MATEMÁTICA I Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------

ESPACIOS VECTORIALES

4.1. Espacios Vectoriales y Subespacios 4.1.1. Definición. Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío, cuyos elementos - llamados vectores – se pueden sumar entre sí, y multiplicar por escalares (números reales) de tal manera que la suma de dos elementos de V también pertenece a V, el producto de un escalar por un elemento de V también pertenece a V, y se cumplen las siguientes propiedades: EV1. Asociatividad Dados u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + ( v + w ) EV2. Existencia de neutro El elemento 0 (vector nulo) tiene la propiedad 0 + v = v + 0 para todos vector v ∈ V EV3. Todo vector tiene su opuesto Para todo v ∈ V, - v ∈ V tiene la propiedad: v + (-v)= v –v= 0 EV4. Conmutatividad Para todo par de vectores u, v ∈ V, u + v = v + u EV5. Si c es un escalar y u, v ∈ V, entonces c.(u+v) = c.u + c.v EV6. Si a, b son escalares y v ∈ V, entonces (a+b).v = a.v + b.v EV7. Si a, b son escalares y v ∈ V, entonces (a.b).v= a.(b.v) EV8. Para todo u ∈ V,

1.u = u

La existencia del opuesto permite definir la resta de vectores: u + ( -v ) = u - v

Ejemplo 1. Dados los naturales fijos m y n, el conjunto R m×n de las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales con las operaciones suma y producto por escalares (números reales) es un espacio vectorial porque tiene todas las propiedades EV1 a EV8 (citadas en el Capítulo 1 Matrices).

1

Ejemplo 2. Dado el natural fijo n, el conjunto R n de las n-uplas x = ( x1 , x2 , x3 ,....., xn ) de números reales, con la suma definida de la siguiente manera: Dadas dos n-uplas x = ( x1 , x2 , x3 ,....., xn ) y

u = (u1 , u2 , u3 ,....., un ) , x + u = ( x1 + u1 , x2 + u2 , x3 + u3 ,....., xn + un ) , y el producto por un escalar c definido así: c.u = (c.u1 , c.u2 , c.u3 ,....., c.un ) , también cumple todas las propiedades EV1 a EV8 y por lo tanto es un espacio vectorial.

En particular para n=2 y n=3 los elementos de los espacios vectoriales respectivos R 2 , R3 (pares y ternas de números reales), se pueden representar gráficamente como segmentos orientados con su extremo inicial en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas (con dos ejes x e y en R 2 , tres ejes x, y, z en R3 ) y su extremo final en el punto cuyas coordenadas son las componentes de los vectores correspondientes.

Existen otros espacios vectoriales, algunos de ellos son: el conjunto de todos los polinomios, el de los polinomios de grado menor o igual que un n fijo, el conjunto de partes de un conjunto, el de funciones reales, fuera del contenido requerido para esta materia.

Si se considera un subconjunto U de un espacio vectorial V, éste será un subespacio de V si U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir si U tiene las propiedades dadas en 4.1.1 con las mismas operaciones definidas en V. No cualquier subconjunto de V es un subespacio de V. Para que lo sea el vector nulo debe estar en él y las operaciones definidas en V deben ser cerradas en ese subconjunto. 4.1.2. Definición. Un conjunto S incluido en un espacio vectorial V es un subespacio (o subespacio vectorial) de V si satisface las siguientes condiciones: (1) El vector nulo 0 ∈ S (2) Si v y w ∈ S entonces v + w también pertenece a S (3) Si c es cualquier escalar y v cualquier vector de S, entonces c.v ∈ S

{

Ejemplo 1. Dado el conjunto U = A ∈ R 2×2 ; a11 =3a22 ∧ a21 + a12 = 0

}

Probar que U es un subespacio del espacio vectorial R 2×2 . Hay que probar que U cumple las tres propiedades de la definición 4.1.2. 0 0 (1) El vector nulo en R 2×2 es el vector (o la matriz) O =   que efectivamente cumple 0 0 las dos condiciones que definen al conjunto U. Por lo tanto O ∈ U y queda probada la propiedad (1) de subespacio: El vector nulo del espacio grande R 2×2 donde está incluido U también es elemento de U (2) Sean A, B ∈ U , hay que probar que A + B ∈ U . A ∈ U ⇔ a11 =3a22 ∧ a21 + a12 = 0 B ∈ U ⇔ b11 =3b22 ∧ b21 + b12 = 0

2

 a +b A + B =  11 11 a +b  21 21

a12 + b12

  a22 + b22 

a11 + b11 = 3a22 + 3b22 porque A, B ∈ U , factorenado el 3 queda a11 + b11 =3( a22 + b22 ). ( a21 + b21 ) + ( a12 + b12 )= (a21 + a12 ) + (b21 + b12 ) = 0 + 0 = 0 . luego A + B ∈ U . (3) Si c es cualquier escalar y A ∈ U , hay que probar que c.A ∈ U

 c.a11

c. A = 

 c.a21

c.a12  c.a22 

Como a11 =3a22 entonces c.a11 =3.c.a22

y c.a21 + c.a12 = c. ( a21 + a12 ) = c.0=0 , entonces c.A ∈U .

Quedó probado que U cumple las tres propiedades de 4.1.2 , luego U es un subespacio de R 2×2 .

Ejemplo 2. Probar que el conjunto S = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) ; x1 − 2 x2 =0 ∧ x3 =5x4

}

4

es un subespacio del espacio vectorial R . (1) El vector nulo 0 = (0, 0, 0, 0) de R 4 cumple las condiciones que definen al conjunto S. (2) Sean u= (u1 , u2 , u3 , u4 ) y v =(v1 , v2 , v3 , v4 ) dos vectores pertenecientes a S , hay que probar que el vector u + v ∈ S . u1 − 2u2 =0 ∧ u3 =5u4 porque u ∈ S y v1 − 2v2 =0 ∧ v3 =5v4 porque v ∈ S

u + v =(u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 , u4 + v4 )

(u1 + v1 ) − 2(u2 + v2 ) = (distribuyendo el 2 y agrupando convenientemente)= u1 − 2u2 + v1 − 2v2

=0

De u3 =5u4 , v3 =5v4 sumando miembro a miembro se obtiene

que u3 + v3 =5u4 +5v4 = 5(u4 +v4 ) O sea que u + v cumple las condiciones requeridas para pertenecer a S . (3) Si c es cualquier escalar y v ∈ S , hay que probar que c.v ∈ S .

c.v = (c.v1 , c.v2 , c.v3 , c.v4 ) c.v1 − 2c.v2 = c.(v1 − 2v2 ) = c.0 = 0 (porque como v ∈ S vale que v1 − 2v2 = 0) y de v3 =5v4 se obtiene c.v3 =5.c.v4 . Luego c.v ∈ S

Quedaron probadas las tres propiedades, entonces S es un subespacio de R 4 .

3

Ejemplo 3. Determinar si T = {( x1 , x2 , x3 ) ; x1.x3 = 0

}

es o no un subespacio de R3 , justificando la respuesta.

(1) El vector nulo de R3 es (0,0,0) y 0.0=0, luego pertenece a T . (2) u = (2, −5, 0) ∈ T porque 2.0=0, y v = (0, 1, 9) ∈ T porque 0.9=0, sin embargo en la suma u + v = (2, -4, 9) resulta 2.9 ≠ 0. Tomando dos vectores de T su suma no está en T, entonces T no es un subespacio de R3 .

Ejemplo 4. El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones y n incógnitas, es un subespacio del espacio vectorial R n (Ejercicio5). Cumple las tres propiedades de subespacio. Si tal sistema es determinado, el subespacio es el conjunto unitario {(0, 0,..., 0)} el subespacio nulo, que es el menor subespacio posible.

4.2. Combinación lineal. Vectores generadores 4.2.1. Definición. Un vector v de un espacio vectorial V es una combinación lineal de los vectores v1 , v2 ,..., vk ∈ V si existen escalares c1 , c2 ,..., ck no necesariamente distintos tales que k

v = c1.v1 +c2 .v2 + ... + ck .vk = ∑ c j .v j j =1

2 0 1   −1 −2 8   8 −4 21  Ejemplo 1. Dadas las matrices: A =   , B= , D =   0 3 5  3 10 1   6 35 27  del espacio vectorial R 2×3 , la matriz D es una combinación lineal de las matrices A y B porque se puede escribir D = 5. A + 2.B .

Ejemplo 2. En el espacio R 2 :

1 2

.(18, 8) − 9.(2, -1) = (-9, 13) , luego (−9,13)

es una combinación lineal de los vectores (18, 8) y (2,-1) ; y (4, -1) es una combinación 1 1 lineal de los vectores (2, -1), (5, 2) y ( 2, ) pues (4, −1) = 3.(2, −1) + 2.(5, 2) − 6.(2, ) . 3 3

Ejemplo 3. En el espacio vectorial R 4 sean v = (1, −8, 1, −1), u = (2, −1,5,1), w = (−1,3, −2,0) y z = (3,1,8, 2). El vector v es combinación lineal de los otros 3, se puede escribir v = u − 2 w − z. También es posible escribir v = 3u − w − 2 z.

Cuando un vector es combinación lineal de otros, ésta no es necesariamente única. Dado un conjunto de vectores no siempre uno de ellos es una combinación lineal de los otros.

4

Ejemplo 4. Se quiere saber si el vector (5,6) es combinación lineal de (1,2) y (3,6). Se plantea la igualdad (5, 6) = c1.(1, 2) + c 2 .(3, 6) = (c1 + 3c2 , 2c1 + 6c 2 ) , ésta conduce al sistema lineal

c1 + 3c 2 = 5 que resulta incompatible, por lo tanto el vector (5,6) no es  2c + 6c = 6 2  1 combinación lineal de (1,2) y (3,6) . En cambio se puede escribir (3, 6)= 0.(5, 6) + 3.(1, 2).

4.2.2. Definición. Si

v1, v2 ,..., vm

son vectores de un espacio vectorial V, el conjunto S de todas

m   las combinaciones lineales de esos vectores, S = u = ∑ ci .vi ; ci ∈ R  es un subespacio de V i =1   llamado subespacio generado por los vectores v1, v2 ,..., vm . (Se puede probar que S cumple las propiedades citadas en 4.1.2. y que S es el menor de todos los subespacios que contienen a los vectores v1, v2 ,..., vm ). A los vectores v1, v2 ,..., vm se los llama generadores de S.

Se suele indicar al subespacio S = 〈 v1, v2 ,..., vm 〉 . En caso que un conjunto de vectores genere todo el espacio V, es decir 〈 v1, v2 ,..., vm 〉 = V, se dice que v1, v2 ,..., vm generan V o que constituyen un conjunto generador de V. En ese caso

todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de los v1, v2 ,..., vm .

Ejemplo 1. En R3 consideramos el siguiente subespacio generado S S= 〈 (3,0,0),(0, 2, 0)〉 = u =c1 (3,0,0) + c2 (0, 2,0); c1 , c2 ∈ R} = (3c1 , 2c2 , 0); c1 , c2 ∈ R

{

{

}

Ejemplo 2. Los vectores (1, 0) y (0, 1) generan el espacio R 2 . 〈(1, 0), (0,1)〉 = {c1 (1, 0) + c 2 (0,1); c1 , c2 ∈ R} = {c1 (1, 0) + c 2 (0,1); c1 , c2 ∈ R} = = {(c1 , c 2 ); c1 , c 2 ∈ R} que es todo el espacio R 2 .

4.3. Dependencia e Independencia lineal de vectores.

4.3.1. Un conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vk ∈ V es linealmente dependiente si se verifica una de las dos condiciones siguientes (I) o (II) que son equivalentes entre sí: (I) Alguno de los vectores v1 , v2 ,..., vk es una combinación lineal de los demás. (II) Existen escalares c1 ,c2 ,...,ck que no son todos nulos tales que k

c1.v1 +c 2 .v2 + ... + ck .vk = ∑ c j .v j = 0 j =1

5

Ejemplos: El vector (3, 6) es combinación lineal del vector (1, 2) porque (3, 6)=3.(1, 2); en forma equivalente: 3.(1, 2) + (-1).(3, 6) = (0, 0) = 0, entonces los vectores (1, 2) y (3, 6) son linealmente dependientes. En cada uno de los Ejemplos 1, 2, 3 y 4 de 4.2.1 los vectores dados son linealmente dependientes.

4.3.2. Definición. Los vectores v1 , v2 ,..., vk de un espacio vectorial V son linealmente independientes si la relación c1.v1 +c 2 .v2 + ... + ck .vk =

k

c .v ∑ j =1 j

j

= 0 se cumple sólo si c1 = 0,

c2 = 0, ... , c k = 0 . Observación: Si los escalares c j , j = 1,..., k , son todos ceros, la relación c1.v1 +c 2 .v2 + ... + c k .vk = 0 se cumple siempre. La Definición 4.3.2 dice que los vectores son linealmente independientes si se cumple únicamente en ese caso. Si la relación c1.v1 +c 2 .v2 + ... + c k .vk =0 se cumple también cuando algún escalar es distinto de 0, de acuerdo con 4.3.1, los vectores son linealmente dependientes.

En los ejemplos que siguen se muestran dos métodos distintos para establecer si dado un conjunto de vectores, estos son linealmente dependientes o independientes.

Ejemplo 1. Determinar si los vectores u = (−1, 2.0), v = (−3, 0, 2), w = (0,1,1) de R3 , son o no linealmente independientes. Sea c1.u +c2 .v + c3 .w = (0,0,0) = ( −c1 − 3c 2 , 2c1 + c3 , 2c2 + c3 ) = (0, 0, 0) Se obtiene el siguiente sistema homogéneo : −c1 − 3c2 = 0  2c1 + c3 = 0 cuya única solución es la trivial c1 = c2 = c3 = 0 . 2c + c = 0 3  2 Conclusión: los tres vectores dados son linealmente independientes.

Otro método equivalente es el siguiente: Formar la matriz (sea cuadrada o rectangular) cuyas filas son los vectores dados, llevarla a la forma escalonada mediante operaciones elementales. Si la escalonada no tiene filas nulas, entonces los vectores son linealmente independientes. Si se obtiene una fila nula los vectores son dependientes.

Ejemplo 2. Determinar si los vectores u = (1, −2.1), v = (2,1, −1), w = (7, −4,1) de R3 , son o no linealmente independientes.

 1 −2 1   1 −2 1   1 −2 1    F2 − 2 F1      2 1 −1 F − 7 F →  0 5 −3  F3 − 2 F2 →  0 5 −3  1  7 −4 1  3        0 10 −6  0 0 0  Como al escalonar se obtuvo una fila nula los tres vectores son dependientes. 6

4.4. Base y dimensión. 4.4.1. Definición. Sean v1 , v2 ,..., vn vectores no nulos de un espacio vectorial V. El conjunto

{v1, v2 ,..., vn } es una base de V, y a la vez se dice que V tiene dimensión n, si cumple las siguientes condiciones: (1) v1 , v2 ,..., vn son linealmente independientes. (2) v1 , v2 ,..., vn generan V.

Ejemplo 1. {(1, 0), (0,1)} , {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)

} , {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} 2

3

son

4

bases (llamadas canónicas) de, respectivamente, los espacios R , R y R . Las dimensiones de estos espacios son: dim R 2 = 2, dim R3 =3 y dim R 4 = 4

 1 0   0 1   0 0   0 0   2×2 y dim R 2×2 = 4.  ,  , ,    es la base canónica del espacio R  0 0   0 0   1 0   0 1  

{

Ejemplo 2. Probar que B= (1,0),(1,1)} es una base de R 2 . 1 0  1 0   F2 − F1 →   entonces los vectores son independientes, se cumple la condición (1) de la 1 1  0 1 definición de base. Para ver que se cumple la condición (2): Sea ( x1 , x2 ) un vector cualquiera de R 2 , hay que ver que se puede escribir como combinación lineal de (1,0) y (1,1). ( x1 , x2 ) = c1 (1, 0) + c2 (1,1) = ( c1 + c2 , c2 ) entonces x1 = c1 + c2 y x2 = c2 , luego c1 = x1 − c2 = x1 − x2 , y ( x1 , x2 ) = (x1 − x2 ).(1, 0) + x2 .(1,1) . (por ejemplo el vector (5,3)= 2(1,0)+3(1,1) )

{

B= (1,0),(1,1)} es una base de R 2 .

4.4.2. Propiedades Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces: • • • •

La base de V no es única. Todas las bases de V tienen exactamente n elementos. Cualquier subconjunto de V que contenga n+1 vectores es linealmente dependiente. Si un conjunto de V tiene n vectores linealmente independientes, entonces es una base de V.

Por las propiedades mencionadas se puede afirmar que: 1)

los vectores u = (−1, 2.0), v = (−3, 0, 2), w = (0,1,1) de R3 , que son independientes según lo

probado en el Ejemplo 1 de 4.3.2, constituyen una base de R3 porque su dimensión es 3. 3 2) los vectores u = ( −1, 2.0), v = ( −3, 0, 2), w = (0,1,1) y z = (0, 0,5) de R , son linealmente dependientes.

7

3) 4)

{(1,0),(1,1)} es una base de R

2

sólo con probar que son independientes pues dim R 2 = 2.

los vectores u = (1, −2.1), v = (2,1, −1), w = (7, −4,1) no forman base de R3 pues en el Ejemplo 2 de 4.3.2 se probó que son linealmente dependientes.

4.4.3. Un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión n es en sí mismo un espacio vectorial contenido en V, por consiguiente S tiene base y dim S ≤ n . Se mostrará a continuación como hallar una base y la dimensión, considerando los subespacios de los Ejemplos 1 y 2 de 4.1.2.

{

Ejemplo 1. Encontrar una base y la dimensión de U = A ∈ R 2×2 ; a11 =3a22 ∧ a21 + a12 = 0 subespacio de R 2×2 .

}

Por las condiciones dadas a11 =3a22 y a21 + a12 = 0 (esta equivale a a21 = −a12 ), es posible escribir

 a11 a12   3a22  =  a21 a22   −a12

a12   3 0  0 1  = a22 .   + a12 .   a22 , a12 ∈ R a22   −1 0  0 1

(*)

 3 0   0 1   El conjunto B=  ,    genera U y las matrices son linealmente independientes,  0 1   −1 0   luego B es una base de U y la dimU=2. Con (*) quedó probado que B genera U , la independencia lineal se muestra de inmediato como  k1 3 k2   0 0  3 0  0 1 0 0 sigue: k1.   + k2 .  =  ⇔  −k k  =   ⇒ k1 = k2 = 0 0 1  −1 0   0 0  1  0 0  2 .

Ejemplo 2. Encontrar una base y la dimensión de S = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) ; x1 − 2 x2 =0 ∧ x3 =5x4

}

subespacio de R 4 . . De las condiciones x1 − 2 x2 =0 y x3 =5x4 que definen a S, se puede escribir:

( x1, x2 , x3 , x4 ) = (2 x2 , x2 , 5x4 , x4 ) = x2 .(2,1,0,0) + x4 .(0,0,5,1), x2 , x4 ∈ R . Como x2 , x4 son libres (varían en todo R ) todo vector de S está generado por los vectores

(2,1,0,0) y (0,0,5,1) , y es inmediato probar que son independientes: c1.(2,1,0,0) + c2 .(0,0,5,1) = (0,0,0,0) c1.(2,1,0,0) + c2 .(0,0,5,1) = (2c1 ,c1 ,5c2 ,c2 ) = (0,0,0,0) ⇒ c1 = c2 = 0 Luego B= {(2,1,0,0), (0,0,5,1)} es una base del subespacio S y la dimS=2. …………………………………………………………………………………………………………. EJERCICIOS 1)

Establecer si (1, −2, −3, −3) es o no una combinación lineal de los vectores (0,1, 2, 3), (-1,1,1,0). ¿Esos 3 vectores son dependientes o independientes? Justificar la respuesta

8

2)

Determinar si los siguientes vectores de R3 son linealmente independientes o dependientes: a) (1, 2 , 4) (3, 6, 2) (0, 0, 1) b) (1, 2 , 0) (0, 6, 2) (4 , 8, 0) ¿En algún caso puede afirmar que formen una base de R3? Justificar.

3)

Determinar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes. a) b)

4)4.1)

u = (-4, 5), v = (2, 7) u = (3, 5, -2), v = (-3, 0, 4), w = (3, 1, 2).

Establecer si los siguientes conjuntos son o no subespacios del respectivo espacio vectorial indicado justificando la respuesta (probar las propiedades de subespacio en caso que sea, o bien dar un contraejemplo que muestre la propiedad que falla en caso que no lo sea).

4.2)En

los casos que sea subespacio encontrar una base del mismo.

a) R= {( x1 , x2 ) ∈ R3 ; x1 = 3x2 } b) W= {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; 2 x1 − 3x2 = 0 } c) d) e) f)

U= {( x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1.x2 = 9 } V= {( x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 = 5 } {( x1 , x2 ) ∈ R2 ; 3.x1.x2 = 0 } S= {( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 ; x3 = 2 x1 − x2 , x4 = 3 x2 }

g) T= {( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 ; x5 = x3 +7x4 , x1 + x2 = 0 } h) U= {( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x4 = x3 +x2 , x2 = x1 + 5 } i) V= {( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x1 + x2 + x3 = 0; x4 = 6.x1 } j) W= {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1 + x2 + x3 = 0 } k) Y = {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1 + 8 x3 = 0 } l) Z= {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1 + x2 = 0; x2 = 4.x1 } m) S´= {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1.x3 = 0 } n) T´= {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1 = 0 ; x2 + x3 = 5 }  a a12   2x2 o) M=  11  ∈ R ; a11 − a22 = 0 , a21 + a12 = 0    a21 a22  a12    a 2x2 p) N=  11  ∈ R ; a11 + a12 + a22 = 0 , a21 = 5a12   a21 a22    a q) O=  11  a21  a11  r) P=  a21  a  31  a s) Q=  11  a21

a12 a22

a13   2 x3  ∈ R ; a11 + a22 − a23 = 0 , a21 = 3.a13  a23  

 a12    3x2 a22  ∈ R ; a11 + a22 − 9a32 = 0 , a21 = 6a31   a32   a12   2x2  ∈ R ; a11. a12 = 0  a22  

9

5)

Probar que el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo A.x = 0 de m ecuaciones y n incógnitas, es un subespacio del espacio vectorial R n . (Ver Sistemas lineales homogéneos en el capítulo 2).

BIBLIOGRAFÍA 1- Serge Lang, Introducción al Álgebra Lineal, Ed Addison- Wesley Íberoamericana. 2- Ángel Rafael Larrotonda, Álgebra Lineal y Geometría, Ed Universitaria de Buenos Aires

(EUDEBA). 3- Howard Anton, Introducción al Álgebra Lineal, Ed Limusa, Grupo Noriega Editores, Argentina, Venezuela, México, Colombia, España. 4- Juan De Burgos, Álgebra Lineal, Ed McGraw-Hill Interamericana-española. 5- Seymour Lipschutz, Álgebra Lineal, Teoría y Problemas Resueltos, Serie de Compendios Schawn, Ed McGraw Hill de México. 6- Keneth Hoffman, Ray Kunze, Álgebra Lineal, Ed Prentice-Hall Internacional.

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