Grundlagen der Differentialrechnung: Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

Grundlagen der Differentialrechnung: Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Istv´an P´al Email: [email protected] 15. Okt. 2014 Gliederung • Bekannte...
Author: Hilke Hochberg
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Grundlagen der Differentialrechnung: Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Istv´an P´al Email: [email protected] 15. Okt. 2014

Gliederung • Bekannte Grundbegriffe • Geschichte der Differentialrechnung • Anwendungsgebiete der Differentialrechnung • Anwendungsbeispiele (Physik, Technik) + Theorie • Zusammenfassung

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Bekannte Grundbegriffe • Newton und Leibniz, Fermat, Descartes, Euler und Dirichlet • Sekante, Tangente • Konvergenz: limn→∞ xn = x∗ • Stetigkeit (ε − δ-Kriterium: f (x) Stetig in a ∈ D(f ) ∀ε ∃δ : |x − a| < δ, |f (x) − f (a)| < ε ): Eine Funktion ohne Sprung • Sogar ... Differenzierbarkeit: Grenzwert der Differenzenquotienten. Eindeutige, lokale, lineare Approximation einer Funktion in einem Punkt f (x) − f (x0) f (x0 + h) − f (x0) f 0(x0) = lim = lim x→x0 h→0 x − x0 h

I. P´al

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Geschichte der Differentialrechnung

• Der Begriff Kurve aus der Antike als geometrisches Objekt. (Mechanik: Durch die Bewegung des Massenpunktes eindeutig bestimmt, aber nicht umgekehrt) • Die Aufgabenstellung: Tangentenproblem (die Tangente an eine Kurve durch ihre Sekante zu approximieren) • Fermat: im 1628 Methode zur Extremstellen-Bestimmung • Descartes: Kreis an eine Kurve • Newton u. Leibniz (unabh.): die Grundsteine, Ende d. 17. Jh. • Euler und Dirichlet: die Ableitungsregel, allg. Def. I. P´al

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Anwendungsgebiete der Differentialrechnung • In meisten Gebieten der Naturwissenschaften und Technik • Von der Zeit abh¨angige Funktionen: Chemie, Physik (Mechanik, Weg-Zeit-Diagramm, Geschwindigkeit-Zeit-Diagr.) etc. ¨ Beispiele f¨ur Anderungsraten x Zeit Zeit Zeit

y bzw. f (x) Weg Geschwindigkeit Flugh¨ohe

Zeit

Wassermenge

Weg

Benzinvolumen

H¨ohe

Luftdruck

∆y ¨ Anderungsrate ∆x Durchschnitts-Geschw. Durchschnitts-Beschl. Durchschnittliche Steigbzw. Sinkgeschwindigkeit Durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit Durchschnittliche Benzinverbrauch Durchschnittliche Luftdruck¨anderung

¨ Lokale Anderungsrate f 0 (x0 ) Momentan-Geschwindigkeit Momentan-Beschleunigung Momentane Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit Momentane Zuflussgeschwindigkeit Momentaner Benzinverbrauch Momentane Luftdruck¨anderung

• Minimum, Maximum, Optimumberechnung • L¨osen von Gleichungen, Gleichungssystemen • Automobilindustrie, Schiffbau: Spline I. P´al

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Anwendungsbeispiele aus der Physik Weg

B

B−Stadt Signal

s

A t0 t1 t2

I. P´al

Zeit t3 t4 t5 t6 t7 t8

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Anwendungsbeispiele aus der Physik Beispiel (Weg-Zeit Diagramm): Verlauf der Fahrt eines Objekts • Die gekr¨ummte Kurve ist das Bild der Funktion s = f (t) • Dem Abszissen-Unterschied ∆t entspricht der Ordinaten-Unterschied ∆s und die Gerade (Sekante) durch die Punkte P0(t0, s0) u. P1(t1, s1) hat den Anstieg nach den Regeln der anal. Geom., als Quotient der Differenzen → Differenzenquotient: f (t1 ) − f (t0 ) f (t0 + ∆t) − f (t0 ) f (t0 + h) − f (t0 ) ∆s s1 − s0 = = = = = tan α ∆t t1 − t0 t1 − t0 ∆t h

• Differentialquotient o. Ableitung: Das untersuchte Verhalten der Kurve im P0 wird umso besser ausgedr¨uckt, je n¨aher P an P0 liegt. L¨auft P gegen P0 so geht die Sekante [P0, P ] in eine Grenzlage, in die Tangente im P0 u¨ ber ∆s ∆t→0 ∆t lim

(falls es existiert)

• Was haben wir jetzt eigentlich berechnet? I. P´al

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Anwendungsbeispiele aus der Physik • Geschwindigkeit v = st , v = f 0(t)

nach Leibniz ds nach Newton = = dt



Aufgabe 1: Bestimmen wir die Geschwindigkeit in dem Zeitpunkt t0 bei dem freien Fall. Wir wissen: s = f (t) = g2 t2 ¨ Plan: Wir verwenden die vorherigen geom. Uberlegungen (man uhren wir die k¨onnte es Definition(en) nennen) lim∆t→0 ∆s ∆t und f¨ Rechnungen durch, schließlich Kontrolle. L¨osung: g g ∆s 2 (t0 + ∆t)2 − 2 t20 g ∆t(2t0 + ∆t) g = = · = gt0 + ∆t ∆t ∆t 2 ∆t 2 g ∆s lim = lim gt0 + ∆t = gt0 ∆t→0 ∆t ∆t→0 2 v = gt0 I. P´al

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Anwendungsbeispiele aus der Physik Weg

B

Geschwindigkeit

B−Stadt Signal

s

A t0 t1 t2

Zeit Zeit t3 t4 t5 t6 t7 t8

Geschwindigkeit

Zeit

• Die Geschwindigkeitskurve v = s˙ = f 0(t) scheint ,,g¨unstig” zu sein. Was passiert, wenn wir es nochmal differenzieren? Welche physikalische Gr¨oße erhalten wir? (Beschleunigung) • Eine Funktion heißt zweimal differenzierbar, wenn f 0 diffed2 f 00 0 0 renzierbar ist und die Ableitung f := (f ) = dx2 von f heißt zweite Ableitung von f . Allgemein k-mal differenzierk bar, wenn f (k) := (f (k−1))0 = ddxfk existiert. I. P´al

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Anwendungsbeispiele aus der Physik Ableitungsregeln (a) Additionsregel: (f + g)0(x) = f 0(x) + g 0(x) (b) Produktregel: (f · g)0(x) = f 0(x0)g(x) + f (x)g 0(x)) (f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)) 0 (c) Quotientregel: (f /g) (x) = g 2 (x) (d) Kettenregel: (g ◦ f )0(x) = g 0(f (x)) · f 0(x) Ableitung der Grundfunktionen Grundfunktion Typ Konstant Linear Potenz Sinus Trig.Fn. Cosinus Trig.Fn. Exponential Logarithmus

Allg. Bezeichnung f (x) = c (c ∈ R) f (x) = cx f (x) = cxn f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = ax (a ∈ R) x f (x) = loga x = ln ln a

erste Ableitung f 0 (x) = 0 f 0 (x) = c f 0 (x) = cn · xn−1 f 0 (x) = cos x f 0 (x) = − sin x f 0 (x) = ax · ln a 1 f 0 (x) = x·ln a

Beispiel: Bei freiem Fall aus s = f (t) = g2 t2 erh¨alt man durch Differenzieren s˙ = gt und nochmal Differenzieren s¨ = g. Dabei ist die Konstante g, die Erdbeschleunigung. Der freie Fall ist danach eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung. I. P´al

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Anwendungsbeispiel: Harmonische Schwingung

• Die Harmonische-Schwingung wird beschrieben durch y(t) = A · sin(ω t + ϕ0) mit Amplitude A, Nullphasenwinkel ϕ0, Kreisfreq. ω = 2π ·f Aufgabe 2: Bestimmen wir die maximale Geschwindigkeit der harmonischen Schwingung bei bekannten Amplitude y0. Plan: Ableitung der Amplitudenfunktion nach t mit Hilfe von Ableitungsregeln (f 0(c · x) = c, (sin x)0 = cos x, Kettenregel (g ◦ df f )0(x) = g 0(f (x)) · f 0(x) = dg · df dx ) → Schwingungsgeschwindig.. Wir analysieren die erhaltene Funktion und Kontrolle. I. P´al

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Anwendungsbeispiel: Harmonische Schwingung L¨osung: y(t) = y0 · sin(ω t + ϕ0) ˙ = y0 · cos(ω t + ϕ0) · ω v = y(t) v = y0 · ω · cos(ω t + ϕ0) | {z } max 1

vmax = y0 · ω

I. P´al

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Extremalaufgaben

Bestimmung von Extremwerten (Minimum, Maximum) • Mittelwerts¨atze (Roll, Lagrange, Cauchy) • Monotonie der Ableitung und lokale Extrema x f 0 (x) f (x)

+ %

x0 0 M

&

x f 0 (x) f (x)

&

x0 0 m

+ %

• f hat ein lokales Minimum (Maximum) an der Stelle x, falls f 0(x) = 0 und f 00(x) > 0 (bzw. f 00(x) < 0) gilt. (f 00(x) = 0?) I. P´al

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Anwendungsbeispiel: Wurfparabel Aufgabe 3: Bei Parabelwurf ist die Formel f¨ur die Entfernung v02 sin 2α s(α) = , g wobei v0 der Anfangsgeschwindigkeit des Wurfobjekts und α ist der Winkel zwischen Anfangsgeschwindigkeit und Waagerecht (α 6= 0◦, α 6= 90◦) ! Plan: Bild skizzieren. HB: s = max. Ableitungen und Rechnungen durchf¨uhren, schließlich Kontrolle. L¨osung: ds dα

= 2α = α = d2 s dα2 I. P´al

=

v02 g · 2 cos 2α |(v0 6= 0, g > 0) π 2 + kπ k = 0, ±1, ±2... π π + k 4 2 2v02 −4v02 g · (−2 sin 2α) = g sin 2α < 15. Okt. 2014

0 → α = 45◦. 14

Tangente Tangente an die Funktion f im Punkt P (x0, f (x0)) : (Hilfe y = y0 + m(x − x0)) y = f 0(x0)(x − x0) + f (x0) f (x)−f (x0 ) x−x0

= f (x) − f (x0) = f (x) = y =

I. P´al

f 0(x0) (x 6= x0) f 0(x0) · (x − x0) f 0(x0) · (x − x0) + f (x0) f 0(x0) · (x − x0) + f (x0)

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Newton Verfahren • L¨osen von Gleichungen der Form f (x) = 0, bzw. die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen y = f (x) mit der Abszisse y = 0. Keine Formel (Satz von Ruffini-Abel) → N¨aherung • Annahme: Gleichung f (x) = 0 hat nur eine L¨osung auf (a, b) • Sei y = f (x) differenzierbar auf (a, b) und der Differentialquotient f 0(x) 6= 0 • Der Tangente im Punkt a: f (x) − f (a) = f 0(a) · (x − a) • Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt x1 (y1 = 0) 0 − f (a) = f 0(a) · (x1 − a) −f (x) = x1f 0(a) − af 0(a) af 0(a) − f (x) = x1f 0(a) f (a) f (x1) f (xn) x 1 = a − 0 , x2 = x 1 − 0 , . . . , xn+1 = xn − 0 f (a) f (x1) f (xn) die Newtonsche Iterationsformel I. P´al

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Differenzieren mit dem Computer • Zwei M¨oglichkeiten: – Symbolisch – Numerisch f (x + ε) − f (x) df ≈ f (x) = dx ε 0

df f (x + ε) − f (x − ε) = dx 2ε • Anwendung: Genauigkeit u¨ berpr¨ufen z.B. mit f (x) = tan x f 0(x) =

• H¨ohere Ableitungen (→ St¨arkerer Genauigkeitsverlust) df 2 f 0(x + ε) − f 0(x − ε) f (x) = 2 = dx 2ε 00

I. P´al

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Taylor Reihenentwicklung • Vor ,,Computer-Zeit” war das Rechnen m¨uhsam → ,,Rechenschieber”. Dann kamen die elektrischen Taschenrechner und pl¨otzlich konnte man Sinus rechnen. Wie war es doch m¨oglich, da sin = cos( π2 −x) nicht-algebraisch, bzw. transzendent sind. • L¨osung: Dank u.a. Taylor die transzendenten Funktionen mit algebraischen Funktionen (Potenzreihen) beliebig genau angen¨ahert werden kann • Die fundamentale Formel: (|x − x0| klein genug, < 1) P∞ f (k)(x0) k f (x) = k=0 k!0 (x − x0 ) , f (x0 ) f 00 (x0 ) 2 = f (x0) + 1 (x − x0) + 2 (x − x0) + . . . wobei x0 die Anschlussstelle und die Zahl k! die Fakult¨at ist. P •P Methoden der Kleinsten Quadrate x[f (x) − t(x)]2 ∼ 0 2 [f (x ) + f (x )(x − x ) − t(x)] 0 0 0 x I. P´al

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Zusammenfassung • Anwendungsgebiete, Beispiele + Theorie der Differentialrechnung • Differenzieren mit dem Computer, Newton Verfahren, Taylor Reihenentwicklung • Die Idee, eine nichtlineare Funktion durch ihre lineare Approximation lokal zu ersetzen, ist absolut zentral in Analysis. NICHT VERGESSEN! Literatur: siehe auch http://www.amazon.de (suche: Analysis)

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Ende

¨ die Aufmerksamkeit! Vielen Dank fur

I. P´al

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Anwendungsbeispiel: optimal Volumen Aufgabe: Der Schlosser soll aus einem quadratischen Metallst¨uck mit Seitenl¨angen a eine von oben offene Kiste verfertigen, so dass aus den Ecken des originalen Arbeitsst¨uckes ein Quadrat mit Seitenl¨angen x ausgeschnitten wird. Wie soll x gew¨ahlt werden, damit das Volumen der Metallkiste maximal wird? Plan: Bild skizzieren. HB: Volumen maximal. Ableitungen und Rechnungen durchf¨uhren, schließlich Kontrolle. L¨osung: V

dV dx

x1,2 I. P´al

= = = = =

(a − 2x)2 · x (a2 − 2a2x + 2x2) · x a2x − 4ax2 + 4x3 = 2x3 − 4ax2 + a2x 2x2√− 8ax + a2 8a± 64a2 −48a2 → x1 = a2 , x2 = a6 24 15. Okt. 2014

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Anwendungsbeispiel: Elektrotechnik Aufgabe: Der innere Widerstand Rb einer Batterie ist unver¨anderbar. Der externe Widerstand R kann ge¨andert werden. Wie soll R gew¨ahlt werden, damit die Leistung P daran maximal wird. Plan: • Nebenbedingung (NB): Ohm Gesetz U = I · R → I = R E+R 2

b

!

• Hauptbedingung (HB): P = U · I = I R = maximal • Rechnungen durchf¨uhren und zum Abschluss Kontrolle. L¨osung: P

=

dP dR

=

d2 P dR2

=

P (Rb) = I. P´al

E E 2R 2 ( R +R ) · R = (R +R)2 b b R −R ... = E 2 (R b+R)3 b 3 2 ! 2 −1(Rb +R) −(Rb −R)·(Rb +R) < E (Rb +R)6 1 E2 4 Rb 15. Okt. 2014

0

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Anwendungsbeispiel: Geometrische Optik Aufgabe: Es gilt die Linsengleichung f1 = 1t + k1 . Bei gegebener Brennweite f auf welchem Objektabstand t und Bildweite k wird ihre Summe minimal? Plan: y = t + k minimal; NB f1 = 1t + k1 ; Rechnungen + Kontrolle L¨osung: 1 = 1t + k1 | · tkf f tk = f k + tf tf k = t−f tf y(t) = t + t−f (f konstant) f (t − f ) − tf f2 dy =1+ =1− ! = 0 (t 6= f → t1, t2) 2 2 dt (t − f ) (t − f ) d2y Minimum ( 2 )t1,2 > 0 dt I. P´al

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