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2 2 2.1 Ecuaciones de la recta en R 2.2 Posiciones relativas.

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Encuentre ecuaciones de rectas • Determine si dos rectas son coincidentes, paralelas o si son intersecantes • Encuentre punto de intersección entre rectas. • Encuentre ángulo de intersección entre rectas.

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2.1. ECUACIONES DE LA RECTA EN R 2 Trataremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de un análisis vectorial.

2.1.1 Ecuación de una recta definida por dos puntos Es obvio que dos puntos definen una recta, observe la figura

→

⎯⎯→

Llamemos a S = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) vector directriz de la recta l . →

⎯⎯→

Sea el vector v = P1 P = ( x − x1 , y − y1 ) , definido entre el punto P1 ( x1 , y1 ) y →

→

un punto P( x, y ) cualquiera de la recta. Observe que S y v son paralelos, →

→

entonces v = k S para k ∈ R . Por consiguiente:

(x − x , y − y ) = k (x − x , y − y ) (x − x , y − y ) = (k (x − x ), k ( y − y )) 1

1

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

Por igualdad de vectores:

⎧ x − x1 = k ( x2 − x1 ) ⎨ ⎩ y − y1 = k ( y 2 − y 1 ) Finalmente:

38

x − x1 y − y1 = x2 − x1 y 2 − y1

Ecuación de una recta definida por dos puntos P1(x1, y1 ) y P2 (x 2 , y 2 )

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2.1. 2. Ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente Tomando la ecuación anterior en la forma

y − y1 =

y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

La medida de la inclinación de la recta se la llama "Pendiente", se la denota como m y se la define como

m=

y2 − y1 . Entonces, tenemos: x2 − x1

y − y1 = m( x − x1 )

Ecuación de una recta definida por un punto P1 (x1 , y1 ) y su pendiente m

2.1.3. Ecuación de una recta definida por un punto y un vector paralelo.

(

→

Considerando el vector directriz S = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) = s x , s y

)

como un

vector paralelo a la recta, tenemos:

x − x1 y − y1 = sx sy

Ecuación de una recta definida por un punto →

(

)

P1 (x1 , y1 ) y un vector paralelo S = s x , s y .

2.1.4. Ecuaciones Paramétricas de una recta

Considerando

x − x1 y − y1 = = t tenemos sx sy

⎧ x − x1 ⎪ s =t ⎪ x . ⎨ − y y 1 ⎪ =t ⎪⎩ s y

Por tanto otra forma de la ecuación de una recta, sería:

⎧ x = x1 + s x t ;t ∈ R ⎨ = + y y s t 1 y ⎩

Ecuaciones Paramétricas.

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2.1.5. Ecuación Vectorial de una recta. De

lo

anterior

tenemos

l : ( x, y ) = ( x1 , y1 ) + (s x , s y )t

→

considerando

→

V = ( x, y ) el vector posición de un punto de la recta, V1 = ( x1 , y1 ) el vector →

(

posición de un punto de la recta y S = s x , s y

) un vector paralelo a la recta;

tenemos: →

→

→

V = V1 + S t

Ecuación Vectorial de una recta.

2.1.6. Ecuación de la recta definida por un punto y un vector normal →

Ahora suponga que se tiene un vector n = (a, b ) perpendicular a la recta

→

→

⎯⎯→

El vector n = (a, b ) y el vector V = P0 P1 = ( x − x0 , y − y0 ) son ortogonales, →

→

por tanto n• V = 0 .

Reemplazando tenemos (a, b ) • ( x − x0 , y − y 0 ) = 0

Y resolviendo resulta:

a ( x − x0 ) + b( y − y 0 ) = 0

Ecuación de la recta definida por un punto P0 (x 0 , y 0 ) y un vector normal →

n = (a, b )

40

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2.1.7. Ecuación general de una recta En la última ecuación resolviendo, resulta:

ax − ax0 + by − by0 = 0

ax + by + (− ax0 − by0 ) = 0 Haciendo c = −ax0 − by 0

resulta:

ax + by + c = 0

Ecuación general de una recta

Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (−2,3) y (1,−2 ) SOLUCIÓN: Utilizando

x − x1 y − y1 y los puntos dados P1 (−2,3) y P2 (1,−2 ) (No importa el orden) = x 2 − x1 y 2 − y1

Reemplazando tenemos:

y −3 x − (−2) = 1 − (− 2) − 2 − 3

Resolviendo y despejando tenemos:

x +2 y −3 = 3 −5 − 5 x − 10 = 3 y − 9 5x + 3 y + 1 = 0

Ejemplo 2 Hallar la ecuación general y ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto (7,3) y es paralela a la recta que tiene por ecuación 3x + y + 1 = 0 SOLUCIÓN: →

La recta dada tiene vector normal n = (3,1) . Como la recta buscada es paralela a esta recta entonces un vector normal sería el mismo. Empleamos la forma de la ecuación de la recta definida por un punto y un vector normal a ( x − x0 ) + b( y − y 0 ) = 0

reemplazando tenemos: 3(x − 7 ) + 1( y − 3) = 0 3 x − 21 + y − 3 = 0 3 x + y − 24 = 0

En la última ecuación, despejando y tenemos y = −3x + 24 . Una parametrización sería ⎧x = t ⎨ ⎩ y = 24 − 3t

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Ejemplo 3 Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto perpendicular a la recta que tiene por ecuación 5 x + 3 y − 1 = 0

(−2,−1)

y es

SOLUCIÓN: →

La recta dada tiene vector normal n = (5,3) . Como la recta buscada es perpendicular a →

esta recta entonces un vector directriz sería el mismo. Es decir S = (5,3) Empleamos la forma de la ecuación de la recta definida por un punto y un vector paralelo x − x1 y − y1 = sx sy

Reemplazando y resolviendo, tenemos: x − (−2 ) y − (−1) = 5 3 x + 2 y +1 = 5 3 3x + 6 = 5 y + 5 3x − 5 y + 1 = 0

Ejemplo 4 Demuestre que la ecuación de la recta que contiene a los puntos ( A,0) y (0, B ) es

x y + =1 A B SOLUCIÓN: Empleando la forma de la ecuación de la recta definida por dos puntos: x − x1 y − y1 = x2 − x1 y 2 − y1

Reemplazando P1 ( A,0 ) y P2 (0, B ) , tenemos: x− A y−0 = 0− A B−0 x− A y = −A B y x − +1 = A B x y + = 1 l.q.q.d . A B

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2.2. POSICIONES RELATIVAS. 2.2.1 Entre un punto y una recta 2.2.1.1 Un punto P0 pertenece a la recta l Un punto P0 de coordenadas ( x0 , y0 ) pertenece a la recta l con ecuación

ax + by + c = 0 si y sólo si las coordenadas del punto satisfacen la ecuación de la recta, es decir ax0 + by0 + c = 0 .

2.2.1.2 El punto P0 no pertenece a la recta l . Un punto P0 de coordenadas

(x , y ) 0

0

no pertenece a la recta l con

ecuación ax + by + c = 0 si y sólo si las coordenadas del punto no satisfacen la ecuación de la recta, es decir ax0 + by0 + c ≠ 0 . En este caso podemos determinar la formula de la distancia entre el punto y la recta. Observe la figura:

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→

La distancia del punto P0 a la recta será la proyección escalar de V sobre →

→

n . El vector V está definido entre los puntos P0 ( x0 , y0 ) y P( x, y ) donde − c − ax y= (despejando de la ecuación de la recta). Es decir, b → ⎯⎯→ − c − ax ⎞ ⎛ V = PP0 = ⎜ x0 − x, y0 − ⎟. b ⎠ ⎝

Ahora,

c + ax ⎞ ⎛ ⎜ x0 − x, y 0 + ⎟ • (a, b ) V• n b ⎠ ⎝ d ( P0 , l ) = Pr oy → V = → = n a2 + b2 n →

→

→

(x0 − x )a + ⎛⎜ y0 + c + ax ⎞⎟b ⎝ a2 + b2

=

=

b

⎠

ax0 − ax + by0 + c + ax a2 + b2

Por tanto: d ( P0 , l ) =

ax0 + by 0 + c a2 + b2

Ejemplo Hallar la distancia entre el punto 3x + y + 1 = 0

(2,1)

y la recta que tiene por ecuación

SOLUCIÓN: Empleando la formula d ( P0 , l ) =

d ( P0 , l ) =

44

ax0 + by0 + c a2 + b2

3(2) + 1(1) + 1 3 2 + 12

=

tenemos:

8 10

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2.2.2 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS 2.2.2.1 Rectas coincidentes Sea l1 una recta con ecuación a1 x + b1 y + c1 = 0 y sea l 2 una recta con

ecuación a2 x + b2 y + c2 = 0 . Entonces l1 y l 2 son coincidentes si y sólo si:

a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 Ejemplo Las rectas con ecuaciones debido a que

2x + y − 3 = 0

y 6 x + 3 y − 9 = 0 son

COINCIDENTES

6 3 −9 = = = 3. 2 1 −3

2.2.2.2 Rectas paralelas Dos rectas l1 y l 2 con ecuaciones a1 x + b1 y + c1 = 0 y a2 x + b2 y + c2 = 0 son paralelas si y sólo si:

a1 b1 = a2 b2 Ejemplo Las rectas con ecuaciones 2 x + y − 3 = 0 y 6 x + 3 y + 5 = 0 son PARALELAS debido a que

6 3 = . 2 1

2.2.2.3 Rectas intersecantes Dos rectas l1 y l 2 con ecuaciones a1 x + b1 y + c1 = 0 y a2 x + b2 y + c2 = 0 son intersecantes si y sólo si:

a1 b1 ≠ a2 b2 Ejemplo Las rectas con ecuaciones debido a que

2 x + y − 3 = 0 y x + 3 y + 5 = 0 son

INTERSECANTES

1 3 ≠ . 2 1

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Cuando las rectas son intersecantes podemos hallar el punto de intersección y el ángulo entre ellas.

Para encontrar el punto bastará con resolver el sistema simultáneo:

⎧a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0 ⎨ ⎩a2 x0 + b2 y0 + c2 = 0 El ángulo de intersección entre las rectas será el mismo que el de los vectores normales o el de los vectores directrices. Es decir:

θ = ar cos

→

→

→

→

n1 • n2

→

= ar cos

n1 n2

→

S1 • S 2 →

→

s1 S 2

Ejercicio resuelto Hallar el ángulo de intersección entre las rectas cuyas ecuaciones son l1 : (x, y ) = (1,2) + t 1, 3 y l 2 : (x, y ) = (− 1,2) + t − 3 ,−1 . SOLUCIÓN:

(

)

(

)

( ) ( ) (1, 3 )• (− 3 ,−1) = ar cos⎛⎜ − 3 ⎞⎟ = 5 π = ar cos →

→

En este caso los vectores directrices son S1 = 1, 3 y S 2 = − 3 − 1 , por tanto →

θ = ar cos

→

S1 • S 2 → →

s1 S 2

Hemos obtenido el ángulo mayor. π ¿Porqué? El ángulo menor sería 6

46

(2)(2)

⎜ ⎝

2 ⎟⎠

6

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Ejercicios Propuestos 2.1 →

1.

Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(3,2) y que es paralela a al vector v = 3i − j

2.

Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (-2,1) y es paralela al vector 1,−3 .

3.

Resp. y + 3 x + 5 = 0 Determine la ecuación de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta dada por: x = 3 + t ∧ y = −2t

4.

Resp. 2 x + y = 5 Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = 3 + t ∧ y = −2t , t ∈ IR

Resp. x + 3 y − 9 = 0

Resp. 2 x + y − 5 = 0 5.

→

Determine la ecuación general de la recta que es paralela al vector v = (3,−4 ) y que contiene al punto que está dado por la intersección de las rectas que tienen por ecuación x + y = 2 y 2 x − 4 y = 1 Resp. 8 x + 6 y − 15 = 0

6.

Determine la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta con ecuación 4 x + y − 1 = 0 , y que contiene al punto de intersección de las rectas con ecuaciones 2 x − 5 y + 3 = 0 ∧ x − 3 y − 7 = 0 . Resp. x − 4 y − 24 = 0

7.

Sean las rectas l1 : ax + 2 y − 3 = 0 y l2 : 5 x + by − 7 = 0 . Si su punto de intersección es P ( −1,3) , determine los valores de a y b Resp. a = 3 b = 4

8.

Determine la distancia de punto P0 ( 2,3) a la recta de ecuación 2 y + x − 4 = 0 Resp.

9.

4 5

Determine la distancia entre las rectas l1 : 2 x + 3 y − 4 = 0 y l2 : 6 x + 9 y − 3 = 0 3 Resp. 13

⎧ x = 1 + 3t 10. Determine la menor distancia entre las rectas que tienen por ecuación 2 x − 3 y + 4 = 0 y ⎨ ⎩ y = 2 + 2t Resp. d = 0 11. Determine el valor de “k” para que la distancia de la recta con ecuación kx + 3 y + 5 = 0 al punto (-2,2) sea

22 ± 2 37 3 12. Determine la medida del ángulo formado por las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 1 ∧ y = 10 − t igual a 1.

y

x = 1 − 2t ∧ y = 4 − 2t .

13. Determine la ecuación de la recta de pendiente −

Resp.

Resp.

π 4

3 y que forma con los ejes coordenados, en el primer 4

cuadrante, un triángulo cuya área tiene un valor de 24u 2 . Resp. 3 x + 4 y − 24 = 0 14. Determine la ecuación de la recta que equidista de las rectas cuyas ecuaciones son: x + 2 y + 10 = 0

x + 2y − 2 = 0 .

y

Resp. x + 2 y + 4 = 0

15. Encontrar el valor de “k” para que las rectas que tienen por ecuaciones 3kx + 9 y = 5 y 6 x − 4 y = 0 , sean perpendiculares. Resp. 2

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16. Encontrar el valor de “k” para que la recta que tiene por ecuación 3 x − ky − 8 = 0 forme un ángulo de medida

45° con la recta de ecuación 2 x + 5 y − 17 = 0 . Resp. 7, -9/7 17. Determine la ecuación de la recta cuyo punto más cercano al origen es (3,4). Resp. 3 x + 4 y − 25 = 0 18. Determine todos los posibles valores de “k” para que la recta con ecuación x + 2 y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo cuya área tiene un valor de 16u 2 . Resp. ±8

19. Determine la ecuación de la recta “ l ” .

∠EAF = 40° ∠DBC = 100°

Resp. x − 3 y − 2 3 = 0

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