Hans Walser, [20131217] Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke 1 Einführung Die Abbildung 1 zeigt das üblich hexagonale Parkett (Bienenwabenmuster).

Abb. 1: Bienenwabenmuster

Die Abbildung 2 zeigt eine Verzerrung dieses Parketts.

Abb. 2: Verzerrung

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

2 / 16

Das Parkett der Abbildung 3 besteht aus denselben Parkettsteinen wie das bei der Abbildung 2, ist aber auf den ersten Blick weniger regelmäßig.

Abb. 3: Andere Anordnung der Parkettsteine

Die Parkette in den Abbildungen 2 und 3 sind topologisch allerdings gleich. 2 Ausführungen zur Einführung Bei der Verzerrung vom Übergang vom Parkett der Abbildung 1 zum Parkett der Abbildung 2 handelt es sich nicht um eine affine Abbildung. Die Abbildung 4 zeigt, wie die rote Symmetrieachse zu einer leichten Zickzack-Linie gebrochen wird. Das affine Bild einer geraden Linie müsste aber wieder gerade sein.

Abb. 4: Bruch der Symmetrieachse. Keine affine Abbildung

3 / 16

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

Das Parkett der Abbildung 3 besteht wohl aus den „gleichen“ Parkettsteinen wie das der Abbildung 2. Allerdings müssen einige Parkettsteine gewendet werden. In der Abbildung 5 sind diese gewendeten Parkettsteine gelb angegeben. Sie sind spiegelbildlich zu den grünen Parkettsteinen.

Abb. 5: Die gelben Parkettsteine sind spiegelbildlich zu den grünen

Wir sehen nun, dass das Parkett der Abbildungen 3 beziehungsweise 5 eine dreistrahlige Rotationssymmetrie aufweist. Demgegenüber weist das Parkett der Abbildung 2 eine durchgehende Translationssymmetrie auf. 3 Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke Ein gleichseitiges punktsymmetrisches Sechseck (Abb. 6) ist (bei gegebener Seitenlänge) durch 2 Winkel bestimmt. A1 1

A2

2

6

A6

M A3

3

5

A5

4

A4 Abb. 6: Gleichseitig punktsymmetrisches Sechseck

Bei Vorgabe von zum Beispiel α1 und α 2 wird:

α 3 = 2π − α1 − α 2 ;

α 4 = α1;

α 5 = α 2;

α 6 = α 3 = 2π − α1 − α 2

4 / 16

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

Im Beispiel der Abbildung 6 ist α1 = α 4 = 100°, α 2 = α 5 = 110°, α 3 = α 5 = 150° . Sechsecke dieser Art können immer für ein Parkett mit Translationssymmetrie verwendet werden (Abb. 7). Wir werden diese Parkette daher im Folgenden nicht mehr erwähnen.

Abb. 7: Translationssymmetrie

Mit der Bedingung α 6 = α 2 erhalten wir für unser Sechseck einen achsensymmetrischen Sonderfall (Abb. 8). A1 1

A2

6

2

A6

M A3

5

3

A5

4

A4 Abb. 8: Achsensymmetrischer Sonderfall

Wir haben dann nur noch α1 als freien Parameter und es ist:

α 2 = π − 12 α1

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

5 / 16

4 Sonderfälle Wir werden nun Sonderfälle ansehen, in welchen α1 und/oder α 2 Teiler des vollen Winkels 2π = 360° sind. Die Auflistung ist weder systematisch noch vollzählig (es gibt ja unendlich viele Teiler des vollen Winkels). 4.1 Hälfte des vollen Winkels Es ist also α1 = π = 180° . Das Sechseck wird zu einem Parallelogramm mit dem Seitenverhältnis 2 : 1. 4.1.1 Symmetrischer Fall Wenn dieses Parallelogramm zusätzlich ein Rechteck ist (achsensymmetrischer Fall), gibt es viele Möglichkeiten, die auch in der Praxis verwendet werden. Im Folgenden einige Beispiele.

Abb. 9: Punktsymmetrie

Abb. 10: Klassisch

Abb. 11: Fischgrat

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

6 / 16

Die Abbildung 12 zeigt ein Parkett mit vierteiliger Rotationssymmetrie.

Abb. 12: Vierteilige Rotationssymmetrie

4.1.2 Allgemeiner Fall Die Abbildungen 13 bis 15 zeigen die den Abbildungen 9 bis 11 entsprechenden Beispiele für ein beliebiges Parallelogramm. Nun müssen wir auch mit spiegelbildlichen Parallelogrammen arbeiten.

Abb. 13: Punktsymmetrie

Abb. 14: Klassisch

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

7 / 16

Abb. 15: Fischgrat

4.1.3 Sonderfälle 4.1.3.1 Fünfteilig

= 72° . Damit können wir eine fünfteilige RotatiWir wählen nun zusätzlich α 2 = 2π 5 onssymmetrie erreichen (Abb. 16).

Abb. 16: Fünfteilige Rotationssymmetrie

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

8 / 16

4.1.3.2 Tetraeder-Netz

= 60° . Das Parallelogramm kann in vier gleichseitige DreiWir wählen nun α 2 = 2π 6 ecke zerlegt werden und ist dann ein Netz (Abwicklung, Schnittmuster) des regulären Tetraeders (Abb. 17).

Abb. 17: Tetraeder

Die Abbildung 18 zeigt die drei möglichen Tetraeder-Netze.

Abb. 18: Tetraeder-Netze

Das Parallelogramm erlaubt verschiedene Parkette. Im Folgenden einige Beispiele. Die Beispiele können als unendliche Überlagerung des Tetraeders gesehen werden.

Abb. 19: Dreiteilige Rotationssymmetrie

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

Abb. 20: Sechsteilige Rotationssymmetrie

Abb. 21: Dreiteilige Rotationssymmetrie

9 / 16

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

10 / 16

Abb. 22: Würfelmuster

Abb. 23: Tante Annas Küchenboden

4.2 Drittel des vollen Winkels

= 120° . Wir können auf jeden Fall ein Parkett mit dreiteiliger RotatiNun ist α1 = 2π 3 onssymmetrie auslegen. 4.2.1 Symmetrischer Fall

= 120° , das Sechseck ist regelmäßig und wir Im symmetrischen Fall ist auch α 2 = 2π 3 erhalten das klassische hexagonale Parkett der Abbildung 1.

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

11 / 16

4.2.2 Allgemeiner Fall Im allgemeinen Fall können wir ein Parkett mit dreiteiliger Rotationssymmetrie gemäß den Abbildungen 3 und 5 auslegen. 4.2.3 Sonderfälle 4.2.3.1 Rechter Winkel Nun sei α 2 ein rechter Winkel. Die Abbildung 24 zeigt das Parkett mit dreiteiliger Rotationssymmetrie.

Abb. 24: Dreiteilige Rotationssymmetrie

Im Parkett der Abbildung 25 haben wir eine vierteilige Rotationssymmetrie.

Abb. 25: Vierteilige Rotationssymmetrie

4.2.3.2 Fünftel des vollen Winkels

= 72° können wir eine fünfteilige Drehsymmetrie erarbeiten (Abb. 26). Mit α 2 = 2π 5

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

12 / 16

Abb. 26: Fünfteilige Rotationssymmetrie

4.2.3.3 Sechstel des vollen Winkels

= 60° entspricht inhaltlich dem Parallelogramm des Tetraeder-Netzes Der Fall α 2 = 2π 6 (Abschnitt 4.1.3.2). 4.2.3.4 Siebtel des vollen Winkels ≈ 51.4286° lässt sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren. Der Winkel α 2 = 2π 7 Und er führt auf ein nicht konvexes Sechseck. Die Abbildung 27 zeigt das zugehörige Parkett mit dreiteiliger Rotationssymmetrie, die Abbildung 28 den Fall mit siebenteiliger Rotationssymmetrie.

Abb. 27: Dreiteilige Rotationssymmetrie

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

13 / 16

Abb. 28: Siebenteilige Rotationssymmetrie

4.2.3.5 Achtel des vollen Winkels

= 45° ergeben sich ebenfalls nicht konvexe Parkettsteine. Mit α 2 = 2π 8

Abb. 29: Achtteilige Rotationssymmetrie

Interessanterweise unterliegen wie bei diesen nicht konvexen Beispielen einer optischen Täuschung: die Sechsecke sind scheinbar nicht mehr gleichseitig. In der Abbildung 30a erscheint etwa die Seite a6 deutlich länger als die Seite a5. Abgreifen mit dem Zirkel bestätigt aber die gleiche Länge aller sechs Seiten.

14 / 16

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

a1

a6 a5

a2 a4

a3 a)

b) Abb. 30: Gleichseitiges Sechseck?

4.3 Viertel des vollen Winkels Nun sei α1 ein rechter Winkel. 4.3.1 Symmetrischer Fall Die Abbildung 31 zeigt den Parkettstein des symmetrischen Falls. Das Sechseck kann so unterteilt werden, dass es ein Netz eines unregelmäßigen Tetraeders wird. Dieses Tetraeder ist ein so genanntes Orthoschem. Es ist die konvexe Hülle dreier aufeinanderfolgender paarweise orthogonaler Strecken gleicher Länge.

a)

b)

Abb. 31: Netz des Orthoschems

Das Orthoschem kann in einen Würfel eingepasst werden (Abb. 32).

Abb. 32: Orthoschem im Würfel

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

15 / 16

Die Abbildung 33 zeigt das zugehörige Parkett mit vierteiliger Rotationssymmetrie.

Abb. 33: Symmetrien des Quadrates

4.3.2 Asymmetrisches Beispiel

≈ 27.6923° . Das gestattet ein Parkett mit vierteiliger RotationsWir wählen α 2 = 2π 13 symmetrie (Abb. 34) oder ein Parkett mit 13-teiliger Rotationssymmetrie (Abb. 35).

Abb. 34: Vierteilige Rotationssymmetrie

Hans Walser: Gleichseitige punktsymmetrische Sechsecke

16 / 16

Abb. 35: 13-teilige Rotationssymmetrie

Der Vergleich der Abbildungen 34 und 35 zeigt, dass die Figuren beide aus den gleichen Sektoren der Abbildung 36 zusammengesetzt sind.

Abb. 36: Sektor

In der Abbildung 34 haben wir vier Sektoren, die am „dicken“ Ende (links in der Abbildung 36) verbunden sind, in der Abbildung 35 aber 13 Sektoren, die am schmalen Ende (rechts in der Abbildung 36) verheftet sind. Die roten Punkte liegen in den jeweiligen Zentren der Figuren. Websites Orthoschem: http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthoschem/Orthoschem.htm http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthoschem/Orthoschem.pdf