x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )

*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x1, x2, . . . , xn), p = (p1, p2, . . . , pn) cena koszyka x Zbiór wszystkich koszy...
Author: Agata Pawlak
0 downloads 2 Views 94KB Size
*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x1, x2, . . . , xn), p = (p1, p2, . . . , pn)

cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta¢ konsumenta o dochodzie I przy cenach p = (p1, p2, . . . , pn): D(p, I) = {x ∈ Rn + : hp, xi 6 I} hp, xi = p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn

Lini¡ (pªaszczyzn¡) bud»etow¡ nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania caªego dochodu, tj.

Def. 1.

{x ∈ Rn + : hp, xi = I} Tw. 1. Zbiór

D(p, I) = {x ∈ Rn + : hp, xi 6 I}

jest

ograniczony, domkni¦ty i wypukªy.

u : Rn + → R ∀I > 0, ∀p > 0

Tw. 2. Je»eli funkcja u»yteczno±ci jest ci¡gªa i silnie wkl¦sªa, to

D(p, I) istnieje dokªadnie jeden opymalny koszyk ¯ x speªniaj¡cy warunek u(¯ x) > u(x) ∀x ∈ D(p, I) x 6= ¯ x. w zbiorze

Koszyk ¯x jest rozwi¡zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji: max u(x);

hx, pi 6 I,

x > 0.

Tw. 3. Je»eli funkcja u»yteczno±ci

u : Rn + → R

jest rosn¡ca, ró»niczkowalna i silnie wkl¦sªa na

intRn +,

to koszyk

¯ x

jest rozwi¡zaniem optymal-

nym zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji



¯ λ > 0 para (¯ x, ¯ λ)

istnieje taka liczba

mno»nikiem Lagrange'a), »e nast¦puj¡cy ukªad

n+1

(zwana speªnia

równa«:

∂u(x) |x=¯ λpi, i = 1, 2, . . . , n, x=¯ ∂xi

hx, pi = I.

Funkcj¡ popytu konsumenta nazyn, wamy odwzorowanie ϕ : intRn+1 → int R + + która ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz¡dkowuje odpowiadaj¡ce jej rozwi¡zanie ¯x = ϕ(p, I) > 0 zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji. Def.

2.

Tw. 4.Je»eli pewne dwie funkcje u»yteczno±ci

u1(x)

i

u2(x)

opisuj¡ t¦ sam¡ relacj¦ preferencji

konsumenta, to odpowiada im jedna i ta sama funkcja popytu

ϕ(p, I)

Funkcja popytu konsumenta ϕ(p, I) jest dodatnio jednorodna stopnia zero tzn. ∀p > 0, ∀I > 0, ∀λ > 0 ϕ(λp, λI) = ϕ(p, I).

Tw. 5.

Je»eli funkcja u»yteczno±ci jest rosn¡ca, silnie wkl¦sªa i ci¡gªa, to odpowiadaj¡ca jej funkcja popytu jest ci¡gªa. Je±li dodatkowo funkcja u»yteczno±ci jest dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony, to odpowiadaj¡ca jej funkcja popytu jest ró»niczkowalna. Tw. 6.

Po±redni¡ funkcj¡ u»yteczno±ci nazywamy odwzorowanie v : intRn+1 → R, które + ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz¡dkowuje u»yteczno±¢ u(¯x) optymalnego koszyka ¯x = ϕ(p, I) > 0, b¦d¡cego rozwi¡zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji. Def. 3.

Tw. 7.

Je»eli funkcja u»yteczno±ci

ci¡gªa i silnie rosn¡ca na

Rn +,

jest

to odpowiadaj¡ca

jej po±rednia funkcja u»yteczno±ci a) ci¡gªa na

u(x)

v(p, I)

jest:

intRn=1 + ,

b) dodatnio jednorodna stopnia 0,

I i = 1, 2, . . . , n.

c) rosn¡ca wzgl¦dem dochodu wzgl¦dem cen

pi,

oraz malej¡ca

(To»samo±¢ Roy'a) Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna ∂v(p,I) na Rn+1 oraz 6= 0, to ∀(p, I) speªniona + ∂I jest równo±¢: Tw. 8.

∂v(p, I)/∂pi ϕi(p, I) = − (i = 1, . . . , n). ∂v(p, I)/∂I

Pochodn¡ ∂v(∂Ip,I) nazywamy kra«cow¡ u»yteczno±ci¡ dochodu. Def. 4.

Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna na intRn+1 oraz ¯x = + ϕ(p, I), to ∀(p, I) > 0 speªniona jest równo±¢: Tw. 9.

∂u(x) 1 ∂v(p, I) = · =¯ λ, ∂I ∂xi pi

i = 1, . . . , n.

Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl¦dem ceny j -tego towaru nazywamy pochodn¡:

Def.

5.

c (p, I) = Pij

∂ϕi(p, I) . ∂pj

Elastyczno±ci¡ popytu na i-ty towar wzgl¦dem ceny j -tego towaru (elastyczno±ci¡ Def. 6.

cenow¡) nazywamy funkcj¦ postaci:

εcij : intRn+1 → R +

pj ∂ϕi(p, I) c εij (p, I) = · ∂pj ϕ(p, I)

Towar nazywamy normalnym, je»eli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny. Def. 7.

Towar nazywamy towarem Giena, je»eli popyt na ten towar ro±nie wraz ze wzrostem jego ceny.

Def.

8.

Towar i-ty nazywamy substytucyjnym wzgl¦dem towaru j -tego, je±li wzrost ceny towaru j -tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty. Def. 9.

Towar i-ty nazywamy komplementarnym wzgl¦dem towaru j -tego, je»eli wzrost ceny towaru j -tego powoduje spadek popytu na towar i-ty Def. 10.

Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl¦dem dochodu konsumenta nazywamy

Def.

11.

pochodn¡ ∂ϕi(p, I) d Pi (p, I) = . ∂I

Elastyczno±ci¡ popytu na i-ty towar wzgl¦dem dochodu konsumenta (elastyczno±ci¡ dochodow¡) nazywamy funkcj¦ εdi : intRn+1 →R + postaci

Def. 12.

εdi(p, I) =

I ∂ϕi(p, I) · . ∂I ϕi(p, I)

Towarem wy»szego rz¦du nazywamy towar, na który konsument zwi¦ksza popyt, gdy wzrasta jego dochód.

Def. 13.

Towarem ni»szego rz¦du nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego dochód. Def. 14.

Wzrost dochodu konsumenta powoduje wzrost popytu na przynajmniej jeden towar, tzn.

Twi.

10.

∂ϕj (p, I) ∀(p,I) ∃j > 0. ∂I

Wzrost ceny jakiegokolwiek towaru powoduje spadek popytu na przynajmniej jeden towar, tzn. Twi. 11.

∂ϕj (p, I) ∀(p,I) ∃j < 0. ∂pi

Je»eli wraz ze wzrostem ceny popyt na towar ro±nie, to wraz ze wzrostem dochodu popyt na ten towar maleje, tzn. Twi. 12.

!

∀(p,I) ∀i

∂ϕj (p, I) ∂ϕi(p, I) 0⇒ ∂pi ∂I

III. Funkcja kompensacyjnego popytu Twi. 13. Je»eli funkcja u»yteczno±ci

u : Rn +→R

jest ci¡gªa, rosn¡ca i silnie wkl¦sªa, to wektor

x∗ > 0

jest

rozwi¡zaniem

optymalnym

⇔ gdy istnieje taka (x∗, λ∗) speªnia ukªad

nia minimalizacji wydatków liczba

λ∗ > 0,

»e para

zada-

warunków:

∂u(x) = λ∗pi (i = 1, . . . , n) ∂xi |x=x∗ u(x∗) = u.

Funkcj¡ kompensacyjnego popyt konsumenta nazywamy odwzorowanie f : intRn+ × U → Rn + , które ka»demu wektorowi cen p > 0 i ka»demu poziomowi u»yteczno±ci u > u(0) przyporz¡dkowuje odpowiadaj¡ce im rozwi¡zanie x∗ = f (p, u) zadania minimalizacji wydatków. Def. 15.

Funkcj¡ wydatków konsumenta nazywamy odwzorowanie e : intRn+ × R+, które ka»dej parze (p, u) przyporz¡dkowuje minimalny wydatek e(p, u) = hp, f (p, u)i, jaki musi ponie±¢ konsument, aby naby¢ koszyk o u»yteczno±ci równej u. Def. 16

Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn+ → R jest ci¡gªa i rosn¡ca, to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

Twi. 14.

(a) e(p, u(0)) = 0, (b) jest ci¡gªa i rosn¡ca, (c) jest dodatnio jednorodna stopnia dem cen p, (d) jest wkl¦sªa wzgl¦dem cen p.

1

wzgl¦-

Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn + → R jest ci¡gªa, rosn¡ca i silnie wkl¦sªa, to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) jest ró»niczkowalna wzgl¦dem cen, przy czym ∀p > 0, ∀u > u(0) speªniona jest równo±¢:

Twi.

15.

∂e(p, u) = fi(p, u), ∂pi

i = 1, . . . , n.

Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn + → R jest rosn¡ca, silnie wkl¦sªa i dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony na intRn+, to funkcja kompensacyjnego popytu f (p, u) jest ró»niczkowalna, a jej pochodne cz¡stkowe speªniaj¡ nast¦puj¡ce warunki:

Twi.

16.

(a) ∀p > 0, ∀u > u(0)

∂fi(p,u) < 0, ∂pi

(b) ∀p > 0, ∀u > u(0)

∂fj (p,u) ∂fi(p,u) = ∂pj ∂pi ,

1, . . . , n.

i = 1, . . . , n,

i, j =

Suggest Documents