Fraktale und Beispiele aus der Physik

Anschauung Warum beschäftigen Fraktale (auch) Naturwissenschaftler? kurze Wiederholung Konkretes Beispiel: Magnetpendel Das Experiment Mathematische Beschreibung Trajektorien und das “Pseudo-Fraktal” Jetzt wird’s komplex Fraktale in der komplexen Ebene: Mandelbrotmenge und Juliamengen Knut Müller 12/2004

Schon lange bekannt: à Mathematische Beschreibung der Natur durch

usw... Euklidische Geometrie à ganzzahlige Dimensionen:

VIEL ERFOLG:

Fraktale Geometrie Für die mathematische Naturbeschreibung scheint weniger die resultierende Form entscheidend zu sein als ein simples, oft iteriertes Aufbauprinzip

Fraktale Geometrie Für die mathematische Naturbeschreibung scheint weniger die resultierende Form entscheidend zu sein als ein simples, oft iteriertes Aufbauprinzip

Fraktale... (1) haben nicht-ganzzahlige Dimension (a)

Fraktale Dim.

(b) (c)

Box - Dim. . . . . .

(2) sind oft [statistisch] selbstähnlich (3) treten häufig in chaotischen Systemen auf (Nichtlinearität, Komplexität)

Das Magnetpendel

Experimenteller Aufbau

z

j

Annahmen:

L

(1) L >> |r(t)|, langes Pendel, d.h. m bewegt sich planar (z = 0). m

z=0

r(t) y

O x

(x1,y1,-d)

z = -d (x3,y3,-d)

(x2,y2,-d)

(2) Jeder Magnet erzeugt zum Abstand reziprokes Potential. (3) m ruht irgendwann aufgrund Stokes’scher Reibung.

Das Magnetpendel

Aufstellen der DGL

Einschub im Nachhinein: Die Trajektorien auf der übernächsten Folie wurden hiermit gemacht

Numerische Lösung der Differentialgleichungen mit MAPLE 7 # # Trajektorien für das Magnetpendel mit 3 Magneten # Knut Müller 15/12/2004 # # Vorgeplenkel > > > > # # # > > > > > > > > > > > > > > > # # # > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

restart: with(plots): with(plottools): with(DEtools): Parameter l:=2: x1:=0: x2:=l/2: x3:=-l/2: y1:=l*sqrt(1/3): y2:=-l*sqrt(1/12): y3:=-l*sqrt(1/12): reib:=0.01: gravi:=0.8: feld:=5: dist:=0.25:

Abstand der Magneten voneinander x1,x2,x3,y1,y2,y3: Positionen der Magneten auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks

startX:=0.2: startY:=-1.1: dauer:=100:

startX,startY: Koordinaten, wo das Pendel startet

Reibungskoeffizient Stärke der Rückstell-(Gravitations-)kraft Magnet-/Coulombfeldstärke vertikaler Abstand der Magneten von z = 0

solange lässt MAPLE es pendeln

Differentialgleichungen xkomp:=diff(diff(x(t),t),t) + reib*diff(x(t),t) + gravi*x(t) + feld*((x(t)-x1)^2+(y(t)-y1)^2+dist^2)^(-3/2)*(x(t)-x1) + feld*((x(t)-x2)^2+(y(t)-y2)^2+dist^2)^(-3/2)*(x(t)-x2) + feld*((x(t)-x3)^2+(y(t)-y3)^2+dist^2)^(-3/2)*(x(t)-x3)=0: ykomp:=diff(diff(y(t),t),t) + reib*diff(y(t),t) + gravi*y(t) + feld*((x(t)-x1)^2+(y(t)-y1)^2+dist^2)^(-3/2)*(y(t)-y1) + feld*((x(t)-x2)^2+(y(t)-y2)^2+dist^2)^(-3/2)*(y(t)-y2) + feld*((x(t)-x3)^2+(y(t)-y3)^2+dist^2)^(-3/2)*(y(t)-y3)=0: Digits:=8:

mit sovielen Nachkommastellen rechnet MAPLE

t:='t': sys:=[xkomp,ykomp,x(0)=startX,y(0)=startY,D(x)(0)=0,D(y)(0)=0]: lsg:=dsolve(sys,{x(t),y(t)},numeric): Trajektorie:=odeplot(lsg,[x(t),y(t)],0..dauer,view=[-2..2,-2..2],axes= boxed): magnet1:=circle([x1,y1],1.5/10,color=red,thickness=3): magnet2:=circle([x2,y2],1.5/10,color=blue,thickness=3): magnet3:=circle([x3,y3],1.5/10,color=yellow,thickness=3): display({magnet1,magnet2,magnet3,Trajektorie},numpoints=500,axes=boxed ,scaling=constrained);

Das Magnetpendel

Trajektorien und Vorhersagbarkeit

• chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch die

Nichtlinearität

[Illustration des chaotischen Verlaufs der Trajektorien mit einem Maple-Programm an dieser Stelle]

)

Das Magnetpendel

Trajektorien und Vorhersagbarkeit

Das Magnetpendel

Trajektorien und Vorhersagbarkeit

• chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch Nichtlinearität) • Zwei stabile Bereiche sind stets so getrennt, daß der des dritten Attraktors dazwischenliegt.

Das Magnetpendel

Vorhersagbarkeit

Das Magnetpendel

Vorhersagbarkeit

• chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch Nichtlinearität r-3) • Zwei stabile Bereiche sind stets so getrennt, daß der des dritten Attraktors dazwischenliegt. • Die Größe des instabilen Bereichs A(s) hängt ab von (negativ)

Reibungskoeffizient a/m

(positiv)

Konstante der Rückstellkraft g/L

Das Magnetpendel

Reibungsabhängigkeit

Vorhersagbarkeit

Abhängigkeit von der Rückstellkraft

0,2

0,3

0,3

0,2

0,4

0,5

0,1

0,0

Das Magnetpendel

Fraktale Grenzen

• chaotischer Verlauf der Trajektorie des Pendels: Winzige Änderungen der Anfangsbedingungen zeigen große Abweichungen in der Bahnkurve. (hervorgerufen durch Nichtlinearität) • Zwei stabile Bereiche sind stets so getrennt, daß der des dritten Attraktors dazwischenliegt. • Die Größe des instabilen Bereichs A(s) hängt ab von (negativ) Reibungskoeffizient a/m (positiv) Konstante der Rückstellkraft g/L • Die Grenzen spalten sich mit zunehmender Vergrößerung immer weiter auf. Allerdings ist irgendwann ein Ende erreicht, wie wir es von Fraktalen in der Natur kennen.

Das Magnetpendel

Fraktale Grenzen

(zur Konstruktion der Cantormenge)

Feigenbaumdiagramm

“Anschaulicher” Spezialfall: Entwicklung von Populationen

Feigenbaum - Diagramm z

zn+1= zn² + c

Realteil

Wachstumsparameter als Variable

c

Fraktale in der komplexen Ebene

Mandelbrotmenge

Jetzt ein weiterer Spezialfall: Erweiterung auf komplexe Ebene Mandelbrot - Menge Im

zn+1= zn² + c (Start: z 0 = 0 Þ z1 = c)

z, c Î |C

0 Re

Fraktale in der komplexen Ebene

Juliamengen

• Ausgangspunkt erneut: Logistische Abbildung im Komplexen zn+1= zn² + c (z, c Î |C) • Aber: Setze nun c fest und erstelle eine “Karte” von z-Startwerten, deren Folge beschränkt ist. Für jedes c erhält man nun eine eigene Menge, genannt Juliamenge Jc

er d e entw

zusammenhängend

ode r

total unzusammenhängend (“Punktwolken”)

Fraktale in der komplexen Ebene

Juliamengen M

Juliamengen

c = 0,4 + 0,3i Ï M

total unzusammenhängend c = -0,39054 - 0,58679i Î M

zusammenhängend

Fraktale in der komplexen Ebene

Juliamengen « Mandelbrotmenge

Noch einmal: • Bei der Mandelbrotmenge startet man mit z1 = c und erstellt eine Karte aller c, für die die Folge zn+1= zn² + c endlich bleibt. • In jeder Juliamenge für sich ist c = const. und es wird eine Karte aller z0-Startwerte erstellt, für die die Folge endlich bleibt. c variiert lediglich von Juliamenge zu Juliamenge.

Þ Insbesondere gibt es zu jedem Punkt in der Mandelbrotmenge auch eine Juliamenge mit folgender Eigenschaft:

Þ Nur die aus c Î M entstehenden Juliamengen sind zusammenhängend, alle anderen sind total unzusammenhängend. Also: