UNIDAD 7 - PROBLEMA 55 La figura muestra en forma simplificada el Venturi de un carburador. La succión generada en la garganta, por el pasaje del caudal de aire debe ser suficiente para aspirar un cierto caudal de combustible de la cuba. (El caudal de aire es generado a su vez por la succión cíclica debida al desplazamiento de los pistones en sus cilindros, siendo función de las r.p.m. y la cilindrada del motor) Sea el caso siguiente : - Caudal de aire 0.06 m3/seg - Diámetro de la garganta del venturi : D = 4 cm - Diámetro del conducto de aspiración del combustible : d = 2 mm - Densidad del aire : ρa = 1.225 kg/m3 Densidad del combustible : ρC = 700 kg/m3 - Desnivel entre la salida del combustible y el nivel de combustible en la cuba : h = 10 cm Calcule el caudal másico de combustible aspirado en esas condiciones, despreciando totalmente los efectos de la viscosidad y suponiendo flujo estacionario e incompresible. Determine la relación aire/combustible. Sol.: 3.13 g/seg ; A/C = 23.5 ; presión en la garganta: -142.3 mm c.a.

D = 4 cm Aire h = 10 cm

Comb. d = 2 mm

Se plantea la ecuación de Bernoullí para el aire, entre un punto 1 en la atmósfera (presión ambiente y velocidad nula) y un punto 2 en la garganta del Venturi (velocidad Va y presión pgarg):

1 pamb = pg arg + ρ a Va2 2 Por otra lado se plantea la ecuación de Bernoullí para el combustible, entre un punto 1 en la superficie libre de la cuba (presión ambiente, velocidad nula y z = 0) y un punto 2 en la garganta del Venturi (velocidad VC ,presión pgarg y z = h):

1 pamb = pg arg + ρC VC2 + ρC g h 2 El flujo de aire en la gargante y el flujo de combustible que es succionado en ella están a la misma presión pgarg, la cuál es negativa como presión relativa (ésta condición de iguales presiones es la que vincula al caudal de combustible succionado con el caudal de aire):

1 1 ρC VC2 + ρC g h = ρ a Va2 2 2 Introduciendo loas caudales másicos:

1 ρC 2

2

⎛ m C ⎞ 1 ⎜ ⎟ + ρC g h = ρ a 2 ⎝ ρC AC ⎠

⎛ m a ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ρ a Aa ⎠

2

AC área de la sección del conducto de combustible Aa área de la sección de garganta donde circula el caudal de aire Se despeja el caudal másico de combustible y la relación aire/combustible está dada por la relación de caudales másicos de aire y de combustible: AC =

Pag.1

m a

m C

UNIDAD 7 - PROBLEMA 56 Un conducto cilíndrico de radio R0 = 10 mm a lo largo del cual pasa un caudal volumétrico Q = 0.63 dm3/seg de aire (ρ = 1.225 kg/m3) descarga a la atmósfera a través de una boquilla de descarga formada por dos placas circulares paralelas, de radio R = 100 mm. El chorro descargado a la atmósfera es un chorro chato de espesor t = 1 mm, emitido radialmente a lo largo de toda una circunferencia de radio R. Asuma que el flujo entre las placas es puramente radial desde el radio R0 . Desarrolle una expresión para la fuerza de succión que el flujo de aire ejerce sobre la placa inferior que explique el fenómeno observado en la experiencia de clase.

⎛ R2 ⎞ 1 p(*r ) = − ρ Vs2 ⎜ 2 − 1⎟ 2 ⎝r ⎠

Sol.:

Fsucc =

π 2

⎛

ρ Vs2 ⎜ R 2 ln ⎝

⎞ R2 + Ro2 − R 2 ⎟ = 0.07 N 2 Ro ⎠

Q

Q

2R0 t

2R

El sentido del flujo en el espacio entre ambas placas es puramente radial. Se asume además que la velocidad es uniforme a lo largo del espesor t y sólo varía con el radio. La velocidad de salida a la atmósfera se calcula como: Vs =

Q 2π R t

Planteando la conservación del caudal másico entre una sección a un radio r genérico y la sección de salida a la atmósfera a radio R, se obtiene cómo varía la velocida con r dentro de las placas:

ρ V( r ) 2π r t = ρ Vs 2π R t V( r ) = Vs

R r

Se plantea la ecuación de Bernoulli entre un radio r intermedio y el radio R de salida a la atmósfera.

1 1 p( r ) + ρ V(2r ) = pamb + ρ Vs2 2 2 1 p( r ) man = p( r ) − pamb = ρ (Vs2 − V(2r ) ) 2 2 ⎛R ⎞ 1 = − ρ Vs2 ⎜ 2 − 1⎟ 2 ⎝r ⎠ Evidentemente la presión manométrica entre las placas es negativa, de manera que se produce una fuerza de succión entre ambas, calculada como: R

Fsucc =

∫

p( r ) man 2π r dr = −π ρ Vs2

R0

⎛ R2 ⎞ ∫ ⎜ r 2 − 1⎟⎠ r dr R0 ⎝ R

⎛ ⎞ R2 = − ρ V ⎜ R 2 ln 2 + Ro2 − R 2 ⎟ 2 Ro ⎝ ⎠

π

2 s

Pag.2

(calculada con signo)

UNIDAD 7 - PROBLEMA 57 Sea el tramo curvo de un conducto de sección rectangular, ancho 120 mm y altura 400 mm, en el cual fluye aire (asuma densidad estándar ρ = 1.225 kg/m3 ). El radio de curvatura de la pared interna del conducto es 300 mm. Se ha medido la diferencia de presión entre la pared externa y la interna con un manómetro, indicando 30 mm de columna de agua. a) Estime el caudal volumétrico de aire, despreciando los efectos viscosos y suponiendo una distribución uniforme de velocidad. b) Asumiendo el flujo en la sección como iso-energético, determine la forma del perfil de velocidades, calcule las velocidades del flujo en la cara externa y la cara interna y calcule el nuevo valor del caudal volumétrico. ¿Las diferencias son significativas? Sol.: a) 1.2826 m3/seg ; b) 31.321 m/s , 22.372 m/s , 1.2826 m3/seg , 1.4% de error en Q

La ecuación de partida es:

∂p V2 = +ρ Rc ∂n

Como una línea de flujo es un arco de círculo de radio constante, la dirección normal exterior es coincidente con la dirección radial y el radio de curvatura Rc es el radio r. El radio r variará entre 0.3 m de radio interior y 0.42 m de radio exterior.

∂p V2 = +ρ ∂r r

Por lo tanto queda:

Asumiendo que V es constante se separa variables y se integra:

dp = + ρ

V2 dr r

pext

rext

∫ dp = + ρ V ∫ 2

pint

rint

Δp = ρ V 2 ln

dr r

rext rint

El Δp se calcula con loa 30 mm de columna de agua y dá: 294.3 Pa, por lo tanto se despeja V:

294.3 = 1.225 V 2 ln

0.42 0.3

V = 26.72 m / s Q = V A = 26.72 0.12 0.4 = 1.2826 m3 / s La parte b) es análoga a lo visto en clase, debiendo combinar le ecuacion anterior con Bernoulli:

∂p V2 = +ρ ∂r r

más

1 p + ρ V 2 = cte 2 Pag.3

Derivo Bernoulli respecto el radio:

∂p 1 ∂V + ρ 2V =0 ∂r 2 ∂r

Introduciendo la ecuación del gradiente de presiones en la anterior:

V2 ∂V +ρ V =0 r ∂r V ∂V + =0 r ∂r

ρ

Se integra:

dV dr =− V r ln V = − ln r + cte K V (r ) = r El perfil de velocidades se pone ahora en la ecuación del gradiente de presiones:

(K / r) = ρK 2 1 ∂p = +ρ ∂r r r3 2

Se integra:

dp = ρ K 2

dr r3 rext

⎡ r −2 ⎤ Δp = ρ K ⎢ ⎥ ⎣ −2 ⎦ rint 2

Δp =

ρK 2 ⎛ 1

1 ⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟ 2 ⎝ rint rex t ⎠

De ésta ecuación se calcula la constante dimensional K:

K=

2Δp

1

ρ ⎛ 1

1 ⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟ ⎝ rint rex t ⎠

=

2 1000 9.81 0.030 1 = 9.396276 en unidades SI 1 ⎞ 1.225 ⎛ 1 − ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ 0.3 0.42 ⎠

Con K se calculan las velocidades en ambos radios.

9.396276 = 31.321 m / s 0.3 9.396276 V (rext ) = = 22.372 m / s 0.42

V (rint ) =

Integrando el perfil de velocidades se obtiene el caudal.

Pag.4

UNIDAD 7 - PROBLEMA 58 La figura esquematiza la entrada a un túnel de viento bidimensional, de ancho b y altura 2h. Toma aire desde la atmósfera y posee una toma tipo “bell mouth” (boca de campana) de amplio radio R, de manera que el ingreso de aire es prácticamente sin pérdidas por fricción y con líneas de corriente suaves, cuyo radio de curvatura varía aproximadamente en la forma r = R

h . y

Obtenga la forma genérica del perfil de velocidades a la entrada u(y) . ¿Es significativa la diferencia entre las velocidades sobre el eje del túnel u0 y sobre la pared u1 ? Asumiendo que la velocidad es uniforme, estime la diferencia de presiones entre la pared del túnel y el eje p1 – p0. Considere el caso con: h = 75 mm ; R = 600 mm ; b = 1 m ; Q = 3 m3/seg Sol.:

u ( y) = u0 e

y2 2 hR

u1/u0 = 1.0645

-30.625 Pa

R y

pamb V=0

u1 p1

y=h h y=0

u0 p0

Parte a) Se analiza sólo la mitad superior del conducto pues existe simetría con la parte inferior. La ecuación de partida es la ecuación del gradiente de presiones:

∂p V2 = +ρ Rc ∂n

Debe observarse que en el plano de entrada al conducto, la dirección y y la dirección normal a la línea de flujo poseen igual dirección pero sentidos contrarios, de manera que:

nˆ = − ˆj

Radio curvatura r = R

R y y=h Versor normal n Versor j Radio curvatura r = ∞

∂p u2 Por lo tanto: = −ρ ∂y Rc

valido sólo en el plano de entrada del conducto.

Se reemplaza la fórmula dada del radio de curvatura:

Pag.5

y=0

∂p u2 u2 = −ρ = −ρ y h ∂y Rh R y Se trata de una ecuación con dos funciones incógnitas: u(y) y p(y). Se necesita de otra ecuación para resolver el problema. Esa ecuación es Bernoullí:

1 p + ρ u 2 = cte 2 Derivamos Bernoulli respecto y:

∂p 1 ∂u + ρ 2u =0 ∂y 2 ∂y

Introduciendo la ecuación del gradiente de presiones en la anterior:

−ρ

u2 1 ∂u =0 y+ ρ 2u ∂y Rh 2 ∂u u = y ∂y R h du 1 = y dy u Rh ln u =

1 y2 + cte Rh 2

Imponiendo que en y = 0 sea u = u0 se llega a:

u ( y) = u0 e

y2 2 hR

h

En y = h se tiene u = u1. La relación entre ambas velocidades extremas es:

u1 = u0 e 2 R

0.075

Se tiene entonces:

u1 = e 2 0.6 = 1.0645 u0

Ambas velocidades difieren en éste caso sólo en un 6%. Se admitiría suponer que la velocidad es uniforme como hipótesis simplificativa. Parte b) Este valor de velocidad uniforme es el valor de la velocidad media:

u ( y ) ≅ cte = V =

Q 3 = = 20 m / s 2hb 0.15

La ecuación del gradiente de presiones se simplifica considerablemente y queda:

∂p V2 V2 V2 = −ρ = −ρ = −ρ y h ∂y Rc Rh R y

dp = − ρ p = −ρ

V2 y dy Rh

V 2 y2 + cte Rh 2

De dónde se obtiene:

Δp = ρ

V2 h 202 0.075 = 1.225 = 60.625 Pa 0.6 2 R 2

Pag.6