Apuntes de Álgebra Lineal

Capítulo 4

Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales “During the nineteenth century, while Grassmann’s hypercomplex numbers were hardly noticed, Hamilton’s quaternion calculus fell flat on the mathematical world. Except for Tait and Gibbs, the majority of the scientists preferred to work with the old-fashioned Cartesian methods. Even as recently as about thirty years ago the vector could hardly be said to have come into its own. In the preface to his ["Treatise on Vectorial Mechanics"] published in 1948, Milne records that he did not at first believe his teacher Chapman, when he told him (1924) that ’vectors were not merely a pretty toy, suitable only for elegant proof of general theorems, but were a powerful weapon of workaday mathematical investigation, both in research and in solving problems of the types set in English examinations.’ Since then mathematicians have ceased to look upon vectors as a ’mere shorthand for sets of Cartesian expressions’ and have begun to realise that there is all the difference in the world between the old-fashioned methods of working with Cartesian co-ordinates and the new vectorial methods. The former is like picturing a building by looking at its plan and elevation, while the latter is like seeing it stereoscopically, that is, in its three-dimensional solidity. For, as Milene has remarked, the old-fashioned primary interest, to their projections on the three axes, whereas vector analysis provides a kinematic picture of the motion in question that gives far more insight into the phenomenon than the corresponding Cartesian analysis. Vector analysis views the phenomenon as a whole, and to that extent therefore it is more in tune with gestalt methodology. Because of its great power it is now being extensively applied to a whole gamut of diverse fields from econometrics to quantum mechanics.” [J.SINGH, Great Ideas of Modern Mathematics, Dover 1959, p.91]

4.1.

Espacios vectoriales reales y complejos

Un espacio vectorial real es un conjunto de elementos (llamados vectores) los cuales se pueden sumar entre sí y se pueden “reescalar” (multiplicar) por números reales de tal forma que se cumplan las siguientes propiedades que se conocen como los Axiomas de espacio vectorial: Axiomas de espacio vectorial

1. Propiedad asociativa de la suma: u + (v + w) = (u + v) + w. 2. Existencia del neutro de la suma o vector cero: 0 + u = u + 0 = u. 3. Existencia de opuestos para la suma: −u + u = u + (−u) = 0. (abreviación: en lugar de u + (−v) se puede escribir para mayor brevedad u − v). 4. Propiedad conmutativa de la suma: v + u = u + v. (b) Propiedades distributivas de la multiplicación por números: 1. Propiedad distributiva para la suma de vectores: x (u + v) = xu + xv. 1

Versión de 11 de diciembre de 2016, 13:42 h.

(a) Propiedades de la suma de vectores (“Grupo conmutativo”):

4.2. Principales ejemplos de espacios vectoriales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

2. Propiedad distributiva para la suma de números: ( x + y)u = xu + yu. (c) “Acción de los escalares”: 1. Propiedad asociativa del producto de números por vectores: x (yu) = ( xy)u. 2. Ley de identidad: 1 u = u. (El número 1 es neutro para la multiplicación de números por vectores.) Un espacio vectorial complejo es un conjunto de elementos (vectores) que se pueden sumar entre sí y que se pueden multiplicar por números complejos (escalares) de tal forma que se cumplan los anteriores axiomas de espacio vectorial. escalares

Los números por los que se pueden multiplicar los vectores de un espacio vectorial se llaman los escalares de ese espacio. Así, los escalares de un espacio vectorial real son los números reales y los escalares de un espacio vectorial complejo son los números complejos. De ahora en adelante, utilizaremos la palabra “escalar” para referirnos a un número real (si estamos hablando de un espacio vectorial real) o a un número complejo (si estamos hablando de un espacio vectorial complejo).

Consecuencias fundamentales de los axiomas de espacio vectorial (a) Imposibilidad de más de un vector nulo (el vector cero es único): Si hubiese dos neutros para la suma, n1 , n2 , entonces n1 = n1 + n2 = n2 . (b) Imposibilidad de que un vector tenga más de un opuesto (el opuesto de un vector dado es único): Si un vector v tuevise dos opuestos, u1 y u2 entonces u1 = u1 + 0 = u1 + v + u2 = 0 + u2 = u2 . (c) Todo vector multiplicado por cero da el vector cero: 0u = 0u + u − u = (0 + 1)u − u = u − u = 0. (d) Todo múltiplo del vector cero es el vector cero: c0 = c0 + c0 − c0 = c(0 + 0) − c0 = c0 − c0 = 0. (e) Multiplicar un vector por −1 da el vector opuesto:

(−1)u = (−1)u + u + (−u) = (−1 + 1)u + (−u) = 0u + (−u) = 0 + (−u) = −u. (f) Combinaciones lineales de vectores: Dados n vectores u1 , . . . , un y n escalares c1 , . . . , cn de un espacio vectorial, la combinación lineal c1 u1 + · · · + c n u n es otro vector de dicho espacio vectorial. La estructura de espacio vectorial es precisamente el tipo de estructura algebraica necesaria para poder calcular combinaciones lineales de vectores y demostrar las propiedades de las mismas. Como se explicó en el capítulo 2, el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de un conjunto S se denota Gen(S)

4.2.

Principales ejemplos de espacios vectoriales

El primer ejemplo de espacio vectorial es aquél cuyos vectores son los propios escalares. Por las propiedades de los números (tanto de los reales como de los complejos), los escalares por 2

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.2. Principales ejemplos de espacios vectoriales

sí mismos (jugando el papel tanto de escalares como de vectores) cumplen todos los axiomas de espacio vectorial, tanto si tomamos como escalares los números reales como si tomamos los números complejos. Así, el propio R es un espacio vectorial real y C es un espacio vectorial complejo. El segundo ejemplo de espacio vectorial real es el de los vectores del plano o del espacio y, en general los vectores de Rn . Un ejemplo de espacio vectorial un tanto peculiar es el del espacio vectorial formado por un único vector que (necesariamente) juega el papel de vector cero. Este espacio se denota {0} o simplemente 0 y se llama el espacio vectorial cero, nulo o trivial. A continuación consideramos otros ejemplos de espacios vectoriales tanto de tipo geométrico como de tipo algebraico y de tipo anałítico.

Los espacios Rn El conjunto R de los números reales es un espacio vectorial real, ya que los números reales cumplen todos los axiomas de espacio vectorial cuando se toman ellos mismos como vectores. El espacio vectorial R2 es, por definición, el producto cartesiano de R consigo mismo:

Definición de R2

R2 = R × R. Tiene la misma estructura de espacio vectorial real que los vectores del plano. Análogamente, el espacio vectorial R3 se define como R × R × R y tiene la estructura del espacio vectorial real de Definición de R3 los vectores del espacio. En general, para un número natural cualquiera, n, Rn se define como el producto cartesiano Definición de Rn de R consigo mismo n veces: n

Rn = R× · · · ×R, de lo que se deduce que Rn es el conjunto de las matrices columna de n números reales y la suma y la multiplicación por escalares están definidas componente a componente igual que para las matrices generales.

Los espacios Cn El conjunto C de los números complejos puede considerarse como un espacio vectorial real equivalente a R2 . Pero, por otra parte, si tomamos como escalares los propios números complejos, también se cumplen todos los axiomas de espacio vectorial y resulta que C puede considerarse alternativamente como un espacio vectorial complejo que no es en modo alguno equivalente a R2 . En general, para un número natural cualquiera, n, Cn es el espacio vectorial producto cartesiano de C consigo mismo n veces:

C como espacio vectorial real. C como espacio vectorial complejo.

n

Cn = C× · · · ×C, lo que implica que Cn es el conjunto de las columnas de n números complejos y tiene una estructura de espacio vectorial real (cuando C se considera como espacio vectorial real) y otra muy distinta de espacio vectorial complejo (cuando C se considera como espacio vectorial complejo). En ambos casos, la suma y la multiplicación por escalares están definidas componente a componente igual que en el caso de R. 3

Dos estructuras distintas de espacio vectorial en Cn .

4.3. Subespacios de un espacio vectorial

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Otros ejemplos Otros ejemplos importantes de espacios vectoriales son los siguientes: (a) Dados dos enteros positivos m, n, el conjunto de las matrices reales m × n es un espacio vectorial real y el conjunto de las matrices complejas m × n es un espacio vectorial real y también un espacio vectorial complejo. (b) El espacio vectorial R1 [ x1 , . . . , xn ] de las ecuaciones lineales de coeficientes reales en las incógnitas x1 , . . . , xn . (c) El espacio vectorial Rn [ x ] de los polinomios de grado menor o igual que n en una indeterminada x con coeficientes reales. (d) El espacio vectorial real de todos los polinomios en una indeterminada y coeficientes reales. (e) El espacio vectorial de las funciones reales de variable real, f : R → R, y en particular el espacio C [ a, b] de todas las funciones reales de variable real definidas y continuas en un intervalo dado, [ a, b].

4.3.

Subespacios de un espacio vectorial

Concepto de subespacio vectorial Un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si, con las operaciones de V de suma de vectores y multiplicación por escalares, el propio H es un espacio vectorial. Para ello es suficiente que se cumplan estas tres condiciones: (a) H contiene al vector cero de V. (b) La suma de dos vectores de H es otro vector de H. (c) Al multiplicar un escalar cualquiera de V por un vector de H se obtiene otro vector de H. Otra definición. Otra forma de definir el concepto de subespacio vectorial es la siguiente: Un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V si para cualquier subconjunto S de H, el conjunto Gen(S) (de todas las combinaciones lineales de vectores de S) está contenido en H.

El subespacio generado por un conjunto de vectores Caso del conjunto vacío. ¿Se puede dar sentido a la pregunta de cuál es el espacio Gen ∅ generado por el conjunto vacío? ¿Puede tener sentido la idea de sumar o formar una combinación lineal con ningún vector? Sí tiene sentido y ese sentido lo exige la lógica de la misma manera que exige que una suma de ningún sumando da cero y que cualquier producto de ningún factor es igual a 1. Esto último es, quizás, más conocido para el estudiante por estar acostumbrados a ver y usar igualdades como 20 = 1 y como 0! = 1, aunque rara vez nos paramos a pensar cuál es la necesidad lógica de estas igualdades, la cual se puede explicar de la siguiente forma: El producto de ningún factor tiene la propiedad de que multiplicado por cualquier número lo deja inalterado. De esto se deduce que el “producto de ningún factor” es la unidad. De forma similar se deduce la necesidad de admitir que una suma con ningún sumando es igual a cero. Se puede dar un ejemplo de la vida real que nos ayude a entender esto: Mientras no se efectúe ningún reintegro, el saldo de una cuenta bancaria es la suma de todos los ingresos que ha habido. ¿Cuál es el saldo si no ha habido ningún ingreso? El conjunto de ingresos es vacío, su suma es cero. 4

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.3. Subespacios de un espacio vectorial

Igualmente, el espacio generado por un conjunto vacío de vectores es el espacio cero que sólo tiene como único elemento el vector cero: Gen ∅ = {0}. Caso general. Dado un conjunto S de vectores de un espacio vectorial V, el conjunto de todos los vectores de V que son combinaciones lineales de vectores pertenecientes a S, Gen(S), tiene las siguiente propiedades: (a) Gen S contiene al vector 0. (b) La suma de dos combinaciones lineales de vectores de S es otra combinación lineal de vectores de S (la suma de dos elementos de Gen(S) es otro elemento de Gen(S)). (c) Al multiplicar un escalar por una combinación lineal de vectores de S se obtiene otra combinación lineal de vectores de S (el producto de un número por un elemento de Gen(S) es otro elemento de Gen(S)). Debido a estas tres propiedades, el conjunto de combinaciones lineales Gen(S) constituye un subespacio vectorial de V que se llama el subespacio generado por S. Caso de conjuntos de uno o dos vectores. El subespacio generado por un solo vector es: (a) Si el vector dado es cero entonces el subespacio generado es el subespacio cero —o nulo— (que contiene un único vector que es el vector cero): Gen{0} = {0} (= Gen ∅). (b) Si el vector dado no es cero entonces el subespacio generado es la recta que pasa por el origen y por el punto cuyo vector posición es el vector dado. El subespacio generado por un conjunto formado por dos vectores es: (a) El plano que pasa por el origen y por los puntos representados por los dos vectores si éstos no son uno múltiplo del otro. (b) La recta que pasa por el origen y por el punto representado por un vector no nulo de los dos dados si uno es múltiplo del otro pero no son los dos vectores iguales a cero (Obsérvese que este caso contiene tanto el caso de que uno de los dos vectores sea el cero y el otro no como el caso de que ninguno sea cero pero sean uno múltiplo del otro.) (c) El origen (o subespacio cero) si los dos vectores dados son cero: Gen{0, 0} = {0} (= Gen ∅).

Espacio columna de una matriz DEFINICIÓN 4.3.1 Se llama espacio columna de una matriz real A de m filas y n columnas, y se denota Col A, al subespacio de Rm generado por las n columnas de A. Es decir, si A = [a1 · · · an ], Col A = Gen{a1 , . . . , an }.

Número de vectores necesarios para generar Rm Si A es una matriz real de m filas, decir que sus columnas generan todo Rm es equivalente a decir que tiene m columnas pivote (ver el Capítulo 2). Por tanto, si el espacio columna de A es todo Rm entonces el número total de columnas de A es mayor o igual que m: 5

4.3. Subespacios de un espacio vectorial

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Si A es m × n y Col A = Rm entonces n ≥ m. 1 Ejercicio de tarea. Sean A y B dos matrices de m filas (es decir, cuyas columnas son vectores de Rm ), aunque no tienen por qué tener el mismo número de columnas. Demuestra que si el espacio columna de A está contenido en el espacio columna de B entonces el número de pivotes de A es menor o igual que el número de pivotes de B. Pista: Para cada columna ai de A el sistema Bx = ai es compatible. ¿Cómo son las filas de ceros de una f.e. de ( B| A)?

2 Ejercicio de tarea. Sean A y B dos matrices en las condiciones del ejercicio 1. Usa dicho ejercicio para demostrar que si A y B tienen el mismo espacio columna entonces A y B tienen el mismo número de pivotes.

Espacio nulo de una matriz Definición de Nul A.

DEFINICIÓN 4.3.2 Para cualquier matriz A, se llama espacio nulo de A, y se denota Nul A, al conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0: Nul A = Conjunto solución del sistema ( Ax = 0). El espacio nulo de una matriz real A de m filas tiene la propiedad de ser un subespacio vectorial de Rm . Para demostrarlo basta comprobar que cumple las tres condiciones de subespacio: (1) El vector cero pertenece al espacio nulo (es una solución de Ax = 0). (2) Si u y v son soluciones de Ax = 0, también u + v lo es. (3) Si u es solución de Ax = 0, también cu lo es. La (2) y la (3) son consecuencias directas de las propiedades del producto matriz por vector. Si el sistema Ax = 0 tiene k variables libres, la solución de dicho sistema homogéneo expresada en la forma vectorial paramétrica es de la forma x = t1 u1 + · · · + t k u k .

(4.1)

Los vectores u1 , . . . , uk que aparecen en esta solución se pueden considerar como las columnas de una matriz U = [u1 · · · uk ]. Puesto que estos vectores generan el conjunto solución (al que hemos llamado espacio nulo de la matriz A) podemos decir: Las columnas de U generan el espacio nulo de A: Nul A = Gen{u1 , . . . , uk }

Las dos formas de definir un subespacio de Rn Definición de un subespacio mediante ecuaciones Definir un subespacio H ⊂ Rn mediante ecuaciones es dar un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tal que H es el conjunto solución de ese sistema. Esto es lo que ocurre con el espacio nulo de una matriz ya que el espacio nulo es el conjunto solución de un sistema homogéneo. Por tanto, definir un subespacio de Rn mediante ecuaciones es dar una matriz A tal que el subespacio dado es igual a Nul A. En este caso, las ecuaciones de H son las ecuaciones del sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es A y, por tanto, en forma matricial, las ecuaciones de H se reducen a Ax = 0. 6

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.3. Subespacios de un espacio vectorial

Este sistema de ecuaciones cuyo conjunto solución es el subespacio H se conoce como las ecuaciones implícitas de H. Por tanto, las ecuaciones implícitas de un subespacio lo definen como el espacio nulo de una matriz. Definición de un subespacio mediante generadores Definir un subespacio H ⊂ Rn mediante generadores es dar un conjunto de vectores de Rn , S = {u1 , . . . , uk }, tal que H = Gen S. Esto es lo que ocurre con el espacio columna de una matriz ya que el espacio columna es el subespacio generado por las columnas de la matriz. Por tanto, definir un subespacio de Rn mediante generadores es dar una matriz A tal que el subespacio es Col A. Cálculo de los generadores a partir de las ecuaciones Si un subespacio está definido por ecuaciones, es posible calcular vectores generadores del mismo “resolviendo dichas ecuaciones” ya que la solución general de esas ecuaciones, según hemos visto en el tema anterior, es de la forma: Ecuaciones x = t1 u1 + · · · + t k u k ,

o también:

explícitas del subespacio.

x = Ut,

donde t es el “vector de parámetros”, t = (t1 , . . . , tk ), y U = [u1 . . . uk ] es la matriz cuyas columnas son los vectores u1 , . . . , uk . Las ecuaciones así obtenidas se conocen como las ecuaciones paramétricas del subespacio y, en contraposición a las ecuaciones implícitas, son las ecuaciones explícitas de H. Vemos, pues que las ecuaciones explícitas (o paramétricas) de un subespacio lo definen como el espacio columna de una matriz. Por ejemplo, sea 

1 A = 1 1

1 0 1

0 1 0

 1 2 . 3

¿Cuáles son los generadores del espacio nulo de A?. Para hallarlos no tenemos más que resolver el sistema homogéneo Ax = mos la forma escalonada reducida de A:      1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 F3 ··· F2 − F1 2 A −−−−−−→ 0 −1 1 1 −−−−−−→ 0 −1 1 1 −−−→ 0 F1 + F2 F3 − F1 0 0 0 1 0 0 0 0 2

0. Por tanto halla0 1 0

 1 0 −1 0 . 0 1

Escribimos la solución del sistema Ax = 0 y extraemos de ella los generadores:       x1 −1 −1  x2   1  1   = x3   . Sólo hay un vector generador de Nul A:   .  x3   1  1 x4 0 0 Cálculo de las ecuaciones a partir de los generadores Si un subespacio está definido por generadores, como es el caso del espacio columna de una matriz, Col A, podemos hallar sus ecuaciones cartesianas buscando las relaciones que debe haber entre los elementos de un vector de términos independientes b para que el sistema Ax = b sea compatible. Para ello basta poner la matriz ampliada ( A|b) en forma escalonada y escribir las ecuaciones que hacen que no haya pivote en la última columna. 7

4.3. Subespacios de un espacio vectorial

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Por ejemplo, sea 

1 0 A= 1 1

2 1 0 1

 3 0 . 1 1

¿Cuáles son las ecuaciones del espacio columna de A?. Los vectores x que son combinación lineal de las tres columnas de A son precisamente aquellos que hacen que el sistema cuya matriz ampliada es 

1 0 ( A|x) =  1 1

2 1 0 1

3 0 1 1

 x1 x2   x3  x4

sea un sistema compatible. Por tanto las ecuaciones se hallan poniendo esa matriz en forma escalonada y mirando las expresiones en términos de las xi que hay que igualar a cero para que no haya pivote en la última columna:  F3 − F1

( A|x) −−−−−−−→  F4 − F1

1 0 0 0

2 1 −2 −1

x1 x2 x3 − x1 x4 − x1

3 0 −2 −2





F3 + 2F2  −−−−−−−− → F4 + F2

 F4 − F3 −−−−−−−→



1 0 0 0 1 0 0 0

2 1 0 0 2 1 0 0

3 0 −2 −2 3 0 −2 0

x1 x2 x3 − x1 + 2x2 x4 − x1 + x2

 

x1 x2 x3 − x1 + 2x2 x4 − x1 + x2 − ( x3 − x1 + 2x2 )

 

y vemos que las ecuaciones de Col A se reducen a: x4 − x1 + x2 − ( x3 − x1 + 2x2 ) = 0 ,

o sea:

x2 + x3 = x4 .

Intersección y suma de subespacios Intersección: H ∩ K intersección

Dados dos subespacios H, K de un mismo espacio vectorial V, la intersección de H y K es el conjunto de todos los vectores de V que pertenecen a ambos subespacios (como ocurre, por ejemplo, con el vector cero) y es denotado H ∩ K. Este conjunto intersección es también un subespacio vectorial de V. Para demostrarlo basta observar que se cumplen las tres propiedades que caracterizan a un subespacio: (1) contiene al vector cero, (2) contiene la suma de dos cualesquiera de sus vectores, y (3) contiene cualquier múltiplo escalar de cualquiera de sus vectores.

Suma: H + K suma de dos subespacios

Se llama suma de dos subespacios H, K de un mismo espacio vectorial V, y se denota H + K, al conjunto de todos los vectores de V que son suma de un vector de H y un vector de K. Es fácil comprobar que la suma de dos subespacios es otro subespacio ya que ese conjunto suma es igual al subespacio generado por todos los vectores de H y de K. En general tenemos: Si

H = Gen S

y

K = Gen T,

entonces 8


H + K = Gen S ∪ K .

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.4. Dependencia e independencia lineal

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2.

4.4.

Dependencia e independencia lineal

Concepto de dependencia e independencia lineal La idea básica de dependencia lineal entre unos vectores dados, v1 , . . . , vn , es la de que uno de esos vectores es una combinación lineal de los otros, lo cual expresamos diciendo que uno de ellos depende linealmente de los otros. Por ejemplo, entre los vectores u = (1, 0), v = (0, 1) y w = (2, 3) el último es una combinación lineal de los otros: w = 2u + 3v,

(4.2)

por ello decimos que w depende linealmente de u y v. Pero esta forma de ver las cosas oculta parte de la verdad porque también u depende linealmente de w y v, y también v depende linealmente de w y u. Lo que realmente ocurre es que esos tres vectores tienen una relación de dependencia lineal que se pone de manifiesto en el hecho de que podemos formar una combinación lineal no trivial de esos vectores cuyo resultado es cero. En este ejemplo: 2u + 3v − w = 0.

(4.3)

Esta forma de expresar la dependencia lineal es preferible a (4.2) porque aquí no se “señala” a ninguno de los vectores como “responsable” de la dependencia lineal y se está reconociendo que todos los vectores que intervienen (con un coeficiente distinto de cero) en la “combinación lineal igual a cero” están en pie de igualdad: cualquier vector con coeficiente distinto de cero se puede “despejar” en términos de los otros y de esta forma se pone de manifiesto que depende linealmente de los otros. Así pues, damos la siguiente definición de relación de dependencia lineal: DEFINICIÓN 4.4.1 Dado un número finito de vectores, v1 , . . . , vn , una relación de dependencia lineal entre ellos es una combinación lineal no trivial de esos vectores que es igual a cero. O sea: Una relación de dependencial lineal entre los vectores v1 , . . . , vn es una igualdad de la forma: c1 v1 + · · · + c n v n = 0 en la que los escalares c1 , . . . , cn no son todos cero. Según esta definición, si formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores v1 , . . . , vn , dar una relación de dependencia lineal entre estos vectores es lo mismo que dar una solución no trivial del sistema homogéneo Ax = 0. Evidentemente, esto solamente es posible si ese sistema es indeterminado. Las columnas de A son linealmente independientes si y sólo si el sistema Ax = 0 es determinado. Por ejemplo: Supongamos que A es la matriz cuyas columnas son los vectores a1 , a2 , a3 , A = [a1 a2 a3 ]. Dar una relación de dependencia lineal entre las columnas de A es dar tres números x1 , x2 , x3 no todos cero tales que x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = 0. 9

4.4. Dependencia e independencia lineal

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Pero el miembro de la izquierda es igual a un producto matriz por vector:   x1 x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = [a1 a2 a3 ]  x2  = Ax , x2 luego dar una relación de dependencia lineal entre las columnas de A es lo mismo que dar una solución no trivial del sistema homogéneo Ax = 0. Conjuntos libres y conjuntos ligados

conjunto ligado conjunto libre o vectores independientes

Un conjunto de vectores entre los que existe una relación de dependencia lineal se llama un conjunto ligado. Un conjunto de vectores entre los que no existe una relación de dependencia lineal se llama un conjunto libre y los propios vectores se llaman linealmente independientes entre sí. Por lo tanto: PROPOSICIÓN 4.4.1 Las columnas de una matriz A son independientes (forman un conjunto libre de vectores) si y sólo si el sistema Ax = 0 es determinado. Forman un conjunto ligado si y sólo si Ax = 0 es indeterminado. En términos de las columnas pivote de A: Las columnas de una matriz A son vectores independientes si y sólo si cada una de ellas es una columna pivote. Este resultado, combinado con el del ejercicio 2 nos permite demostrar que dos matrices en cada una de las cuales las columnas son independientes y que generen el mismo espacio (ambas tienen el mismo espacio columna) necesariamente tendrán el mismo número de columnas. Esto es el objetivo del siguiente ejercicio: 3 Ejercicio de tarea. Sea A una matriz cuyas columnas son independientes y sea B otra matriz cuyas columnas también son independientes. Demuestra que si el espacio columna de A es igual al espacio columna de B entonces A y B tienen el mismo número de filas y de columnas. Consecuencias de la definición (a) El conjunto formado por el vector cero como único elemento, {0}, es ligado porque en él existe la realción de dependencia lineal 1 · 0 = 0. (b) Si un conjunto de vectores es libre, cualquier subconjunto suyo es libre. (c) Si un conjunto de vectores es ligado, cualquier conjunto que lo contenga es ligado. La principal consecuencia de la existencia de una relación de dependencia lineal entre los vectores de un conjunto dado es el hecho de que en ese conjunto existe algún vector que es combinación lineal de los demás. Pero este hecho se puede refinar aún más: TEOREMA 4.4.1 Dado un conjunto ordenado de vectores: v1 , . . . , vn , si existe una relación de dependencia lineal entre ellos y v1 6= 0 entonces se puede afirmar que en ese conjunto existe algún vector vk+1 que es combinación lineal de los anteriores v1 , . . . vk . La demostración de esto es bien sencilla: Sea k el número más grande entre 1 y n tal que los vectores v1 , . . . , vk son independientes. Por hipótesis k ≥ 1 ya que v1 6= 0, y k < n porque el conjunto v1 , . . . , vn es ligado. Por lo tanto 1 < k + 1 ≤ n con lo cual vk+1 es uno de los  vectores v1 , . . . , vn y es combinación lineal de v1 , . . . , vk .

10

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.4. Dependencia e independencia lineal

Independencia lineal de los conjuntos de cero, uno o dos vectores Es muy importante saber reconocer si un conjunto de vectores es libre o ligado y para ello es útil tener claros los casos más sencillos de conjuntos de cero, uno o dos vectores. Caso del conjunto vacío. El conjunto vacío es libre porque al no tener ningún vector no existe niguna relación de dependencia lineal entre sus (¡inexistentes!) elementos. Caso de conjuntos de uno o dos vectores. Un conjunto formado por un solo vector es libre si y sólo si ese vector es distinto del vector cero. Un conjunto formado por dos vectores es ligado si y sólo si alguno de los dos vectores es igual al resultado de multiplicar el otro por un número. Por ejemplo: Un conjunto formado por dos vectores de Rn (o Cn ) es ligado si y sólo si las componentes de los dos vectores son proporcionales. 4 Ejercicio de tarea. Sean   3 u =  2, −4



 −6 v =  1, 7



 0 w =  −5  , 2



y

 3 z =  7 −5

(a) Sin hacer ningún cálculo se sabe que cada uno de los conjuntos {u, v}, {u, w}, {u, z}, {v, w}, {v, z} y {w, z} es libre. ¿Por qué? (b) ¿Es el vector w combinación lineal de u, v, z? (c) El conjunto de vectores {u, v, w, z} ¿es libre o ligado? Pista: Si A es la matriz cuyas columnas son esos vectores, ¿el sistema homogéneo Ax = 0 es determinado o indeterminado?

El último apartado del ejercicio 4 se puede contestar sin hacer ningún cálculo debido al siguiente hecho general:

Dependencia lineal de las columnas de una matriz con más columnas que filas: Toda matriz que tenga más columnas que filas tendrá, necesariamente, alguna columna no pivote (ya que una matriz tiene, como mucho, un pivote en cada fila). En consecuencia las columnas de dicha matriz serán linealmente dependientes.

Independencia lineal de las columnas pivote de una matriz Según vimos más arriba: Las columnas de una matriz A forman un conjunto libre (son linealmente independientes) si y solamente si todas ellas son columnas pivote. Las columnas de una matriz A forman un conjunto ligado (son linealmente dependientes) si y solamente si A contiene alguna columna no pivote. Además, si en una matriz que esté en forma escalonada eliminamos una columna no pivote, la matriz resultante (que tiene una columna menos que la original) seguirá estando en forma escalonada. En consecuencia, las mismas operaciones elementales que transforman una matriz 11

4.4. Dependencia e independencia lineal

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

a forma escalonada transforman también a forma escalonada toda matriz que se obtenga de la anterior eliminando una o varias columnas no pivote. Eliminando todas las columnas no pivote llegamos a la conclusión de que: Las columnas pivote de cualquier matriz son linealmente independientes.

Independencia lineal de las filas no nulas de una matriz escalonada Si nos paramos a pensar cuenta de que sus columnas sea  1 2 3 0 0 5 A= 0 0 0 0 0 0

en la matriz traspuesta de una matriz escalonada A, nos daremos pivote se corresponden con las filas no nulas de A. Por ejemplo,  4 6 , 7 0



1  2 AT =  3 4

0 0 5 6

0 0 0 7

  1 0 0 0 ∼ 0 0 0 0

0 5 0 0

0 0 7 0

 0 0 , 0 0

y vemos claramente que las columnas pivote de AT son precisamente las filas no nulas de A. Así, llegamos a la conclusión de que: Las filas no nulas de cualquier matriz escalonada son linealmente independientes.

Independencia lineal de los vectores que generan la solución de un sistema homogéneo Hemos visto que los vectores u1 , . . . , uk que se obtienen al expresar la solución de un sistema homogéneo en la forma vectorial paramétrica x = t1 u1 + · · · + t k u k .

(4.4)

generan el espacio nulo de A: Nul A = Gen{u1 , . . . , uk } Consideremos la matriz U = [u1 · · · uk ] cuyas columnas son los vectores u1 , . . . , uk . Esta matriz tiene, para cada variable libre x j (y, por tanto, para cada columna) una fila con solamente un elemento distinto de cero (e igual a 1), el cual está en la columna j. Mediante una reodenación de las filas de U se puede conseguir que las primeras k filas formen una matriz identidad k × k. Está claro1 que mediante operaciones elementales de filas, todas las demás filas se pueden convertir en filas de ceros, lo que demuestra que U tiene exactamente k pivotes. En consecuencia: Todas las columnas de U son columnas pivote y por lo tanto los vectores u1 , . . . , uk son linealmente independientes.

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 3, Ejercicio 4. 1 Visto de otra forma: Después de reordenar las filas trasponemos y nos encontramos con una matriz en forma escalonada (¡y reducida!).

12

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.5.

4.5. Base de un espacio vectorial

Base de un espacio vectorial

Una consecuencia evidente de la definición del subespacio generado por un conjunto de vectores es el hecho de que si T es un conjunto de vectores de un espacio vectorial V y S es un subconjunto de T, entonces el subespacio de V generado por S está contenido en el subespacio de V generado por T: Si S ⊂ T entonces Gen S ⊂ Gen T. Por ejemplo, supongamos que T = {u, v, w} y S = {u, v}. Entonces está claro que toda combinación lineal de vectores de S, como 2u − 3v es también una combinación lineal de vectores de T (con el coeficiente de w igual a cero): 2u − 3v = 2u − 3v + 0w. Por otra parte, es evidente que si a un conjunto S de vectores le añadimos un nuevo vector w0 que sea combinación lineal de vectores de S, entonces el nuevo conjunto T 0 = S ∪ {w0 } genera el mismo subespacio que S: Si

v ∈ Gen S

y

T = S ∪ {v}

entonces

S⊂T

pero

Gen S = Gen T.

Por ejemplo, si S = {u, v}, w0 = 3u − 2v y T 0 = {u, v, w0 } cogemos una combinación lineal cualquiera de vectores de T 0 y vemos que se puede simplificar dando como resultado una combinación lineal de vectores de S:

−7u + 5v + 2w0 = −7u + 5v + 2(3u − 2v) = −7u + 5v + 6u − 4v = 3u + v. En esta situación podemos decir que para obtener el subespacio generado por T 0 “sobra” el vector w0 .

Base de un subespacio En general, dado un conjunto de vectores S, cualquier vector de S que sea combinación lineal de los otros “sobra” en lo que respecta al cálculo del subespacio generado H = Gen S. Por ejemplo: Para generar el espacio columna de una matriz “sobran” las columnas no pivote El espacio columna de una matriz A es el subespacio generado por sus columnas y es también el conjunto de todos los vectores b que hacen que el sistema Ax = b sea compatible. Pero, eliminando de A una columna no pivote obtenemos una matriz A0 para la que el sistema A0 x = b es compatible exactamente para los mismos vectores b que el sistema Ax = b. En consecuencia Si A0 se obtiene de A eliminando una columna no pivote, entonces Col A = Col A0 . Eliminando de un conjunto finito S un vector que sea combinación lineal de los otros reducimos el conjunto S a otro que tiene un vector menos pero que sigue generando el mismo subespacio. Si continuamos de esta manera y dado que S es un conjunto finito, llegará un momento en que S se haya reducido a un conjunto en el que ya no existe ningún vector que sea combinación lineal de los otros —y por tanto S se ha reducido a un conjunto libre— pero que aún seguirá generando el mismo subespacio que S. Es decir, llegaremos a obtener un conjunto B tal que: (a) B es libre (ningún vector de B es combinación lineal de los otros). (b) Gen B = Gen S (= H ). 13

4.5. Base de un espacio vectorial

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Estas dos propiedades caracterizan a B como una base del subespacio H y el razonamiento que acabamos de hacer demuestra el siguiente: TEOREMA 4.5.1 Teorema del conjunto generador Todo conjunto finito de vectores, S, tiene un subconjunto libre que genera el mismo subespacio que S.

DEFINICIÓN 4.5.1 Base de un subespacio Una base de un subespacio H de un espacio vectorial V es un conjunto de generadores de H que son linealmente independientes. En otras palabras, una base de H es un conjunto libre de vectores de V que genera a H. base de un espacio vectorial

En el caso particular de que H sea el espacio total V, llegamos a la noción de base de un espacio vectorial, que, por definición, es un conjunto libre de vectores de V que genera todo el espacio V. El resultado fundamental sobre las bases de los espacios vectoriales dice —a grandes rasgos— que dos bases de un mismo espacio vectorial V tienen el mismo número de elementos. Tendremos que esperar un poco para poder demostrar esto. De momento, el ejercicio 3 nos permite demostrar lo siguiente: TEOREMA 4.5.2 Dos bases culesquiera de cualquier subespacio H de Rm tienen el mismo número de vectores.

La demostración de esto es un sencillo ejercicio: 5 Ejercicio de tarea. Sea H un subespacio de Rm y sean B1 y B2 dos bases de H. Usa la definición de base y el resultado del ejercicio 3 para demostrar que B1 y B2 tienen el mismo número de vectores. Según la definición de base, si S es un conjunto libre cualquiera, entonces S es base del subespacio H = Gen S que genera.

Base del espacio columna de una matriz Según lo dicho más arriba, todo conjunto finito, S = {u1 , . . . , un } contiene una base del subespacio Gen S generado por él. ¿Cómo podemos determinar qué vectores de S constituyen una base de Gen S? La respuesta a esta pregunta es muy sencilla si los u1 , . . . , un son vectores de Rn o de Cn , de forma que estos vectores son las columnas de una matriz real o compleja: A = [u1 · · · un ]. En este caso el subespacio generado por S es justamente el espacio columna de A: Gen S = Col A y como vimos más arriba, este subespacio está generado por las columnas pivote de A. Como, además, las columnas pivote son linealmente independientes, forman una base del espacio columna y por tanto del espacio Gen S. Así pues: Para hallar una base del espacio columna de una matriz A basta hallar una forma escalonada de A, anotar los números de las columnas con pivote, y seleccionar las correspondientes columnas de la matriz A. Atención: la base de Col A está formada por columnas de A, no por columnas de su forma escalonada. 14

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.5. Base de un espacio vectorial

Por ejemplo, supongamos que queremos hallar una base del subespacio de R3 generado por las columnas de la matriz:   3 −6 0 3 1 −5 7 A= 2 −4 7 2 −5 Basta hallar una forma escalonada de ella: ! 3 2 −4

−6 1 7

0 −5 2

3 7 −5

1F 3 1

−−→

1 2 −4

−2 1 7

0 −5 2

1 7 −5

!

F2 −2F1 F3 +4F1

−−−−→

1 0 0

−2 5 −1

0 −5 2

1 5 −1

!

F3 + 51 F5

−−−−→

1 0 0

−2 5 0

0 −5 1

1 5 0

!

Las columnas pivote son la primera, la segunda y la tercera, luego una base del subespacio Col A es la formada por las tres primeras columnas de A: B = {a1 , a2 , a3 }, donde:       3 −6 0 a1 =  2 , a2 =  1 , a3 =  −5 . −4 7 2 Ejemplo: Base canónica de R2 Los vectores

  1 e1 = 0

  0 e2 = 1

son claramente independientes porque no son uno múltiplo del otro. Además, generan R2 porque con la matriz A = [e1 e2 ], el sistema Ax = b es compatible para todo b ∈ R2 ; por tanto forman una base de R2 . Esta base se llama la base canónica de R2 . Igualmente, estos mismos dos vectores forman una base de C2 si usamos como escalares los números complejos. Ejemplo: Base de C como espacio vectorial real El conjunto {1, i } es una base de C cuando los números complejos se consideran como un espacio vectorial real. Por un lado, los números 1 e i son independientes porque no hay ningún número real que multiplicado por uno de ellos dé el otro. Por otro lado, generan C porque todo número complejo es combinación lineal de ellos. Ejemplo: Base canónica de Rn y de Cn Las columnas de la matriz identidad n × n,  1 ···  .. . . In =  . . 0 ···

 0 ..  . 1

son linealmente independientes porque todas ellas son columnas pivote. Si tomamos como escalares los números reales, el espacio columna de In es todo Rn : Col In = Rn . Por tanto, usando como escalares los números reales, por ser independientes y generar Rn , las columnas de la matriz identidad n × n constituyen una base de Rn . Esa base se llama la base canónica de Rn . base canónica de Rn .

Análogamente, si tomamos como escalares los números complejos, el espacio columna de In es todo Cn : Col In = Cn . Por tanto, usando como escalares los números complejos, por ser independientes y generar Cn , las columnas de la matriz identidad n × n constituyen una base de Cn . Esa base se llama la base canónica de Cn . base canónica de Cn .

15

4.6. Aplicaciones lineales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Estos resultados, combinados con el resultado del ejercicio 5 demuestran inmediatamente lo siguiente: PROPOSICIÓN 4.5.1 Toda base de Rm tiene exactamente m vectores. Por otra parte, este teorema tiene una demostración directa inmediata: Sea B = {u1 , . . . , un } una base de Rm . Por ser B libre, n ≤ m. Porque B genera Rm , n ≥ m. Por lo tanto n = m.

Base del espacio nulo de una matriz El espacio nulo de una matriz A es el conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0. Cuando se escribe la solución general de este sistema en forma vectorial paramétrica se obtiene una fórmula para la solución en la forma: x = t1 u1 + · · · + t k u k .

(4.5)

donde t1 , . . . , tk son los parámetros, los cuales se corresponden con las variables libres del sistema y con las columnas no pivote de A. Según esta fórmula, el espacio nulo de A está generado por los vectores u1 , . . . , uk : Nul A = Gen{u1 , . . . , uk }. Pero además, hemos visto ya que estos vectores son linelmente independientes porque la matriz que forman tiene exactamente k pivotes. Por tanto, los u1 , . . . , uk generan Nul A y son independientes por lo que constituyen una base de Nul A. Así pues: Para hallar una base del espacio nulo de una matriz A, basta hallar la solución general del sistema homogéneo Ax = 0 y expresarla en la forma vectorial paramétrica (4.5). Los vectores u1 , . . . , uk obtenidos forman una base de Nul A.

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 5.

4.6.

Aplicaciones lineales

Concepto de aplicación lineal T : V → W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales complejos), una aplicación lineal o transformación lineal de V a W es una función T : V → W que tiene las dos propiedades siguientes: (a) Para cualesquiera vectores u, v ∈ V, T (u + v) = T (u) + T (v). (b) Para cualquier vector v ∈ V y cualquier escalar λ, T (λv) = λT (v). En otras palabras, una aplicación lineal es una aplicación que “conserva” la suma de vectores y la multiplicación por escalares. La primera consecuencia de estas dos propiedades que caracterizan a las aplicaciones lineales es el llamado “Principio de Superposición” que es la siguiente propiedad: 16

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.6. Aplicaciones lineales

Principio de superposición: Para cualesquiera vectores u1 , . . . , un en V y cualesquiera escalares c1 , . . . , c n , T ( c1 u1 + · · · + c n u n ) = c1 T ( u1 ) + · · · + c n T ( u n ). Es decir, una aplicación cumple el principio de superposición si “conserva” las combinaciones lineales. Esta propiedad por sí sola es equivalente a las dos que hemos usado para definir las aplicaciones lineales porque no sólo se deduce de aquéllas sino que también aquellas se deducen de esta porque ambas son casos particulares del principio de superposición. Otra consecuencia importante de la definición de aplicación lineal es que toda aplicación lineal T : V → W evaluada en el vector cero de V da como resultado el vector cero de W: T (0) = 0. Finalmente, sabemos que cualquier aplicación biyectiva (sobreyectiva e inyectiva) tiene una aplicación inversa (y, recíprocamente, cualquier aplicación que tenga inversa es biyectiva). En el caso especial de una aplicación lineal biyectiva, la aplicación inversa es también una aplicación lineal.

Composición de aplicaciones lineales. La propiedad clave de las aplicaciones lineales es el hecho de que la composición de dos aplicaciones lineales es también una aplicación lineal.

Ejemplos de aplicaciones lineales. Homotecias y simetría central del plano. Una homotecia es una transformación de un espacio vectorial real en la que cada vector queda multiplicado por un número real positivo fijo llamado la constante de la homotecia. Análogamente una simetría central multiplica cada vector por un número real negativo. Es un sencillo ejercicio comprobar que estos dos tipos de transformaciones son aplicaciones lineales. Las homotecias y las simetrías centrales de Rn tienen en común el hecho de que su matriz canónica es una matriz numérica, es decir una matriz que es un múltiplo escalar de la identidad. La diferencia es que en las homotecias ese número que multiplica a la identidad es positivo mientras que en las simetrías centrales es negativo. Proyección del plano sobre una recta que pasa por el origen. Los casos más sencillos son  1 0 las proyecciones sobre el eje x, con matriz canónica 0 0 , y sobre el eje y, con matriz ca  0 0 nónica 0 1 . En general, la proyección sobre la recta de múltiplos de un vector ( a, b) con  2    a ab a a2 + b2 = 1 tiene matriz canónica ab b2 , la cual es igual al producto de matrices b ( a b ). ¿Casualidad? Simetrías axiales del plano. Una simetría axial del plano es una transformación lineal del plano que deja fijo cada punto de una recta llamada el eje de simetría y transforma cada uno de los demás puntos en el simétrico respecto de dicha recta. Los ejemplos más sencillos son   las simetrías respecto a los ejes. La simetría respecto al eje x tiene matriz canónica   −1 0 mientras que la simetría respecto al eje y tiene matriz canónica . 0 1

1 0

0 −1

Giros del plano. Todo giro rígido del plano en torno al origen define una aplicación lineal. En el caso del giro de 180◦ la correspondiente aplicación lineal es también una simetría central y 17

4.6. Aplicaciones lineales su matriz canónica es



4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales −1 0

0 −1



= − I. La matriz del giro de 90◦ es J =

90◦



0 1

180◦ ,

−1 0



y puesto que

J2

dos giros seguidos de es lo mismo que uno de se puede concluir que = − I, lo cual es fácil de comprobar. Esta propiedad se expresa a veces diciendo que J es una “raíz cuadrada de menos uno”. Se puede demostrar que J y − J son las únicas matrices 2 × 2 que tienen esta propiedad.

Subespacios imagen y núcleo de una aplicación lineal Dada una aplicación lineal T : V → W, el espacio V se llama el dominio de T y el espacio W se llama el codominio de T.

imagen de T

Subespacio imagen: El conjunto de todos aquellos vectores de W que se pueden obtener como resultado de evaluar la aplicación T en algún vector de V se llama la imagen de T y se denota Im T. Dicho de otra forma, un vector b de W pertenece a Im T si y sólo si el problema de hallar un x ∈ V tal que T (x) = b tiene alguna solución. Por la propiedad T (0) = 0, la imagen de T contiene el cero de W. Además, si p y q pertenecen a la imagen de T es porque existen vectores u, v ∈ V tales que T (u) = p y T (v) = q; entonces también existe un vector en V cuya imagen por T es p + q (ese vector es, naturalmente u + v ya que T (u + v) = T (u) + T (v) = p + q), con lo que p + q también pertenece a la imagen de T. De forma similar se demuestra que Im T cumple también la tercera condición para ser un subespacio vectorial de W (que los reescalados de los vectores de Im T siguen perteneciendo a Im T). En conclusión tenemos: La imagen de una aplicación lineal es un subespacio vectorial del codominio. Supongamos que V tiene una base B = {v1 , . . . , vn }. Entonces, las imágenes de estos vectores por una aplicación lineal T : V → W, { T (v1 ), . . . , T (vn )} generan el subespacio Im T de W. Una aplicación lineal es sobreyectiva si y sólo si su imagen es todo su codominio, es decir, dada una aplicación lineal T : V → W, ésta es sobreyectiva si y sólo si Im T = W.

núcleo de T

Subespacio núcleo: El conjunto de todos aquellos vectores del dominio, V, en los que la aplicación T se anula se llama el núcleo de T y se denota2 ker T. Dicho de otra forma, un vector a de V pertenece a ker T si y sólo si T (a) = 0. Por tanto el núcleo de T es el conjunto solución de la ecuación T (x) = 0. El núcleo de una aplicación lineal T : V → W contiene al menos el vector cero de V ya que toda aplicación lineal tiene la propiedad T (0) = 0. Además, por la propiedad T (u + v) = T (u) + T (v), si u y v están en el núcleo de T, también lo está su suma u + v y por la propiedad T (λu) = λT (u), si u está en el núcleo de T, también lo está cualquiera de sus múltiplos λu. Esto demuestra: El núcleo de una aplicación lineal es un subespacio vectorial del dominio. Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si su núcleo contiene sólo el vecto cero (se suele decir si y sólo si “su núcleo es cero”), es decir, dada una aplicación lineal T : V → W, ésta es inyectiva si y sólo si ker T = 0.

La aplicación lineal de Rn a Rm definida por una matriz m × n Ya conocemos un ejemplo de aplicación lineal: Para comprobar si unos valores particulares de las incógnitas x1 , . . . , xn constituyen una solución de un sistema de m ecuaciones lineales Ax = b tenemos que evaluar los miembros de la izquierda de todas las ecuaciones y comprobar si el 2 “ker” es abreviatura de la palabra inglesa “kernel” que significa “lo central o más importante de una cosa” y deriva del nombre de los granos del maíz (“kernels”) y éste a su vez del nombre del maíz en inglés (“corn”).

18

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.6. Aplicaciones lineales

resultado es o no es igual al vector de los miembros de la derecha (terminos independientes). Al evaluar los miembros de la izquierda estamos evaluando el producto de la matriz A de coeficientes (que, por simplificar la exposición, supondremos que son reales) por el vector x de Rn cuyos elementos son los valores dados a las incógnitas x1 , . . . , xn , es decir, al evaluar los miembros de la izquierda de un sistema de ecuaciones lineales estamos evaluando una función: TA : Rn → Rm ,

TA (x) = Ax.

Las propiedades que ya conocemos del producto matriz por vector, A(x + y) = Ax + Ay, A(λx) = λ( Ax) son exactamente las propiedades que definen una aplicación lineal. Por tanto, la función TA definida por la matriz de coeficientes A es una aplicación lineal y tenemos lo siguiente: Toda matriz real A de m filas y n columnas determina una aplicación lineal TA : Rn → Rm que se llama la aplicación lineal definida por la matriz A y que está definida por TA (x) = Ax. la aplicación

lineal definida por la matriz A

Subespacio imagen de TA : El subespacio imagen de la aplicación lineal TA : Rn → Rm definida por una matriz m × n está generado por las imágenes de los n vectores e1 , . . . , en de la base canónica de Rn (columnas de la matriz identidad n × n)       1 0 0 0 1 0       e1 =  .  , e2 =  .  , . . . , en =  .  , Im( TA ) = Gen{ TA (e1 ), . . . , TA (en )}.  ..   ..   ..  0

0

1

Pero estas imágenes TA (e1 ) = Ae1 , . . . , TA (en ) = Aen son precisamente las columnas de A ya que Ae1 es igual a la primera columna de A, Ae2 es la segunda columna de A, etc. Por ejemplo,             1 2 1 2 1 1 1 2 0 2 Si A = entonces Ae1 = = , Ae2 = = . 3 4 3 4 0 3 3 4 1 4 Así pues, el subespacio imagen de la aplicación lineal definida por A está generado por las columnas de A y por tanto: El subespacio imagen de TA es el espacio columna de A: Im( TA ) = Col A. En consecuencia: La aplicación lineal definida por una matriz es sobreyectiva si y sólo si todo sistema de ecuaciones lineales con esa matriz de coeficientes es compatible cualesquiera que sean los términos independientes. Subespacio núcleo de TA : El núcleo de la aplicación lineal TA es el conjunto solución de TA (x) = 0, pero por la definición de TA esto es justamente el conjunto solución de Ax = 0, que es lo que hemos llamado el espacio nulo de A. Por tanto: El subespacio núcleo de TA es el espacio nulo de A: ker( TA ) = Nul A. En consecuencia: La aplicación lineal definida por una matriz es inyectiva si y sólo si el sistema homogéneo con esa matriz de coeficientes tiene solamente la solución trivial.

La matriz canónica de una aplicación lineal de Rn a Rm No existen más aplicaciones lineales de Rn a Rm que las definidas por las matrices reales m × n explicadas en la sección anterior. 19

4.6. Aplicaciones lineales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Para demostrar esto tratemos de descubrir cuál es la matriz de una aplicación lineal cualquiera T : Rn → Rm . Evidentemente, si ya supiésemos que T es la aplicación lineal de una matriz, las columnas de esa matriz serían los vectores imagen de los n vectores e1 , . . . , en de la base canónica de Rn . Por tanto, construyamos la matriz A = [ T (e1 ) · · · T (en )] cuyas columnas son los n vectores T (e1 ), . . . , T (en ) de Rm . Sea ahora x un vector cualquiera de Rn con coordenadas x1 , . . . , xn . Entonces x = x1 e1 + · · · + xn en y por el principio de superposición, T (x) = x1 T (e1 ) + · · · + xn T (en ) = [ T (e1 ) · · · T (en )]x = Ax lo cual significa que T es la aplicación lineal definida por la matriz A. La matriz A obtenida a partir de T usando como columnas las imágenes de los vectores de la base canónica se llama la matriz canónica de la aplicación lineal T.

La composición de aplicaciones lineales y el producto de matrices Sea A una matriz de n columnas y sea B una matriz de n filas, de forma que exista el producto AB. Si A tiene m filas y B tiene p columnas entonces el producto AB es una matriz m × p y por tanto define una aplicación lineal TAB : R p → Rm . Por otro lado A y B definen sendas aplicaciones lineales TB : R p → Rn ,

TA : Rn → Rm .

Como el dominio de TA es el codominio de TB , se puede hallar la aplicación compuesta TA ◦ TB : R p → Rm ¿Cuál es la matriz canónica de esta aplicación compuesta? La columna j de esa matriz es el vector

TA ◦ TB (e j ) = TA TB (e j ) donde e j son el vector j de la base canónica de R p (columna j de la matriz identidad I p ). Pero entonces

TA TB (e j ) = TA b j = Ab j donde b j es la columna j de B. En consecuencia, la matriz canónica de la aplicación lineal compuesta TA ◦ TB es:

[ Ab1 . . . Ab p ] = A[b1 . . . b p ] = AB y por tanto TA ◦ TB = TAB . Resumiendo: La matriz canónica de una aplicación lineal que es composición de otras dos es el producto de las matrices canónicas de las otras dos. Teniendo en cuenta que la matriz canónica de una aplicación lineal identidad es una matriz identidad, de lo anterior se deduce que si una aplicación lineal es biyectiva (tiene inversa) entonces las matrices canónicas de la aplicación y de su inversa son inversas una de la otra:

( TA )−1 = TA−1 . 20

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.7.

4.7. Dimensión y Rango

Dimensión y Rango

Coordenadas de un vector relativas a una base Sea V un espacio vectorial real y sea B = {u1 , . . . , un } una base de V. Entonces todo vector b de V tiene una única expresión como combinación lineal de los vectores de la base B , lo cual significa que existen unos coeficientes únicos c1 , . . . , cn tales que c1 u1 + · · · + cn un = b.

(4.6)

Estos coeficientes se llaman las coordenadas de b relativas a la base B . El vector de Rn cuyas componentes son los coeficientes c1 , . . . , cn se llama el vector de coordenadas de b en la base B y se denota [b]B , de forma que podemos escribir     c1 c1  ..   ..  y la ecuación (4.6) queda: [u1 · · · un ]  .  = [B][b]B = b. [b]B =  .  cn

cn

Función de coordenadas. Si V es un espacio vectorial que tiene una base B de n vectores, se llama función de coordenadas de V en base B a la función TB : V → Rn que asigna a cada vector de V su vector de coordenadas en base B , es decir, TB está definida por TB (b) = [b]B . Teorema de linealidad de la función de coordenadas: La función de coordenadas es una aplicación lineal biyectiva. Demostración: Que es biyectiva es evidente porque tiene una aplicación inversa que es la dada por la ecuación (4.6) (dados los coeficientes c1 , . . . , cn , calculamos el vector b). Que es lineal es consecuencia de que, por un lado, si dos vectores p y q son combinación lineal de u1 , . . . , un , la suma p + q es también combinación lineal de los mismos vectores con coeficientes o pesos que son las sumas de los correspondientes a p y q: p = c1 u1 + · · · + c n u n q = d1 u1 + · · · + d n u n p + q = ( c1 + d1 ) u1 + · · · + ( c n + d n ) u n ,

por tanto:

[p + q]B = [p]B + [q]B .

Y, por otro lado, cualquier múltiplo cp es también combinación lineal de los mismos vectores u1 , . . . , un con coeficientes o pesos que son los de p multiplicados por c: p = c1 u1 + · · · + c n u n 

λp = (λc1 )u1 + · · · + (λcn )un ,

por tanto:

   λc1 c1  ..   ..  [λp]B =  .  = λ  .  = λ[p]B . λcn

cn

Cambio de base Supongamos que B y C son dos bases de un espacio vectorial V. Entonces la aplicación lineal compuesta TC ◦ TB−1 : Rn → Rn transforma las coordenadas de un vector de V relativas a la base B en las coordenadas de ese mismo vector relativas a la base C . La matriz canónica de esta aplicación lineal se llama la matriz de cambio de base de la base B a la base C y se denota PC←B . 21

4.7. Dimensión y Rango

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

La matriz de cambio de base se caracteriza por la propiedad de que para cualquier vector v de V se cumple PC←B [v]B = [v]C . De esta propiedad se deduce la forma de calcular la matriz de cambio de base: Las columnas de la matriz de cambio de base PC←B son las coordenadas de los vectores de la base B relativas a la base C . En otras palabras: Si B = {b1 , . . . , bn } entonces   PC←B = [b1 ]C · · · [bn ]C . Demostración: Dado un vector v en V, sabemos que exisien números x1 , . . . , xn tales que v = x1 b1 + x2 b2 + · · · + x n b n porque los vectores b1 , . . . , bn generan V. Como la función de coordenadas es una aplicación lineal, si aplicamos la función de coordenadas x 7→ [x]C a v se obtiene

[ v ] C = x1 [ b1 ] C + x2 [ b2 ] C + · · · + x n [ b n ] C . Finalmente, por la definición de producto matriz por vector esta ecuación puede escribirse en la forma   x1   .  [v]C = [b1 ]C [b2 ]C · · · [bn ]C  ..  . (4.7) xn   Esto demuestra que para cada vector v de V, la matriz PC←B = [b1 ]C [b2 ]C · · · [bn ]C cumple [v]C = PC←B · [v]B (transforma las coordenadas de B a C ) porque el vector ( x1 , . . . , xn ) en el miembro de la derecha de la ecuación (4.7) es el vector de coordenadas de v en la base B . Evidentemente la inversa de esta matriz es la matriz de cambio de base de la base C a la base

B:

( PC←B )−1 = PB←C . De todo lo dicho se deduce inmediatamente lo siguiente:

PROPOSICIÓN 4.7.1 Toda matriz inversible P es la matriz de cambio de base de la base formada por sus columnas a la base canónica.

Espacios vectoriales de dimensión finita Una consecuencia inmediata del Teorema de linealidad de la función de coordenadas es la siguiente: Proposición: Sea V un espacio vectorial que tiene una base de n vectores, B = {u1 , . . . , un }. Si S es un subconjunto de V con más de n vectores, entonces S es ligado. Demostración: Supongamos que p > n y que S tiene p elementos: S = {v1 , . . . , v p }. Los vectores de coordenadas relativas a B de los vectores de S son p vectores de Rn :

[ v1 ] B , . . . , [ v p ] B . 22

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.7. Dimensión y Rango

Estos vectores forman las columnas de una matriz que tiene más columnas que filas, por tanto tiene alguna columna no pivote y el sistema homogéneo que tiene esa matriz de coeficientes tiene soluciones no triviales, es decir, existen coeficientes c1 , . . . , c p no todos nulos tales que c1 [v1 ]B + · · · + c p [v p ]B = 0, por tanto, por la linealidad de la función de coordenadas,

[c1 v1 + · · · + c p v p ]B = 0. Esto significa que el vector de coordenadas del vector de V c1 v1 + · · · + c p v p es el vector cero, por tanto este vector es cero y lo que tenemos es una relación de dependencia lineal entre los vectores de S: c1 v1 + · · · + c p v p = 0. Luego S es ligado, como queríamos demostrar. Supongamos ahora que V es un espacio vectorial que tiene una base B de n vectores. Entonces, por lo que acabamos de ver, todo conjunto de vectores de V que sea libre tiene a lo sumo n vectores. En particular, otra base cualquiera tiene a lo sumo n vectores. Dadas dos bases culesquiera de V ninguna puede tener más vectores que la otra y por tanto llegamos a la conclusión de que: Si un espacio vectorial tiene una base de n vectores, entonces todas sus bases tienen n vectores.

Definición: Se llama espacio vectorial de dimensión finita a todo espacio vectorial que tenga una base con un número finito de elementos. En un espacio vectorial de dimensión finita todas las bases tienen el mismo número de elementos y ese número se llama la dimensión del espacio. La dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita V se denota dim V.

Las dimensiones de los espacios columna y nulo de una matriz Según se ha visto antes, las columnas pivote de una matriz forman una base de su espacio columna. Por otra parte, el número de vectores de una base del espacio nulo es igual al número de variables libres del sistema homogéneo que tiene esa matriz de coeficientes; pero ese número es igual al número de columnas no pivote de la matriz dada. En consecuencia tenemos: dim(Col A) = número de columnas pivote de A dim(Nul A) = número de columnas no pivote de A dim(Col A) + dim(Nul A) = número total de columnas de A. Traducido al lenguaje de las aplicaciones lineales: Para cualquier aplicación lineal T : Rn → Rm , dim(ImT ) + dim(ker T ) = n.

En general, si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, para cualquier aplicación lineal T : V → W, dim(ImT ) + dim(ker T ) = dim V. 23

espacio vectorial de dimensión finita Dimensión de un espacio vectorial.

4.7. Dimensión y Rango

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

6 Ejercicio de tarea. Considera los siguientes subespacios de R4 : H es el subespacio cuya ecuación cartesiana es 2x1 − x2 − x3 + x4 = 0, mientras que K = Col A donde   1 1 −2 1 1 0 . A= 0 2 2 0 −1 −1 Calcula las dimensiones de H, de K y de los espacios suma, H + K, e intersección, H ∩ K.

El teorema de complección de un conjunto libre Una importante propiedad de los espacios de dimensión finita es que cualquier conjunto libre de vectores puede “completarse” hasta formar una base del espacio vectorial: Teorema de complección de un conjunto libre: Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y S = {v1 , . . . , vk } es un conjunto libre de vectores de V entonces, para cualquier vector u que no pertenezca al subespacio generado por S, u 6∈ Gen S, el conjunto S ∪ {u} sigue siendo libre. En consecuencia todo conjunto libre en V se puede completar a una base de V.

Dimensión del espacio suma: Fórmula de Grassmann Teorema (Fórmula de Grassman): Si H y K son dos subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V, entonces dim( H + K ) = dim H + dim K − dim( H ∩ K ). Demostración: Sea p = dim( H ∩ K ) y sea B = {v1 , . . . , v p } una base de H ∩ K. Entonces B es un subconjunto libre de H y por el teorema de complección de un conjunto libre se puede completar a una base de H:

{v1 , . . . , v p , h1 , . . . , hr } base de H,

p + r = dim H

y además, ninguno de los vectores h1 , . . . , hr pertenecen a K porque si alguno perteneciese, pertenecería a H ∩ K y no sería independiente de los vectores v1 , . . . , v p . Por otro lado, B es también un subconjunto libre de K y de nuevo por el teorema de complección de un conjunto libre se puede completar a una base de K:

{v1 , . . . , v p , k1 , . . . , ks } base de K,

p + s = dim K

y ninguno de los vectores k1 , . . . , ks pertenecen a H. En consecuencia el conjunto

{ v1 , . . . , v p , h1 , . . . , hr , k1 , . . . , k s } es libre. Además, claramente genera H + K, luego es una base de H + K y tenemos dim( H + K ) = p + r + s = ( p + r ) + ( p + s − p) = dim H + dim K − dim( H ∩ K ). Corolario: Si H y K son dos subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V cuya intersección es cero: H ∩ K = { 0 }, entonces dim( H + K ) = dim H + dim K. 24

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.7. Dimensión y Rango

Si B H , BK son bases respectivas de H y K, entonces el conjunto formado por los vectores de las dos bases, B = B H ∪ BK es una base del espacio suma H + K que, como hemos visto ya, al ser H ∩ K = {0}, es isomorfo al espacio producto cartesiano H × K.

Espacio fila, espacio columna y rango de una matriz Matriz traspuesta Si A es una matriz real de m filas y n columnas, cada fila de A está compuesta por n números reales y por tanto se puede identificar con un vector de Rn . Si cada fila de A se escribe como una columna entonces obtenemos una nueva matriz que tiene m columnas y n filas. Esta nueva matriz se llama la matriz traspuesta de A y se denota AT . matriz traspuesta

Espacio fila Se llama espacio fila de una matriz A, y se denota Fil A, al espacio columna de su matriz espacio fila traspuesta. Esto es, el espacio fila de una matriz de m filas y n columnas es el subespacio de Rn generado por las m filas de la matriz: Fil A = Col AT . La diferencia fundamental entre el espacio fila y el espacio columna de una matriz consiste en que, aunque la operaciones elementales de filas cambian el espacio columna de una matriz, éstas no cambian el espacio fila. Esto es evidente para las operaciones de intercambio y de reescalado, pero también para las operaciones de reemplazo porque para cualesquiera vectores u, v, el espacio generado por ellos es el mismo que el generado por u y v + λu: Gen{u, v} = Gen{u, v + λu}. En consecuencia tenemos: Dos matrices obtenidas una de otra mediante operaciones elemntales de filas tienen el mismo espacio fila. Si una de ellas tiene forma escalonada, sus filas no nulas forman una base del espacio fila de ambas. Para justificar que las filas no nulas son independientes basta observar que ninguna de ellas es combinación lineal de las siguientes. 7 Ejercicio de tarea. Sabiendo que   −2  1 A= 3 1

−5 3 11 7

8 −5 −19 −13

0 1 7 5

−17 5 1 −3



es equivalente por filas a

1 0 B= 0 0

0 1 0 0

1 −2 0 0

0 0 1 0



1 3 , −5 0

escribe, justificando tus respuestas, una base del espacio columna, una base del espacio fila y una base del espacio nulo de A. Dimensiones del espacio columna y del espacio fila de una matriz: Rango de una matriz La dimensión del espacio columna de una matriz es el número de columnas pivote en una forma escalonada cualquiera de la matriz. Este número es igual al número de pivotes de una forma escalonada de la matriz. Por otra parte la dimensión del espacio fila es igual al número de filas no nulas en una forma escalonada cualquiera de la matriz. Este número también es igual al número de pivotes de una forma escalonada cualquiera de la matriz, por tanto, llegamos a la siguente conclusión: Teorema del Rango: El espacio columna de una matriz tiene la misma dimensión que su espacio fila. Esta dimensión común del espacio fila y del espacio columna se conoce como el rango de la matriz. rango 25

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 6, Ejercicio 7. Teorema de la Base:

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita igual a n. Entonces:

(1) Todo conjunto libre formado por n vectores de V es una base de V y (2) Todo conjunto de n vectores de V que genere V es una base de V.

4.8.

Ejercicios adicionales

Dependencia e independencia lineal En los ejercicios 1 a 4, sean   3 u =  2 , −4



 −6 v =  1 , 7



 0 w =  −5 , 2



y

 3 z =  7 −5

I 1. Para cada uno de los conjuntos {u, v}, {u, w}, {u, z}, {v, w}, {v, z} y {w, z} indica razonadamente si es libre (vectores linealmente independientes) o ligado (vectores linealmente dependientes). I 2. La respuesta al ejercicio 1, ¿implica que {u, v, w, z} es libre (vectores linealmente independientes)?. I 3. Para determinar si {u, v, w, z} es ligado, ¿es prudente verificar si, por ejemplo, w es una combinación lineal de u, v y z?. I 4. ¿Es el conjunto de vectores {uu, v, w, z} libre o ligado? En los ejercicios 5 a 8, determina si los vectores son linealmente independientes. Justifica cada una de tus respuestas.             5 7 9 0 0 −3 I 5. 0,  2, 4 I 6. 0, 5,  4 0 −6 8 2 8 1         1 −3 −1 −2 I 7. , I 8. , −3 9 4 8

En los ejercicios 9 a 12, determine si las columnas de la matriz dada son linealmente independientes. Justifica cada una de tus respuestas.     0 −8 5 −4 −3 0  3 −7  0 −1 4 4   I 9.  I 10.   −1   1 5 −4 0 3 1 −3 2 5 4 6 26

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 

1 I 11. −2 −4

4 −7 −5

 −3 0 5 1 7 5

4.8. Ejercicios adicionales 

1 I 12. −3 0

 −3 3 −2 7 −1 2 1 −4 3

En los ejercicios 13 y 14 se pide: (a) ¿para qué valores de h está v3 en Gen v1 , v2 ?, y (b) ¿para qué valores de h es {v1 , v2 , v3 } un conjunto ligado (vectores linealmente dependientes). Justifica cada una de tus respuestas.             1 −3 5 1 −2 2 I 13. v1 = −3, v2 =  9, v3 = −7 I 14. v1 = −5, v2 =  10, v3 = −9 2 −6 h 3 6 h

En los ejercicios 15 a 18, halla el o los valores de h para los cuales los vectores son linealmente dependientes. Justifica cada una de tus respuestas.             1 3 −1 2 −6 8 I 15. −1, −5,  5 I 16. −4,  7, h 4 7 h 1 3 4             1 −2 3 1 −5 1 I 17.  5, −9,  h I 18. −1,  7,  1 −3 6 −9 3 8 h

Determina por inspección si los vectores en los ejercicios 19 a 24 son linealmente independientes. Justifica cada una de tus respuestas.             4 6 5 2 1 −1 I 19. , , , I 20. −2, −3 1 8 3 7 6 9               3 0 −6 4 −1 2 8       5 , 0 , 5 I 21. I 22. , , , 4 3 5 1 −1 0 4           −8 2 1 −2 0 I 23.  12, −3 I 24.  4,  5, 0 −4 −1 −7 3 0

En los ejercicios 25 y 26, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica cada respuesta después de hacer una lectura cuidadosa del texto.

I 25. (a) Las columnas de una matriz A son linealmente independientes si la ecuación A x = 0 tiene la solución trivial. (b) Si S es un conjunto de vectores ligado (los vectores de S son linealmente dependientes), entonces cada vector de S es una combinación lineal de los otros vectores en S. (c) Las columnas de cualquier matriz de orden 4 × 5 son linealmente dependientes. (d) Si x e y son linealmente independientes, y si {x, y, z} es un conjunto ligado (los vectores son linealmente dependientes), entonces z está en Gen x, y. 27

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I 26. (a) Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, están en una misma recta que pasa por el origen. (b) Si un conjunto de vectores contiene menos vectores que coordenadas tiene cada uno de los vectores, entonces el conjunto es libre (los vectores son linealmente independientes). (c) Si x e y son linealmente independientes y z está en Gen x, y, entonces el conjunto {x, y, z} es ligado. (d) Si un conjunto de vectores de Rn es ligado (los vectores son linealmente dependientes), entonces el conjunto contiene más vectores que coordenadas tiene cada vector. En los ejercicios 27 a 30, describe las posibles formas escalonadas de la matriz. Usa la notación que se describió en el boletín 2.

I 27. A es una matriz de orden 3 × 3 con columnas linealmente independientes. I 28. A es una matriz de orden 2 × 2 con columnas linealmente dependientes. I 29. A es una matriz de orden 4 × 2 cuyas columnas son los vectores a1 y a2 (es decir, A = [a1 a2 ]) y a2 no es múltiplo de a1 . I 30. A es una matriz de orden 4 × 3 cuyas columnas son los vectores a1 a2 y a3 (es decir, A = [a1 a2 a3 ]), tal que {a1 , a2 } es libre (vectores linealmente independientes) y a3 no está en Gen a1 , a2 .

I 31. ¿Cuántas columnas pivote debe tener una matriz de orden 7 × 5 si sus columnas son linealmente independientes?. ¿Por qué? I 32. ¿Cuántas columnas pivote debe tener una matriz de orden 5 × 7 si sus columnas generan a R5 . Por qué? I 33. Construye dos matrices A y B de orden 3 × 2 tales que A x = 0 tenga únicamente la solución trivial, y B x = 0 tenga una solución no trivial. I 34. (a) Llena el espacio en blanco de la siguiente afirmación: Si A es una matriz de orden m × n, entonces las columnas de A son linealmente independientes si, y sólo si, A tiene columnas pivote. (b) Explica por qué la afirmación en (a) es verdadera. Los ejercicios 35 y 36 deben resolverse sin realizar operaciones de filas. Sugerencia: Escribe A x = 0 como una ecuación vectorial. 2  −5 −3 1



I 35. Dada A =

3 1 −1 0

5 −4  −4 , observa que la tercera columna es la suma de las dos primeras 1



columnas. Halla una solución no trivial de A x = 0. 28

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I 36. Dada A =

4 −7 9

1 5 −3

6 3 3

4.8. Ejercicios adicionales

! , observa que la primera columna más dos veces la segunda es

igual a la tercera. Halla una solución no trivial de A x = 0. En los ejercicios 37 a 42 v1 , v2 , v3 , y v4 son vectores de R4 . Cada enunciado es o bien verdadero (siempre se cumple) o bien falso (hay algún caso en que no se cunple). Si la afirmación es falsa, da un ejemplo que demuestre que el enunciado no siempre es cierto (tal ejemplo se llama un contraejemplo del enunciado). Si la afirmación es verdadera, da una justificación (un ejemplo particular no sirve para explicar por qué una afirmación siempre es cierta)

I 37. Si v3 = 2 v1 + v2 , entonces el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 } es ligado (vectores linealmente dependientes). I 38. Si v3 = 0, entonces {v1 , v2 , v3 , v4 } es ligado (vectores linealmente dependientes). I 39. Si v2 no es un múltiplo de v1 , entonces {v1 , v2 } es libre (vectores linealmente independientes). I 40. Si v3 no es una combinación lineal de v1 , v2 , v4 , entonces {v1 , v2 , v3 , v4 } es libre (vectores linealmente independientes). I 41. Si {v1 , v2 , v3 } es un conjunto ligado (vectores linealmente dependientes), entonces {v1 , v2 , v3 , v4 } también es ligado (vectores linealmente dependientes). I 42. Si v1 , v2 , v3 , v4 son linealmente independientes entonces v1 , v2 , v3 también son linealmente independientes. Sugerencia: Piensa en x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 + 0 · v4 = 0.

I 43. Supongamos que A es una matriz de orden m × n con la propiedad de que para cada b enRm la ecuación A x = b tiene cuando mucho una solución. Utiliza la definición de independencia lineal para explicar por qué las columnas de A deben de ser linealmente independientes. I 44. Supongamos que una matriz A de orden m × n tiene n columnas pivote. Explica por qué para cada b en Rm la ecuación A x = b tiene cuando mucho una solución. [Indicación: Explica por qué A x = b no puede tener infinidad de soluciones.] En los ejercicios 45 y 46, usa tantas columnas de A como sea posible para construir una matriz B con la propiedad de que la ecuación B x = 0 tenga solamente la solución trivial. Resuelve B x = 0 como comprobación.     12 10 −6 −3 7 10 8 −3 0 −7 2  −7 −6 4 7 −9 5  −9   4 5 11 −7    9 −9 −5 5 −1 I 45. A =  I 46. A =  9  6 −2 2 −4 4  −4 −3 1 6 −8 9 5 −1 7 0 10 8 7 −5 −9 11 −8

I 47. Con A y B como las del ejercicio 45, elige una columna v de A que no se haya usado en la construcción de B, y determina si v está en el conjunto generado por las columnas de B. I 48. Repite el ejercicio 47 con las matrices A y B del ejercicio 46. Explica tus resultados, suponiendo que B se construyó de la manera indicada. 29

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

Subespacios vectoriales de Rn . Bases I 1. Sea A =

−1 0 −5

1 2 −3

5 7 −3

! yu =

−7 3 2

! . ¿Está u en Nul A? ¿Está u en Col A? Justifica tus

respuestas.

I 2. Dada A =

I 3. Sean v1 =

0 0 0

1 0 0

2 3 −5

0 1 0

0 0 1

!

! , v2 =

, halla un vector no nulo en Nul A y un vector no nulo en Col A. −4 −5 8

! ,yw=

8 2 −9

! . Averigua si w está en el subespacio de R3

generado por v1 y v2 . 1 4  −2  , v 2 =  −7  , v 3 = 4 9 3 7 R4 generado por {v1 , v2 , v3 }.



I 4. Sean v1 = subespacio de

I 5. Sean v1 =

2 −8 6



! , v2 =



−3 8 −7



! , v3 =

−4 6 −7

5  −8  , 6 5





! ,p=

−4  10 . Averigua si u está en el −7 −5

 y u =

6 −10 11



! y A = [v1 v2 v3 ] (la matriz cuyas

columnas son v1 , v2 y v3 ). (a) ¿Cuántos vectores hay en {v1 , v2 , v3 }? (b) ¿Cuántos vectores hay en Col A? (c) ¿Está p en Col A? ¿Por qué sí o por qué no?

I 6. Sean v1 =

−2 0 6

! , v2 =

−2 3 3

! , v3 =

0 −5 5

! ,yp =

6 −1 17

! . Averigua si p está en Col A,

donde A = [v1 v2 v3 ].

I 7. Con A y p como en el ejercicio 5, averigua si p está en Nul A. I 8. Con u = (−5, 5, 3) y A como en ejercicio 6, averigua si u está en Nul A. En los ejercicios 9 y 10, halla enteros p y q tales que Nul A sea un subespacio de R p y Col A un subespacio de Rq .     1 2 3 3 2 1 −5  4 5 7  1 7 I 9. A =  −9 −4 I 10. A =   −5 −1 0  9 2 −5 1 2 7 11

I 11. Para A como en el ejercicio 9, halla un vector no nulo en Nul A y un vector no nulo en Col A que no sea ninguna de las columnas dadas. I 12. Para A como en el ejercicio 10, halla un vector no nulo en Nul A y un vector no nulo en Col A que no sea ninguna de las columnas dadas. Averigua cuáles conjuntos de los ejercicios 13 a 18 son bases para R2 y R3 . Justifica tus respuestas. 30

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales



I 13.

5 −2



 ,

10 −3





I 14.



     1 −5 7 I 16.  1  ,  −1  ,  0  −2 2 −5

4.8. Ejercicios adicionales       0 5 6 I 15.  1  ,  −7  ,  3  2 4 5     3 6 I 17.  −8  ,  2  1 −5

   −4 2 , 6 −3



       1 3 −2 0 I 18.  −6  ,  −4  ,  7  ,  8  −7 7 5 9 En los ejercicios 19 y 20 indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica tus respuestas.

I 19. (a) Un subespacio de Rn es cualquier conjunto H tal que (i) el vector cero está en H, (ii) si u y v están en H, u + v está en H, y (iii) si c es un número y u está en H, cu está en H. (b) Si v1 , . . . , v p están en Rn , entonces Gen{v1 , . . . , v p } es lo mismo que el espacio columna de la matriz [v1 . . . v p ]. (c) El conjunto de todas las soluciones de un sistema de m ecuaciones homogéneas en n incógnitas es un subespacio de Rm . (d) Las columnas de una matriz invertible n × n forman una base para Rn . (e) Las operaciones elementales de filas no afectan a las relaciones de dependencia lineal entre las columnas de una matriz.

I 20. (a) Un subconjunto H de Rn es un subespacio si el vector cero está en H. (b) Dados los vectores v1 , . . . , v p en Rn , el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores es un subespacio de Rn . (c) El espacio nulo de una matriz m × n es un subespacio de Rn . (d) El espacio columna de una matriz A es el conjunto de soluciones de Ax = b. (e) Si B es una forma escalonada de una matriz A, entonces las columnas pivote de B forman una base para Col A. En los ejercicios 21 a 24 se presenta una matriz A y una forma escalonada de A. Halla una base para Col A, una base para Fil A, una base para Nul A y las ecuaciones cartesianas y las ecuaciones paramétricas de cada uno de ellos. 

4 5 9 I 21. A =  6 5 1 3 4 8

   −2 1 2 6 −5 12  ∼  0 1 5 −6 . −3 0 0 0 0



   −3 9 −2 −7 1 −3 6 9 4 8 ∼ 0 0 4 5 . I 22. A =  2 −6 3 −9 −2 2 0 0 0 0 31

4.8. Ejercicios adicionales 

1  −1 I 23. A =   −2 3 

3  −2 I 24. A =   −5 −2

4 2 2 6

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 8 7 9 9

−1 7 2 −2 9 3 6 6

  −3 −7 1 0 3 4 ∼ 5 5 0 −5 −2 0 3 7 3 3

 9 5 ∼ 4 7



3 0  0 0

4 2 0 0

8 5 0 0

0 0 1 0

 5 −1  . 4 0

−1 2 0 0

7 4 0 0

0 0 1 0

 6 3 . 1 0

I 25. Construye una matriz A de orden 3 × 3 y un vector b distinto de cero en forma tal que b esté en Col A, pero b no sea igual a ninguna de las columnas de A. I 26. Construye una matriz A de orden 3 × 3 y un vector b tales que b no esté en Col A. I 27. Construye una matriz A de orden 3 × 3 distinta de cero y un vector b diferente de cero tales que b esté en Nul A. I 28. Supongamos que las columnas a1 , . . . , a p de la matriz A = [a1 . . . a p ] son linealmente independientes. Explica por qué esas columnas forman una base para Col A. En los ejercicios 29 a 34, responde de la manera más clara que te sea posible y justifica tus respuestas.

I 29. Supongamos que F es una matriz de orden 5 × 5 cuyo espacio columna no es igual a R5 . ¿Qué puede decirse acerca de Nul F? I 30. Si R es una matriz de orden 6 × 6 y Nul R no es el subespacio cero, ¿qué puede decirse acerca de Col R? I 31. Si Q es una matriz de orden 4 × 4 y Col Q = R4 , ¿qué puede decirse acerca de las soluciones a las ecuaciones de la forma Qx = b para b en R4 . I 32. Si P es una matriz de orden 5 × 5 y Nul P es el subespacio cero, ¿qué puede decirse acerca de las soluciones a las ecuaciones de la forma Px = b para b en R5 ? I 33. ¿Qué puede decirse acerca de Nul B cuando B es una matriz de orden 5 × 4 con columnas linealmente independientes? I 34. ¿Qué puede decirse acerca de la forma (número de filas y de columnas) de una matriz A de orden m × n cuando las columnas de A constituyen una base para Rm ? En los ejercicios 35 y 36, construye bases para el espacio columna, para el espacio fila y para el espacio nulo de la matriz A dada. Halla también las ecuaciones cartesianas y las ecuaciones paramétricas de cada uno de esos subespacios. Justifica el trabajo realizado.     3 −5 0 −1 3 5 2 0 −8 −8  −7  4 9 −4 9 −11  1 2 −8 −9  . . I 35. A =  I 36. A =   5   7 −2 5 −7 5 1 3 5 19  3 −7 −3 4 0 −8 −5 6 8 5 32

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

Bases, rango y dimensión I 1. Determina la dimensión del subespacio H de R3 generado por los vectores v1 , v2 y v3 . (Primero halla una base para H.) 

 2 v1 =  −8  , 6 R2



 3 v2 =  −7  , −1 

B=   3 coordenadas relativas a B es [x]B = . 2

I 2. Considera la siguiente base de

1 00 2



 −1 v3 =  6  . −7

  0  02 , . Halla x sabiendo que su vector de 1

I 3. ¿Podría R3 contener a un subespacio cuatridimensional? Explica tu respuesta. En los ejercicios 4 y 5, halla el vector x determinado por el vector de coordenadas [x]B dado y la base B dada. Explica cada respuesta con una figura.             1 2 3 −2 3 −1 I 4. B = , , [x]B = I 5. B = , , [x]B = 1 −1 2 1 1 3

En los ejercicios 6 a 9, el vector x está en un subespacio H que tiene una base B = {b1 , b2 }. Halla el vector de coordenadas de x relativas a la base B .             1 −2 −3 1 −3 −7 I 6. b1 = , b2 = ,x= I 7. b1 = , b2 = ,x= −4 7 7 −3 5 5             1 −3 4 −3 7 11 I 8. b1 =  5 , b2 =  −7 , x =  10  I 9. b1 =  1 , b2 =  5 , x =  0  −3 5 −7 −4 −6 7

        3 −1 7 4 , b2 = , w = , x = y b2 0 2 −2 1 B = {b1 , b2 }. Usa la figura para estimar [w]B y [x]B . Confirma tu 0 estimación de [x]B usando esas coordenadas junto con b1 y b2 para calcular x.

I 10. Sean b1 =

        0 2 −2 2 I 11. Sean b1 = , b2 = , x = , y = , 2 1 3 4   −1 z = y B = {b1 , b2 }. Usa la figura para estimar [x]B , −20 5 [y]B y [z]B . Confirma tu estimación de [y]B y [z]B usando esas coordenadas junto con b1 y b2 para calcular y y z.

x b1

w

y x b1 b2 0 z

En los ejercicios 12 a 15 se presentan una matriz A y una forma escalonada de A. Halla bases para Col A y Nul A, y dí cuáles son las dimensiones de estos subespacios. 33

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales



  −3 2 −4 1 −3 0 9 −1 5 0 ∼ −6 4 −3   0 0 12 −2 7 0 0



−2 9 −1 6 0 −6 1 9



2 5 −9 10

  −5 0 −1 1 0 −8 4 3 ∼ 9 −7 −2   0 −7 11 7 0



2 10 8 −4

  1 −4 3 3 0 −9 −7 8 ∼ −9 −2 7 0 0 5 0 −6

1  −3 I 12. A =   2 −4 1  1 I 13. A =   −2 4 1  2 I 14. A =   −3 3 1  5 I 15. A =   4 −2

5 5 1 1

  1 4 0 −3  ∼ −2   0 0 −9

2 5 0 0

 −4 −7   5 0

−2 9 1 −3 0 0 0 0

5 0 1 0

 4 −7   −2  0

2 1 0 0

−5 2 0 0

0 4 1 0

 −1 5  2 0

2 0 0 0

 −4 3 3 1 −2 0  0 0 −5  0 0 0

En los ejercicios 16 y 17, halla una base para el subespacio de R4 que generan los vectores dados. ¿Cuál es la dimensión del subespacio?.                   3 −1 0 2 1 −4 2 −3 1  −1   −3   2   4   −8   −3   9   −1   5  ,            , , I 17. I 16.   −2  ,  −1  ,  −6  ,  −7  ,  9   2   −6   4   −3  7 8 6 5 7 2 12 −4 −5

I 18. Supongamos que una matriz A de orden 3 × 5 tiene tres columnas pivote. ¿Es Col A = R3 ? ¿Es Nul A = R2 ? Explica tus respuestas. I 19. Supongamos que una matriz A de orden 4 × 7 tiene tres columnas pivote ¿Es Col A = R3 ? ¿Cuál es la dimensión de Nul A? Explica tus respuestas. En los ejercicios 20 y 21, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica tus respuestas. Aquí A es una matriz m × n.

I 20.  (a) Si B = v1 , . . . , v p es una base para un subespacio H, y si x = c1 v1 + · · · + c p v p , entonces c1 , . . . , c p son las coordenadas de x relativas a la base B. (b) Cada recta en Rn es un subespacio unidimensional de Rn . (c) La dimensión de Col A es el número de columnas pivote de A. (d) La suma de las dimensiones de Col A y Nul A es igual al número de columnas de A. (e) Si un conjunto de p vectores genera un subespacio p-dimensional H de Rn , entonces estos vectores forman una base para H.

I 21. 34

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

(a) Si B es una base para un subespacio H, entonces cada vector en H puede escribirse sólo de una forma como combinación lineal de los vectores en B . (b) Si B = {v1 , . . . , v p } es una base para un subespacio H de Rn , entonces la correspondencia x 7→ [x]B hace que H se vea y actúe igual que R p . (c) La dimensión de Nul A es el número de variables en la ecuación A x = 0. (d) La dimensión del espacio columna de A es ran A. (e) Si H es un subespacio p-dimensional de Rn , entonces un conjunto linealmente independiente de p vectores en H es una base para H.

En los ejercicios 22 a 27 justifica cada respuesta o construcción.

I 22. Si el subespacio de todas las soluciones de A x = 0 tiene una base que consiste en tres vectores, y si A es una matriz de orden 5 × 7, ¿cuál es el rango de A? I 23. ¿Cuál es el rango de una matriz de orden 4 × 5 cuyo espacio nulo es tridimensional? I 24. Si el rango de una matriz A de orden 7 × 6 es 4, ¿cuál es la dimensión del espacio solución de A x = 0? I 25. Demuestra que un conjunto {v1 , . . . , v5 } en Rn es ligado si dim Gen v1 , . . . , v5 = 4. I 26. Construye una matriz A de orden 3 × 4 tal que dim Nul A = 2 y dim Col A = 2. I 27. Construye una matriz de orden 4 × 3 con rango 1. I 28. Sea A una matriz n × p cuyo espacio columna es p-dimensional. Explica por qué las columnas de A deben ser linealmente independientes. I 29. Supongamos que las columnas 1, 3, 5 y 6 de una matriz A son linealmente independientes (pero no son necesariamente columnas pivote), y que el rango de A es 4. Explica por qué las cuatro columnas mencionadas deben ser una base para el espacio columna de A. I 30. Supongamos que los vectores b1 , . . . , b p generan un subespacio W, y sea {a1 , . . . , aq } cualquier subconjunto de W que contenga más de p vectores. Completa los detalles del siguiente argumento para demostrar que a1 , . . . , aq es un conjunto ligado. Primero, sean B = [b1 . . . b p ] y A = [ a1 . . . a q ] (a) Explica por qué para cada vector a j , existe un vector c en R p tal que a j = B c j . (b) Sea C = [c1 . . . cq ]. Explica por qué existe un vector diferente de cero tal que C u = 0. (c) Usa B y C para demostrar que A u = 0. Esto demuestra que las columnas de A son dependientes.

I 31. Usa el ejercicio 30 para mostrar que si A y B son bases para un subespacio W de Rn , entonces A no puede contener más vectores que B y, recíprocamente, que B no puede contener más vectores que A. 35

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I 32. Con los vectores indicados a continuación, sean B = {v1 , v2 } y H = Gen B = Gen v1 , v2 . Demuestra que x está en H y halla el vector de coordenadas de x relativas a la base B :       11 14 19  −5   −8   −13       v1 =   10  , v2 =  13  , x =  18  7 10 15 I 33. Con los vectores indicados a continuación, sean B = {v1 , v2 , v3 } y H = Gen B = Gen v1 , v2 , v3 . Demuestra que x está en H y halla el vector de coordenadas de x relativas a la base B :         4 −9 8 −6  7  5  −3   4        v1 =   −9  , v2 =  7  , v3 =  −8  , x =  −8  3 3 −3 4

Aplicaciones lineales I 1. Supongamos que una aplicación T : R5 → R2 está definida por T (x) = A x para alguna matriz A. ¿Cuántas filas y columnas tendrá A? 

I 2. Sea A =

1 0

 0 . Da una descripción geométrica de la transformación x 7→ A x. −1

I 3. El segmento rectilíneo que va desde 0 hasta un vector u es el conjunto de puntos de la forma tu, con 0 < t < 1. Demuestra que una transformación lineal T lleva este segmento al segmento que que va desde 0 hasta T (u). 

 2 0 I 4. Sea A = , y definamos T : R2 → R2 mediante T (x) = A x. Halla las imágenes de los 0 2     1 a vectores u = yv= . −3 b 1

   1 a 0  y v =  b . Definamos la aplicación T : R3 → R3 I 5. Sean A =  0 12 −4 c 0 0 12 mediante T (x) = A x. Halla T (u) y T (v). 2

0

  0 0 , u = 

En los ejercicios 6 a 9, con T definida como T (x) = A x, halla un vector x cuya imagen mediante T sea b, y determina si este x es único.         1 0 −2 −1 1 −3 2 6 1 6 , b =  7  1 −4 , b =  −7  I 6. A =  −2 I 7. A =  0 3 −2 −5 −3 3 −5 −9 −9     1 −2 1 1      3 −4   1 −5 −7 −2 5 , b =  9  I 8. ,b= I 9.   0  3 −3 7 5 −2 1 1 −3 5 −4 −6

36

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

I 10. Sea A una matriz de orden 6 × 5. ¿Cómo deben ser a y b para definir T : R a → Rb mediante T (x) = A x? I 11. ¿Cuántas filas y columnas debe tener una matriz A para que defina una aplicación de R4 en R5 mediante la ecuación T (x) = A x? Para los ejercicios 12 y 13, halla todas los x en R4 cuya imagen sea el vector cero mediante la transformación x 7→ A x para la matriz A dada.     1 3 9 2 1 −4 7 −5  1 0 3 −4   1 −4 3 I 12. A =  0 I 13. A =   0 1 2 3 2 −6 6 −4 −2 3 0 5 ! −1 1 0

I 14. Sea b =

, y A la matriz del ejercicio 12. ¿Está b en la imagen de la transformación

lineal x 7→ A x?. ¿Por qué sí o por qué no?   −1

3 I 15. Sea b =  −1 , y A la matriz del ejercicio 13. ¿Está b en la imagen de la transformación 4

lineal x 7→ A x?. ¿Por qué sí o por qué no? En los ejercicios 16 a 19,  usa  un sistema de coordenadas rectangulares para representar 5 −2 gráficamente u = 2 , v = , y sus imágenes bajo la transformación T dada. Describe 4 geométricamente la acción de T sobre un vector x en R2 .     0 −1 0 x1 I 18. T (x) = I 16. T (x) = 0 0 −1 x2 1

I 17. T (x) =

2

0

0



1 2

x1 x2





I 19. T (x) =

0 1

0 1



x1 x2



1 0



x1 x2



I 20. Sea T : R2 → R2 una transformación lineal que transforma         5 2 1 −1 u= en , y v= en . 2 1 3 3 Usa el hecho de que T es lineal para encontrar las imágenes bajo T de 3u, 2v y 3u + 2v.

I 21. La figura muestra los vectores u, v y w junto con las imágenes T (u) y T (v) bajo la acción de una transformación lineal T : R2 → R2 . Copia cuidadosamente esta figura, y luego dibuja la imagen T (w) con tanta precisión como sea posible. Sugerencia: Primero, escribe w como una combinación lineal de u y v.

x2 x2 w

T+ v /

u T

−→

x1 v

37

T+ u /

x1

4.8. Ejercicios adicionales

I 22. Sean

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

        1 0 2 −1 e1 = , e2 = , y1 = e y2 = , 0 1 5 6

2 una transformación lineal que transforma e en y y e en y . Halla las y sea T : R2 → R 2 2 1 1   5 x1 imágenes de y . −3 x2



     x1 −2 7 I 23. Sea x = , v1 = , y v2 = , y sea T : R2 → R2 una transformación lineal x2 5 −3 que transforma x en x1 v1 + x2 v2 . Encuentre una matriz tal que T (x) sea A x para cada x.

En los ejercicios 24 y 25, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica cada una de tus respuestas.

I 24. (a) Una transformación lineal es un tipo especial de función. (b) Si A es una matriz de orden 3 × 5 y T una transformación definida por T (x) = A x, entonces el dominio de T es R3 . (c) Si A es una matriz de orden m × n, entonces la imagen de la transformación x 7→ Ax es R2 . (d) Toda transformación lineal es una transformación matricial. (e) Una transformación T es lineal si, y sólo si, T (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 T (v1 ) + c2 T (v2 ) para todo v1 y v2 en el dominio de T y para todos los números c1 y c2 .

I 25. (a) Toda transformación matricial es una transformación lineal. (b) El codominio de la transformación x 7→ Ax es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A. (c) Si T : Rn → Rm es una transformación lineal y b es un vector de Rm , entonces una pregunta de unicidad es: ¿Está b en la imagen de T?. (d) Una transformación lineal conserva las operaciones de suma de vectores y de multiplicación por números. (e) El principio de superposición es una descripción física de una transformación lineal.

I 26. Supongamos que los vectores v1 , . . . , v p generan Rn y sea T : Rn → Rm una transformación lineal. Demuestra que si T (vi ) = 0 para i = 1, . . . , p. entonces T es la transformación cero. Esto es, demuestra que si x es cualquier vector en Rn , entonces T (x) = 0. I 27. Dados v 6= 0 y p en Rn , la recta que pasa por p en la dirección de v tiene la ecuación paramétrica x = p + t v. Demuestra que una transformación lineal T : Rn → Rm transforma esta recta en otra recta o en un único punto. 38

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

I 28. Sean u y v vectores linealmente independientes en R3 , y sea P el plano que pasa por u, v y 0. La ecuación paramétrica de P es x = s u + t v (con s, t en R). Demuestra que una transformación lineal T : R3 → R3 transforma P en un plano que pasa por 0, o en una recta que pasa por 0, o es la transformación cero que lleva todo vector de R3 en el origen de R3 . ¿Qué condición deben cumplir T (u) y T (v) para que la imagen de P sea un plano? I 29. Este ejercicio muestra que una aplicación lineal transforma una recta cualquiera en otra recta o en un punto. (a) Demuestra que la recta que pasa por los puntos p y q en Rn tiene la ecuación paramétrica x = (1 − t)p + t q con t en R. (b) El segmento de recta de p a q es el conjunto de puntos de la forma (1 − t)p + t q con 0 ≤ t ≤ 1. Demuestra que una transformación lineal T transforma este segmento en otro segmento o en un único punto.

I 30. Sean u y v vectores en Rn . Es posible demostrar que todos los puntos del paralelogramo P determinado por u y v tienen la forma au + bv con 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1. Sea T : Rn → Rm una transformación lineal. Explica por qué la imagen de un punto en P mediante la transformación T está en el paralelogramo determinado por T (u) y T (v). I 31. Definamos f : R → R por la fórmula f ( x ) = mx + b. (a) Demuestra que f es una transformación lineal cuando b = 0. (b) Indica una propiedad de las transformaciones lineales que se viole cuando b 6= 0. (c) ¿Por qué se dice que f es una “función lineal”?

I 32. Una transformación afín T : Rn → Rm tiene la forma T (x) = A x + b, donde A es una matriz de orden m × n y b es un vector en Rm . Demuestra que si b 6= 0 entonces T no es una transformación lineal. I 33. Sean T : Rn → Rm una transformación lineal y {v1 , v2 , v3 } un conjunto ligado en Rn . Explica por qué el conjunto { T (v1 ), T (v2 ), T (v3 )} es también ligado. En los ejercicios 34 a 38, los vectores se escriben como coordenadas, por ejemplo x = ( x1 , x2 ), y T (x) se escribe como T ( x1 , x2 ).

I 34. Demuestra que la transformación T definida por T ( x1 , x2 ) = (4x1 − 2x2 , 3| x2 |) no es lineal. I 35. Demuestra que la transformación T definida por T ( x1 , x2 ) = (2x1 − 3x2 , x1 + 4, 5x2 ) no es lineal. I 36. Sea T : Rn → Rm una transformación lineal. Demuestra que si T transforma dos vectores linealmente independientes en un conjunto ligado, entonces la ecuación T (x) = 0 tiene alguna solución no trivial. Sugerencia: Supongamos que u y v en Rn son linealmente independientes, pero que T (u) y T (v) son linealmente dependientes. Entonces c1 T (u) + c2 T (v) = 0 para algunos pesos c1 y c2 , donde al menos uno de ellos no es cero.

I 37. Sea T : R3 → R3 la transformación que refleja cada vector x = ( x1 , x2 , x3 ) en el plano x3 = 0, es decir: T (x) = ( x1 , x2 , − x3 ). Demuestra que T es una transformación lineal. I 38. Sea T : R3 → R3 la transformación que proyecta cada vector x = ( x1 , x2 , x3 ) sobre el plano x2 = 0, de modo que T (x) = ( x1 , 0, x3 ). Demuestra que T es una transformación lineal. En los ejercicios 39 y 40, la matriz dada determina una transformación lineal T. Halla todos los vectores x que satisfagan T (x) = 0. 39

4.8. Ejercicios adicionales 

4  −9 I 39.   −6 5

 −2 5 −5 7 −8 0  4 5 3 −3 8 −4

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 

 −9 −4 −9 4  5 −8 −7 6  I 40.   7 11 16 −9  9 −7 −4 5

7

  5 I 41. Sea b =  9  y A la matriz del ejercicio 39. ¿Está b en la imagen de la transformación 7

x 7→ A x?. En caso afirmativo, halla un x cuya imagen por la transformación sea b. −7  −7  y A la matriz del ejercicio 40. ¿Está b en la imagen de la transformación 13 −5



I 42. Sea b =



x 7→ A x?. En caso afirmativo, halla un x cuya imagen por la transformación sea b.

La matriz de una aplicación lineal En los ejercicios 1 a 10, T es una aplicación lineal. Se pide que para cada una de ellas halles su matriz canónica.

I 1. T : R2 → R4 , T (e1 ) = (3, 1, 3, 1) y T (e2 ) = (−5, 2, 0, 0), donde e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1). I 2. T : R3 → R2 , T (e1 ) = (1, 3), T (e2 ) = (4, −7), y T (e3 ) = (−5, 4), donde e1 , e2 , e3 son las columnas de la matriz identidad 3 × 3. I 3. T : R2 → R2 es un giro con centro en el origen de 3π/2 radianes (ángulos positivos representan giros en sentido contrario al de las agujas del reloj). I 4. T : R2 → R2 es un giro con centro en el origen de −π/4 radianes (ángulos negativos representan giros en el sentido de las agujas del reloj). Sugerencia: T (e1 ) = ( √1 , − √1 ). 2

2

I 5. T : R2 → R2 es una aplicación de cizalladura vertical que transforma e1 en e1 − 2e2 , pero no modifica al vector e2 . I 6. T : R2 → R2 es una aplicación de cizalladura horizontal que transforma e2 en e2 + 3e1 , pero no modifica al vector e1 . I 7. T : R2 → R2 primero gira los puntos del plano alrededor del origen un ángulo de −3π/4 radianes, y luego los refleja sobre el eje horizontal x1 . Sugerencia: T (e1 ) = (− √1 , 2

√1 ). 2

I 8. T : R2 → R2 primero refleja los puntos del plano sobre el eje horizontal x1 , y luego sobre la diagonal del primer y tercer cuadrante (la recta de ecuación x2 = x1 ). I 9. T : R2 → R2 primero realiza un cizalladura horizontal que transforma e1 en e2 − 2e1 (sin modificar e2 ), y luego realiza una reflexión sobre la recta de ecuación x2 = − x1 . I 10. T : R2 → R2 primero realiza una reflexión sobre el eje vertical, x2 , y luego gira el plano con centro en el origen un ángulo de π/2 radianes. 40

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

I 11. Una aplicación lineal T : R2 → R2 primero realiza una reflexión sobre el eje x1 , y luego realiza una reflexión sobre el eje x2 . Muestra que T puede describirse como un giro y halla el ángulo de ese giro. I 12. Muestra que la aplicación del ejercicio 8 es en realidad un giro con centro en el origen. ¿Cuál es el ángulo de giro? x2

I 13. Sea T : R2 → R2 la aplicación lineal tal que T (e1 ) y T (e2 ) son los vectores mostrados en la figura. Usa la figura para trazar el vector T (2, 1).

T+e1/

T+e2/ x1

x2

I 14. Sea T : R2 → R2 una aplicación lineal con matriz canónica A = [a1 a2 ], donde a1 y a2 se en la figura. Usa la figura  muestran  −1 para dibujar la imagen de bajo la aplicación T. 3

a2 x1 a1

En los ejercicios 15 y 16 halla los elementos desconocidos de la matriz, suponiendo que las ecuaciones se cumplen para todos los valores de las variables. 

? I 15.  ? ?

? ? ?

    ? x1 3 x1 − 2 x3  ?   x2  =  4 x1 ? x3 x1 − x2 + x3



? I 16.  ? ?

   ?   x1 − x2 x 1 ? =  −2 x1 + x2  x2 ? x1

En los ejercicios 17 a 20, demuestra que T es una aplicación lineal mostrando que se puede expresar como una aplicación matricial. Observa que x1 , x2 , . . . no son vectores sino números (elementos de vectores).

I 17. T ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, x1 + x2 , x2 + x3 , x3 + x4 ) I 18. T ( x1 , x2 ) = (2x2 − 3x1 , x1 − 4x2 , 0, x1 ) I 19. T ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 5x2 + 4x3 , x2 − 6x3 ) I 20. T ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 + 3x3 − 4x4 (T : R4 → R) I 21. Sea T : R2 → R2 una aplicación lineal tal que T ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 , 4x1 + 5x2 ). Halla un vector x en R2 tal que T (x) = (3, 8). I 22. Sea T : R2 → R3 una aplicación lineal tal que T ( x1 , x2 ) = ( x1 − 2x2 , − x1 + 3x2 , 3x1 − 2x2 ). Halla un vector x en R2 tal que T (x) = (−1, 4, 9). En los ejercicios 23 y 24, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica cada una de tus respuestas. 41

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I 23. (a) Una aplicación lineal T : Rn → Rn está completamente determinada por su efecto sobre las columnas de la matriz identidad n × n. (b) Si T : R2 → R2 gira los vectores del plano alrededor del origen en un ángulo ϕ, entonces T es una aplicación lineal. (c) Cuando se realizan dos aplicaciones lineales una después de la otra, el efecto combinado puede no ser siempre una aplicación lineal. (d) Una aplicación T : Rn → Rm es sobreyectiva si a cada vector x en Rn lo transforma en algún vector de Rm . (e) Si A es una matriz 3 × 2, entonces la aplicación x 7→ A x no puede ser inyectiva.

I 24. (a) No toda aplicación lineal de Rn a Rm es una aplicación matricial. (b) Las columnas de la matriz canónica de una aplicación lineal de Rn a Rm son las imágenes de las columnas de la matriz identidad n × n. (c) La matriz canónica de una aplicación lineal de R2 a R2 que  refleja los puntos sobre el eje a 0 horizontal, el eje vertical o el origen tiene la forma 0 b , donde a y b son ±1. (d) Una aplicación T : Rn → Rm es inyectiva si cada vector en Rn se transforma en un único vector en Rm . (e) Si A es una matriz 3 × 2, entonces la aplicación x 7→ A x no puede ser sobreyectiva.

En los ejercicios 25 a 28, averigua si la aplicación lineal es (a) inyectiva, (b) sobreyectiva. Justifica cada respuesta.

I 25. La aplicación del ejercicio 17.

I 26. La aplicación del ejercicio 2.

I 27. La aplicación del ejercicio 19.

I 28. La aplicación del ejercicio 14.

En los ejercicios 29 y 30, describe las posibles formas escalonadas de la matriz canónica de una aplicación lineal T. Usa la notación del boletín 2.

I 29. T : R3 → R4 es inyectiva.

I 30. T : R4 → R3 es sobreyectiva.

I 31. Sea T : Rn → Rm una aplicación lineal cuya matriz canónica es A. Completa el siguiente columnas pivote”. enunciado para hacerlo verdadero: “T es inyectiva si, y sólo si, A tiene Explica por qué el enunciado es verdadero. Sugerencia: Mira los ejercicios del boletín 6.

I 32. Sea T : Rn → Rm una aplicación lineal cuya matriz canónica es A. Completa el siguiente enunciado para hacerlo verdadero: “T es sobreyectiva si, y sólo si, A tiene columnas pivote”. 42

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

I 33. Demuestra el siguiente teorema: Sea T : Rn → Rm la aplicación matricial T (x) = Bx para alguna matriz B de orden m × n. Si A es la matriz canónica de T, entonces A = B. Sugerencia: Muestra que A y B tienen las mismas columnas.

I 34. ¿Por qué la pregunta de si una aplicación lineal es sobreyectiva es una pregunta de existencia? I 35. Si una aplicación lineal T : Rn → Rm es sobreyectiva, ¿puede afirmarse que exista alguna relación entre m y n? Si T es inyectiva, ¿qué se puede decir de m y n? p n n m I 36. Sean
S : R → R y T : R → R aplicaciones lineales. Muestra que la aplicación x 7→ T S(x) de R p a Rm es una aplicación lineal.


Sugerencia: Calcula T S(cu + dv) para u, v en R p y números c y d. Justifica cada paso del cálculo, y explica por qué éste conduce a la conclusión deseada.

En los ejercicios 37 a 40, sea T la aplicación lineal cuya matriz canónica es la dada. En los ejercicios 37 y 38, averigua si T es una aplicación inyectiva. En los ejercicios 39 y 40, averigua si T es una aplicación sobreyectiva. Justifica tus respuestas.     7 5 4 −9 −5 10 −5 4  10  8 6 16 −4  3 −4 7   I 38.  I 37.   12  4 −9 8 12 7 5 −3  −8 −6 −2 5 −3 −2 5 4     4 −7 3 7 5 9 13 5 6 −1  6 −8  14 15 −7 −6 5 12 −8  4       −8 −9 12 −5 −9  − 7 10 − 8 − 9 14 I 39.  I 40.      3 −5  −5 −6 −8 4 2 −6  9 8 −5 6 −6 −7 3 13 14 15 2 11

Vectores de coordenadas y cambios de base En los ejercicios 1 a 4, halla el vector x cuyo vector de coordenadas respecto a la base B dada es el vector [x]B dado.             3 −4 5 4 6 8 I 1. B = , , [x]B = I 2. B = , , [x]B = −5 6 3 5 7 −5         1 5 4  3  I 3. B =  −4  ,  2  ,  −7  , [x]B =  0    3 −2 0 −1         3 4  −4  −1 I 4. B =  2  ,  −5  ,  −7  , [x]B =  8    0 2 3 −7 En los ejercicios 5 a 8, halla el vector de coordenadas de x respecto a la base B = {b1 , . . . , bn }.             1 2 −2 1 5 4 I 5. b1 = , b2 = ,x = I 6. b1 = , b2 = ,x = −3 −5 1 −2 −6 0 

       1 −3 2 8 I 7. b1 =  −1  , b2 =  4  , b3 =  −2  , x =  −9  −3 9 4 6 43

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

        1 2 1 3 I 8. b1 =  0  , b2 =  1  , b3 =  −1  , x =  −5  3 8 2 4 En los ejercicios 9 y 10, halla la matriz de cambio de base (también llamada de cambio de coordenadas) de B a la base canónica de Rn           3 2 8   2 1 I 9. B = , I 10. B =  −1  ,  0  ,  −2  −9 8   4 −5 7

En los ejercicios 11 y 12, usa una matriz inversa para encontrar [x]B para las x y B dadas.             3 −4 2 4 6 2 I 11. B = , ,x = I 12. B = , ,x = −5 6 −6 5 7 0

En los ejercicios 13 y 14, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica tus respuestas. A menos que se diga lo contrario B es una base de un subespacio vectorial V de Rm .

I 13. (a) Si x está en V y si B tiene n vectores entonces [x]B está en Rn . (b) Si PB es la matriz de cambio de base entonces [x]B = PB · x (c) Si B tiene 3 elementos, entonces V y R3 son isomorfos.

I 14. (a) Si B es la base canónica de Rm entonces el vector de coordenadas de un x de Rm relativas a B es el propio x . (b) La correspondencia [x]B 7→ x se llama función de coordenadas. (c) En algunos casos, un plano en R3 puede ser isomorfo a R2 .

I 15. Halla la matriz canónica de la aplicación lineal de R2 en R2 que asigna a cada vector x     1 −2 su vector de coordenadas relativas a la base B = , ; es decir, halla la matriz −4 9 canónica de la función de coordenadas relativas a B .

I 16. Para los vectores v1 , v2 , v3 , x dados, demuestra que B = {v1 , v2 , v3 } es una base de H = Gen{v1 , v2 , v3 } y halla las coordenadas de x relativas a B . 

       −6 8 −9 4  4  −3   5  7        v1 =   −9  , v2 =  7  , v3 =  −8  , x =  −8  4 −3 3 3

I 17. Sean B = {b1 , b2 } y C = {c1 , c2 } bases de un espacio vectorial V, y supongamos que b1 = 6c1 − 2c2 y b2 = 9c1 − 4c2 . 44

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

(a) Halla la matriz de cambio de base de B a C . (b) Halla [x]C para x = −3b1 + 2b2 . (Usa el apartado (a).)

I 18. Sean B = {b1 , b2 } y C = {c1 , c2 } bases de un espacio vectorial V, y supongamos que b1 = −c1 + 4c2 y b2 = 5c1 − 3c2 . (a) Halla la matriz de cambio de base de B a C . (b) Halla [x]C para x = 5b1 + 3b2 .

I 19. Sean U = {u1 , u2 } y W = {w1 , w2 } bases de V, y sea P una matriz cuyas columnas son [u1 ]W y [u2 ]W . ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es satisfecha por P para todo x en V? (i) [x]U = P · [x]W ;

(ii)[x]W = P · [x]U .

I 20. Sean A = {a1 , a2 , a3 } y D = {d1 , d2 , d3 } bases de V, y sea P = [[d1 ]A [d2 ]A [d3 ]A ]. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es satisfecha por P para todo x en V? (i) [x]A = P · [x]D ;

(ii)[x]D = P · [x]A .

I 21. Sean A = {a1 , a2 , a3 } y B = {b1 , b2 , b3 } bases para un espacio vectorial V, y supongamos que a1 = 4b1 − b2 , a2 = −b1 + b2 + b3 , y a3 = b2 − 2b3 . (a) Halla la matriz de cambio de coordenadas de A a B . (b) Halla [x]B para x = 3a1 + 4a2 + a3 .

I 22. Sean D = {d1 , d2 , d3 } y F = {f1 , f2 , f3 } bases para un espacio vectorial V, y supongamos que f1 = 2d1 − d2 + d3 , f2 = 3d2 + d3 , y f3 = −3d1 + 2d3 . (a) Halla la matriz de cambio de coordenadas de F a D . (b) Halla [x]D para x = f1 − 2f2 + 2f3 . En los ejercicios 23 a 26, sean B = {b1 , b2 } y C = {c1 , c2 } bases para R2 . En cada ejercicio, halla la matriz de cambio de coordenadas (o cambio de base) de B a C y la matriz de cambio de coordenadas de C a B .         7 −3 1 −2 I 23. b1 = , b2 = , c1 = , c2 = 5 −1 −5 2 

−1 8





−6 −1





7 −2



I 24. b1 =

I 25. b1 =

I 26. b1 =

 , b2 =

1 −5



    1 1 , c1 = , c2 = 4 1

      2 2 6 , b2 = , c1 = , c2 = 0 −1 −2  , b2 =

2 −1

 , c1 =

    4 5 , c2 = 1 2

En el ejercicio 27, B y C son bases de un espacio vectorial V. Indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica tus respuestas. 45

4.8. Ejercicios adicionales

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I 27. (a) Las columnas de la matriz de cambio de coordenadas PBC son vectores de B -coordenadas de los vectores en C . (b) Si V = Rn y C es la base canónica de Rn , entonces PBC es la matriz de la función de coordenadas x 7→ [x]B . (c) Las columnas de PBC son linealmente independientes. (d) Si V = R2 , B = {b1 , b2 }, y C = {c1 , c2 }, entonces la forma escalonada reducida de la matriz [c1 c2 b1 b2 ] es una matriz [ I P] donde P tiene la propiedad [x]B = P · [x]C para todo x en V.

Los ejercicios 28 y 29 sirven para demostrar que la matriz de cambio de base es única y que sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base vieja relativos a la nueva. B = {b1 , . . . , bn } y C son dos bases de un espacio vectorial V. Completa la demostración para cada paso escribiendo lo que sea adecuado en el espacio indicado.

I 28. (a) Dado un vector v en V, sabemos que exisien números x1 , . . . , xn tales que v = x1 b1 + x2 b2 + · · · + x n b n .

porque

(b) Si aplicamos la función de coordenadas x 7→ [x]C a v se obtiene

[ v ] C = x1 [ b1 ] C + x2 [ b2 ] C + · · · + x n [ b n ] C .

porque (c) Esta ecuación puede escribirse en la forma



 [ v ] C = [ b1 ] C [ b2 ] C

 x1   · · · [bn ]C  ... 

(4.8)

xn por la definición de

. 

 (d) Esto muestra que para cada v en V, la matriz PBC = [b1 ]C [b2 ]C · · · [bn ]C cumple [v]C = PBC · [v]B (transforma las coordenadas de B a C ) porque el vector en el miembro de . la derecha de la ecuación (4.8) es

I 29. Supongamos que Q es cualquier matriz que cumple: para cada v en V,

[v]C = Q · [v]B

(4.9)

(transforma las coordenadas de B a C ) (a) Si ponemos b1 en lugar de v en la ecuación (4.9), entonces la ecuación que resulta muestra que [b1 ]C es la primera columna de Q porque . 46

4. Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

4.8. Ejercicios adicionales

(b) De manera similar, para k = 2, . . . , n, la k-ésima columna de Q es porque .   (c) Esto muestra que la matriz PBC = [b1 ]C [b2 ]C · · · [bn ]C es la única que satisface la ecuación (4.9).

I 30. Sean 

1 P =  −3 4

2 −5 6

 −1 0, 1



 −2 v1 =  2  , 3



 −8 v2 =  5  , 2



 −7 v3 =  2  6

(a) Halla una base {u1 , u2 , u3 } para R3 tal que P sea la matriz de cambio de coordenadas de {u1 , u2 , u3 } a la base {v1 , v2 , v3 }. Pista: ¿Qué representan las columnas de PBC ?

(b) Halla una base {w1 , w2 , w3 } de R3 tal que P sea la matriz de cambio de coordenadas de {v1 , v2 , v3 } a la base {w1 , w2 , w3 }.

47