TEMA 7. FUNCIONES

7.1. Definiciones. - Función. - Variables dependiente e independiente. - Imagen y antiimagen. - Interpretación de gráficas. - Dominio y recorrido. 7.2. Propiedades de las funciones. - Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo. - Máximos y mínimos relativos de una función. - Puntos de corte con los ejes. - Función positiva y negativa en un intervalo. - Continuidad de una función en un punto de abscisa x=a. - Periodicidad. - Simetría. 7.3. Límites - Límite de una función en un punto de abscisa x=a. Límites laterales. - Límites de una función cuando x tiende a más y menos infinito. - Tendencias de una función y ramas en el infinito. - Asíntotas horizontales y verticales. 7.4. Tasa de variación media

7.1. Definición de función.

Una función real de variable real es una relación entre dos variables numéricas, x e y, tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable “x” es la variable independiente (cuyo valor se fija previamente) y la variable” y” es la variable dependiente, su valor siempre depende del valor de x.

Por ejemplo: Es una función porque para cada valor de “x” existe un único valor de “y”.

No es una función porque para algún valor de “x” tiene más de un valor para “y”

1. ¿Cuáles de las siguientes gráficas se corresponden con una función? ¿Por qué?

2. El instituto está organizando una excursión. El autobús que dispone de 55 plazas

cuesta 550€. a) ¿Se puede relacionar el “nº de alumnos que irán a la excursión” con el “precio que debe pagar cada alumno”? b) ¿A cada “nº de alumnos” le asociamos un único “precio que debe pagar cada alumno”? c) ¿Esta relación es entonces una función? d) ¿Qué depende de qué? e) ¿Cuál es la Variable independiente? f) ¿Cuál es la Variable dependiente? g) ¿Cuál es el dominio? h) Determina la fórmula matemática que relaciona el “nº de alumnos que irán a la excursión” con el “precio que debe pagar cada alumno”

3. Una tienda de té vende su especialidad a 9 € el kilogramo de té. a) ¿Se pueden relacionar “los kg de té vendidos” con el “precio a pagar”? b) ¿A cada cantidad de “ kg de té vendidos” le asociamos un único “precio a pagar”? c) ¿Esta relación es entonces una función? d) ¿Qué depende de qué? e) ¿Cuál es la Variable independiente? f) ¿Cuál es la Variable dependiente? g) ¿Cuál es el dominio? h) Determina la fórmula matemática que relaciona “los kg de té vendidos” con el “precio a pagar” 4. El Coste fijo de la factura mensual del agua es de 10€ al mes. A eso hay que añadirle el precio correspondiente a la cantidad de agua consumida que es de 1€ cada litro. a) b) c) d) e) f) g) h)

¿Se puede relacionar “la cantidad de agua consumida” con el “precio a pagar”? ¿A cada “cantidad de agua consumida” le asociamos un único “precio a pagar”? ¿Esta relación es entonces una función? ¿Qué depende de qué? ¿Cuál es la Variable independiente? ¿Cuál es la Variable dependiente? ¿Cuál es el dominio? Determina la fórmula matemática que relaciona la “ cantidad de agua consumida” con el “precio a pagar”

5. Para la función cuya gráfica es la siguiente:

a) Halla las imágenes de –2, 0, 2, 3 y 4 y las antiimágenes de 2, 0 y –1. b) Haz una tabla de valores a partir de la gráfica. 6. Halla f(4), f(3), f(0), f-1(3), f-1(0) y f-1(-1) para la función cuya gráfica es

4. Halla f(2), f(1), f(-3), f(-4), f-1(2) y f-1(0) y haz una tabla de valores para la función cuya gráfica es

5. Halla f(2), f(0), f(1), f(6), f(-5), f-1(4), f-1(-3) y f-1(0) para la función cuya gráfica es

6.

, calcula f(0), f(-3), f(4), f-1(7) y f-1(0). Haz una tabla de valores.

a) Si b) Si f ( x) 

1 x , calcula f(0), f(2), f(-3), f-1(0) y f-1(3). x3

c) Si f ( x) 

2x , calcula f(1), f(0), f(5), f(2), f-1(0) y f-1(-2). x  4x

d) Si

2

, calcula las imágenes de 0, 6, 13, 2 y -10; y las antiimágenes de

5, 0 y 2. Haz también una tabla de valores. e) Halla las imágenes de 3, 0, 1 y 7, y las antimágenes de 0 y 2/5 para f ( x) 

2x  2 x2 1

7. A las 5 de la tarde, Inés y Rodrigo salen de casa para encontrarse en el parque con sus amigos. Después de un rato de estar en el parque, deciden ir a unas pistas deportivas para jugar un partido. Cuando terminan de jugar regresan a casa. La siguiente gráfica muestra información sobre su recorrido, obsérvala y contesta las siguientes preguntas:

a) ¿A qué hora han llegado a las pistas? b) ¿Cuánto tiempo han estado jugando en el parque? c) ¿A qué hora han llegado a casa? d) ¿Qué distancia han recorrido desde su casa hasta las pistas? e) ¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica? f)

Para cada valor del “tiempo transcurrido”, ¿cuántos valores de “distancia a su casa” asocia la gráfica?

g) ¿Esta gráfica entonces está representando una función? h) ¿Qué depende de qué? i)

¿Cuál es la Variable independiente?

j)

¿Cuál es la Variable dependiente?

8. Beatriz ha ido de excursión para visitar el Lago de Sanabria. La gráfica representa la distancia a la que se encontraba de su casa en cada momento desde que salió de ella por primera vez hasta que regresó al terminar la excursión. Beatriz salió de casa caminando a las diez de la mañana. Cuando llevaba un rato andando, decidió volver a casa para coger la bicicleta. a) ¿Cuántos kilómetros recorrió andando? b) ¿A qué hora recogió la bicicleta en su casa?

c) ¿Cuántos kilómetros recorrió en bicicleta? d) ¿Empleó Beatriz el mismo tiempo en el viaje de ida en bicicleta que en el de vuelta? ¿Por qué? e) ¿Cuánto tiempo estuvo en el Lago? f)

¿A qué hora volvió de la excursión?

9. Un autobús universitario realiza dos paradas, además de la inicial, para recoger estudiantes. La siguiente gráfica muestra su recorrido.

a.

¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica?

b. ¿Cuál es la Variable dependiente? c. ¿Esta gráfica está representando una función periódica? En caso afirmativo halla su periodo. d. ¿A qué distancia está la universidad? e. ¿Cuánto tarda en llegar a la universidad? f.

Antes de llegar a la universidad, ¿cuánto tiempo está parado recogiendo gente?

g. Interpreta el decrecimiento de la gráfica.

10. En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica:

Dosis

a) ¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica? b) Para cada valor del peso de una persona, ¿cuántos valores de cantidad de medicamento asocia la gráfica? c) ¿Esta gráfica entonces está representando una función? d) ¿Qué depende de qué? e) ¿Cuál es la Variable independiente? f)

¿Cuál es la Variable dependiente?

g) ¿Cuál es el dominio? h) ¿Qué dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg? (Matemáticamente este valor lo llamaríamos imagen de 75) i)

¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.

j)

¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?

k) ¿Para qué peso la dosis es máxima?

11. El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:

a) ¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica? b) Para cada hora del día ¿cuántos valores de cantidad de agua consumida asocia la gráfica? c) ¿Esta gráfica entonces está representando una función? d) ¿Qué depende de qué? e) ¿Cuál es la Variable independiente? f)

¿Cuál es la Variable dependiente?

g) ¿Cuál es el dominio? h) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo? ¿Por qué? i)

¿A qué horas se consume más agua? ¿Cómo puedes explicar esos puntos?

j)

¿Qué horario tiene el colegio?

k) ¿Por qué en el eje X solo consideramos valores entre 0 y 24?¿Qué significado tiene? 12. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros):

a) ¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica? b) ¿Esta gráfica entonces está representando una función? c) ¿Qué depende de qué?

d) ¿Cuál es la Variable independiente? e) ¿Cuál es la Variable dependiente? f)

¿Cuál es el dominio?

g) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? h) ¿Cuánto tiempo duró la visita al lugar? i)

¿Hubo alguna parada a la ida? ¿Y a la vuelta?

j)

¿Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje de ida y el de vuelta)?

13. La gráfica muestra el perfil de una etapa de la vuelta ciclista:

a) ¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica? b) ¿Esta gráfica entonces está representando una función? c) ¿Qué depende de qué? d) ¿Cuál es la Variable independiente? e) ¿Cuál es la Variable dependiente? f)

¿Cuál es el dominio?

g) ¿A qué altura se encontrará un ciclista cuando haya recorrido 60 km? h) ¿Cuántos km forman la etapa? i)

¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué momento la alcanza?

14. La siguiente gráfica muestra el rendimiento de los escolares en función de la hora del día:

a. ¿Qué dos magnitudes relaciona esta gráfica? b. ¿Esta gráfica está representando una función?, ¿Por qué? c. ¿Cuál es la Variable independiente? d. ¿Cuál es la Variable dependiente? e. ¿Cuándo se produce el máximo rendimiento? ¿Y el menor? f.

Durante la mañana, ¿cuándo disminuye el rendimiento?

g. ¿En qué momento de la tarde consideras que se deben hacer los deberes?

15. La siguiente gráfica muestra el crecimiento de una persona (midiéndola cada cinco años): a) ¿Cuánto mide al nacer? b) ¿A qué edad alcanza su estatura máxima? c) ¿Cuándo crece más rápido? d) ¿Cuál es el dominio? e) ¿Por qué hemos podido unir los puntos?

16. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial? b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos? ¿Y al cabo de 1 hora? c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente? d) A medida que pasa el tiempo, la concentración en sangre de la anestesia, ¿aumenta o disminuye?

17. La siguiente gráfica corresponde al recorrido que sigue Antonio para ir desde su casa al trabajo:

a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra su lugar de trabajo? ¿Cuánto tarda en llegar? b) Ha hecho una parada para recoger a su compañera de trabajo, ¿durante cuánto tiempo ha estado esperando? ¿A qué distancia de su casa vive su compañera?

 

Se llama dominio de la función, Dom(f), al conjunto de los elementos que tienen imagen, es decir, Dom( f )  x  R tales que existe f ( x) Se llama recorrido de f, Rec(f), al conjunto de números reales que tienen antiimágenes decir, Re c( f )  y  R tales que existe f 1 ( y)





18. Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

19. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x-2 d) f ( x) 

2 x3

g) f ( x)  2 x  6

b) f(x) = x³+3x-5

c) f(x) = 5

4x  2 3x  1

f) f ( x) 

2x x  4x

i) f ( x) 

x 1 x3

e) f ( x) 

h) f ( x)  x 2  4

2

j) f ( x)  3 3x  4

k) f ( x) 

m) f ( x)  2 x  1

n) f ( x) 

x4 x2  9 1

2x  2 3x p) f ( x)  2 2 x 1 x  4x  3

r) f ( x) 

5x x 1

u) f ( x)  15x  33 x) f ( x) 

5x x7

q) f ( x) 

s) f ( x)  x 2  x  6

x5

2 x  89 x  3x 2  x  3 3

t) f ( x) 

v) f ( x) 

x9 x  4 x 2  3x

w) f ( x) 

y) f ( x) 

22x 22  22 2 x 2  x  10

z) f ( x) 

3

2x

ñ) f ( x)  x 2  2 x

x

o) f ( x) 

2

l) f ( x) 

x x  16 2

x3 4x 2  1 x3 x 2  25

7.2. Propiedades de las funciones.

Una función y=f(x) es estrictamente creciente en un intervalo cuando para dos valores cualesquiera, x1 y x2, del mismo se cumple que si x1 < x2 entonces f(x1) f(x2)

Una función y=f(x) es constante en un intervalo cuando para dos valores cualesquiera, x1 y x2, entonces f(x1) = f(x2).

Una función tiene un máximo local o relativo en un punto si a su izquierda la función es creciente y a su derecha es decreciente, y tiene un mínimo local o relativo en un punto si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha es creciente. Se llama máximo absoluto de una función al mayor de sus máximos relativos. Se llama mínimo absoluto de una función al menor de sus mínimos relativos.

Una función es continua cuando su gráfica no se corta. En caso contrario se dice que es discontinua.

Los puntos de intersección con los ejes son aquellos donde la gráfica de la función corta a los ejes de coordenadas. En los puntos de intersección con el eje de abscisas el valor de "y" es cero, mientras que en los puntos de intersección con el eje de ordenadas el valor de "x" es cero. Se dice que una función es positiva si su gráfica está por encima del eje de abscisas, y se dice que es negativa si está por debajo de dicho eje.

La función anterior es negativa en los intervalos (-2,-1) y en (1,2). En el resto es positiva. Una función es periódica cuando su gráfica se repite “a trozos iguales”

Una función es par si f(-x)=f(x). Es impar si f(-x)=-f(x). Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si es par. Una función es simétrica respecto del origen si es impar.

20. Estudia las propiedades de las funciones cuyas gráficas son :

e)

f)

g)

7.3. Límites lim f ( x) se lee límite cuando x tiende a “c” de f(x). xc

lim f ( x) xc

significa que cuando x toma valores cada vez más próximos a c

entonces los valores de la función f(x) se van aproximando al valor de L. lim f ( x) es el límite cuando x tiende a “c” por la derecha, es decir, se le dan a x

x c 

valores muy próximos a c, pero mayores que c lim f ( x) es el límite cuando x tiende a “c” por la izquierda, es decir, es dar a x x c

valores muy próximos a c, pero menores que c. · significa que cuando x toma valores "muy grandes" entonces f(x) se aproxima al valor de L. Se llama asíntota de una función a la recta tal que la gráfica de la función se aproxima indefinidamente a ella pero sin llegar a cortarla.

Ejemplo: Para la función cuya gráfica es la siguiente:

lim f x   2

x 3

lim f x   

x 2 

lim f x   1 x 

lim f x   2 ,

x 3

lim f x    ,

x 2 

lim f x   1

x 

La recta x = 2 es una asíntota vertical y la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

21. Dada la función:

lim f x  

x 2 

lim f x  

x 2 

lim f x  

x 1

lim f x  

x 1

22. ¿Cuánto valen los límites en infinito de estas funciones? ¿Tienen asíntotas?

7.4. Tasa de variación media Se define la tasa de variación media de una función f(x) en el intervalo [a,b] como:

23. Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se dan: a) f(x) = 3x-2 en [5,2] b) f(x) = x³+3x-5 en [0, 3] c) f ( x) 

2 en [-2, 4) x3

d) f(x) = x²-3x en [-2,2] e) f ( x) 

1 en [3,5] x

g) f ( x) 

1 en [-3,-1] x

24. Estudia las propiedades de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: Gráfica 1:

Gráfica 2:

Gráfica 3:

Gráfica 4:

Gráfica 5:

Gráfica 6:

Gráfica 7:

Gráfica 8:

Gráfica 9:

Gráfica 10:

Gráfica 11:

Gráfica 12: