Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y 𝑢𝑢 �⃗ su vector

director, el vector �����⃗ 𝑃𝑃𝑋𝑋 tiene igual dirección que 𝑢𝑢 �⃗, luego

es igual a 𝑢𝑢 �⃗ multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Igualando coordenadas se llega a:

Ecuaciones continuas de la recta Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas. 1

Ejemplos 1. Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director es 𝑢𝑢 �⃗ = (4,5, −1) .

2. Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3. Sea r la recta de ecuación:

2

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

4. Dada la recta

Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

3

Ecuaciones del plano Ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector �����⃗ 𝑃𝑃𝑋𝑋 tiene que ser coplanario con 𝑢𝑢 �⃗ 𝑦𝑦 𝑣𝑣⃗. Luego se

puede expresar como combinación lineal de ambos.

Ecuaciones paramétricas del plano Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

4

Ecuación general o implícita del plano Partiendo de las ecuaciones paramétricas, un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitasλ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano: Ax + By + Cz + D = 0 Vector normal El vector 𝑛𝑛�⃗ =(A,B,C) es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

5

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector �����⃗ 𝑃𝑃𝑋𝑋 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 ) es perpendicular al

vector 𝑛𝑛�⃗

, y por tanto el producto escalar es cero.

�����⃗ · 𝑛𝑛�⃗ = 0 𝑃𝑃𝑋𝑋

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal. Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

6

Ejemplos: 1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a 𝑢𝑢 �⃗(1, −1,1) y 𝑣𝑣⃗(2,3, −1) .

-2x + 3y + 5z – 6 = 0 2. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector 𝑢𝑢 �⃗ (0,0,1) .

3. Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).

7

4. Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

5. Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

5. Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0. Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, 𝑛𝑛�⃗(1, −1, −1) será el vector

director de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

8

7. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuación:

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector 𝑢𝑢 �⃗ .

Puntos en el espacio Coordenadas del punto medio de un segmento Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:

Ejemplo Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

Coordenadas del baricentro de un triángulo Sean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vértices de un triángulo, las coordenadas del baricentro son:

9

Ejemplo Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = −2) (4, los 1, vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro.

Puntos alineados Tres o más puntos están alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1. Ejemplo Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están alineados.

Los puntos no están alineados. Puntos coplanarios Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2. Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios. 10

Ejemplo 1. Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5),−1, D(−2, −3) y E(2, 2, 2) s

on

coplanarios. Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.

11