Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal Dirección General de Operación de Servicios Educativos Coordinación Sectorial de Educación Secundaria Subdirección de Apoyo Técnico Complementario
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas Retroalimentación y reforzamiento de los aprendizajes de los estudiantes
Tercero de Secundaria
administración federal de servicios educativos en el distrito federal Dr. Luis Ignacio Sánchez Gómez dirección general de operación de servicios educativos Mtra. María Luisa Gordillo Díaz coordinación sectorial de educación secundaria Lic. René Mario Franco Rodríguez subdirección de apoyo técnico complementario Lic. Isabel Cruz Flores Autora Isabel Cruz Flores Diseño Lizbeth Josefina Robledo Clemente Se agradece y reconoce la participación de: Candy Castro Ceballos Ramón Omar Alvarez Rinford
La edición del Cuaderno de Ejercicios para el Estudiante de Matemáticas estuvo a cargo de la Subdirección de Apoyo Técnico Complementario adscrita a la Coordinación Sectorial de Educación Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos. Es parte de una Serie que fortalece y retroalimenta el trabajo de las y los docentes de Educación Secundaria.
Primera edición electrónica, mayo 2015 D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2015, Arcos de Belén No.23, Centro, 06020, Cuauhtémoc, México, D. F. Hecho en México MATERIAL GRATUITO/Prohibida su venta
CONTENIDO
INSTRUCCIONES GENERALES PARA DESARROLLAR LAS ACTIVIDADES EJE TEMÁTICO: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
ACTIVIDAD 1 “ECUACIONES CUADRÁTICAS”
04
ACTIVIDAD 2 “ECUACIONES”
05 07
ACTIVIDAD 3 “SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE LOS TRIÁNGULOS”
11
ACTIVIDAD 4 “SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMAS DE TALES Y PITÁGORAS”
16
ACTIVIDAD 5 “APLICANDO LOS TEOREMAS”
21
EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
ACTIVIDAD 6 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1”
TEMA: III. MEDIDA
ACTIVIDAD 7 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2”
25 29
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA
ACTIVIDAD 8 “PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES CUADRÁTICAS”
32
ACTIVIDAD 9 “FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS”
34
ACTIVIDAD 10 “EVENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS” ACTIVIDAD 11 “PROBABILIDADES Y PROBLEMAS”
38 40
ACTIVIDAD 12 “ESTADÍSTICA ELEMENTAL”
42
ACTIVIDAD 13 “DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN”
45
TEMA I. PATRONES Y ECUACIONES
EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA TEMA: II. FIGURAS Y CUERPOS
INFORMACIÓN TEMA: IV. PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN TEMA: V. NOCIONES DE PROBABILIDAD
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN TEMA: VI. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
BIBLIOGRAFÍA
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
Instrucciones generales para desarrollar las actividades: El cuaderno de ejercicios de MATEMÁTICAS se encuentra organizado en tres ejes temáticos; y se subdividen en temas que agrupan los contenidos que logran desarrollar los aprendizajes esperados. Al inicio de las actividades incluimos los contenidos que se alinean a los seis temas de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. En total te presentamos trece actividades conformadas por tres ejercicios: El primer ejercicio solicitamos que respondas y desarrolles de manera individual. El segundo en equipos pequeños. El tercero en plenaria con el apoyo de tu profesor o profesora. Cada ejercicio integra la imagen que te indica si la actividad la desarrollarás individualmente, en equipo pequeño o en plenaria con el apoyo del docente, guíate con la imagen correspondiente. Cada ejercicio se compone de varios puntos (•), en los cuáles se indica lo que tendrás que desarrollar, contestar o realizar.
El tiempo aproximado que te llevará a desarrollar cada actividad es de 40 a 50 minutos.
¡ MANOS A LA OBRA !
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
EJE TEMÁTICO: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
TEMA I. PATRONES Y ECUACIONES BLOQUE I
BLOQUE II
BLOQUE III
BLOQUE IV
BLOQUE V
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.
ACTIVIDAD 1 “ECUACIONES CUADRÁTICAS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyResponde lo que se te indica: yyEncuentra un número, diferente de cero, que su cuadrado es igual al duplo del número multiplicado por 6. La expresión del cuadrado del número es: _________________________________________________________ El duplo del número es: _______________________________________________________________________ La ecuación, de acuerdo con el problema es: ______________________________________________________ Resolviendo la ecuación, el modelo de una ecuación incompleta de segundo grado es: x2 + bx = 0 El resultado es: _______________________________________________________
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyCotejen sus respuestas y corrijan si es necesario. yyResuelvan los siguientes problemas: 1. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos menores sea igual al cuadrado del mayor, más doce unidades.
2. Un número es igual al cuadrado de otro y la suma de ambos es 42 ¿cuáles son estos números?
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
3. La base de un triángulo mide 6m, más que la altura y el área es de 20m2. Calcular la base y la altura.
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica. Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones.
Tiempo: 15 minutos
yyFactoricen las siguientes ecuaciones: x2 + 5x + 6 = 0 x2 + 7x + 10 = 0 x2 + 8x + 15 = 0
yyRespondan los siguientes cuestionamientos. 1. Escriban la forma general de resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0 _________________________________________________________________________________________________ 2. A través del método de solución gráfica resuelve la ecuación: y = 2x2 - 4x
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Competencias Matemáticas
yyResuelvan los siguientes problemas: 1. El terreno cuadrado que se ilustra abajo tiene un área de 2 500 m2, se desea utilizar únicamente la parte que aparece sombreada en la figura. Si x es la medida del lado de ese cuadrado que se va a usar, ¿cuál es el valor de x?
2. Encontrar dos números cuya suma es 11 y el producto 30.
ACTIVIDAD 2 “ECUACIONES” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyResponde lo que se te indica, puedes auxiliarte de tu diccionario: yy¿Qué es un patrón?______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ yy¿Qué es un enésimo? ____________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
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Competencias Matemáticas
yyCompleta la siguiente sucesión:
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyCotejen sus respuestas y corríjanlas si es necesario. yyDerivado del ejercicio de la sucesión, encuentren los números que faltan en la siguiente tabla. Número de figuras
Figura 1
Número de cuadrados que la componen
5
Diferencia de cuadrados entre la figura siguiente y la figura anterior
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
13
4
yyEscriban una regla que permita encontrar el número de cuadrados de cualquier figura: __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yyResuelvan las siguientes ecuaciones:
ax2
+ bx
+ c = 0
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Competencias Matemáticas
4x - 3 = 3x - 9 5 4
2x + 3y = -1
3x + 4y = 0
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica. Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones.
yyResuelvan los siguientes problemas: 1. ¿Cómo encontrarías el área del cuadrado pequeño, si conocieras el área del cuadrado grande y el área de uno de los rectángulos?
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Tiempo: 15 minutos
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Competencias Matemáticas
2. El perímetro de un rectángulo es igual a 10 metros y su área es igual a 6 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
3. Dentro de 30 años la edad de Andrea será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene Andrea hoy?
Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
4. ¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre?
5. Selecciona la opción en la que se localiza el sistema de ecuaciones que resuelve el problema siguiente:
A) x + y = 60 x = 3y B)
La suma de las edades de Manuel y su hermano Carlos da como resultado 60 años. La edad de Manuel es 3 veces mayor a la de Carlos.
x = 60 + y x = 3y
10
C)
x + y = 60 x=y+3
D) x = 60 + y x=y+3
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Competencias Matemáticas
EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA II. FIGURAS Y CUERPOS BLOQUE I Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
BLOQUE II Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
BLOQUE III Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
BLOQUE IV
BLOQUE V
Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
ACTIVIDAD 3 “SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE LOS TRIÁNGULOS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyTraza dos triángulos, con las medidas que se especifican: yyDos lados de un triángulo miden 4 cm y el tercero 5 cm; el ángulo comprendido entre los primeros mide 77°. En el segundo triángulo los lados correspondientes miden 8, 9 y 10 cm y el ángulo correspondiente se conserva.
yy¿Qué características comunes tienen los dos triángulos que trazaste? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyObserva cuidadosamente las siguientes figuras y contesta las preguntas.
1. ¿Las figuras a, b y c de la figura 2.1 son congruentes?
SI
NO
¿Por qué?_________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
2. ¿Existe algún cambio entre ellas?
SI
NO
¿Cuál?____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
yyUtilizando la notación: ∆ EBC = ∆ ILK, indica ¿qué triángulos de la siguiente figura son congruentes y argumenta por qué?
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 2
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyComparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. yyLee cuidadosamente la siguiente información y realiza las actividades que se piden. Cuando dos o más triángulos son iguales, aunque no estén colocados en la misma posición, se dice que dichos triángulos son congruentes. Por lo tanto, para que la congruencia entre varios triángulos exista, es necesario que los tres lados y los tres ángulos de un triángulo sean iguales a los correspondientes de los otros triángulos. Sin embargo, debido a las características y propiedades de los triángulos, para saber si dos o más triángulos son congruentes, no es necesario comprobar la igualdad de los seis elementos (los tres lados y los tres ángulos), pues con solo mostrar la igualdad entre tres de ellos, se deduce que los otros tres son iguales, solo es necesario saber en cuales de éstos se debe comprobar la igualdad, a esto último se le llama criterios de congruencia.
Se tienen ocho opciones para escoger a los tres elementos, considerando que el orden en que se escriben es el mismo orden en que se trazan o eligen, por ejemplo, si decimos que el criterio es: lado, lado, ángulo (L L A), se deberá trazar un lado, a continuación el otro lado y por último el ángulo, como se ejemplifica en la figura 2.3. Algunas de las ocho alternativas para escoger los tres elementos, son las siguientes: L L L, A A A, L L A, A L L. yyObtengan las demás opciones y deduzcan las ocho alternativas: __________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ yyDe las alternativas anteriores, cuáles son las tres que nos permiten saber si dos o más triángulos son congruentes: __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyCompleten los tres criterios de congruencia de los triángulos. 1. L L L (lado, lado, lado): si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, _______ ________________________________________________________________________________________. 2. _______________________________________ si dos de los lados de un triángulo y el ángulo entre esos dos lados, son iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 3. A L A (ángulo, lado, ángulo): _________________________________________________________________ son iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica. Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones.
Tiempo: 15 minutos
yyConsiderando que todos los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90°, discutan sobre cuáles son los criterios de congruencia para este tipo de triángulos y escríbanlos. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ yyDe los siguientes triángulos, ¿cuáles son congruentes e indiquen el criterio de congruencia que utilizaste.
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yy¿Un puente resiste mejor con triángulos congruentes? Observa cuidadosamente las siguientes figuras y resuelve lo que se pide.
yyEn la Figura 2.5, 2.6, 2.7, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas en pulgadas (“). Contesten las siguientes preguntas para cada figura: 1. ¿Los lados correspondientes de los triángulos sombreados son congruentes? Argumenten sus respuestas: Figura 2.5. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.6. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.7. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
2. Siendo que todos los lados correspondientes son congruentes, ¿qué nos ayudaría a entender que todos los ángulos también son congruentes? Figura 2.5. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.6. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.7. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
3. Calcula el valor de los ángulos Figura 2.5. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.6. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.7. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
4. ¿Qué ventajas estructurales (de carga) consideras que tenga construir los puentes utilizando triángulos congruentes? Figura 2.5. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.6. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2.7. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
ACTIVIDAD 4 “SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMAS DE TALES Y PITÁGORAS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyObserva las siguientes figuras:
yy¿Cómo están representados tanto la maqueta como el mapa? __________________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yy¿Qué es una escala? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yy¿Cuándo decimos que dos figuras son semejantes? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yyObserva los siguientes triángulos e indica cuáles son semejantes y por qué. CB ∥ ED
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
EJERCICIO 2
Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones
Tiempo: 15 minutos
yyComparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. yyLean cuidadosamente la siguiente información. Existen tres criterios para saber si dos triángulos son semejantes:
yySi dos de los ángulos de un triángulo son iguales a los correspondientes de otro triángulo, los triángulos son semejantes. yySi los tres lados de un triángulo son proporcionales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. yyCuando dos lados de un triángulo son proporcionales a los de otro triángulo, y además el ángulo comprendido entre esos dos lados son iguales en ambos triángulos, entonces los triángulos son semejantes. yyPara indicar que dos triángulos son semejantes, se utiliza el símbolo “~”
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyAnalicen los siguientes triángulos e indiquen, cuáles son semejantes y que criterio utilizaron para deducir que son semejantes.
Triángulos semejantes
Criterio
∆ ABC ~ ∆ ∆ XYZ ~ ∆ ∆ EDF ~ ∆ ∆ JGH ~ ∆
yy¿Qué nos dice el Teorema de Tales? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
¿Qué nos dice el Teorema de Pitágoras? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yy¿Qué teorema representa la siguiente Figura?_________________________________________________________
yy¿Qué teorema representa la siguiente figura? Registren su respuesta sobre la línea.
__________________________________________________________________________________
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yyCompleten los Teoremas de Tales y de Pitágoras: Si el ∆1 ~ ∆2, entonces:
yyA partir de la figura anterior, el Teorema de Tales es válido_______________________________________________.
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyObserven la figura siguiente. El Teorema de Pitágoras solo es aplicable a ___________________________________.
yy¿Cuál es la hipotenusa? __________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ yyObserva la siguiente figura y argumenta la validez de los pasos de la demostración del Teorema de Pitágoras.
Pasos
Afirmaciones
1
Los triángulos ABC, ABD y BDC son semejantes
Argumenta la validez
2 3 4 5 6 7 8
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Competencias Matemáticas
ACTIVIDAD 5 “APLICANDO LOS TEOREMAS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyLee cuidadosamente los siguientes postulados, encuentra la relación correcta entre ambas columnas y registra la letra de cada inciso dentro del paréntesis correspondiente.
a) Dos de los lados de un triángulo rectángulo son conocidos. Para hallar el valor del tercer lado, podemos utilizar el … b) Se sabe que dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces, los dos triángulos son: c) Si se tienen dos triángulos semejantes y se conocen los tres lados de uno de ellos y la medida de uno de los lados del otro triángulo, para obtener los valores de los otros dos lados utilizamos el… d) Si se conocen los tres lados de un triángulo acutángulo, su altura se puede obtener utilizando… e) En un triángulo rectángulo de 10 cm de base y 7 cm de altura, se traza una paralela a la altura a 3 cm del vértice del ángulo recto, para conocer la longitud de esta recta utilizamos el…
(
) Teorema de Pitágoras
(
) Teorema de Tales
(
) Teorema de Pitágoras
(
) Congruentes
(
) Teorema de Pitágoras
(
) Semejantes
(
) Teorema de Tales
f) Para obtener las hipotenusas de los triángulos del inciso anterior utilizamos el…
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyComparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. Después resuelvan los siguientes problemas: 1. Se requiere ampliar la siguiente fotografía 6 cm X 3 cm, de tal manera que el homólogo del lado que mide 6 cm, mida 12cm. ¿Cuánto debe medir el otro lado?
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
2. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la relación de semejanza?
A) 1/6 = 3/2 B) 3/6 = ½ C) 6/3 = 3/1 D) 6/2 = 1/3
3. Del siguiente triángulo rectángulo, calcula el lado desconocido C.
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
yyResuelvan y encuentren la respuesta correcta a los siguientes problemas: 1. Encuentra el valor de x del siguiente triángulo. A) 25 .5 B) 8.60 C) 7.10 D) 6
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Tiempo: 15 minutos
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
2. Las figuras siguientes tienen lados homólogos y son proporcionales. ¿Cuál es el valor de “X”?
Competencias Matemáticas
A) 22.3 B) 21.33 C) 19.3 D) 20
3. De la siguiente figura, encuentra la hipotenusa:(a) que mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella (b) que mide 27.98 cm. Hallar la medida del otro cateto (c)
A) 18.12 B) 10.82 C) 24.0 D) 16.0
4. De acuerdo al Teorema de Tales ¿Cuál es la altura de la pirámide? Primer triangulo: el que tiene por catetos (C y D) con las siguientes longitudes: C= 60m D = ¿? Segundo triangulo: el que tiene por catetos (A y B) con las siguientes longitudes: A= 2m B = 1.5 m
a) D=
80 M
b) D=
90
c) D =
70
d) D = 100
Como en triángulos semejantes, se cumple que
A B
=
C D
es decir que, A para B es lo mismo que D para C por lo tanto la altura de la pirámide es:
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
5. Observa los siguientes triángulos semejantes:
yy¿En cuál de las siguientes opciones las relaciones de proporcionalidad se refieren a los triángulos? A)
8
=
10
B) 14 5
=
4
C) 10
7
7
7
D) 14
5
8
24
=
5 7
=
7 4
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA III. MEDIDA BLOQUE I
BLOQUE II
BLOQUE III
Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras.
BLOQUE IV
BLOQUE V
Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.
Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.
Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.
Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente.
Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.
ACTIVIDAD 6 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyLee cuidadosamente la siguiente información Como recordarás, en el bloque uno, dijimos que los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y en radianes, a esta última unidad, también se le llama unidades circulares. En este bloque utilizaremos ambas unidades. Cuando en un triángulo rectángulo, solo se conoce un lado y uno de los ángulos agudos, no es posible resolverlo a través del teorema de Pitágoras y tratándose de un solo triángulo, tampoco es posible utilizar el teorema de Tales. Para resolver esta problemática, se crean las relaciones trigonométricas. Para definir las relaciones trigonométricas, utilizaremos una circunferencia cuyo radio mide una unidad, llamada circunferencia unitaria. Si consideramos que la circunferencia de la figura 6.1 es unitaria, entonces la hipotenusa del triángulo vale uno. Al cateto que está junto al ángulo se le llama cateto adyacente y al otro cateto se le llama opuesto. Con estos elementos, se definen las siguientes seis funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Como puedes observar, las tres funciones de la izquierda son recíprocas con las correspondientes de las del lado derecho. Al ir variando el ángulo “a” desde 0° hasta 90°, se fueron obteniendo físicamente las medidas de los catetos y de esta forma se pudieron obtener los valores de las seis funciones para los diferentes ángulos.
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
Estos valores fueron escritos en tablas, llamadas tablas trigonométricas (en la actualidad aparecen en una base de datos que contienen las calculadoras científicas).
yy¿Por qué los valores obtenidos en las tablas trigonométricas, se pueden utilizar para cualquier triángulo rectángulo? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yyObten el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
a) sen 74° _______________________________________________________________________ b) tan 63.23° ______________________________________________________________________ c) cos π/4 rad ____________________________________________________________________
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyComparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. Después resuelvan los siguientes problemas: yyLee cuidadosamente la siguiente información: Si a las funciones seno, secante y tangente, les agregas el prefijo “co”, las funciones serían coseno, cosecante y cotangente a éstas tres últimas se les llama cofunciones de las tres primeras, respectivamente, y viceversa. El valor de una función trigonométrica para un ángulo determinado, es igual al valor de la cofunción del ángulo complementario, por ejemplo, el seno de 30° es igual al coseno de 60° (seno y coseno son cofunciones y el complemento de 30° es 60°). En la circunferencia unitaria, como la que se muestra en la figura 6.1, el valor de la hipotenusa del triángulo vale uno, lo cual implica que el sen a = CO y el cos a = CA y el valor de estos catetos son, respectivamente la ordenada y la abscisa del punto correspondiente de la circunferencia, por lo cual podemos relacionar en esta circunferencia al sen de “a” con “y” y al cos de “a” con “x”, esto implica, entonces, que la tan de “a” sea igual a y/x. Utilizando lo anterior, podemos obtener los siguientes valores de las funciones trigonométricas sin necesidad de utilizar tablas o calculadora.
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Ángulo (a)
sen a
cos a
tan a
0°
0
1
0
90°
1
0
No existe
180°
0
-1
0
270°
-1
0
No existe
360°
0
1
0
Competencias Matemáticas
yyEn equipos analicen los valores de la tabla y registren 3 conclusiones: 1.
____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 2.
____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 3.
____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
yyA partir de los siguientes triángulos, se pueden deducir los valores de las seis funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°. Completa el cuadro con las medidas
Ángulo
sen
30° 45°
1/√2
60°
√3/2
27
cos
tan
√3/2
1/√3
1/√2 √3
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyA partir de la siguiente figura, demuestren que los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 15° y 75° son los siguientes:
yyUtilizando sólo los valores de sen 30°=1/2 y sen 45°=1/√2, completa la siguiente tabla (utiliza tu ficha de trabajo para deducir los valores) Ángulo (a)
sen a
0° 90° 180° 270° 360° 30°
1/2
45°
1/√2
60°
28
cos a
tan a
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyCalcula el volumen de los siguientes cuerpos: 1. Calcular el volumen de un cilindro cuya base tiene una área de 78.54 dm2 y su altura es de 1.2 m (como las unidades del área y la altura son diferentes, es necesario unificarlas, ya sea convirtiendo los decímetros a metros o viceversa)
2. Obtener la medida del volumen de un cono cuya altura es de 35 cm y el radio de su base es de 9 cm.
ACTIVIDAD 7 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyAnaliza la siguiente información y responde lo que se te pide. Las funciones trigonométricas pueden representarse por segmentos de recta. En la figura siguiente, demuestra que: sen a = AP, cos a =OA, tan a = BC.1
1. NILES O. Nathan, Trigonometría Plana, Ed. Limusa, Méxixoc, 1998, pp.41
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyTraza los segmentos que representan las funciones trigonométricas en los otros cuadrantes. yyEn la figura 7.1, el punto P tiene coordenadas (x,y), expresa las seis funciones trigonométricas utilizando estas coordenadas.
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyComparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. Después resuelvan los siguientes problemas: yyObtengan los valores de las funciones trigonométricas para los siguientes puntos.
a) (2,5)
b) (-3,8)
c) (-1,-7)
d) (6,0)
30
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyObtengan los valores exactos de las siguientes funciones:
a) sen 135° b) tan 225° c) cos 105°
yyDialoguen y enuncien en qué se emplean las gráficas de las funciones trigonométricas, registren tres usos: __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yyEn grupo, tracen la gráfica de la función
y = tan x
31
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA IV. PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES BLOQUE I
BLOQUE II
BLOQUE III
Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
BLOQUE IV
BLOQUE V
Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.
ACTIVIDAD 8 “PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES CUADRÁTICAS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyResuelve el siguiente problema: yyUn tren viaja a una velocidad constante, como se representa en la siguiente tabla: Tiempo (hrs.)
1.5
5
Distancia en km
240
720
1. ¿Cuál será la distancia recorrida en 10 hrs? _________________________________________ 2. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 hrs?___________________________________________________ yyRelaciona las columnas y une con una línea la tabla con la situación que corresponde. En la última columna registra cuáles son de proporcionalidad directa.
Peso de un gatito desde su nacimiento hasta que cumple 2 meses.
x
0
1
2
3
y
0
3
6
9
Número de chocolates y su costo.
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
Edades de dos niñas, si una es mayor por dos años.
x
0
1
2
3
y
2
3
4
5
32
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 2
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyComparen sus respuestas a los ejercicios y si es necesario corríjanlas. yyElijan dos tablas del ejercicio anterior y representen en los recuadros mediante gráficas los datos.
33
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyUtilicen algún procedimiento personal o de operaciones inversas y resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas.
6x2 + 2x = 0
x2 + 11x = -30
yyResuelvan los siguientes problemas. 1. El cuadrado de un número es igual a siete veces el mismo número. ¿De qué número estamos hablando? ________________________________________________________________________________________________ 2. La base de un rectángulo es seis centímetros más que la altura y su área es de 96 cm2. ¿Cuál es la medida de la base y altura? ________________________________________________________________________________________________
ACTIVIDAD 9 “FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyResponde las siguientes preguntas: 1. ¿Qué es una recta? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 2. ¿Qué es una pendiente? ____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 3. Menciona 2 casos en los que se utilicen las pendientes:____________________________________________ ________________________________________________________________________________________________
34
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyEncierra la gráfica que representa cada situación. 1. Al abordar un taxi observé que la tarifa de salida era de $6.50 y $0.90 por cada kilómetro que recorría. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa el costo del recorrido?
2. Cuatro niños arrojan una piedra cada uno desde 10 metros de altura, asímismo, cada uno después traza una gráfica tomando en cuenta que la caída aumenta constantemente por la aceleración. ¿Cuál de los 4 niños hizo la gráfica correcta?
35
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
3. ¿Qué gráficas no representan una variación directamente proporcional?
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyComparen sus respuestas a los ejercicios y si es necesario corríjanlas. yyResponde los siguientes problemas: 1. En una noticia del periódico en la Sección Financiera, se indica que el crecimiento de una empresa se da por la formula y = 3x2 -2, donde la variable independiente representa los meses transcurridos y la variable dependiente representa los ingresos en millones de pesos. Realiza una tabla que muestre los ingresos de la empresa que obtiene en un año.
2. En la gráfica se muestran las ganancias de dos pizzerías, que abarcan el primer semestre del año. ¿En qué mes la pizzería A gana lo mismo que la B?
A) En enero B) En marzo C) En mayo D) En junio
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyResuelve los siguientes problemas
Se va a lavar una alberca y se requiere vaciarla, por el desagüe se desalojan 60 litros cada minuto. Si tiene 1800 litros cuando comienza el vaciado. Haz una gráfica que represente la relación tiempo (minutos) y la cantidad de agua (litros) contenida en la alberca.
Dibuja la gráfica que represente la relación entre “x” y “y”, de la siguiente ecuación: y = 2x2 + 3
yyRepresenten con una expresión algebraica las siguientes situaciones: 1. El área de un círculo (y) en función de la longitud del radio (x) 2. El área de la imagen sobre la pantalla (y) respecto a la distancia a la que se coloca el proyector (x)
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA V. NOCIONES DE PROBABILIDAD BLOQUE I Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
BLOQUE II Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).
BLOQUE III
BLOQUE IV
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).
BLOQUE V Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
ACTIVIDAD 10 “EVENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyObserva las siguientes imágenes y responde:
1. ¿A qué se refieren las fotos? ¿Qué representan? __________________________________________________________________________________
2. ¿Qué tipo de juegos ejemplifican las imágenes o fotos? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
3. Define que es un evento y completa a qué tipo de evento se refiere el texto __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ EVENTO Experimento en el cual, antes de realizarlo, se sabe o se puede calcular con exactitud el resultado. Por ejemplo, si dejamos caer una piedra al vacío, sabemos de antemano que caerá, podemos incluso predecir el tiempo que tardará en caer y con qué velocidad llegará al suelo, si conocemos la altura de la cual se deja caer y si despreciamos la fricción del aire. Se caracteriza por no poder conocer el resultado hasta que el experimento se haya realizado, ya que se trata de un experimento en el que interviene el azar. Por ejemplo, si lanzamos un dado no cargado (con truco), no podemos saber con exactitud qué número quedará en su cara superior.
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 2
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyCotejen sus respuestas y si es necesario corríjanlas. yyIdentifiquen si los siguientes eventos son deterministas o aleatorios y argumenten el ¿por qué? a) Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el resultado es águila o sol.
¿Por qué?
b) Suponga usted que tiene que observar una tienda de abarrotes en la que coloca una canasta con manzanas y un letrero con el precio de $5; durante el día usted se dedica a vender manzanas y al terminar el día verifica cuánto dinero tiene.
¿Por qué?
c)
En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número de bolas blancas extraídas.
¿Por qué?
d) Se tienen 200g de oxígeno a una temperatura de 0 °C y a una presión de 1 atm, en un tanque ¿cuál será su presión cuando la temperatura se incremente a 130 °C?
¿Por qué?
yyMencionen un ejemplo de un evento mutuamente excluyente e independiente: __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yyAnalicen los siguientes ejercicios y completen la respuesta: a) ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona, si tiene 3 pantalones, 5 camisas y 4 corbatas?
Aplicando la regla 1: (3)(5)(4)=60
b) ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 5 libros en un librero?
Aplicando la regla 2: 5!= (5)(4)(3)(2)(1) = 120
c)
Aplicando la regla 3: 8P5=8!/(8 -5)! = (8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)/(3) (2)(1) =6720
¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 5 libros en un librero, si se tienen 8 libros?
d) ¿De cuántas maneras puede un entrenador formar un equipo de baloncesto, si cuenta con 7 jugadores y todos pueden ocupar cualquier posición? (un equipo de baloncesto consta de 5 jugadores)
Utilizando la regla 4: 7C5 = 7!/(7 – 5)!5!= (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)/ (2)(1)(5)(4)(3)(2)(1)= 21
e) ¿Cuántas palabras diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra MATEMÁTICAS?
De acuerdo a la regla 5 : r1 = 3 ( tres letras A), r2 = 2 (dos letras T), r3 = 2 (dos letras M) y n = 11 (número de letras), entonces: 11!/3!2!2! = 1,663,200
f)
Aplicando la regla 6: (5 -1)! = 24
¿ De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 peronas en torno a una mesa circular?
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
yyRespondan las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos resultados posibles existen al lanzar dos dados?__________________________________________ 2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden hacer comisiones de 4 personas si se pueden elegir de un total de 9?_______________________________________________________________________________________ 3. ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 4 adornos en una corona?_________________________ 4. ¿ De cuántas formas difentes puedes acomodar 3 focos fundidos y 4 focos buenos en siete porta focos (soquets)?________________________________________________________________________________
ACTIVIDAD 11 “PROBABILIDADES Y PROBLEMAS” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yySi participaras en un juego, que consiste en lanzar dos dados y gana quien le atine a la suma obtenida de puntos de los dos dados 1. ¿A qué número le apostarías?___________________________________________________ ¿Por qué?____________________________________________________________________
2. Todas las mañanas Carmen vende tamales verdes, rojos, de rajas, y de dulce. Si éstos los puede vender en torta o solos, ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente le pida a Carmen una torta de tamal verde?
a) 1/4 b) 1/6 c) 1/8 d) 1/16 5. A Tristán le pidió su hermana que sacara uno de los dulces de colores de un dulcero, en el dulcero hay 17 dulces rojos, 19 verdes, 12 naranjas, 15 amarillos y 7 cafés. ¿Cuál es la probabilidad de que saque un dulce rojo que es su sabor preferido?
a) 1/5 b) 17/10 c) 17/53 d) 5/7
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyResuelve los siguientes problemas: 1. Se lanzan dos monedas. Cuál es la probabilidad de obtener: a) exactamente una cara, b) por lo menos una cara
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
2. Elijan una carta de una baraja americana (de 52 cartas) Cuál es la probabilidad de que sea: a) reina,
b) reina o rey,
c) rey, reina o carta roja
3. En futbol, van a jugar el Puebla contra el Guadalajara y el América contra el Cruz Azul, la probabilidad de que gane el Puebla es 0.6, de que gane el América 0.3 y de que ganen ambos 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el Puebla o el América o ambos?
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yyResuelvan los siguientes problemas. 1. Una caja contiene 100 fusibles. La probabilidad de que haya al menos un fusible defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 fusibles defectuosos es 0.01. Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a) ningún fusible defectuoso, b) exactamente un fusible defectuoso, c) a lo más un fusible defectuoso.
2. En un grupo de futbolistas, el 75% son mexicanos y el 40% son mexicanos y son titulares. Si elegimos un jugador al azar y éste es mexicano, ¿cuál es la probabilidad de que sea titular?
3. El señor Pérez viaja en un avión de seis motores para asistir a una importante reunión en París. La probabilidad de que un motor falle es 0.01 y cada uno funciona independientemente de los otros. Si el avión necesita al menos un motor de cada lado para poder volar, ¿cuál es la probabilidad de que el señor Pérez esté ausente de la reunión a causa de un accidente de su avión?
4. En el juego TRIS durante 9 días seguidos cayó como último número el 8. Si sabemos que el espacio muestral es del 1 al 9, ¿Cuál es la probabilidad de que en el decimo día también caiga el número 8?___________ ¿Qué característica tiene este tipo de evento?_________________________________________________________
41
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA VI. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS BLOQUE I
BLOQUE II
BLOQUE III
Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
BLOQUE IV
BLOQUE V
Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.
ACTIVIDAD 12 “ESTADÍSTICA ELEMENTAL” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyImagina que los siguientes números son tus calificaciones parciales de Matemáticas del año escolar anterior. Determina cuál es el promedio que obtuviste en esta asignatura. 8, 9, 7, 8, 6, 10, 8, 9, 8 y 7 __________________________________________________________________________________
yy¿De qué otra forma le podemos llamar a este promedio? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yy¿Cómo se les llama a los valores promedio? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
yy¿Qué medidas de tendencia central conoces? __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
42
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyComparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. yyLean con atención la siguiente información y resuelvan los siguientes cuestionamientos: La media aritmética es lo que conocemos comúnmente como promedio y se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la suma entre el total de ellos; para el ejemplo anterior, se tiene que:
Cuando en los datos existen valores extremadamente altos o bajos, la media aritmética no representa a los valores de la mayoría de los datos, por ejemplo, si los datos fueran: 6, 8, 8, 7, 4, 215 y 9, la media aritmética es 36.71, este valor queda fuera de la mayoría de datos. En estos casos es mejor utilizar a la mediana como promedio, para obtenerla, se deben ordenar los datos de manera ascendente o descendente, la mediana será el número que se encuentra exactamente a la mitad de los datos, cuando el número de datos es par, la mediana es igual a la media aritmética de los dos datos centrales, para el ejemplo anterior se tiene: 4, 7, 8, 9, 215, por lo cual la mediana = 8, este valor si es representativo de los datos dados. La moda es otro promedio que se utiliza frecuentemente, se define como el valor o dato que más se repite en la población, por ejemplo, si los datos son: 5, 6, 8, 6, 9, 7, 7, 8, 6, 10, la moda es 6 pues es el dato que más se repite. Puede existir más de una moda. yyObténgan las tres medidas de centralización para los siguientes datos: 8
9
9
10
5
12
13
8
8
14
15
10
5
9
14
8
15
11
11
11
12
12
16
6
6
7
8
9
12
12
18
17
3
14
19
6
7
8
9
18
21
9
5
3
6
7
7
8
8
6
14
14
17
20
24
17
4
4
6
8
43
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Competencias Matemáticas
Tiempo: 15 minutos
yyLeen la siguiente información: Las medidas de centralización muestran un valor representativo de todos los datos, pero no muestran que tan dispersos están los datos con respecto al promedio. Las medidas de dispersión son parámetros que indican que tan cercanos o alejados se encuentran en promedio los datos con respecto a la medida de centralización, por lo general, con respecto a la media aritmética. Las medidas de dispersión más utilizadas son: el rango o recorrido(R), la desviación media, la varianza y la desviación típica o estándar. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos, para los datos de la actividad 1.1, R=10 - 6 = 4 La desviación media, es igual a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones (diferencias entre cada uno de los datos y la media aritmética), para el mismo ejemplo, se tiene: Datos (x)
La media aritmética de las desviaciones es: (0+1+1+0+2+2+0+1+0+1)/10 =8/10 = 0.8 Por lo tanto, la desviación media DM es 0.8 Y podemos escribir la siguiente fórmula.
Valor absoluto de la diferencia de (x -
8
0
9
1
7
1
8
0
6
2
10
2
8
0
9
1
8
0
7
1
x)
yyCalcúla las medias de dispersión para los datos del ejemplo. Datos (x)
Valor absoluto de la diferencia de (x -
8
0
9
1
7
1
8
0
6
2
10
2
8
0
9
1
8
0
7
1
x)
Rango:
Media:
Mediana:
Moda:
44
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
Competencias Matemáticas
ACTIVIDAD 13 “DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN” EJERCICIO 1
Tiempo: 15 minutos
yyOrdena los datos en forma ascendente (o descendente), responde las preguntas y completa la tabla de frecuencias: 20
5
12
8
8
9
11
13
15
18
3
6
7
4
15
9
12
8
8
18
8
6
7
8
9
10
5
14
16
19
4
6
14
14
9
10
12
7
17
3
12
6
7
8
9
21
12
14
8
11
5
6
8
17
9
11
6
14
17
24
1. El rango es: _____________________ 2. El intervalo es: ________________________ 3. La distribución de frecuencias es: Intervalos
Frecuencia
3–6
13
11 – 14
14
15 -18
8
23 -26
EJERCICIO 2
Tiempo: 15 minutos
yyComparen sus respuestas a los ejercicios y si es necesario corríjanlas. yyCompleten los datos que hacen falta en la tabla y después encuentren las medidas de centralización (Mediana, Media y Moda) Intervalos
Intervalos reales
Marcas de clase
frecuencia
Xj fj
6 - 10
5.5 – 10.5
8
6
48
10.5 – 15.5
13
7
16 – 20
15.5 – 20.5
21 – 25 26 – 30
5 23
25.5 – 30.5
28
45
162 115
6
168
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
N = 33
Competencias Matemáticas
∑ = 584
La media aritmética es: _____________________________
AYUDA: Obtenemos la quinta columna de la tabla, multiplicando las marcas de clases por sus respectivas frecuencias (Xj fj ) y calculamos la suma.
La mediana es: _____________________________
AYUDA: Primero determinamos cúal es la clase mediana, dividimos 33/2 = 16.5 y buscamos en cuál clase cae este dato, éste corresponde a la tercera clase, pues en la segunda se agrupa hasta el dato 13 (6+7) y en la tercera se agrupa del dato 14 hasta el 18 (6+7+5).
La moda es: _____________________________ AYUDA: Determinamos la clase modal (donde está la frecuencia más alta) ésta es la cuarta clase.
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
yyObténgan de manera conjunta, las tres medidas de centralización para los siguientes datos: Intervalos
Intervalos reales
Marca de clases
Frecuencia
3–6
2.5 – 6.5
4.5
13
7 – 10
6.5 - 10.5
8.5
21
11 – 14
10.5 – 14.5
12.5
14
15 -18
14.5 – 18.5
16.5
8
19 – 22
18.5 – 22.5
20.5
3
23 -26
22.5 – 26.6
24.5
1
46
Tiempo: 15 minutos
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
La media aritmética es: _____________________________
La mediana es: _____________________________
La moda es: _____________________________
47
Competencias Matemáticas
BIBLIOGRAFÍA 1.
SEP. Acuerdo 592. Por el que se establece la Articulación de la Educación Básica. México 2011. 630 págs.
2.
SEP. Programas de Estudio 2011. Guía para el Maestro. Matemáticas Tercero de Secundaria. México, 2011. 153 págs.
3.
MIRO Ricardo. Números combinatorios y probabilidades. Ed. Limusa. Argentina 2006. 155 págs.
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SPIEGEL R. Murray. Estadística. Ed. McGraw – Hill, serie de compendios Schaum. México 1981, 357 págs.
5.
STEVENSON J. William, Estadística para administración y economía, Ed. Harla, México 1978, 585 págs.
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ZUWAYLIF H. Fadil, Estadística general aplicada, Ed. Addison Wesley Iberoamericana, México 1990, 433 págs.
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http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_961546552/Recta.html
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BALDOR J. Aurelio, Geometría plana y del espacio: con una introducción a la trigonometría, Ed. Cultura Centroamericana, México 1947, Pp. 423
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