FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES [Versión preliminar]

Prof. Isabel Arratia Z.

En esta unidad estudiaremos funciones f con dominio D ⊆ ℜn y con valores en el conjunto ℜ de los números reales. Ejemplos de tales funciones son las siguientes:

f ( x, y ) =

x2 + y2 − 4

g ( x , y ) = ln( xy ) h ( x , y ) = x sen y w ( x, y, z ) = 3 x + e

y z

Ejercicio: Determine el dominio de las funciones definidas precedentemente.

_________________________________________________________________________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

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Si f : D ⊆ ℜ 2 → ℜ , el gráfico de f es un conjunto de puntos de 3

ℜ :

Gr( f ) = {( x, y, z) ∈ ℜ3 / ( x, y ) ∈ D ∧ z = f ( x, y ) }

El gráfico de f, corresponde a la superficie S en el 3 espacio ℜ .

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+ Por ejemplo, el gráfico de la función f(x, y) = k, k ∈ℜ es el plano de ecuación z = k que se muestra en la figura 1. El gráfico de la función g(x, y) = 2 – y es el plano de ecuación y + z = 2 (figura 2). figura 3.

Figura 3.

Figura 1

Figura 2

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Las gráficas siguientes corresponden a la superficie definida por f(x, y) = y2 – x2, realizadas con computadora y con calculadora ClassPad 300.

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Dibujar la superficie correspondiente a la gráfica de z = f(x, y) no es un asunto fácil. Por esta razón surge la idea de representar la superficie mediante un “mapa de contorno”. Cada plano horizontal z = c, intersecta la superficie en una curva; la proyección de esa curva sobre el plano XY se llama curva de nivel y una colección de tales curvas constituyen un mapa de contorno.

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Si f es una función de 3 variables y C > 0 es una constante, la gráfica de f(x, y, z) = C es una superficie de nivel de la función f. Por ejemplo, las superficies de nivel de la función f(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2 tienen la forma 4x2 + y2 + z2 = C, es decir son elipsoides. Una superficie cuadrática es la gráfica correspondiente a Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 que por traslación y rotación puede expresarse: Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0

o

Ax2 + By2 + Cz + J = 0.

Ejemplos de tales superficies son los elipsoides, hiperboloides de una hoja y de dos hojas, conos, paraboloides elípticos, paraboloides hiperbólicos y los cilindros. _________________________________________________________________________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

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Elipsoide

x2 a2

+

y2 b2

2

+ z2 = 1 c

Hiperboloide

Paraboloide z =

2

x a2

+

y

2

x2 a2

+

y2 b2

2

− z2 = 1 c

b2

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Hiperboloide dos hojas

Cilindro

x2 a2

x2 a2

+

−

y2 b

y2 b2

2

−

=1

z2 c2

=1

Paraboloide hiperbólico

z=

x2 a2

−

y2 b2

2 Cilindro parabólico y = ax

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Límites y continuidad Conceptos previos a la definición de límite de una función: Si x0 = (x1, . . . . , xn)

∈ℜn

y

δ > 0 , el conjunto

B( xo, δ) = { P ∈ ℜn / P - xo < δ } se llama bola o vecindad abierta de centro x0 y radio El conjunto B* ( xo, δ) = B(xo, δ) - {xo } perforada centrada en xo.

δ.

se llama vecindad abierta

n n Sea A ⊆ ℜ ; el punto xo ∈ℜ es un punto de acumulación de

A si ∀ ε > 0, B * ( x o , ε ) ∩ A ≠ ∅

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Definición: Sea f : A ⊆ ℜ n → ℜ una función, xo ∈ℜn punto de acumulación de A y L un número real. Se dice que el límite de f en xo es L, y se anota

lim f(x) = L

x→xo si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que 0 < x − x o < δ ⇒ f(x) - L < ε Para el caso n = 2, esto significa que si x está en la bola abierta centrada en xo de radio δ , entonces f(x) está en el intervalo abierto de extremos L − ε y L + ε.

Observaciones: (1) Los límites de funciones de varias variables tienen, en lo que respecta a sumas, productos, cuocientes, las mismas propiedades que los límites de funciones de una variable. _________________________________________________________________________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

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x2 −y2

(2) Consideremos la función f ( x, y ) = 2 2 y estudiemos su x +y límite en (0, 0). Si nos aproximamos a (0, 0) por el eje X, f(x, y) = f(x, 0) = 1 y la función f(x, y) tiende a 1. Si nos aproximamos a (0, 0) por el eje Y, f(x, y) = f(0, y) = -1 y la función f(x, y) tiende a -1. lim f ( x, y) no existe. En este caso, ( x,y )→(0,0)

En general, si f(x, y) tiende a L1 cuando (x, y) se aproxima a (a, b) por una trayectoria C1 y f(x, y) tiende a L2 cuando (x, y) se aproxima a (a, b) por una trayectoria C2 y L1 ≠ L2, entonces existe.

lim

( x,y )→(a,b)

f ( x, y) no

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3) En algunos casos, es fácil “reconocer” que un límite no existe. Por ejemplo, la función f ( x, y ) =

1 crece indefinidamente x2 +y2

cuando (x, y) se aproxima a (0,0) a lo largo de cualquier trayectoria; luego

lim

( x,y )→(0,0)

f ( x, y) no existe.

4) Sin embargo, a veces, esta situación no es tan clara. Por ejemplo,

xy

lim

2

( x,y )→( 0,0 ) x + y

función f ( x, y ) =

xy 2

x +y

2

2

no existe.

Efectivamente, la

tiende a 0 cuando (x, y) se aproxima

a (0, 0) por el eje X, por el eje Y, por la parábola y = x2. Pero si (x, y) se aproxima a (0, 0) por la recta y = x, la función f(x, y) tiende a ½ . _________________________________________________________________________ Cálculo III - Funciones reales de varias variables reales

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Si dos caminos distintos llevan al mismo número L no se puede concluir que el límite es L. Para concluir que un límite existe hay que demostrar que todos los caminos posibles llevan al mismo valor L. A veces, observar la gráfica de la función con una calculadora o computadora hace conjeturar que el límite existe. En todo caso hay que demostrar esta conjetura. Por ejemplo, demostremos que Dado

4x2y

lim

2

( x, y ) → ( 0,0 ) x + y

2

= 0.

ε > 0 debemos encontrar δ > 0 tal que 4x 2 y

0