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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1 Hasta ahora nos hemos preocupado del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable, sin embargo, en el mundo real las cantidades físicas dependen de dos o más variables, por ejemplo : el volumen  de un cilindro recto circular depende del radio  y de la altura  , la presión  ejercida por un gas ideal encerrado es una función de su temperatura  y de su volumen  , la temperatura de un punto   (     ) de un objeto en el espacio puede depender del tiempo  y además de las tres coordenadas rectangulares   ,  de  , un fabricante puede saber que el costo  de producir cierto artículo depende del material, la mano de obra, el equipo, el costo de mantenimiento y los gastos materiales (¡cinco variable!) etc. Como usualmente se trabajará con funciones de dos o tres variables se presenta la Definición formal de una función de dos variables. DEFINICION 1.1

Sea    . Una FUNCION  DE DOS VARIABLES es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (  ) en  un único número real denotado por   .

NOTACION : se tiene ahora :

Manteniendo la notación utilizada para funciones de una variable               

En lo que resta de esta unidad  se considera una región o dominio (ver Apéndice ) OBSERVACION 1.1 En este caso Dominio de      , o bien, en el caso que sea necesario precisarlo se utiliza el concepto.              mientras que el RANGO de    está dado por el conjunto de imágenes, esto es :           Además las variables  e  corresponden a las variables independientes mientras que  corresponde a la variable dependiente. EJEMPLO 1.1     

Hallar el dominio de           y además    (   )                             

 Por lo tanto ,           

2 Graficamente :

Además  (                                     

DEFINICION 1.2

Si        es una función dada por      entonces la GRAFICA de   que se denota por  es el conjunto                 

Tal como en el caso de una función  de una variable en que su gráfica está dada por una curva  de ecuación     contenida en el plano  , así la gráfica de una función  de dos variables está dada por una superficie  con ecuación      contenida en el espacio  (Ver Figura )

3

La obtención de la gráfica de una superficie dada por      es a menudo un problema complicado. Es posible también utilizar el software Derive, Maple V u otros para obtener directamente la gráfica de una superficie, enseguida se muestran algunas gráficas de superficies obtenidas mediante un computador.

Existe otro método gráfico de gran utilidad para describir una función      ,éste consiste trazar en el plano  las gráficas de las ecuaciones     , para varios valores de la constante . Las gráficas así obtenidas se llaman CURVAS DE NIVEL DE  y un conjunto de tales curvas se llama MAPA de CONTORNO de   (Ver figura ).

Notar que el potencial  crece en la dirección en que aumenta .

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OBSERVACION 1.2 Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración, mapas hidrográficos, mapas meteorológicos o climáticos donde las curvas de nivel corresponden a las isotermas (temperatura constante) o bien isobaras (presión atmosférica constante)  En la figura se muestran estas aplicaciones.

2.

LIMITES Y CONTINUIDAD

Consideremos la función     2   definida en un entorno reducido de ( , ), es decir, puede que  (  ) no esté definida en ( , ). Interesa dar ahora el significado correspondiente a la expresión. lim  (   )   ( )( ,  )

El análisis informal realizado anteriormente para el concepto de límite de funciones de una variable encuentra algunas dificultades, por ejemplo ya no es posible recurrir a la gráfica de la superficie    , puesto que éstas son más difíciles de obtener; por otra parte la idea intuitiva de que (  ) "tiende" a un punto ( , ) tampoco tiene la simpleza de las funciones de una variable en las cuales las alternativas de acercamiento eran solamente dos : por la izquierda y por la derecha, mientras que ahora existen infinitas maneras de acercarse al punto ( ,  ). Entonces para que lim   ,   

exista, se requiere que  tienda al mismo número  por toda trayectoria posible que pase por ( ,  ) (Ver Figura 

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a) Trayectorias dadas por todas las rectas que pasan por    

b) Trayectorias dadas por todas las curvas que pasan por    

De todas maneras es posible extender la definición formal de límite de funciones de una variable, al caso de funciones de dos o más variables. DEFINICION 2.1

Sea     2   definida en un entorno de centro ( ,  ) excepto posiblemente en ( ,  ) . Entonces lim                                    (  )( ,  )

OBSERVACION 2.3 La definición 2.1 ignora completamente la noción de trayectorias de acercamiento al punto    . Esto significa que si diferentes trayectorias de acercamiento conducen a valores diferentes de  entonces el límite no existe.

6

A continuación se muestra mediante ejemplos, algunos casos de no existencia de límites.       

EJEMPLO 2.2

Hallar lim

si existe

La técnica más directa para justificar la no existencia de límites se basa en la noción de límites iterados que están dados por lim  lim     y lim ( lim  (  ) que no son 



 

necesariamente iguales (Ver Figura 2.1 (a) ) En este caso :

 



lim lim     lim    lim         mientras que :

 



lim lim     lim    lim                    

Por lo tanto, como estos límites son distintos se concluye que no existe lim

Si los límites iterados son iguales, ¿se puede concluir que éste es el valor del límite ? EJEMPLO 2.3

Probar que



lim

  ( )()   

no existe

Es claro que en este caso los límites iterados son iguales, en efecto : 

lim lim      





lim lim

     

  

Sin embargo, debemos analizar lo que ocurre si consideramos las trayectorias de acercamiento al punto ( ) correspondiente a rectas. Se debe recordar que cualquier recta que pase por el origen tiene por ecuación       , esto es,    Entonces :         lim      

lim

 lim

      

 lim



  

de modo que lim



   depende de la pendiente de la recta sobre la cual se acerca

al origen. Por ejemplo :

7

     

Si    , esto es, sobre    entonces lim

     

Si     esto es, sobre    entonces

lim

   25

     

Por lo tanto , no existe lim

OBSERVACION 2.4 En general los teoremas fundamentales sobre límites para funciones de una variable se pueden extender con las modificaciones apropiadas, a funciones de dos o más variables. 

   en caso de existir ( )( ,)

EJEMPLO 2.4

Calcular lim 



    lim  lim   ( )(.)  

En este caso

lim

  

   lim



         

Una vez analizada la noción de límite de funciones de dos variables es posible entregar el concepto de continuidad. DEFINICION 2.2

Sea  :   2   tal que  está definida en un entorno de ( ,   ). Se dice que  es CONTINUA en ( ,   ) ssi lim         .

   

OBSERVACION 2.5 Analogamente a lo que ocurre en funciones de una variable, La Definición 2.2 significa que : i)  está definida en           ) ii) Existe lim      

iii) El límite anterior es igual a       esto es

lim

  

        

8 EJEMPLO 2.5



Probar que        es continua en (4.)

i)  está definida en (,) , ya que  (,)       

   . De acuerdo al Ejemplo 2.4   lim    82

ii) Existe lim





iii) Comparando i) y ii) se concluye

lim



      

Por lo tanto ,  es continua en (,) 3.

DERIVADAS PARCIALES

Supongamos que  es una función de 2 variables  e  . Si  se mantiene constante, digamos    entonces     es una función que depende solamente de  . Su derivada en    se llama derivada parcial de  con respecto a  en     También se puede mantener fijo    y obtener la derivada parcial de  con respecto a  en     La formalización de esta idea está dada por : DEFINICION 3.1

Sea  :   2   y sea ( ,  ) un punto interior de  se llama DERIVADA PARCIAL de  con respecto a  en el punto ( ,  ) al límite.          

lim

cuando existe Se llama DERIVADA PARCIAL de  con respecto a  en el punto ( ,  ) al límite.           

lim

cuando existe

NOTACION denota por  

La derivada parcial de    (  ) con respecto a  en ( ,  ) se

     o   lo mismo para                    

9 Análogamente la derivada parcial de      con respecto a  en denota por :  

    , se

      o   lo mismo para      ,              

Para obtener la función derivada, basta reemplazar en la Definición 3.1 el punto ( ). Entonces : DERIVADA PARCIAL de  con respecto a   

    

       lim

DERIVADA PARCIAL de  con respecto a   

        

       lim

En este caso es más claro que la derivación parcial de  con respecto a  corresponde a la razón a la cual cambia  (  ) cuando varía  , mientras que  se mantiene constante. Análogamente se interpreta la derivada parcial de  con respecto a . Por lo tanto la técnica de derivación parcial consiste en : 1. Para encontrar  , considérese a  como constante y derívese  (  ) con respecto a . 2. Para encontrar  , considérese a  como constante y derívese  (  ) con respecto a . EJEMPLO 3.2

Si      , hallar  y 

Considerando  como constante se obtiene, por derivación respecto a  :         Considerando  como constante se obtiene , por derivación respecto a  :                   

10 

Si               hallar    

EJEMPLO 3.3





                          



    entonces        Por otra parte :

                      

     entonces ( ) 

      (   )

Por lo tanto :      

      



      



      

    

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si  es una función de dos variables y si  tiene derivadas parciales en cada punto (  ) de una región entonces  y  , son a su vez funciones de  e  que pueden tener también derivadas parciales. En este caso resultan cuatro segundas derivadas parciales de  .  

      

EJEMPLO 3.6

     

 

   

     

   

     

   

     

 

 

 

   

Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de     

   (    )       

11       (    )              ( )  (   )    (    )  )  

  

   ( )       ( )        (  )   (  )            

Notar que las derivadas parciales  ,  llamadas DERIVADAS PARCIALES MIXTAS son iguales, situación que ocurrirá para el tipo de funciones que utilizaremos con mayor frecuencia . La formalización de esta situación está dada por el siguiente teorema.

TEOREMA 3.1

4.

(DE CLAIRAUT) Si  ,  ,  ,  y  son continuas en un conjunto abierto  entonces :  ( ,  )   ( ,  ) para todo ( ,  )  

DIFERENCIABILIDAD

DEFINICION 4.1 vector q tal que

Se dice que  es DIFERENCIABLE en p ssi existe un

  p  h     p  q  h   h   donde    cuando h  

OBSERVACION 4.1 Es demostrable que si el vector q existe entonces es único. Llamaremos a este vector q , el GRADIENTE de  en p , y se denota por   (p). Por lo tanto   p  h    p    p  h   h    donde    cuando h   Es conveniente también notar algunos alcances contenidos en la Definición 4.1 i) Mientras que la derivada   () es un número real , el gradiente   (p) es un vector. ii) El producto  ( p )   corresponde al producto punto entre vectores. iii) La Definición tiene sentido para una función de  variables La Definición 4.1 es poco práctica para calcular el gradiente de una función. El siguiente Teorema entrega reglas de cálculo más directas. TEOREMA 4.1

a) Si una función  de dos variables es diferenciable en p  (  ) entonces existen las primeras derivadas parciales de  en  y

12





 (p   ( p ) i   (p) j

b) Si una función  de  variables es diferenciable en p     entonces existen las primeras derivadas parciales de  en  y 





  (p   p i   ( p) j   (p k

La caracterización del gradiente que entrega el Teorema 4.1 tiene el inconveniente de exigir como hipótesis que  sea diferenciable. esta dificultad se salva con el siguiente Teorema. TEOREMA 4.2

Si  admite primeras derivadas parciales en un entorno de p y si estas derivadas parciales son continuas en p entonces  es diferenciable en p.

EJEMPLO 4.1

Si  (    )            , hallar  (p) si p  (,0,  )

Primero debemos justificar que  es diferenciable en p  





Como                    son funciones continuas en p      entonces  es diferenciable en p (Teorema 4.2) Usando ahora el Teorema 4.1, se tiene : 





 (p)   (p) i   (p) j   (p) k Como

     

(p)        

(p)       

(p          , entonces   (p)  i  j  k

TEOREMA 4.3

Si  es diferenciable en p entonces  es continua en p

13 OBSERVACION 4.2 La noción de diferenciabilidad de una función de cualquier número de variables independientes, depende del incremento de las variables independientes. En efecto, si retomamos la notación en coordenadas rectangulares para p    h    entonces :  p  h   p              

de modo que la Definición 4.1 asume la forma 



            1   2  , donde 1   , 2   cuando (   )  ( ) En base a esta nueva situación se puede entregar el concepto de diferencial para funciones de dos o más variables. DEFINICION 4.2

Sea      una función de dos variables que admite primeras derivadas parciales . Entonces i) Las DIFERENCIALES de las variables independientes están dadas por        ii) La DIFERENCIAL (o DIFERENCIAL TOTAL) de la variable dependiente está dada por                     

Basados en lo que ocurre para funciones de una variable es razonable pensar que  proporcione una buena aproximación para  para  y  pequeños, sin embargo la garantía de que    para incrementos pequeños exige la continuidad de las primeras derivadas parciales. EJEMPLO 4.2 La temperatura  en el punto   (  ) en un sistema de coordenadas rectangulares está dada por :          Use diferenciales para calcular la diferencia de temperaturas entre los puntos (6,3) y (6.1,3.3)             Aquí (  )  (  ),     y     , mientras que

14  

                        

 

                        

Reemplazando :

           

Como las derivadas parciales  y  son continuas en un entorno del punto (6,3)   entonces la aproximación obtenida es aceptable.

REGLA DE LA CADENA Recordemos que si  y  son funciones de una variable tales que    

y    

entonces la función compuesta entre  y  está dada por         

y la derivada  se puede precisar aplicando la Regla de la Cadena, esto es :       

Interesa ahora generalizar esta idea a funciones de varias variables Para el caso de funciones de 2 variables, la situación más simple está dada por :                siendo  e  funciones de la variable  , entonces      y tiene sentido el problema de determinar   TEOREMA 4.4

(Regla de la Cadena A) Sean    e    funciones diferenciales en  . Entonces       es diferenciable en  y

15            

Si        donde    y    . Determinar  

EJEMPLO 4.3

Aplicando el Teorema anterior :  

                        



     

  

        

  



                    



    

EJEMPLO 4.4 Supongamos que cuando se calienta un sólido cilíndrico circular recto, su radio aumenta a razón de 0.2 (/) y su altura aumenta a razón de 0.5 (/). Determinar la razón de crecimiento del área de superficie con respecto al tiempo en el instante en que el radio es de 10 cm y la altura es de 100 cm. Se sabe que el área de la superficie de un cilindro circular recto de altura  y radio  está dada por      Luego :  

         

       Cuando    y    se tiene    

                   

16

Consideraremos ahora la situación en la que     , pero cada una de las variables  e  es función de dos variables  y  . En este caso tiene sentido el problema de determinar       TEOREMA 4.5

(Regla de la Cadena  ) Sean         funciones que admiten primeras derivadas parciales en   y sea      diferenciable en    . Entonces        tiene primeras derivadas parciales dadas por :    i)             ii)         

EJEMPLO 4.5

Si        , en donde           determinar  

y  

Usando la Regla de la Cadena B , se tiene : z s

        s s                                                 

 

                                                     

Análogamente :

OBSERVACION 4.3 Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el diagrama del árbol (Ver Figura 4.2) Para construir el diagrama se dibujan ramas de la variable dependiente ( ) a las variables intermedias ( e ) para indicar que  es una función de estas dos variables. Enseguida se dibujan ramas de las variables intermedias a las variables independientes ( y ). En cada rama se escribe la derivada parcial correspondiente. La Figura 4.2 se utiliza del siguiente modo : Para encontrar  , se s toman los productos de todas las derivadas parciales que aparecen a lo largo del camino

17   de  a  , es decir :      y      y luego se suman estos productos. Se  concluye entonces 

 

         

Análogamente usando las ramas que van de  a  se encuentra      





 

 

  

    Por ejemplo si      con     e     entonces                        

                         

  Entonces                   







¡ Justifique !

La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización. TEOREMA 4.6

(Regla de la Cadena Caso General) Supóngase que          es una función diferenciable y que cada una de las variables  ,  ... ,  es una función de  variables  ,   ......,  de tal manera que todas las derivadas parciales  

existen (   , ,....  y     . Entonces  es función      de  ,  ,.....  y   para    

 





cada       EJEMPLO 4.6 Escribir la regla de la cadena para el caso en que        y                    Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la correspondiente derivada parcial. En este caso

18

Entonces  

                   

 

                   

EJEMPLO 4.7 Escribir la regla de la cadena para el caso en que      y          ) En este caso el diagrama de árbol está dado por

 

         

 

         

 

         

La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de un argumento. Por ejemplo :   Sea           probar que     

Aquí el diagrama de árbol corresponde a :

19

Lo importante de distinguir aquí es que     puede ser cualquier función diferenciable :                 etc  Se   probará que independiente de la selección de  , se mantiene el resultado      En efecto :

Por lo tanto :

 

        2        

 

                

      

El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales de un número infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situación tiene aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas parciales. EJEMPLO 4.8

Si             demostrar que  

      

Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que  es una función de tres variables y que  puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer explícitamente. Al introducir las variables de  se conforma un esquema de sustitución, esto es :      , donde      ,      ,      Por consiguiente el diagrama de árbol que queda

20

Entonces :  

                            

 

     

Análogamente :  

                            

 

     

 

              (  1)            

 

     

Finalmente :  

                             

EJEMPLO 4.9

La ecuación diferencial parcial   

        constante

es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios de la luz o el sonido. En este caso  es una función diferenciable de  y  . Demostrar que cualquier función diferenciable de la forma      satisface la ecuación de la onda. Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos      de modo que el diagrama de árbol queda

21

Entonces :  

           

 

            

En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado Recordemos que

  

      

  pero    , tomándose    como una función de  y  . 

Entonces :

  

                

En este caso el diagrama de árbol queda :

Entonces

  

                   

Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente   reemplazando  por  en la expresión    obtenida anteriormente. En    efecto               

22

Luego :

  

           

 Para calcular  recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar  por  en la     expresión     Entonces

        

        

             

Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que   

   2 

Se propone al alumno verificar que      también es solución de la ecuación de la onda , de modo que          sigue siendo solución

 DERIVACION IMPLICITA Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones  () definidas implícitamente por la ecuación      , ahora es posible describir más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto, definamos la función compuesta  por      con        entonces  

         

De la definición de función implícita, se tiene que          para todo    de modo que    . Además como    entonces     Por lo tanto :

        

Si    entonces   

 

   

   

23

Este análisis se puede resumir en TEOREMA 4.7

Si una ecuación      define implícitamente a una función derivable  () tal que    , entonces  



   



EJEMPLO 4.10 Encontrar  suponiendo que               Supongamos

    satisface la ecuación

                , entonces                  

Aplicando el Teorema 4.7 se tiene :  

 

      

En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de la forma       que define implícitamente a una función, por ejemplo,     . Esto significa que         para todo (   )   . Si  es diferenciable y las derivadas parciales  y  existen entonces es posible usar la regla   de la cadena para determinar las derivadas parciales  y  , sin que sea necesario despejar  de la ecuación       . El siguiente teorema garantiza tal situación : TEOREMA 4.8

Si una ecuación       define implícitamente a una función diferenciable    tal que      en el dominio de  entonces :              



Demostración Un esquema de demostración, alternativo al uso de la regla de la cadena, consiste, en la aplicación del concepto de diferenciales analizado anteriormente. Presentaremos una demostración en base a esta idea   Como      entonces       

Por otra parte       implica que               

24

Reemplazando  en  se tiene  

                 

     

 

           

Pero como  e  son variables independientes entonces  

  

 

   y       

Por lo tanto, se obtienen las expresiones :  

EJEMPLO 4.11



   

Encontrar

ecuación          

y  

 



   , con    

 y  suponiendo que      satisface la

                , entonces                    

Supongamos

Aplicando el Teorema se tiene :  

    

      

      y       

5. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE Sea  una superficie cuya ecuación está dada por       Si     es un punto en el plano  entonces        ) con        es un punto de la superficie  . Nuestro propósito es obtener la ecuación del plano tangente  y de la recta normal  a la superficie  en el punto o (Ver Figura )

25

Recordemos que en la Sección 3 se hizo la interpretación geométrica de las derivadas parciales      y      (Ver Figura ) concluyéndose que :     corresponde a la pendiente de la tangente  a la curva  en el punto      es la curva de intersección entre la superficie      y el plano    , mientras que      corresponde a la pendiente de la tangente  a la curva  en el punto     ( 2 es la curva de intersección entre la superficie      y el plano     Por lo tanto, los números directores de la tangente  son        , mientras que los números directores de la tangente  son        . Entonces , si existe el plano tangente  a la superficie      en el punto o, éste necesariamente debe ser en el plano determinado por las rectas tangentes  y  .

Resulta natural entonces definir el plano tangente  como el plano que pasa por  o y que tiene como vector normal a un vector que es perpendicular simultáneamente a los vectores asociados a las tangentes  y  , estos son v1  i       k y v2  j       k Por consiguiente : i     v   v   0   DEFINICION 5.1

j 1 

 k              i       j  k       

Sea  una superficie dada por      y o un punto fijo sobre ella . Sean  y  dos puntos. Si para cualquier elección de  y  , el plano formado por  ,   y  tiende a un mismo plano, digamos , cuando  y  tienden al punto 

26 sobre la superficie  , entonces este plano límite  se llama PLANO TANGENTE a la superficie  en el punto . En base a esta Definición y al análisis realizado anteriormente se tiene que nuestro plano  tiene como vector normal a       i       j  k y contiene al punto      zo ) de modo que si      es un punto genérico de  entonces está dada por :          i     j     k      i      j  k  

Por lo tanto la ecuación del plano tangente a la superficie  en   :                          DEFINICION 5.2

Si una superficie tiene un plano tangente en un punto  , entonces la recta pasa por  perpendicularmente al plano tangente se llama RECTA NORMAL  a la superficie en .

En base a la Definición anterior, la determinación de la ecuación de la recta normal  a la superficie  en el punto         es prácticamente directa, ya que se conocen sus números directores            . Por lo tanto, la ecuación de la recta normal en su forma simétrica está dada por :  

              

EJEMPLO 5.1 Encontrar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie         en el punto donde         Considerando             entonces para        se tiene que    de modo que       Además

                          

Por lo tanto, el plano tangente  tiene como números directores a     , de modo que su ecuación está dada por                       mientras que la ecuación de la recta normal está dada por

27

 



  

  

El análisis realizado anteriormente para definir y determinar la ecuación del plano tangente a una superficie dada por      se puede extender directamente al caso general en que la superficie está definida por una ecuación de la forma        En este caso apelando a la derivación implícita,. se tiene que           



y           



de modo que los números directores de la normal está dados ahora por              que son equivalentes a           es decir, los números directores de la normal al plano tangente coinciden con la dirección del gradiente de la superficie en , esto es ,    . En conclusión 

DEFINICION 5.3

Supongamos que       determina una superficie  y que  es diferenciable en un punto         de  con       Entonces el plano que pasa por  perpendicular a    se llama PLANO TANGENTE a la superficie  en  

TEOREMA 5.1

Para la superficie       y el punto         de ella se tiene : a) ECUACION DEL PLANO TANGENTE en                         b) ECUACION DE LA RECTA NORMAL en  :                    

EJEMPLO 5.2 Probar que las superficies         y              son tangentes entre si , en el punto (0,  1,2), esto es, demostrar que ellas tienen el mismo plano tangente en    . Sean

                              y      

28 Entonces

     ( ,,  )



 (  ) y la ecuación del plano tangente ,

está dada por:                          Por otra parte

   ( ,  , 2  



      y la ecuación del plano

tangente 2 está dado por :                           

Por lo tanto ambas superficies son tangentes en (0,  1,2) ya que tienen el plano tangente común      en    . EJEMPLO 5.3 Dos superficies son mutuamente ortogonales en un punto de intersección , si sus normales en dicho punto son mutuamente ortogonales. Probar que la esfera             es ortogonal al paraboloide       en el punto   .                   

Consideremos

            y      Entonces

                     





   

    

En este caso las ecuaciones de las normales están dadas por : Normal a la esfera 

 



    

 Normal al paraboloide        

Para probar la ortogonalidad entre las superficies bastará probar la ortogonalidad entre los vectores normales a las superficies, es decir, la ortogonalidad entre los vectores gradientes, a través del producto punto. En este caso                        

29

Por lo tanto, las superficies dadas son mutuamente ortogonales en el punto (2,2,8) EJEMPLO 5.4 Demuestre que la suma de las intercepciones con los ejes  coordinados de cualquier plano tangente a la superficie       ,  : constante positiva, es constante. Sea               la superficie dada y         un punto de ella, de modo que satisface su ecuación, es decir : o  o   o    

Por determinar la ecuación del plano tangente a  en  En efecto :

                                       

Luego la ecuación del plano tangente está dado por :     

                     

        o  o   o    

Por lo tanto, las intercepciones con los ejes coordenados son :  -        -        -      

               

Sumando estas intersecciones, se obtiene :

              esto es , una constante.

INTERPRETACION GEOMETRICA Supongamos que  se conserva fija en el valor  , entonces las ecuaciones         

30 corresponden a la curva 1 de intersección entre el plano    y la superficie      (Ver Figura 3.1 (a) ). En este caso  ( ,  ) puede interpretarse como la pendiente de la tangente a la curva 1 en el punto  ,        Similarmente  ( ,  ) representa la pendiente de la tangente a la curva de intersección 2 :    ,      en el punto          (Ver Figura 3.1 (b) )

EJEMPLO 3.4 Sea  la traza del paraboloide         en el plano   . Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta tangente  a la curva  en el punto   (1,2,4). Grafique.

En este caso la ecuación simétrica de la recta tangente está dada por :

31              donde        Como     entonces  ( )         

Reemplazando :              , o bien             Por lo tanto las ecuaciones paramétricas de T son :              , esto es :              

EJEMPLO 3.5 Una lámina de metal plana se encuentra en el plano  y la temperatura  en (  ) está dada por    (    ) , donde  se mide en grados y   e  en centímetros. Calcule la tasa de cambio o variación de  con respecto a la distancia en el punto(1,2) en la dirección a) del eje  ; b) del eje  . Aquí la tasa de cambio con respecto a la distancia corresponde a la derivada parcial de modo que : a)   (    )  



b)   (    )  



6.

 

 

(1,2)         (grados por cms.)

(1,2)         0

(grados por cms.)

DERIVADA DIRECCIONAL

Recuérdese que si      entonces las derivadas parciales  y  , se definen como :        lim  

        

    lim

y representan las razones de cambio de  en direcciones paralelas a los ejes coordenados  e  , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j . Interesa ahora

32 estudiar la razón de cambio de  en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente. Usando la notación p    y algebra de vectores se pueden escribir las derivadas parciales anteriores del siguiente modo p  ip  

 p  lim

p  jp  

 p  lim

Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores i y j por un vector unitario arbitrario u de dirección arbitraria . Se tiene entonces. DEFINICION 6.1

Sea      una función y u un vector unitario arbitrario contenido en  . Se llama DERIVADA DIRECCIONAL de  en p    en la dirección de u , que se denota por  u  p, al límite  p u p   p  lim  

si es que este límite existe En la Figura se presenta la interpretación geométrica de   p  p      

Notar que el vector u determina una recta  en el plano  que pasa por ( , ). El plano que contiene a  y es perpendicular al plano  intersecta a la

33 superficie      en una curva  . Entonces la pendiente de la tangente a  en el punto (         coincide con       . OBSERVACION 6.1 i) Se confirma facilmente que  i  p   p y que  j  p   p ii La definición se puede generalizar en forma directa para una función de 3 o más variables. El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general. Sea  una función con derivadas parciales continuas en una vecindad de p . Entonces  tiene una derivada direccional en p en la dirección de un vector unitario u dada por   p   p  u

TEOREMA 6.1

Demostración En base al Teorema 4.2 se puede afirmar que  es diferenciable en p y por lo tanto  p   u   p   p   u   u donde   0 cuando  Por lo tanto :  p   u p 

    u    ya que u  

Aplicando límite cuando    , se tiene   p   p  u El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables. En efecto  a) Si    entonces       p      mientras que si la dirección de u está dada por una recta  que forma un angulo  con la parte positiva del eje  (Ver Figura 6.2) entonces u      es un vector unitario en la dirección de  (también es posible obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto                       EJEMPLO 6.1 Dado              hallar la derivada direccional de  en    ¿Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2,  1)? Calculamos primero

                

34 Enseguida calculamos el vector unitario

u                u         u                       

Por lo tanto

  u                    

En particular si (  )  (2,  ) , se tiene :

EJEMPLO 6.2 Encontrar la derivada direccional de         en el punto ( , ) en la dirección del vector a  i  j En este caso :       ,    entonces       

Además el vector unitario u en la dirección de a está dado por u  aa , esto es : u            i j

Por lo tanto :

  1,4      u  ,         

b) Si    entonces       p        mientras que si la dirección de u está dada por la de una recta  cuyos ángulos directores son    y  (Ver Figura 6.3) entonces el vector unitario u en la dirección de  está dado por u      analogamente al caso    se puede obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto u                                     

EJEMPLO 6.3 Dada la función               hallar la derivada direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a   (5,3,3) En este caso , como                                    

35

se tiene que               ,      

Entonces            Por otra parte la dirección   está dada por a     luego  u  aa         

Por lo tanto :            u  (1          

 



            

EJEMPLO 6.4 Hallar la derivada direccional de             en el punto (,,) a lo largo de la curva de intersección de las dos superficies           y        Es claro que

         

entonces

 3,4,5 =    

En este caso la determinación de la dirección no es directa, sin embargo apelando al hecho que la tangente a la curva de intersección entre dos superficies se obtiene mediante el producto cruz entre sus normales, se puede salvar la situación. (¡Realice un dibujo que explicite esta propiedad!). Por lo tanto si              y            entonces sus normales están dadas, respectivamente, por :      , ,   y   2   ,   En particular para el punto (  ) se tiene       y       Por lo tanto :

o bien

 i   a  N1  N2   12   6 a  i   j

j 16 8

k    10    80 i  60 j   10 

36

u  aa          

de modo que Finalmente :

           u                    En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función  aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente Teorema proporciona esta información : TEOREMA 6.2

Sea  una función diferenciable en un punto p entonces i) El valor máximo de la derivada direccional   en p es  p el valor mínimo es   p  ii) La razón de cambio máxima de  en p se alcanza en la dirección de  p ( la tasa mínima en   p 

Demostración i) Consideremos p y  p como fijos (pero arbitrarios) y al vector unitario u como variable . Sea  el ángulo entre  p y u , entonces u  p   p  u   p u    p   Como        entonces el valor máximo de    se alcanza cuando   1, y en este caso: u  p   p ii) Se ha dicho que la derivada direccional u p mide la razón de cambio de  en la dirección determinada por u . Como esta razón de cambio en i) alcanza su valor máximo cuando    1 , es decir , cuando   . Entonces esto equivale a afirmar que u y  p tienen la misma dirección. EJEMPLO 6.5 Suponga que la temperatura en un punto (    ) del espacio tridimensional está dada por                en donde  se mide en °C y     en metros ¿En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en el punto (1,1,  2)? ¿Cuál es el valor de la máxima razón de aumento? Como   entonces

      

,  

      

  

    

37                         Por lo tanto, la temperatura  aumenta más rapidamente en la dirección del vector gradiente  (1,1,  2)         , lo que equivale a la dirección del vector (     . Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por :                                     