POSICIONES RELATIVAS i. ii. iii. iv.

Posiciones Relativas de dos planos Posiciones relativas de tres planos Posiciones relativas de dos rectas Posiciones relativas de una recta y un plano

Posiciones relativas de dos planos.

•

 π ≡ A 1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Sean los planos:  1 , sus posiciones relativas pueden ser: π 2 ≡ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 - Secantes. - Paralelos. - Coincidentes Secantes. Tienen infinitos puntos comunes formando una recta.

A 1 B 1 C1 ≠ ≠ A 2 B2 C2

Basta con que se cumpla una desigualdad. •

Paralelos. No tienen puntos comunes.

A 1 B 1 C1 D1 = = ≠ A 2 B2 C2 D2

•

Coincidentes. Todos sus puntos son comunes. A1 B1 C1 D1 = = = A 2 B 2 C2 D 2

Posiciones relativas de tres planos. Las posiciones relativas de tres planos pueden ser: - Concurrentes en un punto. - Formando un prisma triangular de arista paralelas. - Dos paralelos y uno secante. - Formando un haz de planos de arista común. - Paralelos. - Coincidentes.  π 1 ≡ A 1 x + B1 y + C 1 z + D 1 = 0  Sean los planos: π 2 ≡ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 su posición relativa se estudia mediante los π ≡ A x + B y + C z + D = 0 3 3 3 3  3  A 1 x + B1 y + C 1 z = D 1  rangos de las matrices que definen el sistema: A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 A x + B y + C z = D 3 3 3  3

Nota: Puesto que D1, D2 y D3 son números, para simplificar la explicación, no se tiene en cuenta el cambio de signo al pasar de un miembro a otro.  A 1 B1 C 1   A 1 B1 C 1 D 1      A =  A 2 B2 C2  A* =  A 2 B 2 C 2 D 2  A  A   3 B3 C 3   3 B3 C3 D3  •

Concurrentes en un punto. rg A = rg A* = 3. El punto de corte de los tres planos es la solución del sistema.

•

Formando un prisma triangular de aristas paralelas. rg A = 2 ≠ rg A* = 3 y además, no existe paralelismo entre dos de los tres planos.

•

Dos paralelos y uno secante.

rg A = 2 ≠ rg A* = 3 y además, existe paralelismo entre dos de los tres planos.

A 1 B 1 C1 D1 = = ≠ A 2 B2 C2 D2

•

Haz de planos de arista común.

rg A = rg A* = 2. La ecuación de la recta se determina resolviendo el sistema compatible indeterminado que forman dos cualquiera de las tres ecuaciones.

 A x + B1 y + C 1 z = D 1  A x + B1 y = D 1 − C 1 λ z =λ r≡ 1  → r ≡  1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 A 2 x + B 2 y = D 2 − C 2 λ

•

Planos paralelos. rg A = 1 ≠ rg A* = 2

•

Planos coincidentes, el mimo plano. rg A = rg A* = 1.

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Dos rectas en el espacio pueden ocupar cuatro posiciones distintas - Se cruzan pero no se cortan. - Secantes. - Paralelas. - Coincidentes. Se puede estudiar de dos formas distintas.

1ª. Conocidos el vector de dirección y un punto de la recta. Apropiada cuando las rectas estén expresadas en forma vectorial, ecuaciones paramétricas o en continua. x − a 1 x − a 2 x − a 3 A = (a 1 , a 2 , a 3 ) = = r≡ : r u1 u2 u3 d = (u 1 , u 2 , u 3 ) Sean: x − b 1 x − b 2 x − b 3 B = (b1 , b 2 , b 3 ) = = s≡ : r v1 v2 v3  d = (v1 , v 2 , v 3 ) La posición relativa es función del rango de la matriz formada por los vectores de dirección y el r r vector formado entre los dos puntos d r , d s , AB .

(

)

 u1  A =  v1 b − a  1 1

•

u2 v2 b2 − a 2

u3   v3  b 3 − a 3 

Se cruzan pero no se cortan. No son coplanarias y no tienen ningún punto común. rg A = 3

•

Secantes. Son coplanarias y tienen un punto común. r r rg A = 2 y d r ≠ k ⋅ d s El punto de corte se calcula mediante un sistema formado por las ecuaciones paramétricas de ambas rectas.  x = b 1 + v 1µ  x = a 1 + u 1λ   r : y = a 2 + u 2 λ s : y = b 2 + v 2 µ x = b + v µ x = a + u λ 3 3 3 3   rectas.

Si P(xo, yo, zo) es el punto común, sus coordenadas deben de cumplir la ecuaciones de de las dos  x o = a 1 + u 1λ  r : y o = a 2 + u 2 λ x = a + u λ 3 3  o

 x o = b 1 + v 1µ  s : y o = b 2 + v 2 µ x = b + v µ 3 3  o

igualando y ordenando se obtiene un sistema compatible determinado de tres ecuaciones con dos incógnitas (λ, µ). a 1 + u 1 λ = b 1 + v 1µ  u 1 λ − v 1µ = b 1 − a 1  a 2 + u 2λ = b 2 + v 2µ u 2 λ − v 2 µ = b 2 − a 2 u λ − v µ = b − a a 3 + u 3 λ = b 3 + v 3µ 3 3 3  3 Para resolverlo se seleccionan dos ecuaciones linealmente independientes. Conocido λ ó µ se sustituye en las paramétricas correspondiente y se calculan las coordenadas de P. •

Paralelas. Son coplanarias y no tienen puntos comunes. r r rg A = 2 y d r = k ⋅ d s

•

Coincidentes. Todos los puntos son comunes. Son la misma recta. rg A = 1

2ª. Expresadas las restas como intersección entre planos ò como ecuaciones reducidas.  A x + B1 y + C 1 z = D 1  A x + B3 y + C3z = D 3 r≡ 1 s≡ 3 A x B y C z D + + = 2 2 2  2 A 4 x + B 4 y + C 4 z = D 4 La discusión del sistema que forman las ecuaciones de los cuatro planos se relaciona con la posición relativa de las rectas, mediante los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.  A 1 x + B1 y + C 1 z = D 1 A x + B y + C z = D  2 2 2 2  A x B y C z D + + = 3 3 3  3 A 4 x + B 4 y + C 4 z = D 4  A1  A A= 2 A  3 A  4

B1 B2 B3 B4

C1   C2  rg A ≤ 3 C3   C 4  4×3

 A1  A A* =  2 A  3 A  4

B1

C1

B2

C2

B3

C3

B4

C4

D1   D2  D3   D 4  4×4

rg A* ≤ 4

•

Se cruzan pero no se cortan. No son coplanarias y no tienen ningún punto común. rg A = 3 ≠ rg A* = 4

•

Secantes. Son coplanarias y tienen un punto común. rg A = 3 = rg A*

El punto de corte se obtiene como solución del sistema. Para resolver el sistema se escogen tres ecuaciones linealmente independientes y se resuelve por Cramer o cualquier otro método. •

Paralelas. Son coplanarias y no tienen puntos comunes. rg A = 2 ≠ rg A* = 3

•

Coincidentes. Todos los puntos son comunes. Son la misma recta. rg A = 2 = rg A*

Posiciones relativas de una recta y un plano. Una recta y un plano pueden ocupar tres posiciones relativas: - Secantes. - Parelelos - La recta esta contenida en el plano Su posición relativa puede estudiarse de dos formas distintas.

1ª Por vectores. Apropiada cuando la recta está expresada en forma vectorial, paramétricas o continua. Sean:  x = a 1 + u 1λ A = (a 1 , a 2 , a 3 ) v  r : y = a 2 + u 2 λ : r ; π : Ax + By + Cz + D = 0 : n = (A, B, C ) d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) x = a + u λ 3 3  •

Secantes. La recta corta al plano, tienen un punto común. r r El vector normal del plano ( n ) no es perpendicular al vector de dirección de la recta ( d r ), y por tanto su producto escalar es distinto de cero. r r n o dr ≠ 0

(A, B, C) o (u1 , u 2 , u 3 ) ≠ 0

A ⋅ u1 + B ⋅ u 2 + C ⋅ u 3 ≠ 0

El punto de corte (Po) se halla formando un sistema entre las paramétricas de la recta y la general del plano, teniendo en cuenta que en el punto de corte (xo, yo, zo) se cumplen ambas ecuaciones, y por tanto sustituyendo las paramétricas de la recta en el plano, se puede despejar el valor del parámetro en el punto de corte (λo). Conocido el valor del parámetro, en las ecuaciones paramétricas de la recta se obtienen las coordenadas del punto de corte.   x o = a 1 + u 1λ    y o = a 2 + u 2 λ A(a 1 + u 1 λ ) + B(a 2 + u 2 λ ) + C(a 3 + u 3 λ ) + D = 0  x = a + u λ  3 3  o Ax o + By o + Cz o + D = 0 λo = −

A ⋅ a1 + B ⋅ a 2 + C ⋅ a 3 + D A ⋅ u1 + B ⋅ u 2 + C ⋅ u 3

 x o = a 1 + u 1λ o  Po :  y o = a 2 + u 2 λ o x = a + u λ 3 3 o  o

•

Paralelos. No tienen puntos comunes. r r El vector de dirección de la recta ( d r ), es perpendicular al vector normal del plano ( n ), pero el punto de la recta no cumple la ecuación del plano. r r n o dr = 0

(A, B, C) o (u1 , u 2 , u 3 ) = 0

A ⋅ u1 + B ⋅ u 2 + C ⋅ u 3 = 0

A∉π A ⋅ a1 + B ⋅ a 2 + C ⋅ a 3 + D ≠ 0

•

La recta esta contenida en el plano. Todos los puntos de la recta pertenecen al plano. r r El vector de dirección de la recta ( d r ), es perpendicular al vector normal del plano ( n ), y el punto de la recta cumple la ecuación del plano. r r n o dr = 0

(A, B, C) o (u1 , u 2 , u 3 ) = 0

A ⋅ u1 + B ⋅ u 2 + C ⋅ u 3 = 0

A∈π A ⋅ a1 + B ⋅ a 2 + C ⋅ a 3 + D = 0

2ª Por sistema. Apropiada cuando la recta está expresada como intersección de planos o en ecuaciones reducidas.  A x + B1 y + C 1 Z + D 1 = 0 Sean: r :  1 una recta y π : A 3 x + B 3 y + C 3 Z + D 3 = 0 un plano. A 2 x + B 2 y + C 2 Z + D 2 = 0 La recta y el plano forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Los rangos de la matrices de coeficientes y ampliada se relacionan con la posición relativa.  A 1 x + B1 y + C 1 Z = D 1  A 2 x + B 2 y + C 2 Z = D 2 A x + B y + C Z = D 3 3 3  3 Nota: Puesto que D1, D2 y D3 son números, para simplificar la explicación, no se tiene en cuenta el cambio de signo al pasar de un miembro a otro.  A 1 B1 C 1   A 1 B1 C 1 D 1      A =  A 2 B2 C2  A* =  A 2 B 2 C 2 D 2  A  A   3 B3 C 3   3 B3 C3 D3  •

Secantes. La recta corta al plano, tienen un punto común. rg A = rg A* = 3 El punto de corte se halla resolviendo el sistema, que es compatible determinado. Método de

Cramer. •

Paralelos. No tienen puntos comunes. rg A = 2 ≠ rg A* = 3

•

La recta esta contenida en el plano. Todos los puntos de la recta pertenecen al plano. rg A = rg A* = 3