Preuniversitario Popular Víctor Jara MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE ÁREAS Y PERÍMETROS DE TRIÁNGULOS 1.
3.
En el triángulo ABC es isósceles y rectángulo en C. Si AC = 5 cm y AD = 3 cm, ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)?: I) Área de Δ ABC = 12 cm2 II) Área de Δ BCD = 6 cm2 III) Perímetro de Δ ACD = 12 cm A) B) C) D) E)
I)
III) Área de Δ ABD = pq A) B) C) D) E)
Solo I I y II I y III II y III I, II y III
AB = 14 Gm y AC = 13 Gm ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo DBC?
44 Gm 42 Gm 40 Gm 38 Gm 36 Gm
2
Solo I Solo II I y II I y III I, II y III
ÍSi la hipotenusa de un triángulo rectángulo excede a uno de los
catetos en 2 cm, y el otro cateto mide 6 cm. ¿Cuánto mide la altura trazada a la hipotenusa?
ÍEn el Δ ABC de la figura CD ⊥ AB , 3AD = BC =15 Gm, A) B) C) D) E)
AB = 2q
II) AB ⋅ AC = AD ⋅ BC
4. 2.
En el Δ ABC, rectángulo en A. Su área es “pq”. ¿Cuál (es) de las afirmaciones siguientes es (son) correcta(s)?
A) B) C) D) E) 5.
4 6,4 4,8 7 Falta información
ÍEn un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 17 cm, y el seno de uno de sus ángulos es 8 17 . ¿Cuánto es el área de dicho triángulo? A) B) C) D) E)
8 cm2 15 cm2 40 cm2 60 cm2 120 cm2
En todo polígono, el perímetro es la suma de los lados. En todo triangulo, el área es: (base)x(altura)/2
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6.
ÍLos triángulos ABC, HED y GFI son equiláteros de lado “m”. I es
8.
punto medio de BC , H es punto medio de AB . Entonces, el área achurada ¿es?: A) B) C) D) E) 7.
2m2 3 3 3m2 3 4 2 m 3 3 11m2 3 3 2 9m 3 16
A) B) C) D) E)
9.
6 7 17 20 4
10 12 14 16 18
Í PD + PE = ?
Δ ABC Isósceles, con base AB . PD // BC , PE // AC . AC = 4 y AB = 2
3 6 4 Falta información sobre el punto P E) Ninguna de las anteriores
A) B) C) D)
En el triángulo de la figura, CD y CE son proporcionales a CA y CB ,respectivamente. Si CA es igual a la cuarta parte de CB y CE = 16 ¿Cuánto mide CD ?: A) B) C) D) E)
En el triángulo de la figura, DE // AB ; 3 BE = CE , AB = 16 ; DE es?
10.
ÍEn el ΔABC; AE ∧ BF son alturas. D es punto medio de AB . ¿Cuanto mide el ángulo x si )FED = 50° ? A) B) C) D) E)
80° 75° 60° 50° Faltan datos
Dato para el problema 10, revisa las propiedades dela transversal de gravedad en un triángulo rectángulo
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11.
ÍEn el triángulo LMN, LM = LN y la altura correspondiente al
vértice L es ( 2 3 ) ⋅ k . Siendo MN = k . ¿Cuál es la medida de LM , en función de k? 7 A) k 6 65 B) k 13 5 C) k 6 7 D) k 6 13 E) k 3
12.
13.
ÍBasándose en los triángulos dibujados con líneas discontinuas, y sabiendo que CD = 4 − 3 y AD = 2 ¿cual es el área del trapecio ABCD? 9 3 −3 A) 2 B) 5 3 − 3 C) 11− 3 + 6 D) Otro valor E) Falta información
14.
ÍSi L
1
es una recta paralela a CD , los puntos A y B pertenecen a
ella y el ángulo BCD es recto. Además AB = CD ¿Cuántos triángulos de igual área que el triángulo ABD están dibujados en la figura? (sin contar a este triángulo)
ÍEn la figura: CD // AF , DF // AC . El ángulo BDC mide 45°, E es A) B) C) D) E)
punto medio de FD . Si BC = 3AB = 3x y CG = x 2
, ¿a cuánto 2 equivale la suma de las áreas de los triángulos ABE y BDE? 2 A) x
B) C)
2
2
x 3x2 2
2
D) 4x E) No se puede determinar
15.
3 4 5 6 NInguno
Í
En la figura, se muestran las medidas de CF , BD y CB , en cm respectivamente. Si ABEF es un rectángulo, ¿cual es su área? A) B) C) D) E)
50 cm 65 cm 72 cm 35 cm Ninguna de las anteriores
Triángulos de igual base e igual altura tienen, obviamente, igual área. Considéralo para los ejercicios 12, 13 y 14
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16. Conociendo la identidad: sen ( 2δ ) = 2sen ( δ ) cos ( δ ) .En un triángulo rectángulo, el seno de dos veces uno de sus ángulos agudos es 120/169 y la hipotenusa en este mismo triángulo es 39 mts. ¿Cuál es el área de dicho triángulo? A) B) C) D) E) 17.
20.
30 mts2 60 mts2 270 mts2 135 mts2 No se puede determinar
A) B) C) D) E)
ÍEn el mismo triángulo anterior, sabiendo que un tercio de la
diferencia entre la hipotenusa y el cateto mayor es 1.¿Cuál sería su perímetro?
A) 30 mts B) 90 mts C) 270 mts. 18.
Í
El cuadrado de la figura se recorto por la línea de la hipotenusa del triángulo de catetos 15 cm y 8 cm que salen dibujados. Además la esquina “B” se doblo hacia adentro, generando los puntos A y C, donde AB = 3 cm y BC = 4 cm . ¿Cuál es el perímetro de la figura final, en cm?
D) 56 E) No se puede determinar
ÍEn un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es “c” y uno de sus
21.
ÍEl triángulo ABC, ¿es rectángulo en C? (1) AD = DB (2) 2CD = AB
ángulos es α, ¿cuál es el área de dicho triángulo?
A) B)
c2 sen (2α ) 4 c2 2sen (2α )
c2 cos (2α ) 4 c2 tg (2α ) D) 4 E) No se puede determinar
C)
19. El cuadrilátero ABCD de la figura, está formado por dos triángulos rectángulos congruentes. Si AB = 13 cm y BC = 5 cm, entonces ¿ AB + BD + CD = ? A) B) C) D) E)
48 cm 42 cm 36 cm 31 cm 30 cm
52 54 59 60 159
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional
22. ¿Es AB una hipotenusa? (1) α y β son ángulos complementarios (2) γ = 2α A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional
La identidad dada en el ejercicio 16 la podrás entender con la respuesta del desafió anterior. Para resolver los ejercicios 16, 17 y 18 úsala y repasa las proporciones del seno y del coseno
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23.
Í¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?
DESAFIO
(1) CD ⊥ AB; BD = 5 cm (2) CD = 12 A) B) C) D) E)
En la figura, si YZ = a; XY = b; XZ = x; WY = p; XW = q . Determinar c2 en función de a, b y α.
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional
PAUTA TRIÁNGULOS 1II. TRIGONOMETRÍA
1__ 2__ 3__ 4__ 5__
6__ 7__ 8__ 9__ 10__
11__ 12__ 13__ 14__ 15__
16__ 17__ 18__ 19__ 20__
21__ 22__ 23__ 24__ 25__
i. ¿Cuanto es el ángulo XYW en función de α? ii. En el triangulo XYW, ¿cuanto es el coseno del ángulo XYW? iii. En base a la respuesta anterior, despeja el valor de “p” iv. Usa esta identidad trigonométrica: cos (180 − α ) = − cos ( α ) , en la respuesta anterior, ¿cuanto resulta ser el valor de “p”? Respuesta: p = −b cos ( α ) v. Usando “Pitágoras” en el triángulo WXY, ¿Cuánto vale “b2”? vi. Usando “Pitágoras” en el triángulo WXZ, ¿Cuánto vale “c2”?, desarrolla la expresión. Respuesta: c2 = a2 + 2ap + p2 + q2 vii. Reemplaza en la igualdad anterior el resultado obtenido en el punto v viii. Utiliza el resultado del ítem iv para sustituir p en el resultado anterior
PAUTA TRIÁNGULOS 1V. ÁREAS Y PERÍMETROS
1__ 2__ 3__ 4__ 5__
6__ 7__ 8__ 9__ 10__
11__ 12__ 13__ 14__ 15__
16__ 17__ 18__ 19__ 20__
21__ 22__ 23__
Respuesta: c2 = a2 − 2abcos ( α ) + b2 Lo obtenido anteriormente es la respuesta al desafío, es el llamado “teorema del coseno”. Consejo, estudia que pasa en los siguientes casos:
α = 90°
α = 180°
α = 0°
En estos casos, trata de dibujar el triángulo, y evaluar en la identidad del teorema, ¡es coherente el dibujo con el resultado? Por último, intentan averiguar de donde se obtiene la identidad dada en el inciso iv “ cos (180 − α ) = − cos ( α ) ”. Basta con que revises los resultados del desafío anterior
Si te animas a hacer alguno de los desafíos, entrega la resolución a tu “profe” para revisarla o aclararte las dudas
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