5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad. 5.1.1 Introducción al Análisis Matemático. 

El espacio n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de puntos, es el conjunto: {( } )



La distancia euclidea entre dos puntos (

)

es la aplicación

)

√(

(

)

dada por:

(

)

(

)

Las propiedades de la distancia son: ( ) 1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) ( ) 3. ( )

(

)

)

√(

En , |

(

Por ejemplo, si |

|

)

|

|

|

(

)

( )

√(

) (

( )

) √

⁄ (

)

}

En (



)

Sean

)

√(

y

(

)

, la bola abierta de centro

y radio r , (

)

{

5.1.2 Funciones reales de varias variables reales. 

Una función f de n variables ( ) a cada punto (

con dominio ) .

es una regla que asigna un número real

→ en los cuales está definida:



El dominio de f, D, son los puntos de



La imagen de f son los valores que toma en :



Si la función se suele representar por ( ), donde x e y son las variables independientes y z la variable dependiente. Si la función se suele representar por ( ), donde x, y, z son las variables independientes y w la variable dependiente.

( )

1

{

⁄

( )

{ ( )

( )} }

Ejercicio: Hallar los dominios de las siguientes funciones y dibujar esos conjuntos en el plano xy. ) (

)

√

) (

√

)

√

√

(

)

Solución:

)

) √

√

√ . El dominio es: ( ) {( )

√ (

) ( )



}

⁄

( {(

)

) }

⁄

(

Nota: La gráfica de una función real de dos variables ) → dada por (

) es una superficie de

. Por ejemplo:

5.1.3 Curvas de nivel. 

Para una función

→

( ) por planos horizontales (paralelos al plano xy) . Luego se proyectan Cortamos la gráfica de la función esas intersecciones perpendicularmente sobre el plano xy. Si el plano por el que hemos cortado es la proyección de la intersección sobre el plano xy se llama curva de nivel k de f. La curva de nivel será por tanto la curva plana de ecuación ( ) . Ejemplo: Curvas de nivel de la función (

)

. (

Las curvas de nivel son las curvas de ecuación Son circunferencias de centro (

) y radio √ .

2

)

Gráfica de (

)

Proyección de las intersecciones en el plano xy 

Vista desde arriba.

Corte de la gráfica por el plano

→

Para una función

Algunas curvas de nivel

, la curva de nivel k de f es: ( ) { ⁄ (

)

}

5.1.4 Límite y continuidad de funciones reales de varias variables reales. • Sean

→

decimos que el límite de ( ) cuando ( )

y

(

)

tiende a

| ( )

es

y escribimos

|

La función toma valores “tan cerca como se quiera” del límite l cuando nos aproximamos “lo suficiente” a

.

• El concepto de continuidad para funciones de una variable se puede generalizar a funciones de varias variables. Hablando informalmente, una función de n variables es continua si cambios pequeños en las variables independientes producen cambios pequeños en los valores de la función. Formalmente, Sean

• f continua en

→

y

decimos que f continua en ( ) ( )

si es continua en

3

si

• Al igual que en el caso de una variable: toda función de n variables que se puede construir a partir de funciones continuas por operaciones de adición, sustracción, producto, división y composición de funciones es continua allí donde está definida. Ejercicio: Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: ) (

)

) (

)

Solución: )

por ser una función polinómica.

⁄ ) La función g está definida y es continua en los puntos ( ) continua en todo excepto en los puntos de la circunferencia de centro ( cero, luego ( ) no está definida.

es decir, está definida y es ) y radio 2. En ellos el denominador es

5.2 Derivadas parciales. Vector gradiente. 5.2.1 Derivadas parciales de funciones reales de varias variables reales. Para una función ( ) de una variable, la derivada ( ) mide la tasa de variación de la función cuando x cambia. Para funciones de dos o más variables queremos ver la velocidad de variación de la función respecto de los cambios de valores en las variables independientes. Por ejemplo, si ( ) son los beneficios de una empresa cuando se usan cantidades de dos materias primas distintas, queremos saber cómo y cuánto variarán los beneficios al variar . Comenzamos definiendo las derivadas parciales de una función de dos variables: y sea (

→

Sea

)

( )

La derivada parcial de f con respecto a x en ( (

)

) es:

(

)

(

La derivada parcial de f con respecto a y en ( (

)

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

) es:

(

)

(

) con respecto a x cuando y se mantiene La derivada parcial de f con respecto a x es la derivada de ( constante. De la misma manera la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de ( ) con respecto a y cuando x se mantiene constante. Ejercicio: Calcular las derivadas parciales de (

)

Solución: (

)

(

)

(

)

(

)

Nota: Para funciones de más de dos variables las derivadas parciales se definen de forma análoga. →

Sea ( )

( ). La derivada parcial de f con respecto a

y sea ( )

( )

(

( )

4

)

en (

es: )

5.2.2 Interpretación geométrica de las derivadas parciales: Caso de dos variables La gráfica de la función está en la superficie S.

(

) representa una superficie S. Si (

La intersección del plano vertical con la superficie S es la curva . La recta tangente a la curva en el punto ( ) y en la dirección del eje x es la recta . (

)

, entonces el punto

(

)

La intersección del plano vertical con la superficie S es la curva . La recta tangente a la curva en el punto ( ) y en la dirección del eje y es la recta .

)

(

)

Caso de más de dos variables. La derivada parcial de f con respecto a en pendiente de la recta tangente a la superficie ( ) en la dirección del eje .

(

) es la

5.2.3 Interpretación económica de las derivadas parciales: →

Sea

La tasa marginal de variación de f con respecto a en es el incremento que sufre la función cuando la variable se incrementa en una unidad y el resto de las variables se mantienen constantes. Si consideramos que el incremento de una unidad es un incremento “pequeño”, la tasa marginal de variación de f con respecto a en es aproximadamente la derivada parcial de f con respecto a en . 5.2.4 Gradiente de funciones reales de varias variables reales. Sea gradiente de f en

→

( ), si existen todas las derivadas parciales de f en

y sea

es ( ) ( )

( )

(

( ) ( )

)

( ) (

( ) )

5

, el vector

Ejercicio: Calcular el vector gradiente en el punto ( ) (

)

) de las siguientes funciones

) (

)

Solución:

)

)



(

)

(

)

(

)

(

)

( (

(

)

(

}

)

) (

)

(

(

)

)

(

(

)

(

)

( )

(

) (

)

)

)

( )

}

Nota: La existencia de derivadas parciales en un punto no implica la continuidad en el punto y viceversa, la continuidad en un punto no implica la existencia de derivadas parciales en ese punto.

5.3 Derivadas parciales de orden superior. Matriz hessiana. 5.3.1 Derivadas parciales de orden superior. 

Comenzamos definiendo las derivadas parciales de orden superior para una función de dos variables:

Las derivadas parciales

(

) y

y sea (

→

Sea (

)

( )

) se llaman derivadas parciales de primer orden o derivadas

( ) se parciales primeras. Estas derivadas parciales son, a su vez, funciones de dos variables. A partir de pueden construir dos nuevas funciones tomando las derivadas parciales con respecto a x e y. De la misma manera se puede hacer con ( ). Las cuatro funciones así obtenidas se llaman derivadas parciales de segundo orden o derivadas parciales segundas, de (

(

) y se denotan:

{

(

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

)

) {

(

)

(

)

Nota: Para funciones de más de dos variables las derivadas de segundo orden se definen de forma análoga, en general se define (

Ejercicio: Dada (

)

)

(

)

, calcular las derivadas parciales de segundo orden en el punto (

6

)

(

)

(

)(

)

(

(

)(

)

(

( (

)

{ (

)(

)

)(

)

En el ejemplo vemos que las derivadas parciales cruzadas Teorema de schwarz: Sea (

)

(

)

(

)

{

)y

→

( ) es continua en

y

)

(

)

(

)

(

) )

coinciden, esto no es casualidad:

( ) tales que

y

(

( )

( )

( ) existen en

( ) y se verifica:

entonces existe ( )

( )

→

Nota: (sobre la notación), sea por ejemplo

Si queremos derivar primero respecto a la tercera variable y después respecto a la primera, se puede denotar: (

)

(

)

5.3.2 Matriz hessiana. ( ) tal que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en Sea → y definimos matriz hessiana de f en como: ( ) ( )

( )

(

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Ejercicio: Obtener la matriz hessiana de (

,

( ) )

)

7

(

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

)

Solución

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

(

)

(

)

( (

{

(

)

(

) {

)

( )

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

Nota: La 1ª, 2ª y 3ª columnas son respectivamente:

8

)

)