1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.

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La recta en el plano. 1.

Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´asicos: Intervalos y sus definiciones b´asicas. Representaci´on gr´afica de rectas. Ecuaciones de primer grado. Sistemas de ecuaciones. Vectores. Ser´ıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.

2.

La recta.

Definici´on: La recta es la distancia m´as corta entre dos puntos. Los polinomios de primer grado representan, realmente, una recta: y =m·x+n A m se la denomina pendiente de la recta y est´a relacionada con el a´ ngulo que forma la recta con la horizontal: m = tan α ⇒ α = arctan m A n se la denomina ordenada en el origen y est´a relacionada con el lugar donde corta la recta al eje de las ordenadas (el eje de las y’s). En la figura 1 se puede apreciar el significado gr´afico de estos conceptos, lo que se ha hecho en esta figura es representar gr´aficamente la funci´on f (x) = m · x + n.

Figura 1: Gr´afica de una recta.

´ ´ 3 GRAFICA DE UNA FUNCION.

3.

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´ ´ Grafica de una funcion.

Las funciones se suelen representar usando unos ejes coordenados. Al eje horizontal se le suele llamar eje de abscisas o eje de las x. Al eje vertical se le denomina eje de ordenadas o eje de las y. 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 x

-1 -2 -3 y -4

Se representan dando valores a la x y obteniendo la y correspondiente, obteni´endose pares (x, y). A estos pares se les denomina puntos, pues representan puntos en el sistema de ejes. Por ejemplo, para representar la gr´afica de la funci´on y = 2x − 1: ❶ Se dan valores a la x y se obtiene el correspondiente valor de la y. Los valores para la x se tomar´an al azar. x = −1 y = 2x − 1 = 2 · (−1) − 1 = −3 x=0 y = 2x − 1 = 2 · (0) − 1 = −1 x=1 y = 2x − 1 = 2 · (1) − 1 = 1 x=2 y = 2x − 1 = 2 · (2) − 1 = 3

❷ Se representan los pares de puntos en un sistema de ejes coordenados. 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

❸ Si se dan un alto n´umero de valores, mayor definici´on tendr´a la funci´on, que es lo que hacen los ordenadores o calculadoras cient´ıficas para representar las funciones. En este caso lo que se tiene es una recta.

´ DE LA RECTA. 4 LA ECUACION

3 4 3 2 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

Ejercicios: Representar las siguientes rectas: 1. y = 2x + 1 2. y = −2x + 1 Pensar c´omo se dibujar´ıan las siguientes rectas: 1. y = 2 2. x = 1

4.

´ de la recta. La ecuacion

La ecuaci´on de la recta es la expresi´on que debe cumplir un punto (un par (x, y)) para pertenecer a dicha recta. La ecuaci´on m´as sencilla de la recta es la ecuaci´on vectorial de la recta: Se considera un vector en la direcci´on de la recta, ~u, y un punto por el que pasa la recta, el punto A. La ecuaci´on de la recta con direcci´on ~u y que pasa por el punto A es: ~ + t · ~u ~r(t) = OA ~ es un vector que va desde el origen al punto Donde ~r es un vector que va desde el origen a los puntos de la recta y OA A. Ejemplo: Sea A = (1, 2) un punto de la recta y ~u = (−1, 4) un vector en la direcci´on de la recta. Calcular la ecuaci´on de la recta y un punto de la misma. La ecuaci´on vectorial de la recta es: ~ + t · ~u ⇒ ~r(t) = (1, 2) + t · (−1, 4) ~r(t) = OA Para calcular un punto cualquiera de la recta s´olo hay que dar valores a t: Para t = 0 ⇒ ~r(0) = (1, 2) + 0 · (−1, 4) = (1, 2) Para t = −1 ⇒ ~r(-1) = (1, 2) + -1 · (−1, 4) = (1, 2) + (1, −4) = (2, −2) Para t = 12 ⇒ ~r( 12 ) = (1, 2) + 12 · (−1, 4) = (1, 2) + (− 21 , 2) = ( 12 , 4)

´ DE LA RECTA. 4 LA ECUACION

4

La ecuaci´on vectorial de la recta tambi´en puede ser escrita usando otra expresi´on: ~ = (x0 , y0 ) y ~v = (ux , u,y ): Si ~r(t) = (x, y), OA ~ + t · ~u ⇒ (x, y) = (x0 , y0 ) + t · (ux , u,y ) ~r(t) = OA Operando un poco en esta u´ ltima expresi´on se puede llegar a la ecuaci´on param´etrica de la recta: x = x0 + t · u1 y = y 0 + t · u2

)

Despejando el par´ametro t de ambas expresiones e igualando, se llega a la ecuaci´on continua de la recta: x − x0 y − y0 = u1 u2 Tomando m =

u2 y operando, se llega a la ecuaci´on punto pendiente de la recta: u1 y − y0 = m · (x − x0 )

Tomando ahora n = m · x0 + y0 y operando, se llega a la ecuaci´on expl´ıcita de la recta: y =m·x+n Como se indicaba anteriormente m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen. Operando en la ecuaci´on continua de la recta, y llamando A = u2 , B = −u1 y C = u1 y0 − u2 x0 se llega a la ecuaci´on general de la recta: Ax + By + C = 0 Una propiedad interesante de esta expresi´on de la recta es que el vector formado por (A, B) es un vector perpendicular a la recta. En el caso de que la recta no pase por el origen y que corte a los ejes de coordenadas en los puntos Pa = (a, 0) y ~ = (0, b) − (a, 0) = (−a, b), y aplicarlo a la Pb = (0, b), se puede calcular el vector que une ambos puntos, AB ecuaci´on en forma continua. Se llegar´ıa a la ecuaci´on can´onica o segmentaria de la recta: x y + =1 a b Ejercicios: 1. Calcular todas las posibles ecuaciones de la recta que pasan por los puntos: a) (2,1) y (3,0) Pista: Para calcular el vector direcci´on de la recta, suponer que (2,1) y (3,0) son vectores y calcular la diferencia entre ellos.

b) (0,1) y (3,0) Pista: Para calcular el vector direcci´on de la recta, suponer que (0,1) y (3,0) son vectores y calcular la diferencia entre ellos. Comprobar el resultado usando la ecuaci´on segmentar´ıa de la recta.

¿Se te ocurre alguna forma de verificar estos resultados? 2. ¿Qu´e ocurre de extra˜no al calcular las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (2,-1)? 3. Calcular una recta que sea perpendicular a la recta y = 2x + 1 y pase por el punto (0,1). ¿Se te ocurre alguna forma de verificar este resultado?

´ 5 ALGUNAS CONSIDERACIONES UTILES SOBRE LAS RECTAS.

5.

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Algunas consideraciones utiles ´ sobre las rectas.

Se van a realizar algunos ejemplos para comprender mejor las propiedades de las rectas: C´alculo de una recta paralela a otra: Si se pide calcular una recta paralela a la recta y = 2x + 3 s´olo hay que darse cuenta que las rectas paralelas a y = 2x + 3 tendr´an la misma pendiente y cortar´an al eje de ordenadas en otros lugares. Por lo tanto, y = 2x + a, donde a es cualquier n´umero distinto de 3, ser´an rectas paralelas a la dada. C´alculo de un vector en la direcci´on de la recta: S´olo hay que calcular dos puntos de la recta, dando valores al par´ametro o a la x seg´un corresponda y calcular el vector que los une. Por ejemplo: Calcular un vector en la direcci´on de la recta y = −2x + 3. Se calcular dos puntos que pertenezcan a la recta dando dos valores al azar a la x: Para x = 0 ⇒ y = −2 · 0 + 3 = 3 ⇒ A = (0, 3) Para x = 1 ⇒ y = −2 · 1 + 3 = 1 ⇒ B = (1, 1) ~ = (1, 1) − (0, 3) = (1, −2). El vector que los une es el AB

C´alculo del a´ ngulo que forman dos rectas: En el tema anterior se estudi´o la forma de calcular el a´ ngulo que forman dos vectores. S´olo habr´a que calcular vectores en la direcci´on de la recta y calcular el a´ ngulo que forman. Usando este m´etodo tambi´en se puede determinar si dos rectas son perpendiculares. La ecuaci´on de la recta punto pendiente: La ecuaci´on de la recta punto pendiente y − y0 = m(x − x0 ) se usa para calcular la recta que pasa por dos puntos. Para ello si se despeja el valor de la pendiente: y − y0 m= x − x0 Cambiando el nombre de y y de x por y1 y x1 , respectivamente: m=

y1 − y0 x1 − x0

Ejemplo: Calcular la ecuaci´on de la recta que pasa por (2,3) y (1,2). Soluci´on: Tomando (x0 = 2, y0 = 3) y (x1 = 1, y1 = 2): m=

y1 − y0 2−3 = =1 x1 − x0 1−2

Ya se tiene la pendiente. Sustituyendo en la ecuaci´on de la recta punto pendiente: y − y0 = m(x − x0 ) ⇒ y − 3 = 1(x − 2) ⇒ y = x + 1

Ejercicios: 1. Calcular una recta que sea paralela a la recta y = 2x + 1 y pase por el punto (2,1). Comprobar el resultado gr´aficamente. 2. Sean las rectas y = 2x + 1 y y = 12 x + 1. Calcular el a´ ngulo que forman. Verificar el resultado gr´a ficamente. Sol.: 90o 1 las dos rectas forman un a´ ngulo de 90o . 3. Demostrar que si una recta tiene una pendiente m y otra tiene − m

4. Usando la ecuaci´on de la recta punto pendiente calcular las rectas que pasan por: a) (2,1) y (3,0) b) (0,1) y (3,0) Nota: Son los mismos puntos del apartado anterior.

6 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS.

6.

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Posiciones relativas de dos rectas.

Hay que recordar que los sistemas de ecuaciones, realmente representan rectas. La soluci´on de un sistema de ecuaciones es el punto donde se cortan las rectas. En el caso de que las rectas sean paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene soluci´on (al resolver las ecuaciones se obtienen igualdades imposibles como 1 = 2). En el caso de que corten, el sistema tiene una soluci´on. En el caso de que las dos rectas sean la misma recta, el sistema tiene infinitas soluciones (al resolver el sistema se obtienen igualdades entre n´umeros como 0 = 0). Cuando dos rectas se cortan, se dice que son secantes. En el caso de se pregunta la posici´on relativa entre dos rectas, s´olo habr´a que resolver el sistema de ecuaciones dado por las ecuaciones de ambas rectas. Seg´un si el sistema tiene una soluci´on, infinitas soluciones o ninguna soluci´on, las rectas ser´a secantes, coincidentes o paralelas, respectivamente. Ejercicios: 1. Calcular la posici´on relativa de las siguientes rectas: a) y = 2x + 1 y y = 4x + 1 b) x + y = 1 y 2x + 2y = 3 2. Muchas f´ormulas de f´ısica realmente representan rectas. Por ejemplo, la f´ormula que da la posici´on x de un m´ovil, respecto del tiempo t, que se mueve con velocidad constante v y que parte de la posici´on inicial x0 es: x = vt + x0 a) Comparar la f´ormula anterior con la de una recta, identificando a qu´e corresponde la pendiente y la ordenada en el origen. b) Resolver el siguiente problema: Dos coches se mueven a velocidad constante. Uno parte del km 2 y se mueve a una velocidad de 80 km/h, el otro parte del km 0 y tiene una velocidad de 100 km/h. ¿Cu´anto tardan y en qu´e kil´ometro se encuentran los dos coches? Comprobar el resultado gr´aficamente. c) Dos ciudades, A y B, est´an separadas entre s´ı por 100 km. Un tren parte de la ciudad A a la ciudad B a 100 km/h. En el mismo instante otro parte de otra ciudad en direcci´on la ciudad A a 80 km/h. ¿Cu´anto tardar´an en encontrarse y en qu´e kil´ometro lo har´an? Comprobar el resultado gr´aficamente. Pista: Las velocidades deben tener signos contrarios.

7.

Distancia de un punto a una recta.

Dada una recta en su forma general Ax + By + C = 0 y un punto de coordenadas P = (x0 , y0 ) la distancia del punto a la recta viene dada por la expresi´on: distancia =

|Ax0 + By0 + C| √ A2 + B 2

La demostraci´on de esta expresi´on se puede encontrar en el texto base de la asignatura. Ejemplo: Calcular la distancia entre la recta y = 2x + 1 y el punto (0,2). Soluci´on: Se pasa la recta a forma general: y = 2x + 1 ⇒ 2x − y + 1 = 0

En este caso A = 2, B = −1, C = 1, x0 = 0, y0 = 2, as´ı: distancia =

Ejercicios:

|−1| |2 · 0 + (−1) · 2 + 1| 1 |Ax0 + By0 + C| √ p = √ =√ = 2 2 2 2 5 5 A +B 2 + (−1)

7 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

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1. Dada la recta y = −x + 3 y el punto (2,2): a) Calcular la distancia del punto a la recta. b) Calcular una recta perpendicular a y = −x + 3 que pase por el punto (2,2).

c) Calcular el punto de corte entre la recta y = −x + 3 y la recta del apartado anterior.

d) Calcular la distancia entre el punto (2,2) y el punto calculado en el apartado anterior. ¿Por qu´e debe coincidir con el resultado del apartado a? 2. Repetir el ejercicio anterior pero para los siguientes casos: a) y = −3x − 1 y (0,0)

b) y = 2x + 1 y (-1,-2) c) y = 2x y (1,0)

3. ¿Hay otra forma de comprobar los resultados de los ejercicios anteriores?