*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x1, x2, . . . , xn), p = (p1, p2, . . . , pn)
cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta¢ konsumenta o dochodzie I przy cenach p = (p1, p2, . . . , pn): D(p, I) = {x ∈ Rn + : hp, xi 6 I} hp, xi = p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn
Lini¡ (pªaszczyzn¡) bud»etow¡ nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania caªego dochodu, tj.
Def. 1.
{x ∈ Rn + : hp, xi = I} Tw. 1. Zbiór
D(p, I) = {x ∈ Rn + : hp, xi 6 I}
jest
ograniczony, domkni¦ty i wypukªy.
u : Rn + → R ∀I > 0, ∀p > 0
Tw. 2. Je»eli funkcja u»yteczno±ci jest ci¡gªa i silnie wkl¦sªa, to
D(p, I) istnieje dokªadnie jeden opymalny koszyk ¯ x speªniaj¡cy warunek u(¯ x) > u(x) ∀x ∈ D(p, I) x 6= ¯ x. w zbiorze
Koszyk ¯x jest rozwi¡zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji: max u(x);
hx, pi 6 I,
x > 0.
Tw. 3. Je»eli funkcja u»yteczno±ci
u : Rn + → R
jest rosn¡ca, ró»niczkowalna i silnie wkl¦sªa na
intRn +,
to koszyk
¯ x
jest rozwi¡zaniem optymal-
nym zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji
⇔
¯ λ > 0 para (¯ x, ¯ λ)
istnieje taka liczba
mno»nikiem Lagrange'a), »e nast¦puj¡cy ukªad
n+1
(zwana speªnia
równa«:
∂u(x) |x=¯ λpi, i = 1, 2, . . . , n, x=¯ ∂xi
hx, pi = I.
Funkcj¡ popytu konsumenta nazyn, wamy odwzorowanie ϕ : intRn+1 → int R + + która ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz¡dkowuje odpowiadaj¡ce jej rozwi¡zanie ¯x = ϕ(p, I) > 0 zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji. Def.
2.
Tw. 4.Je»eli pewne dwie funkcje u»yteczno±ci
u1(x)
i
u2(x)
opisuj¡ t¦ sam¡ relacj¦ preferencji
konsumenta, to odpowiada im jedna i ta sama funkcja popytu
ϕ(p, I)
Funkcja popytu konsumenta ϕ(p, I) jest dodatnio jednorodna stopnia zero tzn. ∀p > 0, ∀I > 0, ∀λ > 0 ϕ(λp, λI) = ϕ(p, I).
Tw. 5.
Je»eli funkcja u»yteczno±ci jest rosn¡ca, silnie wkl¦sªa i ci¡gªa, to odpowiadaj¡ca jej funkcja popytu jest ci¡gªa. Je±li dodatkowo funkcja u»yteczno±ci jest dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony, to odpowiadaj¡ca jej funkcja popytu jest ró»niczkowalna. Tw. 6.
Po±redni¡ funkcj¡ u»yteczno±ci nazywamy odwzorowanie v : intRn+1 → R, które + ka»dej parze (p, I) > 0 przyporz¡dkowuje u»yteczno±¢ u(¯x) optymalnego koszyka ¯x = ϕ(p, I) > 0, b¦d¡cego rozwi¡zaniem zadania maksymalizacji u»yteczno±ci konsumpcji. Def. 3.
Tw. 7.
Je»eli funkcja u»yteczno±ci
ci¡gªa i silnie rosn¡ca na
Rn +,
jest
to odpowiadaj¡ca
jej po±rednia funkcja u»yteczno±ci a) ci¡gªa na
u(x)
v(p, I)
jest:
intRn=1 + ,
b) dodatnio jednorodna stopnia 0,
I i = 1, 2, . . . , n.
c) rosn¡ca wzgl¦dem dochodu wzgl¦dem cen
pi,
oraz malej¡ca
(To»samo±¢ Roy'a) Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna ∂v(p,I) na Rn+1 oraz 6= 0, to ∀(p, I) speªniona + ∂I jest równo±¢: Tw. 8.
∂v(p, I)/∂pi ϕi(p, I) = − (i = 1, . . . , n). ∂v(p, I)/∂I
Pochodn¡ ∂v(∂Ip,I) nazywamy kra«cow¡ u»yteczno±ci¡ dochodu. Def. 4.
Je»eli po±rednia funkcja u»yteczno±ci v(p, I) jest ró»niczkowalna na intRn+1 oraz ¯x = + ϕ(p, I), to ∀(p, I) > 0 speªniona jest równo±¢: Tw. 9.
∂u(x) 1 ∂v(p, I) = · =¯ λ, ∂I ∂xi pi
i = 1, . . . , n.
Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl¦dem ceny j -tego towaru nazywamy pochodn¡:
Def.
5.
c (p, I) = Pij
∂ϕi(p, I) . ∂pj
Elastyczno±ci¡ popytu na i-ty towar wzgl¦dem ceny j -tego towaru (elastyczno±ci¡ Def. 6.
cenow¡) nazywamy funkcj¦ postaci:
εcij : intRn+1 → R +
pj ∂ϕi(p, I) c εij (p, I) = · ∂pj ϕ(p, I)
Towar nazywamy normalnym, je»eli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny. Def. 7.
Towar nazywamy towarem Giena, je»eli popyt na ten towar ro±nie wraz ze wzrostem jego ceny.
Def.
8.
Towar i-ty nazywamy substytucyjnym wzgl¦dem towaru j -tego, je±li wzrost ceny towaru j -tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty. Def. 9.
Towar i-ty nazywamy komplementarnym wzgl¦dem towaru j -tego, je»eli wzrost ceny towaru j -tego powoduje spadek popytu na towar i-ty Def. 10.
Popytem kra«cowym na i-ty towar wzgl¦dem dochodu konsumenta nazywamy
Def.
11.
pochodn¡ ∂ϕi(p, I) d Pi (p, I) = . ∂I
Elastyczno±ci¡ popytu na i-ty towar wzgl¦dem dochodu konsumenta (elastyczno±ci¡ dochodow¡) nazywamy funkcj¦ εdi : intRn+1 →R + postaci
Def. 12.
εdi(p, I) =
I ∂ϕi(p, I) · . ∂I ϕi(p, I)
Towarem wy»szego rz¦du nazywamy towar, na który konsument zwi¦ksza popyt, gdy wzrasta jego dochód.
Def. 13.
Towarem ni»szego rz¦du nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego dochód. Def. 14.
Wzrost dochodu konsumenta powoduje wzrost popytu na przynajmniej jeden towar, tzn.
Twi.
10.
∂ϕj (p, I) ∀(p,I) ∃j > 0. ∂I
Wzrost ceny jakiegokolwiek towaru powoduje spadek popytu na przynajmniej jeden towar, tzn. Twi. 11.
∂ϕj (p, I) ∀(p,I) ∃j < 0. ∂pi
Je»eli wraz ze wzrostem ceny popyt na towar ro±nie, to wraz ze wzrostem dochodu popyt na ten towar maleje, tzn. Twi. 12.
!
∀(p,I) ∀i
∂ϕj (p, I) ∂ϕi(p, I) 0⇒ ∂pi ∂I
III. Funkcja kompensacyjnego popytu Twi. 13. Je»eli funkcja u»yteczno±ci
u : Rn +→R
jest ci¡gªa, rosn¡ca i silnie wkl¦sªa, to wektor
x∗ > 0
jest
rozwi¡zaniem
optymalnym
⇔ gdy istnieje taka (x∗, λ∗) speªnia ukªad
nia minimalizacji wydatków liczba
λ∗ > 0,
»e para
zada-
warunków:
∂u(x) = λ∗pi (i = 1, . . . , n) ∂xi |x=x∗ u(x∗) = u.
Funkcj¡ kompensacyjnego popyt konsumenta nazywamy odwzorowanie f : intRn+ × U → Rn + , które ka»demu wektorowi cen p > 0 i ka»demu poziomowi u»yteczno±ci u > u(0) przyporz¡dkowuje odpowiadaj¡ce im rozwi¡zanie x∗ = f (p, u) zadania minimalizacji wydatków. Def. 15.
Funkcj¡ wydatków konsumenta nazywamy odwzorowanie e : intRn+ × R+, które ka»dej parze (p, u) przyporz¡dkowuje minimalny wydatek e(p, u) = hp, f (p, u)i, jaki musi ponie±¢ konsument, aby naby¢ koszyk o u»yteczno±ci równej u. Def. 16
Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn+ → R jest ci¡gªa i rosn¡ca, to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
Twi. 14.
(a) e(p, u(0)) = 0, (b) jest ci¡gªa i rosn¡ca, (c) jest dodatnio jednorodna stopnia dem cen p, (d) jest wkl¦sªa wzgl¦dem cen p.
1
wzgl¦-
Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn + → R jest ci¡gªa, rosn¡ca i silnie wkl¦sªa, to funkcja wydatków konsumenta e(p, u) jest ró»niczkowalna wzgl¦dem cen, przy czym ∀p > 0, ∀u > u(0) speªniona jest równo±¢:
Twi.
15.
∂e(p, u) = fi(p, u), ∂pi
i = 1, . . . , n.
Je»eli funkcja u»yteczno±ci u : Rn + → R jest rosn¡ca, silnie wkl¦sªa i dwukrotnie ró»niczkowalna, a jej hesjan H(x) jest ujemnie okre±lony na intRn+, to funkcja kompensacyjnego popytu f (p, u) jest ró»niczkowalna, a jej pochodne cz¡stkowe speªniaj¡ nast¦puj¡ce warunki:
Twi.
16.
(a) ∀p > 0, ∀u > u(0)
∂fi(p,u) < 0, ∂pi
(b) ∀p > 0, ∀u > u(0)
∂fj (p,u) ∂fi(p,u) = ∂pj ∂pi ,
1, . . . , n.
i = 1, . . . , n,
i, j =