Matemática Aplicada y Estadística - Farmacia

Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

1. La probabilidad de que un enfermo se recupere tomando un nuevo fármaco es 0.95. Si se les administra a 8 enfermos, hallar: a) La probabilidad de que se recuperen 6 de los 8 enfermos. b) La probabilidad de que se recuperen al menos 5 de los enfermos. Sol.: a): 0.05145, b):0.9996 Solución Apartado a): Sea X=«número de veces de que un enfermo se recupera» (número de éxitos). La variable X es una variable aleatoria binormal de parámetros n = 8 y p = 0.95: X ∼ B(8, 0.95)1 . Tenemos que la función de probabilidad de esta variable viene dada por:  P (X = 6) =

n 6



p6 (1 − p)n−6 =



8 6



0.956 (0.05)2 =

8! 0.956 (0.05)2 = 0.05145. 6! 2!

Apartado b): Tenemos que calcular la siguiente cantidad:

P (X ≥ 5)

=

P (x = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8)

=

0.005416467 + 0.051456432 + 0.79334918 + 0.663420431 = 0.999628249

2. La probabilidad de que una persona se recupere de un virus tomando un fármaco es de 1/20. Dicho fármaco se le suministra a 100 personas. Llamemos X a la variable aleatoria «número de enfermos que se recuperan», es decir X es una variable binomial X ∼ B(100, 1/20). a) Aproximar dicha variable por otra cuya distribución de probabilidad sea Normal. b) Usando la aproximación por la variable Normal obtenida en el apartado anterior, calcular la probabilidad de que se recuperen 10 o más enfermos. c) Usando la aproximación por la variable Normal, calcular la probabilidad que se recuperen exactamente 12 enfermos. Sol.: a): N (5, 2.1794); b): 0.025; c): 0.0011 Solución Apartado a): Tenemos n = 100 y p = 1/20. Como np = 100 × 1/20 = 5 ≥ 5 y nq = n(1 − p) = 100 × 19/20 = √ 95 ≥ 5, podemos aproximar X ∼ B(n, p) por una Normal Y ∼ N (np, npq). p p √ En nuestro caso, np = 5 y npq = np(1 − q) = 5 × 19/20 = 2.1794 B(100, 1/20) ≈ N (5, 2.1794). Apartado b): Sea Y ∼ N (5, 2.1794). Teniendo en cuenta el factor de corrección y usando el cambio de variables X −µ Z= ∼ N (0, 1), tenemos: σ   9.5 − 5 P (X ≥ 10) = P (Y ≥ 9.5) = P Z ≥ = P (Z ≥ 2.06) = 1 − P (Z ≤ 2.06) = 1 − 0.975 = 0.025 2.1794 Apartado c): Sea Y ∼ N (5, 2.1794).



P (X = 12) ≈ = 1 Como

11.5 − 5 12.5 − 5 ≤Z≤ 2.1794 2.1794 P (2.98 ≤ Z ≤ 3.44) = P (Z ≤ 3.44) − P (Z ≤ 2.98) = 0.9997 − 0.9986 = 0.0011



P (12 − 0.5 ≤ Y ≤ 12 + 0.5) = P (11.5 ≤ Y ≤ 12.5) = P

n es pequeño y p está lejos de 0.5, la aproximación por la distribución Normal no es muy aceptable.

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Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

3. Sabiendo que la variable aleatoria X sigue una distribución Normal de media µ = 8 y desviación típica σ = 2: a) Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que 10. b) Calcular la probabilidad de que X sea mayor que 10. Sol.: a): 0.8413; b): 0.1587 Solución Apartado a): Usando el cambio de variable Z =

X −µ ∼ N (0, 1) tipificamos la variable X, obteniendo: σ

Z=

X −8 2

Luego,  P (X ≤ 10) = P

Z≤

10 − 8 2

 = P (Z ≤ 1) = 0.8413

Apartado b): P (X > 10) = P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − 0.8413 = 0.1587 4. Una empresa que tiene 2000 empleados paga a éstos un salario cuya media es de 9 euros por hora de trabajo, con una desviación típica de 2 euros. Si los salarios siguen una distribución Normal, calcular: a) El porcentaje de empleados que ganan más de 12 euros a la hora. b) El porcentaje de empleados que tienen un salario comprendido entre 9 y 12 euros por hora de trabajo. c) El porcentaje de empleados que cobra menos de 7 euros a la hora. d ) La probabilidad de que un empleado elegido al azar gane un salario inferior a 8 euros por hora de trabajo. e) El número de empleados que ganan por debajo de los 8 euros a la hora. f ) El valor del salario por hora de trabajo, por encima del cual se encuentra el 20 % de los empleados que más ganan. Sol.: a): 6.68 % ; b): 43.3 %; c): 15.87 %; d): 0.3085; e): 617 empleados; f ): 10.68 euros/hora Solución Apartado a): Sea X la variable que da el salario de un empleado en una hora de trabajo. Sabemos que esta variable sigue una distribución Normal, con µ = 9 y σ = 2, es decir X ∼ N (9, 2). Entonces, haciendo el cambio X −µ de variable Z = ∼ N (0, 1), obtenemos σ Z=

X −9 2

Luego,  P (X ≥ 12) = P

Z≥

12 − 9 2

 = P (Z ≥ 1.5) = 1 − P (Z ≤ 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668

El porcentaje será entonces 0.0668 × 100 % = 6.68 % Apartado b): Averigüemos la probabilidad de que X tome valores entre 9 y 12. P (9 ≤ X ≤ 12) = P (X ≤ 12) − P (X ≤ 9).

(1)

El primer término ya está calculado del apartado anterior y es P (X ≤ 12) = 0.9332, veamos el segundo.  P (X ≤ 9) = P

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9−9 Z≤ 2

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 = P (Z ≤ 0) = 0.5

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Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

es decir es la mitad del área limitada por la función de densidad. Usando el resultado encontrado en la fórmula (1), obtenemos P (9 ≤ X ≤ 12) = 0.9332 − 0.5 = 0.4332. Por tanto, el porcentaje es 43.3 %. Apartado c): Hay que calcular la siguiente cantidad:  P (X < 7) = P (X ≤ 7) = P

7−9 Z≤ 2

 = P (Z ≤ −1).

Recordamos que en la tabla de la distribución Normal estándar sólo aparecen los valores positivos. Aquí, queremos calcular una probabilidad para un valor negativo, usanod la simetría de la función densidad, tenemos: P (Z ≤ −1) = P (Z ≥ 1) = 1 − P (Z ≤ 1) = 1 − 0.8413 = 0.1587. El porcentaje es 15.87 %. Apartado d): Sea X la variable aleatoria «salario de 1 empleado en 1h de trabajo». Tenemos  P (X < 8) = P (X ≤ 8) = P

8−9 Z≤ 2

 = P (Z ≤ −0.5)

De nuevo, por la simetría P (Z ≤ −0.5) = P (Z ≥ 0.5) = 1 − P (Z ≤ 0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085. Apartado e): Para averiguar el número de empleados que ganan menos de 8 euros por hora, calculamos primero la probabilidad de que X sea menor que 8 (ya está calculada en el apartado anterior) y después multiplicamos por el número de empleados (téngase en cuenta que una probabilidad se puede entender como una frecuencia relativa): 2000 · P (X ≤ 8) = 2000 · 0.3085 = 617 empleados. Apartado f ): En este apartado se pide la operación recíproca a la de los apartados anteriores. Se dan la probabilidad y hay que averiguar cuál es el valor que da esa probabilidad. Llamemos a a ese valor que queremos averiguar. Tiene que verificarse P (X ≥ a) = 20/100 = 0.2 Tipificando la variable, podemos escribir P

    a−9 a−9 Z≥ =P Z≥ = 0.2 2 2

(valor que no está en la tabla). Por otra parte,  0.2 = P

Z≥

a−9 2



 =1−P

Z≤

a−9 2

 ,

de donde  P

a−9 Z≤ 2

 = 0.8.

Buscamos en la tabla, en la parte central, donde están las probabilidades, el valor más cercano a 0.8, y cuando esté localizado vemos a qué fila y a qué columna corresponde. El valor más cercano a 0.8 es 0.7996 y corresponde a P (Z ≤ 0.84). Entonces, a−9 = 0.84 2 Dpto. EDAN - 18 de septiembre de 2013

⇒

a = 9 + 2 × 0.84 = 10.68 euros/hora.

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Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

5. En personas sanas, la concentración X en sangre de una determinada proteína sigue una distribución Normal de media µ = 6.85 gr/dl y desviación típica σ = 0.42 gr/dl. a) Calcular el porcentaje de personas sanas que presentará en sangre una concentración de esa proteína superior a 6.5 gr/dl. b) Hallar la probabilidad de que la concentración de esa proteína tome valores comprendidos entre 6.5 y 8 gr/dl. c) Hallar un valor k tal que el 33 % de las personas sanas tengan en sangre una concentración de dicha proteína por debajo de k. Sol.: a): 79.67 %; b): 0.7936; c): 6.67 Solución Apartado a): Tenemos X ∼ N (6.85, 0.42). Haciendo el cambio de variable Z = Z=

X −µ ∼ N (0, 1), obtenemos σ

X − 6.85 0.42

Luego,  P (X ≥ 6.5)

= P =

X − 6.85 6.5 − 6.85 ≥ 0.42 0.42

 = P (Z ≥ −0.8333)

1 − P (Z ≤ −0.8333) = 1 − P (Z ≥ 0.8333) = P (Z ≤ 0.8333) = 0.7967

Entonces, el porcentaje es 79.67 %. Apartado b): Tenemos que calcular P (6.5 ≤ X ≤ 8) = P (X ≤ 8) − P (X ≤ 6.5) Para aprovechar el cálculo del apartado anterior hagamos lo siguiente:

P (X ≤ 8) − P (X ≤ 6.5)

P (X ≤ 8) − (1 − P (X ≥ 6.5)) = P (X ≤ 8) − 1 + 0.7967   8 − 6.85 = P Z≤ − 1 + 0.7967 = P (Z ≤ 2.7381) − 1 + 0.7967 = 0.7936. 0.42

=

Apartado c): En este caso, sabemos la probabilidad y necesitamos calcular el valor k tal que P (X ≤ k) = 0.33 Tipificando la variable X, tenemos:  P

X − 6.85 k − 6.85 ≤ 0.42 0.42

 = 0.33

Es decir,  P

Z≤

k − 6.85 0.42

 = 0.33

Tenemos que buscar este valor en la tabla, pero nos damos cuenta de que todas las probabilidades son mayores o iguales que 0.5. La razón es porque en la tabla aparecen P (Z ≤ z) cuando z ≥ 0 y por eso todas son como mínimo 0.5, la probabilidad para z = 0. k − 6.85 Por tanto, el número tiene que ser negativo. Usando la simetría de la función densidad 0.42 Dpto. EDAN - 18 de septiembre de 2013

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 0.33 = P

k − 6.85 Z≤ 0.42



 =P

Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

k − 6.85 Z≥− 0.42



 =P

6.85 − k Z≥ 0.42



  6.85 − k =1−P Z ≤ 0.42

Despejando, obtenemos  P

Z≤

6.85 − k 0.42

 = 1 − 0.33 = 0.67

Buscamos ahora a qué valor de z le corresponde la probabilidad 0.67 y obtenemos que P (Z ≤ 0.44) = 0.67. Entonces, 6.85 − k = 0.44 0.42

⇒

k = 6.85 − 0.44 × 0.42 = 6.67

6. Se sabe que la talla X de una población sigue un distribución Normal de media µ = 1.35 y desviación típica σ = 0.6, es decir X ∼ N (1.35, 0.6). a) Hallar entre qué valores en torno a la media de la población se encontrarán el 80 % de la población. Indicación: Escribir los valores en torno a la media µ como los valores entre µ − δ y µ + δ con δ > 0. b) Calcular la altura, por encima de la cual, se halla el 15 % de la población. Sol.: a): 0.58 y 2.12 ; b): 1.97 Solución Apartado a): Escribamos los valores en torno a la media, µ = 1.35, como los valores entre 1.35 − δ y 1.35 + δ. Según los datos del problema, tenemos que calcular el valor δ > 0 tal que P (1.35 − δ ≤ X ≤ 1.35 + δ) = 0.8 Tipificando la variable, haciendo el cambio de variable Z =

X −µ ∼ N (0, 1), obtenemos σ

      δ δ δ δ P (1.35 − δ ≤ X ≤ 1.35 + δ) = P − ≤Z≤ =P Z≤ −P Z ≤− 0.6 0.6 0.6 0.6          δ δ δ δ = P Z≤ −P Z ≥ =P Z≤ − 1−P Z ≤ 0.6 0.6 0.6 0.6   δ = 2P Z ≤ − 1 = 0.8 0.6 Despejando se tiene  Z≤

P

δ 0.6

 =

1.8 = 0.9. 2

Buscamos en la tabla de probabilidades de la distribución Normal estándar el valor 0.9 o él más próximo él. Encontramos que P (Z ≤ 1.28) = 0.8997. Entonces, δ = 1.28 0.6

⇒

δ = 0.6 × 1.28 = 0.768

Los valores en torno a la media son 1.35 − 0.768 = 0.58 metros y 1.35 + 0.768 = 2.12 metros.

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Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

Apartado b): Llamemos a a la altura que estamos buscando, es decir a tal que  P (X ≥ a) = 0.15

⇒

P

X − 1.35 a − 1.35 ≥ 0.6 0.6

 = 0.15

Entonces  P

Z≥

a − 1.35 0.6



 =1−P

Z≤

a − 1.35 0.6



 = 0.15

⇒

P

Z≤

a − 1.35 0.6

 = 0.85.

En la tabla encontramos que P (Z ≤ 1.04) = 0.8508, por tanto a − 1.35 = 1.04 0.6

⇒

a = 1.97 metros.

7. Se sabe que el peso de los jóvenes de 18 años siguen una distribución Normal de media µ = 55 y desviación típica σ. Sabiendo que el 80 % tiene un peso comprendido entre 46 y 64, calcular σ. Sol.: 7.0313 Solución Se sabe que P (46 ≤ X ≤ 64) = 0.8. Entonces, haciendo el cambio de variable Z =

X −µ ∼ N (0, 1), obtenemos σ



0.8 = P (46 ≤ X ≤ 64)

= P

= P

= P

= P

 46 − 55 64 − 55 ≤Z≤ σ σ       9 9 9 9 =P Z≤ −P Z ≤− − ≤Z≤ σ σ σ σ     9 9 Z≤ −P Z ≥ σ σ        9 9 9 − 1−P Z ≤ = 2P Z ≤ −1 Z≤ σ σ σ

es decir  2P

9 Z≤ σ

 − 1 = 0.8

⇒

  9 P Z≤ = 0.9 σ

Buscando en la tabla el valor más cercano a 0.9 obtenemos P (Z ≤ 1.28) = 0.8997 por tanto, 9 = 1.28 σ

⇒

σ=

9 = 7.0313 1.28

8. El número de semillas X que produce una planta sigue una distribución Normal de media µ = 142 y desviación típica σ = 31. a) Calcular la probabilidad de que una planta produzca más de 200 semillas. b) Determinar el número de semillas tal que el 15 % de la población produzca dicho número o superior.

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Sol.: a): 0.0307 b): k = 174 semillas Solución Apartado a): Tenemos que X ∼ N (142, 31). Haciendo el cambio de variable Z=

X − 142 ∼ N (0, 1) 31

obtenemos  P (X ≥ 200) = P

Z≥

200 − 142 31

 =1−P

  58 Z≤ = 0.0307 31

Apartado b): Queremos hallar el número entero k tal que P (X ≥ k) = 0.15 Aplicando de nuevo el cambio de variable del apartado anterior, tenemos

 P

k − 142 Z≥ 31





= 0.15

 k − 142 P Z< = 1 − 0.15 = 0.85 31 k − 142 = 1.04 ⇒ k = 174.24 31

⇒ ⇒

Como el número de semillas es un número entero, obtenemos k = 174 9. Consideremos la variable t de Student, T . Se pide: a) Con n = 6, calcular P (T ≤ −1.45). b) Con n = 25, calcular P (0.75 ≤ T ≤ 1.25). Sol.: a):0.990 b): 0.1180 Solución Apartado a): Tenemos P (T ≤ −1.45) = P (T ≥ 1.45) = 1 − P (T ≤ 1.45) Buscamos en la fila correspondiente a k = 6 el valor 1.45. Se observa que no hay ninguno, 1.45 está entre los valores 1.4398 (corresponde a la probabilidad 0.9) y 1.4398 (corresponde a la probabilidad 0.95). Como son valores alejados uno del otro, lo que se hace es construir una recta que interpola los valores (1.9432, 0.9) y (1.9432, 0.6) y tomar como probabilidad la ordenada correspondiente a x = 1.45. Más concretamente, y = 0.9 +

0.05 (x − 1.4398) 0.5034

y = 0.9 + 0.0993(1.45 − 1.4398) = 0.9010

⇒

⇒

P (T ≤ −1.45) = 1 − P (T ≤ 1.45) = 0.990

Apartado b): Tenemos P (0.75 ≤ T ≤ 1.25) = P (T ≤ 1.25) − P (T ≤ 0.75) Buscamos en la fila correspondiente a k = 25 el valor 1.25. Se observa que no hay ninguno, 1.25 está entre los valores 1.0584 (corresponde a la probabilidad 0.85) y 1.3163 (corresponde a la probabilidad 0.9). Como son valores alejados uno del otro, lo que se hace es, de nuevo, construir la recta que interpola los valores (1.0584, 0.85) y (1.3163, 0.9) y tomar como probabilidad la ordenada correspondiente a x = 1.25. Más concretamente,

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y = 0.85+

0.9 − 0.85 (x−1.0584) 1.3163 − 1.0584

Hoja 3: Probabilidad y variables aleatorias

⇒

y = 0.85+

0.05 (1.25−1.0584) = 0.8871 ⇒ P (T ≤ 1.25) = 0.8871 0.2579

Análogamente, para obtener P (T ≤ 0.75) calculamos la recta que interpola los valores (0.6844, 0.75) y (0.8562, 0.8):

y = 0.75 +

0.8 − 0.75 (x − 0.6844) 0.8562 − 0.6844

⇒

y = 0.75 +

0.05 (0.75 − 0.6844) ⇒ P (T ≤ 0.75) = 0.7691 0.1718

P (0.75 ≤ T ≤ 1.25) = P (T ≤ 1.25) − P (T ≤ 0.75) = 0.8871 − 0.7691 = 0.1180

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