01 de Junio de 2011

ESPACIOS VECTORIALES (Clase 02) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero 1

Puntos a tratar

1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de vectoriales

subespacios

4. Intersección de subespacios vectoriales Álgebra Lineal y Geometría Analítica

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Combinación lineal Sea V un espacio vectorial real: es combinación lineal de cuando

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tales que:

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Puntos a tratar

1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de vectoriales

subespacios

4. Intersección de subespacios vectoriales Álgebra Lineal y Geometría Analítica

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Subespacio vectorial Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios vectoriales con las operaciones definidas en V. vectoriales.. Estos subconjuntos se denominan subespacios vectoriales

SUBESPACIO VECTORIAL. es un subespacio vectorial de V, si es espacio vectorial con las operaciones definidas en V.
Subespacios vectoriales impropios
Subespacios vectoriales propios:: cualquier subespacio vectorial de V distinto de y V. Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto S de V es subespacio vectorial de V. Álgebra Lineal y Geometría Analítica

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Subespacio vectorial • Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si cumple:

•Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si cumple:

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Subespacio vectorial En la práctica, para demostrar que S NO es s. v. de V o

 

o  Basta con comprobar una de estas tres cosas

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Puntos a tratar

1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de vectoriales

subespacios

4. Intersección de subespacios vectoriales Álgebra Lineal y Geometría Analítica

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Ejemplos de subespacios vectoriales EJEMPLO 1. El conjunto de los números enteros no tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales de suma y producto por un escalar real. El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya que el producto no es una operación cerrada.

0.5⋅⋅1 = 0.5 escalar

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entero

no entero

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Ejemplos de subespacios vectoriales

EJEMPLO 2. El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial. El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada.

p(x) =

x2

son polinomios de grado 2, pero su suma es un polinomio de primer grado

q(x) = -x2+x+1 p(x) + q(x) = x+1

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1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial 3. Ejemplos de vectoriales

subespacios

4. Intersección de subespacios vectoriales Álgebra Lineal y Geometría Analítica

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Intersección de subespacios vectoriales Si S , T son subespacios vectoriales de entonces:: entonces 1. S ∩ T es subespacio vectorial de V.

V,

2. S ∩ T es el mayor de todos los subespacios vectoriales de V incluidos en S y T.

La unión de subespacios vectoriales de V no es necesariamente un subespacio vectorial de V.

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Pensamiento de hoy

“Las simplificaciones excesivas, progresivamente corregidas en el adelanto subsiguiente, representan el recurso más poderoso, si no es el único, hacia el dominio conceptual de la naturaleza”. Ludwig Von Bertalanffy

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