8x 10 12 Constraint: 3.3.Minimizar zzx 5 xxy22 1 4yy22 0 Minimize Constraint: x 2 y 24 0 Restricción 3. Minimize z yo ligadura: x y yx Constraint: y 4 0 x 1 y 2 4 5 0 Constraint: 4 0 c=8 4 xy y c = 68 c = 46 c=8 ccc===8246 ccc===862 cc =c= 6=4 4 cc−=4c= 4=2 2 c−=4 2

−4 −4 −4

4y y 4 4 4

4 4 −4 −4 −4

4 4

4

x

6 y 66 4 64 44 2 42 22

c c= =2 24 c=6 c c= c=2c=4=46 c =c 4c= =6 6 c=6

2

2 2 22

4 4 44

6 6 x 66

4. Minimize2 z 4x 22 6y 22 4. Minimize z x y Constraint: 4.4.Minimizar zz2x5 xx224y1 yy225 Minimize Constraint: 2x 2 4y 2 5 Restricciónz yo ligadura: 4. Minimize x y y 2x Constraint: 4y 5 2x 1 4y 5 5 Constraint: 2x 4y 5 2yy

c = 1 2y c=1 2 c = 121 2 c =c2= 1 2 c=1 cc ==1 11 c−2 = 12 2 −2 c=2 −2−2 −2

−2 −2 −2

2 2 22 2

x

−4 −2 −4 5 –10, use Lagrange multipliers In Exercises to find the −2 −4 5 –10, use Lagrange multipliers In Exercises to find the indicated extrema, assuming that x and y are positive. indicated extrema, that x andmultipliers y are positive. InlosExercises use Lagrange to findpara the En ejercicios 55 –10, a assuming 10, utilizar multiplicadores de Lagrange Inindicated –10, use Lagrange multipliers to find the f5 x, y assuming x 22 suponer 5. Exercises Minimize y 22thatque extrema, positive. x and yy are hallar el extremo indicado, x y son positivos. f x, yassuming x 5. Minimize ythat x and y are positive. indicated extrema, 52 02 Constraint: Minimize fxx x, y2y 5.5.Minimizar 2y 2x 5 2y0 Constraint: 5. f f x,x,yy xx 2 yy 2 6. Minimize Maximize x y 2y x 2 5 y 20 Constraint: f x, 6. Restricción: Maximize Constraint: x2y 2yx 2 5220 0 22 Constraint: 6.6.Maximizar sx,x, yyd x52 xx 02 yy Maximize ff2y Constraint: 2 2 ff x, 6. x,2yyy2 xx2x22x y 7. Maximize Maximize Restricción: 2y 5 00y2xy Constraint: y 2 2x 2xy y 7. Maximize f x, 2y x Constraint: 0 100 Constraint: 7.7.Maximizar sx,x, yyd y5 2x 1 2xy 1 y f2x Maximize f2x y 2x 100 2xy y Constraint: ff x, 7. Restricción: 2xyy1 y 2x 5 1002xy x, 3x y 10y 8. Maximize Minimize Constraint: f x,2xy y 3x 100y 10 8. Minimize 2 2x y 100 Constraint: 8. Minimizar f sx,y yd 5 6 3x 1 y 1 10 8. Constraint: Minimize fxx 2x, y y 6 3x y 10 Constraint: Restricción: f f x,xx,2y2yy 5 63x 6 y x 2 10 y 2 8. 9. Minimize Maximize x yy 6 6 x 22 y 22 Constraint: f 2x, 9. Maximize 9. Constraint: Maximizar x 2y xfxsyx, yyd 65 2!6 2 Constraint: 9. Constraint: Maximize fx x, yy 2 6 00 x 2 y 2 2 2 Restricción: x 1 y 2 2 5 0 ff x, 9. Maximize x,x yy y 26x 22 0xy 22 y 10. Minimize Constraint: 2 2 f x, y x y 10. Minimize ! 10. Constraint: Minimizar fxsx, yyd 5 2 x 01 y 4y 152 y02 Constraint: 10.Restricción: Minimize f2x 2xx, y 4y 2x15 0 Constraint: x 15 5 y2 0 10. Minimize f x,2xy 1 4y 2 2x 4y 15 0 Constraint: In Exercises 11–14, use Lagrange multipliers to find the 0 In Constraint: Exercises 2x 11–14,4y use15Lagrange multipliers to find the En los ejercicios a 14, utilizar multiplicadores y, and z are positive.de Laindicated extrema,11assuming that x, los z are positive. indicated extrema, assuming that x, y, and In Exercises 11–14, use Lagrange multipliers to que find x,the grange para hallar losuse extremos indicados, suponiendo y In Exercises 11–14, Lagrange 2 2 2multipliers to find the f x, y, z x y z 11. Minimizar x, y, z indicated extrema, assuming that and are positive. 2 2 2 y z son positivos. f x, assuming y, z x thaty x, y,z and z are positive. 11. Minimizar indicated extrema, xx 2 y y 2 z z 2 9 0 x, y, z 11. Restricción Minimizar oof ligadura: x y2 z 2 9 0 Restricción ligadura: 2 f f x,x,y,y,zz xxyz y z 11. 12. Minimizar Maximizar x y z 9 0 Restricción o ligadura: xyz 12. Maximizar f x, y, z x y z 9 0 Restricción o ligadura: x, y, z xxxyz yy zz 33 00 12. Restricción Maximizaroof ligadura: Restricción ligadura: xyz 12. Maximizar f x, y, z Restricción o ligadura: x y z 3 0 Restricción o ligadura: x y z 3 0

x 22 y 22 z 22 x y z 13. Minimizar f x, y, z 13.Restricción: Minimizar fxx x, y,yy z zz x2 11 y2 z2 Restricción: ff x,x,y,y z x 2x 2 10x y 2 yz 22 14y 28 13. 14. Minimizar Minimizar 1 Restricción: f x,x y y x 2 z 10x y 2 14y 28 14. Minimizar 1 Restricción: xx yy z10 2 f x, y x 10x y 2 14y 28 14.Restricción: Minimizar Restricción: x y 210 x 10x y 2 14y 28 14. Minimizar f x, y x y 16, y use 10 Lagrange In 15 and multipliers todefind any EnExercises losRestricción: ejercicios 15 16, utilizar los multiplicadores Lagrany 16, 10 Restricción: In Exercises 15 xand use Lagrange multipliers2 to find any x 2 1sujetos y 22 a1. la extrema of the function subject to thedeconstraint ge para hallar todos los extremos la función x 1 y 1. extrema of the function subject to the constraint In Exercises 15 and 16, use Lagrange multipliers to find any 2 1 y 2 ≤ 1. restricción x15 In Exercises 2 Lagrange multipliers to 2 find 2 any f x, y of the x 22 and 3xy16, use ysubject 15. x 1 y 1. extrema function to the constraint 2 1 3xy yyd the y 22 15. x 2 1 y 2 1. extrema subject to16. the fconstraint x, of 5 xxfunction sx, yd 5 e2xyy4 15. ff sx, xy 4 3xy 1 y x, y e f 16. 15. f f x,x,yy ex 2xy 4 3xy y 2 16. flos x, y x 2 xy3xy y2 15. 4 y 18, utilizar los multiplicadores de LaEn 17 y 17 e and f x,ejercicios In16.Exercises 18, use Lagrange multipliers to find the xy 4 f x, yparae17 16. In Exercises andlos 18,extremos use Lagrange multiplierssujetos to finda the grange hallar de constraints. dos f indicados indicated extrema of f subject to two In each case, indicated extrema of f 18, subject to two constraints. In each case, restricciones. En cada caso, suponer que x, y y z son no negaIn Exercises 17 and use Lagrange multipliers to find the z are assume that x, and18, In Exercises 17y, usenonnegative. Lagrange multipliers In to each find the x, y,and assume thatextrema andofzfare nonnegative. indicated subject to two constraints. case, tivos. indicated extrema of to two constraints. In each case, f x, zf subject xyznonnegative. 17. Maximize x, y, y, assume that and are Maximizar sand x,y,y,zzzare dz 5 xyz xyz 17. Maximize assume that x, fy,fx, nonnegative. 32, x y z 0 17. Constraints: Maximize fxxx,1y,yyz1 zz xyz 5 32, x 2 y 1 z 5 0 Restricción: Constraints: 2 ff x, y, zz xyz 17. x, y, x y 22 2 xz 22 2 y z 0 18. Maximize Minimize xy,y,z zyd 5xz2x 2 132, Constraints: Minimizar sx, f fx, y y 1z z 18. Minimize x y z 32, x 2y12 z 0 Constraints: 2 y z 5 6, x 2 xx y1 z 12 18. Constraints: Minimize f xxx,1y,2z Restricción: 2z 6, y 25 Constraints: 2 2 x y z 18. Minimize f x, y, z x 2z 6, x y 12 Constraints: In Exercises 19–28, use Lagrange multipliers to find the miniEnExercises los ejercicios ause 28,Lagrange de the Lagrange x 19 2z 6,usar x losymultiplicadores 12 Constraints: In 19–28, multipliers to find minimum distance from the curve or surface to the indicated point. para encontrar la distancia mínima desde o superficie mum distance19–28, from the curve or surface to2la thecurva indicated point. In Exercises use Lagrange multipliers to find the f x, y x 2 1 toy 22find [Hints: In Exercise 19, minimize subject tominithe In Exercises 19–28, use Lagrange multipliers the minialmum punto [Sugerencia: 19, minimizar f En x, yel ejercicio xto 1they indicated [Hints: In indicado. Exercise 19, minimize subject topoint. the distance from the curve or surface x 1 y 1. constraint In Exercise 25, use the root feature of a 2 1from mum the curve or surface the indicated point. aExercise la restricción xto+the y2 =1root 1.y 2En el ejercicio f[Hints: xx, ydistance c 5InxxExercise 1 y 2 sujeta 1. constraint In 25, use feature ofthe a f x, y x 19, minimize subject to graphing utility.] 2 2 f x, y use x the 1 yde [Hints: InlaExercise minimize subject to the 25, usar operación una herramienta graficación.] graphing utility.] x 1 y 19,1.raíz constraint In de Exercise 25, root feature of a 1 y 1. In Exercise 25,Punto constraint use the root feature of a Curva xutility.] graphing Punto Curvautility.] graphing 0, 0 19. Recta: Curvaxx yy 11 Punto 0, 0 19. Recta: Curva Punto 2x 3y 1 0, 00 20. Recta: x y 1 0, 19. Recta: 1 0, 0 20. Recta: 2x 3y 0, 19. Recta: xx yy 14 0,0,020 21. 1 20.Recta: Recta:x2x y 3y4 0, 2 21. Recta: 2x 3y 3 1 0, 20. Recta: x x 4y 1,0,002 22. Recta: y 4 21. Recta: 1, 0 22. Recta: x 4y 3 0, 21. Recta: x yy x42 0,1,230 23. 22.Parábola: Recta: x y 4yx2 3 0, 3 23. Parábola: x y4y x2 32 1, 03, 0 22. Recta: 24. Parábola: 2 y x 0,3,30 23. Parábola: 24. Parábola: y x2 1 3 yy xx2 2 1 0, 23. Parábola: , 13, 0 25. Parábola: 1 2 24. Parábola: Parábola: yy xx2 1 25. 2, 1 y x x24 22 y 2 4 0 24. Parábola: 13, 0, 26. Círculo: ,10 1 25. Círculo: Parábola: xy 4x 2 1y 2 4 26. 10,2 10 2 y x 1 , 1 25. Parábola: Punto 2 0, 10 26. Superficie Círculo: x 4 2 y 2 4 Superficie Punto xy 4z 2 1y 2 4 0, 10 26. x 2, 1, 1 27. Círculo: Plano: Superficie Punto 2, 1, 1 27. Plano: x y z 1 2 2 Superficie Punto 4,2,0,1,01 28. 27.Cono: Plano:zz x yxx 2 z yy 2 1 4, 0, 0 28. Cono: 2, 1, 1 27. Plano: x y z2 1 2 y z x 4, 0, 0 on the curve of 28. Cono: In Exercises 29 and 30,2 find the highest point y find the highest x 2 30, 4, 0, point 0 28. Cono: z 29 and In Exercises on the curve of intersection of the29surfaces. En los ejercicios y 30, hallar el punto más alto de la curva de intersection theand surfaces. In Exercisesof29 30, find the highest point on the curve of intersección de las superficies. In Exercises 30, highest 2 x point 2z 4on the curve of z 22 find 0, the 29. Cone: x 22 29 Plane: intersection of yand the 2 surfaces. x x 2z 44 y z 0, 29. Cone: Plane: 2 2 2 intersection of the surfaces. 29. Sphere: Cono: xx 21 y y 22 z z 25 0,36,Plano: x1 2z 5 30. Plane: x 2x 2z yy 4 zz 22 29.Sphere: Cone: xx222 yy222 zz222 0, Plane: 36, 30. Plane: 2x 30. Cone: Esfera:x 2x 1y 2y 1z 2z 50, 36,Plane: Plano: x 2x2z1 y42 z 5 2 29. 2 zC2O N 36, 30. Sphere: x 2 yU Plane: 2x y z 2 W R I T I N G T C E P T S 2 A ByO 2 2 30.WSphere: R I T I N xG A B O U Tz C O36, N C E Plane: P T S 2x y z 2 31. meant optimization W RExplain I T I N G what A Bde O Uis C O N C by EbyP Tconstrained S Desarrollo conceptos 31. Explain what isT meant constrained optimization W R Iproblems. TING ABOUT CONCEPTS problems. 31. Explain what is meant by constrained optimization 31. Explicar qué se is quiere conconstrained problemas deoptimization optimización 32. Explain Explain the ofdecir Lagrange Multipliers for solving 31. whatMethod meant by problems. 32. con Explain the Method of Lagrange Multipliers for solving restricciones. constrained optimization problems. problems. constrained optimization problems. 32. Explain the Method of Lagrange Multipliers for solving 32. Explain Explicarthe el método deoflosLagrange multiplicadores de Lagrange para 32. Method Multipliers for solving constrained optimization problems. resolver problemas de optimización con restricciones. constrained optimization problems.

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1053714_1310.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 977 1053714_1310.qxp 10/27/08 10/27/08 12:10 12:10PM PM Page Page977 977 1053714_1310.qxp 1053714_1310.qxp 10/27/08 12:10 PM Page 977

SECCIÓN 13.10

13.10 Lagrange Multipliers Multiplicadores de Lagrange 977

977

13.10 Lagrange Multipliers 977 13.10 Lagrange Lagrange Multipliers 977 traveling in a Multipliers 49. 13.10 Refraction of Light When light 977 waves In Exercises 33 – 42, use Lagrange multipliers to solve the indi13.10 Lagrange Multipliers 977 En los ejercicios 33cated a 42,exercise usar losinmultiplicadores 49. Refracción de la luztransparent Cuando las ondasstrike de luzthe quesurface viajan en medium of un a second transparent Section 13.9. de Lagrange para resolver el ejercicio indicado en la sección 13.9. medio transparente atraviesan la superficie un segundo medio medium, they tend to de “bend” in order to follow the path of 33. Exercise 1 multipliers 34. the Exercise 49. Refraction Light When light waves traveling aa refraction and is In Exercises 33 use Lagrange solve the indi49.Refraction Refractionofof ofLight Light When light waves traveling InExercises Exercises 33 –42, 42, use Lagrange multipliers solve theindiindi-2 49. When light waves traveling inininade In ––42, use Lagrange transparente, tienden a “desviarse” para seguir la trayectoria minimum time. This tendency is called 33. Ejercicio 133 34. multipliers Ejercicio 2tototosolve transparent medium strike the surface of a second transparent cated exercise in Section 13.9. transparent medium strike the surface of a second transparent cated exercise in Section 13.9. 49. Refraction of Light When light waves traveling in a In Exercises 33 – 42, use Lagrange multipliers to solve the inditransparent medium strike theby surface a second cated exercise in Section 13.9. 5 tiempo mínimo. Estadescribed tendencia seSnell’s llamaofrefracción ytransparent está descri35. Exercise 36. Exercise 6 Law of Refraction, 35. Ejercicio 5 36. Ejercicio 6 medium, they tend “bend” ininorder order follow the path medium, they tendtoto to“bend” “bend” order follow thepath pathofof of transparent medium strike the surface oftototo afollow second transparent cated exercise in Section 13.9. 9 medium, they in ta por la ley detend refracción de Snell, según la cual the 37. Exercise 38. Exercise 10 33. Exercise 34. Exercise 33.Ejercicio Exercise 34.Ejercicio Exercise 37. 9111 38. 10 33. Exercise 34. Exercise 222 sin sininis 1tendency 2is minimum time. This tendency called refraction and isis minimumthey time. This iscalled called refraction andis medium, tend to tendency “bend” order to follow the and path of minimum time. This refraction sin sin u1 sen uSnell’s sen 33. Exercise 34. Exercise 2Snell’s vLaw v2 is called refraction and is 35. Exercise 36. Exercise 35.Ejercicio Exercise 36.Ejercicio Exercise 39. 11 40. 12 described by Law Refraction, described by ofRefraction, Refraction, 35. Exercise 5155 39. Exercise 11 36. Exercise 6266 40. Exercise 12 minimum time. This 1 tendency described Snell’s Law ofof 5 by v v 1 2 35. Exercise 5 36. Exercise 6 41. Exercise 17 42. Exercise 18 described by Snell’s Law of Refraction, 41. 17 42. 18 37. Exercise 38. Exercise 10 37.Ejercicio Exercise 38.Ejercicio Exercise 10 37. Exercise 999 38. Exercise 10 sin sin sin 111 sin sin 22 where 1 and 2 are the magnitudes of the angles shown in the sin donde las magnitudes de los ángulos mostrados en la u1 y u2 2son 37. Exercise 9 38. Exercise 10 39. Exercise 11 40. Exercise 12 39. Exercise 11 40. Exercise 12 figure, and v1 and v2 are the velocities of light in the two media. sin sin 39. Exercise 11 40. Exercise 12 v vv v v 1 1 1 43. Volumen máximo multiplicadores de Lagrange paramultipliers de43. Utilizar Maximum Volume Use Lagrange to find 1 the figura, y v1v2y22v22 son las velocidades de la luz en los dos medios. 39. Exercise 11 40. Exercise 12 Use Lagrange multipliers to derive this law using x y a. v1 can v2 41. Exercise 17 42. 18 41.terminar Exercise 17 42.rectangular Exercise 18 41. Exercise 17 42. Exercise 18 las dimensiones de la caja de volumen máxi- volume Utilizar dimensions of aExercise rectangular box of maximum that los multiplicadores de Lagrange para deducir esta ley where and are the magnitudes the angles shown the where and are the magnitudes ofthe theangles angles shown the where 11and the magnitudes ofof shown inininthe 1 2 22are P 41. mo Exercise 17 ser inscrita 42. Exercise 18 que puede (con los bordes paralelos a los ejescoordinate de be inscribed (with edges parallel to the axes) in theand usando xand 1vvvy1and 5 a. figure, and are the velocities of light in the two media. v figure, and are the velocities of light in the two media. v where and are the magnitudes of the angles shown in the figure, and are the velocities of light in the two media. v 2 1 1 1 2 2 2 43. Maximum Volume Use Lagrange multipliers the 43.coordenadas) MaximumVolume Volume UseLagrange Lagrange multipliers 2tofind 2findthe 43. Maximum Use to Medium 1 en el elipsoide x2 a2 multipliers y 2 b2 zto cfind 1.the ellipsoid Use Lagrange multipliers derive this UseLagrange Lagrange multipliers derivethis this lawusing using figure, and v1 and oflaw light in thexxtwo v2 aredthe Use multipliers tototovelocities derive yyymedia. a.a.a. P dimensions ofofaaarectangular rectangular box maximum volume that can dimensionsof rectangular boxofofofmaximum maximum volume thatcan can 43. dimensions Maximum Volume Use Lagrange multipliers to that find the 1 θ1 law using x box volume Use Lagrange multipliers to derive this law using x y a. P P Medio 1 P be inscribed (with parallel totothe the coordinate axes) the beinscribed inscribedof (with edges thecoordinate coordinate axes) the dimensions aC rectangular of maximum volume that can be (with edges axes) inininthe y Aedges P S Tparallel Oparallel Nbox E to x d1 Para discusión θ1 22 a 22 22 b 22 22 c 22 P 2 2 2 2 2 2 Medium 1 Medium 1 y z 1. x ellipsoid a y b z c 1. x ellipsoid Medium 1 be inscribed (with edges parallel to the coordinate axes) in the h b sum zof cthe length 1. and the girth (perimeter of a cross ellipsoid x a 44.y The d2 Medium 2 1 dd1d11 θ2 y Medium a2 longitudes y2 b2 y el tamaño z2 c2 (perímetro 1. x2 las x θθ1θ11 44. ellipsoid La suma de una section) of a package carrieddeby a secdelivery service cannot d1 h a l Q θ PP OO Ttransversal) yyy CCC AAA Pción SSS TTO NNN EEE de exceed un paquete llevado por un servicio de d2 Medio 2xxx 1 108 inches. θ2 h h h y C44. Aentrega PThe S Tsum Osum N aE domicilio no puede exceder 108 pulgadas. The the length and the girth (perimeter cross 44. The sum thelength length andthe thegirth girth (perimeter cross l dd49 Medium 44. ofofofthe and (perimeter ofofofaaacross Medium for Figure for 50 a Figure dQ 22x2 2 22 θθ2θ22 (a) Determine whether Lagrange multipliers can be usedMedium to h section) of a package carried by a delivery service cannot section) of a package carried by a delivery service cannot 44. a) The sum the length and the girth (perimeter of a cross section) of a package carried by a delivery service cannot d Medium 2 a Determinar si los multiplicadores de Lagrange a l l Q Q a l 2 Q θ find the dimensions of se thepueden rectangular package of Figura para 4950. Area para 50 is on top of a rectangle (see 2 and PerimeterFigura A semicircle exceed 108 exceed 108 inches. section) of inches. ainches. packagelas carried by a delivery service cannot exceed 108 usar para encontrar dimensiones a l Q largest volumedel thatpaquete may berectangusent. Explain your50. reasoning. figure). If the area is fixed and the perimeter Área y perímetro Un semicírculo está sobre un Figure for 49 Figure for 50 Figure for 49 Figure for50 50 (ver is a minimum, or Figure for 49 Figurerectángulo for exceed inches. larDetermine de108 más grande volumen que puedecan serbe enviado. (a) Determine whether Lagrange multipliers can be used (a) Determine whetherLagrange Lagrangemultipliers multipliers can be usedtototo (a) whether used if the perimeter is fixed and the50area (b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimenla figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, o si is el a maximum, use Figure for 49 Figure for el dimensions razonamiento. find the dimensions the rectangular package ofof findthe the dimensions themultipliers rectangular package (a)Explicar Determine whether Lagrange can be usedofto find ofofofthe rectangular package 50. Area and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see 50.Area Area and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see 50. and Perimeter A semicircle is on top of a rectangle (see Lagrange multipliers to verify that the length sions. Compare your answer with that obtained in perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores of the rectangle is largest volume that may be sent. Explain your reasoning. largest volume thatmay may besent. sent. Explain your reasoning. find the dimensions of the rectangular package of volume be Explain your reasoning. figure). the area is fixed and the perimeter isisaarectángulo minimum, figure). thepara areais isfixed fixed and theperimeter perimeter aminimum, minimum, or b) Silargest se pueden usarthat los multiplicadores de Lagrange, 50. figure). Area and Perimeter A semicircle is on topdel rectangle (see IfIfIfthe area and the isof twice its height. Exercise 38, Section 13.9. enconde Lagrange verificar que la longitud esoror el largest volume that may be sent. Explain your reasoning. if the perimeter is fixed and the area is a maximum, use if the perimeter fixed and the area is a maximum, use trar las dimensiones. Comparar su respuesta con la obtenifigure). If the area is the perimeter is a minimum, or (b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimen(b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimenif the perimeter is fixed and the area is a maximum, use (b) If Lagrange multipliers can be used, find the dimendoble de su altura. Lagrange multipliers totoverify verify that the length the rectangle Lagrange multipliers verify that the length ofthe the rectangle is the maximum dasions. en el ejercicio 38,your sección 13.9. if the perimeter is to fixed and the area is of aof maximum, use sions. Compare your answer with that obtained sions. Compare your answer withthat that obtained Production Level In Exercises 51 and 52, Lagrange multipliers that the length rectangle isisfind (b) If Lagrange multipliers can bewith used, findobtained the dimenCompare answer ininin twice its height. twiceits itsheight. height. Lagrange multipliers to verify that length the of rectangle is $72 per unit) and Exercise 38, Section 13.9. Exercise 38,Section Section 13.9. production level if the totalofcost labor (at P the twice sions. Compare your answer with that obtained in Exercise 38, 13.9. de producción En los ejercicios 51 y 52, hallar el máximo 45. Minimum Cost A cargo container (in the shape ofNivel a rectangular twice its height.capital (at $60 per unit) is limited to $250,000, where x is the Exercise 38, Section 13.9. nivel de will producción si el costo total de trabajo (a $72 por 45. Costo mínimo Un solid) contenedor carga (en forma de un sólido must de have a volume of 480 cubic feet. TheProduction bottom Production Level In Exercises 51 and 52, find the maximum Production Level number InP Exercises 51of and 52,and find the maximum Level In Exercises 51 and 52, find maximum of units labor is the number of units of capital. ythe unidad) capital (a $60 por unidad) está restringido a $250 000, rectangular) debe tener volumen 480topies cúbicos. cost un $5 per squaredefoot construct andLa the sidesproduction and the ytop production level if the total cost of labor (at $72 per unit) and P production level if the total cost of labor (at $72 per unit) and P Production Level In Exercises 51 and 52, find the maximum level P if the total cost of labor (at $72 per unit) and 45. Minimum Cost cargo container (in the shape ofofaarectangular 45.parte Minimum Cost cargo container (inthe theshape shape arectangular rectangular 45. Minimum Cost AAAwill cargo container (in of 0.25 donde x(at es el número de unidades de trabajo y where es el número dex, y inferior costará $5 por pie para construir, y los cost $3cuadrado per square foot to construct. Use Lagrange 52. P 100x 0.4y 0.6 P total x, 100x y 0.75(aty$72 capital (at $60 per unit) isisylimited limited $250,000, where isisand the xxis capital (at$60 $60 per unit) limited to $250,000, where the production level ifunit) the cost oftoto labor per unit) P 51. capital per is $250,000, the x solid) must have volume 480 cubic feet. The will solid) have volume 480 cubic feet. The bottom will 45. lados Minimum Cost cargo container (in the shape of bottom abottom rectangular solid) have aaAavolume ofofof480 cubic feet. The will unidades de capital. ymust lamust parte superior costarán $3find por pie cuadrado para consmultipliers to the dimensions of the container of this size number units labor and the number units number ofunits units oflabor laborand the number ofunits unitsofof ofcapital. capital. yisisthe capital (at $60 per unit) isand limited to $250,000, where is the xcapital. number ofof ofof number ofof yyis cost $5 per square foot totoconstruct construct and the sides and the top cost$5 $5 persquare square footto construct and thesides sides and thetop top solid) must have volume of 480 de cubic feet. The bottom will cost per foot and the and the Cost In Exercises 53 and 54, find the0.6 minimum cost of trucción. Usar los amultiplicadores Lagrange para encontrar that has minimum cost. number of units of labor and is the number of units of capital. y 0.25 0.75 0.4 0.25 0.75 0.4 0.25 0.75 0.4 0.6 51. 52. 100x P 100x will cost $3 per square foot construct. Use Lagrange will cost $3 persquare square footde construct. Use Lagrange 0.25 0.4 cost $5 per$3 square foot to foot construct and the sides and the top will cost per tototoconstruct. Use Lagrange 51. 52. PPsx,x, x, 100x PPsx,x, x,x,yyyyd 5 100x 100x 51.PP 52.Pof yd 5 100x 100x 100x y y0.6 producing 50,000 units ax,yyyproduct, where x is the number las dimensiones del contenedor tamaño que tiene costo 51. 52. yyy0.75 yyy0.6 46. Geometric and este Arithmetic Means 0.25 0.75 0.4 0.6 multipliers to find the dimensions of the container of this size multipliers findthe thedimensions dimensions thecontainer container thissize size will cost to $3tofind per square foot toofof construct. Useofof Lagrange multipliers the this 51. P x, y 52.per P x, y and 100x 100xof units y y number of units of of labor (at $72 unit) y is the mínimo. (a) Use Lagrange multipliers to of prove three Cost In Exercises 53 and 54, find the minimum cost CostofIn In Exercises 5353 and 54, find theminimum minimum costproof that has minimum cost. thathas hasminimum minimum cost. multipliers to findcost. the dimensions of the container thisthat sizethe product Costo EnExercises los ejercicios y 54, hallar elthe costo mínimo para Cost 53 and 54, find cost ofof that capital (at $60 per unit). 46. Medias geométrica y aritmética positive numbers x, y, and z, whose sum hasproducing the constant producing 50,000 units of a product, where is the number x producing 50,000 units of a product, where is the number x Cost In Exercises 53 and 54, find the minimum cost of that has minimum cost. ducir 50 000 unidades de un producto donde x es el número de 50,000 units of a product, where is the number x 46. Geometric and Arithmetic Means 46.Geometric Geometricand andArithmetic ArithmeticMeans Means 46. 0.75 a) Utilizar los multiplicadores parawhen demostrar que numbers value S,deisLagrange a maximum the three are equal. 53. 54.uniPper x, yunit) 100x yis Pofx, y 100x 0.6y 0.4 of units labor (at $72 per and the number units ofunits units of labor (at $72 per unit) and0.25 number ofunits units yis producing 50,000 units of aunit) product, where is the number x número unidades de trabajo (a $72 por unidad) ythe ythe es el de of ofof labor (at $72 and number ofof ofof yyis 46. (a) Geometric and Arithmetic Means (a) Use Lagrange multipliers prove that the product three (a) Use Lagrange multipliers toprove provethat that product three 3 xyz Lagrange multipliers toto ofofofthree elUse producto de tres números positivos x, ythe ythe zproduct cuya suma tiene Use this result to prove that x y capital z 3. capital (at $60 per unit). capital (at $60 per unit). of units ofcapital labor (at $72 por per unidad). unit) and y is the number of units of dades de (aunit). $60 (at $60 per positive numbers and whose sum has the constant positive numbers and whose sum hasthe theconstant constant z,whose (a)un Use Lagrange multipliers toz,z,prove that thehas product of three positive numbers and sum x,x,x, y,y,y, Investigation Consider the objective function g , , valor constante S, es máximo cuando los tres números (at $60 per55. unit). (b) Generalize the result of part (a) to son prove thatcapital the product 0.25 0.75 0.6 0.4 0.25 0.75 0.6 0.4 0.25 y 0.75 0.6 0.25 0.6 value isisaaamaximum maximum when the three numbers are equal. valueS,S, maximum when three numbers are equal. S,isnumbers 53. 54. PPx,x,yy 100x 100x PPsx,x, x,x, 100x positive and whose sum has constant y, when z,the 53.PP 54.PP 100x ycos 100x y0.4 value three numbers are equal. 53. 54. 5 100x 100x yy0.75 yyyydthe yyy0.4 subject to constraint that , , and are cos cos 54. iguales. Utilizar estex,resultado quethe . the is a maximum when x1 53. x1 x2 x3 . 3.para x 2 sx,x,xyy3d 5 100x xn demostrar 33 xyz 0.25 0.75 0.6 0.4 Use this result to prove that x y z 3. Usethis this provethat that xyz xyz x xnumbers value isresult a maximum when the S, result 53. P x, y 54. P x, y 100x ythe angles of a triangle. 100x y Use totoprove y y z zare 3.3.equal. n three x1y1 z . . . thatx 3, xyzx 55. Investigation Consider the objective function 55.that Investigation Consider Considerthe thelaobjective objective functionggg , , , , , , 3Use toresult prove xS, and ythat zthe 3. 55. Investigación Considerar funciónfunction objetivo all xi product 0. Then prove 55. Investigation (b) Generalize the part (a) prove that the product xyzthis ≤ result . ofofofpart (b)! Generalize theresult result part (a)tototo prove product n(a) i prove (b) Generalize the that the (a) Use Lagrange multipliers to maximize g. 3 i 1 subject to the constraint that cos ,and cos cos subject to the constraint that , , ,g,de cos cos ,and cos 55. Investigation Consider the objective function ,and , are . . . . . . sujeta a la restricción o ligadura que aare ,are b subject to the constraint that cos cos cos isis aaa of maximum when x1x1x1x2x2x2x3x3.3 xnxnn is x1x11 the maximum when xthat (b) xGeneralize result part (a) towhen prove maximum xx2x22product xx3x33 xthe CAS (b)deUse the constraint tothat reduce the function g to a function of . . . x the the angles of a triangle. the angles of a triangle. b) Generalizar el que el nnresultado del inciso a) paraxdemostrar subject to the constraint , and are cos cos , cos y g sean los ángulos un triángulo. angles of a triangle. . . . x x n when 1 x1 2 x 2 3 x 3 x. .1.x.2. x. 3 xn is an xmaximum n .x . . 0. x x . x . . . . and all Then prove that x , x S, x two independent variables. Use a computer algebra system and all Then prove that x , x S, 0. 1 2 3 n and all Then prove that x , x S, x 0. producto xn1nnx2nx3 i i i xn es máximo the angles of triangle. i i i cuando x1 5 x 2 5 x (a) Use Lagrange multipliers maximize n3 5 (a)Utilizar UseLagrange Lagrange multiplierstototo maximize a) losa multiplicadores de Lagrangeg.g.g. para maximizar g. (a) Use multipliers maximize . . . x ,i ini11x1 to graph the surface represented by g. Identify the S, and all xi 0. Then prove that n i . . . 5 x , i x1 5 S, y todo x ≥ 0. Después, (a) Use Lagrange multipliers tothe maximize g.gggtototoalaaafunction CAS CAS(b) (b) Use the constraint the function function (b)Utilizar Usethe thela constraint toreduce reduce the function functionof of que . . . . demostrar CAS b) restricción oreduce ligadura para reducir función gof a Use constraint toto function n i . . . geometric maximum values on the graph. greater than xx1x11 shows xx2x2i2 that xx3x33 the xxnxnn mean is never . . . . .x.xx This nnnxxxxxxxxx.i51 . . two independent variables. Use a computer algebra system two independent variables. Use a computer algebra system CAS (b) una . Use the constraint to reduce the function g to a function of función de dos variables independientes. Utilizar un sistwo independent variables. Use a computer algebra system . . . 111222333 nnn the arithmetic mean. n . . . 1 xxn n . . . xx11 xx2 21 xx3n3n1 n . totograph graph the surface represented by Identify the graph the by Identify the independent variables. system n xx1xx 2xx 3. . . xxn ≤ 1 tema algebraico por para representar totwo the Identify the P Usurface Tsurface N Acomputadora Mrepresented Erepresented XUse A Ma computer C Hby A L g. Lg.Eg.algebra N G E gráfica! . 1 2 3 47. Minimum n SurfacennArea Use Lagrange multipliers to findmaximum the values on the graph. maximum values on the graph. to graph the surface represented by g. Identify the This shows that the geometric mean is never greater than This shows that the geometric mean is never greater than mente la superficie definida por g. Identificar en la gráfica los maximum values on the graph. This shows that the geometric mean is never greater than 56. A can buoy is to be made of three pieces, namely, a cylinder dimensions of a right circular cylinder with volume V0 cubic maximum values on the graph. the arithmetic mean. thearithmetic arithmetic mean. valores máximos. This shows that the la geometric mean is never greater than the mean. Esto demuestra que media geométrica and two equal cones, the altitude of each cone being equal units and minimum surfacenunca area. es mayor TNN EXX HAALLLLEENN PPP UUU TTN AAA MMMEEX AAA MMMCCC HH GGG EEE of the cylinder. For a given area of the la arithmetic mean. que media aritmética. 47. Minimum Surface Area Use Lagrange multipliers find the 47.Minimum Minimum Surface Area Use UseLagrange Lagrangemultipliers multiplierstototofind findthe the toA LtheE Naltitude 47. Surface Area 2 2 48. Temperature Distribution Let T x, y, z 100 P56. x y U T N A M E X A M C H A L L E N G E pieces, can buoy be made three pieces, namely, aacylinder cylinder 56.AAAcan canbuoy buoyisisistototobe bemade made three pieces, namely, cylinder 56. ofofofthree namely, dimensions right circular cylinder with volume cubic dimensions right circular cylinderwith withvolume volume cubic 47. Superficie Minimum Surface Area Use Lagrange multipliers to find the surface, what shape will haveathe greatest volume? dimensions ofofofaaaright circular cylinder cubic VV0V 47. mínima Utilizar multiplicadores de Lagrange para 00 Preparación del examen Putman represent the temperature at each point on the sphere and two equal cones, the altitude ofofeach each cone being equal and two equal cones, the altitude eachnamely, conebeing being equal 56. A can buoy is to be made of three pieces, a cylinder and two equal cones, the altitude of cone equal units and minimum surface area. unitsand andminimum minimum surface area. dimensions of a right circular cylinder with volume cubic V units surface area. encontrar las dimensiones de un cilindro circular recto con vo0 This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. temperature on the x 2 y 2 z 2 50. Find the maximum 56. Una boya está hecha de tres piezas, a saber, un cilindro y dos to the altitude of the cylinder. For a given area of to the altitude of the cylinder. For a given area of and two equal cones, the altitude of each cone being equal to the altitude© of cylinder. For aof given of 22 units and surface area. The the Mathematical Association America.area All rights reserved. de Vminimum cúbicas yLet superficie 48. Temperature Distribution x,x,y,y,y, zz 100 100 y2y22 48.lumen Temperature Distribution Let 100 of 48. Temperature Distribution Let TTTx, zmínima. xx2xthe ysphere 0 unidades curve formed by the intersection and theconos plane iguales, la altura de cada uno de los conos es igual a surface, what shape will have the greatest volume? surface, what shape will have the greatest volume? to the altitude of the cylinder. For a given area of surface, what shape will have the greatest volume? 2sphere 2 represent the temperature at each point on the sphere represent the temperature at each point on the 48. Distribución Temperature Distribution Let T x, y, z 100 x y 48. de temperatura Sea represent the temperature x z 0.at each point on the sphere la altura del cilindro. Para superficie dada, ¿con qué surface, what shape will haveuna the greatest volume? 2 2sphere This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. Find the maximum temperature on the z2z22 en 50. x2x2temperatura Find theatmaximum maximum temperature on the 50. temperature eachla point on theyon la cada punto sobre esfera x2 1 1the z2 Find the temperature yy2y22 zthe 50. xrepresent forma se tendrá el volumen máximo? ©© The Mathematical Association ofof America. All rights reserved. The Mathematical Association America. All rights reserved. © The Mathematical Association of America. All rights reserved. 2 2 2 This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. by the intersection the sphere and the plane curve formed by50. theintersection intersection of the sphere andthe the plane Find the maximum temperature on the yformed z laby xcurve 5 50. Hallar temperatura máxima en lasphere curva formada por la curve formed the ofof the and plane © The Mathematical Association ofCommittee America. All reserved. Este problema fue preparado por el onrights the Putnam Prize Competition. xx zzzformed the intersection sphere intersección la esfera y el plano of x 2the z5 0. and the plane xcurve 0.0.0.de by © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. x z 0.

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xy w x2 y2 z2 g x, y x2 y2 c c. 978 Chapter 13 13 Functions of Several Variables y CAPÍTULO Funciones de varias variables f x, y, z z arctan f x, y, z x 2 y z 2, c 2 x 4z 2, c of0 Several Variables 4x 2 13y 2 Functions 978f x, y, z Chapter 1 f x, y, z 2 978 Chapter 13 Functions of Several Variables See www.CalcChat.com for worked-out solutions 1 x y 2 z 2 exercises. to odd-numbered f x, y x2 y2. n 2t sen nx u x, t ce u x, t c sen akx cos kt f. See www.CalcChat.com for worked-outxysolutions to odd-numbered exercises. In Exercises 1 and 2, sketch the graph of the level surface 19. g x, 20. exercises. w x 2 y 2 z z f2 x, y See www.CalcChat.com foryworked-out to odd-numbered x 2 solutions y 2f value f x, y, z c at the given fy f g x, of y c. f x, y 2. x xy y In los Exercises 1 2and 2,trazar sketch the graph of superficie the level de surface 22 22 22 En ejercicios 1 y 2, la gráfica de la nivel 2 19. 20. w x g x, y y z 21. f x, y, z z arctan x 1. f x, y, z y z , c 2 x22 xy y22 x given value of c.graph of the level surface f x,Exercises c at In 1elthe and 2,2dado sketch the 2 f(x, y,y,z)z = c en valor de c. ln y x 21 y 2 zx-2 z 20. xw 19. g x, y 2 2, 2. y 4z f x, y, z 4x c 0 x 2 y 2 y1 value f x, y, z c at the 22 fgiven 22g, x,cyof c. y2, 0, 0 f x, y 2 . 21. f x, y, z z arctan 22. f x, y, z f x, y, z x 2 1. y z 1. f x, y, z x 2 y z 2, c 2 1 x 2yx y 2 z 2 2 function 21. f x, y, z z arctan 22 y y 22 zthe x2 y2. 3. Conjecture ff x, y, zz x4x2Consider 1. ,4z222c, c2 f0 x, y x, y, 2t 2. 2 2 n x1 2. f x, y, z 4x y 4z , c 0 23. 24. u x, t sen nx c sen akx cos kt 22. uf x,x,ty, z ce z f 1, y by f. 221 22 22 2. (a) y 2of the 4z 2surface , c given f x,Sketch y, z the 4x 2graph 0 1 x y z 2 2 z f Consider x, 1 . 22. f x, y, z x, =y x2 +xy2 2. y2. 3. Conjetura Conjecture the function función f(x,frelationship y) 3. 22tt 2 25. x, y kt (b) Make aConsiderar conjecturela about the between the 1 senSketch xnx y 2a graph z 224. of 23. Think u x, t About ce nnIt u x,a t function c sen zakxf cos 2 2 xderivative f is f x, y x 3. Conjecture Consider the function y . (a) graphs Sketch the graph of gthex,surface given by2.f. Explain your 22t f is always 2 3 whose derivative negative and whose of and f y f x, y n 3x xyx nx2y y kt a) Trazar la gráfica de la superficie dada por f. 23. fux,x,yt 24. hux,x,yt sen ce cos xc seny zakx 2 z 5f f x, sx,yyd 25. always Para pensar Dibujar unaa gráfica función (a) Sketch graph of surface given by f. negative. fb) x,Conjeturar yreasoning. y2.the 25. Think About It Sketch graph de of una a function (b) Make 1atheconjecture about relationship lax relación entre the las gráficas de f between y g(x, y)the = cuyas derivadas yiscos sean falways x, y the x sen yItofffxxxthe x a siempre x, cos 2negativas. y surface whose derivative negative and fyyyis graphs f andelabout grazonamiento. x, y the x, y 25. hFind Think About Sketch graph function z 2yx-f x, (b)f(x, Make conjecture about thef relationship relationship betweenyour the 26. slopes inx the and lnayywhose 1 derivative z xgof (c) Make conjecture between the f.2. Explain y) +aa2.of Explicar always negative. reasoning. 2 whose derivative is always negative and whose derivative is f f graphs of and Explain your f g x, y f x, y 2. directions at the point . y2, 0, 0 graphs of and Explain your f g x, y f x, y 2 . 26. Hallar las pendientes de la superficie z 5 x lns y 1 1d eny las x c) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) = 22 always negative. reasoning. reasoning. 26. Find the slopes of the surface in the and ln y 1 z x x(c)f(x, Make a conjecture about the relationship between the direcciones s 2, 0, 0 d x y y en el punto . y – 2). Explicar elgrazonamiento. f x, y f x 2, y . In Exercises 27– find all second derivatives and 2 at30, the y-directions 2, 0, 0z. xpartial graphs of and your f in g (a), x, ysketch y graphs 2 . Explain 26. Find the slopes of point the surface ln y 1 in the x- and (c)Sobre Make conjecture thef x, relationship the (d) On thelaasurface part the ofbetween zgráficas f 1, yde d) superficie enabout el inciso a), trazar las verify that the second mixed partials are equal. 2 reasoning. z los z at27the point y-directions 2, 0,todas 0 . las segundas derivadas pargraphs and1).g x, y f .f(x, f x, y 2 . Explain your z y)fof En a 30, hallar zand = f(1, yx,z 1= + ejercicios 0.27– In 30, find all second partial derivatives and 2 Exercises 2 x y reasoning. ciales y verificar que las segundas derivadas parciales (d) On the surface in part (a), sketch the graphs of z f 1, y x mixtas son 4. Conjetura ConjectureConsiderar Consider function f gfunción x, y 4 f x, y . lathe 2 verify second mixed 27. 28. are f x,that y the 3x27– h partial x,equal. y xy find 2y 3allpartials In Exercises 30, second derivatives and iguales. andthe z surface f x, 12 .in part x y (d) On (a), sketch the graphs of z f 1, y f x, y 1 x 2 y22. verify that the second mixed partials are equal. x, yand z 1f Consider . function x, x1 . y the x 4. fConjecture 29. 30. x3xsen 22 y z f 0, y 27. hf x,x,yy 28. gh x,x,yy cos x 2y xy y cos 2yx33 (a) Sketch the graph of the surface given by f. x x y 22 superficie 4. a) Conjecture Consider x, 0x22. de ylathe 2 3 f x,Trazar y z la f1gráfica . function dada por f. 27. f x, y Equation 28. h x, 3x y that the function xy 2y (b) Make a conjecture about the relationship between the Laplace’s In Exercises 31–34, show x 29. 30. h x, y x sen y y cos x g x, y cos xy 2y 2 2 b) relación las gráficas de f y g(x, y) = f(x + 2, y). f(a)x,Conjeturar y 1ofla graph yentre . x,surface Sketch the graphs fx andof gthe y f given x 2,by y .f. Explain your satisfies Laplace’s equation CAS Explicar el razonamiento. 29. h x, y 30. g x, y x sen y y cos x cos x 2y (a) Sketch graph of the surface by f. (b) reasoning. Make atheconjecture about the given relationship between the Laplace’s Equation In Exercises 31–34, show that the function 2z 2z c) Conjeturar la relación entre las gráficas de f y g(x, y) = 4 – Ecuación de Laplace los ejercicios a 34, mostrar que la graphsa2a of f and about gabout x, y the xrelationship 2, y . Explain (b) Make Make conjecture thef relationship betweenyour the satisfies equation (c) conjecture between the + Laplace’s 0. Laplace’s InEn Exercises 31–34,31 show that the function 2Equation x y2 y).eExplicar el razonamiento. x2 ysatisface f x,f(x, ygraphs función la ecuación de Laplace reasoning. of ff and and gg x,x,yy f4f x,x yf x, Explain your your 2,yyln..xyExplain graphs of satisfies Laplace’s equation 22z 22z d) Sobre la superficie en el inciso a), trazar lasx gráficas de z = 2 reasoning. reasoning. about the relationship between the 2 a conjecture 2 31.2 22z + x2222 y0. 32. z x3 3xy 2 f (c) x,f(0, yMake x y f x, y y) y z = f(x, 0). xz yz yofbetween graphs of and your f in x, ysketch x, yx . Explain (c) On Make conjecture the4 relationship the (d) the asurface partgabout (a), thef graphs z f 0, y + 0. y x2 y2 y 33. 34. reasoning. graphs 4 f x, y . Explain your and z fofx, 0f . and g x, y 31. zz xx222 yy222 32. zz ex33sen x3xy 22 En los ejercicios 5 a 8, utilizar un sistema algebraico por compuCAS (d)y reasoning. On the surface in part (a), sketch thedegraphs of z def nivel 0, y 31. z x 2 y y 2 32. z x3yy 3xy 2 tadora representar gráficamente algunas las curvas CAS In Exercises 5– 8, use a computer algebra system to graph 33.Exercises 34.differential. z e sen x z In and 36, find the total and z f x, 0 . 22 35 22 (d) On the surface in part (a), sketch the graphs of z f 0, y x y y de la función. 2 several level curves the function. x 2 yof 1 x 33. 34. z ey sen x z f x, yand ze f x, 0 . g x, y y x2 y2 2 1y 2 xy x5– CAS In CAS Exercises 8, use a computer algebra system to graph 2 2 5. 6. f s x, y d 5 e f s x, y d 5 ln xy In Exercises 35. 36. differential. z x sen 35 xy and 36, find the total z 5. f x, y 6. f x, y ex y ln xy x2 y2 several level curves of the CAS In Exercises 5– 8, use a function. computer algebra system to graph In 35 and the la total differential. x EnExercises los ejercicios 35 y36, 36,find hallar diferencial total. 2 xy d 5 xcurves y2222of the function. x, yyd 5 x 7. 8. 22 several 22 7.5. fffsx, 8.6. fffsx, x,x,yylevel 35. 36. z x sen xy z x 1 y y xe xx yyy x, y ln xy 2 measured 37. Error Analysis The legs of a right triangle xare to be 2xy x y y 22 22 y 22 35. 5z centimeters 36. zwith a possible x sen xy and 12 centimeters, 5. f x, y 6. f x, y e x22xy ln xy xy error of x 2 2 2 2 x y límy límy 1 8. x,f yalgebra f yejercicios x, y10, x, 2 use 2 2 tocompuCAS En los 9 yy10, utilizar un sistema In7.Exercises a computer system graph x, → 1, 1 9 →algebraico 1, 1 xx xx2and centimeter. maximum possible errorto in 37. 2Error AnalysisApproximate The legs ofthe a right triangle are measured be x yy por 2 2 7. 8. f x, y x y f x, y 2 tadora y representar gráficamente la función. the function. y 2 computing the length of the hypotenuse. Approximate the 5 centimeters and 12 centimeters, with a possible error of y xe 37. Error Analysis The legs of a right triangle aretriángulo measuredrectánto be Análisis de errores Al medir los lados de un x x yy 11 lím lím CAS In Exercises 912and 10, use a computer algebra system CAS maximum percent error. error 2 to graph centimeter. Approximate the maximum possible in 22 1y 222d 2 5 centimeters and 12 centimeters, with a error of x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 x 4 11 s x x gulo se obtienen los valores de 5 y 12 centímetros, con un posix y 1 possible x y 2 x, yyd 5 ee 9. ff sx, 10. gsx, yd 5 y | | 1computing the 1 theExercises function. 9 and 10, use a computer algebra system to graph length ofAproximar the hypotenuse. Approximate the CAS In centimeter. Approximate the maximum possible error in ble error de centímetro. el error máximo posible al 38. Error Analysis To determine the height of a tower, the angle 2 2 maximum percent error. theExercises function.11–14, computing the length of the hypotenuse. Approximate the calcular la longitud de la hipotenusa. Aproximar el error porof elevation to the top of the tower is measured from a point 100 x22 yfind y22 1continuity x In the limit and discuss the of x 1 x 10. g yx,analizar f x, y e 11 a 14, hallar el límite y y la continuidad En9.los ejercicios 1 maximum percent error. centual máximo. foot from To the base. The the angle is measured at 33 with ± 2Analysis thelafunction (if itx 2exists). 38. feet Error determine height of a tower, the, angle 2 y 22 de (si 9. f función 10. g x, y x, y ex existe). yxy1 x a possible error ofdetermine Assuming that the ground isel 1the . determinar cos y f x, y f x, y e of elevation to theTo top of tower isheight measured from a the point 100 In Exercises 11–14, find the limit and discussx theycontinuity of 38. Error Analysis the of a tower, angle Análisis de errores Para la altura de una torre, xy xy 11 xy xy horizontal, approximate the maximum error in determining the the function (if it exists). feet foot from the base. The angle is measured at with ± 33 , 11. lím y 11–14, 12. lím 2 the of elevation to the topa of the tower is measured from pointdesde 100 11. 12. lím lím ángulo la parte superior de la torre se amidió 22de elevación In Exercises find the limit andx, ydiscuss continuity of → → zx,x, yy → e 1,1, 11 xx2e2 x yy22 zx, y → ln1,1,x11 xx22 y 2 yy22 1 1 the tower. 1 1 . Assuming that the ground is height of aun possible error ofbase. feet foot from the The angle is measured at with ± 33 , punto a 100 pies pie de la base. La medida del ángulo da ± the function (if it exists). 2 2 22y xyxe yy22 y xxxy error in the determining the ahorizontal, possible errorcircular of Assuming that ground is 1the .demaximum 33°, con un posible error 1°. Suponer que elthe suelo es and hori11. lím 12. lím 39. Volume Aapproximate right cone is measured, and radius lím yy 22 xe lím 2 2 2 lím 13. 14. lím 13. 14. 2 2 2 x, y → → 1, 1, 1 x, y → → 1, 1, 1 heightare of the tower. x,x,yyy→ → 0, 0, 001 x1 x,x,yyy→ → 0, 0, 001 x44 xy y x, x, 1 xy xyx22 yy22 horizontal, approximate theerror maximum error inrespectively. determining the zontal, para aproximar máximo al determinar la altura height found to be 2 el inches and 5 inches, The 11. 12. lím lím xx 1 x, y → 1, 1 xy2 x, y → 1, 1 x 2 x22 yy 2 y 2 yy22 xe height oferror the tower. de la torre. possible in circular measurement ismeasured, inch. Approximate the 39. Volume A right cone is and the radius and 8 13.Exercises 14. ylím lím In find x, yy → → 0, 0, 0015–24, → 0, 0, 00 x 44x 2 y y22 x22y 22 all first partialx,x, yderivatives. x, → error in thecircular computation of the volume. y 115xe height are possible to be inches 5 recto. inches, respectively. The 39. maximum Volume Afound right circular cone isand measured, and the radius and Volumen Se mide un2cono Su radio y su altura En a 24, hallar todas las primeras derivadas par13.los ejercicios 14. lím lím 2 4 possible error in measurement is 51818the inch. Approximate the x, y → 0, 0 x, y → 0, 0 x xy 1 x y2 height are found to be 2 inches and inches, respectively. The son 2 y 5 pulgadas, respectivamente. El posible error de 40. Lateral Surface Area Approximate error in the computaciales. x In Exercises partial 15. cos y find all first 16. f x, derivatives. y f x, y e15–24, 1 1– maximum possible error in the computation of the volume. possible in measurement is inch. Approximate the medición es de pulgada. Aproximar el error máximo posible en tion of theerror lateral surface area of the cone in Exercise 39. The x xy y 8 8 In Exercises find all first partial 2 of the 2 15. e x cos 16. f x,derivatives. y 2 xy2 f x, y y 15–24, maximum possible in by theAcomputation volume. el cálculo del volumen. surface area iserror given rthererror hin . the x y 40. lateral Lateral Surface Area Approximate computa17. 18. yx x yy 1 eexx cos y 15. zf x,ey 16. zf x,ln tion of the lateral surface area of the cone in Exercise 39. The x y 40. Lateral Surface Area Approximate the error in the computaSuperficie lateral Aproximar el error en el cálculo de la superxy x 17. 18. zf x, yln x 2 y 2 1 15. zf x, ye yyy e xecos 16. y 22 22 lateral surface area is given by A r r h . tion the lateral surface area of the Exerciselateral 39. The ficieof lateral del cono del ejercicio 39.cone (La in superficie está 17. z e 18. z ln x 22 x y 2y2 1 e xx 2 2 2 given 2 .by A !is lateral surface area r r h . dada por A 5 p r r 1 h d y x 2 2 17. z e 18. z ln x e y 1 f x, y, z

E V I E W E Xde E Rrepaso CISES 13 REjercicios 13

13 R E V I E W E X E R C I S E S 13 R E V I E W E X E R C I S E S

||

1053714_130R.qxp 10/27/08 10/27/08 12:11 12:11PM PM Page Page979 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM 979 1053714_130R.qxp 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page Page 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979 Larson-13-11-R.qxd 3/12/09 19:28 Page979 979 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page

Review Exercises

In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before differentiating.

979

In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of theExercises surfaces at the given 979 Review 979 Review Exercises Ejercicios de repaso 979 979 Review Exercises 979 Review Exercises 979 Review Exercises 979 Review Exercises point. 979 Review Exercises 979 Review Exercises

Superficies Punto dw 41. w ln x 2 y , In Exercises 61 and 62, find symmetric equations ofthe thetangent tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using 2 In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using dt En los ejercicios 41 44, las derivadas indicadas a) utiEn los ejercicios yy find 62, las2,ecuaciones simétricas de la In Exercises and 62, find symmetric equations of In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using In symmetric equations of In 41– 44, the derivatives (a) 61. z 61 961 y61 2, 5 ,62, x hallar In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using InExercises Exercises 61and and 62, find symmetric equations ofthe thetangent tangent InExercises Exercises 41– 44,afind findhallar theindicated indicated derivatives (a)using using In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before lizando la regla de la cadena apropiada y b) por sustitución antes recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before 2 2of x 2t, y 4 t line to the curve of intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before line to the curve intersection of the surfaces at the given the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before 62. z x 2, 1, 3 y , z 3 line to to the the curve curve of of intersection intersection of of the the surfaces surfaces at at the the given given the appropriate appropriate Chain Chain Rule Rule and and (b) (b) using using substitution substitution before before line the point. differentiating. point. differentiating. de derivar. punto dado. point. differentiating. point. differentiating. point. differentiating. point. differentiating. du point. differentiating. point. differentiating. 42. u y2 x, 63. Find the angle of inclination Punto of the tangent plane to the dw Superficies Superficies Punto dw dt Superficies Punto dw Superficies Punto Superficies Punto dw Superficies Punto dw 41.ww lnxxxx2x22222 yyyyy,,,,, dw 2 2 2 41. ln ww ln Superficies Punto dw 41. ln 41. Superficies Punto dw surface at the point 2, 1, 3 . x y z 14 41. w ln 2 2 41. w ln x y , dt 2 2 dt 41. ww xlnlnxxcos t,yy, ,y dt 61.zzzzz 99999 yyyy2y22,,2,,, yyyyy xxxxx 2,2, 2,55555 dt 61. 2, 2, 41. dtdtsen t 61. 2, 2, 61. 2, 61. 2, 2, 2 61. z 9 y 2, 2,5following , y x 2 dtdt 61. 64. 55 61. zz Approximation 99222 yy2,22, yy xx Consider2,2,the 2,2, approximations for a 2t, yxy y 4444w tttt w y 2t, 62. z x y , z 3 2, 1,33333 2t, y 2 2 62. z x 2, 1, y , z 3 xxxxxx 2t, 2 2 62. z x 2, 1, y , z 3 2 2 2t, y 4 t 62. z x 2, 1, y , z 3 2t, y 4 t 62. z x 2, 1, y , z 3 2 2 2t, yy , 44 , t t 62. zzz function x2 yyy2, ,,f zx,zz y 3centered 2,0, 1,0333. 3 at2,2, 43. xx w2t, 62. x 1, 3 62. x 1, dur du z du t du du 42.uuuu yyy2y22222 x,x, x, du 42. x, du 42. 42. 63.Find FindLinear theangle angle ofinclination inclination of ofthe thetangent tangentplane planeto tothe the du 63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the 2 42. u y x, 42. u y x, dt approximation: 63. the of tangent plane the 2 dt 63. of 42. u y x, 63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the dt t,dtdt y rt, z 2r t 63. Find Findthe the angle of inclination of the the tangent plane to the Hallar el22angle ángulo deinclination inclinación del plano tangente a lato superu of 63. 42. u xy 2rx, dt 63. Find the angle of of the tangent plane to the 2 22 of 2inclination 63. Find the angle inclination of the tangent plane to the 2 2 2 surface at the point x 2, 1, 3 . y z 14 2 2 2 dtdt surface at the point x 2, 1, 3 . y z 14 2 2 2 surface at the point xx1 2, 1, 14 2 2yy 2 0, 2 14 2xx, 2zzz0 surface at the point 2, 1, 33.33... . surface atat the point 2, 1, y1 2 cos t, y sen t f 0, 0 x f 0, 0 y P surface at the point x 2, 1, y z 14 ficie en el punto x y 5 s 2, 1, 3 d cos t, sen t y 2y 2f2 z 22 1414 1 x y surface the point x 2, 1, 3 . y z 14 cos t, y sen t u u xxxxxx cos t, y sen t surface at the point x 2, 1, 3 . y z 14 cos t,t, y sen cost, senztt2tt, cos sen 64.Approximation Approximation Consider Considerthe thefollowing followingapproximations approximationsfor foraaaaa 44. xt,2 yyy y 2 sen , xx ucos 64. Approximation Consider the following approximations for 64. Consider following approximations for 64. 64. Approximation Consider the following approximations for xy ww w ww w 64. Approximation Approximation Considerthe the following approximations foraaaa 64. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes xy w w r t 64. Approximation Consider the following approximations for xy xy 64. Approximation Consider the approximations for Quadratic xy w w function centered at 0, fx,x, x,yyyyyapproximation: 0,00000following . xy w w w , , 43. function centered at f x, 0, . 43. w , , xy w w function centered at f 0, . w , , 43. function centered at f . w , , 43. xy w w function centered at f x, 0, . ww , , 43. function centered at f x, y 0, 0 . una función centrada en f s x, y d s 0, 0 d . w , , 43. z r t z r t function centered at f x, y 0, 0 . , , 43. function at 0,00 x. f 0, 0 y rrrr, t, ttt ty r sen t, z t 43. w xzzzzz, r cos P2 x,fy x, y fcentered 0, 0 f 0, y z rr t t Linear approximation: x Linear approximation: Linear approximation: 2r t,t,t, t, yyyyy rt, rt, zzzzz 2r 2r ttttt Linear approximation: 2r rt, 2r Linear approximation: Linear approximation: 2r rt, 2r 1 1 xxxxxx 2r Aproximación lineal 2r t, rt, 2r 2 2 Linearapproximation: approximation: 2r t, y rt, z 2r t Linear f 0, 0 x f 0, 0 xy x 2r t, y rt, z 2r t In implicitly to find the first x Exercises 2r t, 45 y and rt, 46,z differentiate 2r t x,yyyyy fffff0, 0,020000xx fffffxx0, 0,00000xxxxx xyfffffyy0, 0,00000yyyyy 2 fyy 0, 0 y P11x,x, x, 0, 0, 0, P 0, 0, 0, P u u P u u x, 0, 0, 0, P 1 x y 1P xfxffxxs0, yfyffyys0, x, y f 0, 0 0, 0 x 0, 0 y P P x, y d 5 f s 0, 0 d 1 0 d x 1 0 d y u u 111sx, 22 derivatives 22 22, ofuu x, y f 0, 0 0, 0 x 0, 0 y u u 2 2 2 u u 44. y z u x , partial z. 2 2 2 y f 0, 0 f 0, 0 x f 0, 0 y P 44. uuuu xxxx 222 yyyy 222 zzzz 2,,22,, , 11 [Note that the linear xx yy 44. 44. 44. 44. uuu xxx2 yyy2 zzz2, ,, rrurr,u,,, ,, ttutut 44. Quadratic approximation:approximation is the tangent plane to the 44. Quadratic approximation: rrr t tt Quadratic approximation: Quadratic approximation: Quadratic approximation: Quadratic approximation: Aproximación cuadrática r t 2 2 2 2 surface at 0, 0, f 0, 0 . Quadraticapproximation: approximation: 45. x cos 46. xz yz t,t,t, zzzz t0tt y sen z 0 Quadratic cost,xy sen cos t, yyy rrsen sen P22x,x, x,yyyyy fffff0, 0,00000 fffffxx0, 0,00000xxxxx fffffyy0, 0,00000yyyyy xxxxxx rrrrrcos t,t,t, zzz t t t x, 0, 0, 0, cos t,t,t, sen cost,t, t, yyyyyy rrrrsen sen PPP PP x,x, 0, 0, 0, cos rrsen sen yyyd Find 5 fff s0, 0, 000d linear 1 xxfxffxxs0, 0, 000dxxx 1 yyfyffyys0, 0, P22222sx, x, 0, 0,approximation 0,0000dyyyyof1f x, y xx rrrcos t,t, zz t t (a) the cos x sen y x, 0, 0, 0, P2P y f 0 f 0 x f x 0, y 0, 1 0, 1 1 2 x y 2 2 1 1111ff 0, 111111ff 0, 2 0, 0 x f 0, 0 xy 0,00000yyyy2y222222 In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function 2 0 x f 0, 0 xy 2 2 In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first 2 xx xy yy0, InExercises Exercises 45and and 46, differentiate implicitlyto to findencontrar thefirst first 0, 0 x f 0, 0 xy 0, 20 2f1fxx 2f21fyy xx xy yy 0, 0 x f 0, 0 xy centered at 0, . f 0, 0 x f 0, 0 xy f 0, In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first En los ejercicios 45 y 46, derivar implícitamente para f s 0, 0 d x 1 f s 0, 0 d xy 1 f s 0, 0 d y 1 1 2 2 2 2 xx xy yy In 45 46, differentiate implicitly find the 2 2 xy f 0, 0 x f 0, 0 xy f 0, 0 y In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first 2 2 222 xx xy yy InExercises Exercises 45 and46, 46,differentiate differentiate implicitlyto tofind findthe thefirst first fxx 0,00xx fxy 0,00xy xy 22222fyy fyy 0,00yy xx0, xy0, yy0, fxy In Exercises 45 and 46, differentiate implicitly to find the first xx xy yy In 45 and implicitly at Pderivatives in the direction of v. 22fxx partial derivatives ofz.z. partial derivatives of z. partial of las primeras derivadas partial derivatives of partial derivatives of z.z. (b) Find quadratic approximation f x, y plane costo xthe [Note that thethe linear approximation isthe theof tangent plane to thesen y partial derivatives ofz. z.parciales de z. [Note that the linear approximation is the tangent plane to the partial derivatives of z. [Note that the linear approximation is the tangent [Note that the linear approximation is tangent partial derivatives of [Note that the linear approximation is the tangent plane to the [Observar que la aproximación linealis es plano plane tangente athe [Notethat thatthe thelinear linear approximation isthe theeltangent tangent planeto tothe thela [Note that the linear approximation the tangent plane to 2y, [Note approximation is plane to the 2 2 2 2 centered at 0, 0 . 2 2 2 2 surface at 0, 0, f 0, 0 . 47. f x, y x 5, 5 , v 3i 4j surface at 0, 0, f 0, 0 . 45.xxx2x222 xy 46.xz xy yyy2y222 yz yz zzz2z222 0000 senzzzz 0000 xz2222 yyyysen 45. 46. xy yz sen xz surface at 0, 0, 0, surface at 0, 0, fff f0, 0f00s00,... 0. dd.g surface atat 0,0, 0, 0,0, 45. 46. xy yz sen xz superficie en s0, 0, 45. 46. surface at 0, 0, 0, 2 2 2 2 45. 46. x xy y yz z 0 y sen z 0 xz 45. 46. x xy y yz z 0 y sen z 0 xz surface f 0 . 2 2 2 2 surface at 0, 0, f 0, 0 . 45. xx xy 46. xz xy y yz z 0 y sen z 0 xz 45. (c) the quadratic approximation, you obtain y linear 0 in approximation (a)Find FindIfthe the linear approximation offffffx,x, cos senyyyyythe 48. f x, y y 14 y 2yz x 2z, 1,0 4 , v46. 2i j y sen z 0 (a) Find the linear approximation x, cos sen (a) linear of yyyyy coscos cos sen (a) xxxxxxsen (a) Find the linear approximation of x,x, cos sen a) Hallar la aproximación lineal de of cen-yy fof sx,f ffydx, xcos 1 sinsen ysen (a) Find Find the the linearapproximation approximation of x,y5 cos sen (a) Find the linear approximation of x, y x In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function (a) Find the linear approximation of y cos x sen y In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function second-degree Taylor polynomial for what function? centered at 0, 0 . In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function 2 centered at 0,d.0000.... In Exercises 47–50, find the directional derivative ofof the function InExercises Exercises 47–50, find the directional derivative ofthe thede function centered at 0, centered at 0, 49.ejercicios w 47–50, y47–50, 1, 2,directional 2 ,la derivada v 2iderivative j 2kof En los 47xz, afind 50, hallar direccional la funcentered at 0, In Exercises find the directional derivative the function trada en s 0, 0 centered at 0, 0 . In the function centered at 0, 0 . at in the direction of v. P atPPP inthe thedirection directionof ofv.v. v. Pin centered at 0, 0 . at in the direction of at at in the direction of v. atPP inthe the direction ofv.v. v.de3yv.2z, 1, 0, 1 , v i j k P50. (d) the table. (b)Find FindComplete thequadratic quadratic approximationof offffffx,x, cosxxxxx sen senyyyyy 2 Pthe la ción en (b) Find the quadratic approximation of x, cos sen at in direction of (b) the approximation cos at in of (b) yyyyyyyd 5 cos wendirection 5xdirección 2xy (b) Find the quadratic approximation of x,sx, cos sen b) Hallar la quadratic aproximación cuadráticaof de cosxxx 1sen sin yy (b) Find Findthe the quadraticapproximation approximation off fffx, x,x, cos sen (b) Find the quadratic approximation x, cos sen 2y, (b) Find the quadratic approximation ofof yy cos x sen y centered at 0, 0 . 22 centered at 0, 0 . 47. f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 2 47. y, f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 2 centered at 0, 0 . centered at 0, 0 . 47. y, f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 47. y,22y,y, f x, y x 5, 5 , v 3i 4j centered at 0, 0 . centrada en s 0, 0 d . f x, y x 5, 5 , 3i 4j centered at 0, 0 . 47. v 47. f x, y x 5, 5 , v 3i 4j 2 centered at 0, 0 . 47. In y, y x 5, 5 , v 3i 4j centered at 0, 0 . 47. y, f f x,x, y x 5, 5 , v 3i 4j 1 1 y quadratic find P1 x, y P2you x, y obtain f x, y approximation, 22 (c)IfIf inthe the quadratic approximation, you obtainthe the (c) If in the approximation, you obtain the yy x00in 48.fffffx,x, 1,44444,,the 2i jjjjjof the function and the 48. x,x,Exercises yy 1111y2y222222 51–54, 1, ,, vvvvgradient 2i (c) in quadratic the (c) quadratic you obtain 48. 1, 2i 48. 2i xxx2x222,,22,,,, 1, (c) IfIf in the quadratic approximation, you obtain the c) aproximación cuadrática, ¿para qué función se 48. x, 1, 2i (c) Si Ifyyyyyyy5 0000000en inlathe the quadraticapproximation, approximation, you obtain the 48. maximum x,yyyyyy 44144y4144yyyvalue 1,directional 2i (c) If in the quadratic approximation, you obtain the 48. 1, 44,, ,, vvvv 2i 2i jj yy2 xxxxof , the1, derivative at the given point. (c) If in the quadratic approximation, you obtain the 48. f ff x,x, 4 j , second-degree Taylor polynomial for what function? second-degree Taylor polynomial for what function? 2 4 2 second-degree Taylor polynomial for what function? second-degree Taylor polynomial for what function? 22 49. w y 1, 2, 2 , v 2i j 2k xz, 2 second-degree Taylor polynomial for what function? 49. w y 1, 2, 2 , v 2i j 2k xz, obtiene el polinomio de Taylor de segundo grado? 0 0 second-degree Taylor polynomial for what function? 49. w y 1, 2, 2 , v 2i j 2k xz, 49. second-degreeTaylor Taylorpolynomial polynomialfor forwhat whatfunction? function? 49. ww 2i2i 2k xz, 1,1, 2,2, second-degree 49.ww w yyyyy222 xz, 1,2,2, 2,22222, ,, ,, vvvvv 2i2i 2i jjjjj 2k 2k xz, 1,1, 49. 2k xz, 49. 2k xz, (d)Complete Completethe thetable. table. (d) Complete the table. (d) Complete the table. (d) 50.ww 5x222222x 2 y, 1,0, 0,11111,,,,, vvvvv 52. i z jjjjj e kkk 2xy2, 13y 3y2222z,2z, z, 1, (d) Complete the table. 50. ww z5x 5x 1, 0, i k 2xy 3y z, d) Completar la tabla. xkcos y, (d) Complete the table. 50. 5x 1, 0, i 2xy 3y 2 50. i 2xy (d) Complete the table. 51. 0, 50. w 5x 1, 0, i 2xy 3y z, (d) Complete table. 50. ww w 5x 5x22 2xy 1,0,0, 0,111, ,, vvv i ii jjj kk k 2xy 3y 3y22z,z, z, 1,1, 0 the0.1 50. 5x 2xy 3y 50. 4 x y In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x,yyyyy PPP x,yyyyy x,yyyyy PPP x y In Exercises Exercises 51–54, 51–54, find the the gradient gradient of of the the function function and the the PP111x, x, PP222x, x, x, In 51–54, find the the and fff x, xxxx 0.2yyyy 0.1 In y find x 2 and In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x, x, x, InExercises Exercises 51–54, find thegradient gradientof of54. thezfunction function and2,the the P111x, x,yyy P2P P222x, x,yyy x,yyy P1P x y fffffx,x, In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x, x, x, x y In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the x, x, 53. , 1, 1 z , 1 En los ejercicios 51 a 54, hallar el gradiente de la función y el maximum value of the directional derivative at the given point. 1 2 maximum value of the directional derivative at the given point. 2the maximum value of directional derivative at the given point. maximum maximum value of the directional derivative at the given point. x 2 of ythe xgiven y point. maximumvalue value of thedirectional directionalderivative derivativeat atthe the given point. 0 0 maximum value of the directional derivative at the given point. 0 0 maximum value of the directional derivative at the given point. 0000 0.50000 0.3 valor máximo de la derivada direccional en el punto dado. 00 00 22y, xx cos 2 x 51. 52. z e z x y, 2, 1 cos y, 0, 2 x 51. 52. z e z x 2, 1 y, 0, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, 2 x 0 0.1 0 0.1 51. 52. zzz xxxx2y,y, 2, 111 y, 0, 2y, xcos 51. 52. zzzz eeee xcos z 2, 1 y, 0, 0 0.1 2 x 0 0.1 51. 52. 2, cos y, 0, 51. 52. y, 2, cos y, 0, 0 1 0.1 0.1 0.5 51. (b) 52. cos 51. 52. zz find xx y,y,a unit 2,2,11normal vector to the zz curve ee cos y,y,y 0,0,4444c444 at P, 0.1 000 0.1 level f x, 4 2 22 y x 0.2 0.1 2 y x 0.2 0.1 2 2y 0.2 0.1 fxxxx, c 11at P, and yyythe 0.2 0.2 0.1 y tangent 0.2 0.1 0.1 53.zz(c) 54.curve , 1, 1,11111 line to the level 2, 53. 54. 1, zzz find 2, zz 0.2 0.1 53. 54. 2, 53. 54. xxx22 ,,,,,,, 2, 0.2 0.1 22 yy 2,2,,, , 1, 53. 54. 1, 2, 53. (d) 54.zzzzzznormal 1, 2,111111and the 53. 54. 1, 11 curve, the unit 2, SAC (e) Use a computer algebra system to graph the surfaces level xxx2xx22222 yyyy2yy222the 2, , 1, xxxxxx yyyyyvector, 53. 54. zzz xsketch 1 2, , 2 y 0.5 0.3 0.3 0.5 0.3 xx line yy in the xy-plane. xx yy 0.5 0.5 0.5 0.3 0.5 0.3 z 0.3 f0.3 x, y , z P1 x, y , and z P2 x, y . How does the tangent 0.5 0.3 0.5 In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, accuracy of the approximations change as the distance from In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, En los ejercicios 55 y 56, a) encontrar el gradiente de la función 1 0.5 In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, 1 0.5 InExercises Exercises 55normal and 56,vector (a)2find find the gradient offthe the atP, P, y 0.5 1111 0.5 256, In and (a) gradient of at 0.5 0.5 (b) findaafaaaunit unit normal vector tothe the levelcurve curve at x,function y 4ycccccsen P, 55. 56. x, y55 9x yfunction xen 4y (b) find unit to the level curve at fffx, x, P, 1 0, 00.5 0.5 (b) find unit normal vector to the level curve at fx, x, yyyf(x, P, (b) find normal vector to the level at f y P, 1 increases? (b) find unit normal vector to the level curve at x, P, en P, b) encontrar un vector normal a la curva de nivel y) = c (b) find a unit normal vector to the level curve at f x, y c P, (b)find findthe aunit unit normal vector tolevel thelevel level curve at cat P, (b) find athe normal vector to the curve cP, P, (c) find tangent line tothe the level curve atP, and x,yyyyfyf x,x,cycccycat (c) tangent line to the curve at and x, P, (c) find the tangent line to level curve and x, (c) the line to ffffffx, (c) find the tangent line to the level curve at and x, P, P, c) encontrar la recta tangente a curve la curva de nivelccat f(x, y)and =c (c)find find thetangent tangent line tothe thelevel level curve atP, and x, P, (c) find the tangent line to the level curve at and f x, x, yyvector, P, (c) find the tangent line to the level curve at and f y c P, c 65, P 3, 2 c 3, P , 1 SAC (e) (e)Use Useaaaaacomputer computer algebra system tograph graph thepara surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal and the SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the CAS SAC In 65–68, examine the function for the relative extrema e) Utilizar un sistemaalgebra algebraico por computadora repreUse algebra system to the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the SAC system to (d) sketch the curve, the normal vector, and SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the 2 the en y d) trazar la curva de nivel, el vector unitario normal ythe la SAC(e) (e)Exercises Use aaa computer computer algebra system to graph graph thesurfaces surfaces (d)P, sketch thelevel level curve, theunit unit normal vector, and the SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and SAC (e) Use computer algebra system to graph the surfaces (d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the and How does the z f x, y , z P x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xyand How does the z f x, y , z P x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xy1 2 and saddle points. Use a computer algebra system to graph gráficamente las superficies and How does the z 5 f s x, y d , z 5 P s x, ythe d,ythe zzz fff fx,x, x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xy1x, 2x, and How does the zsentar yyyy,,, ,zzzz PPP1P y , y . z P tangent line in the plane. xyand How does the x, x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xy1 1 2 recta tangente en el plano xy. 2 and How does x, x, y , x, y . z P tangent line in the plane. xyand zzchange How does the z f f x,x,yof yof, ,the z approximations x,yy, , and x, ythe tangentline linein inthe thexyplane. xy-plane. does the zaccuracy zthe PP1111your x,varía x,as ylas . . How PP2222de tangent accuracy approximations change as the distance from as distance from function and confirm results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and ¿Cómo la exactitud aproximaciones accuracy of the approximations change the distance from z 5 P s x, y d . accuracy of the approximations change as the distance from 2 2 accuracy of approximations change as distance from 2 accuracy ofthe theapproximations approximationschange changeas asthe thedistance distancefrom from 55.fffffx,x, 56.fffffx,x, 9x 4ysen senxxxxx yyyyy 4y 2222 4y 222 accuracy of the approximations change as the distance from 55. 56. x,x,yyyyy 9x 9x x,x,yyyyy 4y 4y sen 4y of 55. 56. 4y sen 4y 55. 56. increases? 0, 55. 56. x, 9x x, 4y sen increases? 0, 2 4y 55. parametric 56. line x,yyy 9x 9x22equations x,yto 4ysurface senxxx at 4y2222 of the normal aaccuracy medida quethe aumenta la distancia para (0,the 0)? increases? 0, 0, 000000increases? 55. 56. 9x yy the 4y sen 4y increases? 0, 55. 56. f ff x,x, 9x f ff x,x, 4y sen yyy the 4y increases? 0, 2 2 increases? 0, 0 65. f0,x,0y increases? 2x 6xy 9y 8x 14 given65, point. 65, 3,22222 3,PPPP ,,,1,111 PP3, 3, 3, 65, 3, 3, cccccc 65, PPP cccccc 3, CAS In InExercises Exercises 65–68, examine functionfor forrelative relativeextrema extrema CAS 2 examine 2thefunction 65, 3, In Exercises 65–68, examine the function for relative extrema 3, P , 1 65, P 3, 2 3, P , 1 2 CAS In Exercises 65–68, examine the function for extrema 2 CAS 65–68, the 66. 3xy y 5x f x, y x c 65, P 3, 2 c 3, P , 1 CAS In Exercises 65–68, examine the function for relative extrema CAS En In Exercises Exercises 65–68, examine the function function forrelative relative extrema c 65, P 3, 2 c 3, P 22222, 1 los ejercicios 65Use aexamine 68, localizar los extremos relativos de CAS In Exercises 65–68, the function for relative extrema CAS In 65–68, examine the for relative extrema and saddle points. a computer algebra system to graph thela Surface Point 2 and saddle points. Use a computer algebra system to graph the and saddle points. Use computer algebra system to graph the and points. Use a1aaacomputer algebra system to and saddle points. Use computer algebra system to graph the andsaddle saddle points.un Use computer algebra system tograph graphthe the 1 algebraico función. Utilizar sistema por computadora y reand saddle points. Use a computer algebra system to graph the and saddle points. Use a computer algebra system to graph the function and confirm yourresults. results. InExercises Exercises 57–60, find anequation equation ofthe thetangent tangent plane and function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and 67. fand x, yconfirm xy your function and confirm your In 57–60, find an of plane and En los 57 60, hallar una ecuación del plano tangente function In of and 57.ejercicios f x, y57–60, x 2 yafind 2, 1, 4plane function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and function and confirm your results.y confirmar los resultados. InExercises Exercises 57–60, findan anequation equation ofthe thetangent tangent plane and presentar gráficamente la results. función x y function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and function and confirm your results. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and parametric equations ofthe the normal lineto tothe thesurface surface atthe the equations of the normal line to the surface at the parametric equations of normal line to at yparametric las58. ecuaciones paramétricas de la recta asurface parametric line at 2 normal parametric equations of the normal line to the surface at the parametric equations ofthe the normal linenormal tothe the atthe the f x,equations yequations 25of ythe 2, surface 3, 4la superficie 65.ff68. 2x22x2222 6xy 9y2222223 8x 8x 14150 65. ff x, x,x,yyzyyy 50 2x 6xy 9y 8x 14 parametric of the normal line to the surface at the parametric equations of normal line to the surface at the 65. 2x 9y 14 y6xy 0.1x 20x 14 65. given point. 65. 2x 6xy 9y 8x 14 given point. 65. ff ffx,x, x,yyy 2x 2x22 6xy 6xy 9y 9y22 8x 8x 14 given point. en el punto dado. given point. 65. x, 2x 6xy 9y 8x 14 given point. 65. x, 2x 6xy 9y 8x 14 given point. 2 2 2 2 2 2 given point. given 59.point. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 66.ffffx,x, 3xy 5x 125 x,yyyy xxx2x2220.05y 3 66. 3xy yy2y2222 5x 5x x, 66. 3xy y20.6y 5x 66. 3xy y 2 66. 3xy 5x f x, y x 66. 3xy y 5x f x, y x 2 2 66. f f x,x,yy xx 3xy 3xy yy 5x 5x Surface Point Surface Point 66. Surface Point Surface Point Superficie Punto Surface Point 60. z 9 x2 y 2 Surface Point1, 2, 2 Surface Point 111111 111111 Surface Point 2y 67. f x, y xy 2 67. f x, y xy 1 1 2 57. f x, y x 2, 1, 4 67. xy 57. f x, x, y x2 y 2, 1, 67. 67. x,x,yyyyy xy xy 57. 2, 1, 57. 2, 67.ffff ffx,x, xy xx1xx yy1yy 57. x,x, 2,2,1, 1,1,444444 67. xy 57.ffff ffx, x,yyyyyyd 5xxxxxx22yy22yyyy 67. x,x, y xy 57. x y 57. 2,2, 1,1, 57. sx,x, s2, 1, 444d 22 xxx yyy 333 2 58. f y 25 y 2, 3, 2 58. f x, y 25 y 2, 3, 4 2 58. ff fx,x, yyy 25 yyy222 2, 3, 444 58. f y 25 y 2, 3, 4 68. z 50 x y 0.1x 20x 150 150 3 68. z 50 x y 0.1x 20x 150 58. x, 25 2, 3, 58. x, 25 2, 3, 68. z 50 x y 0.1x 20x 68. 58. f fsx,x,yyd 5 !25 252 yy 68. 50 0.1x 20x 150 68.zzzzz 50 50xxxxx yyyyy 0.1x 0.1x3333 20x 20x 150 150 58. 2,2,3, 3,3,444d s2, 58. 2 2 68. 50 0.1x 20x 150 68. 50 0.1x 20x 150 59. z 9 4x 6y 2, 3, 4 2x22 2y22 59. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 33 2 2 59. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 2 2 59. z 9 4x 6y x y 2, 3, 4 3 0.05y 20.6y 125 3 0.05y 20.6y 125 59. zzz 999 4x 6y xxx222 yyy222 2,2, 3,3, 444 59. 4x 6y 2, 3, 33 0.05y 20.6y 125 3 0.05y 20.6y 125 59. 4x 6y 0.05y 20.6y 125 0.05y3 20.6y 20.6y 125 125 59. zz 5 299 1 4x 4x 2 6y 6y 2 xx 2 yy 2, 23, 3, 4 s2, 59. 0.05y 20.6y 125 0.05y 60.zzzzz 1,2, 2,22222 4d 60. 99 x2x222 yy2222 1, 2, 60. 1, 2, 60. 1, 60. 1, 2, 60. zzzz5 !99999992 xxxxxxx222222 yyyyyyy22222 1,2, 2,2222d 60. 60. 1,1, 2,2, s1, 60.

Larson-13-11-R.qxd 3/12/09 19:28 Page 980 1053714_130R.qxp 10/27/08 12:11 PM Page 979

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CAPÍTULO 13

Funciones de varias variables

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Review Exercises Redacción En los ejercicios 69 y 70, redactar un párrafo breve sobre la superficie cuyas curvas de nivel (los valores de c espaciaIn Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using dos uniformemente) se muestran. Hacer un comentario acerca de the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before los posibles extremos, puntos silla, la magnitud del gradiente, differentiating. etcétera. dw y 69. 70. 41. w ln x 2y y , dt x 42. u x 43. w

2t, y2

y

4

x,

du dt

Superficies Punto7.1 Rendimiento, y 1.2 9 y 2, y x 2, 2, 5 2 2 5 2, 1, 36 62. z x Minutos, y , z t3

x

sen t

xy , z

w t

13.1

7

8

y 15.5 16.0 63. Find the Rendimiento, angle of inclination of the 17.9 tangent 18.0 plane to the 2 2 2 surface x y z 14 at the point 2, 1, 3 . a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de 64. Approximation Consider following approximations for a graficación para hallar the la recta de regresión de mínimos function centered at f x, y 0, 0 . cuadrados para los datos. Después utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. Linear approximation: b) Utilizar una f 0, 0herramienta fx 0, 0 xde graficación fy 0, 0 y para trazar los punP1 x, y tos sln t, yd. ¿Parecen seguir estos puntos un modelo lineal con másapproximation: exactitud que los datos dados en el inciso a)? Quadratic c) el P2 Utilizar x, y f programa 0, 0 fx de 0, regresión 0 x fy de 0, 0una y herramienta de graficación para hallar la recta de regresión cuadrados 1 1 de mínimos 2 fxx 0, 0 x f 0, 0 xy f 0, 0 y 2 para los2 puntos sln t, yxyd y obtener 2 elyy modelo logarítmico y 5that a 1the b lnlinear t. approximation is the tangent plane to the [Note surface at una 0, 0,herramienta f 0, 0 . d) Utilizar de graficación para representar los modelos lineal y logarítmico. (a) datos Find ytheloslinear approximation of f x, y ¿Qué cosmodelo x senesy mejor? Explicar. centered at 0, 0 .

x

x 2r t, y rt, z 2r t 71. Ganancia o beneficio umáximo Una corporación fabrica, en u 2 44. dos z 2, digitales. u lugares, x 2 ycámaras , Las funciones de costo para pror t ducir x1 unidades en el lugar 1 y x2 unidades en el lugar 2 son x r cos t, y r sen t, z t C1 5 0.05x12 1 15x1 1 55400 400 In C Exercises 452 1 and 46,1differentiate implicitly to find the first 6 100 5 0.03x 15x 6100 2 2 2 partial derivatives of z. y la función del ingreso total es 45. x2 xy y2 yz z2 0 46. xz 2 y sen z 0 R 5 f225 2 0.4sx1 1 x 2dgsx1 1 x 2d. In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function niveles of de v.producción en los dos lugares que maxiat PHallar in thelos direction mizan el beneficio Psx1, x2d 5 R 2 C1 2 C2. 47. Costo f x, y mínimo x 2y, Un5,fabricante 5 , v 3i 72. recibe4juna orden para 1 000

(b) ejercicios Find the quadratic of f x, y cosLagrange x sen y En los 77 y 78,approximation utilizar multiplicadores de centered at 0, 0 . todos los extremos de la función. para localizar y clasificar (c)5Ifxyy 1 yz in xz the quadratic approximation, you obtain the 01 77. w second-degree Taylor polynomial for what function? Restricción: x 1 y 1 z 5 1 (d) Complete the table. 78. z 5 x 2 y

1 2 48. unidades f x, y de 4 , vque 2ipueden j producirse en dos x 2, de 1, madera 4 ybancos 2 lugares. Sean y los números de unidades producidos en x x 49. w y v 2i j 2k xz, 1 1, 2, 2 2 , cada uno2de los dos lugares. La función del costo es 2 50. w 5x 2xy 3y z, 1, 0, 1 , v i j k C 5 0.25x12 1 10x1 1 0.15x22 1 12x 2. In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the Hallar lavalue cantidad quedirectional debe producirse en cada lugar parapoint. satismaximum of the derivative at the given facer la orden y minimizar el costo.

Restricción: x y1 2yf5x,2y x P1 x, y P2 x, y 79. Costo mínimo Se va a construir un conducto para agua que va 0 0 del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde los costos construcción difieren (ver la figura). El costo por 0 de0.1 kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S. 0.2 0.1 sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange Para simplificar, para localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice. 0.5 0.3

2 y, 51. Nivel 52.producción z e x cos z xde 2, 1 0, 73. producción La función de dey,un fabri4 cante de dulces es 2 y x 53. f zsx, yd 25 4x 21 54. z , 1, 1 , 2, 1 x y xy 1 2y x y

donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P, unidades de capital. Suponer que la cantidad total disponible (b) find a unit normal vector to the level curve f x, y c at P, para trabajo y capital es $2 000, y que las unidades de trabajo y (c) find the tangent line to the level curve f x, y c at P, and capital cuestan $20 y $4, respectivamente. Hallar el nivel de pro(d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the ducción máximo de este fabricante. tangent line in the xy-plane. 74. Hallar la distancia mínima del punto (2, 2, 0) a la superficie 2. 2 55. z f5x,xy2 1 y9x 56. f x, y 4y sen x y 4y2 75. Modelo matemático La tabla muestra la fuerza de fricción y en c 65, P 3, 2 c 3, P , 1 2 kilogramos de un vehículo de motor a las velocidades x, en kilómetros por hora, indicadas. In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and Velocidad, x 25 50 100 at125 parametric equations of the normal line to75the surface the given point. Fuerza de fricción, y 24 34 50 71 98 Surface Point a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de 2y 57. f x, y x 2, 1, 4 de regresión graficación para hallar un modelo cuadrático 2 por mínimos cuadrados para los datos. 58. f x, y 25 y 2, 3, 4 modelo total3,de4fricción cuan59.b)z Utilizar 9 el4x 6y parax 2estimar y 2 la fuerza2, do el vehículo está en movimiento a 80 kilómetros por hora. 2 2 60. z 9 x 1, 2, 2 y

9.9

61. z

t

cos t, y w , r

76. Modelo matemático Los datos en la tabla muestran el rendimiento y (en miligramos) en una reacción química después de In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent t minutos. line to the curve of intersection of the surfaces at the given point. Minutos, t 1 2 3 4

1 2 km SAC

CAS

0.5P Q

(e) Use a computer algebra system to graph the surfaces z 1 km f x, y , z P1 x, y , andRz P2 x, y . HowS does the x y z the distance from accuracy of the approximations change as 0, 0 increases? 10 km

80. Investigación la función objetivo ƒ(x, y)extrema 5 ax 1 In Exercises 65–68,Considerar examine the function for relative sujetapoints. a la restricción que xthe yy x 2y64 1 algebra y 2y36 5system 1. Suponer andby saddle Use a computer to graph son positivas. function and confirm your results. computadora y representar 2 sistema 65. a) f x,Utilizar y 2xun 6xy algebraico 9y 2 8xpor 14 gráficamente la restricción o ligadura. Si a 5 4 y b 5 3, uti66. f x,lizar 3xy algebraico y2 5x por computadora y representar y elx2sistema gráficamente1 las 1curvas de nivel de la función objetivo. 67. f x, y xy Mediante ensayo x y error, hallar la curva de nivel que parece ser tangente a la elipse. el resultado para aproximar 68. z 50 x y 0.1x 3 Utilizar 20x 150 el máximo3de f sujeto a la restricción o ligadura. 0.05y 20.6y 125 b) Repetir el inciso a) con a 5 4 y b 5 9.

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Solución de problemas

Solución de problemas

SP

1. La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo con lados de longitudes a, b y c está dada por A 5 !sss 2 adss 2 bdss 2 cd donde s 5

a1b1c , como se muestra en la figura. 2 b

a c

a) Utilizar la fórmula de Heron para calcular el área del triángulo con vértices s0, 0d, s3, 4d, y s6, 0d. b) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen un mismo perímetro, el triángulo con el área mayor es un triángulo equilátero. c) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen una misma área, el triángulo con el perímetro menor es un triángulo equilátero. 2. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque. r

h

5. a) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x2 + y2 = 4. Graficar varias curvas de nivel de f y la restricción g en el plano xy. Usar la gráfica para determinar el valor mayor de f sujeto a la restricción g = 4. Después, verificar su resultado mediante los multiplicadores de Lagrange. b) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x2 + y2 = 0. Encontrar los valores máximos y mínimos de f sujetos a la restricción g = 0. ¿Funcionará el método de los multiplicadores de Lagrange en este caso? Explicar. 6. Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de una caja rectangular y un volumen de 1 000 pies cúbicos, como se muestra en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida de calor por unidad de área a través del techo es cinco veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor a través de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo. Determinar las dimensiones del cuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consiguiente minimizan los costos de calefacción. V = xyz = 1 000

z

7. Repetir el ejercicio 6 suponiendo que la pérdida de calor a través de las paredes y del techo sigue siendo la misma, pero el suelo se aísla de manera que no hay ninguna pérdida de calor a través del mismo. 8. Considerar una placa circular de radio 1 dada por x 2 1 y 2 ≤ 1, como se muestra en la figura. La temperatura sobre cualquier punto Psx, yd de la placa es T sx, yd 5 2x 2 1 y 2 2 y 1 10. y 1

a) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P. b) Mostrar que el volumen del tetraedro formado en los tres planos de coordenadas y el plano tangente es constante, independiente del punto de tangencia (ver la figura). z

y

x

3. Sea Psx0, y0, z0d un punto en el primer octante en la superficie xyz 5 1.

x2 + y2 ≤ 1

1

−1

x

−1

3

a) Dibujar las isotermas T sx, yd 5 10. b) Hallar el punto más caliente y el punto más frío de la placa.

P

3 x

3

9. Considerar la función de producción de Cobb-Douglas

y

f sx, yd 5 Cxay12a,

0 < a < 1.

a) Mostrar que f satisface la ecuación x 4. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar las 3 x 3 2 1 y gsxd 5 x en la misma pantalla. funciones f sxd 5 ! a) Mostrar que lím f f sxd 2 gsxdg 5 0. lím f f sxd 2 gsxdg 5 0 y lim lim

x→ `

981

x→2`

b) Hallar el punto en la gráfica de f que está más alejado de la gráfica de g.

­f ­f 1y 5 f. dx dy

b) Mostrar que f stx, tyd 5 t f sx, yd. 10. Expresar la ecuación de Laplace denadas cilíndricas.

­2u ­2u ­2u 1 1 2 5 0 en coor­x 2 ­y 2 ­z

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Superficies 61. z

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982

62. z

Punto

y 2, y x CAPÍTULO 13 2 x y 2, z 3 9

2, 2, 5 Funciones de varias variables 2, 1, 3

63. Find the angle of inclination of the tangent plane to the 11. Un proyectil es lanzado a un ángulo de 45° respecto a la horisurface x 2 y 2 z 2 14 at the point 2, 1, 3 . zontal y con una velocidad inicial de 64 pies por segundo. Una 64. cámara Approximation Consider the following fordel a de televisión se localiza en el planoapproximations de la trayectoria function centered at f x, y 0, 0 . proyectil, 50 pies detrás del sitio del lanzamiento (ver la figura).

15. La figura muestra un rectángulo que tiene aproximadamente l 5 6 centímetros de largo y h 5 1 centímetro de altura. l = 6 cm

y Linear approximation:

P1 x, y

f 0, 0

h = 1 cm

fx 0, 0 x

fy 0, 0 y

Quadratic approximation: P2 x, y (−50, 0)

y sen z

f 0, 0 1 2 fxx

o find the first

α

(x, y)

fx 0, 0 x

0, 0 x 2

a) Dibujar una franja rectangular a lo largo de la región rectangular que muestre un pequeño incremento en la longitud.

fy 0, 0 y

fxy 0, 0 xy

1 2 fyy

0, 0 y 2

45°

x [Note that the linear approximation is the tangent plane to the surface at 0, 0, f 0, 0 .

0

(a) Find the linear approximation of f x, y cos x sen y centered 0, 0 . a) Hallar lasat ecuaciones paramétricas de la trayectoria del términos del parámetrooft fque (b) proyectil Find the en quadratic approximation x, yrepresenta cos x tiempo. sen y

of the function

centered el at ángulo 0, 0 . a que la cámara forma con la horizontal b) Expresar en términos de x yquadratic y y en términos de t. (c) If y 0 in the approximation, you obtain the second-degree Taylor del polynomial what function? c) Utilizar los resultados inciso b)for para calcular daydt. (d) Utilizar Complete table. d) unathe herramienta de graficación para representar a en términos de t. ¿Es simétrica la gráfica respecto al eje del arco parabólico qué momento x ydel proyectil? P¿En P2 x, y es mayor la f x, y 1 x, y razón de cambio de a? 0 0 e) ¿En qué momento es máximo el ángulo a? ¿Ocurre esto cuando proyectil está a su mayor altura? 0 el 0.1

k

nction and the he given point.

x

x

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In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent line to the curve of intersection of the surfaces at the given point.

tives (a) using titution before

cos y,

0,

4

12. Considerar la distancia d entre el sitio del lanzamiento y el 0.2 0.1 proyectil del ejercicio 11.

2

y

,

2, 1

e function at P, x, y c at P, c at P, and ector, and the 4y sen x P

2

y

,1

gent plane and surface at the

4

CAS

0.5 la 0.3distancia d en términos de x y y y en términos del a) Expresar parámetro t. 1 0.5 b) Utilizar los resultados del inciso a) para hallar la razón de cambio de d. SAC (e) Use a computer algebra system to graph the surfaces c) Hallar la razón de cambio de la distancia cuando t 5 2. z f x, y , z P1 x, y , and z P2 x, y . How does the d) Durante del proyectil, ¿cuándo la razón accuracyelofvuelo the approximations change es as mínima the distance fromo cambio de d? ¿Ocurre esto en el momento en el que el 0, 0 increases? proyectil alcanza su altura máxima? In Exercises examine the function for relative extrema 13. Considerar65–68, la función and saddle points. Use a computer algebra system to graph the sx 21y 2d, 0 < a < b. f sx, yand d 5 confirm sax 2 1 byour y 2de2results. function

||

computadora y representar 2 sistema 65. a) f x,Utilizar y 2xun 6xy algebraico 9y 2 8x por14 gráficamente la función empleando a 5 1 y b 5 2, e identi66. f x,ficar 3xyextremos y2 o5xpuntos silla. y todos x2 los 1 1 67. b) f x,Utilizar y xyun sistema algebraico por computadora y representar y gráficamentexla función empleando a 5 21 y b 5 2, e iden-

b) Dibuje una franja rectangular a lo largo de la región rectangular que muestre un pequeño incremento en la altura. c) Utilizar los resultados en los incisos a) y b) para identificar la medida que tiene mayor efecto en el área A del rectángulo. d) Verificar analíticamente la respuesta dada en el inciso c) comparando los valores de dA cuando dl 5 0.01 y cuando dh 5 0.01.

16. Considerar convertir un punto s5 ± 0.05,py18 ± 0.05d en coordenadas polares a coordenadas rectangulares sx, yd.

a) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exactitud en x depende más de la exactitud en r o de la exactitud en q. Explicar. Verificar analíticamente la respuesta. b) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exactitud en y depende más de la exactitud en r o de la exactitud en u. Explicar. Verificar analíticamente la respuesta. 17. Sea f una función de una variable derivable. Mostrar que los planos tangentes a la superficie z 5 y f sxyyd se cortan en un punto común. 18. Considerar la elipse y2 x2 1 251 2 a b que encierra el círculo x2 1 y2 5 2x. Hallar los valores de a y b que minimizan el área de la elipse. 19. Mostrar que 1 usx, td 5 [fsen sinsx 2 td 1 sen sinsx 1 tdg 2 es una solución a la ecuación de ondas unidimensional ­2u ­2u 5 2. ­t 2 ­x 20. Mostrar que

68. z tificar 50 x todos y los extremos 0.1x 3 20x 150silla. o puntos 3 0.05y los20.6y 125de los incisos a) y b) para la func) Generalizar resultados ción f.

1 usx, td 5 f f sx 2 ctd 1 f sx 1 ctdg 2

14. Demostrar que si f es una función diferenciable tal que

­ 2u ­ 2u 5 c2 2. ­t 2 ­x

=f sx0, y0d 5 0 entonces el plano tangente en sx0, y0d es horizontal.

es una solución a la ecuación de ondas unidimensional

(Esta ecuación describe la vibración transversal pequeña de una cuerda elástica como las de ciertos instrumentos musicales.)

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14 14

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Multiple Integration Integración múltiple

En capítulo se introduce el concepto Thiseste chapter introduces the concepts of de integrales dobles sobre regiones el double integrals over regions in the en plane plano e integrales triples sobre regiones and triple integrals over regions in space. en el espacio. In this chapter, you should learn the En este capítulo, se aprenderá: following. n Cómo evaluar una integral iterada y ■ How to evaluate integral encontrar el áreaan deiterated una región plana. and find the area of a plane region. (14.1) (14.1) n Cómo usar una integral doble para ■ How to use a double integral to find the encontrar el volumen de una región volume of a solid region. (14.2) sólida. (14.2) ■ How to write and evaluate double n Cómo escribir y evaluar integrales integrals in polar coordinates. (14.3) dobles en coordenadas polares. (14.3) ■ How to find the mass of a planar lamina, n the Cómo encontrar de una lámina center of masslaofmasa a planar lamina, ■ plana, el centro masausing de una and moments of de inertia double lámina plana integrals. (14.4y)los momentos de inercia usando integrales dobles. (14.4 ■ How to use a double integral to find the) n ■

n ■

n ■

n

area of usar a surface. (14.5) doble para Cómo una integral encontrar una superficie. How to useela área triplede integral to find the (14.5) center of mass, and moments of volume, inertia of a solid region. (14.6) Cómo usar una integral triple para How to write and evaluate tripledeintegrals encontrar el volumen, centro masa in cylindrical and spherical y momentos de inercia de coordinates. una región (sólida. 14.7) (14.6) How to use a Jacobian to change variables Cómo escribir y evaluar integrales in a double integral. (14.8) triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. (14.7) Cómo usar un jacobiano para cambiar variables en una integral doble. (14.8)

Langley Photography/Getty Images

The centerdeofpresión pressure a sail at en which the la total aerodynamic force El centro deon una velaisesthat esepoint punto el cual fuerza total may be assumed to act. Letting the que sail actúa. be represented a plane region, how por can aerodinámica puede considerarse Ya que labyvela es representada ■ you double integrals the center of integrales pressure ondobles a sail?para (Seeencontrar Section el una use región plana, ¿cómo to sefind pueden usar las 14.4, Project.) centroSection de presión sobre una vela? (Ver sección 14.4, sección proyecto.)

Se puede aproximar el volumen de una región sólida encontrando la suma de los volúmenes de prismas rectangulares representativos. Como el by número dethe prismas aproximaciónrectangular tiende a ser You can approximate the volume of a aumenta solid region finding sum ofrectangulares, the volumes oflarepresentative más y más exacta. En el capítulo 14 se aprenderá a usar integrales múltiples para encontrar el volumen de una prisms. As you increase the number of rectangular prisms, the approximation tends to become more and more región sólida. accurate. In Chapter 14, you will learn how to use multiple integrals to find the volume of a solid region.

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CAPÍTULO 14 Chapter 14

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Integración múltiple

Multiple Integration

14.1 Integrales iteradas y área en el plano 14.1 Iterated Integrals and Area in the Plane n

Evaluar una integral iterada.

■ Evaluateuna an iterated n Utilizar integralintegral. iterada para hallar el área de una región plana. ■ Use an iterated integral to find the area of a plane region.

Integrales iteradas Iterated Integrals NOTA En los capítulos 14 you y 15will se NOTE In Chapters 14 and 15, estudiarán varias aplicaciones de la study several applications of integration integración de funciones varias involving functions of severaldevariables. variables. Este capítulo es muy similar Chapter 14 is much like Chapter 7 in al capítulo 7 ya que ilustra el uso that it surveys the use of integration tode la hallar áreas planas, findintegración plane areas,para volumes, surface areas, volúmenes, áreas de moments, and centers ofsuperficies, mass. momentos y centros de masa. n

En Chapter el capítulo vio cómo funciones varias variables con of respecto In 13, 13 youse saw that it derivar is meaningful to de differentiate functions severala una variable manteniendo constantes las demás variables. Empleando un procedimiento variables with respect to one variable while holding the other variables constant. Yousimivarias variables. Por ejemplo, dada la example, derivada parcial lar seintegrate pueden integrar can functionsfunciones of severaldevariables by a similar procedure. For if you are given the partial derivative f sx, yd 5 2xy x

fxsx, yd 5 2xy entonces, considerando y constante, se puede integrar con respecto a x para obtener then, by considering y constant, you can integrate with respect to x to obtain Integrar con respecto a x. f sx, yd 5 fxsx, yd dx f sx, yd 5 fxsx, yd dx Integrate with respect to x. 5 5

EE EE EE

2xy dx 2xy dx

Mantener y constante. Hold y constant.

5 y 2x dx 5 y 2x dx

Sacar y como factor constante. Factor out constant y.

5 ysx 2d 1 Cs yd 5 ysx 2d 1 Cs yd 5 xx22yy 1 1C Cssyydd.. 5

Una primitiva (o antiderivada) de 2x es x 2. Antiderivative of 2x is x 2. Cs yd es una función de y. Cs yd is a function of y.

La “constante” integración, C C(y), funciónofde otras palabras, al integrar con The “constant” de of integration, s yd, es is auna function y. y. InEn other words, by integrating respecto a x,tosex,puede recobrar y) sólo Cómo totalmente with respect you are able toƒ(x, recover yd only partially. Therecobrar total recovery of a una f sx, parcialmente. función de y aypartir derivadas parciales es unyou tema que se estudiará en 15. el capífunction of x yand from de its sus partial derivatives is a topic will study in Chapter tulo now, 15. Por lo queconcerned interesa eswith extender las integrales For weahora, are more extending definite definidas integrals atofunciones functionsdeofvarias variables.variables. Por ejemplo, considerar constante, se ypuede aplicaryou el teorema fundamental several For alinstance, byy considering constant, can apply the del cálculo para evaluarof Calculus to evaluate Fundamental Theorem

E

2y

2y

4

2xy dx 5 x 2y

1

xx is variable esthe la variable of de integration integración and y isfija. fixed. y y es

1

5 s2yd2 y 2 s1d2y 5 4y 3 2 y.

Replace Sustituirxxby por the los limits límitesof integration. de integración.

The result is El resultado aesfunction una función of de y.y.

Similarly, can integrate respect procedures are y by holding x fixed. Both De manerayou similar se puede with integrar con to respecto a y, manteniendo x fija. Ambos procedisummarized as follows. mientos se resumen como sigue.

EE EE

h 2s yd h 2s yd fx x, y fx x, h1s yd h1s yd

s

g sxd 2 g sxd 2 fy x, y fy x, g1sxd g1sxd

s

h2s yd

44

d d dx 5 f sx, yd h2s y5 f sh s yd, yd 2 f sh s yd, yd s yd dx 5 f sx, ydh1s yd 5 f s2h2s yd, yd 2 f s1h1s yd, yd

With respect to x Con respecto a x.

h1s yd

g sxd 2 g sxd

44

2 d dy 5 f sx, yd 5 f sx, g sxdd 2 f sx, g sxdd s yd dy 5 f sx, ydg1sxd 5 f sx,2g2sxdd 2 f sx,1g1sxdd

With respect to y Con respecto a y.

g1sxd

Note that appear in either limit ofdeintegration. Nótese quethela variable variable of de integration integracióncannot no puede aparecer en ninguno los límitesFor de inteinstance, it makes no sense to write gración. Por ejemplo, no tiene ningún sentido escribir

EE

x x

0 0

y dx. y dx.

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SECCIÓN 14.1

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Integrar con respecto a y

EJEMPLO 1

E

Integrales iteradas y área en el plano

x

Evaluar

s2x 2y22 1 2yd dy.

1

Solución Se considera x constante y se integra con respecto a y, con lo que se obtiene

E

x

22x 2 1 2yd dy 5 1 y2 y

3

s

2x 2y22

1

5

4

122xx

x

Integrar con respecto a y. 1

2 122x1

2

1 x2 2

2

11

2

5 3x 2 2 2x 2 1. En el ejemplo 1 nótese que la integral define una función de x que puede ser integrada ella misma, como se muestra en el ejemplo siguiente.

La integral de una integral

EJEMPLO 2

E 3E

4

x

2

Evaluar

1

s2x 2y22 1 2yd dy dx.

1

Solución Utilizando el resultado del ejemplo 1, se tiene

E 3E

4 E

x

2

1

2

s2x 2y22 1 2yd dy dx 5

1

s3x 2 2 2x 2 1d dx

1 2

3

4

5 x3 2 x 2 2 x

Integrar con respecto a x.

1

5 2 2 s21d 5 3. y

y=x

La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como

R: 1 ≤ x ≤ 2 1≤y≤x

EE b

2

a

1

x 1

2

La región de integración para

EE 2

1

x

f sx, yd dy dx

1

Figura 14.1

g2sxd

g1(xd

EE d

f sx, yd dy dx

y

c

h2s yd

h1s yd

f sx, yd dx dy.

Los límites interiores de integración pueden ser variables con respecto a la variable exterior de integración. Sin embargo, los límites exteriores de integración deben ser constantes con respecto a ambas variables de integración. Después de realizar la integración interior, se obtiene una integral definida “ordinaria” y la segunda integración produce un número real. Los límites de integración de una integral iterada definen dos intervalos para las variables. Así, en el ejemplo 2, los límites exteriores indican que x está en el intervalo 1 # x # 2 y los límites interiores indican que y está en el intervalo 1 # y # x. Juntos, estos dos intervalos determinan la región de integración R de la integral iterada, como se muestra en la figura 14.1. Como una integral iterada es simplemente un tipo especial de integral definida, en el que el integrando es también una integral, se pueden utilizar las propiedades de las integrales definidas para evaluar integrales iteradas.

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Área de una región plana

y

En el resto de esta sección se verá desde una perspectiva nueva un viejo problema, el de hallar el área de una región plana. Considérese la región plana R acotada por a # x # b y g1(x) # y # g2(x), como se muestra en la figura 14.2. El área de R está dada por la integral definida

La región está limitada o acotada por a≤x≤by g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

E

g2

b

f g2sxd 2 g1sxdg dx.

Área de R.

a

R

Usando el teorema fundamental del cálculo, se puede reescribir el integrando g2sxd 2 g1sxd como una integral definida. Concretamente, si se considera x fija y se deja que y varíe desde g1sxd hasta g2sxd, se puede escribir

g1

∆x

x

a

b b

g2(x)

a

g1(x)

Área =

E

g2sxd

g1sxd

dy dx

g2sxd

4

dy 5 y

g1sxd

5 g2sxd 2 g1sxd.

Combinando estas dos integrales, se puede expresar el área de la región R mediante una integral iterada

Región verticalmente simple Figura 14.2

EE b

a

g2sxd

g1sxd

E E

b

dy dx 5

a

g2sxd

4

y

g1sxd

dx

Área de R.

b

5

fg2sxd 2 g1sxdg dx.

a

Colocar un rectángulo representativo en la región R ayuda a determinar el orden y los límites de integración. Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, donde los límites interiores corresponden a los límites o cotas superior e inferior del rectángulo, como se muestra en la figura 14.2. Este tipo de región se llama verticalmente simple, porque los límites exteriores de integración representan las rectas verticales x 5 a y x 5 b. De manera similar, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy, donde los límites interiores están determinados por los límites o cotas izquierda y derecha del rectángulo, como se muestra en la figura 14.3. Este tipo de región se llama horizontalmente simple, porque los límites exteriores representan las rectas horizontales y 5 c y y 5 d. Las integrales iteradas utilizadas en estos dos tipos de regiones simples se resumen como sigue.

La región está limitada o acotada por c≤y≤dy h1(y) ≤ x ≤ h2(y) y

d R ∆y

ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO

c

1. Si R está definida por a # x # b y g1(x) # y # g2(x), donde g1 y g2 son continuas en fa, bg, R está dada por h1

h2 d

h2(y)

c

h (y) 1

Área =

dx dy

Región horizontalmente simple Figura 14.3

x

EE b

A5

a

g2sxd

dy dx.

Figura 14.2 (verticalmente simple).

g1sxd

2. Si R está definida por c # y # d y h1(y) # x # h2(y), donde h1 y h2 son continuas en fc, dg, entonces el área de R está dada por

EE d

A5

c

h2syd

dx dy.

Figura 14.3 (horizontalmente simple).

h1syd

NOTA Hay que observar que en estas dos integrales el orden de integración es diferente; el orden dy dx corresponde a una región verticalmente simple, y el orden dx dy corresponde a una región horizontalmente simple. n

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SECCIÓN 14.1

Integrales iteradas y área en el plano

987

Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular, como ocurre en el ejemplo 3. EJEMPLO 3

Área de una región rectangular

Utilizar una integral iterada para representar el área del rectángulo que se muestra en la figura 14.4. y

Solución La región de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple, por tanto se puede emplear cualquier orden de integración. Eligiendo el orden dy dx, se obtiene lo siguiente.

Región rectangular d

d−c

冕冕 b

R

a

冕 冕

d

b

dy dx ⫽

c

冥 dx

Integrar con respecto a y.

c

a b

⫽

c

d

y

共d ⫺ c兲 dx

a b

冤

x

b

a

冥

⫽ 共d ⫺ c兲x

b−a

Integrar con respecto a x. a

⫽ 共d ⫺ c兲共b ⫺ a兲

Figura 14.4

Nótese que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometría. EJEMPLO 4

Hallar el área por medio de una integral iterada

Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región limitada o acotada por las gráficas de sin xx f 共x兲 ⫽ sen g共x兲 ⫽ cos x

y = cos x π 4

π 2

−1

π

3π 2

Δx

y = sen x Área =

Figura 14.5

5π /4 sen x

π /4

La curva coseno constituye el límite o cota inferior.

between entre x ⫽ ␲兾4 y x ⫽ 5␲兾4.

5π R: π 4 ≤x≤ 4 cos x ≤ y ≤ sen x

y

La curva seno constituye el límite o cota superior.

x

Solución Como ƒ y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectángulo representativo vertical, y se puede elegir dy dx como orden de integración, como se muestra en la figura 14.5. Los límites exteriores de integración son ␲兾4 ⱕ x ⱕ 5␲兾4. Dado que el rectángulo está limitado o acotado, superiormente por ƒ(x) ⫽ sen x e inferiormente por g共x兲 ⫽ cos x, se tiene Area de of R ⫽ Área

dy dx

cos x

⫽ ⫽

冕 冕 冕 冥 冕 5␲兾4

sin sen x

dy dx

cos x ␲兾4 5␲兾4 sin x sen

y

␲兾4 5␲兾4 ␲兾4

冤

dx

Integrar con respecto a y.

cos x

共sen sin xx ⫺ cos x兲 dx 5␲兾4

冥

⫽ ⫺cos x ⫺ sen sin xx

␲兾4

Integrar con respecto a x.

⫽ 2冪2. NOTA La región de integración en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por rectas. Por ejemplo, la región de integración que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente simple aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que la región sea verticalmente simple es que está limitada o acotada superiormente e inferiormente por gráficas de funciones de x. I

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CAPÍTULO 14

988

1:27 PM

Integración múltiple

Con frecuencia, uno de los órdenes de integración hace que un problema de integración resulte más sencillo de como resulta con el otro orden de integración. Por ejemplo, hacer de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; sorprenderá ver que la tarea es formidaMultiple Integration ble. Sin embargo, si se llega al resultado, se verá que la respuesta es la misma. En otras palabras, el orden de integración afecta la complejidad de la integración, pero no el valor de la integral. One order of integration will often produce a simpler integration problem than the

Chapter 14

other order. For instance, try reworking Example 4 with the order dx dy—you may be to see thatde thediferentes task is formidable. However, if you succeed, you will see that EJEMPLO 5 surprised Comparación órdenes de integración the answer is the same. In other words, the order of integration affects the ease of integration, the value ofpor thelaintegral. Dibujar la región cuya áreabut estánot representada integral

y

EE

R: 0 ≤ y ≤ 2 y2 ≤ x ≤ 4

3

2

0

(4, 2)

x = y2

2

3 1

0

x

2

3x = y 4

22

2 4

−1

Área =

1

0 y2

dx dy

a) 1

3

2

y

R:− 10 ≤ x ≤ 4 0≤y≤ x

3

2

Area =

(a) y= x y

R: 0 ≤ x ≤ 4 0≤y≤ x

3 1 −1

y= 2 2 ∆x 3 4

Área = 1

x

x4

0 # y # 2 Outer limits of integration se sabe que R está limitada o acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en la figura 14.6a. Elyou valor de that esta Rintegral es below by the x-axis, as shown in Figure 14.6(a). The value know is bounded of this integral is 2 4 2 4 2 dx dy 5 2 x4 dy Integrar con respecto a x. 4 0 y2 0 y 2 dy 5 dx x dy Integrate with respect to x.

EE

5

(4, 2)

2 ∆x 3

dy dx

Area = 0 0

Figure 14.6

x

4

d dy 5

y2

y2

2

s4 2 y 2d dy

4 3

0

y 3 2 16 3 5 . 3 0 5 34y 2 y 3

5 4y 2

4

(b)

s4 2

3

dy dx

E E

0

0

b)

−1

EE E 4 E 0 2 y2

x

1

y2

dx dy

0 0

Figura 14.6

5 Comparing Different Orders of Integration

Solución De Then acuerdo los límites deintegral integración se sabe dy dxque findcon another iterated usingdados, the order to represent the same area and (4, 2) show that both integrals yield the same value. y2 # x # 4 Límites interiores de integración. Solution From the given limits of integration, you know that ∆y lo cual significa que la izquierda por la parábola y 2 la x # 4 R está limitada o acotada a Inner limits of integration # región x 5 xy 2 y a la derecha por la recta x 5 4. Además, como 4 which means that the region R is bounded on the left by the parabola x 5 y 2 and on because 0 # y # 2the right by the line x 5 4. Furthermore, Límites exteriores de integración. 4

0 y2

(4, 2)

1

EXAMPLE dx dy.

y2

EE

R: 0 ≤ y ≤ 2 ∆y y2 ≤ x ≤ 4

1

4

Sketch the region whose area is represented by the integral Después hallar otra integral iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma área 2 4 y mostrar que ambas integrales dx dy. dan el mismo valor.

y

2

Page 988

x 4Para cambiar

4

2 Integrar 16 0

5

3

.

con respecto a y. Integrate with respect to y.

elTo orden de integración dy dx, se coloca un rectángulo vertical en la región, change the order ofaintegration to dy dx, place a vertical rectangle in the region, as como se muestra en lainfigura ConFrom esto this se puede versee quethat los the límites o cotas cons-0 # x # 4 shown Figure14.6b. 14.6(b). you can constant bounds tantes 0 # x #serve 4 sirven como límites de integración. Despejando de la ecuaas the outer limitsexteriores of integration. By solving for y in they equation x 5 y 2, you 2 ción x 5 y , secan concluye quethat los límites interiores Por the tanto, el área conclude the inner boundsson are 0 # y # !x. So, area of thederegion can la región también representar alsosebepuede represented by por

EE 4

0

EE

!x

4

!x

dy dx.

0

dy dx.

0

0

By evaluating this integral, you can see that it has the same value as the original Evaluando estaintegral. integral, se ve que tiene el mismo valor que la integral original.

EE 4

0

!x

0

EEE 4 E !x

4

4

dy dx 50

0 4

5

0

!x dx

0

4

2 5 x3y2 3

E E

4

dy dx 5 dx 0y !x

4 0

5

0 4

4

!x

y

dx

Integrate with respect to y. Integrar con respecto a y.

0

!x dx

0

4

2 3y2 5 163 x 5 3

4 0

16 Integrate with respect to x. 3 con respecto a x. Integrar

5

■

The icon indicates that you will find a CAS Investigation on the book’s website. The CAS Investigation is a collaborative exploration of this example using the computer algebra systems Maple and Mathematica.

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SECCIÓN 14.1

Integrales iteradas y área en el plano

989

Algunas veces no es posible calcular el área de una región con una sola integral iterada. En estos casos se divide la región en subregiones de manera que el área de cada subregión pueda calcularse por medio de una integral iterada. El área total es entonces la suma de las integrales iteradas. TECNOLOGÍA Algunos paquetes de software pueden efectuar integración simbólica de integrales como las del ejemplo 6. Tales programas se pueden utilizar para evaluar las integrales de los ejercicios y ejemplos dados en esta sección.

Un área representada por dos integrales iteradas

EJEMPLO 6

Hallar el área de la región R que se encuentra bajo la parábola y 5 4x 2 x 2

La parábola forma el límite o cota superior.

sobre el eje x, y sobre la recta y 5 23x 1 6.

La recta y el eje x forman el límite o cota inferior.

Solución Para empezar se divide R en dos subregiones R1 y R2 como se muestra en la figura 14.7. y

y = −3x + 6

4

3

y = 4x − x2 (1, 3) R1 R2

2

∆x 1

1 2

4x − x2

Área =

x

∆x

2

4

4

4x − x2

2

0

dy dx + 1

−3x + 6

dy dx

Figura 14.7

En ambas regiones es conveniente usar rectángulos verticales y se tiene

EE E 2

Área Area 5 5

4x2x 2

1 23x16 2

EE 4

dy dx 1

2

4x2x 2

dy dx

0

1

3

1

s4x 2 x 2d dx

2

2

4

7x 2 x 3 5 2 2 6x 2 3 5 14 2

E

4

s4x 2 x 2 1 3x 2 6d dx 1

1

3

x3 1 2x 2 2 3

4

4 2

2 1

2

8 7 1 64 8 15 2 12 2 1 1 6 1 32 2 281 5 . 3 2 3 3 3 2

El área de la región es 15/2 unidades cuadradas. Tratar de comprobar el resultado usando el procedimiento para hallar el área entre dos curvas, que se presentó en la sección 7.1. NOTA

En los ejemplos 3 a 6, hay que observar la ventaja de dibujar la región de integración. Se recomienda desarrollar el hábito de hacer dibujos como ayuda para determinar los límites de integración de todas las integrales iteradas de este capítulo. n

En este punto, uno se puede preguntar para qué se necesitan las integrales iteradas. Después de todo, ya se sabe usar la integración convencional para hallar el área de una región en el plano. (Por ejemplo, comparar la solución del ejemplo 4 de esta sección con la del ejemplo 3 en la sección 7.1.) La necesidad de las integrales iteradas será más clara en la sección siguiente. En esta sección se presta especial atención a los procedimientos para determinar los límites de integración de las integrales iteradas, y el conjunto de ejercicios siguiente está diseñado para adquirir práctica en este procedimiento importante.

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Página 990

CAPÍTULO 14

Integración múltiple

14.1 Ejercicios En los ejercicios 1 a 10, evaluar la integral.

冕 冕 冕 冕 冕

x

1.

共x  2y兲 dy

0 2y

3.

1

2.

x

y dx, x

y > 0

4.

y dy x

6.

冪1y2

y > 0

8.

冪1y2

yey兾x dy

10.

2

1 x

共x 2  y 2兲 dx

2

6

4

11.

冕冕 冕冕 冕 冕 冕冕 冕冕 冕冕 冕冕冢 冕冕 冕冕 冕冕 冕 冕 冕 冕 冕 冕

共x  y兲 dy dx

0

13.

4

14.

1

y cos x dy dx

0

16.

0



e xy dy dx

0

共1  cos x兲 dy dx

40. y 

冪1  x 2 dy dx

22.

3y

1 0 2 2y

0

29.

共x  y兲 dx dy

24.

44. y  x,

0 兾2

冕冕 冕冕 冕 冕

2 dx dy 冪4  y 2

2 cos 

0

0

兾2

sin sen 

r dr d

26. 28.

3y dx dy

冪3 cos 

冪3

0

0

r dr d

0

51.

sin  dr d sen

1

33.

1

32.

0

  1

冕冕 冕冕 3

y dy dx

0

1 dx dy xy



0

x2 dy dx 1  y2

 

34.

0

0

2 2 xye共x y 兲 dx

x2

yx2 x  0,

y0

冕冕 冕冕 冕冕 冕 冕 4

f 共x, y兲 dx dy

48.

0

2

f 共x, y兲 dy dx

50.

0

2

冪y

52.

ex

f 共x, y兲 dy dx

54.

f 共x, y兲 dy dx

0

兾2

1

f 共x, y兲 dy dx

0

1

0

f 共x, y兲 dx dy

4x 2

2

f 共x, y兲 dx dy

1 x 2

 1兾x

x9

ln y

1

53.

0

冕冕 冕冕

y  0,

y0

0

1

En los ejercicios 31 a 34, evaluar la integral iterada impropia. 31.

y  2x,

冪4x2

2

r dr d 3r 2

x  y  5,

0

10

cos 

5

y0

y

2

49.

0

兾4

冕冕 冕冕 冕冕 冕冕 4

47.

4 dx dy 2  y2 x 0

兾4

4

En los ejercicios 47 a 54, dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración.

2yy 2

3y 26y 3 y

1

x  0,

y  x,

46. x2  y2  4, 2

3

x2 y 2 43. 2  2  1 a b 45. y  4  x2,

0

冪4y2

0

30.

冪64  x 3 dy dx

冣

0

2

27.

4 0

共10  2x 2  2y 2兲 dx dy

0

25.

冕冕

1 3  x2  y2 dx dy 4

0 y 1 冪1y2

23.

20.

x

2

1

4

y  2x

x3兾2,

42. xy  9,

x2

4

0

5

21.

3

41. 2x  3y  0,

2yex dy dx

0

1 x

39. 冪x  冪y  2,

sen sin x

1 1 1 x

19.

1

En los ejercicios 39 a 46, utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones.

0 0 4 冪x

18.

2≤x≤5

2

1

ln 3

0

1 x−1

3

共x  y2兲 dx dy

ln 4

y= 4

3

1 1

0

兾2

17.

2

2

5

2

共x 2  y 2兲 dy dx

3

1 y

38. y = 4 − x2

2

1 2

共x 2  2y 2兲 dx dy

1

15.

12.

0

2

冕冕 冕冕 冕冕 1

(2, 1) x

3 2

(1, 1)

8

y

37. sin3 x cos y dx sen

En los ejercicios 11 a 30, evaluar la integral iterada. 1

(2, 3)

2

(8, 3)

4

y

0

(1, 3) 3

兾2

x3

y

6

共x 2  3y 2兲 dy

x3

y ln x dx, 7. x y e

36.

8

y dx

冪x

dy

y

35.

0

x 2y

0 y

9.

En los ejercicios 35 a 38, utilizar una integral iterada para hallar el área de la región.

cos y

冪4x2

5.

冕 冕 冕 冕 冕

x2

cos x

兾2

f 共x, y兲 dy dx

0

En los ejercicios 55 a 64, dibujar la región R cuya área está dada por la integral iterada. Después cambiar el orden de integración y mostrar que ambos órdenes dan la misma área.

冕冕 冕冕 1

55.

0

dy

1

57.

0

2

冕冕 冕冕 2

dy dx

56.

0

1

冪1y2

冪1y2

dx dy

58.

4

dx dy

2

2

冪4x2

2

冪4x2

dy dx

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1053714_1401.qxp 10/27/08 1:27 PM Page 991 1053714_1401.qxp 1053714_1401.qxp 10/27/08 10/27/08 1:27 1:27 PM PM Page Page 991 991

SECCIÓN 14.1

EE EE EE EE 2

59. 60. 59. 59. 61. 60. 60.

EE EE

x

4

dy dx 1

42x

CAS

dy dx

0 0 2 0 4 xy2 6 62x 2 x 2dyx dx 1 4 4 4x 4dyxdx 2 x 4 4 x 59. 0 0 dy dxdy dx 4 0 dy dxdy dx dy dx dy dx 9 3 02 01 0 0 2 0 2 0 0 0 4 x 2 2 0 4 x 2dy dx 6 6 6x 6 x dy dx 62. 4 x 2 6 6 x dy dx 0 !x 60. dy dx 0 xy2 dy dxdy dx dy dx dy dx 0 0 0 0! 4 0 4 0 01 0 3 y 2 1 4 0 2 9 23 2 1 9 342y 2 1 9 3 0 x 2 1 33 y1 1 y

3

x 4 2y 22 4 4 y

0 2 2

EE EE EE EE

2x

2 the integral. the integral. 0 xiterated the iterated iterated integral.

1 2y 2 2x 2

y2

dx dyla igual63. pensar 64. dxDar dy un argumento para 65. dx 63. 64. dx dy dx dy dy 63. Para 64. geométrico dy 0 dx y2 2 0 2 0 0 y 22Verificar dad. la igualdad analíticamente. 2 0 0 y

EE EE

14.1 Iterated Integrals and Area inPlane the Plane 991 991 Iterated and in En14.1 los ejercicios 73 aIntegrals 76, utilizar unArea sistema algebraico 14.1 Iterated Integrals and Area in the the Plane por compu991 tadora y evaluar la integral iterada. 2

dxdy dydx 64. 62. dy dx 62. 62. 22 0 x0dy dx x 0

y

991

In Exercises 73–76, a computer algebra system to evaluate CAS CAS 3 2use ause 73.Exercises 1 3y d dy adxcomputer CAS In In Exercisessx73–76, 73–76, use computer algebra algebra system system to to evaluate evaluate

EE EE

63. dx dydy dx 61. 61. dyx dx dx 61. 00 yx 2 20dy 2

Integrales iteradas y área en el plano

2x

2 2x sen 74. 73. sin 3 2yd dx 2dy 3 sx x1 3y dy dx 73. 73. 00 xy2 0 xx3x 2 3y 3y 2 dy dy dx dx 2 0 4 x y 1 2y 1 2y 2 1 2y 75. 74. yd dx dx dy dy 74. dx ssin x y1xx sin 1dsyyx 1 74. 00 y0 0sin dx1dy dy 0 a y a2x 4 y 4 y

4 y 22 y 2d2dy dx 76. 75. sx 2 1 dx dy 75. 75. 00 00 0x 0 1x y 1 1y dx dx1dy dy x a 1x y 1 0 0 a a a

a x a x

22 76. y 2dxdy dx xx22 xy77 CAS 76. 76. y 2 ydy dy78, dx a) dibujar la región de integración, En los ejercicios 502x 65. ! Think About It Give a geometric argument forequality. the equality. 0 0 0 0 65. Think About It Give a geometric argument for the 2 2 0 0 65. Think About x yIt dyGive dx 5a geometric argument for the equality. b) cambiar el orden de integración y c) usar un sistema algeVerify the equality analytically. Verify equality 0 x the Verify the equality analytically. analytically. In por Exercises 77 and (a) (a) sketch the region of integration, CAS CAS In Exercises 77 sketch of integration, braico computadora y78,mostrar queregion ambos dan el 5 x2 50 x2 5 y 50 CAS In Exercises 77 and and 78, 78, (a) sketch the the region ofórdenes integration, 5 5!2 !502y2 5 50 x2 2 2 2 2 (b) switch the order of integration, and (c) use a computer (b) switch the order of integration, and (c) use a computer mismo valor. x y dy dx 2 2 xx 2ydy (b) switch the order of integration, and (c) use a computer x y dx dy x 2y 2 dx 1 dx y 2 dy dy dx algebra system to show that both orders yield the same value. x 0 x 0 0 algebra system to show that both orders yield the same value. 0 5 0 0 x algebra2 system to show that both orders yield the same value. 4!2y 2 y2 50 y2 5 yy 5 y 5 2 5 50 2 22y 4sx 22yy 2 xy 2d dx dy 2 4 5 5 2 y 2 2 50 y 77. 2 dx dy 2 4 2y x 2 ydy x ydy y =dx dy 50 − x 2 x 22y 22 dx x 22y 22 dx 0 y3 77. y 2 xy 2dydx dy 77. x 22y x 2xy 77. 0 2 y 342x xy 2 dx dx dy ( 0,00 500 x02 )y0 dx dy 55 500 0 x y dx dy 3x y 0 2yy4 3 0 y xy 2x 2 44 x 2 4 2 4 dy dx 78. y 2 5y 2 4 x 4 2 xy 2 − x2 y y (5, = 5) 50 y 2 1xy1dy dxdy dx yy == 50 78. 0 !42x2 x 1xy 78. 50 −− xx 2 2 dy dx 2 2 x 22 78. 1 yy 2 y11 2x ((0,0, 55 (0,22 ))5 2 ) 40 x22 4x 0 4 x x 0 y=x 5 CAS En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por compu5 (5, 5) In Exercises 79–82, a computer algebra system to approxi(5, 5 CAS CAS In Exercises 79–82, use ause computer algebra system to approxi(5, 5) 5) x CAS In Exercises 79–82, use a computer algebra system to approxitadora y iterated aproximar laintegral. integral iterada. mate the iterated mate the integral. 5 mate the iterated integral. y=x y=x 5

2

E E

EE EE

y=x 5 5

Para discusión

CSSATTP S N ECompletar las integrales iteradas en forma tal CC66. AA PPPara OOpensar N NTEEO que cada una represente el área de la región R (ver la figu-

66. Think AboutComplete It Complete the iterated integrals so that 66. About the iterated integrals so 66. Think Think About It Itdemostrar Complete iterated integralstienen so that thatla ra). Entonces quetheambas integrales R figure). each one represents the of area ofregion the region (see figure). R each one represents the area the (see each one represents the area of the region R (see figure). misma área. Then show that both integrals yieldsame the same area. Then Then show show that that both both integrals integrals yield yield the the same area. area. a) Área dx dydx dy a) a) Área Área dx dy

2

yy ==

yx = x

1 1

1

R R

R

x x yy == x y = 2 22 23 3

x 4

34 4

Inejercicios Exercises sketch the region of integration. Then In Exercises 67–72, sketch the region integration. Then En 67 67–72, a 72, trazar la región In los Exercises 67–72, sketch the regiondeof ofintegración. integration.Después Then evaluate the iterated integral. (Note that it is necessary to switch evaluate the iterated integral. (Note that it is necessary to switch evaluar integral iterada. (Observar que necesariotocambiar evaluatelathe iterated integral. (Note that it isesnecessary switch the order of integration.) the order integration.) el theorden orderdeof ofintegración.) integration.) 2 2 2 2 4 2 4 2 3 2 2 4 2 33 3 dy dx 67. x!1 x1 y133 dy ydx 68. 68. 67. 68. 3dxdy dx 67. 68. 0 x0 2 x y233 dy x0 x1 y dy dx dyydx 0 x 2 y

EE

0 2x 1 1 1 1 1

1

2

2 4ey dy dx 69. 69. 4eyy 2 dy dy dx dx 69. 0 2x 4e 0 2x

EE

1 1 71. x 2 dx dy 71. sin xx22sin dx 71. 0 y sen sin dx dy dy 0 yx 2 dx dy 71. sin 0 y 0

y

82. 82. 82. 82.

000 0

00 0

0

15 dr 15urrr15 drdddr udr d 15 dr

Desarrollo conceptos 83. Explain de what is meantanbyiterated an iterated integral. How is it 83. 83. Explain Explain what what is is meant meant by by an iterated integral. integral. How How is is itit evaluated? evaluated? 83. evaluated? Explicar qué se quiere decir con una integral iterada. ¿Có84. se Describe regionsare that are vertically simpleregions and regions that 84. regions mo evalúa? 84. Describe Describe regions that that are vertically vertically simple simple and and regions that that are horizontally simple. are horizontally simple. horizontally simple. 84. are Describir regiones que sean verticalmente simples y re85. Give geometric description ofregion the region of integration if 85. aa geometric description giones quea sean horizontalmente simples. 85. Give Give geometric description of of the the region of of integration integration if if the inside and outside limits of integration are constants. the inside and outside limits of integration are constants. and outsidegeométrica limits of integration are de constants. 85. the Darinside una descripción de la región integración 86.losExplain why it is ysometimes an toson change the 86. why an to the si límites interiores exteriores de advantage integración cons86. Explain Explain why it it is is sometimes sometimes an advantage advantage to change change the order of integration. order of integration. tantes.of integration. order

(4, 2) (4, (4, 2) 2)

x

12 2

1 1

2

81. 81. 81.

NBBGOOAU ESP T S W TT IIRN PPC TT S W RR IIW NIGGT IAA UBTTOCCUOOTN NCCCOEEN

2 2

0 x 1 1 2 1 2

80. 80. 80.

b) Área dy dxdy dx b) b) Área Área dy dx

y

y y

EE EE EE E E

2x 2 2 4 x 2 22 442x 2 4 x 2 xyxy xy dy e dxdy dx eeexy dy dy dx dx 0 0 0202 2 2 2 2 2 2 3 dy dx 80. !16 16 216 dyydx dx xxx333 2xyyy3333dy 16 dy dx 00 xx 0 x 0 x 2 22p 111cos cos 1 cos 2 1 cos u 81. 6r 2 ucos 6r dr 6r222cos cos drdddudr d 6r cos dr 0 00 000 0 0 2sin 1 sin 2 111sin py2 2 1 sin u

79. 79. 79. 79. 00 00

x

x 5 x

0 2 2

EE EE

x 2 2 2 2

2 2 2 y 22 e y2 dy dx y dy 2ydx dy dxdy dx x e 0 x 02 x 4 2 4 2 4 72. 2 4 x sin x dx

70. e 70. 70. 70. e 0 x 0

dy 72. xx sin dx 72. 72. sin xx sin dx dy dy x dx dy 0 y 22 0 y 2 !x sen 0 y 0

y2

86. Explicar por qué algunas veces es una ventaja cambiar el orden de integración. True or False? Exercises In Exercises 87 anddetermine 88, determine whether the True True or or False? False? In In Exercises 87 87 and and 88, 88, determine whether whether the the statement is true or false. If false, it is false, explain why or an give an statement is true or false. If it is explain why or give statement is true or false. If it is false, explain why or give an example that shows itlos is false. example that it ¿Verdadero falso? Enfalse. ejercicios 87 y 88, determinar si la example thatoshows shows it is is false. b d b d do falsa. b d bSi es falsa, explicar por qué o declaración es verdadera b d d b 87. ejemplo f x, ydxdemuestre dy dx f dx x, ydydx dy 87. ff x, ff que x, dar un que 87. x, yy dy dy dx x, yy es dxfalsa. dy a c a c a c 1 x 1b xd 1 x

EE EE

c a c a c a 1 y 1d y b 1 y

EE EE

x,dyydx 88. sx,x,yyyf ddy dxdy5dx 87. 88. fff x, 88. dy dx 0 0 0 0 0 88.

0

0

x,dxydy ff f x, sx,x,yyyf ddx dydx dy dx dy 0

0 0 0c 0a 1 y

0a 0c 1 x

f sx, yd dy dx 5

0

0

f sx, yd dx dy

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

14.2 Integrales dobles y volumen n n n n

Utilizar una integral doble para representar el volumen de una región sólida. Utilizar las propiedades de las integrales dobles. Evaluar una integral doble como una integral iterada. Hallar el valor promedio de una función sobre una región.

Integrales dobles y volumen de una región sólida Superficie: z = f(x, y)

Se sabe que una integral definida sobre un intervalo utiliza un proceso de límite para asignar una medida a cantidades como el área, el volumen, la longitud de arco y la masa. En esta sección, se usará un proceso similar para definir la integral doble de una función de dos variables sobre una región en el plano. Considérese una función continua f tal que f sx, yd ≥ 0 para todo sx, yd en una región R del plano xy. El objetivo es hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie dada por

z

z 5 f sx, yd y

R

x

Figura 14.8

Superficie sobre el plano xy.

y el plano xy, como se muestra en la figura 14.8. Para empezar se sobrepone una red o cuadrícula rectangular sobre la región, como se muestra en la figura 14.9. Los rectángulos que se encuentran completamente dentro de R forman una partición interior D, cuya norma iDi está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n rectángulos. Después, se elige un punto sxi, yid en cada rectángulo y se forma el prisma rectangular cuya altura es f sxi, yi d, como se muestra en la figura 14.10. Como el área del i-ésimo rectángulo es DAi

Área del rectángulo i-ésimo.

se sigue que el volumen del prisma i-ésimo es f sxi , yi d DAi

Volumen del prisma i-ésimo.

y el volumen de la región sólida se puede aproximar por la suma de Riemann de los volúmenes de todos los n prismas, n

o f sx , y d DA i

i

Suma de Riemann.

i

i51

como se muestra en la figura 14.11. Esta aproximación se puede mejorar tomando redes o cuadrículas con rectángulos más y más pequeños, como se muestra en el ejemplo 1. z

Superficie: z = f(x, y)

z

z

f (xi , yi)

(xi , yi) y

y

y x

x

Los rectángulos que se encuentran dentro de R forman una partición interior de R

Prisma rectangular cuya base tiene un área de DAi y cuya altura es f sxi, yi d

Volumen aproximado por prismas rectangulares

Figura 14.9

Figura 14.10

Figura 14.11

x

R

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SECCIÓN 14.2

EJEMPLO 1

Integrales dobles y volumen

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Aproximar el volumen de un sólido

Aproximar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide 1 1 f sx, yd 5 1 2 x2 2 y 2 2 2 y la región cuadrada R dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Utilizar una partición formada por los cuadrados cuyos lados tengan una longitud de 14. Solución Para empezar se forma la partición especificada de R. En esta partición, es conveniente elegir los centros de las subregiones como los puntos en los que se evalúa f sx, yd.

s18, 18 d s38, 18 d s58, 18 d s78, 18 d

z

1

s18, 38 d s38, 38 d s58, 38 d s78, 38 d

s18, 58 d s38, 58 d s58, 58 d s78, 58 d

s18, 78 d s38, 78 d s58, 78 d s78, 78 d

1 Como el área de cada cuadrado es DAi 5 16 , el volumen se puede aproximar por la suma

o f sx y d DA 5 o 11 2 2 x 16

16

i i

1

1

y

1

i

i

i51

i51

2

21 2

1 1 2 yi 2 2 16

< 0.672.

x

Esta aproximación se muestra gráficamente en la figura 14.12. El volumen exacto del sólido es 23 (ver el ejemplo 2). Se obtiene una mejor aproximación si se usa una parti1 ción más fina. Por ejemplo, con una partición con cuadrados con lados de longitud 10 , la aproximación es 0.668.

Superficie: f(x, y) = 1 − 1 x2 − 1 y2 2 2

Figura 14.12 z

Algunas herramientas de graficación tridimensionales pueden representar figuras como la mostrada en la figura 14.12. La gráfica mostrada en la figura 14.13 se dibujó con una herramienta de graficación. En esta gráfica, obsérvese que cada uno de los prismas rectangulares está dentro de la región sólida.

TECNOLOGÍA

y

En el ejemplo 1, hay que observar que, usando particiones más finas, se obtienen mejores aproximaciones al volumen. Esta observación sugiere que se podría obtener el volumen exacto tomando un límite. Es decir,

x

Volumen 5 lím lim

n

o f sx , y d DA .

iDi→0 i51

Figura 14.13

i

i

i

El significado exacto de este límite es que el límite es igual a L si para todo « > 0 existe un d > 0 tal que

|

L2

n

o f sx , y d DA i

i51

i

|

i

< «

para toda partición D de la región plana R (que satisfaga iDi < d) y para toda elección posible de xi y yi en la región i-ésima. El uso del límite de una suma de Riemann para definir un volumen es un caso especial del uso del límite para definir una integral doble. Sin embargo, el caso general no requiere que la función sea positiva o continua.

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

EXPLORACIÓN

Las cantidades en la tabla representan la profundidad (en unidades de 10 yardas) de la tierra en el centro de cada cuadrado de la figura.

Si ƒ está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de ƒ sobre R está dada por

EE

1

2

3

1

10

9

7

2

7

7

4

3

5

5

4

4

4

5

3

x

i

iDi→0 i51

R

y

n

o f sx , y d DA

f sx, yd d A 5 lím lim

i

i

siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces ƒ es integrable sobre R.

NOTA Una vez definidas las integrales dobles, se verá que una integral definida ocasionalmente se llama integral simple. n

Para que la integral doble de ƒ en la región R exista es suficiente que R pueda expresarse como la unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongan (ver la figura 14.14) y que sean vertical u horizontalmente simples, y que ƒ sea continua en la región R. Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z 5 f sx, yd.

z 20

30

y

40 x

Aproximar el número de yardas cúbicas de tierra en el primer octante. (Esta exploración la sugirió Robert Vojack, Ridgewood High School, Ridgewood, NJ.)

VOLUMEN DE UNA REGIÓN SÓLIDA Si ƒ es integrable sobre una región plana R y f sx, yd ≥ 0 para todo sx, yd en R, entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de ƒ se define como V5

EE

f sx, yd dA.

R

Propiedades de las integrales dobles Las integrales dobles tienen muchas de las propiedades de las integrales simples.

TEOREMA 14.1 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES Sean ƒ y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante. y

1.

R = R1 ∪ R2

EE EE EE EE EE

EE

cf sx, yd dA 5 c

R

2.

f f sx, yd ± gsx, ydg dA 5

R

R1

R2

3. 4.

f sx, yd dA ≥ 0, f sx, yd dA ≥

R

Dos regiones no se sobreponen si su intersección es un conjunto de área 0. En esta figura, el área del segmento de la recta común a R1 y R2 es 0 Figura 14.14

5.

R

EE

f sx, yd d A ±

R

R

x

f sx, yd dA

R

EE EE

gsx, yd dA,

R1

gsx, yd dA

R

si f sx, yd ≥ 0

R

f sx, yd dA 5

EE

f sx, yd dA 1

si f sx, yd ≥ gsx, yd

EE

f sx, yd dA, donde R es la unión de dos

R2

subregiones R1 y R2 que no se sobreponen.

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SECCIÓN 14.2

Integrales dobles y volumen

995

Evaluación de integrales dobles z

(0, 0, 2) 2

Plano: z = 2 − x − 2y

Altura: z=2−x

1

(0, 1, 0) (2, 0, 0)

1

Sección 2 transversal triangular

2

x

Base: y = 2 − x 2

Volumen:

E

y

Normalmente, el primer paso para evaluar una integral doble es reescribirla como una integral iterada. Para mostrar cómo se hace esto, se utiliza el modelo geométrico de una integral doble: el volumen de un sólido. Considérese la región sólida acotada por el plano z 5 ƒ(x, y) 5 2 2 x 2 2y y por los tres planos coordenados, como se muestra en la figura 14.15. Cada sección transversal vertical paralela al plano yz es una región triangular cuya base tiene longitud y 5 (2 2 x)/2 y cuya altura es z 5 2 2 x. Esto implica que para un valor fijo de x, el área de la sección transversal triangular es 1 1 22x s2 2 xd2 (base)(altura) . Asxd 5 sbase dsheightd 5 s2 2 xd 5 2 2 2 4

1

2

De acuerdo con la fórmula para el volumen de un sólido de secciones transversales conocidas (sección 7.2), el volumen del sólido es

2

Asxd dx

E E

b

Volume 5 Volumen

0

Figura 14.15

Asxd dx

a 2

s2 2 xd2 dx 4 0 s2 2 xd3 2 2 52 5 . 12 3 0 5

4

Este procedimiento funciona sin importar cómo se obtenga A(x). En particular, A(x) se puede hallar por integración, como se muestra en la figura 14.16. Es decir, se considera x constante, y se integra z 5 2 2 x 2 2y desde 0 hasta s2 2 xdy2 para obtener Asxd 5

z = 2 − x − 2y

E

s22xdy2

s2 2 x 2 2yd dy

0

3

y=

y=0

s22xdy2

4

5 s2 2 xdy 2 y2

0

s2 2 xd2 5 . 4

2−x 2

Combinando estos resultados, se tiene la integral iterada

Sección transversal triangular Figura 14.16

Volume 5 Volumen

EE

EE 2

f sx, yd dA 5

R

0

s22xdy2

s2 2 x 2 2yd dy dx.

0

Para comprender mejor este procedimiento, se puede imaginar la integración como dos barridos. En la integración interior, una recta vertical barre el área de una sección transversal. En la integración exterior, la sección transversal triangular barre el volumen, como se muestra en la figura 14.17.

z

z

y x

y x

Integrar con respecto a y para obtener el área de la sección transversal Figura 14.17

z

z

x

y

x

Integrar con respecto a x para obtener el volumen del sólido

y

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

El teorema siguiente lo demostró el matemático italiano Guido Fubini (1879-1943). El teorema establece que si R es vertical u horizontalmente simple y ƒ es continua en R, la integral doble de ƒ en R es igual a una integral iterada. TEOREMA 14.2 TEOREMA DE FUBINI Sea ƒ continua en una región plana R. 1. Si R está definida por a ≤ x ≤ b y g1sxd ≤ y ≤ g2sxd, donde g1 y g2 son continuas en fa, bg, entonces

EE

EE

g sxd

b

f sx, yd dA 5

a

R

2

f sx, yd dy dx.

g1sxd

2. Si R está definida por c ≤ y ≤ d y h 1s yd ≤ x ≤ h 2s yd, donde h 1 y h 2 son continuas en fc, dg, entonces

EE

c

R

EJEMPLO 2

EE d

f sx, yd dA 5

h2s yd

f sx, yd dx dy.

h1s yd

Evaluación de una integral doble como integral iterada

Evaluar

E E1 R

2

1 1 1 2 x2 2 y 2 dA 2 2

donde R es la región dada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. y

R: 0 ≤ x ≤ 1 0≤y≤1

Solución Como la región R es un cuadrado, es vertical y horizontalmente simple y se puede emplear cualquier orden de integración. Se elige dy dx colocando un rectángulo representativo vertical en la región, como se muestra en la figura 14.18. Con esto se obtiene lo siguiente.

1

E E1 R

∆x

x 1

2

1 1 1 2 x2 2 y 2 dA 5 2 2

EE 1 E 31 E1 1

0

1

5

0

1

1 1

f(x, y) dA = R

f (x, y) dy dx

0

0 0

El volumen de la región sólida es 23. Figura 14.18

5

1

0

2

1 1 1 2 x2 2 y 2 dy dx 2 2

2

4

1 y3 1 2 x2 y 2 2 6

1

dx

0

2

5 1 2 2 x dx 6 2

5

3 56 x 2 x6 4

5

2 3

3 1 0

La integral doble evaluada en el ejemplo 2 representa el volumen de la región sólida que fue aproximado en el ejemplo 1. Nótese que la aproximación obtenida en el ejemplo 1 es buena 10.672 contra eW 2 aun cuando se empleó una partición que constaba sólo en 16 cuadrados. El error se debe a que se usaron los centros de las subregiones cuadradas como los puntos para la aproximación. Esto es comparable a la aproximación de una integral simple con la regla del punto medio.

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SECCIÓN 14.2

Integrales dobles y volumen

997

La dificultad para evaluar una integral simple ea f sxd dx depende normalmente de la función ƒ, y no del intervalo [a, b]. Ésta es una diferencia importante entre las integrales simples y las integrales dobles. En el ejemplo siguiente se integra una función similar a la de los ejemplos 1 y 2. Nótese que una variación en la región R lleva a un problema de integración mucho más difícil. b

EXPLORACIÓN

El volumen de un sector de paraboloide El sólido del ejemplo 3 tiene una base elíptica (no circular). Considerar la región limitada o acotada por el paraboloide circular z5

a2

2

x2

2

y 2,

a > 0

y el plano xy. ¿Cuántas maneras de hallar el volumen de este sólido se conocen ahora? Por ejemplo, se podría usar el método del disco para encontrar el volumen como un sólido de revolución. ¿Todos los métodos emplean integración? z

Hallar el volumen por medio de una integral doble

EJEMPLO 3

Hallar el volumen de la región sólida acotada por el paraboloide z 5 4 2 x2 2 2y 2 y el plano xy. Solución Haciendo z 5 0, se ve que la base de la región, en el plano xy, es la elipse x2 1 2y 2 5 4, como se muestra en la figura 14.19a. Esta región plana es vertical y horizontalmente simple, por tanto el orden dy dx es apropiado. Límites o cotas variables para y: 2

!s4 22 x d ≤ y ≤ !s4 22 x d 2

2

Límites o cotas constantes para x: 22 ≤ x ≤ 2

a2

El volumen está dado por

EE E3 2

V5 −a a

a

y

5

x

5 5 5 5 5 NOTA En el ejemplo 3, observar la utilidad de la fórmula de Wallis para py2 evaluar e0 cosn u du. Esta fórmula se puede consultar en la sección 8.3. n

!s42x 2dy2

22 2!s42x 2dy2 2 2 22

4

s4 2 x 2 2 2y 2d dy dx

s4 2 x dy 2

E E

2y 3 3

4

!s42x 2dy2

Ver figura 14.19b.

dx

2!s42x 2dy2

2

s4 2 x2d3y2 dx 3!2 22 py2 4 16 cos 4 u du 3!2 2py2 py2 64 s2d cos4 u du 3!2 0 128 3p 3!2 16 4!2p.

x 5 2 sen u.

E

1 2

z

Superficie: f(x, y) = 4 − x2 − 2y2

Fórmula de Wallis.

Base: −2 ≤ x ≤ 2 (4 − x2)/2 ≤ y ≤

−

(4 − x2)/2

y

4 2 1

x 1

−1 −1

∆x −2 3

2

y

Volumen: 2

(4 − x2)/2

−2 −

(4 − x2)/2

x

a)

Figura 14.19

b)

(4 − x2 − 2y2) dy dx

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

En los ejemplos 2 y 3, los problemas se podrían haber resuelto empleando cualquiera de los órdenes de integración porque las regiones eran vertical y horizontalmente simples. En caso de haber usado el orden dx dy se habrían obtenido integrales con dificultad muy parecida. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que uno de los órdenes de integración es mucho más conveniente que otro. El ejemplo 4 muestra uno de estos casos.

Comparación de diferentes órdenes de integración

EJEMPLO 4 z

Superficie: f )x, y) e

x

Hallar el volumen de la región sólida R acotada por la superficie

2

f sx, yd 5 e2x

1

Solución La base de R en el plano xy está acotada por las rectas y 5 0, x 5 1 y y 5 x. Los dos posibles órdenes de integración se muestran en la figura 14.21.

z=0 1

x=1

Superficie.

y los planos z 5 0, y 5 0, y 5 x y x 5 1, como se muestra en la figura 14.20.

y=0

x

2

1

y

y=x

y

y

R: 0 ≤ y ≤ 1 y≤x≤1

R: 0 ≤ x ≤ 1 0≤y≤x

La base está acotada por y 5 0, y 5 x, y x 5 1. Figura 14.20

(1, 1)

1

(1, 1)

1

∆y

(1, 0) ∆x

1 x

(1, 0)

x

x

1

1

1 1

2

e−x dy dx

2

e−x dx dy

0 y

0 0

Figura 14.21

Estableciendo las integrales iteradas correspondientes, se ve que el orden dx dy requiere la 2 primitiva (o antiderivada) ee2x dx, la cual no es una función elemental. Por otro lado con el orden dy dx se obtiene la integral

EE 1

0

x

E E

1

e2x dy dx 5 2

0

x

4

2x 2

e

y dx 0

0 1

5

xe2x dx 2

0

4

1 2 5 2 e2x 2 52 5

1

1 0

1 1 21 2 e

2

e21 2e

< 0.316.

NOTA

Tratar de utilizar un integrador simbólico para evaluar la integral del ejemplo 4.

n

1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30Page PM Page 14-2.qxd 3/12/09 18:26 999 999 1053714_1402.qxp

10/27/08

1:30 PM

Page 999

SECCIÓN 14.2 Integrales dobles y volumen 999 14.2 Double Integrals and Volume 999 Integrals Volume 999 Volumen de una 14.2 regiónDouble acotada porand dos superficies EXAMPLE 5 Volume of a Region Bounded by Two Surfaces

EJEMPLO 5 Paraboloide: z Paraboloid: z x2y−2 y2 2− z = z1=−1x − Paraboloid: z = 1 − x2 − y2

z 1 1

Hallar el volumen de la región sólida R acotada superiormente por el paraboloide

Plano: Plane: z = z1 =− 1y − y

Find the volume of the solid region R bounded above by the paraboloid e inferiormente por elBounded plano z 5 como se muestra en la figura z 5 1 2 x22 2 2 y,Surfaces EXAMPLE 5 y2Volume of a Region by1Two 2

Plane: z=1−y

1

1

1

1

1

y

y

x

x

R: 0 ≤ y ≤ 1 1 y 1 R: 0 ≤ y ≤ 1 2 ≤x≤ 2 − y − y y − 2 2 − y−y ≤x≤ y−y y

x

Volume 5

R: 0 ≤ y ≤ 1 −

y y − y 2 ≤ yx ≤

z 5 1 2 x 2 y and below by the plane z 5 1 2 y, as shown in Figure 14.22. 14.22. Find the volume of zthe solidyou region R boundedthatabove by the paraboloid Solution Equating values, can determine the intersection of the two 2 2Igualando 2 and below Solución los valores z, se determina que la intersección de14.22. las dos superficies z5 1 2 x y by the plane z 5 1 2 y, as shown in Figure surfaces occurs on the right circular cylinder given by se produce en el cilindro circular recto dado por Solution1 2Equating 5 11 2 2 zx22values, 2 yy22 you canxx22determine 5 yy 2 2 yy22.. that the intersection of the two 12 yy 5 2 5 surfaces occurs on thex right circular cylinder given by R la Because the volume ofes is diferencia the difference the volume under the paraboloid Como el volumen de R entrebetween el volumen bajo el paraboloide y el volumen 2 2 2 2 x 5have 12 y volume 5 1 2 xunder 2 ythe plane, you y2y. and the bajo el plano, se tiene !y2y 2 1 !y2y 2 Because the volume 1of is the difference between the volume under the paraboloid 2 !y2y 1 R !y2y 2 2 2 5 s1 you 2 x have 2 y d2 dx dy 2 1 s1 2 yd dx dy and theVolume volume plane, 2 2 s1 2 x 2 y d dx dy 2 Volumeunder 5 0 the!y2y Volumen 2 s1 2 yd dx dy !

y − y2

5

y

5 1 2

5

1 2

1 2

x −1 − 1 2

1 2

2

1 2

x

Figure 14.22 14.22 − 1Figura 2 Figure 14.22

1 2

x

EEEE E EEEE E EE33 E 3EE E11 2121 22EE 1 21EE2E E EE E11 2121 22

EEEE EE

0 2 y2y 2 2 2 y2y 2 ! 1 ! 1 ! 0 y2y 0 y2y 2y2y 2!y2y 2 2 1 ! 2 2 2 1 !y2y 12 2 dy 2 50 !y2y 2 1 2y x2 2 y 2 y2 xdx dx dy 5 02 2!y2y 2 y 2 y 2 2 x 2 dx dy 0 2!y2y 2 2 y2y 2 0 y2y 1 ! 2! 1 3 !y2y 2 2 1 y22 y 2 x2x 3x 2!y2y dx dydy 50 !y2y y2 2 y 2x 2 5 02 y 2 y x 2 3 2!y2y 2 dy 3 2!y2y 2 1 0 3 !y2y 2 1 x 1 2 44 y 2 y x 223y2 dy 55 yy22yy2 3y2 3dy dy 2!y2y 2 0 3 30 1 0 4 4 1 213y2 1 4y 21 y 1 dy 2 3y2 5 350 3 8 122 2y 2y2211 2 3y2dy dy 0 3 8 0 1 4 1 1ppy2y2 cos 4 4u 2 3y2

s s

d d

s

ss

s d d

s s s

d d d

4

s

df

ss

f

d

s

yd dx dy

44 d

d dg g

55 1 fcos 1 2us2y 2 1d g2y 2dy 5sen sin uu. 2y 2 115 5 3 6 8 0 2 dduu 6 22ppy2y2 2 py2 4 pp y2 1 cos u y2 5 5 11 2y 2 1 5 sin u 4 du 6526py2 cos 2cos 4dduu 6 00 py2 1 1 3p4 5 55 1 cos3p du5 p . Wallis’s de Formula Fórmula Wallis. 6 0 66 16 16 32 1 p 3p ■ 5 5 32. Wallis’s Formula 6 16 p 5 . ■ Valor promedio de una función 32 Average Value of a Function Recordar de la sección 4.4 que para una función f en una variable, el valor promedio de f Recall[a, from Section 4.4 that for a function f in one variable, the average value of f on sobre b] es Average fa, bg is Value of a Function

1 21 2

E

b Recall from Section 4.4 that for a function f in one variable, the average value of f on 1 f sxd dx. fa, bg is b2a a b 1 a function f in two variables, you can find the average value of f over the region Given f sxd dx.de f en dos variables, se puede encontrar el valor de f sobre la región R Dada una a afunción R bas2shown in the following definition. como se muestra en la siguiente definición. Given a function f in two variables, you can find the average value of f over the region R as shown in the following definition.VALUE OF A FUNCTION OVER A REGION DEFINITION OF THE AVERAGE

E

DEFINICIÓN DEL VALOR PROMEDIO DE UNA SOBRE UNA REGIÓN If f is integrable over the plane region R, FUNCIÓN then the average value of f over R is DEFINITION OF THE AVERAGE VALUE OF A FUNCTION OVER A REGION Si f es1integrable sobre la región plana R, entonces el valor promedio de f sobre R f sx, over yd dAthe plane region R, then the average value of f over R is Ifesf is integrable A R 1 A is the area of R. where f sx, yd dA A R

EE EE

dondeAAisestheel area área of deR. R. where

1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM Page 1000 14-2.qxd 3/12/09 18:26 Page 1000 1053714_1402.qxp 1053714_1402.qxp 10/27/08 10/27/08 1:30 1:30PMPM Page Page1000 1000

1000 14 14 Integration 1000 CAPÍTULO 14Multiple Integración múltiple 1000 Chapter Chapter Multiple Integration 1000 1000

Chapter 1414 Multiple Chapter MultipleIntegration Integration

z z z

EJEMPLO 6 Encontrar elthe valor promedio función EXAMPLE 6 6Finding Average Value ofdeaofuna Function EXAMPLE Finding the Average Value a Function

z

EXAMPLE 6 Finding the Average Value of a Function

1 EXAMPLE 6 value Finding the Average Value of a Function Find theelaverage of de f of x, the region R, where R isRR a is rectangle withwith fy x, y 2 xy 12over R, Find the average value xy over the rectangle Encontrar valor promedio sobre la region región R, where donde esaun rectángu1 3 vertices 0, 0 , 4, 0 , 4, 3 , and 0, . 1 0, 00), ,value 4, of 00), ,f (4, 4, 0,over 3 . the region R, where R is a rectangle with vertices 6 6 loFind con vértices (0, (4, (0, 3). thetheaverage value Find average of fx, x,y33)y, yand 2 xy 2 xy over the region R, where R is a rectangle with 5 vertices 0, 0 , 4, 0 , 4, 3 , and 0, 3 . 5 vertices 0,The 0 ,The 4, 0area , 4,the 3 ,the andrectangular 0, 3 . region Solution area of rectangular R isRAis A12 (see Figure 14.23). TheThe 12 (see Solution of region Figure 14.23). Solución El área de la región rectangular R es A 5 12 (ver la figura 14.23). El valor 5 5 average value is given by rectangular average value is given by Solution The area of the region R is A 12 (see Figure 14.23). The Solution promedio está The dadoarea por of the rectangular region R is A 12 (see Figure 14.23). The 4 4 average value is given byby 4 3 4 3 1 average value is given 1 1 1 1 1 1 f (x, y) = 2y)xy= 1 xy f (x, 4 4 f x, fy x,dA 2 y dA12 4 4 3 32 xy dy xydx dy dx 1 1 A 3 1 1 RA R 1 1 012 010 1 0 2 y) y) = 2=xyxy 3 f (x, f (x, f fx, x,y ydAdA xy dy dx 2 xy dy dx 4 A AR R 1212 3 3 1 0 0101 20 4221 3 3 2 xy xydx dx 2 4 44 2 112 1 1 02 43 03 0 1 012 2 xy dx 2 2 121210 40 149xy 0940 dx4 1 1 x dx 12 49 4044 0 x dx 12 1 9 1 y 1 1 1 y x dx 1 12 312134 42 104 0 x4 dx (0, 3)(0, 3) (0, 0)(0, 0) 1 2 y y x 1 1 1 16 21 4204x 0 16 3 1 (0, 3) 3 (0,(0, 0) 0) 2 R(0, 3)R x2 2 2 1 1 161632 23x 0 0 3 3 RR 8 8 2 2 (4, 3)(4, 3) 4 4(4, 0)(4, 0) 316 3 816 3 3 (4,(4, 3) 3) 3 163 8 4 4 (4,x 0) x 16 . . (4, 0) Figure 14.23 x x Figure 14.23 3 23 2 Figura 14.23 . Figure 14.23 2 2. Figure 14.23 6

6

for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.2 Exercises See www.CalcChat.com See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.2Exercises Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 14.2 14.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

14.2 Ejercicios

Approximation In Exercises 1– 4,1–approximate the the integral Approximation In Exercises 4, approximate integral by dividing the rectangle with vertices f x, y d A R 0, 0 0, , 0, by dividing the rectangle with vertices f x, y d A R R Approximation InInExercises 1–1– 4, 4,approximate the integral R Approximation Exercises approximate the integral and into eight equal squares and finding the 4, f0 x, ,4, y4, 2 , 0, 2 into eight equal squares and finding 0 , 4, 2 by , and 0, 2 the dividing R Rwith 0, 0, 0 0, ,the R R f 8x, yd A dividing therectangle rectangle withvertices vertices d Aby 8 Aproximación En los ejercicios 1 asquares 4, aproximar la integral and into eight equal and finding the 4, 0 , 4, 2 , 0, 2 squares 4, 0 , 4,f 2xi ,fyand 2 into xeight sum isyithe ofand the th square. A0,where ithe isRcenter the offinding square. ith(4,the i , yixi ,equal i , yi i Ai where el rectángulo eRe fsum yc d A ixdividiendo concenter vértices (0, 0), 0), 8ixx, 81 i 1 sum is is the center ofwith the square. f xf(0, ,xy,i2) AiAwhere xi ,xy,and ithith (4, y en ocho cuadrados iguales y hallando la suma i i sum2) where the center of the square. y y Evaluate the iterated integral compare it the approxii i i i and compare it with the approxiEvaluatei the iterated integral 8 i i1 1 mation. mation. Evaluate the iterated integral and it it with the approxidonde elcompare centro del cuadrado f x x , y c D A x x , y c i-ésimo. Evaluate integral and compare with the approxii i the iterated i i i es 4 2 i51 4 2 4 2 1 1 42 2 mation. mation. 2 dx 1. 1. lax integral 2. 2. con x ylady Evaluar iterada xy dyy dx dy dx y compararla xaproximación. y dy dx 4 42 2 4 2 04 020 0 1 21 04 4202 202 0 1. 1. 4 2x4 x 2 y ydydy 2. 2. 1 4 2 x4 x2y22dy dxdx dx y dy1 dx 2 sx 1 yyd 2dydy dx 1. 2. 00 0 x 2 x 2 3. 0 03. 4. 2204.0 00 0 0 x y dy dx 1 dy dx y 2 dx dy dx dy dx 4 420 2 4 42 2 x 0 00 0 0 0 0 0 x1 1 1y1 y1 1 3. 3. 4 2x 2x22 y 2y22dydy 4. 4. 4 2 dxdx dydy dxdx 1 3. 0 00 0 sx 1 y d dy dx 4. 0 00 0 x x 1 1y y 1 1 dy dx 5. Approximation The The tabletable shows values function a a sxof1a 1of dsay function 1 1df over 5. 0Approximation shows f over 0 0 0values square region Divide the region into 16 equal squares and R. square region Divide the values region into equalf squares R.tabla Aproximación LaThe muestra valores de función sobre 5.5. The table shows of function over a a and 5.Approximation Approximation table shows values ofa una a16function over fƒto select beto the point in the closest the xi, ycuadrada ith select beDividir the point in the16 square closest to the ,to yR. ith ixiR. una región R. la región ensquare 16 cuadrados iguales square region the region into equal squares and i Divide square region Divide the region into 16 equal squares and origin. Compare this approximation with that obtained by using origin. Compare this approximation with that obtained by using y elegir como el punto más cercano al origen en el cuadras x , y d select bebethethepoint in inthetheithithsquare closest xi,xy,i y to i select point square closestto tothethe iin ithetoith the point square farthest from the origin. the point in the square farthest from the origin. ith do i-ésimo. Comparar esta aproximación con la obtenida usando origin. Compare this approximation with that obtained by using origin. Compare this approximation with that obtained by using 4punto 44 4 elthe lejano al origen en el cuadrado i-ésimo. the point inmás square farthest from thethe origin. ith f x, ythethe dy dx in square farthest from origin. ith 0 0point 0 0 f x, y dy dx

o

EE EE

EE EE

4 44 4 0 00 yf0

x

y x 0x 0 100 1 211 2 322 3 433 4 44

x, y dy dx f x, y0 y 0dy1 dx 1 2 2 3 3 4 x y y0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 031 3128 1 2823 22316 0 32 32 3232 32 3131 2827 2322 1615 28 27 232822 16 3130 3031 1 31 3131 31 3030 2724 2219 1512 27 24 222719 15 2827 2730 2 28 2828 28 2727 2419 1914 1212 24 19 192414 7 2322 2227 3 23 2323 23 2222 1912 22 147 197 07 1615 1519 1214 7 4 16 12 1616 16 1515 1215 7 12 7 00

6. Approximation The The figure shows the level curves for afor func6. Approximation figure shows the level curves a function over a square region Approximate the integral using f R. tion over a square region Approximate the integral using f R. 6. 6.Approximation The figure shows thethe level curves forfor a funcApproximation The figure shows level curves a, yfuncfour squares, selecting the R. midpoint of each square as xusing four squares, selecting the midpoint of each square as i ixi., yi . tion over a square region Approximate the integral f tion f over a square region R. Approximate the integral using y curvas 2 22 2 6.four Aproximación La figura muestraoflas deasnivel de una ysquare squares, selecting thethe midpoint each four squares, selecting midpoint of each square asxi,xyi,i y.i . f x,ƒfy en dyyuna dxdyregión función cuadrada R. Aproximar la integral emx, dx y y 2 22 2 0 00 0 pleando cuatro cuadrados y tomando el punto medio de cada 2 f x, y ydydy dxdx 2 f x, como sxi, yi d. 2 2 0 cuadrado 00 0

EE 2

0

2 2 1

2

f sx, yd dy dx

8

163

4

23 15

16

22 12

15

719 14 0 7

12 7 0

4 4 6 2 2 4 8 4

6 6 1 1 2 10 8 10

0

8 1010 1

2 1

41

2

6 1 1

2 2

x 2 x x

x

8 evaluate In Exercises 7–12, sketch the region evaluate the iterated R and In Exercises 7–12, sketch the region the iterated R and integral f x, y dA. 10 integral f x, y dA. R InIn Exercises 7–12, sketch the region and evaluate the iterated R R x Exercises 7–12, sketch the region R and evaluate the iterated 1 2 integral x, x, y ydA. 2 R1 2f f 2 1 2 integral dA. R 2 x cos 2 x2 cos 2 ydx 7. 7. 1 12x 2x2y dy y dy 2y dx dy dx 8. 8. 2 sin sin dy dx 2 21 1 0 00 0 0 0 0 20 2 2 2 7. 7. 6 316 1 3 2x2x 2y2ydydy dxdx 8. 8. sinsinx2 cos y dy dx x cos lay integral dy dx En 0los0 ejercicios 7 a 12, dibujar la región R y evaluar 0 00 0 0 0 9. 9. y dy dx dy iterada e exf xx,xyycdx dA. 6 63 3R 0 y 02 y 2

4

y 6 1

EE EE EE EE

9. 9. 4 4yx x yy ydxdx dydy 2 1 0y 2y 2 x2 y2 dx 2 2dy 10.7. 010. x y dx s1 1 2x 1 2ydy d dy dx

EE EE

p py2 sen 8. sin2 x cos2 4 4 1y y 1 0 2 y0 2 y2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 10.10. a axa xy xydx dy x2 dy a2 dx 1 1 4 !y 026y 2 3 y 11. 011. x xy dyy dx dy dx 2 2 9. a aa a aaa2x2x 1 10. dy x2 y2 dx dy xx22a2y xdx 2 11.11. 01 yy2 x x y ydydy dx1dx1 1 y 1 y 0 12 y 01 0 a2 a2x2x2 xy22 x y a a ! x y x ydy a ae 2x edx dy 12. 12. dx dy1 1 y e edx dx dy 1 10 0 1 01 y 0 y 1 0 11. x 1 y dy dx 0 0x xy y 0 y y1 y2 dx 12.12. 2a 2e!xea2x2x dx dydy e e dxdx dydy 0 0y y1 1 0 00 0 1 0 1 12y

12.

0

s

y21

d

s

d

e x1y dx dy 1

EE 0

0

e x1y dx dy

y dy dx

14-2.qxd

3/12/09

18:26

Page 1001

1001 1001 1001

14.2 Double DoubleIntegrals Integralsand andVolume Volume 14.2 SECCIÓN 14.2 Integrales dobles y volumen InExercises Exercises13–20, 13–20,set setup up integralsfor forboth bothorders ordersofofintegration, integration, In En ejercicios a 20,integrals dar order una integral parathe cada ordenover de andlos use themore more13 convenient toevaluate evaluate integral and use the convenient order to the integral overla integración y utilizar el orden más conveniente para evaluar the region R. the region integral enR. la región R. 13. 13. 13.

EEEE EEEE

25. 25. 25.

26. 26. 26. zz

+y y++z z==22 xxx++ y+z=2

2 22

3 33

xy d A xy xy dd A A

R R R

z zz

2x + 3y++4z4z==12 12 2x 2x++3y 3y + 4z =z12

R: rectanglewith with verticess0, s0, 0d, s0, 5d, s3, 5d, s3, 0d R: rectángulo convertices vértices s0,00dd,,ss0,0,55dd,,ss3,3,55dd,,ss3,3,00dd R: rectangle

14. 14. 14.

sin xsin sin y d A sin sen sin xx sen sin yy dd A A

R R R

R: rectanglewith s2p, 0d, sp, 0d, sp, py2d,d,s2 s2p, py2d d with verticess2 R: rectángulo con vertices vértices s2pp,,00dd,,sspp,,00dd,,sspp,,ppy2 R: rectangle y2d, s2pp,,ppy2 y2d y y y dA 15. 15. 15. R xx22 211yy22 2dd A A R R x 1 y R: trapezoidbounded 2x, x 5 1, xx5522 boundedby byyy55x,x, yy552x, R: triángulo acotado por y 5 x, y 5 2x, x x551,1,x 5 2 R: trapezoid 16. 16. 16.

EEEE EEEE

27. 27. 27.

28. 28. 28.

z z

z

EEEE EEEE

4

1 1 x

y=x y y==x x

1

y

y=1 y y==11

2

z

EEEE

2 2 sxsx2 11yy2d dddAA

! semicirclebounded bounded byyyy55 ! R:R:semicircle semicírculo acotado by por 5! 2xx2x,22,y, yy55 5000 R: 44422

2

2 2

1

z

z=e

− (x + y)/2

z z==e e− (x + y)/2

y y

2 2

2 x2 2 y

y

2 y y

y = x 22 y = 2 y y==x x y y==22

z 1 1 1

0≤x> a>>volume 0,planes 0.the where and >acotado xfirst aa octant yintegration. bbounded cby 1,1, coordinate and the plane 52. Find the of0,0, the solid in the In 53 – 58, sketch the region of Then x y b z c coordinate planes and the plane c a 0, b 0, 0. where and > > > In sExercises Exercises 53 – 58, sketch the region of integration. Then donde y xya d 1 s yyb d 1 s zyc d 5 1, a > 0, b > 0, c > 0. aa>53 0,–0,58, bb>>sketch 0, where >switching x a theintegration. y b of integration z cThen1, coordinate planes and thecthe plane iterated integral, order cthe 0,and 0. wherethe and >53 >0. In Exercises region In Exercises 53 ––58, the region of Then Inevaluate Exercises 58, sketch sketch region of of integration. integration. Then evaluate the iterated integral, switching the order of integration aiterated b– 58, 0,sketch 0. region where and cswitching > 0, >integral, >the if necessary. In Exercises 53 of integration. Then evaluate the the order of integration evaluate the iterated integral, switching the order of integration evaluate the iterated integral, switching the order of integration if necessary. En los ejercicios 53 a 58, trazar la región de integración. Después InIn Exercises 53 ––58, sketch the region ofof integration. Then Exercises 53 58, sketch the region integration. Then evaluate the iterated integral, switching the order of integration ififevaluar necessary. necessary. 1 1 2 ln 10 10 if necessary. iterada y, sithe es necesario, cambiar el orden de 1 la 1integral 2 5322– 58, ln 10 of 10 integration evaluate the integral, switching In Exercises sketch regionthe oforder integration. evaluate theiterated iterated integral, switching the order of 1integration 1 dyThen x2 if necessary. 53. 54. dx 111 111222 e ln integración. lnorder 10 10 53. 54. e2 x dx dx dy dy dy dx ln10 10 10 10 ifif necessary. evaluate the iterated integral, switching the of integration ln yy xx 1 1 dy necessary. 0 2 0 x 1ln 01 yy 1e 2e2e xx2x2dx 0ln 10 ee 10 53. 54. 53. 54. dx dy dx 53.necessary. 54. ln dxdy dy dydx dx 11 1y2 if 1ydy 1 2 4 2xx2222 ln3310 10 e11xx10 10 ln y ln y 2 ln x 10 1 0 y 2 0 1 1 2 ln 10 0 y 2 0 e e 1111 dydydxdx 53. 0 2y 2 e42x 54. 0 e x2x 2dxdxdydy 2 53. 54. 2 55. 56. 53. 54. 4 y dy dx dx dy e dx dy dy dx ln y x 2 x 1 1 2 ln 10 10 3 1 55. 20220 yy2y 4424 exxx2 22 22dx dy 56. 4 y dy dx dxdx dy 53. 54. 030300 11y ee3xxe111ln ln1 yyxy44dy 4x x2 0 y2 2 222dy dx x 1ln x 03 y 13 e1 53. 54. dy dy dx 55. 56. y dx dy 2 e44 xx2dx4 55. 56. 4 y dy dx dx dy 55. 0122 yarccos 56. 4 y dy dx dx dy 4 y 4 4 1 2 3 1 ln y 1x x 2 dy dx 4444 xxx2yx2 22 55. 022221y 2arccos 56.0000 y3yy33311e1 11xx 4 dx dy 2 2x 57. sin xx 4 11y 2y2dy sin 55. dx x4 dxdxdydy arccos 30 1y 3 1 57. 1121 arccos sin x dx dx dy dy56. 2arccos x2 4 4 yy4yx2 2sin 55. 56. 4 y dy dx 0 0 222x dx dy 4 sin 0 y 3 11 1 xx 4 2sin 0arccos 2x 57. 1 yxsin 57. sin x 1 sin x dx dy 55. 56. 4 y dy dx dx dy 4 x 0 y 3 57. 1022212arccos x 1 sin x dx dy 2 y 2 x4 2 x dx dy arccos 4 y yx2sin x 1 0 y 3 1 57.00201201020arccos sin 2 58. y cos y dy dx 57. sin dy 58. 2120 2arccos dx2 2xxdx 20 y sin 57. sinyxxcos x 111y1dy sin dxdy dy ! 57. sin sin x dx sen 0 1 2 x 22sen 58. yyycos 58. cos dy dx 58. 002002002012 2 x 2 sin cosyy1ydy dydx dx2 x dx dy 57. x sin 22 2 0 1 2 x 2 2 0 1 2 58. 00 01 2xx y cos y dy dx 58. 58. 020 12 12 2 2x 2 yycos cosyydy dydx dx x 58. 0 1 2 x 2 y cos y dy dx

EE EE 0

1 2 x2

E E

Average Average Value Value In In Exercises Exercises 59– 59– 64, 64, find find the the average average value value of of f x, y R. over the region Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of Average Valuethe In Exercises 59– 64, find the average value of fValor x, y promedio R. over region En los ejercicios 59 a 64, encontrar el valor Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of fffx, R. the x, R. over the region x,yyy over R. la región over thefregion region Average Value InIny)Exercises 59– promedio de (x, sobre R.find f x, y x 59. Average Value Exercises 59–64, 64, findthe theaverage averagevalue valueofof f x, y x 59. f x, y over the region R. f x, y R. over the region Average Value In Exercises 59– 64, find the average value of f x, y x 59. f f yx, 59. x, yyd 5xthe xx region 59. f x, R. R: 0, rectangle with R: 0, 00 ,, 4, 4, 00 ,, 4, 4, 22 ,, 0, 0, 22 rectangle with vertices vertices sover x,yover f 59. x,R:yffrectangle R. region x, y thexwith 59. 000,0, ,d4, 000,0, ,d4, 222,2, ,d0, 2222d vertices 0,0, rectangle with vertices rectangle with vertices fR: yyy xx2xy 59. x,rectángulo 60. con vértices0, R: s0, ,4,4, s4, ,4,4, s4, ,0,0, s0, 2xy 60.R: ffx, x, 59. R: rectangle with vertices 0, 0 , 4, 0 , 4, 2 , 0, 2 f x, y x 59. f x, y 2xy 60. x, yrectangle 60. ff(x, x,rectangle yy) 52xy 2xy 60. R: 0,000, ,, 4,4, 5, 5, 0,2233 rectangle withvertices vertices 0,0, 60.fR: 2xywith 5,000, ,, 4,4, 5,2233, ,, 0,0, R: with vertices frectangle x, y 2xy 60.R:R: 2 2 rectángulo con vértices0, (0, (5, (5, (0, R: 0, ,, 5, 4, ,, 5, 4, ,, 0, 0, rectangle 0000,,0), 0000,,0), 3323,,3), 3323 3) with vertices R: 0, 5, 5, 0, rectangle with vertices R: 0, 5, 5, 0, rectangle with vertices 2with 2vertices f x, y 2xy 60. f x, y x y 61. x y 61. f x, y 2xy 60. R: rectangle with 2 1 2 vertices 0, 0 , 5, 0 , 5, 3 , 0, 3 22x 22y 2 2 61. f s x, y d 5 f x, y 2xy 60. f x, y x y 61. x, yrectangle yyvertices 61. f R: x,rectangle y xx with 61. fR: with vertices R: square 0,0,000,0,,0,2, 2, 2, 0, square with vertices , 5,005,0,,0,2, , 5,225,3,,3,0, , 0,220,33 with vertices0, 2 con 2 cuadrado vértices R: s00, 0,, 002,d,, 0s5, 2,, 002,d,, 2s5, 2,, 320,d,, 2s0, 0, 2d fsquare x, y with 61.R:R: 2x with 2yvertices rectangle 0, 0 vertices R: 0, , 2, 0 , 2, 2 , 0, 22 3 square with vertices R: 0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, square with vertices f x, y x y 61. 1 ff x, yy x2 1 y2 61. x, 62. 62. x,ysquare y x21xwithyy2vertices 0, 0 , 2, 0 , 2, 2 , 0, 2 62.f fR: x,square 61. R:R: with x11 vertices yvertices 0,0,00, , 2,2,00, , 2,2,22, , 0,0,22 62. x,x,yysquare 62. y x with 62.ff fx, y1yyvertices x x R: triángulo con vértices0,(0, R: 00, ,000),2, 0 ,000), 2, 21, ,111)0, 2 square with R: 0, ,, (1, 1, ,, (1, 1, triangle with 1 f x,triangle y 62. R: 1, with vertices vertices f ftriangle x,x,yy with 62. xx 1 yvertices y R: 0, 000,, , 1, 000,, , 1, 111 62. R: 0, 1, 1, triangle with vertices R: 0, 1, 1, triangle with vertices 63. x y 1 x y f x, y e 63. 63.f fx,x,y y xe y 62. R:ytriangle vertices 0, 0 , 1, 0 , 1, 1 xxx ywith y y x y f x, e 63. x, ytriángulo 63. fR: x,triangle y ee with 63. fR: convertices vértices 0, (0, , ,, 1,(0, , ,, 1,(1, R: 0,0000), 0, 1,1111) triangle with vertices 0,00111), R: 0, 1, 1, triangle with vertices x, y with e x y yvertices 63.R:R:ftriangle xwith 0, 0 , 1, 0 , 1, triangle vertices 0, 0 , 0, 1 , 1, 1111 R: 0, 0 , 0, 1 , 1, triangle with vertices R: 0, 0 , 0, 1 , 1, triangle with vertices 64. f x, y e 63. f x, y sen x y 64. x yx y 64. f x, y esen 63. R: triangle vertices 0, 0 , 0, 1 , 1, 1 x with y f x, y e 63. f x, y sen x y 64. x, yrectángulo xwith yyvertices 64. fR: x,triangle y sen sen xcon 64. fR: vértices 0,0,(0, 00, 1,,,1,1(p with vertices R: 0, rectangle 0,0,000), 0, p) rectangle with vertices R: , 0,,,0,(1p1,, 00,0), 1,,, p),,, (0, triangle with vertices x, y sen xvertices y 64.R:R:frectangle 0, 00Cobb-Douglas ,,, ,0, ,1, ,00,0,de 1, 1,, , production triangle with 0, ,, , 0, with vertices R: 0, 0 , 0, rectangle with vertices R: 0, 0 , 0, rectangle with vertices 65. Producción promedio La función producción Cobb-Douf x, y sen x y 64. 65. Average Production The function 65. fAverage Production function x, y sen x y The Cobb-Douglas production 64. 0.6 y 0.4 0.6 0.4 R: 0, 0 , is f, 0x, ,yesproduction ,f sx, ,yd0,5 rectangle withyvertices glas para un fabricante de automóviles 100x 0.6 0.4 y ,, where 100x for an automobile manufacturer f x, y sen x 64. 65. Average Production The Cobb-Douglas function 65. Production The Cobb-Douglas production function 65. Average Average Production The Cobb-Douglas production function y f x, y 100x for an automobile manufacturer is where R: 0, 0 , , 0 , , , 0, rectangle with vertices R: 0, 0 , , 0 , , , 0, rectangle with vertices 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 donde x number esProduction elwith número deThe unidades ynumber número de xxAverage yyy,yyis is of units of labor of units 65.for Cobb-Douglas production function yyely0.4 ,, ,where ffde 100x an automobile manufacturer x, 100x for an automobile manufacturer where f,x, 100x for automobile manufacturer whereof isanthe the number of units of labor and is the the number of units of R: 0,Cobb-Douglas 0 ,isisisand 0x,trabajo ,production , y0,es rectangle vertices 65. Production The function 0.6 y 0.4 65.xxAverage Average Production The Cobb-Douglas production function unidades de capital. Estimar elproduction nivel promedio de0.6 producción si capital. Estimate the average level if the number of , where x, ythe 100x for annumber automobile manufacturer isyyfyis is the of units of labor and the number of units of is the number of units of labor and is the number of units of x is the number of units of labor and is number of units of capital. Estimate the average production level if the number of 0.4 yyfunction , ,where 100x for ananautomobile manufacturer isisf f x,x,yy production 65. Average Production Thede Cobb-Douglas 0.6 0.4 100x for automobile manufacturer where el número x dexxthe unidades trabajo varía entre 200 yof 250 yofof el units of labor varies between 200 250 the number x is y is the number of units of labor andand the number units capital. Estimate average production level ifand the number of capital. Estimate the average production level if the number of capital. Estimate the average production level if the number units of labor varies between 200 and 250 and the number of 0.6 0.4 xxisisan the number ofofmanufacturer units ofoflabor and the number ofof yofof,units f yx,yisyentre 100x for automobile isand where the number units labor is250 the number units número yEstimate dexxunidades debetween capital varía 300 ythe 325. yy varies units capital 300 and 325. capital. the average production level if number units of labor between 200 and 250 and the number of units of labor varies between 200 and 250 and the number of xvaries units ofof labor varies between 200 and and the number ofof units of capital varies between 300 and 325. Estimate the average production level if the number xcapital. y is the number of units of labor and is the number of units of capital. Estimate the average production level if the number of x units of labor varies between 200 and 250 and the number of y units of capital varies between 300 and 325. y units of capital varies between 300 and 325. y units of capital varies between 300 and 325. 66. Temperatura Laproduction temperatura en grados Celsius 66. Average Temperature The temperature in degrees Celsius 66.capital. Average Temperature The temperature inand degrees Celsius on xxpromedio units ofofEstimate labor varies between 200 and 250 the average level if the number ofon units labor varies between 200 and 250 and the number of2 2 2 y units of capital varies between 300 and 325. sobre la superficie de una placa metálica es T(x, y) 5 20 2 4x 2 2 y , the surface of a metal plate is T x, y 20 4x where 66. The temperature in degrees on 66. Average Temperature The temperature in325. degrees Celsius on 66.Average Average Temperature The temperature in degrees Celsius on y , where the surface ofx yavaries metal plate is 200 T300 x, yand 20 capital between units of Temperature labor between and 250 and4x theCelsius number of yyvaries units capital varies between 300 and 325. 2, of 22Estimar 2,2 where 2 the 2 yand donde ymetal están medidas en la temxxAverage yy Temperature are in Estimate average 66.the The in degrees on yy2yCelsius surface of axaameasured plate isisiscentimeters. TTtemperature x, yyycentímetros. 20 4x , the surface of metal plate x, 20 4x where , the surface of metal plate T x, 20 4x where and are measured in centimeters. Estimate the average y units of capital varies between 300 and 325. 66. Temperature The temperature inindegrees on 2 Celsius 2yyvaries 66.xxAverage Average Temperature The temperature degrees Celsius on peratura promedio si x varía entre 0 y 2 centímetros y varía temperature if x varies between 0 and 2 centimeters and y , the surface of a metal plate is T x, y 20 4x where and y are measured in centimeters. Estimate the average and y are measured in centimeters. Estimate the average x and y are measured in centimeters. Estimate the average temperature variesplate between 0x,and 2 centimeters and varies y2,2,ywhere the surface ofofifaaxmetal 20 4x4x2 2 Celsius 66. Average Theistemperature in degrees on the surface plate is0T00Tand x,yy222centimeters 20 where entre 0 yTemperature centímetros. between 004are 44metal centimeters. x and measured in centimeters. Estimate they2yyyvaries average temperature ififand between temperature xaxvaries varies between and centimeters and varies ifxmeasured varies between and centimeters and varies between and centimeters. 2 and xtemperature and y are in centimeters. Estimate the average y , the surface of metal plate is T x, y 20 4x where xtemperature and 00y0and are in centimeters. Estimate the if xcentimeters. varies between 0 and 2 centimeters and average y varies between 44measured between and centimeters. between and centimeters. ifif x4O varies between 00and 22centimeters and yyvaries xtemperature and y Gare measured inNcentimeters. Estimate the average temperature x varies between and centimeters and varies W R I T I N A B U T C O C E P T S between 0 and 4 centimeters. Wtemperature RITING AifBx4Ovaries U T Cbetween O N C E 0P and T S 2 centimeters and y varies between 00and centimeters. between and 4T centimeters. W R I T I N G A B O U C O N C E P T S W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 67. State the definition of a double integral. If the integrand 67. State 0theand definition of a double integral. If the integrand is is Desarrollo conceptos between 4de centimeters. W R I T I N G A B O U T C Ndouble C E Pthe Tintegral. SregionIfIfof a nonnegative function over integration, give 67. State the definition of aaON double integral. the integrand isisis 67. State the definition of double integral. the integrand 67. State the definition of a If the integrand a nonnegative function over the region of integration, give W R I T I N G A B O U T C O C E P T S W REnunciar Ithe TIN GtheAla BO U T CON Eintegral PofTaSintegral. 67. definición deC doble. Dar la interpreinterpretation double integral. 67. State aC double If the integrand is over of give function the of integration, give anonnegative nonnegative over the ofIfintegration, integration, give the geometric interpretation of aregion double integral. W RaaIState Tnonnegative I Ngeometric G Adefinition Bdefinition Ofunction Ufunction T CofOofN Ethe P T region Sregion 67. the aover double integral. the integrand ises tación geométrica de una integral doble si el integrando 67.the State the definition of a double integral. If the integrand is a geometric nonnegative function over regionwhose of integration, give interpretation of athe double integral. the geometric interpretation of a double integral. the geometric interpretation of a double integral. 68. Let be a region in the plane area is If R xyB. 68.State anoregion the the plane whose area is give R be xyB. auna nonnegative function region of integration, 67. the definition of in a over double If the integrand isIf función negativa sobre laintegral. región de integración. aLet nonnegative function over the region of integration, give geometric interpretation of double integral. for every point in what is the ffthe x, yybe x, yyaregion R, 68. aakkaregion in the plane whose area isisisvalue IfIfIfof R xyB. 68. Let be region in the plane whose area R xyB. 68.Let Let be region in the plane whose area R xyB. for every point in what is the value of x, x, R, geometric interpretation of a double integral. athe nonnegative function over the of integration, give the R geometric interpretation of cuya a double integral. 68. una región en point el esisisB. Si value ƒ(x, 5 Explain. ddaA? 68.ffthe Let region inplano the plane whose area is y)B. Ifk every in what the of x, yyyff Rx, kbe x, yxyfor every point in what the value of x, kyykfor x,of yyaplane R, R for every point inR, what isarea the value of fSea x, x,xy R,área Explain. x, A? interpretation double integral. R geometric 68. Let be a region in the whose is If R xyB. todo punto (x, y) en R, ¿cuál es el valor de 68.Rpara Let be a region in the plane whose area is If R xyB. for every point in R, what isofthe value of f ffx,fx, yx,yyrepresent kA? x, y northern Explain. Explain. Explain. y dkddaA? A? 69. aa county part the United R 69.Let Let represent county inxythe northern part the United R every ininR,R, what isarea the value fReRfLet x,x,yfRx, x,the yplane 68. be region inpoint thein whose isvalue Ifof B. of yyd kdfor for every point what isof the ysx,x, x, ythe Explain. frepresent dA? A?aExplicar. RRe States, and let represent total annual snowfall f x, y 69. Let county in the northern part of the United R 69. afaExplain. county ininthe part the United 69. Let county theynorthern northern part ofthe the United States, let represent the total annual snowfall at x, ypoint Explain. x,represent yand dfor in R, what isof value ofat fLet x,RfyRfrepresent x, R x, ykcondado dA? A?every R R 69. Sea un en la parte norte de Estados Unidos, y sea the point in Interpret each of the following. x, y R. 69.States, Let represent a county in the northern part of the United R and let represent the total annual snowfall at f x, y States, and let represent the total annual snowfall at f x, y States, and let represent the total annual snowfall at f x, y the point incounty each of thepart following. R. Interpret y dx, A?y Explain. R fRx, 69. Let represent a in the northern of the United ƒ(x, y) laand precipitación anual de nieve enfollowing. elfollowing. punto (x, y) de R. 69.the Let aR. in each the northern part of snowfall the United R represent States, represent the annual at x,county yInterpret point in Interpret of the x, point ininfR. Interpret each of the following. x, R. the point each oftotal the x,yyylet States, and represent the atat x, 69. the Let county in the northern part ofdsnowfall the United R represent Interpretar cada uno los siguientes. States, andlet letyf afin represent thetotal total annual snowfall x,yR.y de ffannual x, y A the point Interpret each of the following. x, x, y d A the point theannual following. yyfinin States, andx,x, let represent the of total snowfall at x,R.yR.Interpret R the point Interpreteach each of Rf fthe x, x,x,yyfollowing. (a) (b) y dddAAA (a)point ff x,x, (b) Rof fthe x,yyy indd A A the Interpret each following. R. f s x, y d d A R R R dA (a) (b) (a) (b) x,x,yyy dddAAA (a) Rff fx, (b) RR f fx,x,yddyA Ad A a) b) R fRRdx,Ay d A (a)RRR f sfx,x,ydy ddAA (b) AA d A R f x,ddy (a) (b) invalid. R R f x, y d A f the x, y expression dA 70. Identify that RRR ddAAExplain 70. (a) Identify the expression that(b)is is R invalid. Explain your your R (a) (b) R f x, y d A A RR d Explain reasoning. 70. Identify the expression that is invalid. your d A 70. the Explain your 70. Identify Identify the expression expression that that isis invalid. invalid. Explain your reasoning. R R 70. Identificar la expresión que es inválida. el razonad A Explain RExplicar 2 2 70.reasoning. Identify your reasoning. reasoning. 2 3 3 the expression that is invalid. 2 yy 70. the expression that isis invalid. Explain your R miento. 70. Identify Identify the expression that invalid. Explain your a) b) f x, y dy dx yy dy dx reasoning. 222 333 f x, y dy dx 222 yyy ff x, a) b) x, dy dx reasoning. 70. Identify the expression that is invalid. Explain your 0 0 02 ff0 0f3x, 02 f0 0fyfx, a) b) a) b) x,x,yyy dy dy dx x,x,yyy dy dy dx a)reasoning. b) dydx dx dydx dx 2 02 33 2 02 y xx reasoning. 2 3 2 0 0 a) 00 200 3 f x, y dy dx b) 00 200 y f x, y dy dx c) d) f x, y dy dx f x, y dy dx a)a) b) f x, y dy dx f x, y dy dx c) 22220 33330 f x, y dy dx d) 22220 xxyx0 f x, y dy dx b) 00 0fxx x, y dy dx 00 0 f0 0 0 0 c) d) x, y dy dx 2 3 2 x a) b) f x, y dy dx f x, y dy dx 0 0 0 0 c)c) d) f f x,x,yy dy f f x,x,yy dy d) dydx dx dydx dx 2 3 x 00002 02000and 71. R 3 f x, region x f let 0 x2x0xplane c) 000the y dy dx x, ythe dx 71. Let Let the plane region be aa unit unitd)circle circle and let thedymaximum maximum R be c) d) f x, y dy dx f x, y dy dx 2plane 3x ff region 2and x0 let 0plane 0and value of on be 6. the greatest value 71. the unit circle the c) d) x, yR fpossible y maximum dy dx 71. Let the region be unit circle let the maximum Rdx 71.Let Let the region be unit circle letx, the maximum Rbe value of be 6.aaaIs Is the greatest possible value of of RdyR 0 plane x f on 0 and 0 c)Let fthe d) x, yRR dybe dx6. f x,not? dy dx 0x, fplane xy 0 why 0possible equal to 6? Why or If not, dy dx 71.value region be athe unit circle and lety the maximum R Is greatest value of value of on 6.6. IsIsathe greatest possible value of fyffon R value of onregion beR the greatest possible value of Rbe equal to 6? Why or why not? Ifmaximum not, what what f0of x,plane dy dx R the x 0 and 0 71. Let be unit circle let the 71.RSea Let the region unit and let the maximum 71. la región plana RR un círculo unitario ynot? el If máximo valor is possible value? value of on 6.be IsaWhy the circle greatest possible value of f dx R be equal to 6? or not? what ffthe ygreatest dy equal to 6? Why or why not? If not, what x, yplane dx equal to Why orwhy why Ifnot, not, what fx, x,of yplane dy dx is the greatest possible value? RR value on bebe Is the greatest value ofof fdy R 71. Let the region be a6? unit circle andpossible let the maximum R6. value of on 6. Is the greatest possible value f R f sobre R sea 6. ¿Es el valor más grande posible de equal to 6? Why or why not? If not, what f x, y dy dx isisisde the greatest possible value? the greatest possible value? the greatest possible value? R Why or IfIfnot, value ofyyf dy on be 6.toto Is6? the greatest value Requal R f f x, equal 6? Why orwhy why not?qué not, what dydxdx igual avalue? 6? ¿Por qué sí possible onot? por no?what Siofes isR thex,greatest possible isno, possible value? equal to 6? Why or why not? If not, what f ¿cuál x,greatest y es dy el dx Risthe the greatest possible value? valor más grande posible? is the greatest possible value?

EE

EE EE

3714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM 1:30 Page 1003 14-2.qxd 3/12/09 18:26 Page 1053714_1402.qxp 10/27/08 PM Page 1053714_1402.qxp 10/27/08 1:30 PM 1003 Page 1003 1003

14.2 Integrals and Volume 1003 14.2 Double Double anddobles Volume 1003 1003 14.2 SECCIÓN 14.2 Integrals Integrales y volumen 14.2 Double Integrals and Volume 1003 14.2 Double Integrals and Volume 1003 14.2 Double Integrals and Volume 1003 1

2

2

EE

4

EE

1 2 2 4 1 2 3 CCAAPPSSTTOONNEE 1 2 2x 3 48 80. dx C A P S T O N E 79. 79.1 2 sen 80.2 4 20e sen1 2xx yy dy dy dx dx 20e2 x4 8dy dy 79. dx 3 2x y8 Para discusión 0 0 0 0 ! following iterated integrals to 79. 1 2 sen sin x 1 y dy dx 0 080. x32 8 4 20e 3 0dy 0dxsen C A72. P S TThe OC EP 0 0 72. The following integrals represent represent the the solution solution72. to the the EE The following represent the to the 0 dy0 dx xx3 88 CNA A PS S TT O ON Niterated 79. iterated 80.solution 20e sen integrals x0 0 y dy dx

Double Integrals

2

x

y dy dx

80.

0 79. n 8sen 80. n 20e xx yy dy dy same problem. Which iterated integral is easier to evaluate? dy dx dx 0 m dy dx dx m 20 Which iterated integral is easier tothe evaluate? m0 79.4, 4,iterated n 0 8sen m0 80.10, 10,0 n0 20e 20 72. Thesame following integrals represent the solution tosolution the 72.problem. Lasiterated siguientes integrales iteradas representan la same solución al 0 Which problem. integral is easier to evaluate? m 4, n 8 m 0 72. The following iterated integrals represent to the 0 0 0 0 72. The following iterated integrals represent the solution to the m 5 4, n 5 8 m 5 10, n 5 20 6 2 4 2 Explain your reasoning. 6 2 Explain yourWhich reasoning. 6 2 4 same problem. iterated integral is easier tois mreasoning. 4, ny m 86 4, m 410,2 nm mismo problema. ¿Cuál integral iterada es másto de evaExplain your same problem. Which iterated integral easier evaluate? 88 nn dy20 2x n 2y33 dx same problem. Which iterated integral isevaluate? easier tofácil evaluate? 81. 82. m 4, ndx mxx3342010, 10, cos dy 4 2 2 2y 81. 82. y cos x dx dy y dx dy203 y cos x dx dy 6 42 0 4 12 1 81. 82. 3 4 2your 2razonamiento. 2y Explain reasoning. luar? Explicar el 6 2 4 2 ! ! 4 2 2 2y Explain your reasoning. 81. 6 2 y cos x dx dy 82.3 4 23 x 1 y4 dx dy Explain 4 0 1 1 0 1 sen y 22 dy your dx reasoning. sen y 22 dx dy 3 81.y 2 dymdx 82. y cos dyy 2 dxxx dy x n 1 y 14dxxxdy 3 81. 82. dx yy33 dx 4 02 x 2 sen4 y 2 dy dx 2 02y 0 sen2 y 2ydx dy sen sen 81. 82.6, cos dx dy dy dx dy dy 4, nn4 x 0dx 8y8y cos m 4 2 2 2y m 4, m 6, n 4 4 0 1 1 m 4, n 8 m 0 x 2 2 0 0 4 0 1 1 2 0 x 2 0 0 4 0 1 1 2 2 m 5 4, n 5 8 m 5 6, n 5 4 sen y dy dx sen sen sen yy 2 0dy dy0dx dxsen y dx dy sen yy 2 dx dx dy dy m 4, n m m 6,determine nm n 88 nn 44 value 0 x 2 m 8 4, 4,In m 4 6, 6, which 0 0 Approximation 0 xx 2 2 0 0 0 Approximation InnExercises Exercises 83 83 and and 84, 84, determine which value Approximation In Exercises 83 and 84, Aproximación En los ejercicios 83 y 84, determinar qué valor best approximates the volume of the solid between the -plane xy best approximates the volume of the solid between the -plane xy Approximation In Exercises 83 and 84, determine which value best approximates the volume of the sol Approximation In Exercises 83 and 84, determine which value Probability A joint density function of the continuous random Approximation In Exercises 83 and 84, determine which value aproxima mejor el volumen del sólido entre el plano xy y la función and the function over region. (Make your selection on the Probability A joint density function of the continuous random conjunProbability A joint density function ofthe thethe continuous random and thebest function over the region. (Make your selection on the Probabilidad Una función de densidad de probabilidad best approximates the volume of the solid between the -plane xy and the function over the region. (Mak approximates volume of the solid between -plane xy variables function the following xx and y is ff x, yy satisfying best the volume ofnot the solid between the xy-plane sobre la fregión. (Hacer la elección con base en un dibujo sólido basis of aa approximates sketch solid and by performing any variables isAaajoint function satisfying the x,function Probability joint density function of the continuous variables and is afunction function satisfying the following xfunción y the x,of y the of sketch of the solid and not by performing anyadel Probability density of ta A deand las yvariables aleatorias continuas yrandom yfollowing es unarandom andbasis over the region. (Make your selection on the basis of sketch of the solid and n Probability A joint density function of the thex continuous continuous random and the function over the region. (Make your selection on the properties. and function overcálculo.) the region. (Make your selection on the y sinthe realizar ningún calculations.) properties. variables and isxx asatisface function the following xƒ(x, x, y satisfying properties. calculations.) variables and aa ffunction satisfying the yy is ff x, y) yque propiedades basis of abasis sketch the solid andsolid not by performing any calculations.) variables and is las function satisfying the following following x, yysiguientes. of aaof sketch of the and not by performing any basis of sketch of the solid and not by performing any properties.properties. calculations.) f4x sx, yd 5 4x properties. 83. y83. ` ` dA calculations.) (a) all x, (b) 00 for 1 ff x, 83. ff x, x,calculations.) y 4x f x, y 4x (a) ff x, (b) x,a)yy f~~xx, x, yy todo xx, dA x, yy (a) (b) f x, y R: cuadrado 1 d, s4, 4d83. f x, ys0,dA0d, s4, yfor c ≥all0 para yc f xx, y1c yd A~50 1for allR: x, b) con0,vértices , s0, 4d with vertices 00 ,, 4, 00 ,, 4, 44 ,, 00, 44 83. f x,R:y square 4x 83. f x, y 4x ` ` 2 2 square with vertices 0, 4, 4, 0, (a) f x, y (a) for all (b) ~ 0 x, y dA 1 f x, y R: square with vertices 0, 0 , 4, 0 , 83. f x, y 4x (b) ff x, (a) ff x, for all all x, (b) x, yy ~ ~ 00 for x, yy dA 11 x, yy dA a) 2200 b)0,(c) 600 125 e) 1 000 (a) (b) (e) 1000 with vertices R: square 0 , 50 4, c) 0 (d) ,50 4,125 4d) , 000, 4 4, (a) 200 (b) 600 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000 200 square with vertices R: 0, 0 , 4, , 4 , 0, 4 (c) x, y R f x, y dA P [ ] (a) 200 (b) 600 (c) 50 (d) 12 square with vertices R: 0, 0 , 4, , 4, 4 , 0, 4 (c) P [ x, (c) P [ x, y R]84. f x, fy84.x, yf sx, dA 2 x2 1 y2 xx, yc dA c) yP[xx,Ry] c [ RR] 5f x, y fdA xx2y600 2d 5yy! 2(c) 50 (a) (b) (d) 125 (e) 1000 200 R 84. f x, y (a) (b) 600 (c) 50 (d) 125 (e) 1000 200 R f x, y x2 y2 (a) 200 (b) 600 (c)2 50 2(d) 125 (e)84. 1000 (c) P [ x, y(c) f ]]x, y RdA ff x, x, yy R dA (c) P x, –76, R x, yyfunction dA PR[[]73 2 2 acotado por R: x9 1 y 5 9 2 círculo 2 by circle bounded R: y x In Exercises show that the is a joint density R 2 2 2 2 84. f x, y x y R 2 2 circle bounded by y a joint 9 84. ffthat x, xx x yy is In Exercises 73 –76, show function is función a joint R 76, the R: circle bounded by x2 y2 9 84. x, yythe function In density Exercises 73–76, R: show density En losfind ejercicios 73 athat mostrar que la es una función function and the required probability. a) 50 b) 500 c) d) 5 e) 5 000 2500 2 2 (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 2 2 function and find the required probability. by x (c) y by In Exercises 73 –76, show thatshow the function a yjoint function and findR: thecircle required probability. (a) 50bounded 500 500xx92 (d)yy25 (e) circle bounded R: 99 5000 In 73 that the is aalajoint density de Exercises densidad de probabilidad hallar probabilidad (a) 50 (b) 500 (c) 500 (d) 5 circle bounded by R:(b) In Exercises 73 –76, –76, show thatconjunta the isfunction function isdensity joint density 1the required probability. function and find function and find the required probability. requerida. 1 , (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 85 ywhether 86, determinar si la 0 x 5, 0 y 2 function10and find xthe required probability. 1 True or False? (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 In Exercises 85 and 86, determine the , (a) 50 (b) 500 (c) (d) 5 (e) 5000 500 0 5, 0 y 2 , 85 and 86, determine whether 0 or xFalse? 5, 0In Exercises y 2 73. True orthe False? Ino Exercises 85 and 86, 10 True 73. ff x, x, yy 1 10 elsewhere declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué 73. f x, y statement is true or false. If it is false, explain why or give an 1 , 0, x1110 2000 ≤ yyy ≤ 222 statement isortrue or false. If and it is 86, false, explain why or give an is true ,, , 5,0000≤xxx y≤5, True or False? In Exercises 85 determine whether the statement 5, 10 0,0 elsewhere elsewhere True False? In Exercises 85 and 86, determine whether the 0, 5, 10 True False? In Exercises 85 que and es 86,falsa. determine whether the or false. If it is false, 73. f x, y 73. dar un ejemplo que demuestre example thator shows itit is 73. xff f sx, d 5 10y 2 x,x,yyyelsewhere PP 0073. example shows isIffalse. false. statement isthat true or is false. itfalse. is false, explain why or give anor example statement true or If it is false, explain why give an elsewhere x0, 2, 2, 11 0, y 2 elsewhere en cualquier otro punto P 0 x 2, 1 y 2 0, statement is true or false. If it is false, explain why orthat giveshows an it is false. elsewhere 0, 221 y22 1 z2 5 1 está dado por la inte1 2 example that shows it is false. 85. El volumen de la esfera x 1 example that shows it is false. 85. The volume of the sphere is given by the y z 1 x xy, 0 x 2, 0 y 2 2 2 2 P0 x P 2, 1 y 2 1 example that shows it is false. 4 0 x 2, 1 y P s 0 ≤ x ≤ ≤ ≤ 2 d 85. The y z 1 is given x P 0 4 xy,x 02, 1x y2, 02 y 2 85. by Thethe volume of the sphere x2 y2 0 volume x gral 2, 0of the y sphere 2 74. 4 xy, 74. ff x, x, yy 1 0, integral 74. f x, y 2 2 2 1 1 elsewhere integral 2 2 2 85. volume ofvolume the 1sphere the y x sphere xxy, 2,0000≤xxx y≤2, 85. given zz2 11byis xxz2 yy12 is given 4 xy,0, 0 41elsewhere 0, The elsewhere 1 of 85. The The of the the sphere is integral given by by the the xy, 2,2,2000 ≤ yyy ≤ 222 4xy, 1 1 volume 74. f x, y 74. 74. xff f sx, x,yyd 5 1 1 PP 0074. 11 4 yy 22 1 1 integral integral 2 2 y2 dx dy. 2 2 ! x0,x, y1, 1, elsewhere V 5 8 1 2 x integral 0, elsewhere 0, elsewhere en cualquier otro punto 11 xx2 yy2 dx dy. P 0 x 1, 1 VV y 88 2 0, elsewhere dx dy. 1 01 0 1 1 x2 y2 dx dy. V 8 0 0 1 1 9 y x 2y , 1 1 1 00≤ 22dxx 3, 33 yy 66 P0 x P 1, 1 0 0 271 0 x 1, 1 y P s 0 ≤ x ≤ ≤ 2 2 9 x y , 0 0 3, P 0 x 1, 1 y 2 2 9 x y , 75. 3, y1 3dxxxdy. 8 2 y y 26dx dy. 27 V V 75. ff x, x, yy 1 27 y indxR, dy. V 1088gsx,x,yxyd ≤for 75. f x, y 111y , para R, yff and ƒand y gggson g1sx, sx,and yd en 0, elsewhere 86. all both arecontinuas 0x, y 0x 2 xyd,, , 3,0003≤xxx y≤3, 6333 ≤ yyy ≤ 666 elsewhere 86. If If ff 86. allyd x, in R, and both x, 0y Si felsewhere g 00x, y00 for x, yy todo 9 x y s 9 2 27 90, x 27 3, 0, 86. If f are x, y g x, y for all x, y in 9 x y 27 3, 75. f x, y 75. 27 f x, y 75. f s x, y d 5 continuous over then R, f x, y dA g x, y dA. en R, entonces 75. f x, y PP 00 xx0, 1, yy 66elsewhere R R g x, continuous over then R, f x,in y R, dA y dA. 86. If for all and both and are 1, 44 0, f x, y g x, y x, y f g continuous over R R elsewhere P 0 x 1, 4 y 6 86. If for all in and both and are elsewhere 0, f x, y g x, y x, y R, f g en cualquier otro punto 0, elsewhere 86. If f x, y g x, y for all x, y in R, and both f and g are R, then R f x, y dA xx 64 0, yy ≤ 600d ee4≤xx xxyy,,y≤ 1, continuous overxxR, f then x, yaverage dA x, y dA. t 22then P0 x P 1, continuous over f x, gg x, yy dA. Ry xR R, x y 0, 87. Let value of interval e dt. f x 0 y P s 0 ≤ t x t2 continuous over then R, y gdA dA x, dA.el intervaR t 2the y 1f sex0d dt. e 87. ,Letx 87. 4 y 6 R f x, 76. the average value of ff on onRR the the interval f x 0,Sea f en 5 Find eFind 87.de Let f x 1 1 e dt. Hallar el valor promedio 76. ff x, x, yy P 0x0, y x 1, 1 e dt. Find the average 76. f x, y 0, 1 . x t2 2xx0, yy,y 0 e 0, , x eeeelsewhere x2y 2 x elsewhere 1 . lo1 eff0,xdt. 1g. x etthe 0, Let f0,elsewhere 87. value of f on theof interval x87. , , xxx ≥ 0, 0,0, yyy ≥ 000 1 . interval t 2 dt.average Find the average value ff on 76. f x, y 76. 87. Let Let fx x Find on0,the the interval 1 2 of 76. xff f x, sx,yyd 5 1 e dt. Find the average value 2 PP 0076. yy 11 elsewhere 2 ee1 x. ee`2x 2x2x 22x 0, 1 . x0,x, y1, 1, xx elsewhere 0, en cualquier otro punto 0, elsewhere xy 0, e 2 e P 0 x 1, x y 1 0, elsewhere e x e 2x 88. Find Hint: Evaluate 0, 1 . e dy. dx. xy 88. Find88. Hallar Sugerencia: dx. Evaluate 2 1 eEvaluar 88.dy. Find e2xy dy. Hint: E dx. xx2x x dx. x 2x Hint: x 2 0 P0 x P 1, x y 1 2 e e yy ≤ 11d of sand at a cement plant is x x 0 1 xy ee 2xHint: Evaluate 1 0 0e PPs000 ≤ xxx ≤ 1, 1, xx ≤ of e dx. 77. xy 88. Find e dy. xy 77. Approximation Approximation The The base base of aa pile pile of sand at a cement plant is 88. Find Hint: Evaluate e dy. dx. 77. Approximation The base ofxthe a pile of sand at dx. athe cement plant is1Evaluate 88. Find Hint:that 89. region -plane maximizes e the dy.valor de RR in xy 89. Determine Determine the in the -plane that maximizes the xyel 0 89. Determinar laxxregión R en plano xy que maximiza el rectangular with approximate dimensions of 20 by 89.11 Determine the region R in the xy-p 0 region rectangular with dimensions of 20atmeters meters byplant 77. Approximation Theapproximate base of a una pile ofof sand at acemento cement plant is de rectangular with value approximate of 20 meters by of 990 dimensions xx22 yy22 dA. 77. Approximation The base a pile of sand a cement is 77. Aproximación En fábrica de la base un monR 2 77. Approximation The base of a pile of sand at a cement plant is value of dA. 89. Determine the region in the -plane that maximizes the R xy 30 meters. If the base is placed on the plane with one vertex xyvalue of y2 dA. R 89. Determine the region in the -plane that maximizes the R xy R 30 meters. If the base isrectangular placed on the plane one20 vertex xy89. Determine thexyregion thevertex that maximizes the9 x R in xy-plane rectangular with approximate dimensions of 20with meters bymeters. 30 If the base is placed onregion plane with one rectangular with approximate dimensions of meters by 90. Determine the in the -plane that minimizes the xy tón de arena es con dimensiones aproximadas de 20 2the y 2 R rectangular with approximate dimensions of 20 meters by 2 2 90. Determine the region in the -plane that minimizes the R xy value of 9 x dA. at the coordinates on surface of the pile are 90.Rvalue Determinar la el plano xy que minimiza el valorthe de region R in the xy-p 2endA. 90. Determine of 9 región x2 R at the the origin, origin, the Ifis coordinates onsethe the surface of thevertex pile are value of dA. 2 R 30 meters. If the placed on the plane with one xyat the coordinates ofyy the pile are meters. base is on plane with one vertex of xxon yy229surface 44x dA. 30base metros. Si la5,base coloca en el15, plano unorigin, vérticethevalue 2 Rthe 30 meters. the base is placed on2the the plane with one vertex xyR region value ofDetermine dA.xy and 5, 5, 3330 ,por 15, 5, 66If,,the 25, 44 ,placed 5, 15, ,, xy15, 7xy ,,con 90. Determine the in the -plane that minimizes the R value of x2 y2 4 dA. R 90. the region in the -plane that minimizes the R xy R and 5, 5, , 15, 5, 25, 5, , 5, 15, 2 15, 15, 7 90. Determine the region in the -plane that minimizes the R xy at the origin, theorigen, coordinates on the surface the pileof are 2 5, 4 , 5,the 5, pile 3pile , are 15, 5, Find 6 , 25, 5, 15,arctan 2 , x15,dx. 15,(Hint: 7 , and at the origin, the coordinates on the surface en el las coordenadas de la superficie del montón son 2 arctan 2 2x at the origin, thethe coordinates on theof surface of the are 91. Convert the integral 2 2 2 Approximate volume of sand in the pile. 25, 15, 3 . value of x y 4 dA. 0 91. Find 0Rvalue (Hint: Convert the arctan arctan of y2 xthe 44dx.pile. dA. in (15, the 3 .5, 91. integral FindConvertir arctan x dx. (H value ofe2RRxfarctan dA. and 5, 5,25, 3 ,15,(5, 15, 5,333), 6,, ,(15, 25, 4,,(25, , volume 5, 4), 15,44of 2,, sand ,15, , 15, the volume ofxx2sand 25, 15, . Approximate 0 arctan and 5, 15, 66the 25, 5, 5, 15, 22 ,,7pile. 15, 77 ,, 315, 5,Approximate 5,5, 6), 5, (5, 2), 15, 7) y (25, 3). to a291. Hallar la x spy xind 2 arctan xg dx. (Sugerencia: and 5, 5, 15, 5,5, 25, 5, 5,15, 15,15, 15, 15, double integral.) 0 2 to a91. double integral.) 2x arctan 78. Consider a continuous function over f x, y 91. Find (Hint: Convert the integral arctan arctan x dx. to a double integral.) Approximate the volume of sand in the pile. 25,Programming 15, 3 .Aproximar Find (Hint: Convert the integral x arctan x dx. 0 78. Programming Consider a continuous function over f x, y in pile. 25, el volumen dethe la volume arena enof montón. 91. Find (Hint: Convert the integral x arctan 0 78. Programming Consider a continuous over f that x,xy dx. Approximate the volume ofelsand sand in the the pile. 25, 15, 15, 33 .. Approximate integral en una function integral doble.) 0 arctan 92. aa geometric argument to show the rectangular region with vertices a, cc ,, b, cc ,, a, dd ,, and to aUse double integral.) 92. Use geometric argument tob, show that to aa double integral.) the78. rectangular region RRaConsider with vertices and a,función b,f function a,over 92. Use a geometric argument to show tha to double integral.) 78. Programming Consider continuous function x, y the rectangular region with vertices and R a, c , c , a, d , Programming a continuous over f x, y f s x, y d 78. Programación Considerar una continua sobre 78. Programming a continuous function x, y over un argumento geométrico para mostrar que Partition the intervals cConsider a, bb fand b, aa 2 there does not exist a real-valued94.funcpositive. Show that if > 12 there does not e positive. where xi , ywhere center of representative rectangle in R. tion that all closed interval uu such xx in 0 x 1, center of aun representative rectangle in R. donde esthe el acentro de rectángulo representativo en R. sxxxiiExercises yjjjd is 1 for j is the 1 the CAS where is the center of a representative rectangle in R. y Approximation In 79 – 82, (a) use a computer algebra 1 i,,, y tion such that for all in the closed interval 0 x 1, 1 not >that 94.In Show that ifProbar there auna real-valued functionque, such ufuncCAS Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use a computer 94.Show que si ldoes no exist existe función real u tal para that for all x in the clos algebra 1 does not exist aa real-valued 21(a) CAS Approximation Exercises ay >computer algebra 2there > 94. Show that ifyuse does not exist real-valued func22 there u x94. 179–82, uu if uu > xx dy. 1 system to the iterated integral, and use 1todo dy. tionuuxthe suchiterated thatuu for allythat inyfor the closed interval xel x dy. xxx integral, en intervalo cerrado 00≤interval x x≤ 1,1,00 u xxx 11, system to approximate approximate the iterated integral, anda(b) (b) use the the tion such all in the closed x CAS Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use a computer algebra x u y u y system to approximate and (b) use the tion such that for all in the closed interval x 1, CAS Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use computer algebra CAS 1 Approximation In Exercises 79 – 82, (a) use a computer algebra CAS 1 Aproximación En los ejercicios 79 a 82, a) utilizar un sistema program in 78 to approximate the integral for These were composed by Committee on Prize u 78 x problems 1approximate y uthe y x1iterated x yythe dy. program in Exercise Exercise 78 toiterated approximate the iterated iterated integral forin These problems were composed by the Committee on the the Putnam Putnam Prize u x u u y x dy. x u1 system to system approximate the integral, and (b) use the program Exercise to integral for These problems were composed by the Comm u x 1 u u y x dy. to approximate the iterated integral, and (b) use the © system toofapproximate the iterated integral, and (b)iterada, use theyCompetition. algebraico por computadora y aproximar la integral the values and m n. © The The Mathematical MathematicalxAssociation Association of of America. America. All All rights rights reserved. reserved. Competition. © Prize The Mathematical Association of A the given given values in of78 and mto n.78 to approximate program in Exercise approximate the iterated integral for the given values ofCompetition. andThese mproblems n. These were composed bycomposed the Committee on the Putnam Prize Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam program Exercise the iterated integral for problems were by the Committee on the Putnam Prize program in Exercise 78 to approximate the iterated integral for These problems were composed by the Committee on the Putnam Prize b) utilizar el programa del ejercicio 78 para aproximar la inteCompetition. Competition. ©Competition. The Mathematical Association America. All rights reserved. TheMathematical MathematicalofAssociation Association los derechos © of All reserved. the given values of m and n. Competition. ©©The The Mathematical Association of America. America. Todos All rights rights reserved.reserthe values and the given values of and n. mvalores n. dados de m y n. gralgiven iterada con of losm vados.

EE

EE

E E

EE

5

EE

5 5 5

E

EE

oo

EE

1

E

2

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

14.3 Cambio de variables: coordenadas polares n

Expresar y evaluar integrales dobles en coordenadas polares.

Integrales dobles en coordenadas polares Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen x 2 1 y 2. En la sección 10.4 se vio que las coordenadas polares sr, ud de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente. x 5 r cos u r 2 5 x2 1 y 2

EJEMPLO 1

y

y 5 r sin sen uu y y tan u 5 x

Utilizar coordenadas polares para describir una región

Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura 14.24. y

y 4

2 2

x

1

−4

−2

2

4

−2 x 1

2

−4

b)

a)

Figura 14.24

Solución π 2

a) La región R es un cuarto del círculo de radio 2. Esta región se describe en coordenadas polares como

θ

R 5 Hsr, ud: 0 ≤ r ≤ 2,

2

θ

∆r

1

R (ri, θi) r2

∆θ

Figura 14.25

b) La región R consta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de radios 1 y 3. Esta región se describe en coordenadas polares como R 5 Hsr, ud: 1 ≤ r ≤ 3,

0 ≤ u ≤ 2pJ.

r1 0

Sector polar

0 ≤ u ≤ py2J.

Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares R 5 Hsr, ud: r1 ≤ r ≤ r2, como el mostrado en la figura 14.25.

u1 ≤ u ≤ u2J

Sector polar.

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SECCIÓN 14.3

π 2

∆θ i (ri, θi)

Ri

g2 ∆ri

β α

g1

Figura 14.26

1005

Para definir una integral doble de una función continua z 5 f sx, yd en coordenadas polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de r 5 g1sud y r 5 g2sud y las rectas u 5 a y u 5 b. En lugar de hacer una partición de R en rectángulos pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una red o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, como se muestra en la figura 14.26. Los sectores polares Ri que se encuentran completamente dentro de R forman una partición polar interna D, cuya norma iDi es la longitud de la diagonal más larga en los n sectores polares. Considerar un sector polar específico Ri, como se muestra en la figura 14.27. Se puede mostrar (ver ejercicio 75) que el área de Ri es

0

La red o cuadrícula polar se sobrepone sobre la región R

Cambio de variables: coordenadas polares

DAi 5 ri Dri Dui

Área de R i.

donde Dri 5 r2 2 r1 y Dui 5 u2 2 u1. Esto implica que el volumen del sólido de altura f sri cos ui, ri sen sin ui d sobre Ri es aproximadamente f sri cos ui, ri sen sin ui dri Dri Dui y se tiene

EE

f sx, yd dA
0

g2

y el plano xy. Ahora se conoce un método más. Utilizarlo para encontrar el volumen del sólido.

EE

θ =β

∆θ

Límites o cotas fijas para θ: α≤θ ≤β Límites o cotas variables para r: 0 ≤ g1(θ ) ≤ r ≤ g2(θ )

π 2

Límites o cotas variables para θ: 0 ≤ h1(r) ≤ θ ≤ h2(r) h2

Límites o cotas fijas para r: r1 ≤ r ≤ r2

g1

h1

θ =α

∆r 0

r = r1

Región r-simple

R: 1 ≤ r ≤ 5 0 ≤ θ ≤ 2π

Evaluar una integral usando coordenadas polares doble

Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos x 2 1 y 2 5 1 y x 2 1 y 2 5 5. 2 Evaluar la integral eRe sx 1 yd dA.

π 2

Solución Los límites o cotas polares son 1 ≤ r ≤ !5 y 0 ≤ u ≤ 2p, como se muestra en la figura 14.30. Además, x 2 5 sr cos ud2 y y 5 r sin sen u. Por tanto, se tiene

R 0 2

3

EE

sx 2 1 yd dA 5

R

EE EE E1 E1 E1 2p

0

5

2p

0

Región r-simple

0

Región u-simple

Figura 14.29

EJEMPLO 2

r = r2

5

2p

0

Figura 14.30

5

2p

!5

!5

2p

r4 r3 cos2 u 1 sen sin u 4 3 6 cos2 u 1

5 3u 1 5 6p.

!5

24

1

du

2

5!5 2 1 sin u du sen 3

3 1 3 cos 2u 1

0

1

sr 3 cos2 u 1 r 2 sin sen ud dr du

1

0

5

sr 2 cos2 u 1 r sin sen udr dr du

1

2

5!5 2 1 sin sen u du 3

3 sen sin 2u 5!5 2 1 2 cos u 2 3

2p

24

0

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SECCIÓN 14.3

Cambio de variables: coordenadas polares

1007

En el ejemplo 2, notar el factor extra de r en el integrando. Esto proviene de la fórmula para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir dA 5 r dr du lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen. 16 − x2 − y2

Superficie: z =

Cambio de variables a coordenadas polares

EJEMPLO 3

z

Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el hemisferio

4

z 5 !16 2 x 2 2 y 2

Hemisferio que forma la superficie superior.

e inferiormente por la región circular R dada por 4 4

x

y

x2 1 y 2 ≤ 4

Región circular que forma la superficie inferior.

como se muestra en la figura 14.31.

R: x2 + y2 ≤ 4

Solución En la figura 14.31 se puede ver que R tiene como límites o cotas

Figura 14.31

2 !4 2 y 2 ≤ x ≤ !4 2 y 2,

22 ≤ y ≤ 2

y que 0 ≤ z ≤ !16 2 x 2 2 y 2. En coordenadas polares, las cotas son 0 ≤ r ≤ 2 y

0 ≤ u ≤ 2p

con altura z 5 !16 2 x 2 2 y 2 5 !16 2 r 2. Por consiguiente, el volumen V está dado por V5

EE

f sx, yd dA 5

R

EE E E 2p

NOTA Para ver la ventaja de las coordenadas polares en el ejemplo 3, hay que tratar de evaluar la integral iterada rectangular correspondiente

EE 2

52 52

!42y2

22 2!42y2

!16 2

x2

2

y2

dx dy.

5

n

!16 2 r 2 r dr du

0

0

52

2

1 3 1 3

2p

0 2p

2

4

s16 2 r 2d3y2

du 0

s24!3 2 64d du

0

8 s3!3 2 8du 3

2p

4

0

16p s8 2 3!3 d < 46.979. 3

Todo sistema algebraico por computadora que calcula integrales dobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadas polares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambia al usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por computadora para evaluar

TECNOLOGÍA

EE 2p

0

2

!16 2 x 2 x dx dy

0

se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3. Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble

EE

dA

R

puede usarse para calcular el área de una región en el plano.

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Hallar áreas de regiones polares

EJEMPLO 4

Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de r 5 3 cos 3u.

π 2

π π R: − 6 ≤ θ ≤ 6 0 ≤ r ≤ 3 cos 3θ

r = 3 cos 3θ

Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.32. Esta región es r-simple y los límites son los siguientes.

θ=π 6 0 3

6

Límites o cotas fijas para u.

6

0

r

3 cos 3

Límites o cotas variables para r.

Por tanto, el área de un pétalo es θ = −π 6

6

1 A 3

3 cos 3

dA

r dr d

R

6 0 6

3 cos 3

r2 6 2

Figura 14.32

9 2 9 4

d 0

6

cos2 3 d 6 6

1

cos 6

9 4

d

6

6

1 sen 6 6

6

3 . 4

Así, el área total es A 5 9py4. Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede representarse mediante

EE

g2sud

b

A5

a

g1 sud

r dr du.

Si g1sud 5 0, se obtiene

EE

g2sud

b

A5

a

r dr du 5

0

E

b

a

r2 2

g2sud

4

du 5

0

E

b

a

1 sg sudd2 du 2 2

lo cual concuerda con el teorema 10.13. Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar han sido de la forma

EE

g2sud

b

a

π 2

g1 sud

f sr cos u, r sen sin udr dr du

en donde el orden de integración es primero con respecto a r. Algunas veces se puede simplificar el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

θ=π 3

θ =π 6

r= π 3θ

Cambio del orden de integración

EJEMPLO 5

Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral r mente por el eje polar, entre r 5 1 y r 5 2. 0 1

π R: 0 ≤ θ ≤ 3r 1≤r≤2

Región u-simple Figura 14.33

2

3

e inferior-

Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son

p . 3r Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue. 1 ≤ r ≤ 2 y

EE 2

A5

1

pys3rd

0

0 ≤ u ≤

E

2

r du dr 5

1

ru

pys3rd

4

dr 5

0

E

2

1

p pr dr 5 3 3

2

4

1

5

p 3

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SECCIÓN 14.3

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Cambio de variables: coordenadas polares

14.3 Ejercicios

E E E E py2

En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral eRe f xx, yc dA. Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral. y

1.

15.

0

4

4 3

17.

x −2

2

1

2

3

y

21.

R x 2

−2

23.

1

EE EE

2

3

−1

0

y

24.

0

!x 2 1 y2 dx dy

x 2 dx dy

0

1 x2

cos x2

y2 dy dx

sen x2

y2 dy dx

0 4 x2

EE E E

E E E E 2!2

x

!82x2

!x 2 1 y 2 dy dx 1

0

2

x

5

xy dy dx 1

0

!x 2 1 y 2 dy dx

0 !252x2

xy dy dx

5!2y2 0

2

4

x

x −4

4

−4

8

−2

2

4

−2

−4 y

7.

!82y2

0 y 4 !4y2y2

xy dy dx

0 0 5!2y2

28.

−8

EE EE 2

sx 2 1 y 2d3y2 dy dx 22.

y2 dy dx

0

2

27.

6

12

x2 x x2

En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.

y

6.

x dy dx x x2

0

26.

4

En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para describir la región mostrada. 5.

ssen sin udr dr du

0

20.

!92x2

1 2

x 1

−4

y2 dy dx

0

25.

R

4

2

!a2 2x2

1

x2

0 0 1

2

2 −4

0

0 0 2 !2x2x2

3 4

re2r dr du

0 12cos u

EE

4 x2

2

y

4.

3

0

a

18.

0

3

3.

16.

y dx dy

2

−4

4

ur dr du

!a2 2y2

19.

x

0 py2

0

EE 0

−2

1

14.

0

a

R −6

!9 2 r 2 r dr du

En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.

2

R

E E E E py2

3

0 2 py2 11sin sen u θ

y

2.

2

13.

29. f sx, yd 5 x 1 y, R: x 2 1 y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 30. f sx, yd 5 e2sx

y

8.

4

2 1y 2 dy2

, R: x 2 1 y 2 ≤ 25, x ≥ 0

4

y 31. f sx, yd 5 arctan , R: x 2 1 y 2 ≥ 1, x 2 1 y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x x

2

32. f sx, yd 5 9 2 x 2 2 y 2, R: x 2 1 y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 x

2

−4

−2

4

x −4

En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble eRe f xx, yc dA.

4 −4

−2

Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o acotado por las gráficas de las ecuaciones. 33. z 5 xy, x 2 1 y 2 5 1, primer first octant octante

En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble eRe f xr, uc dA, y dibujar la región R. cos 0

0

r 2 dr d

10.

0

0

EE 2p

11.

sen

r dr d

9.

0

EE py4

6

3r 2 sen sin u dr du

0

12.

0

4

0

r 2 sen sin u cos u dr du

34. z 5 x 2 1 y 2 1 3, z 5 0, x 2 1 y 2 5 1 35. z 5 !x 2 1 y 2, z 5 0, x 2 1 y 2 5 25 36. z 5 lnsx 2 1 y 2d, z 5 0, x 2 1 y 2 ≥ 1, x 2 1 y 2 ≤ 4 37. Interior al hemisferio z 5 !16 2 x 2 2 y 2 e interior al cilindro x 2 1 y 2 2 4x 5 0 38. Interior al hemisferio z 5 !16 2 x 2 2 y 2 y exterior al cilindro x2 1 y 2 5 1

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

39. Volumen Hallar a tal que el volumen en el interior del hemisferio z 5 !16 2 x 2 2 y 2 y en el exterior del cilindro x 2 1 y 2 5 a 2 sea la mitad del volumen del hemisferio.

Área En los ejercicios 49 a 54, trazar una gráfica de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones. Después, usar una integral doble para encontrar el área de la región.

40. Volumen Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radio a.

49. Dentro del círculo r 5 2 cos u y fuera del círculo r 5 1.

41. Volumen Determinar el diámetro de un orificio cavado verticalmente a través del centro del sólido limitado o acotado por las 2 2 gráficas de las ecuaciones z 5 25e2sx 1y dy4, z 5 0, y 2 2 x 1 y 5 16 si se elimina la décima parte del volumen del sólido. CAS

42. Diseño industrial Las superficies de una leva de doble lóbulo se representan por las desigualdades 14 ≤ r ≤ 12s1 1 cos2 ud y 29 9 ≤ z ≤ 4sx 2 1 y 2 1 9d 4sx 2 1 y 2 1 9d

51. Dentro del círculo r 5 3 cos u y fuera de la cardioide r 5 1 1 cos u. 52. Dentro de la cardioide r 5 1 1 cos u y fuera del círculo r 5 3 cos u. 53. Dentro de la curva rosa r 5 4 sen 3u y fuera del círculo r 5 2. 54. Dentro del círculo r 5 2 y fuera de la cardioide r 5 2 2 2 cos u.

Desarrollo de conceptos

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la leva.

55. Describir la partición de la región de integración R en el plano xy cuando se utilizan coordenadas polares para evaluar una integral doble.

b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar el perímetro de la curva polar

56. Explicar cómo pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares en una integral doble.

donde todas las medidas se dan en pulgadas.

r 5 12s1 1 cos2 ud.

57. Con sus propias palabras, describir regiones r-simples y regiones u-simples.

Ésta es la distancia que recorre una pieza en contacto con la leva durante un giro completo de ésta.

58. Cada figura muestra una región de integración para la integral doble eRe f sx, yd dA. Para cada región, decir si es más fácil obtener los límites de integración con elementos representativos horizontales, elementos representativos verticales o con sectores polares. Explicar el razonamiento.

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y hallar el volumen del acero en la leva. Área En los ejercicios 43 a 48, utilizar una integral doble para calcular el área de la región sombreada. 43.

50. Dentro de la cardioide r 5 2 1 2 cos u y fuera del círculo r 5 1.

44.

π 2

r=2

r = 6 cos θ

π 2

a)

b) y

c) y

y

R

r=4 R

R x

0

0 1 2 3 4 5

7

1

3

59. Sea R la región limitada por el círculo x2 1 y2 5 9. a) Establecer la integral

45.

π 2

x

x

46. r = 1 + cos θ

π 2

R

f x, y dA.

b) Convertir la integral en el inciso a) a coordenadas polares. c) ¿Qué integral debería elegirse para evaluar? ¿Por qué?

0

0

1

2 3 4

r = 2 + sen θ

47.

48.

π 2

π 2 r = 3 cos 2θ

r = 2 sen 3θ

Para discusión 60. Para pensar Sin desarrollar cálculos, identificar la integral doble que represente la integral de f(x) 5 x2 1 y2 sobre un círculo de radio 4. Explicar el razonamiento. 2

4

r 2 dr d

a) 0 1

2

0 3

0 2

0 4

0

0

r 3 dr d

c)

4

2

r 3 dr d

b)

0 0 2 4

r 3 dr d

d) 0

4

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SECCIÓN 14.3

61. Para pensar Considerar el programa escrito en el ejercicio 78 de la sección 14.2 para aproximar integrales dobles en coordenadas rectangulares. Si el programa se usa para aproximar la integral doble

EE

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 67 y 68, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 67. Si eRe f sr, ud dA > 0, entonces f sr, ud > 0 para todo sr, ud en R. 68. Si f sr, ud es una función constante y el área de la región S es el doble del área de la región R, entonces 2 eRe f sr, ud dA 5 eSe f sr, ud dA.

f sr, ud dA

R

en coordenadas polares, ¿cómo hay que modificar ƒ para introducirla al programa? Como los límites de integración son constantes, describir la región plana de integración. 62. Aproximación Las secciones transversales horizontales de un bloque de hielo desprendido de un glaciar tienen forma de un cuarto de un círculo con radio aproximado de 50 pies. La base se divide en 20 subregiones como se muestra en la figura. En el centro de cada subregión, se mide la altura del hielo, dando los puntos siguientes en coordenadas cilíndricas.

s5, 16p , 7d, s15, 16p , 8d, s25, 16p , 10d, s35, 16p , 12d, s45, 16p , 9d, s5, 316p, 9d, s15, 316p, 10d, s25, 316p, 14d, s35, 316p, 15d, s45, 316p, 10d, s5, 516p, 9d, s15, 516p, 11d, s25, 516p, 15d, s35, 516p, 18d, s45, 516p, 14d, s5, 716p, 5d, s15, 716p, 8d, s25, 716p, 11d, s35, 716p, 16d, s45, 716p, 12d a) Aproximar el volumen del sólido. b) El hielo pesa aproximadamente 57 libras por pie cúbico. Aproximar el peso del sólido. c) Aproximar el número de galones de agua en el sólido si hay 7.48 galones de agua por pie cúbico. π 2

1011

Cambio de variables: coordenadas polares

69. Probabilidad El valor de la integral I 5

`

2`

e2x

y2

2

dx se re-

quiere en el desarrollo de la función de densidad de probabilidad normal. a) Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral impropia. I2 5 5

1E

`

2`

e2x

E E `

y2

2

`

2` 2`

21E

`

dx

e2sx

2

2`

1y 2dy2

e2y

y2

2

2

dy

dA

b) Utilizar el resultado del inciso a) para calcular I. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre 2 este problema, ver el artículo “Integrating e2x Without Polar Coordinates” de William Dunham en Mathematics Teacher. 70. Utilizar el resultado del ejercicio 69 y un cambio de variables para evaluar cada una de las integrales siguientes. No se requiere hacer ninguna integración.

E

`

a) 3π 8

E

2

2`

E

`

e2x dx

b)

2`

e24x dx 2

71. Población La densidad de población en una ciudad se aproxima mediante el modelo ƒ(x, y) 5 4 000e20.01(x 1 y ), x 2 1 y 2 ≤ 49, donde x y y se miden en millas. Integrar la función de densidad sobre la región circular indicada para aproximar la población de la ciudad. 2

π 4 π 8

2

72. Probabilidad Hallar k tal que la función 10 20 30 40 50

CAS

0

f sx, yd 5

Aproximación En los ejercicios 63 y 64, utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar la integral iterada.

E E E E py2

63.

py4

py4

64.

0

5

r!1 1

r3

sin !u dr du sen

0 4

5re!ru dr du

0

Aproximación En los ejercicios 65 y 66, determinar qué valor se aproxima más al volumen del sólido entre el plano xy y la función sobre la región. (Realizar la elección a la vista de un dibujo del sólido y no efectuando cálculo alguno.)

5

ke2sx 0,

2

b) 200

c) 300

d) 2200

73. Para pensar Considerar la región limitada o acotada por las gráficas de y 5 2, y 5 4, y 5 x y y 5 !3x y la integral doble eRe f dA. Determinar los límites de integración si la región R está dividida en a) elementos representativos horizontales, b) elementos representativos verticales y c) sectores polares. 74. Repetir el ejercicio 73 con una región R limitada o acotada por la gráfica de la ecuación sx 2 2d2 1 y 2 5 4. 75. Mostrar que el área A del sector polar R (ver la figura) es A 5 rDrDu, donde r 5 sr1 1 r2dy2 es el radio promedio de R.

a) 25

b) 8

c) 100

d) 50

R

e) 800

66. ƒ(x, y) 5 xy 1 2; R: cuarto de círculo: x2 1 y2 5 9, x ≥ 0, y ≥ 0 e) 230

x ≥ 0, y ≥ 0 elsewhere en el resto

sea una función de densidad de probabilidad.

65. ƒ(x, y) 5 15 2 2y; R: semicírculo: x2 1 y2 5 16, y ≥ 0 a) 100

1y2d,

∆r ∆θ r1

r2

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

14.4 Centro de masa y momentos de inercia n n n

Hallar la masa de una lámina plana utilizando una integral doble. Hallar el centro de masa de una lámina plana utilizando integrales dobles. Hallar los momentos de inercia utilizando integrales dobles.

Masa y

En la sección 7.6 se analizaron varias aplicaciones de la integración en las que se tenía una lámina plana de densidad constante r. Por ejemplo, si la lámina que corresponde a la región R, que se muestra en la figura 14.34, tiene una densidad constante r, entonces la masa de la lámina está dada por

g2 R

Masa Mass 5 rA 5 r

EE EE

r dA.

dA 5

R

g1 x=a

x

x=b

Lámina de densidad constante r Figura 14.34

Densidad constante.

R

Si no se especifica otra cosa, se supone que una lámina tiene densidad constante. En esta sección, se extiende la definición del término lámina para abarcar también placas delgadas de densidad variable. Las integrales dobles pueden usarse para calcular la masa de una lámina de densidad variable, donde la densidad en (x, y) está dada por la función de densidad r. DEFINICIÓN DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE Si r es una función de densidad continua sobre la lámina que corresponde a una región plana R, entonces la masa m de la lámina está dada por m5

EE

r sx, yd dA.

Densidad variable.

R

NOTA La densidad se expresa normalmente como masa por unidad de volumen. Sin embargo, en una lámina plana la densidad es masa por unidad de área de superficie. n

Hallar la masa de una lámina plana

EJEMPLO 1

Hallar la masa de la lámina triangular con vértices (0, 0), (0, 3) y (2, 3), dado que la densidad en sx, yd es rsx, yd 5 2x 1 y.

y

y=3 3

2

(0, 3)

(2, 3)

Solución Como se muestra en la figura 14.35, la región R tiene como fronteras x 5 0, y 5 3 y y 5 3x/2 (o x 5 2y/3). Por consiguiente, la masa de la lámina es

R

m5

x = 2y 3

1

(0, 0) 1

Figura 14.35

2yy3

s2x 1 yd dx dy

0 0 3

5

4

x2 1 xy

0

3

Lámina de densidad variable r sx, yd 5 2x 1 y

EE E3 E 3

s2x 1 yd dA 5

R

x 2

EE

2yy3

dy 0

3

10 y 2 dy 9 0 3 10 y3 5 9 3 0 5 10. 5

3 4

NOTA En la figura 14.35, nótese que la lámina plana está sombreada; el sombreado más oscuro corresponde a la parte más densa. n

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SECCIÓN 14.4

x2

+

y2

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Hallar la masa empleando coordenadas polares

EJEMPLO 2 y

Centro de masa y momentos de inercia

Hallar la masa de la lámina correspondiente a la porción en el primer cuadrante del círculo

=4

2

x2 1 y2 5 4 (x, y)

1

donde la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre el punto y el origen, como se muestra en la figura 14.36.

R

Solución En todo punto (x, y), la densidad de la lámina es x 1

Densidad en sx, yd: r sx, yd 5 k! x2 1 y 2 Figura 14.36

r sx, yd 5 k!sx 2 0d2 1 s y 2 0d2

2

5 k!x2 1 y2. Como 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ !4 2 x2, la masa está dada por m5

EE EE

k!x2 1 y 2 dA

R

!42x2

2

5

0

k!x2 1 y 2 dy dx.

0

Para simplificar la integración, se puede convertir a coordenadas polares, utilizando los límites o cotas 0 ≤ u ≤ py2 y 0 ≤ r ≤ 2. Por tanto, la masa es m5

EE

k!x2 1 y 2 dA 5

R

E E E E E 4 E py2

0

5

py2

2

kr 2 dr du

0

py2

0

5

k!r 2 r dr du

0

0

5

2

8k 3

kr 3 3

py2

2 0

du

du

0

py2

34

5

8k u 3

5

4pk . 3

0

En muchas ocasiones, en este texto, se han mencionado las ventajas de utilizar programas de computación que realizan integración simbólica. Aun cuando se utilicen tales programas con regularidad, hay que recordar que sus mejores ventajas sólo son aprovechables en manos de un usuario conocedor. Por ejemplo, nótese la simplificación de la integral del ejemplo 2 cuando se convierte a la forma polar.

TECNOLOGÍA

Forma rectangular

EE 2

0

!42x2

0

k!x2 1 y 2 dy dx

Forma polar

E E py2

0

2

kr2 dr du

0

Si se tiene acceso a programas que realicen integración simbólica, se recomienda utilizarlos para evaluar ambas integrales. Algunos programas no pueden manejar la primera integral, pero cualquier programa que calcule integrales dobles puede evaluar la segunda integral.

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Momentos y centros de masa y

En láminas de densidad variable, los momentos de masa se definen de manera similar a la empleada en el caso de densidad uniforme. Dada una partición D de una lámina, correspondiente a una región plana R, considerar el rectángulo i-ésimo Ri de área DAi , como se muestra en la figura 14.37. Suponer que la masa de Ri se concentra en uno de sus puntos interiores sxi , yi d. El momento de masa de Ri respecto al eje x puede aproximarse por medio de

xi

Ri

(xi, yi)

(Masa)(y sMassds yi)d < fr sxi , yi d DAigs yi d.

yi x

Mx 5 (masa)(yi) My 5 (masa)(xi) Figura 14.37

De manera similar, el momento de masa con respecto al eje y puede aproximarse por medio de (Masa)(x sMassdsxiid) < fr sxi , yi d DAigsxi d. Formando la suma de Riemann de todos estos productos y tomando límites cuando la norma de D se aproxima a 0, se obtienen las definiciones siguientes de momentos de masa con respecto a los ejes x y y. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE Sea r una función de densidad continua sobre la lámina plana R. Los momentos de masa con respecto a los ejes x y y son Mx 5

EE

yr sx, yd dA y

My 5

R

EE

xr (x, yd dA.

R

Si m es la masa de la lámina, entonces el centro de masa es

sx, yd 5

1Mm , Mm 2. y

x

Si R representa una región plana simple en lugar de una lámina, el punto sx, yd se llama el centroide de la región. En algunas láminas planas con densidad constante r, se puede determinar el centro de masa (o una de sus coordenadas) utilizando la simetría en lugar de usar integración. Por ejemplo, considerar las láminas de densidad constante mostradas en la figura 14.38. Utilizando la simetría, se puede ver que y 5 0 en la primera lámina y x 5 0 en la segunda lámina.

R: 0 ≤ x ≤ 1 − 1 − x2 ≤ y ≤

R: − 1 − y 2 ≤ x ≤ 0≤y≤1

1 − x2

z

z

1

1 −1

−1 −1

−1 1

1 x

1 − y2

−1

Lámina de densidad constante y simétrica con respecto al eje x Figura 14.38

1

y x

1

y

−1

Lámina de densidad constante y simétrica con respecto al eje y

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SECCIÓN 14.4

1015

Hallar el centro de masa

EJEMPLO 3

Hallar el centro de masa de la lámina que corresponde a la región parabólica

Densidad variable: y ρ (x, y) = ky

0 ≤ y ≤ 4 2 x2 y=4−

Centro de masa y momentos de inercia

x2

Región parabólica.

donde la densidad en el punto sx, yd es proporcional a la distancia entre sx, yd y el eje x, como se muestra en la figura 14.39.

3

(x, y)

Solución Como la lámina es simétrica con respecto al eje y y

2

r sx, yd 5 ky 1

el centro de masa está en el eje y. Así, x 5 0. Para hallar y, primero calcular la masa de la lámina.

x −2

−1

1

2

EE

42x2

2

Mass 5 Masa

Región parabólica de densidad variable Figura 14.39

22 0

E E

2

4

42x2

ky dy dx 5

k 2

5

k 2

5

k 8x3 x5 16x 2 1 2 3 5

y2

22 2

s16 2 8x2 1 x 4d dx

22

3

1

5 k 32 2 5

dx 0

64 32 1 3 5

4

2

22

2

256k 15

Después se halla el momento con respecto al eje x.

EE 2

Mx 5

42x 2

22 0

s ydskyd dy dx 5

E E

k 3

2

4 2x2

4

y3

22 2

dx

0

5

k 3

5

k 12x5 x7 64x 2 16x3 1 2 3 5 7

5

44096k 096k 105

22

s64 2 48x2 1 12x 4 2 x 6 d dx

3

4

2

22

Así, Densidad variable: ρ (x, y) = ky z

y5

R: −2 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 − x2

y el centro de masa es s0,

Centro de masa: −2

x

Figura 14.40

16 7

d.

(0, ) 16 7

1 2

Mx 44096ky105 16 096k/105 5 5 m 256ky15 7

4

y

Aunque los momentos Mx y My se pueden interpretar como una medida de la tendencia a girar en torno a los ejes x o y, el cálculo de los momentos normalmente es un paso intermedio hacia una meta más tangible. El uso de los momentos Mx y My es encontrar el centro de masa. La determinación del centro de masa es útil en muchas aplicaciones, ya que permite tratar una lámina como si su masa se concentrara en un solo punto. Intuitivamente, se puede concebir el centro de masa como el punto de equilibrio de la lámina. Por ejemplo, la lámina del ejemplo 3 se mantendrá en equilibrio sobre la punta de un lápiz colocado en s0, 16 d, como se muestra en la figura 14.40. 7

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Momentos de inercia Los momentos Mx y My utilizados en la determinación del centro de masa de una lámina se suelen llamar primeros momentos con respecto a los ejes x y y. En cada uno de los casos, el momento es el producto de una masa por una distancia. Mx 5

EE

s ydr sx, yd dA

My 5

R

EE

sxdr sx, yd dA

R

Distancia al eje x

Masa

Distancia al eje y

Masa

Ahora se introducirá otro tipo de momento, el segundo momento o momento de inercia de una lámina respecto de una recta. Del mismo modo que la masa es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento rectilíneo, el momento de inercia respecto de una recta es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento de rotación. Por ejemplo, si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como I 5 md 2 5 (masa)(distancia)2. Igual que ocurre con los momentos de masa, se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes x y y. Estos segundos momentos se denotan por Ix e Iy , y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia. Ix 5

EE

s y 2dr sx, yd dA

R

En el caso de una lámina en el plano xy, I0 representa el momento de inercia de la lámina con respecto al eje z. El término “momento polar de inercia” se debe a que en el cálculo se utiliza el cuadrado de la distancia polar r. I0 5

EE EE

sx2 1 y 2dr sx, yd d A

Masa

Cuadrado de la distancia al eje y

Masa

A la suma de los momentos Ix e Iy se le llama el momento polar de inercia y se denota por I0.

Hallar el momento de inercia

EJEMPLO 4

Hallar el momento de inercia respecto del eje x de la lámina del ejemplo 3.

EE E 4 E 2

r 2r sx, yd d A

R

sx2dr sx, yd dA

Solución De acuerdo con la definición de momento de inercia, se tiene

R

5

EE R

Cuadrado de la distancia al eje x NOTA

Iy 5

n

Ix 5 5 5

42x2

22 0 2

k 4 k 4

42x2

y4

22 2 22

y2skyd dy dx dx

0

s256 2 256x2 1 96x4 2 16x6 1 x8d dx

3

5

k 256x3 96x5 16x7 x9 256x 2 1 2 1 4 3 5 7 9

5

32,768k . 315

2

4

22

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SECCIÓN 14.4

Centro de masa y momentos de inercia

1017

El momento de inercia I de una lámina en rotación puede utilizarse para medir su energía cinética. Por ejemplo, consideremos una lámina plana que gira en torno a una recta con una velocidad angular de v radianes por segundo, como se muestra en la figura 14.41. La energía cinética E de la lámina en rotación es E5

1 2 Iv . 2

Energía cinética del movimiento giratorio.

Por otro lado, la energía cinética E de una masa m que se mueve en línea recta a una velocidad v es E5 Lámina plana girando a v radianes por segundo

1 mv 2. 2

Energía cinética del movimiento rectilíneo.

Por lo tanto, la energía cinética de una masa que se mueve en línea recta es proporcional a su masa, pero la energía cinética de una masa que gira en torno a un eje es proporcional a su momento de inercia. El radio de giro r de una masa en rotación m con momento de inercia I se define como

Figura 14.41

r5

!mI .

Radio de giro.

Si toda la masa se localizara a una distancia r de su eje de giro o eje de rotación, tendría el mismo momento de inercia y, por consiguiente, la misma energía cinética. Por ejemplo, el radio de giro de la lámina del ejemplo 4 respecto al eje x está dado por y5

128 5! < 2.469. !mI 5 !32,768ky315 256ky15 21 x

Cálculo del radio de giro

EJEMPLO 5

Hallar el radio de giro con respecto al eje y de la lámina que corresponde a la región R: 0 ≤ y ≤ sen sin x, 0 ≤ x ≤ p, donde la densidad en sx, yd está dada por r sx, yd 5 x. Solución La región R se muestra en la figura 14.42. Integrando r sx, yd 5 x sobre la región R, se puede determinar que la masa de la región es p. El momento de inercia con respecto al eje y es

y

2

1

Densidad variable: ρ (x, y) = x

R: 0 ≤ x ≤ π 0 ≤ y ≤ sen x

Iy 5

(x, y) π 2

Figura 14.42

π

x

5 5

EE E 4 E p

sen xx sin

x3 dy dx

0 0 sen xx sin p 3 x y 0 p

dx

0

x3 sen sin x dx

0

3

5

p3

p

4

5 s3x2 2 6ds(sen sin xx) d 2 sx3 2 6xdscos xd

0

2 6p.

Por tanto, el radio de giro con respecto al eje y es

!mI p 2 6p 5! p

x5

y

3

5 !p 2 2 6 < 1.967.

14-4.qxd 3/12/09 18:29 Page 1018 Page 1018 1053714_1404.qxp 1053714_1404.qxp 10/27/08 10/27/08 1:33 1:33 PM PM Page 1018

1018

CAPÍTULO 14 Integración múltiple Chapter Chapter14 14 Multiple MultipleIntegration Integration

1018 1018

Ejercicios 14.4 Exercises 14.4 www.CalcChat.comforforworked-out worked-outsolutions solutionstotoodd-numbered odd-numberedexercises. exercises. 14.4 Exercises SeeSeewww.CalcChat.com En los ejercicios 1 a 4, hallar la masa de la lámina descrita por CAS En los ejercicios 23 a 26, utilizar un sistema algebraico por compuIn 1– the mass the Exercises aacomputer totofind the tadora para23 hallar masa y el centroalgebra de masasystem de la lámina limitalas desigualdades, dado que su of densidad es r described (Sugexx, yc 5 xy.by CAS In InExercises Exercises 1–4,4,find find the mass ofthe thelamina lamina described by the CAS In Exercises 23–26, –26,lause use computer algebra system find the inequalities, given that its density is (Hint: Some x, y xy. mass and center of mass of the lamina bounded by the graphs da o acotada por las ecuaciones con laby densidad dada. rencia: Algunas dethat las its integrales en coordeinequalities, given density son is más Some x, y simples xy. (Hint: mass and center of gráficas mass of de thelaslamina bounded the graphs ofnadas ofofthe equations for the given density. polares.) ofthe theintegrals integralsare aresimpler simplerininpolar polarcoordinates.) coordinates.) 23.they equations 5 e2x, y 5for 0,the x 5given 0, x density. 5 2, r 5 ky x kxy y e 1.1. 00 xx 2,2, 00 yy 22 , y 0, x 0, x 2,2,e, r 5kxy 23. kyx 24. yy 5 elnxx, , yy 50,0, xx 50,1, xx 5 kxy 23. 2.2. 00 3.3. 00

xx

4.4. xx

0,0, 33

xx

3,3, 00 1,1, 00 yy

yy

99 xx2 2 11 xx2 2

33

99 xx2 2

yy

In 5– the mass and center mass lamina En los ejercicios 5find a 8, hallar masa y elofof centro de masa de la InExercises Exercises 5–8,8,find the massla and center massof ofthe the lamina for density. lámina cada densidad. foreach eachcon density. cuadrado con vértices0,0,(0, R: 00, 0), 00, 0), aa, a), aa a) 5.5. vertices R:square , a,a,(a, , 0,0,(0, , a,a,(a, 5. R: squarewith with vertices a) b)(b)r 5 ky r 5 kxkxkx kyky c) (a) (c) (a) r 5 kk (b) (c)

rectángulo convertices vértices0,s0, R: 0,000,d,,a,a, sa, , 0,sb0,b,b, da,,a,bsa, 00,0,d0, 6.6. R:rectangle b bd 6. R: rectanglewith with vertices 2 2 2 2 a) b)(b)r 5 kkskxxx1 d2 (a) 2 yyy kxy (b) (a) r 5 kxy

En los ejercicios 27 verify a 32, verificar losmoment(s) momentos of de inertia inercia and dados InIn Exercises 27–32, Exercises 27–32, verifythe thegiven given moment(s) of inertia andes x y. y hallar y Suponer que la densidad de cada lámina xxand y.y.Assume 11 find that each lamina has aadensity ofof find and Assume that each lamina has density r 5 per 1 gramos por centímetro cuadrado. (Estas regionesshapes son forgram square centimeter. (These regions are common gram per square centimeter. (These regions are common shapes mas de uso común empleadas en diseño.) used usedininengineering.) engineering.) 27. Rectángulo 28. Triángulo rectángulo 27. 28. triangle 27. Rectangle Rectangle 28. Right Right triangle y y 1

h hh

triángulo convertices vértices0,(0, (a, R: , , a(a/2, , , a, 8.8. R:triangle 0,000), a 2,2,aaa), a,000) 8. R: trianglewith with vertices a) b)(b)r 5 kx y kxy (a) kxy (a) r 5 kk (b)

kk b)b) kyky a)a) x 16. 16. yy ee ,x, yy 0,0, xx 0,0, xx 11 kyky2 2 kyky b)b) a)a) 2 kyky 17. 17. yy 44 xx,2, yy 0,0, 2 kxkx 18. 18. xx 99 yy,2, xx 0,0, xx 19. sen L , , yy 0,0, xx 0,0, xx L,L, 19. yy sen L

LL , 22 ,

kk kyky

kk kkx2x2 y2y2

1 I =1 12 bh3 1bh 3 3 IxI =x=12 bh x 1 3 I =112 bh 112 IyI =y=12 b 3h3 y 12 b h

yy

h hh b bb

Traslacionesinenthe el plano Translate Trasladar la lámina del ejercicio5 5 9.9. 9. Translations Translations in thePlane Plane Translatethe thelamina laminaininExercise Exercise 5 cinco unidades a la derecha y determinar el centro de masa totothe theright rightfive fiveunits unitsand anddetermine determinethe theresulting resultingcenter centerofofmass. mass. resultante. 10. Conjecture Use the result of Exercise 9 to make a conjecture 10. Conjecture Use the result of Exercise 9 to make a conjecture 10. about Conjetura Utilizar el resultado del ejercicio 9 para formular about the the change change inin the the center center ofof mass mass when when aa lamina lamina ofof una conjetura acerca del cambio en el centro de masa cuando constant constantdensity densityisistranslated translatedccunits unitshorizontally horizontallyororddunits units una lámina de densidad constante se trasladaisc not unidades horivertically. vertically.IsIsthe theconjecture conjecturetrue trueififthe thedensity density is notconstant? constant? zontalmente o d unidades verticalmente. ¿Es la conjetura verExplain. Explain. dadera si la densidad no es constante? Explicar. InInExercises 11– the and ofofmass ofofthe 11–22, 22,afind findhallar themass mass andycenter center mass the En Exercises los ejercicios 11 22, la masa el centro de masa de la lamina bounded by the graphs of the equations for the lamina limitada boundedoby the graphs the equations for thegiven given lámina acotada por lasofgráficas de las ecuaciones con density orordensities. (Hint: Some ofofthe are inin density densities. (Hint: theintegrals integrals aresimpler simpler la densidad o densidades queSome se especifican. (Sugerencia: Algunas polar coordinates.) polar coordinates.) de las integrales son más sencillas en coordenadas polares.) x,x, yy 0,0, xx 1,1, kyky 11. 11. yy 2 kxy 12. kxy 12. yy xx,2, yy 0,0, xx 2,2, y 4 x, y 0, x 1, x kxkx2 2 13. 13. y 4 x, y 0, x 1, x 4,4, 11 1,1, xx 1,1, kk 14. 14. yy 1 x2,2, yy 0,0, xx 1 x x 15. 15. yy ee,x, yy 0,0, xx 0,0, xx 11

3 I = 3 bh 3 IxI =x=13 1bh 3 bh x I = 31 b3h IyI =y=13 1b3b3h3h y 3

yy

triángulo convertices vértices0,(0, R: , , 0,(0, , , a,(a, 7.7. R:triangle 0,000), 0,aaa), a,aaa) 7. R: trianglewith with vertices a) b)(b)r 5 ky r 5 kxkxkx kyky c) (a) (c) (a) r 5 kk (b) (c)

xx 20. cos L , , yy 0,0, xx 0,0, xx 20. yy cos L 2 2 y a 21. 2 a xx,2, 00 yy x,x, 21. y 2 2 2 22. 22. xx2 yy2 aa,2, 00 x,x,00 y,y,

ln x,x, yy 0,0, xpx 1,1, xx pe,e, k x 5 ln 2 cos 3u, 2 ≤ u ≤ , r 5 k k x 6 6 22cos 3 , 6 6, kk cos 3 , 6 6, 5111 1cos cos ,u,, r 5kkk cos

y 24. 24. 25. yr r 25. 25. r 26.r rr 26. 26.

x xx

29. Círculo 29. 29. Circle Circle

b bb

x xx

30. Semicírculo 30. 30. Semicircle Semicircle y

y yy

yy

a

x

aa

xx

aa

I0 = 12 π a4

31. Cuarto del

I0I ==12 1ππaa4 4 círculo 0 2

x

a I0 = 14 π a4

I0I ==14 1ππaa4 4

32. Elipse

0

4

y

y

31. 31. Quarter Quartercircle circle I = 1 π a4 0 8

32. 32. Ellipse Ellipse yy

yy

I0I ==18 1ππaa4 4 0 8

a a

b a

bb x

I0 = xx

1 π ab(a2 4

x

aa +

xx

b2)

1

2 + b 2) a 33 a 40, hallar I , I , I ,I x, = 4 1πyπab(a 2 la 2) En los ejercicios para liab(a + blámina x y 0 0I0 =y 4 mitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora a fin de evaluar las integrales CAS CAS In In Exercises Exercises 33 33––40, 40, find find IxI,x,IyI,y,I0I,0,x,x, and and yy for for the the lamina lamina dobles. by the graphs of the bounded equations. Use a bounded by the graphs of the equations. Use a computer computer algebra system 33. y 5 0, y 5totob,evaluate x 5 0, the xthe 5double a, r 5integrals. ky algebra system evaluate double integrals.

CAS

34. y 33. 33. yy 35. y 34. 34. yy 36. y 35. 35. yy 37. y 36. 36. yy 38. y 37. 37. yy 39. y 38. 38. yy 40. y 39. 39. yy

50,!ya2 2 x2, y 5 0, r 5 ky ky 0, y b,b, xx 0,0, xx a,a, ky 5 4a222 x2x,2,2y y5 0,0,x > 0,kyr 5 kx a x , y 0, ky 54 x, yx25 x2, r 5 kxy kxkx 4 x,2, yy 0,0, xx>>0,0, 5x,!y x, yx25 0, x kxy 5 4, r 5 kxy , 2 kxy x, y x , 2 5 xx, , y2 5 x, r 5 x2 1 y2kxy x, yy 0,0, xx 4,4, kxy 2 5x2x,22,y2y22 5x,x, r 5x2kx y 2 2 x, y x, x y 5x2x,23,y2y2 5x,4x, r 5 k y 40. y x3,3 y 4x, kxkx x, y x, 40. y x , y 4x,

||

kkyy

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SECCIÓN 14.4

CAS

En los ejercicios 41 a 46, dar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral doble.

Hidráulica En los ejercicios 51 a 54, determinar la posición del eje horizontal ya en el que debe situarse una compuerta vertical en una presa para lograr que no haya momento que ocasione la rotación bajo la carga indicada (ver la figura). El modelo para ya es ya ⴝ y ⴚ

41. x2 ⫹ y2 ⫽ b2, ␳ ⫽ k, recta: line: x ⫽ a 共a > b兲 42. y ⫽ 0, y ⫽ 2, x ⫽ 0, x ⫽ 4, ␳ ⫽ k, recta: line: x ⫽ 6 43. y ⫽ 冪x, y ⫽ 0, x ⫽ 4, ␳ ⫽ kx, recta: line: x ⫽ 6 line: y ⫽ a 44. y ⫽ 冪a2 ⫺ x2, y ⫽ 0, ␳ ⫽ ky, recta: line: y ⫽ a 45. y ⫽ 冪a2 ⫺ x2, y ⫽ 0, x ≥ 0, ␳ ⫽ k共a ⫺ y兲, recta: line: y ⫽ 2 46. y ⫽ 4 ⫺ x2, y ⫽ 0, ␳ ⫽ k, recta:

1019

Centro de masa y momentos de inercia

Iy hA

donde y es la coordenada y del centroide de la compuerta, Iy es el momento de inercia de la compuerta con respecto a la recta y ⴝ y, h es la profundidad del centroide bajo la superficie y A es el área de la compuerta. y

y=L

Desarrollo de conceptos

h y=y Iy ya = y − hA

47. Dar las fórmulas para hallar los momentos y el centro de masa de una lámina plana de densidad variable. 48. Dar las fórmulas para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y de una lámina plana de densidad variable.

x

y

51.

y

52.

y=L

49. Con las propias palabras, describir qué mide el radio de giro. y=L

d

Para discusión 50. El centro de masa de la lámina de densidad constante mostrado en la figura es 共2, 85 兲. Hacer una conjetura acerca de cómo cambiará el centro de masa 共x, y兲 si la densidad ρ(x, y) no es constante. Explicar. (Hacer la conjetura sin realizar cálculo alguno.)

a x

b y

53.

y

54. b

y

x

b

y=L d

y=L

4 x

a

3 2

(2, 85 )

x

1 x

1

2

3

4

ⱍ

ⱍ

a) ␳ 共x, y兲 ⫽ ky

b) ␳ 共x, y兲 ⫽ k 2 ⫺ x

c) ␳ 共x, y兲 ⫽ kxy

d) ␳ 共x, y兲 ⫽ k 共4 ⫺ x兲共4 ⫺ y兲

55. Demostrar el teorema de Pappus siguiente: sea R una región plana y sea L una recta en el mismo plano tal que L no corta el interior de R. Si r es la distancia entre el centroide de R y la recta, entonces el volumen V del sólido de revolución generado por revolución de R en torno a la recta está dado por V ⫽ 2␲ rA, donde A es el área de R.

PROYECTO DE TRABAJO

Centro de presión sobre una vela El centro de presión sobre una vela es aquel punto 共xp, yp兲 en el cual puede suponerse que actúa la fuerza aerodinámica total. Si la vela se representa mediante una región plana R, el centro de presión es

Considerar una vela triangular con vértices en (0, 0), (2, 1) y (0, 5). Verificar los valores de cada integral.

兰 兰 xy dA xp ⫽ R 兰R 兰 y d A

a)

y

兰 兰 y2 d A yp ⫽ R . 兰R 兰 y d A

冕冕 R

y dA ⫽ 10 b)

冕冕 R

xy dA ⫽

35 c) 6

冕冕 R

y2 dA ⫽

155 6

Calcular las coordenadas 共xp, yp兲 del centro de presión. Dibujar una gráfica de la vela e indicar la localización del centro de presión.

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

14.5 Área de una superficie n

Utilizar una integral doble para hallar el área de una superficie.

Área de una superficie Superficie: z = f(x, y)

z

En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la región sólida que se encuentra entre una superficie y una región R en el plano xy cerrada y limitada o acotada, como se muestra en la figura 14.43. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los extremos de ƒ en R (sección 13.8), el área de la base R del sólido (sección 14.1), el volumen del sólido (sección 14.2) y el centroide de la base de R (sección 14.4). En esta sección se verá cómo hallar el área de la superficie superior del sólido. Más adelante se aprenderá a calcular el centroide del sólido (sección 14.6) y el área de la superficie lateral (sección 15.2). Para empezar, considerar una superficie S dada por

y

z 5 f sx, yd

x

Superficie definida sobre una región R.

Región R en el plano xy

Figura 14.43

Superficie: z = f (x, y)

∆Ti

z

∆Si ≈ ∆Ti

definida sobre una región R. Suponer que R es cerrada y acotada y que ƒ tiene primeras derivadas parciales continuas. Para hallar el área de la superficie, se construye una partición interna de R que consiste en n rectángulos donde el área del rectángulo i-ésimo Ri es D Ai 5 Dxi Dyi, como se muestra en la figura 14.44. En cada Ri sea sxi, yid el punto más próximo al origen. En el punto sxi, yi, zid 5 sxi, yi, f sxi, yi dd de la superficie S, se construye un plano tangente Ti. El área de la porción del plano tangente que se encuentra directamente sobre Ri es aproximadamente igual al área de la superficie que se encuentra directamente sobre Ri. Es decir, DTi < DSi. Por tanto, el área de la superficie de S está dada por n

o

R

i51

y

n

o DT . i

i51

Para hallar el área del paralelogramo DTi, notar que sus lados están dados por los vectores

x

u 5 Dxi i 1 fxsxi , yi d Dxi k ∆Ai

Figura 14.44

DSi
>>00d0,dd,x, xx55 50,0, 0,yyy55 50,0, 0,zzz55 5000 aa bbb ccc

Mass Center of In set Masa centro de masaMEn ejercicios yand 44,44, formular las Massyand and Center of Mass Mass los In Exercises Exercises 43 43 and 44, set up up the the triple finding mass the of mass of integrales triples for para hallarthe la masa el centro de masa sólitriple integrals integrals for finding the massyand and the center center of del mass of the solid by do acotado por las gráficas de las of ecuaciones. the solid bounded bounded by the the graphs graphs of the the equations. equations. 43. 43. 43.xxx55 50,0, 0,xxx55 5b,b, b,yyy55 50,0, 0,yyy55 5b,b, b,zzz55 50,0, 0,zzz55 5bbb ssx, kxy rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kxy kxy

aa

aa

xx

yy

57. (a) 5 57. a) (a)rrrssx, sx, x,y,y, y,zzdzdd5 5kkk b) (b) ky (b)rrr55 5ky ky

44. 44. 44.xxx55 50,0, 0,xxx55 5a,a, a,yyy55 50,0, 0,yyy55 5b,b, b,zzz55 50,0, 0,zzz55 5ccc ssx, rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kzkz kz

58. (a) 5 kz 58. a) (a)rrr5 5kz kz b) (b) (b)rrr55 5kksk4ss4422 2zzdzdd zzz

zz==44−−−xx

444

2 3 22 44 33 4 xx x

11 22 1 2

yy y

yy

x

zzz

Think About center of aa solid of Think About ItIt laThe The center of mass massel of of solid of constant constant Para pensarMEn figura se muestra centro de masa de un density is shown in the figure. In Exercises 45–48, make a density is shown in the figure. In Exercises 45–48, make sólido de densidad constante. En los ejercicios 45 a 48, hacer unaa conjecture about how the center of mass change for x x, y, zzcc will conjecture about how the center of mass will change for x x, y, conjetura acerca de cómo cambiará el centro de masa xx, y, z c the nonconstant density rrxxx, y, zzcc.. Explain. thela nonconstant con densidad nodensity constantex,ry, xx, y,Explain. zc. Explicar. zz 45. r s x, y, zzdd 5 kx 45. r s x, y, 5 kx z 45. rsx, y, zd 5 kx CAS CAS CAS 46. ssx, 46.rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kzkz kz ))2,2,2,0,0,0,88585))) 444 46. ( 5 3 3 47. ssx, 47.rrsrx, x,y,y, y,zzdzdd55 5kksksysyy11 122d2dd 3 47. 22 22 22 48. r s x, y, z d 5 kxz s y 1 2 d 2 48.rsrx,sx,y,y,zdzd55kxz kxz2s ys y112d22d 48.

aaa 222

aaa 222

444 x

44

44

yy

zz==44−−−yy222

22 yy

44 x

Momentos inerciaMEn los ejercicios 59 verify y 60, the verificar los Moments Inertia In 59 moments Moments of ofde Inertia In Exercises Exercises 59 and and 60, 60, verify the moments momentos del of sólido de densidad Utilizar of for the uniform density. Use of inertia inertia de forinercia the solid solid of uniform density.uniforme. Use aa computer computer un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales algebra system to the algebra system to evaluate evaluate the triple triple integrals. integrals. triples. 1 zz 1 59. 59. IIxx 5 5 12 mss3a 3a222 1 1 LL222dd z 112m 59. Ix 5 12 m s 3a 1 L d 1 aa IIyy 5 5 212ma ma22 aLL Iy 5 1211ma 2 22 L IIzz 5 5 12 mss3a 3a 1 1 LL22dd aa 112m aa Iz 5 12 ms3a 2 1 L2d LL a a xx

x

L 22 y 2

yy

1053714_1406.qxp 10/27/08 PM 14-6.qxd 10/27/08 3/12/09 18:32PM1:34 Page 1037Page 1037 1053714_1406.qxp 1:34 Page 1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 PM 1037 Page 1037 1053714_1406.qxp 10/27/08 1:34 PM Page 1037

SECCIÓN 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.6 Triple Integrals and Applications 14.6 Triple Integrals and Applications 1037 14.6 Triple Integrals and Applications 14.6 Triple Integrals and Applications 1 2 b2d 60. Ix 5 12m 1 sa 1 60. Ix 2 12 m a 2 b2 1 2 1 1b 2 2 60. Ix 60. IyIax5 12 m sba 21 c 2d2 12 m 11m 12 m b 2 bbc22 12m 1 IIxy 2 1 12 60. a 2 1 2 Iy 12mIzIb5 12m sa b 21 c 2d2 11cm Iyz 2 12 m ab 22 ccc 22 12 1 I m 2 1c Iz 12m Iay 12 2 c 22 1m a 2 Izz 12 c 12 m a

z z

c c b 2

x

xc x 2 x x

Para C A P S Tdiscusión ONE C A P S TCOANPES T O N E Think About It Of the integrals (a)–(c), which one is C68. AAbout PPara S T Opensar 68. De1 integrals las integrales a) which a c), ¿cuál es igual a 3 2the 68. Think ItN E Of (a)–(c), one is

z z z

a

c b a c 2b c b2

a a a

2b 2

c 2 ca c2 2 2c 2

b a b 2a a2 y 2a 2

y

1037

1037 1037 1037

y

68. Think About It Of one is 3 2 to 1 equal Explain.which f x,the y, z integrals dz dy dx?(a)–(c), Think About Of the integrals (a)–(c), which one is Explicar. equal68. to equal f133 x,022y,It11z1 fdz x,dyy,dx? z dzExplain. dy dx? Explain. 1 0 to 1 1 f x, y, z dz dy dx? Explain. equal to 3 21 10 1 0 3 2a) 1 f x,1 y, z dz dx dy 3 2 1 a) f13 x,02y, 1z1 fdzx,dxy,dy z dz dx dy 1 0a) 1 a) 1 1 0 2 13 f x, y, z dz dx dy 1 f x, y, z dx dy dz 1 b) 2 3 1 0 13 f 111x, 02y, b) 2 z3 fdxx,dy y, dz z dx dy dz 1 0b) 1 2 1 03 11 f x, y, z dx dy dz b) 1 0 1 f x, y, z dy dx dz 2 3c) 1 f022 x,133y, 11z1 fdyx,dx c) y, dz z dy dx dz 0 1c) 1 c) 0 1 1 f x, y, z dy dx dz

b b b

y y

0

1

1

Momentos de inerciaMEn los ejercicios 61 y 62, dar una integral Moments of Inertia el In Exercises 61 andcon 62,respecto set up aal triple Average Value In Exercises 69–72, find the average value of triple que represente momento de inercia ejeAverage z Valor promedioMEn los ejercicios 69 72, hallar el valor promeMoments of Inertia In Exercises 61 and 62, and setabout up triple Value In Exercises 69–72, find theafind average value ofavalue Moments ofsólida Inertia In Exercises 61 62, athe set a triple integral that gives the moment ofr.inertia -axis of the zup Average Value In Exercises 69–72, the average of the function over the given solid. The average value of continde la región Q de densidad dio de la función sobre el The sólido dado. find El valor de una Moments of Inertia In Exercises 61 the andz-axis 62, set up a triple Average Value In Exercises 69–72, the average value of integral integral that theQ moment of inertia of zthe the function over the over given solid. value ofisvalue apromedio continthat gives the moment ofabout inertia about the -axis of the solidgives region of density . the function the given solid. The average a continuous function over aaverage solid region f x,f(x, y, zy, Qsólida función continua z) sobre una región Q of es integral that gives the≤moment of inertia about the of the z-axis H J the function over the given solid. The average value of a continsolid region of density Q . Q 5 s x, y, z d : 21 x ≤ 1, 21 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 2 x 61. uous function over a solid region is f x, y, z Q solid region Q of density . uous function f x, y, z over a solid region Q is solid region Q of density . 1, 1 y 1, 0 z 1 x 1 function f x, y, z over a solid region Q is 61.r Q !x 2x,1y,yz2 :1 z12 x 1uous 5 fxx,x,y,y,zzc dV dV 1 61. Q 61.x, y, z : 1 x 1, 1 y 1, 0 z 1 x 1 V Q x, 1, 1 y 1, 0 z 1 x 2y, z : 2 1 2 x f1x, y, z ffdV xy,y,z2dz: yx: 2 11 zy 2 x≤ 1, 1, 2 02 y 2zJ V x, y, z dV 61.xQ2Q5 Hys2x,x, 1 y 1, 1 x 62. 0 ≤ z ≤ 4 2 x V Q V Q f x, y, z dV Q x2 z y 2 2 z2 2 2 V 62.r Q y2 Q where is el thevolumen volume de of la theregión solid region Ves Q. 5 kx: 2x 2xx,2 y, yzy2:2x 1,z 20y z 1, 04 zx 2 4 y 2 x donde V sólida Q. Q 62. Q 62.x, y, z 2 where Vwhere is the volume of the solid region Q.region Q kxx, y 22 1, 0 z 4 x 22 y 22 2 y, z : x 2 is the volume of the solid V Q. 62. x, y, z : x y 1, 0 z 4 x y 2 2z1 2 Q where of the solid Q. 69. f(x, cube in firstoctante octant bounded by f x,Vy,2y,isz)zthe 4 over 5 zvolume 4 sobre elthe cubo enregion el the primer acotado por 69. kxlos kx 22 En ejercicios 63 y 64, utilizando la descripción de región só69. f x, y, cube inthe the first octant bounded by z fthe zcoordinate 4 over 2 the 69. over the cube in the first octant x, y, z z 4 kx planes and planes and x 1, y 5 11,ybounded z1. by 1 los planos coordenados, y los planos x 5 1, y z 5 2 In Exercises 63 and 64, using the description of the solid region, lida, dar la integral para a) la masa, b) el centro de masa y c) el the coordinate 69. f x, y,planes the xcube1,inythe first octant bounded z zand the 4 over planes 1 z 1by In Exercises 63 the andintegral 64, the(a) description of the solid region, andcube the planes x 1,octant 1,and y zbounded 1, and In 63 using andcon 64, using of the solid region, 70. fthe over the in the first the fsx, x,coordinate y, zzd 5 xyz xyzplanes setExercises up for thethe mass, of mass, and y, 70. sobre el cubo en el primer octante acotado momento de inercia respecto aldescription eje(b)z. the center the coordinate planes and the planes and zby por x 1, y 1, 1 In Exercises 63 and 64, using the description of the solid region, 70. f x, y, the cube inthe the first bounded by the xyz set up the for (a)ofthe (b)mass, the center mass, of and 70.z los over the cube in octant the first octant bounded by the fcoordinate x,planos y, zovercoordenados xyz set up integral formass, (a) about the (b) theofcenter mass, and planes and planes and x 4, y 4, z 4 (c)integral thethe moment inertia the -axis. z y los planos x 5 4, y 5 4 y z 5 4. 70. f x, the xcube4,inythe 4, first octant bounded y, z andxyz set upsólido the integral for the (b)y2the of la mass, and coordinate planes theover planes 4and z 4by the (c) the moment of inertia the z-axis. z about 5 4 mass, 2the x2 2 5 0 con acotado por(a) y z center función 63. planes x 4,and y z 4, (c) El the moment ofabout inertia z-axis. 71. fcoordinate over the tetrahedron in the first fsx, x, y, y, zzd 5planes x 1 yy and zthe 2 and z coordinate planes and the planes and x 4, y 4, z octante 4octant (c) the moment thex2z-axis. x 1 z 71. sobre el tetraedro en el primer 63.de The solid bounded with density 4 y 0 densidad r of 5 inertia kz by zabout 71. f x, y, the tetrahedron in0the first octant z fwith xy,vertices y xz over 2 2 and z 71. over the tetrahedron in the first octant x, z y z and 0, 0, 0 , 2, 0, 0 , 0, 2, 0, 0, 2 63. The 63. solidThe bounded by with density z 4 x y 0 2 2 cuyos vértices y sthe 0d2, , s2, 0d, s0,0,2,20d in 0, 0,first 2d octant solidenbounded and density with 71. z 4 x 2 ypor 0 with function kz byoctante the0, tetrahedron f x, y,0, z 0, 0 x, son y0,s0, z0,over vertices and 2, 0, 0, 64. sólido el primer loszzplanos coordena63.ElThe solid by z 4 acotado density x y2 and 0 with with vertices 0, 00over ,, 2, 0, 00 ,solid 0, 2,0, 0 and 0, by 0, 2 the sphere function kz2 bounded 72. f(x, the bounded f x,y,y, z 5 xx1 y0,sobre function kz z2first 2 the with vertices and 0, 0 , 2, 0, 0 , 0, 2, 0 0, 0, 2 72. z) y el sólido acotado por la esfera x2 1 y2 64.dos The solid in octant bounded by the coordinate planes y con función de densidad x 1 y 1 5 25 r 5 kxy 72. f x, y, the solidthebounded by the by sphere z fx2x,x2y,yz2y over function kz bounded by the coordinate planes 2 72. over solid bounded the sphere x y z 3 64. The 64. solidThe in the first octant 2 2 2 5z3. octant by the coordinate and withbounded density function yin thez first 25 xsolid kxy planes 2 y2 1 f 2 x, y over the solid bounded by the sphere zz2 y, 23 2x 2 2 solid 2 in25 The the firstdensity octantfunction bounded by the coordinate planes x 72. y z 3 x and x64. with y z kxy 2 2 2 2 2 2 and x 2 y 2 z 2 25 with density function kxy yla región z sólida 3 x CAS CAS 73. and x y z 25 with density function kxy dondethe la integral triple QQwhere 73. Hallar Find the solid region triple integral W R I T I N G A Bde O U conceptos T CONCEPTS CAS 73. Find the solid region Q where the triple integral Desarrollo CAS 73. Find the solid region Q where the triple integral W R I T I NWGR IATBI O U T C O N C E P T S N G aAtriple B O Uintegral T C O Nand C E P T S a method of evaluating CAS 73. Find the solid22region Q where the triple integral 65.R IDefine W TING A Bintegral O and U T describe Ctriple O N CyEadescribe Pmethod T S of s112 2x 2x 2 2yy222 3z 3z22d dV dV 65. Definir una describir unevaluating método para eva65. Define a triple integral 2 2 65. Define triple integral and describe a method of evaluating 1 2x 1 y 2x2 3z y2dV 3z2 dV a tripleaintegral. QQ 65.luar Define a triple integral una integral triple. and describe a method of evaluating a triple integral. 1 2x2 y2 3z2 dV triple integral. Q y66. aaDetermine whether the moment of inertia about the axis esisQun máximo. Utilizar un sistemaalgebra algebraico por to computadora y triple integral. a maximum. Use a computer system approximate 66. Determinar sithe el moment momentoofdeinertia inerciaabout con respecto al eje y del y66. Determine theabout Q 66. Determine whether the moment of increase inertia the y-axis is a maximum. Use a computer algebra system to approximate ofwhether the cylinder in Exercise 59 will oraxis decrease for aproximar el valor máximo. ¿Cuál es el valor máximo exacto? is maximum.value. Use a What computer system to value? approximate thea maximum is thealgebra exact maximum Determine whether5959 the moment ofoor inertia about thelay-denaxis cilindro delExercise ejercicio aumentará disminuirá con of the66. cylinder in will increase decrease for is a maximum. Use computer algebra system to approximate of cylinder indensity Exercise the maximum value. What is athe exact maximum value? x,59y,will z increase x 2 orz 2decrease 4. CAS thethe nonconstant and a for the maximum value. What is the exact maximum value? 2 x2 1 2 z 2 y or 74. Hallar la región sólida Q donde la integral triple of the inx, 59x! will increase decrease for sidad nocylinder constante rExercise sy, x, zy, zd 5 5 a 4. the nonconstant density and z 74. the Findmaximum the solid value. region Q where theexact triple integral is the z solid B, x 22of equal a CAS4.as74. CAS nonconstant density z 22 andweight Find the solid region Q where What the triple integral maximum value? A y, 67. the Consider two solids, solid x, and x, y, zofB equal x weight aque 4. the nonconstant density z and CAS 74. Find the solid region Q where the triple integral 67. Considerar elsolid sólido A y el sólido de pesos iguales se A B, 67. Consider two solids, and solid as the triple integral 67. Consider two solids, solid A and solid B, of equal weight as CAS 74. Find sthe shown below. 112solid xx222region yy222 Q zz22dwhere dV dV 67.below. Considerentwo solids, solid A and solid B, of equal weight as muestran la figura. shown 2 2 2 shown below. 1 x y z dV 2 2 2 (a) Because the solids have the same weight, which has the 1 x 2 y 2 z 2 dV QQ below. a)shown Como los sólidos el mismowhich peso,has ¿cuál la (a) Because the solids have thetienen samethe weight, the tiene 1 x y z dV (a) Because the solids have same weight, which has the Q greater density? es un máximo. Utilizar un sistemaalgebra algebraico por to computadora y Q is a maximum. Use a computer system approximate (a)densidad Becausemayor? the solids have the same weight, which has the greater density? Q is a maximum. Useela valor computer algebra system approximate aproximar máximo. ¿Cuál es el to valor máximo exacto? (b) greater Which density? solid has the greater moment of inertia? Explain. is a maximum. Use a computer algebra system to approximate the maximum value. What is the exact maximum value? greater density? b) ¿Cuál sólido tiene moment el momento de Explain. inercia mayor? (b) Which solid has the greater of inertia? is a maximum. Use computer algebra system approximate the maximum value. What is athe exact maximum value? tovalue? (b) Which solid hasrolled the greater of inertia? Explain. the maximum What is the exact maximum 75. la integral triple. (c)Explicar. The solids are down moment an inclined plane. They are 75. Encontrar Solve for aa en in value. the triple integral. (b) Which solid has the greater moment of inertia? Explain. the maximum value. What is the exact maximum value? (c) The solids are rolled down an inclined plane. They are 75. Solve for in the triple integral. a (c) The solids aresame rolledtime down They are 2 2 in 22 started at the andanatinclined the sameplane. height. Which 11 32a2y 75. Solve integral.14 3 for a a y 42x2y 4the x triple y The solidsse are rolled an inclined They are c)(c)Los sólidos hacen hacia abajo en plane. un plano inclistarted atstarted the same time androdar atdown theand same height. 2 in the triple integral.14 1 375.a Solve y2 4 for x ya at the time at the sameWhich height. Which will reach thesame bottom first? Explain. dx 2 2 dz 1 3 a y 4 x y dz dx dy5 15 14dy started at the first? same time and at they same height. altura. Which nado. al mismo tiempo a la misma will reach theEmpiezan bottom Explain. 14 15 y2 001 003 a y2dz aa4 dxx dy will reach the bottom first? Explain. dz dx dy 14 will llegará reach the bottom first? Explicar. Explain. ¿Cuál abajo primero? 0 0 a dz 15 dx dy 15 0 0 a 76. el deof b de manera volumen 15que 76. Determinar Determine the value that theelvolume of del the elipsoide ellipsoid b such 0 0 a valor 76. Determine such the volume of the ellipsoid 2 the value 2 the 2 of b 2 ofthat 76. Determine value such that the volume of the ellipsoid b es 16 x y b z 9 1 . that the volume of the ellipsoid x2 76. 16 b .1such y2 xDetermine b2 2 y2z2b29the value 1z2 es9of es 16 . 2 Axis of x y2 b2 z2 9 1 es 16 . Axis of

EEE

EEE EEE

EE E

revolution Axis of revolutionrevolution Axis Eje deof Axis of revolution revolución Axis of Axis revolution of revolutionrevolution Axis of Eje de revolution revolución Solid A Solid B Solid A Solid A Solid B Solid B Solid SolidBB Sólido A A Sólido

PUTNAM EXAM CHALLENGE P U T N APMU TENX AA M M ECXHAAM L L EC N GA EL L E N G E Hexamen Preparación del 77. Evaluate P U T N A M E X A M C H A L L E N G E Putnam 77. Evaluate 1

lím

n→

0

77. Evaluate 1 1 77. Evaluate 77. . . . 1 1 límEvaluar

1 2 x1 x2 . . . xn dx1 dx2 . . . dxn. 1 2 1 cos . . . . . . 011 cos n→ 01. . . 01x 2 x2n . . . . 1 dx 1 2 x cos x xn. . dx dxn. . . . dx . x 2 dx dx 2n 0lím 0 n→ lím 0 0 . . . 0 cos2 2n x11 x22 . . . xnn dx11 dx22 . . . dxnn. n→ 2n 0 0 was composed 0 This problem by the Committee on the Putnam Prize Competition.

This problem composed by the Committee on the Putnam Prize reserved. Competition. © was The Mathematical Association America. All This problem was composed by theofCommittee on rights the Putnam Prize Competition. Este problema fue preparado por elAll Committee on the Prize © The Mathematical Association of America. rights reserved. This was composed by the onrights thePutnam Putnam PrizeCompetition. Competition. © Theproblem Mathematical Association of Committee America. All reserved. ©©The Mathematical Association of America. Todos los derechos The Mathematical Association of America. All rights reserved.reservados.

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas n n

Expresar y evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas. Expresar y evaluar una integral triple en coordenadas esféricas.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas

The Granger Collection

Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas no rectangulares. En esta sección se aprenderá a usar coordenadas cilíndricas y esféricas para evaluar integrales triples. Recuérdese que en la sección 11.7 se vio que las ecuaciones rectangulares de conversión a coordenadas cilíndricas son x 5 r cos u y 5 r sen sin u z 5 z.

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827) Uno de los primeros en utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas fue el matemático francés Pierre Simon de Laplace. Laplace ha sido llamado el “Newton de Francia”, y publicó muchos trabajos importantes en mecánica, ecuaciones diferenciales y probabilidad.

AYUDA DE ESTUDIO Una manera fácil de recordar estas ecuaciones es observar que las ecuaciones para obtener x y y son iguales que en el caso de coordenadas polares y que z no cambia.

En este sistema de coordenadas, la región sólida más simple es un bloque cilíndrico determinado por r1 ≤ r ≤ r2,

u1 ≤ u ≤ u2, z1 ≤ z ≤ z2

como se muestra en la figura 14.63. Para expresar una integral triple por medio de coordenadas cilíndricas, supóngase que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano xy puede describirse en coordenadas polares. Es decir,

z

Q 5 Hsx, y, zd: sx, yd está en R, h1sx, yd ≤ z ≤ h2sx, ydJ ∆zi

y R 5 Hsr, ud: u1 ≤ u ≤ u2,

g1sud ≤ r ≤ g2sudJ.

Si ƒ es una función continua sobre el sólido Q, se puede expresar la integral triple de ƒ sobre Q como θ=π 2

∆ri θ =0

ri ∆θ

Volumen del bloque cilíndrico: DVi 5 ri D ri D ui Dzi Figura 14.63

EEE

f sx, y, zd dV 5

E E 3E

h2sx, yd

R

Q

h1sx, yd

4

f sx, y, zd dz dA

donde la integral doble sobre R se evalúa en coordenadas polares. Es decir, R es una región plana que es r-simple o u-simple. Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en forma cilíndrica es

EEE Q

f sx, y, zd dV 5

EE E u2

u1

g2sud

g1sud

h2sr cos u, r sen sin ud

h1sr cos u, r sin sen ud

f sr cos u, r sen sin u, zdr dz dr du.

NOTA Éste es sólo uno de los seis posibles órdenes de integración. Los otros cinco son dz du dr, dr dz du, dr du dz, du dz dr, y du dr dz. n

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SECCIÓN 14.7

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Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Para visualizar un orden de integración determinado ayuda contemplar la integral iterada en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimensión al sólido. Por ejemplo, en el orden dr du dz, la primera integración ocurre en la dirección r, aquí un punto barre (recorre) un rayo. Después, a medida que u aumenta, la recta barre (recorre) un sector. Por último a medida que z aumenta, el sector barre (recorre) una cuña sólida como se muestra en la figura 14.64.

z

θ =π 2 θ =0

Integrar con respecto a r z

EXPLORACIÓN

Volumen de un sector paraboloide En las páginas 997, 1006 y 1028, se pidió resumir las formas, conocidas para hallar el volumen del sólido acotado por el paraboloide

θ =π 2 θ =0

Integrar con respecto a u

z 5 a 2 2 x 2 2 y 2,

z

z a2

a > 0 −a

y el plano xy. Ahora ya se conoce un método más. Utilícese para hallar el volumen del sólido. Comparar los diferentes métodos. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de cada uno?

θ =π 2

a

a

y

x

θ =0

Integrar con respecto a z Figura 14.64

Hallar el volumen empleando coordenadas cilíndricas

EJEMPLO 1

Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 4 el cilindro r 5 2 sin sen u, como se muestra en la figura 14.65. Esfera: x2 + y2 + z2 = 4

Solución Como x 2 1 y 2 1 z 2 5 r 2 1 z 2 5 4, los límites o cotas de z son

z

2 !4 2 r 2 ≤ z ≤ !4 2 r 2.

2

Sea R la proyección circular del sólido sobre el plano ru. Entonces los límites o cotas de R son 0 ≤ r ≤ 2 sen sin u y 0 ≤ u ≤ p. Por tanto, el volumen de Q es R 3 x

2 sen

3 y

r dz dr d 0

4 r2

0 2

Cilindro: r = 2 sen θ

Figura 14.65

4 r2

V 2 sen

4 r2

2

r dz dr d 0

4 r2

0 2 2 sen

2

r 2 dr d

2r 4 0

0 2

2 4 3

2 0

4 3 32 3

2 sen

r2

3 2

d 0

2

8

8 cos3

d

cos

1

0 2

1

sen 2

0

32 3 16 3 9 9.644.

sen 4

sen 3 3

2 0

d

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Hallar la masa empleando coordenadas cilíndricas

EJEMPLO 2

Hallar la masa de la porción del elipsoide Q dado por 4x 2 1 4y 2 1 z 2 5 16, situada sobre el plano xy. La densidad en un punto del sólido es proporcional a la distancia entre el punto y el plano xy.

16 − 4r2

0≤z≤ z

4

Solución La función de densidad es rsr, u, zd 5 kz. Los límites o cotas de z son 0 ≤ z ≤ !16 2 4x 2 2 4y 2 5 !16 2 4r 2 donde 0 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ u ≤ 2p, como se muestra en la figura 14.66. La masa del sólido es m5

E EE EE EE E3 E 2p

0 2p

0

x

5

2 2

5

y

Elipsoide: 4x2 + 4y2 + z2 = 16

5

Figura 14.66

k 2

!1624r2

2

0 0 2p 2

k 2

kzr dz dr du

0 2

4

!1624r2

z2r

0

s16r 2 4r 3d dr du

0 0 2p

k 2

4

8r 2 2 r 4

0

2p

5 8k

dr du

2 0

du

du 5 16pk.

0

La integración en coordenadas cilíndricas es útil cuando en el integrando aparecen factores con la expresión x 2 1 y 2 como se ilustra en el ejemplo 3. z

Hallar el momento de inercia

EJEMPLO 3

5

Hallar el momento de inercia con respecto al eje de simetría del sólido Q limitado o acotado por el paraboloide z 5 x 2 1 y 2 y el plano z 5 4, como se muestra en la figura 14.67. La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z. Solución Como el eje z es el eje de simetría, y rsx, y, zd 5 k!x 2 1 y 2, sigue que Iz 5

EEE

ksx 2 1 y 2d!x 2 1 y 2 dV.

Q

−2 1 2 x

Figura 14.67

1

2

y

Limitado o acotado por Q: z = x2 + y2 z=4

En coordenadas cilíndricas, 0 ≤ r ≤ !x 2 1 y 2 5 !z. Por tanto, se tiene

EE E EE 4 EE E 4

Iz 5 k 5k 5k

5

k 5

!z

0 0 0 4 2p 5 r 0 0 4 2p 0

5

2p

0

r 2srdr dr du dz

5

!z

0

du dz

z5y2 du dz 5

4

z5y2 s2pd dz

0

2pk 2 7y2 z 5 7

3

4

4 0

5

512kp . 35

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SECCIÓN 14.7

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Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Integrales triples en coordenadas esféricas z

Las integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo más fáciles de calcular mediante la conversión a coordenadas esféricas. Recordar que en la sección 11.7 se vieron las ecuaciones rectangulares para conversión a coordenadas esféricas

ρi sen φi ∆θi

∆ ρi

x 5 r sin sen f cos u sen u y 5 r sen sin f sin z 5 r cos f.

ρi ∆ φi

y

En este sistema de coordenadas, la región más simple es un bloque esférico determinado por

Hsr, u, fd: r1 ≤ r ≤ r2, u1 ≤ u ≤ u2, f1 ≤ f ≤ f2J

x

Bloque esférico: 2 Vi i sen Figura 14.68

i

i

i

i

donde r1 ≥ 0, u2 2 u1 ≤ 2p, y 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ p, como se muestra en la figura 14.68. Si sr, u, fd es un punto en el interior de uno de estos bloques, entonces el volumen del bloque puede ser aproximado por DV < r2 sen sin f Dr Df Du (ver ejercicio 18 en los ejercicios de solución de problemas de este capítulo). Utilizando el proceso habitual que comprende una partición interior, una suma y un límite, se desarrolla la versión siguiente de una integral triple en coordenadas esféricas para una función continua ƒ en la región sólida Q.

EEE

f sx, y, zd dV 5

EEE u2

u1

Q

f2

f1

r2

r1

f s r sin sin f sen sin u, r cos fdr2 sen sin f dr df du. sen f cos u, r sen

Esta fórmula puede modificarse para emplear diferentes órdenes de integración y se puede generalizar a regiones con límites o cotas variables. Como las integrales triples en coordenadas cilíndricas, las integrales triples en coordenadas esféricas se evalúan empleando integrales iteradas. Como sucede con las coordenadas cilíndricas, se puede visualizar un orden determinado de integración contemplando la integral iterada en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega una dimensión al sólido. Por ejemplo, la integral iterada

EE E py4

2p

0

0

3

sen f dr df du r 2 sin

0

(que se usó en el ejemplo 4) se ilustra en la figura 14.69. Cono: x2 + y2 = z2

Esfera: x2 + y2 + z2 = 9 ρ =3

z

z

z

θ φ

ρ 1

−2

−2

−2 2

1

2

y

x

r varía desde 0 hasta 3 mientras f y u se mantienen constantes Figura 14.69

2

1

2

y

x

f varía desde 0 hasta p y4 mientras u se mantiene constante

2

1

2

y

x

u varía desde 0 hasta 2p

NOTA Cuando la letra griega r se emplea en coordenadas esféricas no está relacionada con la densidad. Es la análoga tridimensional de la r que se utiliza en coordenadas polares. En este texto, en los problemas en los que se empleen coordenadas esféricas y una función de densidad, se usará un símbolo diferente para denotar la densidad. n

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Hallar un volumen en coordenadas esféricas

EJEMPLO 4 Hoja superior del cono: z2 = x2 + y2

Hallar el volumen de la región sólida Q limitada o acotada inferiormente por la hoja superior del cono z 2 5 x 2 1 y 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 9, como se muestra en la figura 14.70.

z 3

Solución En coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es

r2 5 x2 1 y 2 1 z 2 5 9

r 5 3.

La esfera y el cono se cortan cuando

−3

−2 1 3

2

1

2

3

x

sx 2 1 y 2d 1 z 2 5 sz 2d 1 z 2 5 9

z5

3 !2

y, como z 5 r cos f, se tiene que

Esfera: x2 + y2 + z2 = 9

Figura 14.70

y

p f5 . 4

1!3221132 5 cos f

Por consiguiente, se puede utilizar el orden de integración dr df du, donde 0 ≤ r

≤ 3, 0 ≤ f ≤ py4, y 0 ≤ u ≤ 2p. El volumen es

V5

EEE E E E EE E 4 E1 2 py4

2p

dV 5

0

0

3

r2 sen sin f dr df du

0

Q

5

py4

2p

59 59

9 sen sin f df du

0

0

2p

0 2p

2cos f 12

0

py4 0

!2

2

du

du 5 9p s2 2 !2 d < 16.563.

Hallar el centro de masa de una región sólida

EJEMPLO 5

Hallar el centro de masa de la región sólida Q de densidad uniforme, limitada o acotada inferiormente por la hoja superior del cono z 2 5 x 2 1 y 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 9. Solución Como la densidad es uniforme, se puede considerar que la densidad en el punto sx, y, zd es k. Por la simetría, el centro de masa se encuentra en el eje z, y sólo se necesita calcular z 5 Mxyym, donde m 5 kV 5 9kp s2 2 !2 d por el ejemplo 4. Como z 5 r cos f, se sigue que Mxy 5

EEE

EE E EE EE

Q

0

0

3

2p

5k

0

5

k 4

py4

2p

3

kz dV 5 k

r3

0

3

0

sr cos fdr2 sen sin f df du dr

0

2p

0

sin sen22 f 2

py4

4

du dr

0

r3 du dr 5

kp 2

E

3

r3 dr 5

0

Por tanto, z5

Mxy 9s2 1 !2 d 81kpy8 5 5 < 1.920 m 16 9kp s2 2 !2 d

y el centro de masa es aproximadamente s0, 0, 1.92d.

81kp . 8

14-7.qxd

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Página 1043

SECCIÓN 14.7

Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

1043

14.7 Ejercicios 21. Sólido limitado o acotado por las gráficas de la esfera r2  z2  a2 y del cilindro r  a cos 

En los ejercicios 1 a 6, evaluar la integral iterada.

冕冕 冕 冕 冕 冕 冕 冕冕 冕冕 冕 冕 冕 冕 兾2

5

1.

r cos  dr d dz

1 0 0 兾2 2 cos 2 

3.

0 0 兾2 

4.

0 2

5.

4r 2

CAS

0

6r

rz dz dr d

22. Sólido interior a la esfera x 2  y 2  z 2  4 y sobre la hoja superior del cono z 2  x 2  y 2

0

r sin sendzdxdrdrdd

0

Masa En los ejercicios 23 y 24, utilizar coordenadas cilíndricas para hallar la masa del sólido Q.

2

3 e  2 d

0 0 兾4 cos 

0

2.

6

0

0

d d

23. Q  再共x, y, z兲: 0 ≤ z ≤ 9  x  2y, x 2  y 2 ≤ 4冎

 sin sen  d d d 2

0 0 0 兾4 兾4 cos 

6.

冕 冕冕 兾4

3

共x, y, z兲  k冪x 2  y 2 24. Q  再共x, y, z兲: 0 ≤ z ≤ 12e共x

 2 sen sin  cos  d d d

共x, y, z兲  k

0

En los ejercicios 7 y 8, utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada.

冕冕冕 冕 冕冕 4

7.

兾2

z

0 0 兾2

8.

0 

0

0

En los ejercicios 25 a 30, utilizar coordenadas cilíndricas para hallar la característica indicada del cono que se muestra en la figura.

re r d dr dz

sen  sin

z

z = h 1 − rr 0

(

共2 cos 兲 2 d d d

冕 冕冕 冕冕 冕 冕 冕冕 兾2

0

2

11.

2

12.



0

0

10.

0

冪5

0

h

5r 2

r dz dr d

r0

0

4

兾6

0

r dz dr d

0

兾2

冕冕冕 2

er 2

3

0

x

 2 sen sin  d d d

25. Volumen Hallar el volumen del cono.

5

sen  d d d  2 sin

26. Centroide Hallar el centroide del cono.

2

冕冕 冕 冕冕 冕 冕冕 冕 冕冕 冕 冪4x2

2

4

2

0

15.

冪a2 x2

a

冪a2 x2

0

冪x 2  y 2 dz dy dx

0

a

3

16.

冪16x2 y2

冪4x2

0

x dz dy dx

x2 y2

2 冪4x2

14.

冪9x2

0

y

0

CAS

27. Centro de masa Hallar el centro de masa del cono suponiendo que su densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia entre el punto y el eje del cono. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral triple.

CAS

28. Centro de masa Hallar el centro de masa del cono suponiendo que su densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia entre el punto y la base. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral triple.

En los ejercicios 13 a 16, convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas, y evaluar la integral iterada más sencilla. 13.

(

0

En los ejercicios 9 a 12, dibujar la región sólida cuyo volumen está dado por la integral iterada, y evaluar la integral iterada. 9.

, x 2  y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0冎

2 y 2兲

a 冪a2 x2 y2

x dz dy dx

a

冪9x2 y2

冪x 2  y 2  z 2 dz dy dx

0

Volumen En los ejercicios 17 a 22, utilizar coordenadas cilíndricas para hallar el volumen del sólido. 17. Sólido interior a x 2  y 2  z 2  a 2 y 共x  a兾2兲2  y2  共a兾2兲2 18. Sólido interior a x 2  y 2  z 2  16 y exterior a z  冪x 2  y 2 19. Sólido limitado arriba por z  2x y abajo por z  2x2  2y2 20. Sólido limitado arriba por z  2  x2  y2 y abajo por z  x2  y2

29. Momento de inercia Suponer que el cono tiene densidad uniforme y mostrar que el momento de inercia con respecto al eje z es 3 Iz  10 mr02.

30. Momento de inercia Suponer que la densidad del cono es  共x, y, z兲  k冪x 2  y 2 y hallar el momento de inercia con respecto al eje z. Momento de inercia En los ejercicios 31 y 32, usar coordenadas cilíndricas para verificar la fórmula dada para el momento de inercia del sólido de densidad uniforme. 1 31. Capa cilíndrica: Iz  2 m共a 2  b2兲

0 < a ≤ r ≤ b,

0 ≤ z ≤ h

/08

1053714_1407.qxp 10/27/08 1:34 PM Page 1044 14-7.qxd 3/12/0910/27/08 18:33 Page 1053714_1407.qxp 1:34 1044 PM Page 1044 1053714_1407.qxp 10/27/08 1:34 PM 1053714_1407.qxp 1:34 PM Page 1044

1044 1044 1044

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CAPÍTULO Integración múltiple Chapter 14 14Multiple Integration Chapter 14 Multiple Integration 1044 Chapter 14 Multiple Integration

3 Integration Chapter 14 CAS CAS 1044 32. Cilindro Right circular cylinder: ma2 2 CPara A P S Tdiscusión ONE IzIz5 32ma 32. circular recto:Multiple 3 2 2 Multiple CAS Integration 32. Right circular cylinder: Iz 2ma C A48. P SConvert T O N E the integral from rectangular coordinates to both 3 2 CAS CAPSTONE ≤ hh cylinder: Iz sen rr5 2a sin , , 0Right 2a sinu32. 0 ≤ zzcircular 2 ma Convertir integral desde coordenadas rectangulares a 48.48.Convert the la integral from rectangular coordinates to both (a) cylindrical (b) spherical coordinates. Without calcur 2a sin , 0 z h 48. and Convert the yintegral from Sin rectangular coordinates to both 3 0por r 2a sin , z h 2 Use a computer algebra system to evaluate the triple integral. a) coordenadas cilíndricas b) esféricas. calcular, ¿qué Utilizar un sistema algebraico computadora y calcular la CAS 32. Right circular cylinder: Iz (b) spherical coordinates. Without calcuC A (a) P lating, Scylindrical T O Nwhich E and integral appears and to be(b) thespherical simplest to evaluate? 2 ma (a) cylindrical coordinates. Without calcu3 Use a computer systemC to integral. integral parece ser más sencilla ¿Por qué? integral triple. algebra which appears to bedetheevaluar? simplest to evaluate? ylinder: Iz 2ma 2 A Pevaluate STON Ethe triple Why? system to evaluate the triple integral. 48. lating, Convert the integral integral coordinates to simplest both r 2aIn sinExercises , 0Use az33computer h usealgebra lating,from whichrectangular integral appears to be the to evaluate? Volume –36, spherical coordinates to find Why? 48. Convertcoordinates the integral to from (a)acylindrical and coordinates. Without calcua2 tox2 both a2 (b) x2 spherical y2 0 z h Volume In En Exercises 33 –36,33use spherical findrectangular coordinates Why? the Use volume of los theejercicios solid. Volumen a 36, utilizar esféri2 dz dy dx a computer algebra to(a) evaluate the triple integral. Volume In system Exercises 33cylindrical –36, coordenadas use spherical coordinates to find 2 a Without x2 to 2be y2 the zsimplest a2which x2 calcua2 x2 yappears and (b) spherical coordinates. lating, integral to evaluate? the volume of the solid. 2 2 a a x x2 ay2 x2 z2y2dz dy dx cas para calcular elvolume volumen del sólido. 0 0 0 algebra system to evaluate the triple integral. the of the solid. 2 2 2 2 2 2 which z integral x appears 33. Solid inside x outside y z 9, lating, y , andto be the simplest Why?to evaluate? x y2 z2 dz dy dx 0 0 0 Volume Ininterior Exercises use9,spherical coordinates find 2 –36, 2x2 1 233 2z2 5 2 2to Sólido y 1 exterior y arri33. Solid z 33. inside outside and x y z 9, x y , 0 0 0 Why? 2 2 2 2 2 a xyabove the plane a x a x y x2 y2, and 33.to Solid ses 33 –36, use spherical coordinates find inside x2 y2 z2 9, outside z the volume of the 2 ba delthe plano xy.solid. xy-plane above x2 yen z2 dz dy dx a2 x2below y2 49. Hallar el “volumen” de la“four-dimensional “esfera cuatro dimensiones” x2 ya2 az22 x2 z and 34. Solid boundedabove above by xy-plane theby olid. 49. Find the “volume” of the sphere” 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 arriba 2 2 2x 9,1outside 2y abajo 2, and x y z dz dy dx 2 2 34. Sólido limitado por y 1 z 5 z por z x 33. Solid inside x y z y 2 2 y z z and below 34. Solid bounded above by x by z x 34.y Solid 49. Find they 2“volume” of2 the “four-dimensional sphere” 0 0 by x2 0 y2 2 z2 z and below 2 2,. and bounded above x 2by1 149. z2 1 w 5 a“volume” 2x2 xy2y Find the of the “four-dimensional sphere” z y2 z2 9, outsidez above the plane x y 2 2 2 2 2 2 2 CAS 35. The torus givenz by 4 siny (Use a computer algebra system x x y z w a ane by evaluating x 2 y 2 z 2 w2 a 2 CAS 35. 35. The El dado . (Utilizar algebraico r 5integral.) sin xf2(Use sen evaluando y2a computer z2un sistema z algebra 34. Solid bounded above by and below by CAS 44sin torus given by system to toro evaluate thepor triple 49.system Find the “volume” of the “four-dimensional sphere” CAS 4 sin (Use a computer algebra 35. The torus given by by evaluating 2 2 2 2 2 a !a22 x22 por computadora y evaluar la integral triple.) a22 x22 y22 a2 x2 y2 z2 y z evaluate z and above by x below triplebyintegral.) x the ybetween !evaluating !a2 2x2 2y2 2z2 a 2 a 2x 2y 2 2 the 2“four-dimensional 49. Find integral.) the of 2 sphere” 2 by 2a 2x 2 y z a x 2“volume” 36.tozThe solid thethe spheres and to evaluate triple 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z w a dw a x y a x y z a x 16 a 22 1 y 22 1 z 22 5 a 2 y dw dz dz2 dy dy2 dx. dx. 2 2 36. The El comprendido las a a2 x2 y2 a2 x2 CAS 36. 2esferas 2thex 2 2 and ycone zzw22 ax2asystem solid between 4entre sin 35. The torus byb2, bthe (Use axy2computer algebra x22 sólido y22 given z22 The > a,spheres y22 z 2 a 21616 and 0 0 0 0 dw dzady xdx.y z xinside zspheres 0 0 0 0 36. between the and 2, bsolid 2 25 2x 2y by evaluating dw dz dy dx. 2 2 2 2 2 2 e interior al cono x 1 y 1 z 5 b > a, z x 1 y 16 4 sin (Use a computer xto evaluate y algebra z thesystem b2 , b integral.) >2 a, and z x y by inside the cone triple 0 0 0 0 2 2 x y z 2 by b2,evaluating b > a, and inside the cone z 2 x 50. y 2 x2 coordinates 20 x20 y2 to show 20 x2 that 2 z2 0 Use spherical a a a y a 50. Utilizar las coordenadas esféricas para mostrar que Mass Exercises 37 and use spherical find riple integral.) 2 za22 x2 a y2to x 2 a2 ycoordinates 36. The Insolid between the38, spheres and to show that 2 dw dz dy dx. 16 spherical50.coordinates 237 2 a 2 coordenadas x2the given y2 z2Use Masa los ejercicios 38, utilizar esféricas Mass InEn Exercises 372and 38,yy 2use coordinates find2 a2 x2 50. with density. 1 spherical zinside a the spherical coordinates 2 mass 2 2to 2 `0 0` ` Use y22 z22 to show that a 2 band tween the spheres xthe x 2y 2 yof2z 2theMass z 2sphere ,2xb Exercises >1 a, z x y and cone In 37 and 38, use spherical coordinates todw find 0 2 02 2sxx2 1y 2 2 2 2 2 dz dy dx. 1z d 2 2 2 16 x y z e para hallar la sphere masa de densidad 1 2z the 5 given a de density. the mass of the 1 esfera y 1 zx 1a2y with x la !x2 1 y2 1 z2 e x2 y2 z2 dx dx dy dy dz dz 5 22p.. b2, b > a, and inside 37. z 2 the x 2at mass y 2 point the cone of the y the 1 distance z02 a 2 with x0 10 to 2e 0the given density. 2 The density any is sphere proportional between x2 y2 zto dx dy dz x2 y2 z.2 2`spherical 2` 2` coordinates especificada. 50. Use show that x2 y2 z2 e dx dy dz 2 . Mass In Exercises 37 andis38, use spherical to find 37. The at any point proportional to thecoordinates distance between thedensity point and the origin. 50. Use spherical coordinates to show that 2 2 2 2 37. The density at any point is proportional to the distance between s 37 and 38, use spherical coordinates to find the mass of the sphere with the given density. 1 y 1 z a x 37. the La densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia x2 y2 z2 point and the origin. 2 CyH 2 A LzL2 E The atythe any pointand is proportional eN G E dx dy dz 2 . point the origin. to the distance of the 2 2 2P U T N A M E X AxM ere x 2 1 y 2 1 z 2 a 238. with thedensity entre elgiven puntodensity. el origen. x y P z U T N A M E X A M C H A L L E N G E Preparación del examen Putnam 2 2 2 38. density at point is proportional proportional to to the thedistance distance of zthee 37. The The density at any any between 51. Find the2volume ofMtheE region of points x, Gy,Ez such that point from38. the axis. zx y dx dy dz . P U T N A X A M C H A L LEN The density at any point is proportional to the distance of the2 38.topoint La densidad enthe 2 of8 the 2 2 of y 2 . 51. Find region points x, y, z such that ny point is proportional distance fromand thebetween axis. z-cualquier the point origin. punto es proporcional a la distancia del x they2volume z 36 x 51. Encontrar el volumen de la región de puntos y, z) x, eny, z such that 51. Find the volume of the region of(x, points from the z-axis. 2 punto alMass eje z. point Center 39 and 40, use spherical y2 E Xcomposed z2A M 8C2H A 36 PThis U Txproblem N AM L2 Committee L Ex2N2 G Ey2on.2the Putnam2 Prize 2Competition. e origin. 38. The of density at In anyExercises point is proportional to the distancecoordiof the forma was tal que x2 by the y z 8 36 x y . Center of In Exercises 39Pof and nates to Mass find the mass the density. U TExercises N40, Asolid MuseEofspherical X39uniform A and M C40, HcoordiA L L Espherical N G E This © The Mathematical Association of region America.on Allthe rights reserved. problem was by Putnam 51. Find the composed volume ofthe theCommittee of points such that x,Prize y, zCompetition. any point is proportional topoint the distance of the from thecenter z-axis. Center of of Mass In use coordiproblema fue Association preparado por America. el Committee on the Committee Putnam Prize This problem composed by on Competition. the Putnam Prize Competition. Centro En los 39solid y 40,ofutilizar coordenadas nates to de findmasa the center of ejercicios mass of the uniform density. © Este The Mathematical 2 y, z y2such 2that 2 ofwas 2 Allyrights 2 . thereserved. 51. Find the volume of the region of points x, x z 8 36 x z-axis. nates to find the center of mass of the solid of uniform density. © The Mathematical Association of America. Todos of losAmerica. derechosAll reservados. © The Mathematical Association rights reserved. 39. Hemispherical solid of radius r esféricas para hallar el centro de masa del sólido de densidad 2 2 2 2 2 2 Center of Mass solid In Exercises 39 yuse spherical z 8 coordi36 x y . This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. 39. Hemispherical oftwo radius r andx 40, uniforme. 40.use Solid lying between concentric hemispheres r and 39. Hemispherical radius r of radii n Exercises 39 and 40, spherical coordinates to find the center of mass ofsolid the of solid of uniform density. The Mathematical Association of America. All rights reserved. This problem was composed by therCommittee on the © Putnam Prize Competition. 40. Solid lying rbetween hemispheres of radii and where R,uniform < R two concentric nter of mass of the solid density. 40. Soliddelying two concentric hemispheres r and 39. of Sólido hemisférico radiobetween r© The Mathematical Association of America. of All radii rights S reserved. E C T I O N PROJECT where r < R solid of radius r 39. R,Hemispherical r < R, where R hemisferios concéntricos de raS E C T I O N P ROJECT PROYECTO DE 40. Sólido comprendido entre dos Moment of Inertia In Exercises 41 and 42, use spherical solid of radius r S E TRABAJO CTION PROJECT 40. Solid lying between two concentric hemispheres of radii r and dios of r y Inertia R, donde r 0 where xy R: 2 1 2 # 1 28. f sx, yydd 5 xyx 22y 22 W R U C 28. a b W R II TT II N NG G A AB BO Ode U TT conceptos CO ON NC C EE P P TT S S x, yd 5 5 11 1 28. ff ssx, 1 x y xy Desarrollo xy 2 2 11 x5y W R I T I N G A B O U T C OTNSC E P T S W R I T I N G A B O U T C N C E P y d 28. f sx,región yd 5f sx, 28. R: 33. State the definition of the Jacobian. 2 2 gráficas de xy 5 1, xy 5 4, x 5 1, 2 21por acotada las 33. State the definition of the Jacobian. 1bounded 1x y 1 R: region xy 1, by of RxIthe Ty xI Ngraphs Gu,AyB5 OU T5 C E5 T Sxx 5 33. State Enunciar la definición de Jacobian. jacobiano. xy 5 1,Nxy xy 5P4, 4, 5 1, 1, region boundedW by the graphs of 33. the definition of the Jacobian. 33. theState definition of the xxR:5 44 ssSugerencia: Hacer 5vyu. vyu. dCofO 34. 5 d x 5 u, y 5 Hint: Let R: xy 5 1, xy 5 4, x 5 1, region bounded by the graphs 34. Describe Describe how how to to use use the the Jacobian Jacobian to to change change variables variables in in R: xy 5 1, xy 5 4, x 5 1, region bounded by the graphs of x 5 4 sHint: Let x 33. d 5 u,State y 5 the vyu.definition of the Jacobian. 34. Describe Describir cómotousar el jacobiano para hacer un cambio double integrals. 34. Describe how to use the Jacobian to change variables in 34. how use the Jacobian to change variables inde 29. La sustitución u 5 2x 2 y y v 5 x 1 y hacen la región R (ver la x1,5 4Let sHint: d1 y make the region u,and yd 5 vyu. double integrals. 5xThe 4, 5 he graphs of xy 5 1, xy 5 x4substitutions sHint: xu55Let u,2xyx2 55yvyu. v 5 x 29. variables en integrales dobles. u34. 5 región 2x 2 ySand vel5plano x use 1 yuv. 29. figura) The substitutions make the region double integrals. Describe how to the Jacobian to change variables in double integrals. en una simple en Determinar el y 5 vyu.d R SvS in figure) intouaa 5 simpler the plane. Determine u region 5 2x 2 y and vy5 x 1 the yDetermine 29. The substitutions make the region 2x 2 y and 5 x 1uv29. The substitutions make region R (see uv(see figure) simpler region in the integrals. número total deinto lados dedouble S que son paralelos a plane. cualquiera de the los S total number of sides of that are parallel to either R S uv(see figure) into a simpler region in the plane. Determine 2 y and v 5 x 1 y makeRthe the region S uv(see figure) into a simpler region in the plane. Determine the utotal number of sides of S that are parallel to either the ­ In Exercises 35–40, find the Jacobian the ejes oorv.the // ­­xx,xxu, x, y, y, zzcc­ u,y,v, v,zcw w­cc xfor ­xxx, Exercises 35–40, find the Jacobian for the uvaxis S that number are parallel either theIn ler region S in the uv-plane.the Determine S thatofare total number of sides of of sides parallel to eithertothe En los ejercicios 35 a 40, hallar el jacobiano u, v, c uv-axis. axis orthe thetotal axis. / x 5 f x u, v, w c , x u, v, w y 5 g indicated change of variables. If x x, y, z c ­ x u, v, wcw ­ In Exercises 35–40, find the Jacobian ­c ,xu, v, w In Exercises 35–40,offind the Jacobian forv,the /gfxcu, /Si 5­xfx,xu,y,v,zcw ww c,,cc ,for the yx5 indicated change variables. If xindicado. u-the axisv-or the v-axis. y orthe s of S that are parallel tou-either axis axis. para el cambio de variables 5 x u, v, y u, v, zw5 c indicated In Exercises 35– 40, find the Jacobian ­xx, y, zc / ­xindicated for thev, xu, wcchange ,ofthen hhchange x, and the and with xy, fcx, u,yzz v, wgcx,u,respect yv,5wgc,xu, v, wc, of Jacobian variables. fIf xu, v,5w 5 variables. If x 5of zgx5 x, and of and with y y el y,jacobiano de respect y5 u, v,xu, w cv,,isywzc,5then hxu,the v, wJacobian c, entonces x, y y z u, v, w to and x 5 f x u, v, w c , x u, v, w c , y 5 g indicated change of variables. If x u, v, w c , z 5 h x, y, z with respect then the Jacobian of and 8 x u, v, w c , z 5 h x, y, z and then the Jacobian of and with respect (2, 7) v, and waisu, v y w es to 8 conu,respecto (2, 7) to u,wv,isand w is z with respect u, v, and 8 7) 86 (2,and 7) z 5 hxu, v, wc, then the Jacobian of x, y, andto (2, 6 ­x u, v, w to and is ­x ­x ­x ­x ­x 6 64 ­u ­v ­w ­x ­x ­x ­x ­x ­x R 4 ­u ­v ­w (6, 3) R4 (6, 3) 42 ­u ­v ­w ­u ­v ­w ­y ­y ­y ­x ­x ­x ­ x x, y, z c R R ­y ­y ­y . (6, 3) ­xx, y, zc 5 2 (0, 0) (6, 3) 5 y,­y ­u ­v ­w ­u ­v ­w ­y ­y. ­y ­y ­y ­ x u, v, w c ­ x x, z c 2 (0, 0) x, y, z c 2 x ­xu, v, wc 5 ­u 5­v ­w . . (0, 0) (0, 0) ­z ­z ­z ­y ­y ­y 2 4 6 ­8xx, y, zc wc ­v ­xu, v, w­cxu, v,­u ­z ­z­u ­w ­z­v ­w 2 4 6 8 5 ­u ­v ­w . ­u ­v ­w ­z ­z ­z 6 wc8 2 4 62 ­84xu, v, ­u ­z ­v­z ­z ­w ­w C A P S TT O N EE ­u ­v­u ­w­v ­w ­z ­z ­z C A P S O N 35. discusión 5 uuusss111 2 2 vvvddd,,, yyy 5 5 uv uvsss111 2 2w wddd,,, zzz 5 5 uvw uvw ­u sx, ­v ­w vd, hsu, vdd CPara A P S TC OANPES T O N E 2 5 uv 2 w 5 uvw 5 35. xxx 5 30. 30. Find Find aa transformation transformation TTssu, u, vvdd 5 5 sx, yydd 5 5 ssggssu, u, vd, hsu, vdd s 1 2 v d , y 5 uv s 1 2 wwd, z 5 uvw x 5 u 35. s 1 2 v d , y 5 uv s 1 2 w d , z 5 uvw x 5 u 35. x 5 4u 2 v, y 5 4v 2 w, z 5 u 1 36. that when applied to the region will result in the image R S 5 4u 4u 2 2 v, v, yy 5 5 4v 4v 2 2 w, w, zz 5 5 uu 1 1w w Find a transformación transformation d5 u,vvdddS, hsu, vdd 36. xx 5 30. Encontrar una Find a transformation Tsu, vd 5TRssu, x, vydd 5 5 sx,sgyin su, vd, simage hgssu, that30. when applied the the sreasoning. 1 2 vd,will y 5result uvs1 2 w d, z 5 uvw 35.toxyour 5 uregion 1 2 12 y2 5 zw5 u 1 w 36. xx 5 4u v,vd4u y, y52 4vv, w, v4v zd,52 uw,1 Explain when applied to theRregion in theSSimage S 36. R will que al aplicar a la región R resultará enresult la imagen 1su x15 1su 5 5 z 5 2uvw 37. Tsu, vd 5 sx, yd 5 sgsu, vd, that h(see su, when vfigure). dd that applied to the region will result in the image 2 2 (see figure). Explain your reasoning. 37. x 5 12su 1 vd1, y 5 12su 2 vd1, z 5 2uvw 5el4ureasoning. 2your v, y reasoning. 5 4v 2 w, z v5 u 1 w 36. xExplain (see Explain figure). y la (ver Explicar razonamiento. e region R will result in the image Sfigura). (see figure). your 1 vsdu,2uv, y25vd, szu 5 2 2uvw vd, z 5w2uvw x 5 37. su x1v5v1 d, syu 5 37. 38. y v 5 2uu 2 2 v 12 w, w, yy 25 5 2uv, zz2 5 5 uu 1 1 vv 1 1w 38. xx 5 1 1 our reasoning. y v y v x 5 s u 1 v d , y 5 s u 2 v d , z 5 2uvw 37. (0, 6) (− 2,2 6) 2 2yv5 12uv, w, yz552uv, xSpherical 5 38. u 2xv5 1uw, u 1zv51uw1 v 1 w 38. 5 39. Coordinates (0, 6) (− 2, 6) 5 (6, 4) 39. Coordinates v 5z 6) Coordenadas esféricas 39. Spherical (0, w 6) (− 2, 5 u 2 v 1 w,(−y2,56)2uv, 1v1 38.(6,x 4) 5 544 5 5(0,u 6) 39. Spherical 39. Spherical Coordinates rr sin f cos uu,, Coordinates y5 r sin f sin uu,, zz 5 r cos f xx 5 (3, 3) (6, 4) S (6, 4) sin f cos 5 f f 5 (3, 3) 5 5 (0, 6) (−2, 6) S x 5 r sin f cos u,fyycos 5 rrusin sin f sin sinsinu,fz 5 5 rrucos f 4 sen sen sen 433 39. Spherical Coordinates r sin , y 5 r sin ,cos z5 x 5 (3, 3) r sin f cos u , y 5 r sin f sin u , z 5 r cos f r cos f x 5 3 (3, 3) R 40. Cylindrical Coordinates S S 5 3 R 40. Cylindrical Coordinates 3 322 2, 2) (0, 2) 40. Coordenadas cilíndricas (4, 2)xR5 r sin f cos (− u,2,y 2) 5 r sin sin2)3u, z 5 r cos 40. f Cylindrical 3 f(0, (− 40. Cylindrical Coordinates R (4, 2) S uu,,Coordinates yy 5 rr sin uu,, zz 5 z xx 5 r cos 211 1 2)(0, 2) 5 sin (0, 2) (4, 2) (1,21) (− 2, 2) (− 2, (4, 2)Cylindrical x5 5 rr cos cos u , y 5 r sin u, rz 5 5 zzu, z 5 z sen 3 1 40. Coordinates (1, 1) u , y 5 sin x 5 r cos u , y 5 r sin u , z 5 z x 5 r cos u 1 1 1 u 1 (−2, 2) (0, 2) 1(1, 21) 3 (1, 4 1) 5 6 − 5 − 4r −sin 3 − 2 −1 z 5 z 11 22 u PUTNAM EXAM CHALLENGE u 1 2 3 4 5 x6 5 xr cos u, y− 5 5 − 4 − 3 −u2,−1 1

1!

1! ! 1 ! 222 11 !

2

||||

| |

1 2 u

3 14 25 36 4

5

6

−4 −3 −2 − 5 − 4 − 3 −−5 2 −1 1 −1 2

2

1 2

PUTNAM EXAM CHALLENGE ECof XHAthe MLregion LELthe EPutnam Nfirst G E quadrant bounded P41. U TLet N APAMUbeTENthe XAAM M del Aexamen LCEH NAGin area Preparación

41. Let A be the area bounded 1 of the region in the first quadrant 1 2 by the line -axis, the ellipse 5 xxregion yy22 5 1. 41.be Let the area of theand in quadrant the first quadrant 41. Let theyyAarea of the the inregion the bounded A 21 x, 91 x the thefirst ellipse 5be x, x2 1 1 5 1.bounded 41. by Seathe A line el área de del and primer cuadrante por 1-axis, 12 la región 19 2 acotada 2 1 2 21 xarea Find the positive number such that is equal to the m A by the line the -axis, and the ellipse y 5 x, x 41. Let be the area of the region in the first quadrant bounded A by the line the -axis, and the ellipse y 5 x, x x 1 y 5 1. 1 1 9 areaely 5 1. R xy31. Consider the region in the plane bounded by the ellipse Find the ypositive that9 xA2 is to the la recta eje x2 ymlasuch 5 2 x,2 elnumber 1 equal y29 5 1. elipse Hallar 1 1 R xy31. Consider the region in the plane bounded by the ellipse 2 2 31. Considerar la región R en el plano xy acotada la elipse the first quadrant bounded the line Find thein number is to the area m such Aby -axis, y5 x, thepor xby yof 5the 1. region the positive number such that isthat equal to equal the m A 2plane of the region inpositive bounded the area line R xy31. Consider theRregion inplane the bounded by the theellipse ellipse9 x 1 Find xy-line 31. Consider the region inby thethe bounded the and ellipse número positivo mthe tal first que Aquadrant es igual área2 de by la región del 1 2al xx222 yy222 1quadrant the -axis, and the ellipse yy 5 mx, y x 1 y 5 1. of the region in the first bounded by the line Find the positive number such that is equal to the area m A of the region in the first quadrant bounded by the line 2 2 9 the -axis, and the ellipse 5 mx, y x 1 y 5 1. 1 5 1 the xy-plane bounded by the x 22ellipse y primer cuadrante acotada por la recta el eje y 5 mx, y y 9 1 2 2 2 1 2 1 y2 5 1. la 1 yb22x5 5 11 y 2 Putnam 2 x xaa22 1 the -axis, and the ellipse 5 mx, ythe This the problem was composed byand Committee on9the Prize Competition. of the region in the first quadrant bounded by line -axis, the ellipse y 5 mx, y x 1 y 5 1. 1ythe 9 2 2 2 b 1 51 This problem was Committee on the Putnam Prize Competition. 1 1 y 5by1.the a2 1 b2 5 9 x composed © Theelipse Mathematical Association of America. All rights reserved. aand the b a2 b2 the y-axis, and the ellipse 19 x2 1 y2 5 This y 5 mx, 1. Thiswas problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition. problem composed by theofCommittee on rights the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association America. All reserved. 5 au au and 5 bv. bv. and the transformations transformations xx 5 and yy 5 Este problema fue preparado por el Committee onrights the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association ofAll America. All rights reserved. © Competition. The Mathematical Association of America. reserved. yand lasthe transformaciones y x 5 au y 5 bv. This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize x 5yau 5 bv.S under the and thegraph transformations x 5 region au and 5 and bv. yimage transformations © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. (a) of and © The Mathematical of America. All rights RAssociation S under (a) Sketch Sketch the the graph of the the region R and its its image the reserved. a) la gráfica de la región RRyregion su imagen S its bajo la transx 5 au and y 5 bv. given transformation. R S (a) Sketch the graph of the and image under the S (a) Dibujar Sketch the graph of the region and its image under the given transformation. formación dada.transformation. given he region R and its image S under giventhe ­­transformation. ssx, x, yydd. (b) Find x,yvyddd. ­sx, yd (b) Find ­­­sssx, b) ­su, u, vd. . . Find (b) Hallar Find(b) ­ s u, su, vd ellipse. ­the su,area vvdd ­of (c) Find (c) Find the area of the the ellipse. c) el Find área elipse. the area of the ellipse. (c) Hallar Find(c) the area de of la the ellipse. llipse. −5 − 4 −3 − 2 − 1

1 2

PUTNAM EXAM CHALLENGE

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

Ejercicios de repaso

14

18. Sólido acotado por las gráficas de z 5 x 1 y, z 5 0, x 5 0, x 5 3,y y 5 x

En los ejercicios 1 y 2, evaluar la integral.

E E

x2

1.

x ln y dy Valor promedio En los ejercicios 19 y 20, encontrar el promedio de f(x, y) sobre la región R.

1 2y

2.

s

x2

1

d dx

y2

y

19. f(x) 5 16 2 x2 2 y2 R: rectángulo con vértices (2, 2), (22, 2), (22, 22), (2, 22)

En los ejercicios 3 a 6, trazar la región de integración. Después, evaluar la integral iterada. Cambiar el sistema de coordenadas cuando sea conveniente.

EE EE EE EE 1

3.

0

0

0

21. Temperatura promedio La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica es

2x

T(x, y) 5 40 2 6x2 2 y2

xx 2 1 2yc dy dx

x2

donde x y y están medidos en centímetros. Estimar la temperatura promedio si x varía entre 0 y 3 centímetros y y varía entre 0 y 5 centímetros.

!92x2

4x dy dx

0

!3

6.

s3x 1 2yd dy dx

0

3

5.

R: cuadrado con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3)

11x

2

4.

21 !42y2

CAS

dx dy

22 !42y2

0

Área En los ejercicios 7 a 14, dar los límites para la integral doble

EE

f xx, yc dA

R

para ambos órdenes de integración. Calcular el área de R haciendo f xx, yc 5 1 e integrando. 7. Triángulo: vértices s0, 0d, s3, 0d, s0, 1d 8. Triángulo: vértices s0, 0d, s3, 0d, s2, 2d 9. El área mayor entre las gráficas de x 2 1 y 2 5 25 y x 5 3 10. Región acotada por las gráficas de y 5 6x 2 x 2 y y 5 x 2 2 2x 11. Región encerrada por la gráfica de y 2 5 x 2 2 x 4 12. Región acotada por las gráficas de x 5 y 2 1 1, x 5 0, y 5 0 y y52 13. Región acotada por las gráficas de x 5 y 1 3 y x 5 y 2 1 1 14. Región acotada por las gráficas de x 5 2y y x 5 2y 2 y2 Para pensar En los ejercicios 15 y 16, dar un argumento geométrico para la igualdad dada. Verificar la igualdad analíticamente.

EE 1

15.

0

16.

2!22y 2

0

EE 3

e x1y dx dy 5

0

0 2!2

2 2xy3

0

22. Ganancia promedio La ganancia para la empresa P gracias al marketing de dos bebidas dietéticas es P 5 192x 1 576y 2 x2 2 5y2 2 2xy 2 5 000 donde x y y representan el número de unidades de las dos bebidas dietéticas. Usar un sistema algebraico por computadora para evaluar la doble integral alcanzando la ganancia promedio semanal si x varía entre 40 y 50 unidades y y varía entre 45 y 60 unidades. Probabilidad En los ejercicios 23 y 24, hallar k tal que la función sea una función de densidad conjunta y hallar la probabilidad requerida, donde

EE d

Pxa ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ dc 5

c

23. f sx, yd 5

50,kxye

2sx1yd

b

f xx, yc dx dy.

a

x ≥ 0, y ≥ 0 elsewhere en el resto

,

Ps0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1d 24. f sx, yd 5

5kxy, 0,

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x en el resto elsewhere

Ps0 ≤ x ≤ 0.5, 0 ≤ y ≤ 0.25d

xy2

sx 1 yd dy dx 1

0

52y

3yy2

EE E E 2

sx 1 yd dx dy 5

2y

EE 2

20. f(x) 5 2x2 1 y2

!82x2y2

sx 1 yd dy dx

0

e x1y dy dx 1

EE 5

3

Aproximación En los ejercicios 25 y 26, determinar qué valor se aproxima mejor al volumen del sólido entre el plano xy y la función sobre la región. (Hacer la elección a la vista de un dibujo del sólido y no realizando cálculo alguno.)

52x

e x1y dy dx

0

Volumen En los ejercicios 17 y 18, utilizar una integral múltiple y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen del sólido. 17. Sólido acotado por las gráficas de z 5 x 2 2 y 1 4, z 5 0, y 5 0, x 5 0 y x 5 4

25. f sx, yd 5 x 1 y R: triángulo con vértices s0, 0d, s3, 0d, s3, 3d a)

9 2

b) 5

c) 13

d) 100

e) 2100

26. f sx, yd 5 10x 2y 2 R: círculo limitado o acotado por x 2 1 y 2 5 1 a) p

b) 215

c)

2 3

d) 3

e) 15

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Ejercicios de repaso

38. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada convirtiendo a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 27 a 30, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa.

EE b

27.

a

d

3E

43E

b

f sxdgs yd dy dx 5

c

a

8y!13

gs yd dy

c

dA 5

R1

EE

dA

R2

entonces

EE EE EE

f sx, yd dA 5

R1 1

29.

0

1

0

cossx 2 1 y 2d dx dy 5 4

0

1

cos sx 2 1 y 2d dx dy

40. y 5

0

1 p dx dy < 1 1 x2 1 y2 4

CAS

En los ejercicios 31 y 32, evaluar la integral iterada convirtiendo a coordenadas polares.

EE h

31.

0

x

EE 4

!x 2 1 y 2 dy dx

32.

0

0

!162y2

s

x2

π 2

r = 2 + cos θ

1

2

4

1

2

h x x2 2 2 2 2 , r 5 k, primer cuadrante 2 L L

En los ejercicios 41 y 42, hallar Ix, Iy, I0, x, y y para la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales dobles.

d dx dy

42. y 5 4 2 x 2, y 5 0, x > 0, r 5 ky Área de una superficie En los ejercicios 43 a 46, hallar el área de la superficie dada por z 5 f xx, yc sobre la región R. 43. f (x, y) 5 25 2 x2 2 y2 R 5 {(x, y): x2 1 y2 # 25}

r = 2 sen 2θ

0

0 1

b) r 5 ksx 2 1 y 2d

0

34. π 2

xy dy dx

0

41. y 5 0, y 5 b, x 5 0, x 5 a, r 5 kx

y2

Área En los ejercicios 33 y 34, usar la doble integral para encontrar el área en la región sombreada. 33.

8y!13

!162x2

Masa y centro de masa En los ejercicios 39 y 40, hallar la masa y el centro de masa de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las ecuaciones con la densidad o densidades dadas. Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar las integrales múltiples. a) r 5 kxy

EE 1

E E 4

xy dy dx 1

39. y 5 2x, y 5 2x 3, primer cuadrante

f sx, yd dA.

R2

21 21

30.

EE

1

1

CAS

3xy2

0

0

28. Si ƒ es continua sobre R1 y R2, y

EE

E E

4

d

f sxd dx

1053

2

CAS

44. f sx, yd 5 16 2 x 2 y 2 R 5 Hsx, yd: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ xJ Utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral. 45. f(x, y) 5 9 2 y2 R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y 5 x, y 5 2x y y 5 3.

Volumen En los ejercicios 35 y 36, utilizar una integral múltiple y un sistema de coordenadas adecuado para hallar el volumen del sólido. 35. Sólido limitado o acotado por las gráficas de z 5 0 y z 5 h, exterior al cilindro x 2 1 y 2 5 1 e interior al hiperboloide x2 1 y2 2 z2 5 1 36. Sólido restante después de perforar un orificio de radio b a través del centro de una esfera de radio R sb < Rd 37. Considerar la región R en el plano xy limitada o acotada por la gráfica de la ecuación

46. f(x, y) 5 4 2 x2 R: triángulo limitado por las gráficas de las ecuaciones y 5 x, y 5 2x y y 5 2. 47. Proyectar construcción Un nuevo auditorio es construido con un cimiento en forma de un cuarto de un círculo de 50 pies de radio. Así, se forma una región R limitada por la gráfica de x2 1 y2 5 502 con x $ 0 y y $ 0. Las siguientes ecuaciones son modelos para el piso y el techo.

sx 2 1 y 2d2 5 9sx 2 2 y 2d.

Piso: z

a) Convertir la ecuación a coordenadas polares. Utilizar una herramienta de graficación para representar la ecuación.

Techo: z

x

y 5 20

xy 100

b) Utilizar una integral doble para hallar el área de la región R. CAS

c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y determinar el volumen del sólido sobre la región R y bajo el hemisferio z 5 !9 2 x 2 2 y 2 .

a) Calcular el volumen del cuarto, el cual es necesario para determinar los requisitos de calor y enfriamiento. b) Encontrar el área de superficie del techo.

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CAS

16:58

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

48. Área de una superficie El techo del escenario de un teatro al aire libre en un parque se modela por

冤

f 共x, y兲  25 1  e共x

2

1 000 y 2兲兾1000 cos 2

y 冢x11000 000 冣冥 2

2

63. Investigación Considerar un segmento esférico de altura h de una esfera de radio a, donde h  a y de densidad constante 共x, y, z兲  k (ver la figura).

donde el escenario es un semicírculo limitado o acotado por las gráficas de y  冪50 2  x 2 y y  0.

h

a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la superficie. b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximar la cantidad de pies cuadrados de techo requeridos para cubrir la superficie.

a) Hallar el volumen del sólido. b) Hallar el centroide del sólido.

En los ejercicios 49 a 52, evaluar la integral iterada.

冕冕 冕 冕冕 冕 冕冕冕 冕冕 冕 冪9x2

3

49.

3 冪9x2

50.

x2 y2

2 冪4x2 a

51.

5

0

CAS

d) Hallar lím lim z.

0

0

f ) Utilizar el resultado del inciso e) para hallar Iz para un hemisferio.

0

冪25x2 y2

冪25x2

0

1

0

冕冕 冕 冕冕 冕

冪1x2 y2

冪1x2

1

1 冪1x2 冪1x2 y2 2

54.

e) Hallar Iz.

c

x2

1 dz dy dx  y2  z2

En los ejercicios 53 y 54, utilizar un sistema algebraico por computadora y evaluar la integral iterada. 53.

h→0

共x 2  y 2兲 dz dy dx

共x 2  y 2  z 2兲 dx dy dz

0

52.

b

冪x 2  y 2 dz dy dx

共x 2y2兲兾2

冪4x2

2

c) Utilizar el resultado del inciso b) para localizar el centroide de un hemisferio de radio a.

9

0

共x 2  y 2兲 dz dy dx

64. Momento de inercia Hallar el momento de inercia con resz2 pecto al eje z del elipsoide x 2  y 2  2  1, donde a > 0. a En los ejercicios 65 y 66, dar una interpretación geométrica de la integral iterada.

0

xyz dz dy dx

0



66.

0

Volumen En los ejercicios 55 y 56, utilizar una integral múltiple para calcular el volumen del sólido. 55. El sólido interior a las gráficas de r  2 cos  y r 2  z 2  4 56. El sólido interior a las gráficas de r 2  z  16, z  0 y r  2 sen 



0

冪4x2 y2

冪4x2

冕 冕冕 冕 冕冕 2

65.

6 sen sin 

0

0

2

1r 2

0

2 sin sen  d d d

r dz dr d

0

En los ejercicios 67 y 68, hallar el jacobiano ⵲冇x, y冈/⵲冇u, v冈 para el cambio de variables indicado. 67. x  u  3v,

y  2u  3v

68. x 

y  u2  v2

u2



v2,

Centro de masa En los ejercicios 57 a 60, hallar el centro de masa del sólido de densidad uniforme limitado o acotado por las gráficas de las ecuaciones.

En los ejercicios 69 y 70, utilizar el cambio de variables indicado para evaluar la integral doble.

57. El sólido interior al hemisferio  cos , 兾4 ≤  ≤ 兾2, y exterior al cono   兾4

69.

2

ln共x  y兲 dA

70.

R

2

59. x 2  y 2  z 2  a 2, primer octante

61. El sólido de densidad uniforme interior al paraboloide z  16  x2  y2, y exterior al cilindro x 2  y 2  9, z ≥ 0. 62.

 y  z  a , densidad proporcional a la distancia al centro x2

2

2

y

v u

y 6

4

Momento de inercia En los ejercicios 61 y 62, hallar el momento de inercia Iz del sólido de densidad dada.

x dA 1  x2y2

x  u,

y

60. x 2  y 2  z 2  25, z  4 (el sólido mayor)

冕冕 R

1 y  共u  v兲 2

1 x  共u  v兲, 2

58. La cuña: x  y  a , z  cy 共c > 0兲, y ≥ 0, z ≥ 0 2

冕冕

(2, 3)

x=1

5

3

4

R

2

3

(3, 2)

(1, 2) 1

2 1

(2, 1)

xy = 5 R

x=5

x

2

1

2

3

4

x

1 xy = 1 4

5

6

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Solución de problemas

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Solución de problemas

SP

1. Hallar el volumen del sólido de intersección de los tres cilindros x 2 1 z 2 5 1, y 2 1 z 2 5 1, y x 2 1 y 2 5 1 (ver la figura). z

d) Demostrar la identidad trigonométrica 12 sen sin u spy2d 2 u 5 tan . cos u 2

1

z

2

E E

2u1 !2

!2

e) Demostrar que I2 5

3

3

2 p2 . 2 2 dv du 5 22u 1v 9

!2y2 u2 !2

ƒ) Utilizar la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita para verificar que

−3

−3 3

y

3

3

x

3

1 2

n51

y

x

`

on

EE 1

5

0

1

0

1 dx dy. 1 2 xy

x1y y2x yv5 para !2 !2 1 1 p2 dx dy 5 I1 1 I2 5 . 6 0 1 2 xy

g) Utilizar el cambio de variables u 5 −3

−3

2. Sean a, b, c y d números reales positivos. El primer octante del plano ax 1 by 1 cz 5 d se muestra en la figura. Mostrar que el área de la superficie de esta porción del plano es igual a

demostrar que

`

1 2 5 n51 n

o

EE 1

0

4. Considerar un césped circular de 10 pies de radio, como se muestra en la figura. Supóngase que un rociador distribuye agua de manera radial de acuerdo con la fórmula r r2 2 16 160

AsRd !a 2 1 b 2 1 c 2 c

f srd 5

donde AsRd es el área de la región triangular R en el plano xy, como se muestra en la figura.

(medido en pies cúbicos de agua por hora por pie cuadrado de césped), donde r es la distancia en pies al rociador. Hallar la cantidad de agua que se distribuye en 1 hora en las dos regiones anulares siguientes.

z

A 5 Hsr, ud: 4 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ u ≤ 2p} B 5 Hsr, ud: 9 ≤ r ≤ 10, 0 ≤ u ≤ 2p} ¿Es uniforme la distribución del agua? Determinar la cantidad de agua que recibe todo el césped en 1 hora.

R

y

x

1 pie

3. Deducir el famoso resultado de Euler que se menciona en la sec` 1 p2 ción 9.3, 5 , completando cada uno de los pasos. 2 n 6 n51

B

A

o

E

a) Demostrar que dv 1 v 5 arctan 1 C. 2 2 u 2 1 v 2 !2 2 u 2 !2 2 u 2

E E !2y2

b) Demostrar que I1 5

0

u

2 p2 dv du 5 2 2 18 2u 2 2 u 1 v

utilizando la sustitución u 5 !2 sin sen u.

4 pies

5. La figura muestra la región R limitada o acotada por las curvas x2 x2 y 5 !x, y 5 !2x, y 5 , y y 5 . Utilizar el cambio de 3 4 variables x 5 u1y3 v2y3 y y 5 u2y3 v1y3 para hallar el área de la región R. y

c) Demostrar que

E E E !2

I2 5

!2y2

54

2u1 !2

u2 !2

py2

arctan

py6

y = 13 x 2

2 dv du 2 2 u2 1 v2

1 2 sen sin u du cos u

sen u. utilizando la sustitución u 5 !2 sin

y = 14 x 2 y=

2x

y=

x

R x

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CAPÍTULO 14

Integración múltiple

6. La figura muestra un sólido acotado inferiormente por el plano z 5 2 y superiormente por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 8.

A(b)

z 4

x2 + y2 + z2 = 8 V(b)

A(a) V(a) −2 2

y

2

x

a) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas cilíndricas. b) Hallar el volumen del sólido utilizando coordenadas esféricas. 7. Dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la suma de las integrales iteradas

EE E 6

y

3

zy2 zy2

0

EE E 0

14. El ángulo entre un plano P y el plano xy es q, donde 0 # u , py2. La proyección de una región rectangular en P sobre el plano xy es un rectángulo en el que las longitudes de sus lados son ∆x y ∆y, como se muestra en la figura. Demostrar que el área de la región rectangular en P es sec u Dx Dy.

s122zdy2 62y

6

dx dy dz 1

Figura para 13

3

Área: sec θ ∆ x∆y

dx dy dz.

zy2

P

Después, expresar el volumen mediante una integral iterada simple con el orden dy dz dx.

EE 1

8. Demostrar que lím lim

n→ `

0

1

x n y n dx dy 5 0.

θ

0

∆x

En los ejercicios 9 y 10, evaluar la integral. (Sugerencia: Ver el ejercicio 69 de la sección 14.3.)

E E! `

9.

2

1

ln

0

1 dx x

a) z1 5 2 1 x b) z2 5 5

11. Considerar la función f sx, yd 5

50,

ke2sx1ydya,

c) z3 5 10 2 5x 1 9y

x ≥ 0, y ≥ 0 en el resto. elsewhere.

d) z4 5 3 1 x 2 2y

Hallar la relación entre las constantes positivas a y k de manera que ƒ sea una función de densidad conjunta de las variables aleatorias continuas x y y. 12. Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región en el primer cuadrante limitado por y 5 e2x alrededor del eje y. Usar este resultado para encontrar 2

E

`

Área en el plano xy: ∆x∆y

15. Utilizar el resultado del ejercicio 14 para ordenar los planos, en orden creciente de sus áreas de superficie, en una región fija R del plano xy. Explicar el orden elegido sin hacer ningún cálculo.

x 2e2x dx

0

10.

∆y

0

0

1 dx dy. s1 1 x2 1 y2d2

17. Evaluar las integrales

EE 1

0

e2x dx.

EE

` `

16. Evaluar la integral

1

0

x2y dx dy y sx 1 yd3

EE 1

0

1

0

x2y dy dx. sx 1 yd3

2

2`

13. De 1963 a 1986, el volumen del lago Great Salt se triplicó, mientras que el área de su superficie superior se duplicó. Leer el artículo “Relations between Surface Area and Volume in Lakes” de Daniel Cass y Gerald Wildenberg en The College Mathematics Journal. Después, proporcionar ejemplos de sólidos que tengan “niveles de agua” a y b tales que Vsbd 5 3Vsad y Asbd 5 2Asad (ver la figura), donde V es el volumen y A es el área.

¿Son iguales los resultados? ¿Por qué sí o por qué no? 18. Mostrar que el volumen de un bloque esférico puede ser aproximado por DV < r2 sin sen f Dr Df Du.