ALGEBRA LINEAL Sergio Solano Sabie´ Rango, Nulidad, Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

ESPACIOS VECTORIALES Sergio Stive Solano Sabie´ 1

Mayo de 2015

1

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Espacio nulo y nulidad de una matriz ALGEBRA LINEAL Sergio Solano Sabie´ Rango, Nulidad, Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

´ 1.1 Definicion Sea A una matriz de m × n y sea NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}. NA se denomina el espacio nulo de A y v(A) = dimNA se ´ al vector cero, denomina nulidad de A. Si NA contiene solo ´ entonces v(A) = 0. El espacio nulo de una matriz tambien se conoce como kernel. Ejemplo 1.1  Sea A =

   −1 1 2 −1 , NA esta´ generado por  1 , 2 −1 3 1

y v(A) = 1. Teorema 1.1 Sea A una matriz de n × n. Entonces A es invertible si y ´ si v(A) = 0 solo

Imagen de una matriz y rango de una matriz ALGEBRA LINEAL Sergio Solano Sabie´ Rango, Nulidad, Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

´ 1.2 (Imagen de una matriz ) Definicion Sea A una matriz de m × n. Entonces la imagen de A, denotada por Im(A), esta´ dada por Im(A) = {y ∈ Rm : Ax = y para algun ´ x ∈ Rn } Teorema 1.2 Sea A una matriz de m × n. Entonces la imagen de A, Im(A) es un subespacio de Rm . ´ 1.3 (Rango de una matriz) Definicion Sea A una matriz de m × n. Entonces el rango de A, denotado por ρ(A), esta´ dado por ρ(A) = dim Im(A)

Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz ALGEBRA LINEAL Sergio Solano Sabie´ Rango, Nulidad, Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

´ 1.4 (Espacio de los renglones y espacio de las Definicion columnas de una matriz) Sea A una matriz de m × n, sean {r1 , r2 , . . . , rm } los renglones de A y {c1 , c2 , . . . , cn } las columnas de A. Entonces se define RA = espacio de los renglones de A = gen{r1 , r2 , . . . , rm } CA = espacio de las columnas de A = gen{c1 , c2 , . . . , cn } RA es un subespacio de Rm y CA es un subespacio de Rn . Teorema 1.3 Para cualquier matriz A, CA = Im(A)

Ejemplos ALGEBRA LINEAL Sergio Solano Sabie´ Rango, Nulidad, Espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz



 1 2 −1 Sea A = . A es una matriz de 2 × 3. 2 −1 3 1 El espacio nulo de A, NA = {x ∈ R3 : Ax = 0}. Como    −1  se vio en el ejemplo 1, NA = gen  1    1 2 La nulidad de A, v(A) = dimNA = 1. 3 Se sabe que Im(A) = CA . Las primeras columnas de A son vectores linealmente independientes en R2 y, por lo tanto, forman una base para R2 . La Im(A) = CA = R2 . 4 ρ(A) = dim Im(A) = dimR2 = 2. 5 RA = gen{(1, 2, −1), (2, −1, 3)}. Como estos dos vectores son linealmente independiente, se ve que RA ´ dos de R3 . RA es un es un subespacio de dimension plano que pasa por el origen. 6 ρ(A) = dimRA = 2.

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Teorema 1.4 Si A es una matriz de m × n, entonces dimRA = dimCA = dim Im(A) = ρ(A). Ejemplo 1.2 Encuentre una base para   Im(A) y determine el rango de 2 −1 3 A =  4 −2 6  −6 3 −9 ´ Como r2 = 2r1 y r3 = −3r1 , se ve que ρ(A) = Solucion. dimRA = 1. As´ı, toda columna en CA es una base para CA = Im(A).

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Teorema 1.5 Si A es equivalente por renglones a B, entonces RA = RB , ρ(A) = ρ(B) y v(A) = v(B). Teorema 1.6 El rango de una matriz es igual al numero de pivotes en su ´ forma escolanada por renglones. Ejemplo 1.3 Determine el rango  y el espacio de los renglones de  1 −1 3 0 4 . A= 2 −1 −3 1

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Teorema 1.7 Sea A una matriz de m × n. Entonces ρ(A) + v(A) = n ´ la nulidad de A es igual al Es decir, el rango de A mas numero de columnas de A. ´ Ejemplo 1.4 

 1 −1 3 0 4  calcule v(A). Para A =  2 −1 −3 1

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Teorema 1.8 Sea A una matriz de n × n. Entonces A es invertible si y ´ si ρ(A) = n. solo Teorema 1.9 ´ si y El sistema Ax = b tiene cuando menos una solucion ´ ´ ´ solo si b ∈ CA . Esto ocurrira si y solo si A y la matriz aumentada (A, b) tienen el mismo rango. Ejemplo 1.5 Determine si el sistema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 2x1 + 7x2 + 12x3 = 40 tiene soluciones.

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