Tema 3

Espacios vectoriales reales. 3.1

Espacios vectoriales.

Definici´ on 3.1 – Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que recibe el nombre de “producto de vectores por n´ umeros reales” o “producto por escalares”, que verifica las siguientes propiedades: (1). u + v ∈ V ; ∀u, v ∈ V (2). u + v = v + u; ∀u, v ∈ V (3). u + (v + w) = (u + v) + w ; ∀u, v, w ∈ V (4). Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u; ∀u ∈ V (5). Para cada vector u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por −u, tal que u + (−u) = 0 (6). ku ∈ V ; ∀k ∈ IR y ∀u ∈ V (7). k(u + v) = ku + kv ; ∀k ∈ IR y ∀u, v ∈ V (8). (k + l)u = ku + lu; ∀k, l ∈ IR y ∀u ∈ V (9). (kl)u = k(lu); ∀k, l ∈ IR y ∀u ∈ V (10). 1u = u; ∀u ∈ V Por ser los escalares de IR, se dice que V es un IR-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre cuerpos de escalares distintos de IR, en particular, suelen ser interesantes los espacios vectoriales complejos, donde los escalares son de C. Proposici´ on 3.2 – Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: a) 0u = 0 b) k 0 = 0 c) (−1)u = −u d) ku = 0 ⇐⇒ k = 0 ´o u = 0 e) El vector cero de un espacio vectorial es u ´nico f) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es u ´nico

3.2

Subespacios vectoriales.

Definici´ on 3.3 – Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V si W es por si solo un espacio vectorial con las operaciones definidas en V . Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W : Preliminares.

35

3.3 Base y dimensi´on.

(1’). u + v ∈ W ; ∀u, v ∈ W (6’). ku ∈ W ; ∀u ∈ W y ∀k ∈ IR Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad u ´nica: ku + lv ∈ W ;

∀u, v ∈ W y ∀k, l ∈ IR.

Observaci´on: Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W . Definici´ on 3.4 – Se dice que un vector v ∈ V es una combinaci´ on lineal de los vectores v1 , v2 , . . . , vn si, y s´olo si, ∃c1 , c2 , . . . , cn ∈ IR tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn . Definici´ on 3.5 – Dado un conjunto de vectores S = {v1 , v2 , . . . , vk } de un espacio vectorial V , podemos considerar el subespacio vectorial m´as peque˜ no que contiene al conjunto de vectores S (ver ejercicios 3.4 y 3.5). Dicho subespacio, es el conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores del conjunto S , que se denomina subespacio lineal generado por S y se denota por lin S ´o lin{v1 , v2 , . . . , vk }, y se dir´a que v1 , v2 , . . . , vk generan lin S . Definici´ on 3.6 – Dado un conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vk } de vectores del espacio vectorial V , la ecuaci´on vectorial c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0 tiene al menos una soluci´on, a saber: c1 = c2 = · · · = ck = 0. Si esta soluci´on es u ´nica, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente dependientes). Se tiene la siguente caracterizaci´on para que un conjunto de dos o m´as vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 3.9): “Un conjunto de dos o m´as vectores es linealmente dependiente si, y s´olo si, al menos uno de los vectores es una combinaci´ on lineal de los restantes.”

3.3

Base y dimensi´ on.

Definici´ on 3.7 – Si V es un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vn } es un conjunto finito de vectores de V , diremos que S es una base de V si: a) S es linealmente independiente, y b) S genera a V . Se podr´ıa pensar que dos bases de un mismo espacio vectorial pudieran tener un n´ umero distinto de vectores, pero no es as´ı, como nos asegura el teorema siguiente Proposici´ on 3.8 – Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v1 , v2 , . . . , vm } de vectores de V , con m > n, es linealmente dependiente. Teorema de la base 3.9 – Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo n´ umero de elementos. Definici´ on 3.10 – Un espacio vectorial V se dice de dimensi´ on finita si contiene un conjunto finito de vectores que forman una base. Si no existe un conjunto de este tipo, se dice que V es de dimensi´on infinita. Preliminares.

36

3.4 Intersecci´on y suma de subespacios vectoriales.

Al espacio vectorial {0} le consideramos de dimensi´on finita, a´ un cuando no tiene conjuntos linealmente independientes. Si un espacio vectorial V es de dimensi´on finita, teniendo en cuenta el teorema de la base, diremos que la dimensi´ on de V , dim V , es el n´ umero de vectores de cualquier base de V . Proposici´ on 3.11 – Si V es un espacio vectorial de dimensi´on finita, con dim V = n, entonces: a) un conjunto de n vectores de V es base de V , si el conjunto es linealmente independiente o si genera a V . b) a un conjunto de r vectores de V linealmente independiente, con r < n, se le pueden agregar n − r vectores hasta formar una base de V .

3.4

Intersecci´ on y suma de subespacios vectoriales.

Definici´ on 3.12 – Si V es un espacio vectorial y E y F son dos subespacios de V , llamaremos intersecci´ on de E y F , y lo denotaremos por E ∩ F , al conjunto: E ∩ F = {u ∈ V : u ∈ E, y u ∈ F }. Como puede probarse facilmente, la intersecci´ on de dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V , tambi´en es un subespacio vectorial de V . En cambio la uni´on de dos subespacios no tiene porque serlo. Definici´ on 3.13 – Si V es un espacio vectorial y E y F son dos subespacios de V , llamaremos suma de E y F , y lo denotaremos por E + F , al conjunto: E + F = {u ∈ V : u = v + w; v ∈ E, w ∈ F }. Es f´acil ver que E + F es un subespacio de V , y adem´as se verifica que lin(E ∪ F ) = E + F , es decir, E + F es el menor subespacio que contiene a E ∪ F . Definici´ on 3.14 – Un espacio vectorial V se dice suma directa de los subespacios E y F , y se escribe V = E ⊕ F (tambi´en se dice que E y F son subespacios suplementarios de V ) si y s´olo si: V =E+F y E ∩ F = {0} Si se verifica que V = E + F , la segunda propiedad es equivalente a decir que cualquier vector u ∈ V puede escribirse de forma u ´nica como suma de un vector de E y otro de F . Teorema de Grassman 3.15 – Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y E y F subespacios de V , entonces: dim(E + F ) = dim E + dim F − dim(E ∩ F ).

3.5

El espacio vectorial IRn

Es frecuente representar el conjunto de los n´ umeros reales, IR, mediante el conjunto de puntos de una recta en la que se ha definido un sistema de referencia (un origen, un sentido, y una unidad de medida). Esta representaci´ on nos permite identificar gr´aficamente cada n´ umero real con un punto de la recta, y viceversa. Tambi´en es conocida la representaci´ on de IR2 = IR × IR mediante el conjunto de los puntos de un plano en el que se ha definido un sistema de coordenadas cartesianas (dos rectas perpendiculares entre s´ı en las que se definen dos sistemas de referencia que tienen en com´ un el punto Preliminares.

37

3.5 El espacio vectorial IRn

origen, y la unidad de medida). En este caso, se identifican pares de n´ umeros reales, (x, y), con puntos del plano. An´alogamente se identifican ternas de n´ umeros reales (x, y, z) con puntos del espacio en el que se ha definido un sistema de coordenadas cartesianas (tres rectas perpendiculares entre s´ı . . . ). De esta forma se establece una biyecci´ on entre el conjunto IR3 = IR × IR × IR y el conjunto de los puntos del espacio tridimensional. Aunque no sea identificable con una representaci´ on gr´afica, nada impide considerar nuplas de n´ umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ), con n ≥ 4. De este modo, llamaremos espacio ndimensional, IRn , al conjunto IRn = IR × IR × · · · × IR = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ IR; ∀i = 1, . . . , n.}. Utilizaremos la notaci´on x para designar m´as brevemente al punto (x1 , . . . , xn ) de IRn . En este caso, al n´ umero real xi lo llamaremos coordenada o componente i-´ esima del punto o vector x. Est´a claro que lo m´as frecuente es trabajar con IR2 ´ o IR3 , pero tambi´en es cierto que los casos en que n > 3 se presentan con suficiente frecuencia en la pr´actica como para justificar su estudio. Nos encontramos con un espacio n-dimensional cada vez que consideremos un objeto cuyo estudio requiera contemplar n aspectos distintos susceptibles de variaci´ on. Definici´ on 3.16 – Diremos que dos puntos x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) de IRn son iguales, y escribiremos x = y si y s´olo si xi = yi ; ∀i = 1, . . . , n. Definici´ on 3.17 – Llamaremos suma de dos puntos x, y ∈ IRn , y lo representaremos por x + y , al punto: x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) Definici´ on 3.18 – Llamaremos producto del punto x ∈ IRn por el n´ umero real λ ∈ IR, y lo denotaremos por λx, al punto: λx = λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ) Estas dos operaciones dotan a IRn de una estructura de espacio vectorial. Por esta raz´on, llamaremos tambi´en vectores a los puntos de IRn . El espacio vectorial IRn tiene dimensi´on n, y cualquier vector puede escribirse de la forma (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, . . . , 0) + · · · + xn (0, 0, . . . , 1). El conjunto de los vectores B = {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)}, se denomina base can´ onica, y es la base m´as sencilla y c´omoda, en general. Evidentemente, existen otras operaciones que pueden dotar a IRn de estructura de espacio vectorial, pero las aqu´ı definidas son las m´as usuales ya que supone trabajar con ellas a nivel geom´etrico en los casos IR2 y IR3 . Otros ejemplos de espacios vectoriales son: a) El conjunto de todas las matrices de tama˜ no n × m con elementos reales, junto con las operaciones de suma de matrices y producto de n´ umeros reales por matrices, ya indicadas. b) El conjunto de las funciones f : IR −→ IR con las operaciones (i) (f + g)(x) = f (x) + g(x); ∀f, g: IR −→ IR (ii) (kf )(x) = kf (x); ∀k ∈ IR y ∀f : IR −→ IR Preliminares.

38

3.6 Espacios de las filas y las columnas de una matriz. Coordenadas.

3.6

Espacios de las filas y las columnas de una matriz. Coordenadas.

Definici´ on 3.19 – Consideremos la matriz Am×n ,   

A=  

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ...

a1n a2n .. .

... am1 am2 . . . amn

   .  

Los m vectores r1 = (a11 , . . . , a1n ), r2 = (a21 , . . . , a2n ), . . . , rm = (am1 , . . . , amn ) ∈ IRn , se denominan vectores fila de A y el subespacio vectorial de IRn generado por ellos, Ef (A) = lin{r1 , r2 , . . . , rm }, espacio de las filas de A. Los n vectores c1 = (a11 , . . . , am1 ), c2 = (a12 , . . . , am2 ), . . . , cn = (a1n , . . . , amn ) ∈ IRm , se denominan vectores columna de A y el subespacio vectorial de IRm generado por ellos, Ec (A) = lin{c1 , c2 , . . . , cn }, espacio de las columnas de A. Proposici´ on 3.20 – Si A es una matriz de tama˜ no m × n, entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A. Corolario 3.21 – Sea A una matriz, entonces: a) Los vectores no nulos en la forma escalonada de la matriz A, forman una base del espacio de las filas de A. b) Los vectores no nulos en la forma escalonada de la matriz At , forman una base del espacio de las columnas de A. Teorema 3.22 – Sea A una matriz de tama˜ no m × n, entonces: dim(Ef (A)) = dim(Ec (A)). Demostraci´on: El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(A) = rg(At ), y que el rango de una matriz coincide con el n´ umero de vectores no nulos en la forma escalonada, as´ı como el resultado anterior. Definici´ on 3.23 – Dado un espacio vectorial V de dimensi´on finita y B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V , para cada vector v ∈ V existen unos u ´nicos n´ umeros reales c1 , c2 , . . . , cn tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn . Estos n´ umeros se denominan coordenadas de v relativas a la base B . El vector de coordenadas de v relativo a la base B se denota mediante (v)B y es el vector de IRn : (v)B = (c1 , c2 , . . . , cn ). La matriz de coordenadas de a la base  v relativas  c1    c2  t  B se denota por [v]B y es la matriz n × 1 definida por: [v]B = (v)B =  .  .  ..  cn

3.7

Cambios de base.

Definici´ on 3.24 – Sean B = {u1 , u2 , . . . , un } y B 0 = {v1 , v2 , . . . , vn } son bases de un espacio vectorial V . Recibe el nombre de matriz de transici´ on o matriz de cambio de la base B a la base B 0 , la matriz de dimensiones n × n, que por columnas es ³

P =

´

[u1 ]B 0

[u2 ]B 0

· · · [un ]B 0

,

es decir, la columna i-´esima est´a constituida por las coordenadas del vector ui en la base B 0 . Preliminares.

39

3.8 Espacios vectoriales con producto interior.

Proposici´ on 3.25 – Sea P la matriz de paso de una base B en otra base B 0 para un espacio vectorial V . Entonces: a) ∀x ∈ V se tiene que [x]B 0 = P · [x]B . b) P es inversible y su inversa, P −1 , es la matriz de paso de la base B 0 a la base B .

3.8 3.8.1

Espacios vectoriales con producto interior. Producto interior. Norma. Distancia

Definici´ on 3.26 – Un producto interior en un espacio vectorial real V es una funci´on que a cada par de vectores u, v ∈ V le asocia un n´ umero real, que denotaremos por hu, vi, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: a) hu, vi = hv, ui; ∀u, v ∈ V . b) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi; ∀u, v, w ∈ V . c) hku, vi = khu, vi; ∀u, v ∈ V y ∀k ∈ IR. d) hu, ui ≥ 0; ∀u ∈ V y hu, ui = 0 ⇐⇒ u = 0 . Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: a) h0, ui = 0 b) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi c) hu, kvi = khu, vi A partir de un producto interior sobre un espacio vectorial V se definen los conceptos de norma, distancia y ´angulo. Definici´ on 3.27 – Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma o longitud de un vector v ∈ V se denota mediante kvk y se define como q

kvk = + hv, vi. La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v) y se define como q

d(u, v) = ku − vk = + hu − v, u − vi. Desigualdad de Cauchy-Schwarz 3.28 – Para todo u, v ∈ V , espacio con producto interior, se tiene que hu, vi2 ≤ kuk2 kvk2 . Definici´ on 3.29 – Si u y v son vectores, distintos de cero, de un espacio con producto interior, entonces, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que −1 ≤

hu, vi ≤1 kuk kvk

y por tanto existe un u ´nico ´ angulo, θ , tal que cos θ =

Preliminares.

hu, vi , con 0 ≤ θ ≤ π kuk kvk

40

3.8 Espacios vectoriales con producto interior.

Definici´ on 3.30 – En un espacio vectorial con producto interior, V , dos vectores u y v se dicen ortogonales si hu, vi = 0. Adem´as, si u ∈ V es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que u es ortogonal a W . Propiedades b´ asicas de la norma 3.31 – a) kuk ≥ 0; ∀u ∈ V b) kuk = 0 ⇐⇒ u = 0 c) kkuk = |k| kuk; ∀u ∈ V y ∀k ∈ IR d) ku + vk ≤ kuk + kvk; ∀u, v ∈ V Propiedades b´ asicas de la distancia 3.32 – a) d(u, v) ≥ 0; ∀u, v ∈ V b) d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v c) d(u, v) = d(v, u); ∀u, v ∈ V d) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v); ∀u, v, w ∈ V

3.8.2

El espacio eucl´ıdeo n-dimensional IRn

Sobre el espacio vectorial IRn definimos la siguiente funci´on IRn × IRn −→ IR (x, y) −→ x · y = x1 y1 + · · · + xn yn =

n X

xi yi

i=1

siendo x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ). Como puede verse f´acilmente dicha funci´on es un producto interior, el que se conoce como producto interior eucl´ıdeo. Este producto interior da lugar a las conocidas como norma y distancia eucl´ıdeas. Se llama espacio eucl´ıdeo n-dimensional a IRn con las operaciones de suma, producto por escalares y producto interior definidos. El producto interior eucl´ıdeo, aqu´ı definido, constituye una generalizaci´on a IRn del producto escalar definido, y bien conocido, en IR2 y IR3 . Teorema general de Pit´ agoras 3.33 – Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces ku + vk2 = kuk2 + kvk2 . Este resultado de f´acil demostraci´on, se reduce en IR2 con el producto interior eucl´ıdeo, al conocido teorema de Pit´agoras.

3.8.3

Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt

Definici´ on 3.34 – Sean V un espacio vectorial de dimensi´on n con producto interior y B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . Se dice que B es una base ortonormal de V si kvi k = 1, ∀i = 1, . . . , n y hvi , vj i = 0; ∀i, j = 1, . . . , n con i 6= j . La ventaja de trabajar con bases ortonormales es muy grande como ya es conocido en IR2 ´o IR3 . Preliminares.

41

3.8 Espacios vectoriales con producto interior.

Teorema 3.35 – Si B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base ortonormal para un espacio, V , con producto interior, entonces ∀v ∈ V se tiene que: v = hv, v1 iv1 + hv, v2 iv2 + · · · + hv, vn ivn , es decir, (v)B = (hv, v1 i, hv, v2 i, . . . , hv, vn i). Teorema 3.36 – Si S = {v1 , v2 , . . . , vk } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces S es linealmente independiente. Teorema 3.37 – Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B a otra base ortonormal B 0 , entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P t = P −1 ). Definici´ on 3.38 – Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {v1 , v2 , . . . , vk } una base ortonormal de W . Para cada v ∈ V , llamaremos proyecci´ on ortogonal de v sobre W al vector de W ProyW v = w1 = hv, v1 iv1 + hv, v2 iv2 + · · · + hv, vk ivk . Al vector v − ProyW v se le llama componente ortogonal de v sobre W . Teorema 3.39 – Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {v1 , v2 , . . . , vk } una base ortonormal de W , entonces para cada v ∈ V , el vector v − ProyW v es ortogonal a cada vector de W . Proceso de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt 3.40 – Sean V un espacio vectorial con producto interior de dimensi´on finita y B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . Vamos a describir un proceso para conseguir a partir de la base B una base ortonormal B 0 = {u1 , u2 , . . . , un }. Este proceso de ortonormalizaci´on es ´el de Gram-Schmidt y se basa en el teorema anterior. Demostraci´on: 1 a etapa.- Como v1 6= 0 por ser de la base B , el vector u1 =

v1 tiene norma 1. kv1 k

2 a etapa.- Sea W1 = lin{u1 }, por el teorema anterior, el vector v2 − ProyW1 v2 es ortogonal a W1 , en particular a u1 , y como es distinto del vector 0 se tiene que v2 − ProyW1 v2 v2 − hv2 , u1 iu1 ° u2 = ° °v2 − Proy v2 ° = kv2 − hv2 , u1 iu1 k W1 es ortogonal a u1 y tiene norma 1. En efecto, si fuera v2 − hv2 , u1 iu1 = 0 , entonces 0 = v2 − hv2 , u1 iu1 = v2 − hv2 , u1 i

v1 = λ1 v1 + λ2 v2 , kv1 k

hv2 , v1 i y λ2 = 1 y, en consecuencia, {v1 , v2 } ser´ıa un conjunto linealmente dekv1 k pendiente, lo que es absurdo por ser B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . para λ1 = −

3 a etapa.- Sea W2 = lin{u1 , u2 }, aplicando el teorema anterior, sabemos que el vector v3 − ProyW2 v3 es ortogonal a W2 , en particular a u1 y u2 , y como es distinto del vector 0 , se tiene que v3 − ProyW2 v3 v3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 ° u3 = ° °v3 − Proy v3 ° = kv3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 k W2 Preliminares.

42

3.9 Ejercicios.

es ortogonal a u1 y u2 , y tiene norma 1. En efecto, si fuera v3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 = 0 , entonces 0 = v3 − hv3 , u1 iu1 − hv3 , u2 iu2 = v1 v2 − hv2 , u1 iu1 = v3 − hv3 , u1 i − hv3 , u2 i = λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 ; kv1 k kv2 − hv2 , u1 iu1 k y como λ3 = 1, {v1 , v2 , v3 } ser´ıa un conjunto linealmente dependiente, lo que es absurdo por ser B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V . Continuando con el proceso se va construyendo un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B 0 = {u1 , u2 , . . . , un }. Dado que dim V = n y que todo conjunto ortonormal es linealmente independiente, se concluye que B 0 es una base ortonormal de V .

3.9

Ejercicios.

3.1 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a) b) c) d)

IR2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) y k(x, y) = (2kx, 2ky). A = {(x, 0) : x ∈ IR} con las operaciones usuales de IR2 . IR2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 + 1, y + y 0 + 1) y k(x, y) = (kx, ky). El conjunto de los n´ umeros reales estr´ıctamente positivos, IR+ − {0}, con las opera0 0 ciones: x + x = xx y kx = xk .

3.2 ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de IR3 ´ o IR4 ? a) b) c) d)

Todos Todos Todos Todos

los los los los

vectores vectores vectores vectores

de de de de

la la la la

forma forma forma forma

(a, 1, 1). (a, b, c) con b = a + c. (a, b, c, d) con a + 2d = 7. (a, b, c, d) con ba = 0.

3.3 Sean v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3, −1, 5, 2) y v3 = (−1, 0, 2, 1). ¿Cu´ales de los vectores (2, 3, −7, 3), (0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1) y (−4, 6, −13, 4), est´an en lin{v1 , v2 , v3 }? 3.4 Sea V un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vk }. Probar que lin S es un subespacio vectorial de V . 3.5 Sea V un espacio vectorial y S = {v1 , . . . , vk }. Probar que si W es un subespacio vectorial de V que contiene a los vectores de S , entonces lin S ⊆ W . 3.6 Sean V un espacio vectorial y E y F dos subespacios de V . Probar que E ∩ F y E + F son subespacios de V . −1 −1 −1 3.7 ¿Para qu´e valores reales de λ los vectores v1 = (λ, −1 2 , 2 ) v2 = ( 2 , λ, 2 ) y v3 = 3 −1 −1 ( 2 , 2 , λ) forman un conjunto linealmente dependiente en IR ?

3.8 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u son tambi´en linealmente independientes. 3.9 Probar que si los vectores v1 , . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinaci´ on lineal de los restantes. 3.10 Determinar la dimensi´on de los siguientes subespacios de IR4 : a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0). b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b. c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d.

Preliminares.

43

3.9 Ejercicios.

3.11 Demostrar que los vectores soluci´on de un sistema no homog´eneo compatible, AX = B , de m ecuaciones con n inc´ognitas no forman un subespacio de IRn . ¿Qu´e ocurre si el sistema es homog´eneo, es decir, si B = 0? 3.12 Considerar en IR4 los siguientes conjuntos de vectores: A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)} a) b) c) d) e)

Hallar Hallar Hallar Hallar Hallar

B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)}

las dimensiones de lin(A) y de lin(B). las ecuaciones param´etricas de lin(A) y de lin(B). una base de lin(A) + lin(B). las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B). la dimensi´on de lin(A) ∩ lin(B).

3.13 Consideremos en el espacio vectorial IR3 la base B = {u1 , u2 , u3 }. Sea E el subespacio engendrado por los vectores v1 = u1 + 3u3 , v2 = 2u1 − 3u2 + u3 , v3 = 4u1 − 3u2 + 7u3 . Sea F el subespacio engendrado por los vectores w1 = u1 + u2 + u3 , w2 = 2u1 + 3u2 + 4u3 , w3 = 3u1 + 4u2 + 5u3 . Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F . 3.14 Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden sea E Ã 2 sobre IR y ! a b+c el subconjunto de M2×2 formado por las matrices de la forma con −b + c a a, b, c ∈ IR. a) Demostrar que E es un subespacio vectorial. Ã

b) Probar que las matrices A1 =

1 0 0 1

!

, A2 =

Ã

0 1 −1 0

!

Ã

, A3 =

0 1 1 0

!

, forman

una base de E . 3.15 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensi´on n. Demostrar que el conjunto {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V si, y s´olo si el conjunto {[v1 ]B , [v2 ]B , . . . , [vn ]B } es una base de IRn . 3.16 Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). Determinar si hu, vi = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3 define un producto interior en IR3 . 3.17 Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores v1 , v2 , . . . , vk entonces es ortogonal a lin{v1 , v2 , . . . , vk }. 3.18 a) Encontrar dos vectores de IR2 con norma eucl´ıdea uno y cuyo producto interior eucl´ıdeo con (−2, 4) sea cero. b) Demostrar que hay un n´ umero infinito de vectores en IR3 con norma eucl´ıdea uno y cuyo producto interior eucl´ıdeo con (−1, 7, 2) es cero. 3.19 Demostrar que si V es un espacio con producto interior, entonces ∀u, v ∈ V , hu, vi =

´ 1³ ku + vk2 − ku − vk2 4

3.20 Sea {v1 , v2 , . . . , vk } una base del espacio vectorial V con producto interior. Demostrar que 0 es el u ´nico vector en V que es ortogonal a todos los vectores de la base. −1 3.21 Sean a = ( √15 , √ ) y b = ( √230 , √330 ). Demostrar que {a, b} es ortonormal si IR2 tiene el 5 producto interior hu, vi = 3u1 v1 + 2u2 v2 donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ), y que no lo es si IR2 tiene el producto interior eucl´ıdeo.

Preliminares.

44

3.9 Ejercicios.

3.22 Considera IR3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base {u1 , u2 , u3 } en una base ortonormal. a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 1, 0), u3 = (1, 2, 1). b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (3, 7, −2), u3 = (0, 4, 1). 3.23 Considera IR3 con el producto interior hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 . Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base formada por los vectores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0) y u3 = (1, 0, 0) en una base ortonormal. 3.24 Sea {v1 , v2 , v3 } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Demostrar que si w es un vector de V , entonces: kwk2 = hw, v1 i2 + hw, v2 i2 + hw, v3 i2 3.25 Tomemos en IR4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en la forma w = w1 + w2 donde, w1 est´a en el subespacio W generado por los vectores u1 = (−1, 0, 1, 2) y u2 = (0, 1, 0, 1), y w2 es ortogonal a W . 3.26 Suponer que IR4 tiene el producto interior euclideo. a) Hallar un vector ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) y u4 = (0, 0, 0, 1), y que forme ´angulos iguales con los vectores u2 = (0, 1, 0, 0) y u3 = (0, 0, 1, 0). b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u1 y a u2 , tal que el coseno del ´angulo entre x y u3 sea el doble del coseno del ´angulo entre x y u4 . 3.27 Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que si a1 , a2 , . . . , an son n´ umeros reales positivos, entonces µ

(a1 + a2 + · · · + an )

1 1 1 + + ··· + a2 a2 an

¶

≥ n2

3.28 Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) al subespacio generado por los vectores v1 = (1, 1, 1, 0) y v2 = (1, 1, 0, 0). 3.29 Dados los vectores x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) de IR3 , demostrar que la expresi´on hx, yi = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 define un producto interior. Encontrar una base {u1 , u2 , u3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u2 y u3 tengan igual direcci´on y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. 3.30 En una cierta base {u1 , u2 , u3 , u4 } de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas (3, 1, 2, 6). Hallar las coordenadas de W en otra base {v1 , v2 , v3 , v4 } cuyos vectores verifican que v1 = u1 + u2 , v2 = 2u4 − u1 , v3 = u2 − u3 , v4 = 2u1 − u2 . 3.31 En IR3 se consideran las bases B = {e1 , e2 , e3 } (la base can´onica) y B 0 = {v1 , v2 , v3 } donde v1 = (2, 0, 0), v2 = (0, −1, 2) y v3 = (0, 0, −3). Hallar las coordenadas respecto de la base B 0 del vector x = 4e1 + e2 − 5e3 . 3.32 Se consideran en IR3 las bases B = {u1 , u2 , u3 } y B 0 = {v1 , v2 , v3 }, siendo u1 = (−3, 0, −3), u2 = (−3, 2, −1), u3 = (1, 6, −1) y v1 = (−6, −6, 0), v2 = (−2, −6, 4), v3 = (−2, −3, 7). a) Hallar la matriz de paso de B a B 0 . b) Calcular la matriz de coordenadas, [w]B , siendo w = (−5, 8, −5). c) Calcular [w]B 0 de dos formas diferentes 3.33 Sea V el espacio generado por f1 (x) = sen(x) y f2 (x) = cos(x). Preliminares.

45

3.9 Ejercicios.

a) b) c) d)

Demostrar que g1 (x) = 2 sen x + cos x y g2 = 3 cos x forman una base para V . Hallar la matriz de transici´on de B = {f1 , f2 } a B 0 = {g1 , g2 }. Calcular la matriz de coordenadas, [h]B 0 , donde h(x) = 2 sen x − 5 cos x. Calcular la matriz de transici´on de B 0 a B .

3.34 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y s´olo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en IRn .

Preliminares.

46