Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales ´ ˜ V. Veronica Briceno

noviembre 2013

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales ´ Lineal Combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales ´ Lineal Combinacion Dependencia e Independencia Lineal

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales ´ Lineal Combinacion Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales ´ Lineal Combinacion Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado ´ Bases y Bases Canonicas

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ En esta Presentacion...

´ veremos: En esta Presentacion Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales ´ Lineal Combinacion Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado ´ Bases y Bases Canonicas ´ Dimension.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Consideramos... ´ Definicion: Sea V un conjunto no vac´ıo y sea K un cuerpo (los cuerpos que ´ el cuerpo de los numeros consideraremos en este curso seran reales ´ R o el cuerpo de los numeros complejos C o inclusive el cuerpo de los ´ numeros racionales Q ´

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Consideramos... ´ Definicion: Sea V un conjunto no vac´ıo y sea K un cuerpo (los cuerpos que ´ el cuerpo de los numeros consideraremos en este curso seran reales ´ R o el cuerpo de los numeros complejos C o inclusive el cuerpo de los ´ numeros racionales Q ´ Obs: Supongamos que en V se han definido dos operaciones, que verifican: ´ + ADICION u, v ∈ V entonces w = u + v ∈ V PRODUCTO POR ESCALAR · u ∈ V , α ∈ K entonces w = α · v ∈ V ´ y producto por escalar. Esto es, V es cerrado para la adicion

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V α(u + v ) = αu + αv

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V α(u + v ) = αu + αv (α + β)u = αu + βu

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V α(u + v ) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α · β) · u = α(β · u)

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V α(u + v ) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α · β) · u = α(β · u) 1·u =u

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V α(u + v ) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α · β) · u = α(β · u) 1·u =u

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Espacios Vectoriales (V , +, ·) es un Espacio Vectorial sobre K, si ∀u, v , w ∈ V , ∀α, β ∈ K. Se verifica: u+v =v +u u + (v + w) = (u + v ) + w ∃0V ∈ V tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0V α(u + v ) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α · β) · u = α(β · u) 1·u =u Los elementos de V se llaman vectores. Los elementos de K se llaman escalares. ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R.

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C.

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C. (Qn , +, ·) es un espacio vectorial sobre Q.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C. (Qn , +, ·) es un espacio vectorial sobre Q. (Rn [x], +, ·) es un espacio vectorial sobre R.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C. (Qn , +, ·) es un espacio vectorial sobre Q. (Rn [x], +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Mn×m (R), +, ·) es un espacio vectorial sobre R.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C. (Qn , +, ·) es un espacio vectorial sobre Q. (Rn [x], +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Mn×m (R), +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (C([a, b]), +, ·) es un espacio vectorial sobre R.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: (Rn , +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Cn , +, ·) es un espacio vectorial sobre C. (Qn , +, ·) es un espacio vectorial sobre Q. (Rn [x], +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (Mn×m (R), +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (C([a, b]), +, ·) es un espacio vectorial sobre R. (C n ([a, b]), +, ·) es un espacio vectorial sobre R.

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Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial.

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Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 ∈ / V.

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Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 ∈ / V. ´ 0V no pertenece a V . ademas, (R, +, ·) no es un espacio vectorial sobre C.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 ∈ / V. ´ 0V no pertenece a V . ademas, (R, +, ·) no es un espacio vectorial sobre C.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

V = {1} no es un espacio vectorial. pues 1 + 1 = 2 ∈ / V. ´ 0V no pertenece a V . ademas, (R, +, ·) no es un espacio vectorial sobre C. porque R debe ser cerrado para el producto por escalar. Sea λ = i, entonces λx = ix ∈ / R. (C, +, ·) es un espacio vectorial sobre R.

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Ejercicios Propuestos:

Demostrar que: (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (αx, 0).

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Demostrar que: (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (αx, 0). (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (α2 x, α2 y).

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Demostrar que: (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (αx, 0). (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (α2 x, α2 y). (N, +, ·) no es un espacio vectorial sobre R.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Demostrar que: (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (αx, 0). (R2 , +, ·) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y ) = (α2 x, α2 y). (N, +, ·) no es un espacio vectorial sobre R. (N, +, ·) no es un espacio vectorial sobre N.

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´ Proposicion

Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0V es unico. ´

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0V es unico. ´ Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico. ´

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0V es unico. ´ Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico. ´ ´ ´ para la adicion ´ de vectores. Es valida la ley de cancelacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0V es unico. ´ Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico. ´ ´ ´ para la adicion ´ de vectores. Es valida la ley de cancelacion ∀u ∈ V : 0 · u = 0V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0V es unico. ´ Para cada v ∈ V el inverso aditivo −v es unico. ´ ´ ´ para la adicion ´ de vectores. Es valida la ley de cancelacion ∀u ∈ V : 0 · u = 0V ∀α ∈ K, ∀u ∈ V : (−α)v = −(αv ).

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Sub Espacio Vectorial

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V , S 6= ∅. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) es un espacio vectorial sobre K.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Sub Espacio Vectorial

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V , S 6= ∅. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) es un espacio vectorial sobre K. ´ claramente definidas, entonces Si las operaciones + y · estan escribiremos V en lugar de (V , +, ·)

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Sub Espacio Vectorial

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V , S 6= ∅. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) es un espacio vectorial sobre K. ´ claramente definidas, entonces Si las operaciones + y · estan escribiremos V en lugar de (V , +, ·) ´ S≤V Notacion:

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Teorema

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V y S 6= ∅.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Teorema

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V y S 6= ∅. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Teorema

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V y S 6= ∅. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: 1

u, v ∈ S entonces u + v ∈ S

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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10 / 47

Teorema

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ⊆ V y S 6= ∅. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: 1

u, v ∈ S entonces u + v ∈ S

2

u ∈ S, α ∈ K entonces α · v ∈ S

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Observacion

Todo espacio vectorial tiene en forma trivial dos sub espacios vectoriales: {0V } y V .

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, W ≤ R2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, W ≤ R2 W = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xn = 0}, W ≤ Rn

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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12 / 47

Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, W ≤ R2 W = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xn = 0}, W ≤ Rn W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α(1, 2), α ∈ R}, W ≤ R2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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12 / 47

Ejemplos:

Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, W ≤ R2 W = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xn = 0}, W ≤ Rn W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α(1, 2), α ∈ R}, W ≤ R2 W = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y = 1} no es un s.e.v. de R3

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Verificar que: a) S  ≤ M2×2(R) para:  a b S= ∈ M2×2 (R) : a = b, c = −d c d    a b b)T  M2×2 (R) donde: T = ∈ M2×2 (R) : a = 1 c d

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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13 / 47

Ejercicios Propuestos:

Verificar que: a) S  ≤ M2×2(R) para:  a b S= ∈ M2×2 (R) : a = b, c = −d c d    a b b)T  M2×2 (R) donde: T = ∈ M2×2 (R) : a = 1 c d Sea el subespacio vectorial T = {(x + y + 2z, 3x + y, 2x + y + z) : x, y, z ∈ R ,¿ T ≤ S ?

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W1 = {f ∈ F : f (3) = 0} W2 = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)} W3 = {f ∈ F : f (2) = 1 + f (−2)} son sub espacio vectorial de F.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W1 = {f ∈ F : f (3) = 0} W2 = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)} W3 = {f ∈ F : f (2) = 1 + f (−2)} son sub espacio vectorial de F. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden n es un s.e.v. de las matrices de orden n.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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14 / 47

Ejercicios Propuestos:

Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W1 = {f ∈ F : f (3) = 0} W2 = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)} W3 = {f ∈ F : f (2) = 1 + f (−2)} son sub espacio vectorial de F. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden n es un s.e.v. de las matrices de orden n. n ≥ m =⇒ C n [a, b] ≤ C m [a, b]

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1 , W2 ≤ V . Luego: W1 ∩ W2 ≤ V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1 , W2 ≤ V . Luego: W1 ∩ W2 ≤ V W1 + W2 ≤ V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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15 / 47

´ Proposicion

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1 , W2 ≤ V . Luego: W1 ∩ W2 ≤ V W1 + W2 ≤ V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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15 / 47

´ Proposicion

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1 , W2 ≤ V . Luego: W1 ∩ W2 ≤ V W1 + W2 ≤ V donde: W1 + W2 = {u + v : u ∈ W1 , v ∈ W2 }

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Proposicion

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1 , W2 ≤ V . Luego: W1 ∩ W2 ≤ V W1 + W2 ≤ V donde: W1 + W2 = {u + v : u ∈ W1 , v ∈ W2 } ´ W1 ∩ W2 = {0V } entonces este conjunto se llama Obs: Si ademas, suma directa y se denota: W1 ⊕ W2 .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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15 / 47

Ejercicios Propuestos

En R2 , sea: W1 = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} W2 = {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0} Mostrar que W1 ∪ W2 no es un s.e.v. en R2 .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos

En R2 , sea: W1 = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} W2 = {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0} Mostrar que W1 ∪ W2 no es un s.e.v. en R2 . Demostrar que: W1 ∪ W2 ≤ V ssi W1 ⊂ W2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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16 / 47

Ejercicios Propuestos

En R2 , sea: W1 = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} W2 = {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0} Mostrar que W1 ∪ W2 no es un s.e.v. en R2 . Demostrar que: W1 ∪ W2 ≤ V ssi W1 ⊂ W2 Sea S = {A ∈ Mn×m (R) : A = At }; T = {A ∈ Mn×m (R) : A = −At } Probar que: a) S, T ≤ Mn×m (R) b) S ⊕ T = Mn×m (R)

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos

Considere los subespacios vectoriales de R3 : E = {(x, y, 0) : x, y ∈ R} F = {(0, 0, z) : z ∈ R} G = {(0, y , z) : y , z ∈ R} Determine: E − F , E − G, G − F , E + F , E + G , G + F . ´ geometrica ´ Haga una descripcion y dibuje cada uno de estos subespacios.

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´ Lineal Combinacion

´ Definicion:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Lineal Combinacion

´ Definicion:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Lineal Combinacion

´ Definicion: Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ..., n donde V es un espacio vectorial.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Lineal Combinacion

´ Definicion: Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ..., n donde V es un espacio vectorial. ´ Entonces, la expresion:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Lineal Combinacion

´ Definicion: Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ..., n donde V es un espacio vectorial. ´ Entonces, la expresion: n X αi ui i=1

´ Lineal de los vectores u1 , u2 , ..., un . se llama Combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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´ Lineal Combinacion

´ Definicion: Sean αi ∈ K y ui ∈ V , i = 1, ..., n donde V es un espacio vectorial. ´ Entonces, la expresion: n X αi ui i=1

´ Lineal de los vectores u1 , u2 , ..., un . se llama Combinacion ´ Observacion: ´ lineal de cualquier conjunto de vectores. 0V es combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos: ´ lineal de los vectores El vector (1, 2, 3) ∈ R3 , es una combinacion (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) ⇒ α = 1, β = 2, γ = 3.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

19 / 47

Ejemplos: ´ lineal de los vectores El vector (1, 2, 3) ∈ R3 , es una combinacion (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) ⇒ α = 1, β = 2, γ = 3. ´ lineal de los vectores El vector (1, 2, 3) ∈ R3 , es combinacion (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) Debemos encontrar α, β, γ ∈ R tal que: 1=α+β+γ 2=β+γ 3=γ Por tanto, γ = 3 , β = −1 y α = −1. ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

19 / 47

´ Observacion

Notar que... ´ lineal. No todos los vectores son combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

20 / 47

´ Observacion

Notar que... ´ lineal. No todos los vectores son combinacion Ejemplo: ´ lineal de (1, 1, 0) y (1, 1, 1). (1, 2, 3) no es combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

20 / 47

Ejercicios Propuestos: ´ lineal de 1 − x, 1 + x 2 Escribir el polinomio x, como combinacion 2 yx −x .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

21 / 47

Ejercicios Propuestos: ´ lineal de 1 − x, 1 + x 2 Escribir el polinomio x, como combinacion 2 yx −x . ´ lineal de 1, Escribir el polinomio 1 − 2x + 3x 2 , como combinacion 1 + x y 1 + x + x 2.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

21 / 47

Ejercicios Propuestos: ´ lineal de 1 − x, 1 + x 2 Escribir el polinomio x, como combinacion 2 yx −x . ´ lineal de 1, Escribir el polinomio 1 − 2x + 3x 2 , como combinacion 1 + x y 1 + x + x 2. Considere los vectores u = (2, 1, −2), v = (1, −1, 1) ∈ R3 . Escriba, si es posible, los vectores a = (−4, −5, 8) y ´ lineal de u y v . Determine los b = (4, 1, −5) como combinacion valores de x para los cuales el vector (x, 4, −7) es una ´ lineal de u y v. combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

21 / 47

Ejercicios Propuestos: ´ lineal de 1 − x, 1 + x 2 Escribir el polinomio x, como combinacion 2 yx −x . ´ lineal de 1, Escribir el polinomio 1 − 2x + 3x 2 , como combinacion 1 + x y 1 + x + x 2. Considere los vectores u = (2, 1, −2), v = (1, −1, 1) ∈ R3 . Escriba, si es posible, los vectores a = (−4, −5, 8) y ´ lineal de u y v . Determine los b = (4, 1, −5) como combinacion valores de x para los cuales el vector (x, 4, −7) es una ´ lineal de u y v. combinacion Dados u1 = (1, 2, α, 1), u2 = (α, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, β, 0) ∈ R4 , determine los valores de α y β para que uno de los vectores sea ´ lineal de los otros dos. combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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21 / 47

Ejercicios Propuestos:

´ lineal de Decidir si p(t) = t 2 − t + 1 es combinacion p1 (t) = (t − 1)2 y p2 (t) = t

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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22 / 47

Ejercicios Propuestos:

´ lineal de Decidir si p(t) = t 2 − t + 1 es combinacion p1 (t) = (t − 1)2 y p2 (t) = t       1 2 1 1 1 −1 ´ lineal de Decidir si es combinacion y −1 0 0 1 1 0

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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22 / 47

Ejercicios Propuestos:

´ lineal de Decidir si p(t) = t 2 − t + 1 es combinacion p1 (t) = (t − 1)2 y p2 (t) = t       1 2 1 1 1 −1 ´ lineal de Decidir si es combinacion y −1 0 0 1 1 0

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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22 / 47

Dependencia e Independencia Lineal

´ Definicion Sea u1 , u2 , ...un ∈ V . Se dice que: {u1 , u2 , ...un } es un conjunto:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

23 / 47

Dependencia e Independencia Lineal

´ Definicion Sea u1 , u2 , ...un ∈ V . Se dice que: {u1 , u2 , ...un } es un conjunto: linealmente independiente (l.i.) ssi n X

αi ui = 0V ⇒ αi = 0, ∀i = 1, ..., n

i=1

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

23 / 47

Dependencia e Independencia Lineal

´ Definicion Sea u1 , u2 , ...un ∈ V . Se dice que: {u1 , u2 , ...un } es un conjunto: linealmente independiente (l.i.) ssi n X

αi ui = 0V ⇒ αi = 0, ∀i = 1, ..., n

i=1

linealmente dependiente (l.d.) ssi P ∃α1 , α2 , ..., αn ∈ K no todos nulos, tal que: ni=1 αi ui = 0

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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23 / 47

Ejemplos:

{(1, 0), (0, 1)} es l.i.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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24 / 47

Ejemplos:

{(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, −1), (5, 1)} es l.d.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

24 / 47

Ejemplos:

{(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, −1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

24 / 47

Ejemplos:

{(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, −1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. {eαx , eβx } es l.i.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

24 / 47

Ejemplos:

{(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, −1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. {eαx , eβx } es l.i. Determine el valor de t ∈ R de manera que el conjunto B = {(1, −1, 2), (3, 1, 0), (−t 2 , 0, 2)} sea un conjunto l.i.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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24 / 47

Observaciones

{~v } es l.i. solo si ~v 6= 0V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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25 / 47

Observaciones

{~v } es l.i. solo si ~v 6= 0V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0V } es l.d.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

25 / 47

Observaciones

{~v } es l.i. solo si ~v 6= 0V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0V } es l.d. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M ´ es l.i. tambien

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

25 / 47

Observaciones

{~v } es l.i. solo si ~v 6= 0V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0V } es l.d. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M ´ es l.i. tambien Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contenga a N sera´ l.d.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

25 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

26 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

2

Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se ´ lineal de los demas. ´ puede expresar como combinacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

26 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

2

Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se ´ lineal de los demas. ´ puede expresar como combinacion

3

Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

26 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

2

Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se ´ lineal de los demas. ´ puede expresar como combinacion

3

Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m.

4

Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

26 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

2

Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se ´ lineal de los demas. ´ puede expresar como combinacion

3

Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m.

4

Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

26 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

2

Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se ´ lineal de los demas. ´ puede expresar como combinacion

3 4

Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m. Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores. NOTA: Si se tienen n vectores l.i. no es posible agregar mas vectores sin hacer que el conjunto obtenido sea l.d.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

26 / 47

Teoremas

1

Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro.

2

Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se ´ lineal de los demas. ´ puede expresar como combinacion

3 4

Un conjunto de n vectores en Rm es siempre l.d. si n > m. Un conjunto l.i. de Rn contiene a lo sumo n vectores. NOTA: Si se tienen n vectores l.i. no es posible agregar mas vectores sin hacer que el conjunto obtenido sea l.d.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

26 / 47

Ejercicios Propuestos

Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, −2, 1), (2, 1, −1), (7, −4, 1)}

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

27 / 47

Ejercicios Propuestos

Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, −2, 1), (2, 1, −1), (7, −4, 1)} {(1, −3, 7), (2, 0, 6), (3, −1, −1), (2, 4, −5)}

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

27 / 47

Ejercicios Propuestos

Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, −2, 1), (2, 1, −1), (7, −4, 1)} {(1, −3, 7), (2, 0, 6), (3, −1, −1), (2, 4, −5)} {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)}

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

27 / 47

Ejercicios Propuestos

Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, −2, 1), (2, 1, −1), (7, −4, 1)} {(1, −3, 7), (2, 0, 6), (3, −1, −1), (2, 4, −5)} {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} {et ; cosh(t); sinh(t)}

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

27 / 47

Espacio Generado

´ Definicion Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

28 / 47

Espacio Generado

´ Definicion Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito. El espacio generado por X , denotado < X > o G(X ) corresponde a la ´ de todos los subespacios de V que contienen al conjunto interseccion X.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

28 / 47

Espacio Generado

´ Definicion Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito. El espacio generado por X , denotado < X > o G(X ) corresponde a la ´ de todos los subespacios de V que contienen al conjunto interseccion X. ´ Observacion: G(X ) ≤ V . Demostrar!!!

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

28 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

29 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito. Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

29 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito. Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X . Como X es finito, podemos asumir X = {x1 , x2 , ...xk } entonces G(X ) =

( k X

) αi xi : αi ∈ K

i=1

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

29 / 47

Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X ⊆ V , X 6= ∅ y finito. Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X . Como X es finito, podemos asumir X = {x1 , x2 , ...xk } entonces G(X ) =

( k X

) αi xi : αi ∈ K

i=1

´ Demostracion: En la pizarra... ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

29 / 47

Teorema Teorema Sea X ⊂ V , X 6= ∅, X 6= {0V }, X finito. Entonces, existe Y ⊂ X tal que Y es l.i. y G(X ) = G(Y )

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

30 / 47

Teorema Teorema Sea X ⊂ V , X 6= ∅, X 6= {0V }, X finito. Entonces, existe Y ⊂ X tal que Y es l.i. y G(X ) = G(Y )

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

30 / 47

Teorema Teorema Sea X ⊂ V , X 6= ∅, X 6= {0V }, X finito. Entonces, existe Y ⊂ X tal que Y es l.i. y G(X ) = G(Y ) ´ OBSERVACION Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, ´ a 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores. salvo el que contiene solo

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

30 / 47

Teorema Teorema Sea X ⊂ V , X 6= ∅, X 6= {0V }, X finito. Entonces, existe Y ⊂ X tal que Y es l.i. y G(X ) = G(Y ) ´ OBSERVACION Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, ´ a 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores. salvo el que contiene solo

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

30 / 47

Teorema Teorema Sea X ⊂ V , X 6= ∅, X 6= {0V }, X finito. Entonces, existe Y ⊂ X tal que Y es l.i. y G(X ) = G(Y ) ´ OBSERVACION Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, ´ a 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores. salvo el que contiene solo ´ OBSERVACION ´ es aplicable el teorema. Si X no es finito tambien En todo caso, en este curso en general trabajaremos con conjuntos finitos X de vectores.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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30 / 47

Ejemplos:

W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α(1, 2), α ∈ R}

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

31 / 47

Ejemplos:

W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α(1, 2), α ∈ R} W = {v ∈ V : v = αu0 , α ∈ R}

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

31 / 47

Ejemplos:

W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α(1, 2), α ∈ R} W = {v ∈ V : v = αu0 , α ∈ R} G((1, 0), (0, 1)) = G((1, 0), (−1, 2), (5, 3)) = R2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

31 / 47

Ejemplos:

W = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = α(1, 2), α ∈ R} W = {v ∈ V : v = αu0 , α ∈ R} G((1, 0), (0, 1)) = G((1, 0), (−1, 2), (5, 3)) = R2 G(−1, 2) 6= R2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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31 / 47

Ejercicios Propuestos:

~ = (2, α, 2) pertenece al s.e.v. de Para que´ valor de α el vector w 3 R generado por: v~1 = (1, 2, 1) y v~2 = (0, −1, 2).

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

32 / 47

Bases

´ Definicion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Bases

´ Definicion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Bases

´ Definicion Sea B ⊂ V , B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V , si:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Bases

´ Definicion Sea B ⊂ V , B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V , si: G(B) = V

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Bases

´ Definicion Sea B ⊂ V , B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V , si: G(B) = V B es l.i.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Bases

´ Definicion Sea B ⊂ V , B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V , si: G(B) = V B es l.i.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Bases

´ Definicion Sea B ⊂ V , B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V , si: G(B) = V B es l.i. Teorema: Todo espacio vectorial tiene una base.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

33 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3

´ ˜ V. () Veronica Briceno

Espacios Vectoriales

noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {1, x, x 2 , x 3 , ...x n } es una base de Rn [x]

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {1, x, x 2 , x 3 , ...x n } es una base de Rn [x] B = {3, x − 1, x 2 + x} es una base de R2 [x]

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {1, x, x 2 , x 3 , ...x n } es una base de Rn [x] B = {3, x − 1, x 2 + x} es una base de R2 [x]         1 0 0 1 0 0 0 0 B= , , , es una base 0 0 0 0 1 0 0 1 de M2×2 (R)

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

34 / 47

Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 B = {(1, 2), (3, −1)} es una base de R2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3 B = {1, x, x 2 , x 3 , ...x n } es una base de Rn [x] B = {3, x − 1, x 2 + x} es una base de R2 [x]         1 0 0 1 0 0 0 0 B= , , , es una base 0 0 0 0 1 0 0 1 de M2×2 (R) {eαx , eβx } no es una base del espacio vectorial de todas las funciones continuas.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Definiciones

´ Base Canonica

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Definiciones

´ Base Canonica

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

35 / 47

Definiciones

´ Base Canonica ´ ´ Una base canonica es la base mas sencilla posible, no hay definicion general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan ei . ´ Dimension

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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35 / 47

Definiciones

´ Base Canonica ´ ´ Una base canonica es la base mas sencilla posible, no hay definicion general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan ei . ´ Dimension

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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noviembre 2013

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Definiciones

´ Base Canonica ´ ´ Una base canonica es la base mas sencilla posible, no hay definicion general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan ei . ´ Dimension Sea V un espacio vectorial sobre K, B = {u1 , u2 , ..., un }, una base de V. ´ de V sobre el cuerpo K. Se dice que n es la dimension Se escribe: dimK V = n, o simplemente dimV = n.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. ´ B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canonica de R2 , entonces dim(R2 ) = 2

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. ´ B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canonica de R2 , entonces dim(R2 ) = 2 B = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), (0, 0, ..., 1)} es una base ´ canonica de Rn , entonces dim(Rn ) = n ´ i. Notar que: ei = (0, .., 1, 0, ..., 0), donde 1 se ubica en la posicion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. ´ B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canonica de R2 , entonces dim(R2 ) = 2 B = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), (0, 0, ..., 1)} es una base ´ canonica de Rn , entonces dim(Rn ) = n ´ i. Notar que: ei = (0, .., 1, 0, ..., 0), donde 1 se ubica en la posicion 2 3 n ´ B = {1, x, x , x , ...x } es una base canonica de Rn [x], entonces dim(Rn [x]) = n + 1

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. ´ B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canonica de R2 , entonces dim(R2 ) = 2 B = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), (0, 0, ..., 1)} es una base ´ canonica de Rn , entonces dim(Rn ) = n ´ i. Notar que: ei = (0, .., 1, 0, ..., 0), donde 1 se ubica en la posicion 2 3 n ´ B = {1, x, x , x , ...x } es una base canonica de Rn [x], entonces dim(Rn [x]) = n + 1         1 0 0 1 0 0 0 0 B= , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 ´ es una base canonica de M2×2 (R), entonces dim(M2×2 (R)) = 4.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. ´ B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canonica de R2 , entonces dim(R2 ) = 2 B = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), (0, 0, ..., 1)} es una base ´ canonica de Rn , entonces dim(Rn ) = n ´ i. Notar que: ei = (0, .., 1, 0, ..., 0), donde 1 se ubica en la posicion 2 3 n ´ B = {1, x, x , x , ...x } es una base canonica de Rn [x], entonces dim(Rn [x]) = n + 1         1 0 0 1 0 0 0 0 B= , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 ´ es una base canonica de M2×2 (R), entonces dim(M2×2 (R)) = 4. En general, dim(Mn×m (R)) = n × m. ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C2 .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C2 . Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC (C2 ) = 2.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C2 . Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC (C2 ) = 2.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C2 . Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC (C2 ) = 2. B = {(1, 0), (0, 1)} forma una base de C2 .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Mas Ejemplos

Sea C2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (C2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C2 . Sea C2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dimC (C2 ) = 2. B = {(1, 0), (0, 1)} forma una base de C2 . En general, Cn espacio vectorial sobre R. Se tiene que dimR (Cn ) = 2n.

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Teoremas 1

Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Teoremas 1

Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d.

2

Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Teoremas 1

Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d.

2

Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n.

3

W ≤ V ⇒ dimW ≤ dimV

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Teoremas 1

Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d.

2

Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n.

3

W ≤ V ⇒ dimW ≤ dimV ´ de una base. Completacion Consideramos V un espacio vectorial sobre K, con dimK V = n, y W ≤ V , con dimK W = m. Sea B = {u1 , u2 , ..., um } una base del subespacio W . Entonces, existen vectores um+1 , um+2 , ..., un ∈ V , de modo que B ∪ {um+1 , um+2 , ..., un } es una base de V .

4

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Ejercicios

Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, −1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 .

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Ejercicios

Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, −1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 . Sea A = {1, 1 + x, x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 [x].

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios

Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, −1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 . Sea A = {1, 1 + x, x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 [x].       1 −1 0 −1 1 0 , , Sea A = 2 0 3 4 1 1 Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de M(2 × 2, R).

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Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y , z) ∈ R3 /(x, y, z) · (1, 1, −2) = 0}

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Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y , z) ∈ R3 /(x, y, z) · (1, 1, −2) = 0} 1

Dar 2 vectores de S.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y , z) ∈ R3 /(x, y, z) · (1, 1, −2) = 0} 1 2

Dar 2 vectores de S. Para que valores de a el vector (1, a, 2) ∈ S ?

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y , z) ∈ R3 /(x, y, z) · (1, 1, −2) = 0} 1 2 3

Dar 2 vectores de S. Para que valores de a el vector (1, a, 2) ∈ S ? ´ de S. Calcular una base y la dimension

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Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y , z) ∈ R3 /(x, y, z) · (1, 1, −2) = 0} 1 2 3

Dar 2 vectores de S. Para que valores de a el vector (1, a, 2) ∈ S ? ´ de S. Calcular una base y la dimension

Indicar (justificadamente) si los siguientes sistemas de vectores son o no una base de S. ¿Es una base ortonormal de S? {(1, 1, −2)} ; {(0, 2, 1), (1, 1, −2)} ; {(−1, 1, 0), (1, −1, 1)} ; {( √13 , √13 , √13 ), 0, √25 , √15 )} ; {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Sea S = {(x, y , x, u) ∈ R4 : x = u, y − u = z} Se pide: a) Demostrar que S ≤ R4 ´ b) Obtener dos bases distintas B1 y B2 de S y hallar la dimension de S. c) Hallar un conjunto generador G de S que no sea base de S. d) Hallar un conjunto generador G de S que no sea linealmente independiente.

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Importante

Corolario

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Importante

Corolario

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Importante

Corolario Sea V un espacio vectorial, dimK V = n. Si B ⊂ V y B = {u1 , ..., un } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Importante

Corolario Sea V un espacio vectorial, dimK V = n. Si B ⊂ V y B = {u1 , ..., un } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V . ´ Observacion:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Importante

Corolario Sea V un espacio vectorial, dimK V = n. Si B ⊂ V y B = {u1 , ..., un } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V . ´ Observacion: El resultado anterior es muy importante, porque si se conocemos la ´ de un espacio vectorial V , y queremos probar que un dimension conjunto es base de V , basta probar que el conjunto es l.i.

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Coordenadas de ~v Teorema

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v Teorema

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v Teorema Sea B = {u1 , ..., un } ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera unica como una combinacin lineal ´ de los vectores u1 , ..., un .

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v Teorema Sea B = {u1 , ..., un } ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera unica como una combinacin lineal ´ de los vectores u1 , ..., un . ´ Observacion:

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v Teorema Sea B = {u1 , ..., un } ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera unica como una combinacin lineal ´ de los vectores u1 , ..., un . ´ Observacion: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son unicos, vale decir, si: ´

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v Teorema Sea B = {u1 , ..., un } ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera unica como una combinacin lineal ´ de los vectores u1 , ..., un . ´ Observacion: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son unicos, vale decir, si: ´ ~v ∈ V , ∃!αi , i = 1, ..., n : ~v = α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v Teorema Sea B = {u1 , ..., un } ⊂ V . Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera unica como una combinacin lineal ´ de los vectores u1 , ..., un . ´ Observacion: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son unicos, vale decir, si: ´ ~v ∈ V , ∃!αi , i = 1, ..., n : ~v = α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un Esto permite definir las coordenadas de ~v con respecto a la base ˜ ordenada B, usando los coeficientes αi que acompanan a los vectores ui . ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Coordenadas de ~v

La matriz columna:        

´ ˜ V. () Veronica Briceno

α1 α2 . . . αn

       

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Coordenadas de ~v

La matriz columna:        

α1 α2 . . . αn

       

se llama matriz de coordenadas de ~v con respecto a la base B. ´ [v ]B . Usaremos la notacion

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejemplos:

En R3 , considere la base B = {(1, 2, 3), (1, 0, −1), (0, −2, 0)} y la ´ base canonica de R3 , es decir, C = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}. Determine la matriz de coordenadas del vector (2, 8, −6) con respecto a ambas bases, es decir, encuentre [(2, 8, −6)]B y [(2, 8, −6)]C .

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Ejemplos:

En R3 , considere la base B = {(1, 2, 3), (1, 0, −1), (0, −2, 0)} y la ´ base canonica de R3 , es decir, C = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}. Determine la matriz de coordenadas del vector (2, 8, −6) con respecto a ambas bases, es decir, encuentre [(2, 8, −6)]B y [(2, 8, −6)]C . En R2 [x], considere la base B = {−1, x + 1, −x 2 + 1} y la base ´ canonica ordenada de R2 [x], es decir C = {1, x, x 2 }. Determine la matriz de coordenadas del polinomio p(x) = 2 − x + 3x 2 con respecto a ambas bases.

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Sea S = {(x, y , z) ∈ R3 := x = 1 + t, y = 1 − t, z = 3 + t, t ∈ R} a) ¿S ≤ R3 ? b) Sea W el subespacio vectorial generado por S. ´ del espacio vectorial W . Encuentre la dimension

´ ˜ V. () Veronica Briceno

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Ejercicios Propuestos:

Sea S = {(x, y , z) ∈ R3 := x = 1 + t, y = 1 − t, z = 3 + t, t ∈ R} a) ¿S ≤ R3 ? b) Sea W el subespacio vectorial generado por S. ´ del espacio vectorial W . Encuentre la dimension R1 Sean V = {f ∈ C[0, 1] : 0 f (x)dx = 0} y W = {C[0, 1] : f (x) = f 2 (x)}, dos subespacios vectoriales. Determine la dimension de V ∩ W

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Ejercicios Propuestos: Sea H el subespacio de R4 dado por: H = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + 2y + z − w = 0 ∧ 2y − 3z + w = 0} se define: H ⊥ = {~u ∈ R4 : ~u · ~v , ∀~v ∈ H} ´ a) Determine una base para H y calcule su dimension. b) Probar que H ⊥ es un subespacio vectorial de R4 . c) Hallar una base H ⊥ .

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Ejercicios Propuestos: Sea H el subespacio de R4 dado por: H = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + 2y + z − w = 0 ∧ 2y − 3z + w = 0} se define: H ⊥ = {~u ∈ R4 : ~u · ~v , ∀~v ∈ H} ´ a) Determine una base para H y calcule su dimension. b) Probar que H ⊥ es un subespacio vectorial de R4 . c) Hallar una base H ⊥ . Sea    a b V = ∈ M2×2 (R) : a + b + c = 0 c d a) Pruebe que V es un subespacio vectorial de M2 (R). b) Determine dim(V ). ´ ˜ V. () Veronica Briceno

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